2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第6章 数 列 30 Word版含解析

其次节等差数列及其前n项和突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算基础联通抓主干学问的“源”与“流”1．等差数列的有关概念(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)2d＝n(a1＋a n)2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n .(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(5)若数列{a n}，{b n}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pa n}，{a n＋p}，{pa n＋qb n}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”等差数列的基本运算[例1](1)(2022·东北师大附中摸底考试)在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为() A．1 B．2C．3 D．4(2)(2022·惠州调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于()A．1 B.53C．－2 D．3[解析](1)∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.(2)由S3＝3(a1＋a3)2＝6，且a1＝4，得a3＝0，则d＝a3－a13－1＝－2，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]1．等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．等差数列的性质[例2](1)在等差数列{a n}396n n S11＝()A．18 B．99C．198 D．297(2)已知{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.[解析](1)由于a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)由于{a n}，{b n}都是等差数列，本节主要包括3个学问点：1.等差数列的性质及基本量的计算；2.等差数列前n项和及性质的应用；3.等差数列的判定与证明.所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6， 所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)， 即2×15＝9＋(a 5＋b 6)， 解得a 5＋b 6＝21. [答案] (1)B (2)211.[考点一]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱 D.43钱 解析：选D 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，即甲得43钱，故选D.2.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选D 由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 3.[考点二]已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝π，则cos(a 2＋a 12)的值为( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：选D 在等差数列{a n }中，由于a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以cos(a 2＋a 12)＝－12.故选D.4.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－725.[考点二]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最终6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. ∵a 1＋a n ＝36，n ＝18， ∴a 1＋a18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.突破点(二) 等差数列前n 项和及性质的应用等差数列前n 项和的性质(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (2)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)． (4){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.等差数列前n 项和的性质[例1] 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________. [解析] 法一：设数列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. [答案] 20等差数列前n 项和的最值[例2] 等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？ [解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一：S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝na 1＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a 1， 由于a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法二：设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝⎛⎭⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法三：由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线， 由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的三种方法 (1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .(3)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则： ①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2.[考点二]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n (a 1＋a n )2＜n (n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.3.[考点一]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝20×2－10＝30，∴S 30＝60.答案：604.[考点一]已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数，故使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是5.答案：55.[考点一]一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：5突破点(三) 等差数列的判定与证明基础联通 抓主干学问的“源”与“流” 等差数列的判定与证明方法方法 解读适合题型定义法 对于数列{a n }，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法 验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，推断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．[解] 由于a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列．1．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列解析：选C 令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，故b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.即{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n .∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n －1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1，∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．3．已知公差大于零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{}b n 满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵数列{}a n 为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，其中c ≠0.∵数列{}b n 是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.即存在一个非零实数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2022·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97解析：选C ∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 2．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192C ．10D ．12 解析：选B ∵数列{a n }的公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.3．(2021·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5，选C. 4．(2021·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，则nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得微小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49<6S 6，所以当n ＝7时，nS n 取最小值，最小值为－49.答案：－495．(2022·全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)由于b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.6．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，则a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算力量]1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37B ．36C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，即m ＝37.3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14D.12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d .由于a 3＋a 7＝－6，所以a 5＝－3，d ＝2，则S n ＝n 2－12n ，故当n 等于6时S n 取得最小值．5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：10[练常考题点——检验高考力量] 一、选择题1．(2021·黄冈质检)在等差数列{a n }中，假如a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2021·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，由于a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84解析：选B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，得2(a 4＋a 14)＝4，即a 4＋a 14＝2，则a 1＋a 17＝2，故S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零．又∵a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉利数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉利数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，由于b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.由于对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n＝2n －1.6．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．121解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，由于a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.即S n ＋10a 2n 的最大值为121. 二、填空题7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是________．解析：由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.答案：28．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于________．解析：由于S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.依据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.答案：39．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于________．解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.答案：13210．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又∵b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. 12．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.。

课时标准练31数列求和基础巩固组1.数列112,314,518,7116,…,(2n-1)+12n,…的前n项和S n的值等于()+1-12n +1-12n+1-12n-1+1-12n2.(2018河北衡水中学金卷十模,3)已知数列{a n}是各项为正数的等比数列,点M(2,log2a2),N(5,log2a5)都在直线y=x-1上,那么数列{a n}的前n项和为()+1-2+1-13.(2018山东潍坊二模,4)设数列{a n}的前n项和为S n,若S n=-n2-n,那么数列{2(n+1)n n}的前40项的和为()A.39 403940C.404140414.已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=1n(n+1)+n(n),n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2018= .5.(2018衡水中学金卷一模,17)已知数列{a n}的前n项和S n恰好与1-√2n n+1的展开式中含x-2项的系数相等.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)记b n=(-1)n·n n+1n n,数列{b n}的前n项和为T n,求T2n.6.(2018山西晋城月考)已知数列{a n}知足a1=3,a n+1=2a n+(-1)n(3n+1).(1)求证:数列{a n+(-1)n n}是等比数列;(2)求数列{a n}的前10项和S10.7.(2018山东潍坊一模,17)公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S4=10,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{n n}的前n项和T n.3n综合提升组8.(2018广东中山期末)等比数列{a n}中,已知对任意自然数n,a1+a2+a3+…+a n=2n-1,则n12+n22+ n32+…+n n2等于()(3n-1)B.12C.1(4n-1) D.以上都不对39.(2018湖北重点中学五模)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=4,S5=15,假设数列{1mn n n n+1}的前项和为10,则m=()1110.(2018山东潍坊三模,17)已知数列{a n}的前n项和为S n,且1,a n,S n成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)假设数列{b n}知足a n·b n=1+2na n,求数列{b n}的前n项和T n.11.(2018江西上饶三模,17)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且6S n=3n+1+a(n∈N*).(1)求a的值及数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(3n+1)a n,求数列{a n}的前n项和T n.创新应用组12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大伙儿学习数学的爱好,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项为哪一项20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求知足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()13.(2018云南玉溪月考)数列{a n}知足:a1=14,a2=15,且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=nn1n n+1对任何的正整数n都成立,则1n1+1n2+…+1n97的值为()032 044 048 050课时标准练31 数列求和该数列的通项公式为a n =(2n-1)+12n ,则S n =[1+3+5+…+(2n-1)]+(12+122+…+12n )=n 2+1-12n .由题意log 2a 2=2-1=1,可得a 2=2,log 2a 5=5-1=4,可得a 5=16,n5n 2=q 3=8⇒{n =2,n 1=1⇒S n =1-2n1-2=2n -1,应选C .∵S n =-n 2-n ,∴a 1=S 1=-2.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=-n 2-n+(n-1)2+(n-1)=-2n , 那么数列{a n }的通项公式为a n =-2n ,2(n +1)n n=2-2n (n +1)=-1n −1n +1,数列{2(n +1)n n}的前40项的和为S 40=-1-12+12−13+…+140−141=-4041.4.√2 019-1 由f (4)=2,可得4a =2,解得a=12,则f (x )=n 12.∴a n =1n (n +1)+n (n )=√n +1+√n=√n +1−√n ,S 2 018=a 1+a 2+a 3+…+a 2 018=(√2−√1)+(√3−√2)+(√4−√3)+…+(√2 019−√2 018)=√2019-1. 5.解 (1)依题意得S n =2C n +12=n (n+1),故当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n (n+1)-n (n-1)=2n , 又当n=1时,a 1=S 1=2,也适合上式,故a n =2n (n ∈N *).(2)由(1)得b n =(-1)n ×2n +1n (n +1)=(-1)n 1n +1n +1,故T 2n =b 1+b 2+…+b 2n =-1+12+12+13-…-12n -1+12n+12n +12n +1=-1+12n +1=-2n2n +1(n ∈N *).6.(1)证明 ∵a n+1=2a n +(-1)n (3n+1),∴n n +1+(-1)n +1(n +1)n n +(-1)nn=2n n +(-1)n (3n +1)-(-1)n(n +1)n n +(-1)nn=2[n n +(-1)n n ]n n +(-1)nn=2.又a 1-1=3-1=2,∴数列{a n +(-1)n n }是首项为2,公比为2的等比数列.(2)解 由(1)得a n +(-1)n n=2×2n-1=2n ,∴a n =2n -(-1)n n ,∴S 10=(2+22+…+210)+(1-2)+(3-4)+…+(9-10)=2(1-210)1-2-5=211-7=2 041.7.解 (1)设{a n }的公差为d ,由题设可得,{4n 1+6n =10,n 32=n 1·n 9,∴{4n 1+6n =10,(n 1+2n )2=n 1(n 1+8n ),解得{n 1=1,n =1.∴a n =n.(2)令c n =n 3n ,则T n =c 1+c 2+…+c n =13+232+333+…+n -13n -1+n 3n ,① 13T n =132+233+…+n -13n+n3n +1,②①-②得:23T n =13+132+…+13n -n3n +1=13(1-13n )1-13−n3n +1=12−12×3n −n3n +1,∴T n =34−2n +34×3n .当n=1时,a 1=21-1=1,当n ≥2时,a 1+a 2+a 3+…+a n =2n -1,a 1+a 2+a 3+…+a n-1=2n-1-1, 两式做差可得a n =2n -2n-1=2n-1,且n=1时,21-1=20=1=a 1,∴a n =2n-1,故n n 2=4n-1,∴n 12+n 22+n 32+…+n n2=1×(1-4n)1-4=13(4n -1).S n 为等差数列{a n }的前n 项和,设公差为d ,则{n 4=4,n 5=15=5n 3,解得d=1,则a n =4+(n-4)×1=n. 由于1n n n n +1=1n (n +1)=1n −1n +1, 则S m =1-12+12−13+…+1n −1n +1=1-1n +1=1011,解得m=10. 10.解 (1)由已知1,a n ,S n 成等差数列,得2a n =1+S n ,①当n=1时,2a 1=1+S 1=1+a 1,∴a 1=1.当n ≥2时,2a n-1=1+S n-1,②①-②,得2a n -2a n-1=a n ,∴n nnn -1=2,∴数列{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列, ∴a n =a 1q n-1=1×2n-1=2n-1.(2)由a n ·b n =1+2na n 得b n =1n n +2n ,∴T n =b 1+b 2+…+b n =1n 1+2+1n 2+4+…+1n n+2n=(1n 1+1n 2+…+1n n)+(2+4+…+2n )=1-12n 1-12+(2+2n )n 2=n 2+n+2-12n -1. 11.解 (1)∵6S n =3n+1+a (n ∈N *),∴当n=1时,6S 1=6a 1=9+a ;当n ≥2时,6a n =6(S n -S n-1)=2×3n ,即a n =3n-1,∵{a n }为等比数列, ∴a 1=1,则9+a=6,a=-3, ∴{a n }的通项公式为a n =3n-1.(2)由(1)得b n =(3n+1)3n-1,∴T n =b 1+b 2+…+b n =4×30+7×31+…+(3n+1)3n-1,3T n =4×31+7×32+…+(3n-2)3n-1+(3n+1)3n ,∴-2T n =4+32+33+…+3n -(3n+1)3n ,∴Tn =(6n -1)3n+14. 设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n 组的项数为n ,那么前n 组的项数和为n (1+n )2.第n组的和为1-2n1-2=2n -1,前n组总共的和为2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.由题意,N>100,令n (1+n )2>100,得n ≥14且n ∈N *,即N 出此刻第13组以后.假设要使最小整数N 知足:N>100且前N 项和为2的整数幂,则S N -n n (1+n )2应与-2-n 互为相反数,即2k -1=2+n (k ∈N *,n ≥14),因此k=log 2(n+3),解得n=29,k=5.因此N=29×(1+29)2+5=440,应选A .∵a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=n n 1n n +1,① a 1a 2+a 2a 3+…+n n n n +1+n n +1n n +2=(n+1)n 1n n +2, ②①-②,得-n n +1n n +2=n n 1n n +1-(n+1)n 1n n +2,∴n +1n n +1−n n n +2=4,同理得nn n −n -1n n +1=4,∴n +1n n +1−n n n +2=n n n−n -1n n +1, 整理得2nn +1=1n n +1n n +2,∴{1n n}是等差数列.∵a 1=14,a 2=15,∴等差数列{1n n}的首项为4,公差为1,1n n=4+(n-1)×1=n+3,∴1n 1+1n 2+…+1n 97=97(4+100)2=5 044.。

专练30 等差数列及其前n 项和命题X 围：等差数列的概念和性质、等差数列的通项公式及前n 项和公式．[基础强化]一、选择题1．[2021·某某测试]记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8，则a 5＝() A ．6B ．7 C ．8D ．102．[2021·某某某某测试]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝52，S 10＝15，则a 7＝()A.12B ．1 C.32D ．2 3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝() A ．－12B ．－10 C ．10D ．124．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为() A ．1B ．2 C ．4D ．85．[2021·某某某某月考]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7＝22，S 11＝143.若S n >195，则n 的最小值为()A ．13B ．14C ．15D ．16 6．[2021·皖南八校联考]已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为()A ．－3B ．－52C ．－2D ．－4 7．[2021·某某师大附中高三测试]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7＝()A ．13B ．49C ．35D ．63 8．[2020·全国卷Ⅱ]天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块9．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则() A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n二、填空题10．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.11．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝________. 12．[2021·某某某某一调]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋a 5＝25，S 6＝57，则{a n }的公差为______．[能力提升] 13．[2021·某某某某测试]我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为尺，这十二个节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺．14．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且满足a 2016＋a 2017＝π，b 20b 21＝4，则tan a 1＋a 40322＋b 19b 22＝()A.33B. 3 C ．1D ．－115．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．16．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值X 围是________．专练30 等差数列及其前n 项和1．D 设等差数列{a n }的公差为d .∵S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝2⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32d ，a 1＋d ＋a 1＋3d ＝8，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋2d ＝0，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3.∴a 5＝a 1＋4d ＝－2＋12＝10.故选D.2．A 设等差数列{a n }的首项为a 1，则由等差数列{a n }的前n 项和为S n 及S 10＝15，得10(a 1＋a 10)2＝15，所以a 1＋a 10＝3.由等差数列的性质，得a 1＋a 10＝a 4＋a 7，所以a 4＋a 7＝3.又因为a 4＝52，所以a 7＝12.故选A.3．B 设等差数列{a n }的公差为d ，则3⎝⎛⎭⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，得d ＝－32a 1，又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝－10.4．C ∵S 6＝(a 1＋a 6)×62＝48，∴a 1＋a 6＝16，又a 4＋a 5＝24，∴(a 4＋a 5)－(a 1＋a 6)＝8， ∴3d －d ＝8，d ＝4.5．B 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＋a 7＝22，所以2a 5＝22，即a 5＝11.又因为S 11＝(a 1＋a 11)×112＝2a 6×112＝143，解得11a 6＝143，即a 6＝13.所以公差d ＝a 6－a 5＝2，所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝11＋(n －5)×2＝2n ＋1，所以S n ＝(a 1＋a n )n2＝(n ＋2)n .令(n ＋2)n >195，则n 2＋2n －195>0，解得n >13或n <－15(舍)．故选B. 6．D ∵{a n }为等差数列，∴S 5＝5a 3＝－15， ∴a 3＝－3，∴d ＝a 3－a 2＝－3－1＝－4.7．B ∵S n ＝an 2＋bn ，∴{a n }为等差数列，∴S 7＝(a 1＋a 7)×72＝(a 2＋a 6)×72＝(3＋11)×72＝49.8．C 由题意可设每层有n 个环，则三层共有3n 个环，∴每一环扇面形石板的块数构成以a 1＝9为首项、9为公差的等差数列{a n }，且项数为3n .不妨设上层扇面形石板总数为S 1，中层总数为S 2，下层总数为S 3，∴S 3－S 2＝[9(2n ＋1)·n ＋n (n －1)2×9]－[9(n ＋1)·n ＋n (n －1)2×9]＝9n 2＝729，解得n ＝9(负值舍去)．则三层共有扇面形石板(不含天心石)27×9＋27×262×9＝27×9＋27×13×9＝27×14×9＝3402(块)．故选C.9．A 方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－4n .故选A.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ；选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.10．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.11．14解析：∵{a n }为等差数列，∴a 6＝a 3＋3d ，a 7＝a 3＋4d ， ∴a 6＋a 7＝7d ＝14，∴d ＝2，∴a 4＝a 3＋d ＝2， ∴S 7＝7a 4＝7×2＝14. 12．3解析：设{a n }的公差为d .因为a 4＋a 5＝25，S 6＝57，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝25，6a 1＋15d ＝57，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3，所以{a n }的公差为3.13．解析：设此等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝84，a 1＋a 5＋a 9＝，即⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d ＝84，3a 5＝3(a 1＋4d )＝，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝，d ＝1，所以夏至的日影子长为尺． 14．Atan a 1＋a 40322＋b 19b 22＝tan a 2016＋a 20172＋b 20b 21＝tan π6＝33，故选A.15．8解析：∵a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 9＝2a 8， ∴3a 8＞0，即a 8＞0.又∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，∴a 9＜0， ∴等差数列前8项的和最大．故n ＝8.16.⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析：解法一：由于S n ＝7n ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫7－d 2n ，设f (x )＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫7－d 2x ，则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d.当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，故＜12－7d ＜，解得－1＜d ＜－78.解法二：由题意，得a 8＞0，a 9＜0，所以7＋7d ＞0，且7＋8d ＜0，即－1＜d ＜－78.。

【30份】2020版高考数学北师大版（理）一轮复习课时规范练目录课时规范练1集合的概念与运算 (2)课时规范练2不等关系及简单不等式的解法 (5)课时规范练3命题及其关系、充要条件 (11)课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (15)课时规范练5函数及其表示 (20)课时规范练6函数的单调性与最值 (24)课时规范练7函数的奇偶性与周期性 (30)课时规范练8幂函数与二次函数 (35)课时规范练9指数与指数函数 (40)课时规范练10对数与对数函数 (45)课时规范练11函数的图像 (50)课时规范练12函数与方程 (55)课时规范练13函数模型及其应用 (61)课时规范练14导数的概念及运算 (68)课时规范练15导数与函数的小综合 (72)课时规范练16定积分与微积分基本定理 (78)课时规范练17任意角、弧度制及任意角的三角函数 (82)课时规范练18同角三角函数的基本关系及诱导公式 (88)课时规范练19三角函数的图像与性质 (94)课时规范练20函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用 (102)课时规范练21两角和与差的正弦、余弦与正切公式 (112)课时规范练22三角恒等变换 (121)课时规范练23解三角形 (129)课时规范练24平面向量的概念及线性运算 (137)课时规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示 (143)课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用 (149)课时规范练27数系的扩充与复数的引入 (154)课时规范练28数列的概念与表示 (158)课时规范练29等差数列及其前n项和 (163)课时规范练30等比数列及其前n项和 (169)2019年5月课时规范练1集合的概念与运算基础巩固组1.(2018厦门外国语学校一模,2)已知集合A={x|y=lg(x-1)},B={x||x|<2},则A∩B=()A.(-2,0)B.(0,2)C.(1,2)D.(-2,2)2.已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则?U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)3.(2018百校联盟四月联考,1)设集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x,x∈A},则A∪B中元素的个数为()A.5B.6C.7D.84.设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)5.(2018北京101中学3月模拟,1)已知集合A={x|x(x-2)<0},B={x|ln x>0},则A∩B是()A.{x|x>0}B.{x|x>2}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}6.设集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0},则M∩N=()A.{-3,-2,-1,0}B.{-2,-1,0}C.{-3,-2,-1}D.{-2,-1}7.(2018山东济南二模,1)设全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x2-x-6<0},则下图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x<3}B.{x|-3<x≤1}C.{x|x<2}D.{x|-2<x≤1}8.已知全集U=R,A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A},则(?U A)∩B=()A.(-∞,0)∪(3,+∞)B.{x|x>3,x∈N}C.{4,8}D.[4,8]9.(2018湖南衡阳一模,1)已知集合A={x|(x+1)(x-3)<0},B={x|y=ln x},则A∩B=()A.{0,3}B.(0,3)C.(-1,3)D.{-1,3}10.已知集合A={x|x(x-4)<0},B={0,1,5},则A∩B=.11.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围是.12.设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A?B的B的个数为.综合提升组13.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x<a},若A?B,则实数a的取值范围是()A.(-1,+∞)B.[-1,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)14.(2018河北衡水中学十模,1)已知全集U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},则A∩(?U B)=()A.{1,3}B.{0,2}C.{0,1,3}D.{2}15.已知全集U=R,集合A={x|x(x+2)<0},B={x||x|≤1},则如图阴影部分表示的集合是()A.(-2,1)B.[-1,0]∪[1,2)C.(-2,-1)∪[0,1]D.[0,1]16.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A?B,则实数a-b的取值范围是.创新应用组17.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(?R B)=R,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>218.若集合A={x|x2+4x+k=0,x∈R}中只有一个元素,则实数k的值为.参考答案课时规范练1集合的概念与运算1.C由题意,可知A={x|x>1},B={x|-2<x<2},∴A∩B={x|1<x<2},表示为区间即(1,2),故选C.2.C因为A={x|x<-2或x>2},所以?U A={x|-2≤x≤2}.故选C.3.B因为A={-1,0,1,2},B=,所以A∪B=-1,0,,1,2,4,A∪B中元素的个数为 6.4.D由(x-2)(x-3)≥0,解得x≥３或x≤2,所以S={x|x≤２或x≥3}.因为T={x|x>0},所以S∩T={x|0<x≤２或x≥3},故选D.5.C由题意,集合A={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={x|ln x>0}={x|x>1},所以A∩B={x|1<x<2}.故选C.6.D集合M={-4,-3,-2,-1,0,1},N={x∈R|x2+3x<0}={x|-3<x<0},∴M∩N={-2,-1}.故选D.7.D由题意可得:A={x|x≤1},B={x|-2<x<3},∴A∩B={x|-2<x≤1},故选 D.8.C∵全集U=R,A={0,1,2,3},B={y|y=2x,x∈A}={1,2,4,8},∴(?U A)∩B={4,8}.故选 C.9.B A={x|-1<x<3},B={x|x>0},所以A∩B=(0,3),故选 B.10.{1}A={x|x(x-4)<0}=(0,4),所以A∩B={1}.11.(4,+∞)由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a},由于A?B,则a>4.12.4因为A={1,2}且A?B,所以B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}或B={1,2,3,4}.13.C由题意,A=[-1,3],B=(-∞,a),∵A?B,∴a>3,∴a的取值范围是(3,+∞).14.A∵全集U=Z,A={0,1,2,3},B={x|x2=2x},∴?U B={x|x∈Z,且x≠0,且x≠2},∴A∩（?U B)={1,3}.故选 A.A∪B).15.C由题意可知阴影部分对应的集合为(?U(A∩B))∩（∵A={x|-2<x<0},B={x|-1≤x≤1},∴A∩B={x|-1≤x<0},A∪B={x|-2<x≤1},∵?U(A∩B)={x|x<-1或x≥0},∴(?U(A∩B))∩（A∪B)={x|0≤x≤１或-2<x<-1}.故选 C.16.(-∞,-2]集合A={x|4≤２x≤16}={x|22≤２x≤２4}={x|2≤x≤4}=[2,4].因为A?B,所以a≤2,b≥４.所以a-b≤２-4=-2.故实数a-b的取值范围是(-∞,-2].17.C∵A∪(?R B)=R,∴B?A,∴a≥2,故选C.18.4由题意x2+4x+k=0有两个相等的实根,∴Δ＝16-4k=0,解得k=4.2019年5月课时规范练2不等关系及简单不等式的解法基础巩固组1.已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)3.已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系为()A.a<b≤cB.b≤c<aC.b<c<aD.b<a<c4.使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是()A.x≥0B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥35.若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为()A.[-4,0]B.[-4,0)C.(-4,0)D.(-∞,4]∪{0}。

【课时训练】第29节 等比数列及其前n 项和一、选择题1．(2018贵州遵义四中段测)设数列{a n }满足2a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152 B ．154 C ．4 D ．2【答案】A【解析】由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝152.故选A.2．(2018河南名校联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 9＝a 2a 3a 4，则公比q 的值为( )A.2 B ．3 C ．2 D ．3【答案】D【解析】由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8＝a 31q 6，所以q 2＝a 21.因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以q ＝a 1＝3.3．(2018辽宁沈阳二中质检)在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5＝( )A ．3B ．－13C ．3或13 D ．－3或－13【答案】C【解析】根据等比数列的性质得⎩⎨⎧(a 3q 5)2＝3，a 3(1＋q 10)＝4，化简得3q 20－10q 10＋3＝0，解得q 10＝3或13，所以a 15a 5＝a 5q 10a 5＝q 10＝3或13.4．(2018江苏泰州模拟)已知各项均是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B ．5＋12 C ．－5－12 D ．5－12或5＋12【答案】B【解析】设{a n }的公比为q (q ＞0)．由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.从而a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.5．(2018广东珠海综合测试)在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a n a n －1＝2，n ＝2,3,4，…，即a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.6．(2019辽宁盘锦高中月考)已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn .若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( )A ．512B ．256C ．81D ．16【答案】A【解析】由题意知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)·(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.7．(2018湖南浏阳一中月考)已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值为( )A ．126B ．130C ．132D ．134【答案】C【解析】设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意可知，lg a 3＝b 3，lg a 6＝b 6.又b 3＝18，b 6＝12，则a 1q 2＝1018，a 1q 5＝1012，∴q 3＝10－6，即q ＝10－2，∴a 1＝1022.∵{a n }为正项等比数列，∴{b n }为等差数列，且公差d ＝－2，b 1＝22，故b n ＝22＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋24.∴数列{b n }的前n 项和S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －2322＋5294.又n ∈N *，故n ＝11或12时，(S n )m a x ＝132. 二、填空题8．(2018河南洛阳统考)已知{a n }为等比数列，且a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18.若a n ＝12，则n ＝________.【答案】 9【解析】设{a n }的公比为q ，由a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝(a 3＋a 6)q ＝18，解得q ＝12，由a 1(q 2＋q 5)＝36得a 1＝128，进而a n ＝128·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －8.由a n ＝12，解得n ＝9.9．(2018天津六校联考)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.【答案】15【解析】由题意得a n ＝(－2)n －1，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|－2|＋(－2)2＋|(－2)3|＝15.10．(2018福建上杭一中月考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.对任意的m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ，则数列{b m }的前m 项和S m ＝________.【答案】72m ＋1－748【解析】设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n .由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7，因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)．对任意的m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1，所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748. 三、解答题11．(2018湖北鄂东南联盟期中联考)已知数列{a n }满足a 1＝8999，a n ＋1＝10a n ＋1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，求证：T n ＜12.(1)【解】由a n ＋1＝10a n ＋1，得a n ＋1＋19＝10a n ＋109＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋19，所以a n ＋1＋19a n ＋19＝10，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋19是等比数列，首项为a 1＋19＝100，公比为10.所以a n ＋19＝100×10n －1＝10n ＋1，所以a n ＝10n ＋1－19. (2)【证明】由(1)可得b n ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋19＝lg 10n ＋1＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＜12，所以T n ＜12.12．(2018长沙模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列． (1) 【解】当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1， 即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78.(2)【证明】由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ∈N *)． ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n2(2a n ＋1－a n )＝12.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．。

集合的概念与运算1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(A)A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．2．(2016·山东卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝(A)A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·武汉调研测试)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N M，则实数a 的取值集合为(D)A．{1} B．{－1,1}C．{1,0} D．{1，－1,0}M＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，又N M，N＝{x|ax＝1}，则N＝{－1}，{1}，∅满足条件，所以a＝1，－1,0，即实数a的取值集合为{1，－1,0}．4．(2018·佛山一模)已知全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x2－2x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为(A)A．{0,1,2} B．{1,2}C．{3,4} D．{0,3,4}因为B＝{x|x2－2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，所以∁U B＝{x|0≤x≤2}，所以图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{0,1,2}．5．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则集合M 中的元素个数为(B)A ．3B ．4C ．5D ．6M ＝{5,6,7,8}，所以M 中的元素个数为4.6．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为 1 .因为A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，所以1∈B 且2∉B .若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意． 又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.7．已知集合A ＝{y |y ＝1x}，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝ (0，＋∞) .A ＝{y |y ＝1x}＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝(0，＋∞)．8．设集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，则A ∩Z ＝ {0,1,2,3} ，A ∩Z 的所有子集的个数为 16 .A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，所以A ∩Z ＝{0,1,2,3}，A ∩Z 的子集个数有24＝16个．9．(2017·山东卷)设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则 M ∩N ＝(C) A ．(－1,1) B ．(－1,2) C ．(0,2) D ．(1,2)因为M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝{x |0<x <2}∩{x |x <2}＝{x |0<x <2}．10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是(B)A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)由x －x 2>0，得0<x <1，所以A ＝(0,1)，由x 2－cx <0，得0<x <c ，所以B ＝(0，c )， 因为A ⊆B ，所以c ≥1.11．已知M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}． (1)若a ＝3，则M ∪(∁R N )＝ R .(2)若N ⊆M ，则实数a 的取值范围为 (－∞，3] .(1)当a ＝3时，N ＝{x |4≤x ≤5}，所以∁R N ＝{x |x <4或x >5}． 所以M ∪(∁R N )＝R .(2)①当2a －1<a ＋1，即a <2时，N ＝∅， 此时满足N ⊆M .②当2a －1≥a ＋1，即a ≥2时，N ≠∅，由N ⊆M ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a －1≤5，所以2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，3]．12．(2018·黄石月考)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 人．设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图．设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3.所以15－x ＝12，即所求人数为12人．命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2018·深圳市第二次调研)设A ，B 是两个集合，则“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为x ∈A ∩B ⇒x ∈A 且x ∈B ⇒x ∈A .但x ∈A ≠> x ∈A ∩B .所以“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的必要不充分条件． 2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题为(C)A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4将条件和结论分别否定后作为结论和条件即得到逆否命题．3．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件由x 3>8⇒x >2⇒|x |>2，反之不成立，故“x 3>8”是“|x |>2”的充分而不必要条件．4．(2018·广东肇庆一模)原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ”，则“ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(C)A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个因为当c ＝0时，由a >b ≠> ac 2>bc 2，所以原命题为假，从而逆否命题为假．又ac 2>bc 2⇒a >b ，所以逆命题为真，从而否命题为真． 故真命题共有2个．5．(2018·湖北新联考四模)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是(D)A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，所以(－1,4) (2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.6．命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为 若a ≤b ，则2a≤2b－1 .7．(2018·北京卷)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为 1，－1(答案不唯一) .只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b.只要取满足上述条件的a ，b 值即可，如a ＝1，b ＝－1(答案不唯一)．8．f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围为 (3，＋∞) .依题意P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}， f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}， 要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件， 需2－t <－1，解得t >3，所以实数t 的取值范围是(3，＋∞)．9．(2016·天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的(C) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(1)分别判断x >y ⇒x >|y |与x >|y |⇒x >y 是否成立，从而得到答案．当x ＝1，y ＝－2时，x >y ，但x >|y |不成立； 若x >|y |，因为|y |≥y ，所以x >y .所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件．10．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋S 6＞2S 5”的(C)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(方法一)因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， 所以S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d . 若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ， 即S 4＋S 6>2S 5.若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ， 所以d >0.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件． (方法二)因为S 4＋S 6>2S 5S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5a 6>a 5a 5＋d >a 5d >0，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．11．(2018·武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c 2，条件q ：A ≤B ＋C 2，那么条件p 是条件q 成立的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件q ：A ≤B ＋C2A ≤π－A 2A ≤π3. 条件p ：a ≤b ＋c2⇒cos A ＝b 2＋c 2－a22bc≥b 2＋c 2－b ＋c222bc＝3b 2＋3c 2－2bc 8bc ≥12⇒0<A ≤π3.所以p ⇒q ，但q p .如∠A ＝60°，a ＝3，b ＝1，c ＝2，不能得到a ≤b ＋c2.所以p 是q 的充分而不必要条件．12．(2018·江西赣中南五校二模)“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的 充分不必要 条件．当a >0时，y ＝a (x ＋12a )2＋1－14a ，在(－12a，＋∞)上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，y ＝x ＋1，在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．若p 是真命题，q 是假命题，则(D) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．﹁p 是真命题 D ．﹁q 是真命题由“且”命题一假则假，“或”命题一真则真，命题与命题的否定真假相反，得A 、B 、C 都是错误的，故选D.2．(2018·河北五校高三联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则(D)A ．﹁p ∨q 为真命题B ．p ∧q 为真命题C ．p ∧﹁q 为假命题D ．p ∨q 为真命题对于p ：因为a >b ⇒2a>2b，反之，2a>2b⇒a >b ，所以“a >b ”是“2a >2b”的充要条件，即p 是真命题．对于q ：|x ＋1|≤x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋1≤x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－x －1≤x .解得x ∈∅，即不等式无实数解，所以q 是假命题． 所以p ∨q 为真命题．3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是(A) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1修改原命题中的两个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.4．(2018·三亚校级期中)命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是(C) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0 C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>05．(2018·湖南省六校联考) 下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真、“p ∧q ”为假、“﹁q ”为真的是(B)A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：x >2是x >1成立的充分不必要条件；q ：∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0C ．p ：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)；q ：不等式|x |>x 的解集是(－∞，0)D ．p ：y ＝1x在定义域内是增函数；q ：f (x )＝e x ＋e －x是偶函数由题意可知，满足“p ∨q ”为真、“p ∧q ”为假、“﹁q ”为真，可知p 为真、q为假．A 中，p 、q 都为假；B 中，p 为真，q 为假；C 中，p 、q 都为真；D 中，p 为假、q 为真．故选B.6．(2017·湖北武汉2月调研)命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是(D) A ．∃x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) B ．∀x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) C ．∀x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) D ．∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )． 7．已知命题p ：“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”，则﹁p 为 ∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0 _. 8．若x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 1 .由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π4]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.9．(2018·湖南长郡中学联考)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，命题q ：∀x ∈(0，π2)，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的个数是(B)①p ∨q ；②p ∨(﹁q )；③(﹁p )∧q ；④p ∧(﹁q )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个因为幂函数y ＝x α，当α<0时在(0，＋∞)上递减， 由x 0<0,2<3，得2x 0>3x 0，所以p 为假命题．因为对于x ∈(0，π2)，sin x <x <tan x ，所以q 为真命题．所以①为真，②为假，③为真，④为假． 即真命题的个数是2.10．(2018·兰州模拟)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则x ∈R ，f (－x )＝－f (x )； p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B .其中真命题的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4平面的斜线l 可以和平面内无数条平行直线垂直，p 1为假命题．因为f (－x )＝2－x－2x＝－f (x )，所以p 2为真命题． 因为f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1 ≥2x ＋1x ＋1－1＝1， 取等号的条件为x ＋1＝1x ＋1，得到x ＝－，＋∞)，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>1，不存在x 0∈(0，＋∞)，满足f (x 0)＝1，所以p 3为假命题．在△ABC 中，A >B ⇒a >b ⇒sin A >sin B ，所以p 4为真命题． 故p 2和p 4为真命题，真命题的个数为2.11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为 [－2,2] .(方法一)由题意，命题“对任意实数x ，都有x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.(方法二)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题， 则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故所求的实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]． 12．(2018·华南师大附中模拟)设有两个命题：p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是 (0，12]∪(1，＋∞) .p ：“关于x 的不等式a x>1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}”为真⇒0<a <1.q ：“函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ”为真⇒ax 2－x ＋a >0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇒a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 一真一假．⎩⎪⎨⎪⎧ p 真，q 假⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12.⎩⎪⎨⎪⎧p 假，q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12⇒a >1.所以实数a 的取值范围是(0，12]∪(1，＋∞)．函数及其表示1．函数y ＝x ·ln(1－x )的定义域为(B) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x ≤1，11－x， x >1， 则f [f (－2)]的值为(C)A.12B.15 C ．－15 D ．－12因为f (－2)＝(－2)2－(－2)＝6，所以f [f (－2)]＝f (6)＝11－6＝－15. 3．若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是(B)A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)因为f (x )的定义域为[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.4．(2018·黑龙江模拟) 设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式为(C) A ．3x －1 B ．3x ＋1 C ．2x －1 D ．2x ＋1g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，即g (x ＋2)＝2x ＋3，令x ＋2＝t ，所以x ＝t －2， 所以2x ＋3＝2(t －2)＋3＝2t －1， 所以g (x )＝2x －1.5．已知函数f (x )在[－1,2]上的图象如下图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2 .由图可知，图象是由两条直线的一段构成，故可采用待定系数法求出其表示式．当－1≤x ≤0时，设y ＝k 1x ＋b 1，将(－1,0)，(0,1)代入得k 1＝1，b 1＝1，所以y ＝x ＋1， 当0<x ≤2时，设y ＝k 2x ＋b 2，将(0,0)，(2，－1)代入得k 2＝－12，b 2＝0，所以y ＝－12x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ， x >1，若f [f (56)]＝4，则b 等于 12.因为56<1，所以f (56)＝3×56－b ＝52－b .若52－b <1，即b >32时， f (52－b )＝3(52－b )－b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不满足b >32，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32时， f (52－b )＝2(52－b )＝5－2b ＝4，解得b ＝12，满足b ≤32.故b ＝12.7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤－1，x 2， －1<x <2，－2x ＋8， x ≥2.(1)求f (3)，f [f (－2)]，f (a )(a >0)的值；(2)画出f (x )的图象，并求出满足条件f (x )>3的x 的值．(1)因为3>2，所以f (3)＝－2×3＋8＝2.因为－2<－1，所以f (－2)＝2－ 2. 又－1<2－2<2，所以f [f (－2)]＝f (2－2)＝(2－2)2＝6－4 2. 又a >0，当0<a <2时，f (a )＝a 2； 当a ≥2时，f (a )＝－2a ＋8.综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2， 0<a <2，－2a ＋8， a ≥2.(2)f (x )的图象如图所示．当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2≤1，此时无解；当－1<x <2时，由x 2＝3，解得x ＝±3， 因为x ＝－3<－1，故舍去；当x ≥2时，由－2x ＋8＝3，解得x ＝52.由图知，不等式f (x )>3的解为(3，52)．8．(2018·湖北武汉调研)已知函数f (x )满足f (1x )＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝(C)A ．－72 B.92C.72 D ．－92令x ＝2，可得f (12)＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f (12)＝－1，②联立①②解得f (－2)＝72.9．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤0，2x， x >0，则满足f (x )＋f (x －12)>1的x的取值范围是 (－14，＋∞) .由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，所以－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是(－14，＋∞)．10．函数f (x )＝－a2x 2＋－a x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．(1)因为对于x ∈R ，(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0恒成立，所以①当a ＝1时，原不等式变为6≥0，此时x ∈R . ②当a ＝－1时，原不等式变为6x ＋6≥0，此时x R .③若a ≠±1时，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，－a 2－－a2，解得－511≤a <1，所以实数a 的取值范围为[－511，1]． (2)因为f (x )的定义域为[－2,1]，所以不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]， 所以x ＝－2，x ＝1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝－－a 1－a 2，－2×1＝61－a2，解得a ＝2.函数的值域与最值1．已知函数f (x )的值域为[－2,3]，则函数f (x －2)的值域为(D) A ．[－4,1] B ．[0,5]C ．[－4,1]∪[0,5]D ．[－2,3]函数y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移2个单位而得到的，其值域不变．2．函数y ＝16－4x的值域是(C) A ．[0，＋∞) B．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)因为16－4x≥0，且4x>0，所以0≤16－4x<16，所以0≤16－4x<4.3．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为(B)A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)f (a )的值域为(－1，＋∞)，由－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.4．(2018·重庆期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是(C)A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，54]D ．[54，＋∞)当x ≥1时，f (x )＝1－ln x ≤1.由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，且当x <1时，f (x )＝x 2＋x ＋a ≥a －12＋14＝a －14，所以a －14≤1，解得a ≤54.5．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域为 [0,1) .y ＝x 2x 2＋1＝x 2＋1－1x 2＋1＝1－1x 2＋1.因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，所以0≤y <1. 6．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为 (－∞，－3] .只需要在x ∈(0,1]时，(x 2－4x )min ≥m 即可．而当x ＝1时，(x 2－4x )min ＝－3，所以m ≤－3. 7．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1x －3； (2)y ＝2x ＋4x －1； (3)y ＝|x ＋1|＋x －2.(1)y ＝x －3＋4x －3＝1＋4x －3，因为4x －3≠0，所以y ≠1， 即所求函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． (2)因为函数的定义域为{x |x ≥1}，又函数是增函数，所以函数的值域为[2，＋∞)． (3)y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥2，3， －1≤x ＜2，1－2x ， x ＜－1.画出函数的图象，由图象观察可知，所求函数的值域为[3，＋∞)．8．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为(A) A.22B. 2 C ．2 2 D ．2由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，得定义域为[－3,1]，y ≥0，所以y 2＝4＋2x ＋－x ＝4＋2－x ＋2＋4，当x ＝－3或x ＝1，(y 2)min ＝4，所以y min ＝2； 当x ＝－1时，(y 2)max ＝8，所以y max ＝2 2. 即m ＝2，M ＝22，所以mM ＝22. 9．已知函数f (x )满足2f (x )－f (1x )＝3x2，则f (x )的最小值为 2 2 .由2f (x )－f (1x )＝3x2， ①令①式中的x 变为1x，可得2f (1x)－f (x )＝3x 2， ②由①②可解得f (x )＝2x2＋x 2，由于x 2>0，由基本不等式可得f (x )＝2x 2＋x 2≥22x2·x 2＝2 2.当x 2＝2时取等号，因此，其最小值为2 2. 10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)若f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ]，求a 的取值范围，并求相应的m ，n 的值； (2)若f (x )≤2x 在(0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(1)因为f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．那么当x ∈[m ，n ]时，y ∈[m ，n ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝m ，fn ＝n .即m ，n 是方程1a －1x＝x 相异的两实根，由1a －1x ＝x ，得x 2－1ax ＋1＝0，由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1a>0，m ·n ＝1＞0，Δ＝1a 2－4＞0.所以0＜a ＜12.此时，m ＝1－1－4a 22a ，n ＝1＋1－4a22a .(2)若1a －1x≤2x 在(0，＋∞)上恒成立．那么a ≥12x ＋1x恒成立．令g (x )＝12x ＋1x(x ＞0)．所以g (x )≤122x ·1x＝24. 故a ≥24.函数的单调性1．(2018·西城区期末)下列四个函数中，定义域为R 的单调递减函数是(D) A ．y ＝－x 2B ．y ＝log 0.5xC ．y ＝1xD ．y ＝(12)xy ＝－x 2在R 上没有单调性，排除A ；y ＝log 0.5x 的定义域不是R ，排除B ；y ＝1x的定义域不是R ，排除C ；y ＝(12)x的定义域为R ，且在R 上单调递减，故选D.2．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是(A) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.3．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值范围是(C)A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)因为f (x )是R 上的减函数，所以f (|1x |)<f1x|>1，所以0<|x |<1，所以x∈(－1,0)∪(0,1)．4．(2018·城关区期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ， x ＜1，log a x ， x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是(C)A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)因为f (x )＝log a x (x ≥1)是减函数，所以0＜a <1，且f (1)＝0.因为f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x <1)为减函数， 所以3a －1<0，所以a <13，又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，log a x ， x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f (x )在(－∞，1]上的最小值大于或等于f (x )在[1，＋∞)上的最大值．所以(3a －1)×1＋4a ≥0，所以a ≥17，故a ∈[17，13)．5．函数f (x )＝log 2(4x －x 2)的单调递减区间是 [2,4) .因为4x －x 2>0，所以0<x <4，又y ＝log 2t 为增函数，所求函数f (x )的递减区间为t ＝4x －x 2(0<x <4)的递减区间是[2,4)．6．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为 (－3，－1)∪(3，＋∞) .由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3>0，a >1或a <0，a >－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a >3或a <－1，a >1或a <0，a >－3，所以a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 7．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．(1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，因为x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知， 函数f (x )在[1,4]上是增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝95，f (x )min ＝f (1)＝32.8．(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是(A)A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x(方法一)若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意． 经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意．故选A.(方法二)对于A ，e x f (x )＝(e 2)x ，因为e 2>1，所以e xf (x )为增函数．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0，0， x ＝0，－1， x <0，g (x )＝x 2·f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是(B)A ．[0，＋∞)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)由条件知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x >1，0， x ＝1，－x 2， x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．10．(2018·安徽皖江名校联考题改编)已知定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求函数g (x )＝log a (x 2－x －6)的单调区间．(1)因为定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以f (x )在(－2,2)上单调递增， 又f (a 2－a )>f (2a －2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a 2－a <2，－2<2a －2<2，2a －2<a 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，0<a <2，a <1或a >2.所以0<a <1.即a 的取值范围为(0,1)．(2)g (x )＝log a (x 2－x －6)可以看作由y ＝log a u 与u ＝x 2－x －6的复合函数． 由u ＝x 2－x －6>0，得x <－2或x >3.因为u ＝x 2－x －6在(－∞，－2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数， 因为0<a <1，所以y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，所以y ＝log a (x 2－x －6)的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(3，＋∞)．函数的奇偶性与周期性1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－(13)x ，则f (x )(B)A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －(13)－x ＝(13)x －3x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．因为函数y ＝(13)x在R 上是减函数，所以函数y ＝－(13)x在R 上是增函数．又因为y ＝3x在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x－(13)x 在R 上是增函数．2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论正确的是(C)A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 所以f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )， 所以f (x )g (x )为奇函数．|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )， 所以|f (x )|g (x )为偶函数．f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|为奇函数． |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|， 所以|f (x )g (x )|为偶函数．3．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－92)＝(A)A ．－34B ．－14C.14D.34f (－92)＝f (－92＋4)＝f (－12)＝－f (12)＝－12(1＋12)＝－34.4．(2018·天津一模)已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,2]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系为(A)A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1)B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1)C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0)D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5)由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 故函数f (x )是周期为2的函数． 又f (x )为偶函数，所以f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)， 因为f (x )在区间[0,2]上是递增的， 所以f (0)<f (0.5)<f (1)， 即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．5．(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝ 6 .因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是周期为6的周期函数， 所以f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.6．已知奇函数f (x )在定义域[－10,10]上是减函数，且f (m －1)＋f (2m －1)>0，则实数m 的取值范围为 [－92，23) .由f (m －1)＋f (2m －1)>0f (m －1)>－f (2m －1)，因为f (x )为奇函数，所以－f (x )＝f (－x )， 所以f (m －1)>f (1－2m )， 又f (x )在[－10,10]上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－10≤m －1≤10，－10≤2m －1≤10，m －1<1－2m ，解得－92≤m <23.7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)的值．(1)证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． 所以f (x )是周期为4的周期函数．(2)因为x ∈[2,4]，所以－x ∈[－4，－2]，所以4－x ∈[0,2]， 所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8， 又f (x )是周期为4的奇函数， 所以f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (4－x )，所以f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1， 又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2016)＋f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＝0，所以f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)＝0.8．(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则f (6)＝(D)A ．－2B ．－1C ．0D ．2由题意知，当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， 所以f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，所以f (－1)＝－2，所以f (6)＝2.故选D.9．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝ －2 .(方法一)令g (x )＝ln(1＋x 2－x )，则f (x )＝g (x )＋1，因为1＋x 2－x >|x |－x ≥0，所以g (x )的定义域为R ， 因为g (－x )＝ln(1＋x 2＋x )＝ln 11＋x 2－x＝－g (x )， 所以g (x )为奇函数，所以f (a )＝g (a )＋1＝4，所以g (a )＝3，所以f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝－3＋1＝－2.(方法二)因为f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，所以f (a )＋f (－a )＝2，所以f (－a )＝－2.10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋ax . (1)若a ＝－2，求函数f (x )的解析式； (2)若函数f (x )为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围．(1)当x <0时，－x >0，又因为f (x )为奇函数，且a ＝－2， 所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x <0，－x 2－2x ， x ≥0.(2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a2≤0，所以f (x )＝－x 2＋ax 在[0，＋∞)上单调递减， 由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0， 所以当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数．当a >0时，f (x )在(0，a 2)上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，不合题意．所以函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为(－∞，0]． ②因为f (m －1)＋f (m 2＋t )<0， 所以f (m －1)<－f (m 2＋t )，又因为f (x )是奇函数，所以f (m －1)<f (－t －m 2)， 因为f (x )为R 上的减函数， 所以m －1>－t －m 2恒成立，所以t >－m 2－m ＋1＝－(m ＋12)2＋54对任意实数m 恒成立，所以t >54.即t 的取值范围为(54，＋∞)．二次函数1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)函数f (x )的最小值是f (－b2a)＝f (x 0)，等价于x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，所以C 错误．2．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是(D)A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D．[32，3]二次函数的对称轴为x ＝32，且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合图象可知m ∈[32，3]．3．(2018·双桥区校级月考)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是(D)(方法一)对于A 选项，因为a <0，－b2a<0，所以b <0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故A 错．对于B 选项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0，又因为abc >0，所以c <0，由图知f (0)＝c >0，矛盾，故B 错．对于C 选项，因为a >0，－b2a<0，所以b >0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故C 错．故排除A ，B ，C ，选D.(方法二)当a >0时，b ，c 同号，C ，D 两图中c <0，故b <0， 所以－b2a>0，选D.4．(2018·皖北联考)已知二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，则a 的值为(D)A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2因为f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，所以f (x )的图象是开口向下，对称轴是x ＝a 的抛物线，(1)当a <0时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的左边，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝1－a ＝2，解得a ＝－1. (2)当0≤a ≤1时，对称轴x ＝a ∈[0,1]，f (x )在[0，a ]上单调递增，在[a,1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1＝2，无解．(3)当a >1时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的右边，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (1)＝a ＝2，有a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.5．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 34 .由x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，得x ＝1－2y ≥0，所以0≤y ≤12，设t ＝2x ＋3y 2，把x ＝1－2y 代入，得t ＝2－4y ＋3y 2＝3(y －23)2＋23.因为t ＝f (y )在[0，12]上单调递减，所以当y ＝12时，t 取最小值，t min ＝34.6．设f (x )＝x 2－2ax ＋1.(1)若x ∈R 时恒有f (x )≥0，则a 的取值范围是 [－1,1] ；(2)若f (x )在[－1，＋∞)上递增，则a 的取值范围是 (－∞，－1] ； (3)若f (x )的递增区间是[1，＋∞)，则a 的值是 1 .(1)由Δ≤0，得4a 2－4≤0，所以a ∈[－1,1]．(2)a ≤－1.(3)由对称轴x ＝1知a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．(1)因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， 所以f (x )在[1，a ]上是减函数， 又定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f＝a ，fa ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， 所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2， 因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， 因为f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，所以2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[2,3]．8．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m (B)A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(方法一)设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．(方法二)由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．9．(2018·重庆模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 (－22，0) .作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ，fm ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0，解得－22<m <0.10．已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ，图象开口向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，所以f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，所以f (x )在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a <1，－1a， a ≥1.指数与指数函数1. 若函数f (x )＝12x ＋1， 则该函数在(－∞，＋∞)上是(A)A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值f (x )在R 上单调递减，又2x＋1>1，所以0<f (x )<1，无最大值也无最小值．2．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为(C)A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a ，化简可得a ＝1， 则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是(C) A ．(－1，＋∞) B．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.4．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是(D)A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2作出函数y ＝|2x－1|的图象，如下图．因为a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知， 0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a<1. 所以f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1，。

2020版高考数学一轮复习第六章数列课时规范练30 数列求和文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2020版高考数学一轮复习第六章数列课时规范练30 数列求和文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时规范练30 数列求和基础巩固组1。

数列1，3,5,7,…，（2n—1)+，…的前n项和S n的值等于（)A.n2+1-B。

2n2—n+1—C.n2+1-D。

n2—n+1-2.(2018河北衡水中学金卷十模,3)已知数列｛a n}是各项为正数的等比数列，点M （2，log2a2)，N（5,log2a5)都在直线y=x—1上，则数列{a n}的前n项和为() A。

2n-2 B.2n+1—2C.2n-1D.2n+1—13。

(2018山东潍坊二模,4)设数列｛a n}的前n项和为S n，若S n=-n2-n，则数列的前40项的和为()A. B.-C。

D.-4。

已知函数f(x）=x a的图像过点(4,2）,令a n=,n∈N+.记数列｛a n}的前n项和为S n,则S2 018= .5.(2018浙江余姚中学4月模拟，17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S 5=30,S10=110.（1）求S n;（2）记T n=+…+,求T n.6。

（2018山西晋城月考）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+(-1）n（3n+1）.（1）求证:数列{a n+（-1）n n｝是等比数列;（2）求数列{a n｝的前10项和S10。

2020版高考数学一轮复习课时规范练6 函数的单调性与最值理北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2020版高考数学一轮复习课时规范练6 函数的单调性与最值理北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时规范练6 函数的单调性与最值基础巩固组1。

(2018北京石景山一模，2）下列函数中既是奇函数,又在区间(0，+∞）上递减的函数为(）A。

y= B.y=—x3C。

x D.y=x+2。

已知函数f（x）=x2-2ax+a在区间(—∞，1）内有最小值,则函数g（x)=在区间(1,+∞）内一定（）A。

有最小值B。

有最大值C.是减函数D。

是增函数3。

设偶函数f(x）满足f(x）=x3-8(x≥0)，则｛x|f(x—2)>0｝=（）A。

｛x｜x<-2或x>4} B。

｛x｜x〈0或x〉4}C。

{x｜x<0或x>6｝ D.｛x｜x<-2或x>2｝4.已知函数f（x)=是R上的增函数，则实数a的取值范围是(）A.(1,+∞) B。

［4,8）C。

（4,8) D。

（1，8)5。

已知函数f（x）=，则该函数的递增区间为（)A.(-∞，1］B。

［3，+∞）C。

（-∞，-1］ D.[1，+∞）6.函数f（x）=x｜x｜，若存在x∈［1,+∞），使得f（x-2k）—k〈0,则k的取值范围是（)A。

（2，+∞) B.（1,+∞)C。

D.7。

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0，+∞）内递增。

若实数a 满足f(log2a）+f（lo a）≤2f（1),则a的取值范围是（)A.[1，2] B。

【课时训练】第27节 数列的概念与简单表示法一、选择题1．(2018四川凉山诊断)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B ．72C ．92D ．132【答案】B【解析】∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎨⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72.2．(2018南昌模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B ．158 C ．34 D ．38【答案】C【解析】由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.3．(2018江西抚州七校联考)设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n ＝( )A.12n ＋1 B ．12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋2【答案】D【解析】 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋(n －1)＋1n ＋n ，n ∈N *，∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1(n ＋1)＋(n －1)＋1(n ＋1)＋n ＋1(n ＋1)＋(n ＋1)，n ∈N *，故a n ＋1－a n＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．(2018河北石家庄二中调研)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －15，则其最大项和最小项分别为( )A ．1，－17 B ．0，－17 C.17，－17 D ．1，－111【答案】A【解析】由题意知a 1＝－113，a 2＝－111，a 3＝－17，a 4＝1，则当n ≥4时，a n＞0.又当n ≥5时，a n －a n －1＝12n －15－12n －1－15＝－2n －1(2n －15)(2n －1－15)＜0，所以a n＜a n －1，于是数列{a n }的最大项为1，最小项为－17.5．(2018浙江湖州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1.又a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，故a n ＝2n －1.又a nn ≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1,2,3,4}．6．(2019河南信阳调研)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a 2018的值为()A ．－8B ．－3C ．－4D ．13【答案】B【解析】由a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)得，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，可见数列{a n }的周期为4，所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝－3.7．(2018广西南宁模拟)已知数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n ＝－n 2＋4n ＋5，b n ＝n 2＋(2－a )n －2a .若对任意正整数n ，a n ＜0或b n ＜0，则a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞)B ．(－∞，5)C ．(6，＋∞)D ．(－∞，6)【答案】A【解析】由a n ＝－n 2＋4n ＋5＝－(n ＋1)(n －5)可知，当n ＞5时，a n ＜0.由b n＝n 2＋(2－a )n －2a ＝(n ＋2)(n －a )＜0及已知易知－2＜n ＜a ，为使当0＜n ≤5时，b n ＜0，只需a ＞5.故选A.8．(2018保定调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1) 【答案】A【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.9．(2018宁夏银川模拟)若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n ＜462的最大正整数n 为( )A ．19B ．20C ．21D ．22 【答案】B【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1得，a na n －1＝n ＋1n －1，则a n ＝a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3a 2×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a n －1＝2×31×42×…×n ＋1n －1＝n (n ＋1)．又a n ＜462，即n (n ＋1)＜462，所以n 2＋n －462＜0，即(n －21)(n ＋22)＜0，因为n ＞0，所以n ＜21.故所求的最大正整数n ＝20.二、填空题10．(2018湖北八校联考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)，则a 3a 4＝________.【答案】 54【解析】由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54. 11．(2018潍坊模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，∴a 1＝1; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，∴a n a n －1＝－12.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.三、解答题12．(2018安徽淮南第四次考试)已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4b 1，S n ＝2a n －2，nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．【解】(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，n ≥2.综上，数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n ，n ∈N *. (2)∵a 2＝4b 1＝4，∴b 1＝1.∵nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2，∴b n ＋1n ＋1－b nn＝n ，故b n n －b n －1n －1＝n －1，…，b 33－b 22＝2，b 22－b 11＝1，n ≥2，将上面各式累加得b n n －b 11＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2， ∴b n ＝n 3－n 2＋2n 2，n ∈N *. 13．(2018福建清流一中模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【解】(1)由题意知，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2S n ＋3n －3n ＋1＝2(S n －3n )， 又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，所以a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．。

【课时训练】第30节 数列求和一、选择题1．(2018阳泉质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( )A ．7B ．12C ．14D ．21【答案】C【解析】由a n ＋2＝2a n ＋1－a n 知数列{a n }为等差数列，由a 5＝4－a 3得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝14. 2．(2018辽宁五校联考)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为( ) A.10125 B ．3536 C ．25101 D ．310【答案】C【解析】在等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝2a 6＝26⇒a 6＝13.又数列{a n }的公差d ＝a 6－a 36－3＝13－73＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋(n －3)×2＝2n ＋1，那么b n ＝1a 2n －1＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1⇒S 100＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫100101＝25101. 3．(2018河南郑州模拟)已知在等差数列{a n }中，a 1＝120，公差d ＝－4.若S n ≤a n (n ≥2)，其中S n 为该数列的前n 项和，则n 的最小值为( )A ．60B ．62C ．70D ．72【答案】B【解析】由题意得a n ＝120－4(n －1)＝124－4n ，S n ＝120n ＋n (n －1)2×(－4)＝122n －2n 2.由S n ≤a n ，得122n －2n 2≤124－4n ，即n 2－63n ＋62≥0，解得n ≥62或n ≤1(舍去)．故选B.4．(2018嘉兴调研)已知a n ＝32n －101(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n ＞0的n 的最小值为( )A ．99B ．100C ．101D ．102【答案】C【解析】由通项公式得a 1＋a 100＝a 2＋a 99＝a 3＋a 98＝…＝a 50＋a 51＝0，a 101＝3101＞0.故选C.5．(2018广东肇庆二模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且4S n ＝(a n ＋1)2，则下列说法正确的是( )A ．数列{a n }为等差数列B ．数列{a n }为等差或等比数列C ．数列{a n }为等比数列D ．数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B【解析】∵4S n ＝(a n ＋1)2，∴4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，∴4S n ＋1－4S n ＝4a n ＋1＝(a n＋1＋1)2－(a n ＋1)2，化简得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0，∴a n ＋1＝a n ＋2，或a n ＋1＋a n ＝0，∵4a 1＝(a 1＋1)2，∴a 1＝1.故选B.6．(2019山西太原五中调考)在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099 B ．101100 C ．100101D ．99100【答案】C 【解析】由题意得a2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0⇒a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ⇒1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴1a n －1＝－2－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴a 1＋a 222＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝100101.7．(2018湖南衡阳模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，则该数列前2 017项的和S 2 017＝( )A ．1 345B ．671C ．1 342D ．1 341【答案】A【解析】由a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，得a 3＝0，a 4＝1，a 5＝1，a 6＝0，则数列{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1＋a 2＋a 3＝2.又2 017＝672×3＋1，所以S 2 017＝672×2＋1＝1 345.二、填空题8．(2018河北冀州中学月考)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1，S 3，S 4成等差数列，则数列{a n }的公比为________．【答案】1＋52【解析】设{a n }的公比为q ，由题意易知q ＞0且q ≠1.因为S 1，S 3，S 4成等差数列，所以2S 3＝S 1＋S 4，即2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 4)1－q，解得q ＝1＋52.9．(2018泰安模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n ·(a n ＋1)，记S n为{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________.【答案】－1 007【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)可得，该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，所以S 2 017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007.10．(2018山东枣庄质检)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”．若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.【答案】 2n ＋1－2【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝2n, ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.三、解答题11．(2018湖北稳派教育联考)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n (a 1－1)(n ∈N *)，且a 1，a 3－1，a 5＋7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】(1)∵S n ＝n 2＋n (a 1－1)， 又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，∴d ＝2.又a 1，a 3－1，a 5＋7成等比数列．∴a 1(a 5＋7)＝(a 3－1)2，即a 1(a 1＋15)＝(a 1＋3)2，解得a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)由(1)可得b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，故T n＝b 1＋b 2＋…＋b n－1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1.12．(2018辽宁五校联考)若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 12a n .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n＜34.(1)【解】∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n＝14a n －1.又∵S 1＝a 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n 是以18为首项，14为公比的等比数列． ∴a n ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋1.(2)【证明】由c n ＋1－c n ＝log 12a n ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)，∴1c n＝1(n ＋1)(n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜34.又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13，∴原式得证．。