课时跟踪检测(十七) 定积分与微积分基本定理

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课时跟踪检测(十六) 定积分与微积分基本定理（二）重点高中适用作业Ａ级——保分题目巧做快做1。

-⎰22ππ（1＋co ｓ x )d x 等于( )Ａ．π B ．2C ．π－２ ﻩD ．π＋２解析:选Ｄ 因为(x ＋sin x )′＝1+cos x , 所以-⎰22ππ (1＋cos x )d x =(x ＋sin x ） 错误!＝＼f(π，2）+sin 错误!-错误!＝π+2.2.若错误! (x 2＋m ｘ）d x =0,则实数m 的值为( )A .－＼f （１,３) ﻩＢ.-错误! Ｃ.-１ ﻩD ．-2解析:选B 由题意知错误! （ｘ2+mx )d x ＝错误!错误!=错误!+错误!＝0,解得m ＝-错误!. ３．若f (x )＝错误!则错误!f (x ）d ｘ＝( )Ａ．0 B.１C ．２ ﻩ D.3解析：选Ｄ 错误!ｆ(x )d ｘ=错误!(x 3＋ｓin x ）d x ＋错误!３d x ＝0+３ｘ错误!＝6－3＝3。

4。

若ｆ(x )＝x ２＋2错误!f (x )ｄｘ,则错误!f （x ）d ｘ＝( )A .-1B ．－＼f （1,3)C ．错误!Ｄ.1解析：选B 因为f (x ）=x 2+２错误!f (x )d x ,所以错误!f (x )ｄx =错误!错误! ＝＼f(1，3)＋2错误!f (x )d ｘ,所以错误!f （x )d ｘ＝－错误!. 5.已知（x ln x ）′=ln x +1,则错误!ｌn x d x ＝( )A ．１ B.ｅ C ．e －1D.e ＋1解析:选Ａ 由(x l ｎ ｘ)′=ln x ＋1,联想到(x ln x -x ）′＝(ln x ＋１)-１=l ｎ x ,于是错误!ln x ｄｘ=（x ln x －x ） 错误!=(eln e －e)-(1×lｎ 1-1）＝1。

A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．与定积分∫3π1－cos x d x 相等的是( )． A.2∫3π0sin x 2d x B.2∫3π0⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2d x C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π0sin x 2d x D ．以上结论都不对 解析 ∵1－cos x ＝2sin 2x2，∴∫3π1－cos x d x ＝∫3π02|sin x 2|d x ＝2∫3π|sin x 2|d x . 答案 B2．(2012·芜湖一中月考)⎠⎛0e 1＋ln xx d x ＝( )．A ．ln x ＋12ln 2xB.2e －1C.32D.12解析⎪⎪⎪⎪⎠⎛0e1＋ln x x d x ＝(ln x ＋ln 2x 2)e 1＝32. 答案 C3．(2012·长春质检)以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )． A.1603 m B.803 m C.403 mD.203 m解析 v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，⎠⎛02(40－10t 2)d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40×2－103×8＝1603(m)．答案 A4．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )． A. 3 J B.233 J C.433 JD ．2 3 J解析 由于F (x )与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30°，W ＝⎠⎛12(5－x 2)·cos 30°d x＝32⎠⎛12(5－x 2)d x＝32⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫5x －13x 321 ＝32×83＝433(J)． 答案 C5．(2011·全国新课标)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )．A.103 B ．4 C.163D ．6解析 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 40＝163.答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5 m/s 的速度自由落下，则下落后第二个4 s 内经过的路程是__________． 解析⎪⎪⎪⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )84 ＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26 ＝261.2(m)． 答案 261.2 m7．(2012·榆林模拟)曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为____________． 答案 32－ln 28.⎠⎛3－3(9－x 2－x 3)d x ＝________. 答案 9π2三、解答题(共23分)9．(11分)如图在区域Ω＝{(x ，y )|－2≤x ≤2,0≤y ≤4}中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数．解 区域Ω的面积为S 1＝16. 图中阴影部分的面积S 2＝S 1－⎪⎪⎪⎠⎛2－2x 2d x ＝16－13x 32－2＝323.设落在阴影部分的豆子数为m ， 由已知条件m 900＝S 2S 1，即m ＝900S 2S 1＝600.因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒．10．(12分)如图所示，直线y ＝k x 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16. 又⎩⎨⎧y ＝x －x 2，y ＝k x ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝k x 两交点的横坐标为 x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝∫1－k 0(x －x 2－k x )d x ＝⎝ ⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16， 所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·洛阳模拟)已知a ＝∑i ＝1n1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2，n ∈N *，b ＝⎠⎛01x 2d x ，则a ，b 的大小关系是( )． A ．a >b B ．a ＝b C ．a <b D ．不确定答案 A 2．下列积分中①⎠⎛1e 1x d x ；②⎠⎛2－2x d x ；③⎠⎛024－x 2πd x ；④∫π20cos 2x2(cos x －sin x )d x ，积分值等于1的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①⎪⎪⎪⎠⎛1e 1x d x ＝ln x e1＝1， ②⎪⎪⎪⎠⎛2－2x d x ＝12x 22－2＝0，③⎠⎛024－x 2πd x ＝1π(14π22)＝1，④∫π20cos 2x2(cos x －sin x )d x ＝12∫π20(cos x ＋sin x )d x＝12(sin x －cos)|0π2＝1.答案 C二、填空题(每小题4分，共8分) 3．(2012·福州模拟)⎠⎛12|3－2x |d x ＝________.解析∵|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤32，2x －3，x ＞32，∴⎠⎛12|3－2x |d x ＝∫321(3－2x )d x ＋⎠⎛232(2x －3)d x＝ |(3x －x 2)321＋(x 2－3x )|232＝12.答案 124．(2012·新余模拟)抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析 如图所示，因为y ′＝－2x ＋4，y ′|x ＝1＝2，y ′|x ＝3＝－2，两切线方程为y ＝2(x －1)和y ＝－2(x －3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y ＝－2(x －3)得x ＝2.所以S ＝⎠⎛12[2(x －1)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎛23[－2(x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x＝⎠⎛12(x 2－2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(x 2－6x ＋9)d x ＝ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋x 21＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x 32＝23. 答案 23三、解答题(共22分)5．(10分)曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解 设切点坐标为(x 0，y 0) y ′＝6x 2－6x －2，则y ′|x ＝x 0＝6x 20－6x 0－2，切线方程为y ＝(6x 20－6x 0－2)⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则y 0＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12，即2x 30－3x 20－2x 0＋1＝(6x 20－6x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－12.整理得x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0，解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ＋1，y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2.由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y ＝－2x ＋1的图象可知S ＝∫320[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x＝∫320(－2x 3＋3x 2)d x ＝2732.6．(12分)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如图阴影部分)，求其面积的最小值．解 S 1＝t 3－⎠⎛0t x 2d x ＝t 3－13t 3＝23t 3，S 2＝⎠⎛t 1x 2d x －(1－t )t 2＝13－13t 3－(1－t )t 2，＝23t 3－t 2＋13，S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13，t ∈(0,1)．可由导数求得当t ＝12时，S 1＋S 2取到最小值，最小值为14.。

定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个
面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f （x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．
例1：定积分＝
解：
∫12|3﹣2x|dx
＝+
＝（3x﹣x2）|+（x2﹣3x）|
＝
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段
对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故＝＝．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．。

课时分层训练(十七) 定积分与微积分基本定理(对应学生用书第230页)A 组 基础达标一、选择题1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1C [⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x ) ⎪⎪10＝1＋e 1－1＝e.故选C.] 2．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D.3D [由题意知S ＝⎠⎜⎛-π3π3cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π3-π3＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3.] 3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，则电视塔高为( )【导学号：79140093】A.12g B ．g C.32gD ．2gC [由题意知电视塔高为⎠⎛12g t d t ＝12g t 2⎪⎪⎪21＝2g －12g ＝32g.]4．定积分⎠⎛-22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛-22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛-20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪2＝8.] 5．(2018·合肥一检)在如图2-12-1所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )图2-12-1A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854B [图中阴影部分的面积为⎠⎛01(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝23，又正方形的面积为1，则10 000个点落入阴影部分个数估计为10 000×23≈6 667，故选B .] 二、填空题6．(2018·长沙模拟(二))若⎠⎛-aa (x 2＋sin x )d x ＝18，则a ＝________.3 [⎠⎛-aa (x 2＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ⎪⎪⎪a-a ＝23a 3＝18，解得a ＝3.]7．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10(单位：m )，已知F (x )＝x 2＋1(单位：N )且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J .342 [变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J)．]8．(2017·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x ，0≤x ≤1的图像与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________.【导学号：79140094】e －12 [由题意知所求面积为⎠⎛－10(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪10＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(e －1)＝e －12.]三、解答题9．计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ；(2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ；(3)⎠⎜⎛π22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x . [解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x ＝π2；(3)原式＝⎠⎜⎛0π2(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－(－cos 0＋sin 0)＝2.10．求曲线y ＝x ，y ＝2－x，y ＝－13x 所围成图形的面积．[解] 如图所示，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A(1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B(3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪3＝23＋16＋43＝136.B 组 能力提升11．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13D ．1B [由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2m x ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.] 12．(2017·河南百校联盟4月模拟)已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x ＝( ) A.13 B ．－13 C.23D ．－23C [由1sin φ＋1cos φ＝22⇒sin φ＋cos φ＝22·sin φ·cos φ⇒2s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝2sin 2φ，因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π4，所以tan φ＝1，故⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x＝⎠⎛－11(x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 2⎪⎪⎪1-1＝23.]13．设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为______．33 [⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋c x ⎪⎪⎪0-1＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33.又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33.]14．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积.【导学号：79140095】[解] ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，∵f ′(x )＝3x 2－2x ＋1， 则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图．由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A(2,4)， ∴y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43.。

课时跟踪检测（十六） 定积分与微积分基本定理(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.-⎰22ππ(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析：选D 因为(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，所以-⎰22ππ (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x ) ⎪⎪⎪π2-π2＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 2．若⎠⎛01 (x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B 由题意知⎠⎛01 (x 2＋mx )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋mx 22⎠⎛01＝13＋m 2＝0，解得m ＝－23. 3．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，3，1＜x ≤2，则⎠⎛-12f (x )d x ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-11(x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛123d x ＝0＋3x ⎪⎪⎪21＝6－3＝3.4.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C .13D ．1解析：选B 因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )dx ⎪⎪⎪1＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 5．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1解析：选A 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1eln x d x ＝(x ln x －x ) ⎪⎪⎪e1＝(eln e －e)－(1×ln 1－1)＝1.6．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是________． 解析：⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x ＝x 2⎪⎪⎪a 1＋ln x ⎪⎪⎪a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，ln a ＝ln 2，解得a ＝2.答案：27．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m /s )作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .解析：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m )． 答案：1328.如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是________．解析：设图中阴影部分的面积为S(t )，则S(t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S(t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t )min ＝S ⎝⎛⎭⎫12＝14. 答案：149．计算下列定积分： (1) ⎠⎛01 (－x 2＋2x )d x ；(2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (3)⎰2π1－sin 2xd x .解：(1) ⎠⎛01 (－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01 (－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x＝－13x 3⎪⎪⎪10＋x 2⎪⎪⎪1＝－13＋1＝23.(2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (3)⎰2π1－sin 2x d x ＝⎰2π|sin x －cos x |d x＝⎰4π (cos x －sin x )d x ＋⎰24ππ (sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.10.已知f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，试求⎠⎛03f (x )d x 的值．解：∵f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝－4， ∴f (x )＝x 2－8x ＋3.∴⎠⎛03f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x ⎪⎪⎪30＝－18. B 级——拔高题目稳做准做1.若a ＝⎠⎛01x d x ，b ＝⎠⎛011－x d x ，c ＝⎠⎛011－x 2d x ，则将a ，b ，c 从小到大排列的顺序为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b解析：选A 根据定积分的几何意义可知a ＝⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01 (1－x )d x .当0<x <1时，1－x <1－x <1－x 2，所以在区间(0,1)上三个函数y ＝1－x ，y ＝1－x ，y ＝1－x 2的图象从低到高，在点x ＝0，x ＝1处三个函数的图象重合．根据定积分的几何意义得a <b <c .2.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A . ⎠⎛02|x 2－1|d xB.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x C. ⎠⎛02 (x 2－1)d xD. ⎠⎛01 (x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选A 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .3.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)得抛物线的函数表达式为y ＝225x 2－2，抛物线与x轴围成的面积S 1＝⎠⎛-55⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫2x －275x 3⎪⎪⎪5-5＝403，梯形面积S 2＝(6＋10)×22＝16.最大流量比为S 2∶S 1＝1.2.答案：1.24．设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值，则m (b －a )≤⎠⎛ab f (x )d x ≤M (b－a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x 2d x 的取值范围是________．解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4， 所以116≤2－x 2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x 2d x ≤1×[2－(－1)]，即316≤⎠⎛-122－x 2d x ≤3. 答案：⎣⎡⎦⎤316，35．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，所以f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋2－a )d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪10 ＝2－23a ＝－2.所以a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )m ax ＝2.6.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2，4)，O (0,0)．所以y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02 (2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43.。

课时分层训练(十七) 定积分与微积分基本定理A 组 基础达标一、选择题1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1C [⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x ) ⎪⎪⎪10＝1＋e 1－1＝e.故选C.]2．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1C.32D.3D [由题意知S ＝⎠⎜⎜⎛-π3π3cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π3-π3＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝3.]3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，则电视塔高为( )【导学号：79140093】A.12g B ．g C.32g D ．2gC [由题意知电视塔高为⎠⎛12g t d t ＝12g t 2⎪⎪⎪21＝2g －12g ＝32g.]4．定积分⎠⎛-22|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛-22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛-20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪2＝8.] 5．(·合肥一检)在如图2­12­1所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )图2­12­1A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854B [图中阴影部分的面积为⎠⎛01(1－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝23，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10 000×23≈6 667，故选B .]二、填空题6．(·长沙模拟(二))若⎠⎛-aa (x 2＋sin x )d x ＝18，则a ＝________.3 [⎠⎛-aa(x 2＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－cos x ⎪⎪⎪a-a ＝23a 3＝18，解得a ＝3.]7．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10(单位：m )，已知F (x )＝x 2＋1(单位：N )且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J . 342 [变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J)．] 8．(·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x，0≤x ≤1的图像与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________.【导学号：79140094】e －12 [由题意知所求面积为⎠⎛－10(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪0-1＋e x ⎪⎪⎪10＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(e －1)＝e －12.]三、解答题9．计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)⎠⎜⎛0π22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x .[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2；(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x ＝π2；(3)原式＝⎠⎜⎛0π2(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－(－cos 0＋sin 0)＝2.10．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．[解] 如图所示，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A(1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B(3，－1)．故所求面积S ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2⎪⎪⎪3＝23＋16＋43＝136. B 组 能力提升11．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C ．13D ．1B [由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2m x ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m＝－13.] 12．(·河南百校联盟4月模拟)已知1sin φ＋1cos φ＝22，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x ＝( ) A.13 B ．－13C.23 D ．－23C [由1sin φ＋1cos φ＝22⇒sin φ＋cos φ＝22·sin φ·cos φ⇒2s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝2sin 2φ，因为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π4，所以tan φ＝1，故⎠⎛－1tan φ(x 2－2x )d x ＝⎠⎛－11(x 2－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x33－x 2⎪⎪⎪1-1＝23.]13．设函数f (x )＝ax 2＋c(a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为______．33 [⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋c x ⎪⎪⎪0-1＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33.又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33.]14．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积.【导学号：79140095】[解] ∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，∵f ′(x )＝3x 2－2x ＋1， 则k ＝f ′(1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A(2,4)，∴y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43.。

2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十六）定积分与微积分基本定理 理（普通高中）A 级——基础小题练熟练快1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D ⎠⎛01 (3x ＋e x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝e ＋12.2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，3，1＜x ≤2，则⎠⎛-12f (x )d x ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-11(x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛123d x ＝0＋3x ⎪⎪⎪21＝6－3＝3.3.-⎰22ππ(1＋cos x )d x ＝( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析：选D 因为(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，所以-⎰22ππ(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x ) ⎪⎪⎪π2-π2＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 4．若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B 由题意知⎠⎛01 (x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22⎪⎪⎪10＝13＋m2＝0，解得m ＝－23.5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a3＝1，所以a ＝1.6．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：选D 因为原函数f (x )为偶函数，即在y 轴两侧的图象对称，所以对应的面积相等，即⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.7．若函数f (x )＝x ＋1x，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x ⎪⎪⎪e1＝12e 2＋12.答案：12e 2＋128．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是________．解析：⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x＝x 2⎪⎪⎪a 1＋ln x ⎪⎪⎪a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，ln a ＝ln 2，解得a ＝2.答案：29．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m /s )作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m .解析：s ＝⎠⎛12 (3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m )． 答案：13210．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是________．解析：设图中阴影部分的面积为S(t )，则S(t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14. 答案：14B 级——中档题目练通抓牢1．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D. 3解析：选D 由题意知封闭图形的面积S ＝-⎰33ππcos x d x ＝sin x ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 2．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1解析：选A 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x ) ⎪⎪⎪e1＝(eln e －e)－(1×ln 1－1)＝1.3．(2018·湘中名校联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，，x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A .π2＋43B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12×π×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A .4．若f (x )＝x ＋2⎠⎛01f (t )d t ，则f (x )＝________.解析：记a ＝⎠⎛01f (t )d t ，则f (x )＝x ＋2a ，故⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (x ＋2a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2ax ⎪⎪⎪10＝12＋2a ，所以a ＝12＋2a ，a ＝－12，故f (x )＝x －1.答案：x －15．由直线y ＝x ＋3和曲线y ＝x 2－6x ＋13围成的封闭图形的面积为________． 解析：由直线y ＝x ＋3和曲线y ＝x 2－6x ＋13围成的图形如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－6x ＋13，得x 1＝2，x 2＝5，所以所求面积为S ＝⎠⎛25[(x ＋3)－(x 2－6x ＋13)]d x ＝⎠⎛25 (－x 2＋7x －10)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋72x 2－10x ⎪⎪⎪51＝92. 答案：926．计算下列定积分：(1) ⎠⎛01 (－x 2＋2x )d x ；(2) ⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ；(3)⎰2π1－sin 2x d x .解：(1) ⎠⎛01 (－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01 (－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x＝－13x 3| 10＋x 2| 10＝－13＋1＝23.(2) ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2xd x ＋⎠⎛121xd x＝12e 2x | 21＋ln x | 21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (3)⎰2π1－sin 2x d x ＝⎰2π|sin x －cos x |d x＝⎰4π (cos x －sin x )d x ＋⎰24ππ (sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x ) ⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.7．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b. 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，所以f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋2－a )d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋－a x ⎪⎪⎪15＝2－23a ＝－2.所以a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)因为f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.C 级——重难题目自主选做1．(2018·长沙模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛01sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b<1C ．a <bD ．a ＋b ＝1解析：选A ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x ) ⎪⎪⎪10＝1－cos 1.∵s in 1＋cos 1＞1，∴sin 1＞1－cos 1，即a ＞b .故选A .2．设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值，则m (b －a )≤⎠⎛ab f (x )d x ≤M(b－a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x2d x 的取值范围是________．解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4， 所以116≤2－x 2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x2d x ≤1×[2－(－1)]，即316≤⎠⎛-122－x2d x ≤3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，3。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题17定积分与微积分基本定理最新考纲1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.基础知识融会贯通1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． 2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.重点难点突破【题型一】定积分的计算【典型例题】函数为奇函数，则（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由于函数为奇函数，则，得a＝1，因此，．故选：D．【再练一题】计算（cos x+e x）dx为（）A．e B．e 2 C．e D．e【解答】解：（cos x+e x）dx＝（sin x+e x）（）﹣（sin0+e0）＝11．故选：A．思维升华运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．【题型二】定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分【典型例题】（π）dx＝．【解答】解：依题意，（π）dx（）dx（﹣π）dx（）dx﹣πx|（）dx﹣4π．而（）dx的几何意义为圆x2+y2＝4（y≥0）在x轴上方的面积，所以（）dx﹣4π4π＝﹣2π．故填：﹣2π．【再练一题】，则T的值为（）A．B．C．﹣1 D．1【解答】解：根据题意，M dx的几何意义为半径为1的圆的的面积，则M dx，则T sin2xdx cos2x；故选：A．命题点2求平面图形的面积【典型例题】由直线与曲线y＝sin x所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：作出对应的图象，则封闭区域的面积S＝﹣∫sin xdx+∫sin xdx﹣∫sin xdx＝﹣（﹣cos x）|（﹣cos x）|（﹣cos x）|＝cos0﹣cos（）﹣cosπ+cos0+cos cosπ＝11+11＝4，故选：B．【再练一题】如图是函数y＝x与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得两函数的交点为（0，0），（1，1）．所以阴影部分的面积S（）|．故选：A．思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．【题型三】定积分在物理中的应用【典型例题】汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S（3t+1）dt＝（t） 5.5；故选：C．【再练一题】一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx∫12（5﹣x2）dx（5x x3）|12故选：C ．思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .基础知识训练1．【吉林省白城市通榆县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考（期中)】已知函数，则（ ）A ．16B ．8C ．2cos2D ．2cos2-【答案】A 【解析】，故选：A2．【河南省焦作市2018-2019学年高二下学期期中考试】已知图中的三条曲线所对应的函数分别为，2y x =，314y x =，则阴影部分的面积为（ ）A ．1ln2+B ．ln 2C ．1D ．2【答案】B 【解析】由1y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1x =；由14y xx y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2x =. 阴影部分的面积.故选：B3．【河南省豫南六市2018-2019学年高二下学期期中测试】已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数，若()f x 在xa 处取得极大值，则a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．10a -<<C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <【答案】C 【解析】，即1m =则当0a =或1a =时，()f x 不存在极值，不合题意 当0a <时或时，()0f x '<，此时()f x 单调递减时，()0f x '>，此时()f x 单调递增则()f x 在x a 处取得极大值，满足题意当01a <<时或时，()0f x '>，此时()f x 单调递增时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在x a 处取得极小值，不满足题意当1a >时或()1,x ∈-+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增 时，()0f x '<，此时()f x 单调递减则()f x 在xa 处取得极大值，满足题意综上所述：1a >或0a <4．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】下列积分值最大的是（ ） A ．B ．C ．D ．11edx x【答案】 A 【解析】 A ：，函数y=2sin x x 为奇函数，故，，B:，C:表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的14，故，D:，通过比较可知选项A 的积分值最大， 故选：A5．【福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二下学期期中考试】由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( )A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22【答案】B 【解析】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =， 所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 ，故选B ．6．【湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图所示,在边长为1的正方形OABC 内任取一点P,用M 表示事件“点P 恰好取自曲线2y x =与直线1y =及y 轴所围成的曲边梯形内”,N 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”,则P(N | M)等于( )A ．14B ．15C ．16D ．71 【答案】A 【解析】根据条件概率的公式得到()P MN 表示落在阴影部分的概率，故答案为：A.7．【福建省福州市2018-2019学年高二下学期期中联考】设1d a x x =⎰，，12d c x x =⎰，则,,a b c 的大小关系A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 ∵，由定积分的几何意义可知，表示单位圆在第一象限部分与x 轴、y 轴所围成的封闭曲线的面积，等于4π， ，∴b a c >>，故选C.8．【广东省佛山市第二中学2018-2019学年第二学期第三次月考高二级】已知，则22()d f x x -⎰的值为（ ）A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．不确定【答案】A 【解析】由题意，.故选A9．【云南省昭通市云天化中学2018-2019学年高二下学期5月月考】射线与曲线3y x =所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】将射线方程与曲线方程联立34y xy x=⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩ 即射线与曲线3y x =有两个公共点所围成的图形的面积为本题正确选项：B10．【吉林省长春市九台区师范高中、实验高中2018-2019学年高二下学期期中考试】（ ）A ．πB ．2πC ．2D ．1【答案】A 【解析】 因为定积分表示直线与曲线24y x =-围成的图像面积，又24y x =-表示圆224x y +=的一半，其中0y ≥；因此定积分表示圆224x y +=的14，其中，故.故选A11．【福建省厦门第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知区域，区域，在Ω内随机投掷一点M，则点M落在区域A内的概率是（）A．1112e⎛⎫-⎪⎝⎭B．1114e⎛⎫-⎪⎝⎭C．1118e⎛⎫-⎪⎝⎭D．11e-【答案】B【解析】由题意，对应区域为正方形区域，其面积为224S==；对应区域如下图阴影部分所示：其面积为，所以点M落在区域A内的概率是.故选B12．【湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，当时，由可得；所以，又，所以在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为.故选B13．【福建省晋江市南侨中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】若是偶函数，则______．【答案】【解析】由题意，函数是偶函数，则，即，所以，又由定积分的几何意义可知，积分，表示所表示的半径为2的半圆的面积，即，所以，故答案为：．14．【广西南宁市第三中学、柳州市高级中学2018-2019学年高二下学期联考（第三次月考)】二项式的展开式中，第三项系数为2，则11adx x=⎰_______ 【答案】ln 2 【解析】展开式的通项为，第三项系数为，因为0a >，所以2a =，，故答案为ln 2.15．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期期中考试】__________．【答案】8π 【解析】 由题表示的几何意义为：以（0,0）为圆心，4为半径的圆在第一第二象限的面积，所以=，440xdx -=⎰所以故答案为8π16．【福建省泉州市泉港区第一中学2018-2019学年高二下学期期中考】如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_________.【答案】14【解析】由图象可知，直线OB 方程为：y x = 则阴影部分面积为：∴所求概率本题正确结果：1417．【云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试】定积分______. 【答案】2 【解析】.18．【四川省树德中学2018-2019学年高二5月阶段性测试】定积分__________．【答案】2π+ 【解析】 因为表示圆224x y +=面积的14，所以；又，所以.故答案为2π+19．【安徽省六安市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次段考】二项式的展开式的第四项的系数为-40，则21ax dx -⎰的值为__________．【答案】3 【解析】二项式（ax ﹣1）5 的通项公式为： T r +15rC =•（ax ）5﹣r •（﹣1）r ， 故第四项为35C -•（ax ）2＝﹣10a 2x 2， 令﹣10a 2＝﹣40， 解得a ＝±2， 又a ＞0， 所以a ＝2． 则故答案为：3．20．【辽宁省沈阳铁路实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试】曲线22y x =-与曲线y x =所围成的区域的面积为__________. 【答案】92【解析】由曲线y ＝x 与y ＝2-x 2，得2-x 2=x ，解得x ＝-2或x ＝1， 则根据积分的几何意义可知所求的几何面积（2x-231123x x -）1-2| ＝=78+4+2-63= 92； 故答案为：92．能力提升训练1．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）A ．14 B ．13 C ．25D ．37【答案】B 【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），由定积分的定义可得：S 阴1=⎰（1x -）dx ＝（x 3223x -）101|3=，设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ， 由几何概型中的面积型可得：P （A ），故选：B ．2．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】由题意，阴影部分的面积为，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为.故选B3．【江西省新八校2019届高三第二次联考】如图，在半径为π的圆内，有一条以圆心为中心，以2π为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1πB ．21πC ．22πD ．无法确定【答案】B【解析】由题意知：圆的面积为：周期为2π可得：22ππω= 1ω∴=设圆的圆心为：(),0πϕπ⇒=∴曲线为：∴阴影部分面积∴所求概率本题正确选项：B4．【河南省开封市2019届高三第三次模拟】如图，在矩形中的曲线是的一部分，点，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】阴影部分面积为矩形的面积为则此点落在阴影部分的概率故选B。

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第三章 导数及其应用第17讲 定积分与微积分基本定理★★★核心知识回顾★★★知识点一、定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中， 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式． 知识点二、定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．知识点三、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝ ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作 ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．★★★高考典例剖析★★★考点一、定积分的计算例1：(2018·唐山调研)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______. 答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x＝2ʃ10x 2d x ＝2·310|3x ＝23.1．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋22．(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2： (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 命题点2 求平面图形的面积例3： (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝⎛⎭⎫13，3.由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1131(3)d x x -⎰＋ʃ31(3－x )d x ＝113(3ln )|x x -＋2311(3)|2x x -＝(3－1－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.3．定积分ʃ309－x 2d x 的值为________．4．如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．题型三定积分在物理中的应用例4： 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m. 答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得611122()d 2d s t t t x ==⎰⎰v ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝2132611321|2|()|6t t t t +++＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494m.5．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433J D ．2 3 J★★★知能达标演练★★★一、选择题1．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 2．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π2－1 3．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．π B.π2 C ．π＋1D ．π－14.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－15．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．66．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65D.767．(2017·湖南长沙模拟)设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝18．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．29．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 210.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13B.310C.14D.1511．(2018·呼和浩特质检)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1二、填空题 12． ʃe ＋121x －1d x ＝________. 13．ʃ0－11－x 2d x ＝________. 14．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m.15．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________．17．π)d 4x x += ________.18．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．19．(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.20.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．21．(2017·郑州调研)ʃ1－1(1－x2＋e x－1)d x＝______.22．若函数f(x)在R上可导，f(x)＝x3＋x2f′(1)，则ʃ20f(x)d x＝________.♦♦♦详细参考答案♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第三章 导数及其应用第17讲 定积分与微积分基本定理★★★核心知识回顾★★★知识点一、定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 知识点二、定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．知识点三、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．★★★高考典例剖析★★★考点一、定积分的计算 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 1．答案 C解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e xd x＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C. 2．答案 C解析 如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝31220111|(2)|32x x x +- ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 题型二 定积分的几何意义 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 3．答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝9π4.4．答案 94解析 由y ＝－x 2＋4x －3，得y ′＝－2x ＋4.易知抛物线在点A 处的切线斜率k 1＝y ′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率k 2＝y ′|x ＝3＝－2.因此，抛物线在点A 处的切线方程为y ＝4x －3，在点B 处的切线方程为y ＝－2x ＋6. 两切线交于点M ⎝⎛⎭⎫32，3.因此，由题图可知所求的图形的面积是 S ＝33222302[(43)(43)]d [(26)(43)]d x x x x x x x x ---+-+-+--+-⎰⎰33222302d (69)d x x x x x =+-+⎰⎰33323203211|(39)|33x x x x =+-+ ＝98＋98＝94.题型三 定积分在物理中的应用 ♦♦♦跟踪训练♦♦♦ 5．答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x＝3211[(5)3x x -＝433， ∴F (x )做的功为433 J.★★★知能达标演练★★★一、选择题 1．答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝24201(2)|4x x -＝8－14×24＝4，故选D.2．答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰＝π2011(sin )|22x x -＝π4－12.3．答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝211π1|22x -+＝π2.故选B. 4.答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝320311011()|()|33x x x x x ----+-＝－13－23 ＝－1，故选D.5．答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2. 6．答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11xd x ＝3101|3x ＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 7．答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A. 8．答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝221201()|()|22x x x x -+-＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1. 9．答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝2403[725ln(1)]|2t t t -++ ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 10.答案 A解析 由题意得，所求阴影部分的面积31231200211)d ()|,333S x x x x ==-=⎰ 故选A. 11．答案 B解析 方法一 S 1＝3211|3x ＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3. 二、填空题 12．答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 13．答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 14．答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝2213(2)|2t t + ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 15．答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 16．答案 43解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x＝30110||3x x -+＝13＋1＝43. 17．答案 2解析 由题意得π)d 4x x +＝ππ220(sin cos )d (sin cos )|x+x x x x =-⎰＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 18．答案3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 19．答案 49解析 封闭图形如图所示，则332220022|0,33ax x a a ==-=⎰解得a ＝49.20.答案 43解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)． 因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x＝31012()|3x x -＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43. 21．答案 π2＋e －1e－2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2. 而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 22．答案 －4解析因为f(x)＝x3＋x2f′(1)，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)．所以f′(1)＝3＋2f′(1)，解得f′(1)＝－3. 所以f(x)＝x3－3x2.故ʃ20f(x)d x＝ʃ20(x3－3x2)d x＝432()|4xx＝－4.♦♦♦教师用书♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第三章 导数及其应用第17讲 定积分与微积分基本定理★★★核心知识回顾★★★知识点一、定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃba f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 知识点二、定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．知识点三、微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．★★★高考典例剖析★★★考点一、定积分的计算例1：(2018·唐山调研)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______. 答案 23解析 ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x＝2ʃ10x 2d x ＝2·310|3x ＝23.1．ʃ1－1e |x |d x 的值为()A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2答案 C解析 ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e x d x＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C.2．(2017·昆明检测)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案 C解析 如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝31220111|(2)|32x x x +- ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. 题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2： (1)计算：ʃ313＋2x －x 2d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 答案 (1)π (2)－1解析 (1)由定积分的几何意义知，ʃ313＋2x －x 2 d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y＝0围成的图形的面积，∴ʃ313＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π. (2)根据定积分的几何意义ʃm －2－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m 和y ＝0围成的图形的面积，又ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1. 命题点2 求平面图形的面积例3： (2017·青岛月考)由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________． 答案 4－ln 3解析 由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝⎛⎭⎫13，3.由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为1131(3)d x x -⎰＋ʃ31(3－x )d x ＝113(3ln )|x x -＋2311(3)|2x x -＝(3－1－ln 3)＋⎝⎛⎭⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.3．定积分ʃ309－x2d x的值为________．答案9π4解析由定积分的几何意义知，ʃ309－x2d x是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x2d x＝π·324＝9π4.4．如图所示，由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为______．答案94解析由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4.易知抛物线在点A处的切线斜率k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线在点A处的切线方程为y＝4x－3，在点B处的切线方程为y＝－2x＋6.两切线交于点M⎝⎛⎭⎫32，3.因此，由题图可知所求的图形的面积是S＝3322232[(43)(43)]d[(26)(43)]dx x x x x x x x---+-+-+--+-⎰⎰3322232d(69)dx x x x x=+-+⎰⎰33323203211|(39)|33x x x x =+-+ ＝98＋98＝94. 题型三 定积分在物理中的应用例4： 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m. 答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得611122()d 2d s t t t x ==⎰⎰v ＋ʃ312d t ＋ʃ63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝2132611321|2|()|6t t t t +++＝494(m)．所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494m.5．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433 J D．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x＝3211[(5)3x x -＝433， ∴F (x )做的功为433 J.★★★知能达标演练★★★一、选择题1．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点为A (2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝24201(2)|4x x -＝8－14×24＝4，故选D.2．π220sin d 2xx ⎰等于( ) A ．0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析ππ222001cos sin d d 22x x x x -=⎰⎰＝π2011(sin )|22x x -＝π4－12.3．(2018·东莞质检)ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．πB.π2 C ．π＋1D ．π－1答案 B 解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝211π1|22x -+＝π2.故选B.4.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1， 所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x ＝320311011()|()|33x x x x x ----+-＝－13－23 ＝－1，故选D.5．(2018·大连调研)若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( ) A.43B.54C.65D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x＝3101|3x ＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 7．(2017·湖南长沙模拟)设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1答案 A 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A.8．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．2答案 A解析 ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d x＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x ＝221201()|()|22x x x x -+- ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫222－2－⎝⎛⎭⎫12－1＝1. 9．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 答案 C解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)， ∴汽车行驶距离s ＝ʃ40⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝2403[725ln(1)]|2t t t -++ ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.10.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14D.15答案 A 解析 由题意得，所求阴影部分的面积31231200211)d ()|,333S x x x x ==-=⎰ 故选A.11．(2018·呼和浩特质检)若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 方法一 S 1＝3211|3x ＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.二、填空题12． ʃe ＋121x －1d x ＝________. 答案 1解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 13．ʃ0－11－x 2d x ＝________. 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 14．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m.答案 132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝2213(2)|2t t +＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 15．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13T 3＝9，∴T ＝3. 16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________． 答案 43解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝30110||3x x -+＝13＋1＝43.17．π)d 4x x += ________. 答案 2解析 由题意得π)d 4x x + ＝ππ2200(sin cos )d (sin cos )|x+x x x x =-⎰＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2. 18．(2018·太原调研)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案 3解析 所求面积ππ33ππ33cos d sin |S x x x --==⎰ ＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 19．(2017·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.答案 49解析 封闭图形如图所示，则332220022|0,33a x x a a ==-=⎰解得a ＝49.20.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．答案 43解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝31012()|3x x -＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43.21．(2017·郑州调研)ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝______.答案 π2＋e －1e －2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，所以ʃ1－11－x 2d x ＝π2.而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2.22．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________. 答案 －4解析 因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 3－3x 2)d x ＝4320()|4x x ＝－4.。