推荐学习高中数学第一章推理与证明1归纳与类比课后演练提升北师大版选修2_21

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2-21。

数列1,5，10,16，23，31，x,50，…中的x应为（)．A．38 B．39 C．40 D．412．观察下图中图形变化规律，图中空白处应为（)．3．n个连续自然数按规律排列如图所示．根据此规律，从2 009到2 011，箭头方向依次为（）．4．已知数对如下：(1,1），(1，2),(2,1),(1,3），（2,2),(3,1），(1，4），（2，3),（3,2)，(4,1)，（1，5),（2,4)，…，则第60个数对是( )．A．(3,8) B．（4，7) C．(4,8) D．(5，7)5．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A~F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表.例如，用十六进制表示E ＋D ＝1B ,则A ×B ＝（ )． A ．6EB ．72C ．5FD ．B 06．由集合｛a 1}，｛a 1,a 2｝,{a 1，a 2，a 3}，…的子集数目，可归纳出集合｛a 1，a 2，a 3，…,a n ｝的子集的数目为( )．A ．nB ．n ＋1C ．2nD ．2n－17．在数列{a n ｝中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 2－na n ＋1(n ∈N ＋)，归纳推理a n ＝__________. 8．把空间中的平行六面体与平面上的平行四边形进行类比,由“平行四边形的对边相等”类比出平行六面体的性质为__________________．9．(2012陕西高考,理11)观察下列不等式1＋＜32，1＋221123+＜53，1＋222111234++＜74，……照此规律，第五个不等式为__________________．10．在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,当n ＞2时,有c n＞a n＋b n成立，请你类比直角三角形的这个性质，猜想一下空间四面体的性质．参考答案1。

第一章推理与证明走近学科思想推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式,合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.合情推理具有猜想和发现新结论、探究和提供解决问题思路的作用;演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,演绎推理具有证明结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法.知识要点重要指数链接考题学习策略合情推理★★P5，例1（2007浙江高考，理8）；P6，例2（2007福建高考，理16）通过对具体实例的推理过程的分析、体会,概括出合情推理的描述性定义和常用的归纳和类比的思维方法综合法和分析法★★★★P22，例4（2006辽宁高考，理18文19）；P24，例5（2007海南、宁夏高考，理22（A））弄清综合法和分析法的证明方法特征,通过一些实例证明熟练两种证明方法的证明过程反证法★★★P42,例6（2007河南郑州模拟）；P43，例7（2007江西高考，理16）弄清楚使用反证法的常见情形及适用条件,形成使用反证法的意识数学归纳法★★★★P60，例9（2007天津高考，理21）；P60,例8（2006湖南高考，理19）关键是找出从n=k到n=k+1时的递推关系式§1 归纳与类比在日常生活中,人们常常需要进行各种各样的推理.如医生诊断病人的病症,警察侦破案件,数学家论证命题的真假等,其中都包含了推理活动.在数学中,证明的过程更离不开推理.本节就开始学习有关数学推理的知识.高手支招1细品教材一、推理1.推理的概念根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论.状元笔记合情推理中,当前提为真时,结论可能为真,也可能为假.2.合情推理(1)当前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理.合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,其推理过程为：(2)两种合情推理:归纳推理和类比推理.二、归纳推理1.概念根据一类事物的部分事物具有某种性质,推出这类事物中每一个都具有这种属性的推理方式,叫做归纳推理(有时简称归纳).归纳推理是从个别到一般.由部分到整体的过程. 状元笔记归纳推理的前提与结论不具有必然性联系,其结论不一定正确.2.特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.3.归纳推理的步骤其一般步骤为:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.示例:已知:数列{a n }的第1项a 1=1,且a n+1=nn a a +1(n=1,2,3,…),试归纳出这个数列的通项公式. 思路分析：数列{a n }的通项公式是第n 项a n 与序号n 之间的对应关系,我们可以先根据已知条件算出数列{a n }的前几项,然后去归纳出一般性的公式.解：当n=1时,a 1=1,当n=2时,a 2=21111=+,当n=3时,a 3=3121121=+,当n=4时,a 4=4131131=+,…… 通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数,由此归纳出:a n =n1. 三、类比推理1.概念两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,这类推理叫做类比推理(简称类比).类比推理是数学推理的一种重要形式,它的实质是根据两对象之间的相似,把信息从一个对象转移到另外一个对象,类比推理不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法.这在事物规律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用.2.特点(1)类比推理是由特殊到特殊的推理.(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以,类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.(3)类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能.类比推理在数学发现中有重要作用.(4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.状元笔记类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式,目的是寻找事物之间的共同或相似性质,它是一种似真推理.类比推理的结论需要进一步证明其正确性,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间就越相关,从而类比得出的结论就越可靠.例如，据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等.又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念.惠更斯在这里运用的推理就是类比推理. 3.类比推理的步骤其一般步骤为:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).状元笔记类比推理是两类事物特征之间的推理,利用类比推理得出的结论可能是正确的,也可能是错误的.【示例】类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是（）①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A.①B.①②C.①②③D.③思路分析：因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比,所以①②③都恰当.答案：C高手支招2基础整理推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式.任何推理都由前提和结论两部分组成,前提与结论的关系是理由与推断.原因与结果的关系.本节则主要讲述合情推理的两种类型:归纳推理和类比推理.其主要知识结构如下:。

演绎推理一、教学目标 1、知识与技能：(1)了解演绎推理 的含义；(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理； (3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。

二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习准备：1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？ ②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则） 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ 3. 导入：（小前提）是二次函数函数12++=x x y（二）、新课探析 1.概念：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

要点：由一般到特殊的推理。

② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊.③ 提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括 ⑴大前提---已知的一般原理； ⑵小前提---所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提） S —M （S 是M ） （小前提） S —P （S 是P ）（结论）3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2.例题探析：21.1y x x =++例把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

2016-2017学年高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比课后演练提升 北师大版选修2-2一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析： ∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，则x －20＝12,47－x ＝15，所以x ＝32，故选B.答案： B2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22 B.l 22 C.lr2D ．不可类比解析： 将扇形的弧类比为三角形的底边，半径类比为三角形的高．所以S 扇＝12lr ，故选C.答案： C3．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” C ．“(ab )n＝a n b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” D ．“a (bc )＝(ab )c ”类推出“a (bc )＝(ab )c ” 答案： B4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析： ∵55＝3 125， 56＝15 625,57＝78 125， 58＝390 625,59＝1 953 125，510＝9 765 625，…∴5n(n ∈N ，且n ≥5)的末四位数是周期性变化，且最小正周期为4. 记5n(n ∈N ，n ≥5)的末四位数为f (n )， ∴f (2 011)＝f (501×4＋7)＝f (7)， ∴52 011与57的末四位数相同，为8 125，故选D.答案： D 二、填空题5．如下图所示是由火柴杆拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________________根；第n 个图形中，火柴杆有________________根．解析： 观察得递推关系式a n －a n －1＝3(n ≥2，n ∈N ＋)．所以a n ＝3n ＋1，∴a 4＝13. 答案： 13 3n ＋16．椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2，那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________________.解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22y 0＝y 1＋y22(*)∵x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1， ∴两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即x 1－x 2x 1＋x 2a2＝y 1－y 2y 1＋y 2b2，将(*)式代入，得y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝b 2a 2，即k OM ·k AB ＝b 2a2.答案： b 2a2三、解答题7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式(不需证明)．解析： a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，a 1＝1时，a 2＝2×12＋1＝23； a 2＝23时，a 3＝2×232＋23＝12＝24；a 3＝12时，a 4＝2×122＋12＝25，…猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 8．从y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2＋k 的图像变换关系，类比谈谈函数y ＝f (x ＋a )＋b 的图像是由y ＝f (x )的图像如何得到的？解析： 根据y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2＋k 的顶点关系，我们可以发现将y ＝ax 2的图像向右(当h ＞0时)或向左(当h ＜0时)平移|h |个单位长度，再向上(当k ＞0时)或向下(当k ＜0时)平移|k |个单位长度，就得到y ＝a (x －h )2＋k 的图像．类比以上结论，函数y ＝f (x ＋a )＋b 的图像是由y ＝f (x )的图像沿x 轴方向向左(当a ＞0时)或向右(当a ＜0时)平行移动|a |个单位长度，再沿y 轴方向向上(当b ＞0时)或向下(当b ＜0时)平行移动|b |个单位长度所得．9．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)(2)(3)(4)所示为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式．解析：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1。

第一章 推理与证明一、教学目标1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。

2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点。

3、了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点。

4、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、教学重点：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。

教学难点：数学归纳法 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)知识结构本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理，以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程，它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程推理与证明FBCMEA也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程，要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生活中的作用。

（二）、例题探析例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。

例2、分别用分析法和综合法证明：在△ABC 中，如果AB =AC ，BE ，CF 分别是三角形的高线，BE 与CF 相交于点M ，那么，MB =MC 。

证明：（分析法）要证明MB =MC ，只需证明△BFM ≌△CEM 。

因为△BFM ，△CEM 均为直角三角形，且∠BMF =∠CME ， 只需证明BF =CE 即可。

在Rt △BFC 与Rt △CEB 中，由于△ABC 为等腰三角形， ∠ABC =∠ACB ，BC =BC ，∠EBC =∠FCB ，有△BFC ≌△CEB ，BF =CE 以上各布可逆，故MB =MC 。

（综合法）在Rt △BFC 与Rt △CEB 中，由于△ABC 为等腰三角形， 有∠ABC =∠ACB ，BC =BC ，∠EBC =∠FCB ，可知△BFC ≌△CEB ，所以BF =CE 在Rt △BFM 与Rt △CEM 中，∠BMF=∠CME ，∠FBM =∠ECM ， 所以△BFM ≌△CEM ，MB =MC ，得证。

第一章DIYIZHANG推理与证明§1归纳与类比课后篇巩固提升A组1.下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成,其中第1个图形由1个小正方形组成,第2个图形由3个小正方形组成,第3个图形由7个小正方形组成,第4个图形由13个小正方形组成,……,那么第8个图形中小正方形的个数是()A.72B.73C.57D.581个图形中的小正方形个数为1;第2个图形中的小正方形个数为1+2=3;第3个图形中的小正方形个数为1+2+4=7;第4个图形中的小正方形个数为1+2+4+6=13;所以第8个图形中的小正方形个数为1+2+4+6+8+10+12+14=57.故选C.2.下列几种推理中是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质.②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和均为180°,归纳出所有三角形的内角和均为180°.③教室内有一把椅子坏了,猜想该教室内所有的椅子都坏了.④由a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,归纳出数列{a n}的通项公式为a n=2n-1.A.①②B.①③④C.①②④D.②④是类比推理,②④是归纳推理,故①②④都是合情推理.3.下面使用类比推理恰当的是()A.“若a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(a·b)c=ac·bc”C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“a+bc =ac+bc(c≠0)”D.“(ab)n=a n b n”类比推出“(a+b)n=a n+b n”4.已知数对如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,则第60个数对是()A.(3,8)B.(4,7)C.(4,8)D.(5,7),数对中两数之和为2的有1个,为3的有2个,为4的有3个,…,为11的有10个,则根据数对规律可推出第56个数对为(1,11),往下的数对依次为(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6),….故选D .5.在平面直角坐标系中,点(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离d=00√A 2+B 2,类比可得在空间直角坐标系中,点(2,3,4)到平面x+2y+2z-4=0的距离为( ) A.4B.5C.163D.203,点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d=000√A 2+B 2+C 2,故点(2,3,4)到平面x+2y+2z-4=0的距离d=√12+22+22=4.故选A .6.若数列{a n }是等差数列,则数列b n =a n+1+a n+2+…+a n+mm(m ∈N *)也为等差数列,类比上述性质,相应地,若正项数列{c n }是等比数列,则数列d n = 也是等比数列.√c n+1c n+2…c n+m7.观察下列等式:sin30°+sin90°cos30°+cos90°=√3,sin15°+sin75°cos15°+cos75°=1,sin20°+sin40°cos20°+cos40°=√33. 照此规律,对于一般的角α,β,有等式 .,发现tan 30°+90°2=√3,tan15°+75°2=1,tan20°+40°2=√33,故对于一般的角α,β的等式为sinα+sinβcosα+cosβ=tan α+β2.tanα+β28.阅读以下求1+2+3+…+n (n ∈N +)的过程:因为(n+1)2-n 2=2n+1,n 2-(n-1)2=2(n-1)+1,…,22-12=2×1+1, 以上各式相加得(n+1)2-12=2(1+2+…+n )+n ,所以1+2+3+…+n=n 2+2n -n2=n (n+1)2.类比上述过程,可得12+22+32+…+n 2= (n ∈N +).(n+1)3-n 3=3n 2+3n+1,n 3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,…,23-13=3×12+3×1+1,以上各式相加得(n+1)3-13=3(12+22+…+n 2)+3(1+2+…+n )+n ,所以12+22+32+…+n 2=n (n+1)(2n+1)6.9.已知数列{a n }满足a 1=1,a na n+1=nn+1(n ∈N +).(1)求a 2,a 3,a 4,a 5,并猜想通项公式a n ;(2)根据(1)中的猜想,有下面的数阵:S1=a1S2=a2+a3S3=a4+a5+a6S4=a7+a8+a9+a10S5=a11+a12+a13+a14+a15试求S1,S1+S3,S1+S3+S5,并猜想S1+S3+S5+…+S2n-1的值.因为a1=1,由a na n+1=nn+1,知a n+1=n+1na n,故a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,可归纳猜想出a n=n(n∈N+).(2)根据(1)中的猜想,数阵为:S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65故S1=1=14S1+S3=1+15=16=24S1+S3+S5=1+15+65=81=34可猜想S1+S3+S5+…+S2n-1=n4.10.在Rt△ABC中,∠C=90°,当n>2时,有c n>a n+b n成立,请你类比直角三角形的这个性质,猜想一下空间四面体的性质.,与Rt△ABC对应的是四面体P-DEF;与Rt△ABC的两条边交成一个直角相对应的是四面体P-DEF的三个面在一个顶点D处构成3个直二面角;与Rt△ABC直角边a,b相对应的是四面体P-DEF 的平面△DEF,△FPD,△DPE的面积S1,S2,S3;与Rt△ABC的斜边c相对应的是四面体P-DEF的平面△PEF的面积S.由此猜想:当n>2时,S n>S1n+S2n+S3n.B组1.已知点P(10,3)在椭圆C:x2a2+y299=1上.若点N(x0,y0)在圆M:x2+y2=r2上,则圆M过点N的切线方程为x0x+y0y=r2.由此类比得椭圆C在点P处的切线方程为()A.x33+y11=1 B.x110+y99=1C.x11+y33=1 D.x99+y110=1P(10,3)在椭圆C:x 2a2+y299=1上,故可得100a 2+999=1,解得a 2=110.由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为10x110+3y99=1,整理可得x11+y33=1.故选C .2.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }{n ∈N +}的前12项(即横坐标为奇数项,纵坐标为偶数项),按如此规律下去,则a 2 013+a 2 014+a 2015=()A.1 006B.1 007C.1 008D.2 015,偶数项的值等于其项数的一半,则a 4n-3=n ,a 4n-1=-n ,a 2n =n ,∵2013=4×504-3,2015=4×504-1, ∴a 2013=504,a 2015=-504,a 2014=1007. ∴a 2013+a 2014+a 2015=1007.3.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,利用倒序求和法,可将S n 表示成首项a 1,末项a n 与项数n 的一个关系式,即S n =n (a 1+a n )2;类似地,记等比数列{b n }的前n 项积为T n ,且b n >0(n ∈N +),试类比等差数列求和的方法,可将T n 表示成首项b ,末项b n 与项数n 的一个关系式,即T n =( ) A.n (b 1+b n )2B.(b 1+b n )n2C.√b 1b n nD.(b 1b n )n 2,若m+n=p+q ,则b m ·b n =b p ·b q ,利用倒序求积法可得{T n =b 1·b 2·…·b n ,T n =b n ·b n -1·…·b 1,两式相乘得T n 2=(b 1b n )n ,故T n =(b 1b n )n2.4.观察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…,根据以上式子可以猜想:1+122+12+…+120212< .:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…,1+122+132+…+1n 2<2n -1n,故可得1+122+132+…+120212<40412021.5.在长方形ABCD 中,对角线AC 与两邻边所成的角分别为α,β,则cos 2α+cos 2β=1,请在立体几何中,给出类比猜想.,如图.ABCD中,cos2α+cos2β=(ac )2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1.于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.证明如下:cos2α+cos2β+cos2γ=(ml )2+(nl)2+(gl)2=m2+n2+g2l2=l2l2=1.6.一种十字绣作品由相同的小正方形构成,图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案,按照如此规律,第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5)的值;(2)利用归纳推理,归纳出f(n+1)与f(n)的关系式;(3)猜想f(n)的表达式,并写出推导过程.图①中只有一个小正方形,得f(1)=1;图②中有3层,以第2层为对称轴,有1+3+1=5(个)小正方形,得f(2)=5;图③中有5层,以第3层为对称轴,有1+3+5+3+1=13(个)小正方形,得f(3)=13;图④中有7层,以第4层为对称轴,有1+3+5+7+5+3+1=25(个)小正方形,得f(4)=25;第五步所对应的图案中有9层,以第5层为对称轴,有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41(个)小正方形,得f(5)=41.(2)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,f(5)=41,∴f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,∴f(n+1)-f(n)=4n.∴f(n+1)与f(n)的关系式为f(n+1)-f(n)=4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)=2n2-2n+1.由(2)可知f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,……f(n)-f(n-1)=4×(n-1)=4n-4,将上述n-1个式子相加,得f(n)-f(1)=4[1+2+3+4+…+(n-1)],则f(n)=2n2-2n+1.。

陕西省石泉县高中数学第一章推理与证明1.4 数学归纳法（1）教案北师大版选修2-2
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4 数学归纳法（1)。