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[方法点拨] (1)卫星在运行中的变轨有两种情况，即离心运动和向心运动：①当v 增大时，所需向心力m v 2r 增大，卫星将做离心运动，轨道半径变大，由v ＝ GM r知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加；②当v 减小时，所需向心力m v 2r减小，因此卫星将做向心运动，轨道半径变小，由v ＝GM r知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．(2)低轨道的卫星追高轨道的卫星需要加速，同一轨道后面的卫星追赶前面的卫星需要先减速后加速．1．(2017·北京房山区模拟)我国的“神舟十一号”载人飞船已于2016年10月17日发射升空，入轨两天后，与“天宫二号”成功对接，顺利完成任务．假定对接前，“天宫二号”在如图1所示的轨道3上绕地球做匀速圆周运动，而“神舟十一号”在图中轨道1上绕地球做匀速圆周运动，两者都在图示平面内顺时针运转．若“神舟十一号”在轨道1上的P 点瞬间改变其速度的大小，使其运行的轨道变为椭圆轨道2，并在轨道2和轨道3的切点Q 与“天宫二号”进行对接，图中P 、Q 、K 三点位于同一直线上，则( )图1A ．“神舟十一号”应在P 点瞬间加速才能使其运动轨道由1变为2B ．“神舟十一号”沿椭圆轨道2从Q 点飞向P 点过程中，万有引力做负功C ．“神舟十一号”沿椭圆轨道2从P 点飞向Q 点过程中机械能不断增大D ．“天宫二号”在轨道3上经过Q 点时的速度与“神舟十一号”在轨道2上经过Q 点时的速度相等2．(多选)(2017·山东淄博一模)“嫦娥三号”从距月面高度为100 km 的环月圆轨道Ⅰ上的P 点实施变轨，进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ，从近月点Q 成功落月，如图2所示．关于“嫦娥三号”，下列说法正确的是( )图2A ．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期B ．沿轨道Ⅰ运行至P 点时，需制动减速才能进入轨道ⅡC ．沿轨道Ⅱ运行时，在P 点的加速度大小等于在Q 点的加速度大小D ．在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，机械能不变3．(2017·江西省六校3月联考)2016年10月23日早上，天宫二号空间实验室上搭载的一颗小卫星(伴星)在太空中成功释放，并且对天宫二号和神舟十一号组合体进行了第一次拍照．“伴星”经调整后，和“天宫二号”一样绕地球做匀速圆周运动．但比“天宫二号”离地面稍高一些，那么( )A ．“伴星”的运行周期比“天宫二号”稍小一些B ．从地球上发射一颗到“伴星”轨道运动的卫星，发射速度要大于11.2 km/sC ．在同一轨道上，若后面的卫星一旦加速，将与前面的卫星相碰撞D ．若伴星失去动力且受阻力作用，轨道半径将变小，则有可能与“天宫二号”相碰撞4．(多选)(2018·湖北黄冈模拟)2015年12月10日，我国成功将中星1C 卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道．如图3所示是某卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，卫星远地点P 距地心O 的距离为3R .则( )图3A ．卫星在远地点的速度大于3gR 3B ．卫星经过远地点时速度最小C ．卫星经过远地点时的加速度大小为g 9D ．卫星经过远地点时加速，卫星将不能再次经过远地点5．有研究表明，目前月球远离地球的速度是每年3.82±0.07 cm.则10亿年后月球与现在相比( )A ．绕地球做圆周运动的周期变小B ．绕地球做圆周运动的加速度变大C ．绕地球做圆周运动的线速度变小D ．地月之间的引力势能变小6．(2018·四川成都第七中学月考)“天宫一号”目标飞行器在离地面343 km的圆形轨道上运行，其轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是()A．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动周期将会变小B．如不加干预，“天宫一号”围绕地球的运动动能将会变小C．“天宫一号”的加速度大于地球表面的重力加速度D．航天员在“天宫一号”中处于完全失重状态，说明航天员不受地球引力作用答案精析1．A 2.BD3．D [根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝ 4π2r 3GM，“伴星”比“天宫二号”的轨道半径稍大一些，所以“伴星”的运行周期比“天宫二号”稍大一些，故A 错误；如果发射速度大于11.2 km /s ，卫星将脱离地球引力的束缚，不可能成为“伴星”轨道的卫星，故B 错误；在同一轨道上，若后面的卫星一旦加速，将做离心运动到更高的轨道上，不会与前面的卫星碰撞，故C 错误；若“伴星”失去动力且受阻力作用，在原轨道上速度减小，万有引力大于所需要的向心力，轨道半径将变小，则有可能与“天宫二号”相碰撞，故D 正确．]4．BC [对地球表面的物体有GMm 0R2＝m 0g ，得GM ＝gR 2，若卫星沿半径为3R 的圆周轨道运行时有GMm (3R )2＝m v 23R ，运行速度为v ＝ GM 3R ＝3gR 3，从椭圆轨道的远地点进入圆轨道需加速，因此，卫星在远地点的速度小于3gR 3，A 错误；卫星由近地点到远地点的过程中，万有引力做负功，速度减小，所以卫星经过远地点时速度最小，B 正确；卫星经过远地点时的加速度a ＝GM (3R )2＝g 9，C 正确；卫星经过远地点时加速，可能变轨到轨道半径为3R 的圆轨道上，所以卫星还可能再次经过远地点，D 错误．]5．C [对月球进行分析，根据万有引力提供向心力有：GMm r 2＝m (2πT )2r ，得：T ＝ 4π2r 3GM，由于轨道半径变大，故周期变大，A 项错误；根据GMm r 2＝ma ，有：a ＝GM r2，由于轨道半径变大，故加速度变小，B 项错误；根据GMm r 2＝m v 2r ，则：v ＝GM r，由于轨道半径变大，故线速度变小，C 项正确；由于月球远离地球，万有引力做负功，故引力势能变大，D 项错误．]6．A [根据万有引力提供向心力有GMm r 2＝m 4π2r T2，解得：T ＝4π2r 3GM ，由于摩擦阻力作用，卫星轨道高度将降低，则周期减小，A 项正确；根据GMm r 2＝m v 2r，解得：v ＝ GM r ，轨道高度降低，卫星的线速度增大，故动能将增大，B 项错误；根据GMm r 2＝ma ，得a ＝GM r2，“天宫一号”的轨道半径大于地球半径，则加速度小于地球表面的重力加速度，C 项错误；完全失重状态说明航天员对悬绳的拉力或对支持物体的压力为0，而地球对他的万有引力提供他随“天宫一号”围绕地球做圆周运动的向心力，D 项错误．]。
曲线运动 万有引力与航天(限时：40分钟)对点强化1 类平抛运动的求解技巧1．如图1所示，A 、B 两质点以相同的水平速度v 0抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1，B 在光滑斜面上运动，落地点为P 2，不计阻力，比较P 1、P 2在x 轴方向上的远近关系是( ) 【导学号：】图1A ．P 1较远B ．P 2较远C ．P 1、P 2等远D ．大小不确定B 因a P 1＝g ，a P 2＝g sin θ，且B 沿斜面下落分位移大小比竖直高度大，故t P 2>t P 1，又x ＝v 0t ，故x 2>x 1，B 项正确．2．如图2所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等．有三个完全相同的小球a 、b 、c ，开始均静止于同一高度处，其中b 小球在两斜面之间，a 、c 两小球在斜面顶端．若同时释放，小球a 、b 、c 到达该水平面的时间分别为t 1、t 2、t 3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t 1′、t 2′、t 3′.下列关于时间的关系错误的是( )图2A ．t 1>t 3>t 2B ．t 1＝t 1′、t 2＝t 2′、t 3＝t 3′C ．t 1′>t 3′>t 2′D ．t 1<t 1′、t 2<t 2′、t 3<t 3′D 设三小球在高为h 的同一高度处．由静止释放三小球时，对a ：h sin 30°＝12g sin30°·t 21则t 21＝8h g.对b ：h ＝12gt 22，则t 22＝2h g .对c ：hsin 45°＝12g sin 45°·t 23，则t 23＝4h g.所以t 1>t 3>t 2.当平抛三小球时，小球b 做平抛运动，竖直方向运动情况同第一种情况；小球a 、c 在斜面内做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动同第一种情况，所以t 1＝t 1′、t 2＝t 2′、t 3＝t 3′.3．光滑水平面上，一个质量为2 kg 的物体从静止开始运动，在前5 s 受到一个沿正东方向大小为4 N 的水平恒力作用；从第5 s 末开始改为正北方向大小为2 N 的水平恒力作用了10 s ．求物体在15 s 内的位移和15 s 末的速度及方向．【导学号：】【解析】 如图所示，物体在前5 s 内由坐标原点起向东沿x 轴正方向做初速度为零的匀加速运动．其加速度为：a x ＝F 1m ＝42m/s 2＝2 m/s 2方向沿x 轴正方向5 s 末物体沿x 轴方向的位移x 1＝12a x t 21＝12×2×52m ＝25 m ，到达P 点，5 s 末速度v x＝a x t 1＝2×5 m/s＝10 m/s.从第5 s 末开始，物体参与两个分运动：一是沿x 轴正方向做速度为10 m/s 的匀速运动，经10 s 其位移：x 2＝v x ·t 2＝10×10 m＝100 m二是沿y 轴正方向(正北方向)做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为：a y ＝F 2m ＝22m/s 2＝1 m/s 2经10 s 沿y 轴正方向的位移：y ＝12a y t 22＝12×1×102m ＝50 m ， 沿y 轴正方向的速度：v y ＝a y ·t 2＝1×10 m/s＝10 m/s 设15 s 末物体到达Q 点：QO ＝y 2＋x 1＋x 22＝502＋25＋1002m ＝259 m方向为东偏北θ＝arctan 50125＝arctan 2515 s 末的速度为v 1＝v 2x ＋v 2y ＝102＋102m/s ＝10 2 m/s方向为东偏北α＝arctan 1010＝45°.【答案】 259 m ，方向为东偏北arctan 25 10 2 m/s ，方向为东偏北45°对点强化2 宇宙多星模型4．(多选)冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，它们的质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知卡戎绕O 点运动的( )A ．角速度大小约为冥王星的7倍B ．向心力大小约为冥王星的17C ．轨道半径约为冥王星的7倍D ．周期与冥王星周期相同CD 对于双星系统，任意时刻转动的周期、角速度都相同．彼此给对方的万有引力提供向心力，故向心力大小相同，由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，得r 2r 1＝m 1m 2＝7，故C 、D 项正确．5．(多选)如图3所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则( )图3A ．甲星所受合外力为5GM24R2B ．乙星所受合外力为GM 2R2C ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同AD 甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F 甲＝GM 2R 2＋GM 22R 2＝5GM24R2，A正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为0，B 错误；由于甲、丙位置在任意时刻均关于乙对称，甲、丙的角速度和运行轨道半径相同，由v ＝ωR 可知，甲、丙两星的线速度大小相同，但方向相反，故C 错误，D 正确．6．(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于宇宙四星系统，下列说法正确的是( ) 【导学号：】A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为Gm R2 D ．四颗星的周期均为2πa2a 4＋2GmACD 其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确、B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得Gm 22a2＋2Gm2a2＝m4π2T22a2，T ＝2πa 2a 4＋2Gm，故D 正确．对点强化3 平抛运动的临界问题7．(多选)2013年7月7日，温网女双决赛开打，“海峡组合”彭帅、谢淑薇击败澳大利亚组合夺得职业生涯首个大满贯冠军．如图4所示是比赛场地，已知底线到网的距离为L ，彭帅在网前截击，若她在球网正上方距地面H 处，将球以水平速度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．将球的运动视作平抛运动，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )图4A ．根据题目条件能求出球的水平速度vB ．根据题目条件能求出球从击出至落地所用时间tC ．球从击球点至落地点的位移等于LD ．球从击球点至落地点的位移与球的质量无关ABD 根据平抛运动规律及题目条件能求出球的水平速度v ，能求出球从击出至落地所用时间t ，球从击球点至落地点的位移s 等于H 2＋L 2，选项A 、B 正确，C 错误；球从击球点至落地点的位移与球的质量无关，选项D 正确．8．如图5所示，球网上沿高出桌面H ，网到桌边的距离为L .某人在乒乓球训练中，从左侧L2处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘．设乒乓球的运动为平抛运动．则乒乓球( ) 【导学号：】图5A ．在空中做变加速曲线运动B ．在水平方向做匀加速直线运动C ．在网的右侧运动的时间是左侧的2倍D ．击球点的高度是网高的2倍C 乒乓球击出后，在重力的作用下做平抛运动，其运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，A 、B 错误；网的左侧和右侧水平距离之比12LL ＝v 水平t 1v 水平t 2＝t 1t 2＝12，C 正确；击球点到网上沿的高度与击球点到桌面的高度之比为h －H h ＝12gt 2112g t 1＋t 22＝19，所以击球点的高度与网高度之比为h H ＝98.D 错误． 9．如图6所示，水平屋顶高H ＝5 m ，围墙高h ＝3.2 m ，围墙到房子的水平距离L ＝3 m ，围墙外马路宽x ＝10 m ，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速度v 0的大小范围．(g 取10 m/s 2)图6【解析】 设小球恰好落到马路边缘时的水平初速度为v 1 则小球的水平位移：L ＋x ＝v 1t 1， 小球的竖直位移：H ＝12gt 21解以上两式得v 1＝(L ＋x )g2H＝13 m/s. 设小球恰好越过墙的边缘时的水平初速度为v 2 则此过程中小球的水平位移：L ＝v 2t 2 小球的竖直方向位移：H －h ＝12gt 22解以上两式得v 2＝Lg2H －h＝5 m/s因此小球抛出时的速度大小为5 m/s≤v 0≤13 m/s. 【答案】 5 m/s≤v 0≤13 m/s 对点强化4 万有引力定律的应用10．在地球表面某高度处以一定的初速度水平抛出一个小球，测得水平射程为x ，在另一星球表面以相同的水平速度抛出该小球，需将高度降低一半才可以获得相同的水平射程．忽略一切阻力．设地球表面重力加速度为g ，该星球表面的重力加速度为g ′，则gg ′为( )A.12 B.22C. 2D ．2D 在地球表面做平抛运动的时间t ＝2hg ，水平射程为x ＝v 0t ＝v 02hg，地球表面重力加速度为g ＝2hv 2x2；在另一星球表面做平抛运动的时间t ′＝hg ′，水平射程为x ＝v 0t ′＝v 0h g ′，此星球表面的重力加速度g ′＝hv 20x 2，则gg ′＝2，选项D 正确． 11．(2017·银川二中一模)如图7所示，A 为地球赤道上的物体，B 为地球同步卫星，C 为地球表面上北纬60°的物体．已知A 、B 的质量相同．则下列关于A 、B 和C 三个物体的说法中，正确的是( )图7A ．A 物体受到的万有引力小于B 物体受到的万有引力B ．B 物体的向心加速度小于A 物体的向心加速度C ．A 、B 两物体的轨道半径的三次方与周期的二次方的比值相同D ．A 和B 线速度的比值比C 和B 线速度的比值大，且都小于1D A 、B 的质量相同，根据万有引力定律F ＝G Mm r2可知，A 受到的万有引力大于B 受到的万有引力，故A 错误；因A 与B 的角速度相同，由a ＝ω2r 可知B 的向心加速度大于A 的向心加速度，故B 错误；A 在地球表面，不是环绕地球做匀速圆周运动，因此不满足开普勒第三定律，故C 错误；根据v ＝ωr 可知，B 的线速度最大，而C 的线速度最小，因此A 与B 的线速度比值大于C 与B 的线速度比值，且均小于1，故D 正确．12．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12小时内有t 1时间该观察者看不见此卫星．已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，地球自转周期为T ，卫星的运动方向与地球转动方向相同，不考虑大气对光的折射．下列说法中正确的是( ) 【导学号：】A ．同步卫星离地高度为3gR 2T 24π2B ．同步卫星加速度小于赤道上物体向心加速度C ．t 1＝Tπsin－1R3gR 2T24π2D ．同步卫星加速度大于近地卫星的加速度C 根据GM r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，GM ＝gR 2，得同步卫星轨道半径为r ＝3gR 2T 24π2，离地高度为h ＝3gR 2T 24π2－R ，选项A 错误；根据a ＝ω2r ，由于同步卫星与赤道上物体转动角速度相同，同步卫星离地心距离较大，同步卫星加速度大于赤道上物体向心加速度，选项B 错误；根据光的直线传播规律，日落12小时内有t 1时间该观察者看不见此卫星，如图所示，同步卫星相对地心转过角度为θ＝2α，sin α＝R r ，结合θ＝ωt 1＝2πT t 1，解得t 1＝T πsin －1 R 3gR 2T 24π2，选项C 正确；根据a ＝GM r 2，同步卫星的轨道半径比近地卫星轨道半径大，故同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度，选项D 错误．。
第四章 第四节 万有引力与航天[A 级—基础练]1．(多选)(2017·江苏单科)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空．与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km 的圆轨道上飞行，则其( )A ．角速度小于地球自转角速度B ．线速度小于第一宇宙速度C ．周期小于地球自转周期D ．向心加速度小于地面的重力加速度解析：BCD [由于地球自转的角速度、周期等物理量与地球同步卫星一致，故“天舟一号”可与地球同步卫星比较．由于“天舟一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以角速度是“天舟一号”大，周期是同步卫星大，选项A 错，C 对；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，B 对；对“天舟一号”有GM 地m R 地＋h2＝ma 向，所以a 向＝GM 地R 地＋h2，而地面重力加速度g ＝GM 地R 2地，故a 向＜g ，D 选项正确．]2.“嫦娥五号”探测器将自动完成月面样品采集后从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，则地球和月球的密度之比为( )地球和月球的半径之比4 地球表面和月球表面的重力加速度之比6A.23B.32C ．4D ．6解析：B [在地球表面，重力等于万有引力，故mg ＝G Mm R 2，解得M ＝gR 2G ，故地球的密度ρ＝MV ＝gR 2G43πR3＝3g 4πGR .同理，月球的密度ρ0＝3g 04πGR 0，故地球和月球的密度之比ρρ0＝gR 0g 0R＝32，B 正确．] 3．(08786386)关于地球同步卫星，下列说法中正确的是( ) A ．卫星的轨道半径可以不同 B ．卫星的速率可以不同 C ．卫星的质量可以不同 D ．卫星的周期可以不同解析：C [地球同步卫星的运行与地球自转同步，故同步卫星的周期与地球自转周期相同，故选项D 错误；由GMm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T2r 可知，同步卫星的线速度大小相同，半径相同，但质量不一定相同，故选项A 、B 错误，C 正确．]4．(2018·福建龙岩质检)极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．如图所示，若某极地卫星从北纬30°A 点的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°B 点(图中未画出)的正上方，所用时间为6 h ．则下列说法正确的是( )A ．该卫星的加速度为9.8 m/s 2B ．该卫星的轨道高度约为36 000 kmC ．该卫星的轨道与A 、B 两点共面D ．该卫星每隔12 h 经过A 点的正上方一次解析：B [9.8 m/s 2是地面处的重力加速度，该卫星的加速度小于9.8 m/s 2，A 错误；地球在自转，所以该卫星的轨道不能与A 、B 两点共面，C 错误；卫星从北纬30°A 点的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°B ，转过一周的四分之一，用时6 h ，则可知该卫星的周期为24 h ，隔12 h ，卫星将转到南半球，不会在A 点的正上方，D 错误；根据G Mm r 2＝mr 4π2T2，可得r ＝3GMT 24π2≈36 000 km ，B 正确．]5．(08786387)(2018·湖北七市联考)人造地球卫星在绕地球做圆周运动的过程中，下列说法中正确的是 ( )A ．卫星离地球越远，角速度越大B ．同一圆轨道上运行的两颗卫星，线速度大小一定相同C ．一切卫星运行的瞬时速度都大于7.9 km/sD ．地球同步卫星可以在以地心为圆心、离地高度为固定值的一切圆轨道上运动解析：B [卫星所受的万有引力提供向心力，则G Mm r 2＝m v 2r＝mω2r ，可知r 越大，角速度越小，A 错误，B 正确.7.9 km/s 是卫星的最大环绕速度，C 错误．因为地球会自转，同步卫星只能在赤道上方的轨道上运动，D 错误．]6．(2018·河北邢台摸底)“马航MH370”客机失联后，我国已紧急调动多颗卫星(均做匀速圆周运动)，利用高分辨率对地成像、可见光拍照等技术对搜寻失联客机提供支持．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )A ．低轨卫星(环绕半径远小于地球同步卫星的环绕半径)都是相对地球运动的，其环绕速率可能大于7.9 km/sB ．地球同步卫星相对地球是静止的，可以固定对一个区域拍照C ．低轨卫星和地球同步卫星可能具有相同的速率D ．低轨卫星和地球同步卫星可能具有相同的周期解析：B [同步卫星相对地球静止，低轨卫星相对地球是运动的，根据G Mm r 2＝m v 2r得，v＝GMr，轨道半径等于地球的半径时卫星的速度为第一宇宙速度，所以低轨卫星的线速度小于第一宇宙速度，故A 错误；同步卫星的周期与地球的周期相同，相对地球静止，可以固定对一个区域拍照，故B 正确；根据G Mm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r 得，v ＝GMr，T ＝ 4π2r3GM，低轨卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则低轨卫星的速率大于同步卫星，周期小于同步卫星，故C 、D 错误．]7．(08786388)(2018·朔州模拟)两个星体A 、B 在二者间相互引力作用下，分别绕它们连线上某点做周期相等的匀速圆周运动，这样的星体称为双星系统．天文学研究发现，某双星系统在长期的演化过程中，它们的总质量、距离、周期都会发生变化．若某双星系统之间距离为R ，经过一段时间后，它们总质量变为原来的m 倍，周期变为原来的n 倍，则它们之间的距离变为( )A.3mn 2R B.3mn 2RC ．n mR D.mnR 解析：A [设m 1的轨道半径为R 1，m 2的轨道半径为R 2，两星之间的距离为R ，由题意知，二者在相互引力作用下，分别绕它们连线上某点做周期相等的匀速圆周运动，则由牛顿第二定律得，对m 1有G m 1m 2R 2＝m 14π2R 1T 2对m 2有G m 1m 2R 2＝m 24π2R 2T2，又因为R 1＋R 2＝R ，解以上各式得R＝3G m 1＋m 2T 24π2，总质量变为原来的m 倍，周期变为原来的n 倍，则此时R ′变为原来的3mn 2倍，即R ′＝3mn 2R ，故选项A 正确．]8．(多选)(2018·广东广州执信中学期中)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三个星体的质量均为M ，并设两种系统的运动周期相同，则( )A ．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B ．直线三星系统的运动周期T ＝4πRR5GMC ．三角形三星系统中星体间的距离L ＝3125RD ．三角形三星系统的线速度大小为125GMR解析：BC [直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，选项A 错误；三星系统中，对直线三星系统有G M 2R 2＋GM 22R2＝M4π2T2R ，解得T ＝4πRR5GM，选项B 正确；对三角形三星系统根据万有引力定律可得2G M 2L 2cos 30°＝M 4π2T 2·L2cos 30°，联立解得L ＝3125R ，选项C 正确；三角形三星系统的线速度大小为v ＝2πrT ＝2π⎝⎛⎭⎪⎫L 2cos 30°T，代入解得v ＝36·3125·5GMR，选项D 错误．][B 级—能力练]9．(08786389)(2018·揭阳模拟)2016年10月17日7点30分“神舟十一号”载人飞船发射升空并在离地面393 km 的圆轨道上与天宫二号交会对接，航天员景海鹏、陈冬执行任务在轨飞行30天．与“神舟十号”比较，“神舟十一号”运行轨道半径增大了50 km.以下说法正确的是( )A ．“神舟十一号”载人飞船从地面加速升空时航天员总处于失重状态B ．“神舟十一号”载人飞船做匀速圆周运动时航天员的合力为零C ．仅根据题设数据可比较“神舟十号”和“神舟十一号”飞船做圆周运动加速度大小关系D ．仅根据题设数据可分别求出“神舟十号”和“神舟十一号”飞船做圆周运动的合力大小解析：C [飞船加速升空过程，加速度方向向上，航天员处于超重状态，故A 错误；做匀速圆周运动时航天员受到的万有引力提供向心力，航天员的合力不为零，故B 错误；由a ＝G M r2和题中数据可知运动加速度大小关系，故C 正确；由于题中飞船的质量未知，无法求出合力大小，故D 错误．]10．(多选)(2018·江苏苏北四市一模)澳大利亚科学家近日宣布，在离地球约14光年的红矮星Wolf 1061周围发现了三颗行星b 、c 、d ，它们的公转周期分别是5天、18天、67天，公转轨道可视作圆，如图所示．已知引力常量为G .下列说法正确的是( )A ．可求出b 、c 的公转半径之比B ．可求出c 、d 的向心加速度之比C ．若已知c 的公转半径，可求出红矮星的质量D ．若已知c 的公转半径，可求出红矮星的密度解析：ABC [行星b 、c 的周期分别为5天、18天，均做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律R 3T 2＝k ，可以求解轨道半径之比，故A 正确；行星c 、d 的周期分别为18天、67天，均做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律R 3T2＝k ，可以求解轨道半径之比，根据万有引力提供向心力，有G Mmr 2＝ma ，解得a ＝GM r2，故可以求解c 、d 的向心加速度之比，故B 正确；已知c 的公转半径和周期，根据牛顿第二定律有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2r3T2，故可以求解出红矮星的质量，但不知道红矮星的体积，无法求解红矮星的密度，故C 正确，D 错误．]11．(08786390)土星拥有许多卫星，至目前为止所发现的卫星数已经有30多个．土卫一是土星8个大的、形状规则的卫星中最小且最靠近土星的一个，直径为392 km ，与土星平均距离约1.8×105km ，公转周期为23 h ，正好是土卫三公转周期的一半，这两个卫星的轨道近似于圆形．求：(1)土卫三的轨道半径(已知32＝1.26，结果保留两位有效数字)； (2)土星的质量(结果保留一位有效数字)．解析：(1)根据开普勒第三定律R 3T2＝k ，可知土卫一的轨道半径r 1、周期T 1与土卫三的轨道半径r 2、周期T 2满足R 31T 21＝R 32T 22，所以R 2＝3T 22T 21R 1＝(32)2×1.8×105 km ＝2.9×105km.(2)根据土卫一绕土星运动有G Mm R 21＝mR 14π2T 21，可得土星质量M ＝4π2R 31GT 21＝4×3.142× 1.8×10836.67×10－11×23×3 6002kg ＝5×1026kg.答案：(1)2.9×105km (2)5×1026kg12．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量，(引力常量为G )解析：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2.根据题意有ω1＝ω2① r 1＋r 2＝r ②根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G m 1m 2r2＝m 1ω21r 1③ Gm 1m 2r2＝m 2ω22r 2④ 联立以上各式得Gm 1＋m 2r2＝r 1ω21＋r 2ω22⑤ 根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝2πT⑥ 联立①②⑤⑥式解得m 1＋m 2＝4π2r3GT2.答案：4π2r 3GT2。
基础课2 抛体运动知识排查平抛运动1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2.性质：平抛运动是加速度为g 的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3.平抛运动的条件：(1)v 0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。
4.研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
5.基本规律(如图所示)(1)速度关系(2)位移关系(3)轨迹方程：y ＝g 2v 20x 2。
斜抛运动1.定义：将物体以初速度v 0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。
2.性质：加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3.研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动。
小题速练1.思考判断(1)以一定的初速度水平抛出，物体就做平抛运动。
()(2)做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。
()(3)做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。
()(4)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化是相同的。
()(5)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。
()答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.[人教版必修2P10“做一做”改编](多选)为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图1所示的装置进行实验。
小锤打击弹性金属片后，A 球水平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法正确的有()图1A.两球的质量应相等B.两球应同时落地C.应改变装置的高度，多次实验D.实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动解析小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动。
A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地。
实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及击打力度应该有变化，实验时要进行3～5次得出结论。
![[推荐学习]2019高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天学案](https://img.taocdn.com/s1/m/191d42120912a216147929a0.png)
第四章曲线运动万有引力与航天第1节曲线运动__运动的合成与分解(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。
(×)(2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。
(×)(3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。
(×)(4)曲线运动可能是匀变速运动。
(√)(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。
(√)(6)合运动的速度一定比分运动的速度大。
(×)(7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。
(×)(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。
(√)突破点(一) 物体做曲线运动的条件与轨迹分析1．运动轨迹的判断(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2．合力方向与速率变化的关系[题点全练]1．关于物体的受力和运动，下列说法中正确的是( )A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点曲线的切线方向C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的外力作用解析：选D 如果合力与速度方向不垂直，必然有沿速度方向的分力，速度大小一定改变，故A错误；物体做曲线运动时，某点的速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向，而不是加速度方向，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，比如匀速圆周运动，故C错误；物体做曲线运动的条件是一定受到与速度不在同一直线上的外力作用，故D正确。
2．[多选](2018·南京调研)如图所示，甲、乙两运动物体在t1、t2、t3时刻的速度矢量分别为v1、v2、v3和v1′、v2′、v3′，下列说法中正确的是( )A．甲做的不可能是直线运动B．乙做的可能是直线运动C．甲可能做匀变速运动D．乙受到的合力不可能是恒力解析：选ACD 甲、乙的速度方向在变化，所以甲、乙不可能做直线运动，故A正确，B 错误；甲的速度变化量的方向不变，知加速度的方向不变，则甲的加速度可能不变，甲可能作匀变速运动，选项C正确；乙的速度变化量方向在改变，知加速度的方向改变，所以乙的合力不可能是恒力，故D正确。
（全国通用版）2019版高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天高效演练创新预测4.2 平抛运动的规律及应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天高效演练创新预测4.2 平抛运动的规律及应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.2 平抛运动的规律及应用高效演练·创新预测1.（多选)关于平抛运动的性质，下列说法正确的是（）A。
加速度不断变化的曲线运动B。
匀变速曲线运动C.匀速率曲线运动D.在任意相等的时间内速度变化量都相同的曲线运动【解析】选B、D.平抛运动的加速度为重力加速度,它是恒量,故平抛运动为匀变速曲线运动，A 错,B对。
平抛运动的速率逐渐增大,C错.任意相等时间Δt内,平抛运动的速度变化量Δv=gΔt，由此式可知，只要Δt相等,Δv就相同,D对。
2。
（多选)在距离水平地面高为h处，将一物体以初速度v0水平抛出(不计空气阻力)，落地时速度为v1,竖直分速度为v y,落地点与抛出点的水平距离为s,则能用来计算该物体在空中运动时间的式子有（）A. B. C. D.【解析】选A、B、C。
落地时竖直分速度v y==gt，解得运动的时间t=,故A正确。
根据h=gt2得t=，故B正确。
在竖直方向上,根据平均速度的推论知，h=t,则t=,故C正确。
在水平方向上有s=v0t，则t=,故D错误。
3.(多选)(2018·株洲模拟)将一小球以水平速度v 0=10 m/s从O点向右抛出，经 s小球恰好垂直落到斜面上的A点,不计空气阻力，g取10m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点,如图所示,以下判断正确的是（）A.斜面的倾角是30°B。
2019年高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天高考专项突破（五）天体运动题课时作业一、单项选择题1.(2017·山西元月调研)国内首台新型墙壁清洁机器人“蜘蛛侠”是由青岛大学学生自主设计研发的，“蜘蛛侠”利用8只“爪子”上的吸盘吸附在接触面上，通过“爪子”交替伸缩，就能在墙壁和玻璃上自由移动．如图所示，“蜘蛛侠”在竖直玻璃墙面上由A点沿直线匀加速“爬行”到右上方B点，在这一过程中，关于“蜘蛛侠”在竖直面内的受力分析可能正确的是( )解析：蜘蛛侠由A到B做匀加速直线运动，故F合外力方向沿AB方向，由A指向B，结合各选项图分析知C项正确．答案：C2．(2017·广东佛山模拟)明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画(如图)，记录了我们祖先的劳动智慧．若A、B、C三齿轮半径的大小关系如图，则( )A．齿轮A的角速度比C的大B．齿轮A与B角速度大小相等C．齿轮B与C边缘的线速度大小相等D．齿轮A边缘的线速度比C边缘的大解析：齿轮A的边缘与齿轮B的边缘接触，B与C同轴转动，故v A＝v B，ωB＝ωC.根据v＝ωr可知ωB＞ωA，ωA＜ωC，v B＞v C，v A＞v C，故D正确，A、B、C错误．答案：D3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110B ．1C ．5D ．10解析：研究行星绕某一恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有GMm r 2＝m 4π2T2r ，解得M ＝4π2r3GT2.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，所以该中心恒星与太阳的质量比约为120343652＝1，B 正确．答案：B4．若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7.已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R ，由此可知，该行星的半径约为( )A.12RB.72R C ．2RD.72R 解析：平抛运动物体在水平方向上做匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12gt 2，所以x ＝v 02h g .两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以g 行g 地＝74，根据公式G Mm R 2＝mg 可得g ＝GM R 2，故g 行g 地＝M 行R 行2M 地R 地2＝74，且R 地＝R ，解得R 行＝2R ，C 正确． 答案：C5．(2017·辽宁抚顺一中模拟)横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，如图所示，固定在水平面上，它们的竖直边长都是底边长的一半，小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其中有三次的落点分别是a 、b 、c .下列判断正确的是( )A ．图中三次平抛比较，落在a 点时小球飞行时间最短B ．图中三次平抛比较，落在c 点时小球飞行过程速度变化最大C ．图中三次平抛比较，落在c 点时小球飞行过程速度变化最快D ．无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直解析：小球做平抛运动，运动的时间是由竖直方向上的位移决定的，由图可知，落在a 点时下落的高度最大，所以落在a 点时的运动时间最长，A 错误；速度变化的快慢是指物体运动的加速度的大小，三次小球都是做平抛运动，加速度都是重力加速度，所以速度变化的快慢是相同的，C 错误；三次小球都是做平抛运动，水平方向的速度不变的，只有竖直方向的速度在变化，由于落在a 点时的运动时间最长，所以落在a 点时速度的变化最大，B 错误；首先落在a 点时速度不可能与斜面垂直，然后看落在b 、c 点时，竖直速度是gt ，水平速度是v ，斜面倾夹角是θ＝arctan 0.5，要使合速度垂直斜面，把两个速度合成后，需要vgt＝tan θ，即v ＝0.5gt ，t 时间内竖直位移为0.5gt 2，水平位移为vt ＝(0.5gt )·t ＝0.5gt 2，即若要满足这个关系，需要水平位移和竖直位移都是一样的，显然在图中b 、c 点不存在此种情况，因为落在b 、c 点时水平位移必定大于竖直位移，D 正确．答案：D6.(2017·陕西商洛模拟)如图，竖直平面内有一段圆弧MN ，小球从圆心O 处水平抛出．若初速度为v a ，将落在圆弧上的a 点；若初速度为v b ，将落在圆弧上的b 点．已知Oa 、Ob 与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则( )A.v a v b ＝sin αsin βB.v a v b ＝cos βcos αC.v a v b ＝cos βcos α·sin αsin βD.v a v b ＝sin αsin β·cos βcos α解析：小球水平抛出，其做平抛运动，由平抛运动规律求解． 若落到a 点，则有x a ＝v a t a R sin α＝v a t a h a ＝12gt a 2 R cos α＝12gt a 2得v a ＝gR2cos α·sin α若落到b 点，则有x b ＝v b t b R sin β＝v b t b h b ＝12gt b 2 R cos β＝12gt b 2得v b ＝gR2 cos β·sin β 则v a v b ＝sin αsin β·cos βcos α故D 正确．答案：D 二、多项选择题7.(2017·山东师大附中模拟)如图所示，在一次救灾工作中，一架沿水平直线飞行的直升机A ，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B 在直升机A 和伤员B 以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A 、B 之间的距离以l ＝H －t 2(式中H 为直升机A 离地面的高度，各物理量的单位均为国际单位制单位)规律变化，则在这段时间内( )A ．悬索的拉力等于伤员的重力B ．伤员处于超重状态C ．在地面上看，伤员做加速度大小、方向均不变的曲线运动D ．从直升机看，伤员做速度大小增加的直线运动解析：根据公式l ＝H －t 2＝H －12at 2可得12a ＝1 m/s 2，故a ＝2 m/s 2，即在竖直方向上存在向上的加速度，所以悬索的拉力大于伤员的重力，A 错误；加速度向上，则伤员处于超重状态，B 正确；在地面上看，伤员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，故合运动为加速度恒定的曲线运动，C 正确；从直升机上看，两者在水平方向上相对静止，在竖直方向上伤员做匀加速直线运动，故D 正确．答案：BCD8.(2017·河北石家庄模拟)如图所示，半径分别为R 、2R 的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑地一起转动．质量为m 的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R 处，质量为2m 的小物块乙放置在小圆盘的边缘处．它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度ω转动时，两物块均相对圆盘静止，下列说法正确的是( )A ．小物块甲受到的摩擦力大小为14m ω2RB ．两物块的线速度大小相等C ．在角速度ω逐渐增大的过程中，物块甲先滑动D ．在角速度ω逐渐减小的过程中，摩擦力对两物块做负功解析：由题知两个圆盘边缘的线速度大小相等，则由v ＝ωr ，可知两圆盘角速度大小关系为ω甲∶ω乙＝R ∶2R ＝1∶2，又v 甲＝ω甲 R ，v 乙＝ω乙 R ，则v 甲∶v 乙＝1∶2，B 错．因两物块随盘转动时，摩擦力提供向心力，则甲受到的摩擦力大小为F f 甲＝F向甲＝m (ω2)2R ＝14m ω2R ，乙受到的摩擦力大小为F f 乙＝F 向乙＝m ω2R ，在角速度ω逐渐增大的过程中，甲、乙两物块受到的静摩擦力逐渐增大，又知F fmax 甲＝μmg ，F fmax 乙＝2μmg ，则乙先滑动，A 正确，C 错误．若角速度逐渐减小，则由v ＝ωr 可知两物块的线速度也逐渐减小，动能减小，由功能关系知摩擦力做负功，故D 对．答案：AD9．(2015·高考广东卷)在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( )A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B ．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大解析：发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动，由GMm R 2＝mv 2R ，解得v ＝GMR，M 为星球的质量，要使探测器脱离星球的吸引，则发射速度为v 脱＝2v ＝2GMR，该速度与探测器的质量无关，由此式可知，分别在地球和火星表面发射时的脱离速度不同，选项A 、C 错误；探测器受到的引力F ＝GMm R 2，在两星球表面的引力之比F 地F 火＝M 地M 火·R 火2R 地2＝52，选项B 正确；探测器脱离星球的过程中，万有引力做负功，势能逐渐增大，选项D 正确．答案：BD10.(2015·高考天津卷)P 1、P 2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s 1、s 2做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a ，横坐标表示物体到行星中心的距离r 的平方，两条曲线分别表示P 1、P 2周围的a 与r 2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则( )A ．P 1的平均密度比P 2的大B ．P 1的“第一宇宙速度”比P 2的小C ．s 1的向心加速度比s 2的大D ．s 1的公转周期比s 2的大解析：由图象左端点的横坐标相同可知，两行星的球半径R 相同，因ρ＝M V ，V ＝43πR 3，GMm R 2＝ma ，联立解得ρ＝3a4πGR，因a 1＞a 2，所以P 1的平均密度比P 2的大，选项A 正确；第一宇宙速度v ＝aR ，因a 1＞a 2，所以P 1的“第一宇宙速度”比P 2的大，选项B 错误；利用“黄金代换式”GM ＝aR 2，解得卫星的向心加速度a ′＝GM R 2＝ar 2R ＋h2，卫星离地面的高度h相同，球体半径R 相同，因a 1＞a 2，所以s 1的向心加速度大于s 2的向心加速度，选项C 正确；根据万有引力定律得GMmR ＋h2＝m (2πT)2(R ＋h )，又GM ＝aR 2，解得T ＝2πR ＋h3aR 2，因a 1＞a 2，所以s 1的公转周期小于s 2的公转周期，选项D 错误．答案：AC 三、非选择题11．如图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°、表面光滑的斜面体，物体A 以v 1＝6 m/s 的初速度沿斜面上滑，同时在物体A 的正上方，有一物体B 以某一初速度水平抛出，如果当A 上滑到最高点时恰好被B 物体击中．(A 、B 均可看做质点，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2)求：(1)物体A 上滑到最高点所用的时间t ； (2)物体B 抛出时的初速度v 2的大小； (3)物体A 、B 间初始位置的高度差h .解析：(1)物体A 上滑的过程中，由牛顿第二定律得：mg sin θ＝ma代入数据得：a ＝6 m/s 2经过t 时间B 物体击中A 物体，由运动学公式有： 0＝v 1－at ，代入数据得：t ＝1 s.(2)物体B 的水平位移：x ＝12v 1t cos 37°＝2.4 m平抛初速度：v 2＝xt＝2.4 m/s.(3)物体A 、B 间初始位置的高度差：h ＝12v 1t sin 37°＋12gt 2＝6.8 m.答案：(1)1 s (2)2.4 m/s (3)6.8 m12．“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材．做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上．现将太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A 、B 、C 、D 位置时球与板间无相对运动趋势．A 为圆周的最高点，C 为最低点，B 、D 与圆心O 等高．设球受到的重力为1 N ，不计板的重力．求：(1)球在C 处受到板的弹力比在A 处受到的弹力大多少？(2)设在A 处时板对球的弹力为F ，当球运动到B 、D 位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，请作出tan θF 的关系图象．解析：(1)设球运动的线速度为v ，半径为R ，则在A 处时F ＋mg ＝m v 2R ①在C 处时F ′－mg ＝m v 2R②由①②式得ΔF ＝F ′－F ＝2mg ＝2 N.(2)在A 处时板对球的弹力为F ，球做匀速圆周运动的向心力F 向＝F ＋mg ，在B 处不受摩擦力作用，受力分析，则tan θ＝F 向mg ＝F ＋mg mg ＝F mg＋1， 其中mg ＝1 N ，故tan θ＝F ＋1 作出的tan θF 的关系图象如图．答案：(1)2 N (2)图见解析。
