河北省衡水中学2017届高三(下)二调数学试卷(理科)(解析版)

河北衡水中学2016～2017学年度 高三下学期数学第二次摸底考试（理科）考生注意：1．本试卷分必考部分和选考部分两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将各题答案填在试卷后面的答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|10}A k N k N =∈-∈，{|23,}N x x n x n n N ===∈或，则AB =（ ）A ．{6,9}B ．{3,6,9}C ．{1,6,9,10}D ．{6,9,10}2．若复数z 满足2(12)|13|z i i -+=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查。

已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．324．已知命题1:,()ln 2x p x e x ∃>>；命题:1,1,log 2log 22a b q a b b a ∀>>+≥，则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ∨⌝5．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310πB ．320πC ．3110π-D ．3120π-6．若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C ．1619D ．127．已知()22214sin a x x dx π-=-+⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．158-B ．212-C ．54-D ．1-8．已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么1()3f =（ ）A ．32π-B ．12-C ．14D ．34π-9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．2843122++B ．3643122++C ．3642123++D ．44122+10．执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A ．2321tan9π-- B ．25tan3922tan9ππ-- C ．2322tan9π-- D ．25tan3921tan9ππ-- 11．椭圆()222101y x b b +=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A ．2,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上。

河北省衡水2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B = （ ）A ．{}6,9B ．{}3,6,9C ．{}1,6,9,10D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥，则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π-6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C.1619 D ．127. 已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．．12-C.14 D ．34π- 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．28+．36+C. 36+．44+10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A．21tan9π-- B．25tan922tan9ππ-C. 22tan9- D．25tan 921tan9ππ- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A．2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.0,2⎛ ⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ 12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈ R)，若(),⊥⊥- a b c b a ，则λμ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C+= ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为 ．16.点M 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为，则动点M 的轨迹的长度为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足12,a n ==∈N *.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,2AB CD AB DC AC BD F === ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为3+ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB的距离d 的取值范围.21. 设函数()()2,1(x f x e g x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立.（1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13.2516 15. ⎛ ⎝⎦ 三、解答题17. 解：(1) 由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43n n n a n =+-==-.(2)设等比数列{}n b 的首项为1b ，则112n n b b -=⨯，依题有()()()()1221212121214log log 4log 2log 24log 1log n n n n b b b b b n b n -+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log 4log 42log 144128b b b n n n n =-+⨯-+=++，即()()212212142log 1124log 4log 8b b b ⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log 2,4b b ==，故()1112422,log 21n n n n n b b b n -++=⨯=-=-+ ，()()()2221221324222n n n n n n n S +-+++∴=-=--. 18. 解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()114i P A =，且()i j A A i j =∅≠ .(1)设B 为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染” ，则12121314B A A A A A = ，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A == ，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++= ，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++= ，()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=)，所以X 的分布列为故X 的期望()3100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC.(2) 平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()2,0,0,3,0,3,0,,0,0,1AB DC A P B D G == ，()()(),,AG AB AP ∴===，设()()()00000011,,,,,22C x y z DC AB x y z =∴+=，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩，令11z =，得)1n =，同理可得平面AGC的一个法向量)1121212,cos ,n n n n n n n ⋅====，所以平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,4222p p F FA FD FA ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，则4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则(22324p ++=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y xx my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+> ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,t t e ，由()2x f x e =得()2'2xf x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t ty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121tte k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'xh x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln 22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()00t = ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,x e x x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥ ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210xek x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin 2ρθρθ-=-)x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d tπ⎛⎫===+⎪⎝⎭，当26t kππ+=，即2,6t k k Zππ=-∈时，maxd==，故点P到直线l的距离的最大值为(2)因为曲线C上的所有点均在直线l的右下方，t∴∀∈R，cos2sin40-+>a t t恒成立，()4tϕ+-（其中2tanaϕ=）恒成立，4<，又0a>，解得0a<<a取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m--≤--=,要使24x m x--<恒成立，则2m<，解得22m-<<.又m∈N*，1∴=m.（2）()()()()0,1,0,1,22223f fαβαβαβ∈∈∴+=-+-=，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。

河北省衡水2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =I （ ） A ．{}6,9 B ．{}3,6,9 C ．{}1,6,9,10 D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝ 5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π- 6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C.1619 D ．127.已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A．32π- B．12-C.14D．34π-9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．2843122++ B．3643122++C. 3642123++ D．44122+10. 执行如图所示的程序框图，输出S的值等于（）A．321tan9π-- B．25tan3922tan9ππ-C.2322tan9D．25tan3921tan9ππ--11.椭圆()222101yx bb+=<<的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若FAB∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x=-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．22⎛⎫⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.20,2⎛⎫⎪⎝⎭D．10,2⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知()'f x是函数()f x的导函数，且对任意的实数x都有()()()'23(xf x e x f x e=++是自然对数的底数），()01f=，若不等式()0f x k-<的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈r r r r r R)，若(),⊥⊥-r r r r r a b c b a ，则λμ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C += ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为 ． 16.点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为92π，则动点M 的轨迹的长度为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足111,332,n n a a a n +=+=++∈N *. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率； （2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,223,AB CD AB DC AC BD F ===I ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为322+时，ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程； （2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.21. 设函数()()2,1(xf x eg x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 224πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当3a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立. （1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13. 251615. 2,3⎛⎝⎦三、解答题17. 解：(1)由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43nn n a n=+-==-.(2)设等比数列{}n b的首项为1b，则112nnb b-=⨯，依题有()()()()1221212121214log log4log2log24log1logn nn nb b b b b n b n-+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log4log42log144128b b b n n n n=-+⨯-+=++，即()()212212142log1124log4log8bb b⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log2,4b b==，故()1112422,log21n nn n nb b b n-++=⨯=-=-+Q，()()()2221221324222nnnn n n nS+-+++∴=-=--.18. 解：设iA表示事件“此人于3月i日到达该市”()1,2,...,14i=.依题意知，()114iP A=，且()i jA A i j=∅≠I.(1)设B为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染”，则12121314B A A A A A=U U U U，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A ==U U U U ，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++=U U ， ()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=U U U U )， 所以X 的分布列为X123P314514314314故X 的期望()3533100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)Q 平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()223,3,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,0,0,0,1AB DC A P B D G ==∴-Q ， ()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP ∴=-=-=-u u u r u u u r u u u r，设()()()00000011,,,,3,,3,3,022C x y z DC AB x y z =∴=-u u u r u u u r Q ，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由11111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩u r u u u ru r u u u r ，令11z =，得)1,1n =u r ，同理可得平面AGC的一个法向量)1121212,cos ,n n n n n n n ⋅====u r u ru u r u r u u r Q u r u u r AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,422p p F FA FD ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，则4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则23+=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>Q ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-u u u r u u u r，由题知//PE PA u u u r u u u r，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y yx x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,tt e ，由()2x f x e =得()2'2xf x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212tty e x t e =+-，由已知()22212tty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121t t e k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'x h x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210xk x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭Q 在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()00t =Q ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,xex x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥Q ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210x e k x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln 0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞. 22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 2ρθρθ-=-)2x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==，故点P 到直线l 的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成立，即()4t ϕ+-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<a 取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m --≤--=Q ,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又m ∈Q N *，1∴=m .（2）()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-=Q ，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。

2016～2017学年度下学期高三年级二模考试数学（理）试卷（答案）I 卷一、选择题（本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分.）A 卷：DBBABBAACB DB B 卷：BCCDA CBDDD AB二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.10082016C 14.)3,3(15.416.3510三、解答题:本大题共6题,,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（1）由sin 3cos cos C A B =-可得sin()3cos cos A B A B +=-，即sin cos cos sin 3cos cos A B A B A B +=-，因为tan tan 1A B =-，所以A,B 2π≠，两边同时除以cos cos A B ，得到tan tan 3A B +=-，因为tan()tan()tan ,A B C C π+=-=-tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-所以tan C =，又0C π<<，所以3C π=。

根据正弦定理得sin sin sin 3a b c A B C ===，故,a A b B ==，sin sin sin sin 2220A B A B a b A B ++==+。

6分（2）由（1）及余弦定理可得222cos 32a b c abπ++=，因为c =，所以2210a b ab +-=，即2()210a b ab ab +--=，又由111a b+=，可得a b ab +=，故2()3100ab ab --=解得52()ab ab ==-或舍去，此时5a b ab +==，所以ABC ∆得周长为5+，ABC ∆的面积为15sin 234π⨯⨯=。

12分18.解：（1）由题意21x x <2221S S >。

2分（2）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟台。

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，或，则（）A. B. C. D.2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.7. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.10. 执行如图所示的程序框图，输出的值等于（）A. B.C. D. ...11. 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A. B. C. D.12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，若，则__________．14. 在中，分别为角的对边，，若，则__________．15. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为__________．16. 点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，且与均为正三角形，为的重心.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围. 21. 设函数）.（1）若直线和函数的图象相切，求的值；（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程...在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.23. 选修4-5：不等式选讲已知定义在上的函数，且恒成立.（1）求实数的值；（2）若，求证：.。

数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =（ ） A ．{}6,9 B ．{}3,6,9 C ．{}1,6,9,10 D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ） A ．20 B ．24 C ．30 D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥，则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝ 5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．310πB ．320π C.3110π- D ．3120π-6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C.1619 D ．127.已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A．2π-B ．12-C.14 D ．34π- 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．28+．36+C. 3642123+．44122+10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A．21tan9B．25tan922tan9ππ-C. 22tan9D．25tan 921tan9ππ- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A．2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(x f x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈R)，若(),⊥⊥-a b c b a ，则λμ= ． 14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()s i n s i n s i n A C A C+= ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为 ．16.点M 为正方体1111ABCD A BC D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为92π，则动点M 的轨迹的长度为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 满足11332,n n a a a n +=+=+∈N *. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,2AB CD AB DC ACBD F ===，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为3+时，ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；（2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围. 21. 设函数()()2,1(x f x e g x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t=⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立. （1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC 二、填空题 13.2516103 15. 217⎛ ⎝⎦330 三、解答题17. 解：(1)由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43n n n a n =+-==-.(2)设等比数列{}n b 的首项为1b ，则112n n b b -=⨯，依题有()()()()1221212121214log log 4log 2log 24log 1log n n n n b b b b b n b n -+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log 4log 42log 144128b b b n n n n =-+⨯-+=++，即()()212212142log 1124log 4log 8b b b ⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log 2,4b b ==，故()1112422,log 21n n n n n b b b n -++=⨯=-=-+，()()()2221221324222n n n n n n n S +-+++∴=-=--.18. 解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,...,14i =.依题意知，()114i P A =，且()ij A A i j =∅≠.(1)设B 为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染” ，则12121314B A A A A A =，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A ==，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++=，()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=)，故X 的期望()3100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()2,0,0,3,0,3,0,,0,0,1AB DC A P B D G ==∴， ()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP ∴=-=-=-，设()()()00000011,,,,,22C x y z DC AB x y z =∴+=，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩，令11z =，得()13,1,1n =，同理可得平面AGC 的一个法向量()11212123,5,3,cos ,5n n n nn n n ⋅====，所以平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,422p pF FA FD FA ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则(3222232224p +++=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-，由题知//PE PA ，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1APk =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭.21. 解：(1)设切点的坐标为()2,t t e ，由()2x f x e =得()2'2x f x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t t y e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121t t e k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'x h x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴⎪⎝⎭在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ()00t =，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,x e x x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210x e k x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln 0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 2ρθρθ-=-)2x y -=-即直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==P 到直线l的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t恒成立，即()4t ϕ+-（其中2tan a ϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<a 取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m --≤--=,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又m ∈N *，1∴=m .（2）()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-=，即()1414144,225252182βαβααβαβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。

2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】因为，所以该复数在复平面内对于的点位于第三象限，应选答案C。

学科网3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意抽取比例为故总人数为所以高三被抽取的人数为4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为6. 若实数满足条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意画出可行域：=，所以目标函数最值问题转化为可行域中的点与原点连线斜率的问题，可知取点F，G时目标函数取到最值，F(2，1),G(1，3),所以最大值将点F代入即可得最大值为1 7. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）学#科#网...A. B. C. D.【答案】B【解析】=2，所以的展开式中的常数项为：，令r=3得常数项为8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇函数，是边长为的正三角形，可得，是最高点且，得A=,所以9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】从题设所提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面分别是腰长为的等腰直角三角形，高为4的柱体，如图，其全面积，应选答案B。

且MNE∆是边长为1的正三角形，那么13f⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．32π-B．12-C．14D．34π-9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．2843122++B．3643122++C．3642123++D．44122+10．执行如图所示的程序框图，输出S的值等于（）A．2321πtan9--B．25πtan3922πtan9--C．2322πtan9--D．25πtan3921πtan9--11．椭圆()222101yx bb+=<<的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若FAB∆的外接圆圆心(),P m n在直线y x=-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．2,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．20,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭D．10,2⎛⎫⎪⎝⎭12．已知()'f x是函数()f x的导函数，且对任意的实数x都有()()()('=e23exf x x f x++是自然对数的底数），()01f=，若不等式()0f x k-<的解集中恰有两个整数，则实数k的取值范围是（）A．1,0e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B．21,0e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C．21,0e⎛⎤-⎥⎝⎦D．21,0e⎛⎫-⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知4a =r ，5b =r ，(),c a b λμλμ=+∈R r r r ，若a b ⊥r r ，()c b a ⊥-r r r ，则λμ=________．14．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，2π3B =，若22+4a c ac =，则()sin sin sin A C A C+=________．15．已知点1F ，2F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足122F F OP =，21tan 4PF F ∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为________．16．点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112NB NC =，DM BN ⊥，若球O 的体积为92π，则动点M 的轨迹的长度为________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 已知数列{}n a 满足11a =,*1332,n n a a n ++=++∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设以2为公比的等比数列{}n b 满足()*2214log log 1211n n n b b a n n +⨯=++∈N ，求数列{}2log n n b -的前n项和n S ．18．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市．(1)若该人到达后停留2（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；(2)若该人到达后停留3天(到达当日算1天)，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望．19．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，223AB DC ==，AC BD F =I ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心．(1)求证：GF ∥平面PDC ；(2)求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值．20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．(1)若FA AD =，当点A 的横坐标为322+时，ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．21．设函数()2e xf x =，()()1g x kx k =+∈R ．(1)若直线()y g x =和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；(2)当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为πcos 224ρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当23a =时，求点P 到直线l 的距离的最大值； (2)若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围． 23．选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,*f x x m x m =--∈N ，且()4f x <恒成立． (1)求实数m 的值；(2)若()0,1α∈，()0,1β∈，()()3f f αβ+=，求证：4118αβ+≥．。