2013中考最后冲刺---探究规律压轴题专题(六)：猜想、探索型专项训练A(附答案)

中考数学专题复习——规律猜想问题（经典题型）【专题点拨】给出一列数字、等式或者一组图形，通过观察、分析、猜想、探索归纳其规律的一类题目就是规律与猜想的探究性试题，这类问题要求大家都有较为敏锐的观察思考、分析、推理、演绎、归纳能力，从具体、特殊的事实中探究其存在的规律，把潜在的表面现象中的本质挖掘出来，是一种发现、创新。

【典例赏析】【例题1】（2017•乐山）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1=+++…++…．图2也是一种无限分割：在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，过点C 作CC 1⊥AB 于点C 1，再过点C 1作C 1C 2⊥BC 于点C 2，又过点C 2作C 2C 3⊥AB 于点C 3，如此无限继续下去，则可将利△ABC 分割成△ACC 1、△CC 1C 2、△C 1C 2C 3、△C 2C 3C 4、…、△C n﹣2C n ﹣1C n 、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是2=．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】先根据AC=2，∠B=30°，CC 1⊥AB ，求得S △ACC1=；进而得到=×，=×（）2，=×（）3，根据规律可知=×（）n ﹣1，再根据S △ABC =AC ×BC=×2×2=2，即可得到等式．【解答】解：如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC 1⊥AB ，∴Rt△ACC1中，∠ACC1=30°，且BC=2，∴AC1=AC=1，CC1=AC1=，∴S△ACC1=•AC1•CC1=×1×=；∵C1C2⊥BC，∴∠CC1C2=∠ACC1=30°，∴CC2=CC1=，C1C2=CC2=，∴=•CC2•C1C2=××=×，同理可得，=×（）2，=×（）3，…∴=×（）n﹣1，又∵S△ABC=AC×BC=×2×2=2，∴2=+×+×（）2+×（）3+…+×（）n﹣1+…∴2=．故答案为：2=．【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 【例题2】（2017湖北江汉）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣1，1），B （0，﹣2），C （1，0），点P （0，2）绕点A 旋转180°得到点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得到点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得到点P 3，点P 3绕点A 旋转180°得到点P 4，…，按此作法进行下去，则点P 2017的坐标为 （﹣2，0） ．【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标． 【分析】画出P 1～P 6，寻找规律后即可解决问题．【解答】解：如图所示，P 1（﹣2，0），P 2（2，﹣4），P 3（0，4），P 4（﹣2，﹣2），P 5（2，﹣2），P 6（0，2）， 发现6次一个循环， ∵2017÷6=336…1，∴点P 2017的坐标与P 1的坐标相同，即P 2017（﹣2，0）， 故答案为（﹣2，0）．【例题3】（2017黑龙江佳木斯）如图，四条直线l1：y1=x，l2：y2=x，l3：y 3=﹣x，l4：y4=﹣x，OA1=1，过点A1作A1A2⊥x轴，交l1于点A2，再过点A 1作A1A2⊥l1交l2于点A2，再过点A2作A2A3⊥l3交y轴于点A3…，则点A2017坐标为[（）2015，（）2016] ．【考点】D2：规律型：点的坐标．【分析】先利用各直线的解析式得到x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，各点的位置是每12个一循环，由于2017=168×12+1，则可判定点A2016在x轴的正半轴上，再规律得到OA2016=（）2015，然后表示出点A2017坐标．【解答】解：∵y1=x，l2：y2=x，l3：y3=﹣x，l4：y4=﹣x，∴x轴、l1、l2、y轴、l3、l4依次相交为30的角，∵2017=168×12+1，∴点A2016在x轴的正半轴上，∵OA2==，OA3=（）2，OA=（）3，4…=（）2015，OA2016∴点A坐标为[（）2015，（）2016]．2017故答案为[（）2015，（）2016]．【能力检测】1. （2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A．84株B．88株C．92株D．121株【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=11时的芍药的数量．【解答】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n﹣1）×4，∴当n=11时，芍药的数量为：4+（2×11﹣1）×4=4+（22﹣1）×4=4+21×4=4+84=88，故选B．2.（2017•黑龙江）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…．则第2017个图形中有8065 个三角形．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4．【解答】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=4n﹣3，当n=2017时，4n﹣3=8065，故答案为：8065．【点评】此题考查图形的变化规律，由特殊到一般的归纳方法，找出规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4解决问题．3.（2017黑龙江鹤岗）观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…．则第2017个图形中有8065 个三角形．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，发现规律：后一个图形中三角形的个数总比前一个三角形的个数多4．【解答】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…第n 个图形中三角形的个数是1+4（n ﹣1）=4n ﹣3， 当n=2017时，4n ﹣3=8065， 故答案为：8065．4. （2017•温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1（0，1），P 2（﹣1，0），P 3（0，﹣1），则该折线上的点P 9的坐标为（ ）A ．（﹣6，24）B ．（﹣6，25）C ．（﹣5，24）D ．（﹣5，25） 【考点】D2：规律型：点的坐标． 【专题】17 ：推理填空题．【分析】观察图象，推出P 9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P 5在P 2的正上方，推出P 9在P 6的正上方，且到P 6的距离=21+5=26，所以P 9的坐标为（﹣6，25）， 故选B ．【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P 9的位置．5. 如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=x ﹣与x 轴交于点B 1，以OB 1为边长作等边三角形A 1OB 1，过点A 1作A 1B 2平行于x 轴，交直线l 于点B 2，以A 1B 2为边长作等边三角形A 2A 1B 2，过点A 2作A 2B 3平行于x 轴，交直线l 于点B 3，以A 2B 3为边长作等边三角形A 3A 2B 3，…，则点A 2017的横坐标是．【分析】先根据直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．【解答】解：由直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A的横坐标为+1+2+4==，4的横坐标为，由此可得，An的横坐标是，∴点A2017故答案为：．【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的的横坐标为运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得An ．。

专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二 图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个 【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年 【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二 图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875， 即点B 21的纵坐标为3875.。

中考复习专题：猜想、规律与探索题一 、选择题1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ） A .28 B .56 C .60 D . 124【答案】C3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．【答案】)2(+n n4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）【答案】(1)4n n ++或24n n ++5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1第1个图形第 2 个图形 第3个图形第 4 个图形第 18题图② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1④ ……（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【答案】解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+---1=-.6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数；（3）求第n 行各数之和． 【解】（1）64，8，15； （2）2(1)1n -+，2n ，21n -；（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.二、填空题1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。

猜想、规律与探索一 选择题1.一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ） A ．(4，O)B.(5，0)C ．(0，5)D ．(5，5)【解题思路】方法一、在演草纸上按规律去画。

方法二、根据题意，结合图形我们可以发现第n （n+2）秒时跳蚤所在位置的坐标是⎩⎨⎧→→为偶数时为奇数时，n n),0(n )0n (，35= 5（5+2）所以要求坐标为(5，0)。

【答案】B【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律一次去画。

难度中等。

2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点坐标分别为A (1，1)，B (1，－1)，C (－1，－1)，D (－1，1)，y 轴上有一点P (0，2)．作点P 关于点A 的对称点P 1，作点P 1关于点B 的对称点P 2，作点P 2关于点C 的对称点P 3，作点P 3关于点D 的对称点P 4，作点P 4关于点A 的对称点P 5，作点P 5关于点B 的对称点P 6，…，按此规律下去，则点P 2011的坐标为( ) A ．(0，2) B ．(2，0) C ．(0，－2) D ．(－2，0)【解题思路】P 1(2，0)，P 2(0，－2)，P 3(－2，0)，P 4与P 重合．题中所述点列P 1→P 2→P 3→P 4→P 5→…是循环的，循环节是．P 1→P 2→P 3→P ．∵2011＝502×4＋3，∴P 2011是循环点列中第503节的第三个点，即是P 3． 【答案】D【点评】此题考查探索、归纳和猜想的能力．探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行，难度较大．对点（x ，y ）的一次操作变换记为P 1（x ，y ），定义其变换法则如下：P 1（x ，y ）=（y x +，y x -）；且规定)),((),(11y x P P y x P n n -=（n 为大于1的整数）．如P 1（1，2 ）=（3，1-），P 2（1，2 ）= P 1（P 1（1，2 ））= P 1（3，1-）=（2，4），P 3（1，2 ）= P 1（P 2（1，2 ））= P 1（2，4）=（6，2-）．则P 2011（1，1-）=（ ） A ．（0,21005） B ．（0,-21005） C ．（0,-21006） D ．（0,21006）【解题思路】：P 1（1，1-）=(0,2)；P 2（1，1-）=P 1(0,2)=(2，2-)；P 3（1，1-）=P 1（P 2(1,1-)=P 1(2，2-)=(0,4)；……由此可知当n 为奇数数时，横坐标为0，纵坐标为21(1)2n +，所以P 2011（1，1-）=（0,21006）【答案】D ．【点评】：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题难度较大，考查了学生分析问题的能力.也可以看作是新定义型问题.已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2010年、2012年举办。

归纳猜想型问题中考考点精讲考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1 （2013•巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n．解：第八项为-27a8=-128a8．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．对应训练1．（2013•株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。

其中，以图形为载体的数字规律最为常见。

猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例2 （2013•牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是．思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n 个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；解答：解：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；故答案为：3n+4点评：此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．例3 （2013•绥化）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线上．思路分析：根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以3，根据余数来决定数2013在哪条射线上．解：∵1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OA上，…每六个一循环，2013÷6=335…3，∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，∴所描的第2013个点在射线OC上．故答案为：OC．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键．对应训练2．（2013•娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒．2．2n+13．（2013•江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为（用含n的代数式表示）．3．（n+1）2解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，3．（8052，0）考点四：猜想数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一 、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案中有2个圆圈 第①个图案中有5个圆圈 第①个图案中有8个圆圈 第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（ ）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（ ）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中 每个网格小正方形的边长均为1个单位长度 以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为 ．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中 点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上 点123B B B 、、在直线()0y x =≥上 若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为 ．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．参考答案一 单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律 由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍 第①个图案用了45214+⨯=根木棍 第①个图案用了45319+⨯=根木棍 第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根 故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环 从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ， 故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化 解答本题的关键是仔细观察图象 得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律 解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径 再计算弧长即可．【详解】解：由图可知 曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=． 故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算 弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致 故202023在第20列 即20b = 向前递推到第1列时 分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点 解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果． 【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算 熟练掌握运算法则 找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点 即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点 即2A 到()91,1A 第3圈有16个点 即10A 到()252,2A 依次类推 第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上 且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上 且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确 故选B ．【点睛】本题考查图形与规律 利用所给的图形找到规律是解题的关键．二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ． 【答案】 15 45【分析】根据新定义 列举出前几个智慧优数 找到规律 进而即可求解．【详解】解：依题意 当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数 同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数 当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义 平方差公式的应用 找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数 氢原子的个数 找到规律 即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数 氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题 找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数 等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解． 【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律 找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中 各个数因数的个数 完全平方数的因数为奇数个 从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中 完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数 故有10盏灯被按奇数次 为“亮”的状态 故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解 完全平方数 理解因数的意义 完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +． 故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题 熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片． 故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律 通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素 然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解． 【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律 找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为 点2023A 的坐标为 ．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上 故点2023A 在第四象限 且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环 每旋转6次 点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限 且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转 解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质 根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =． 【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子 抽象出相应的数字规律 进行作答即可． 【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标 从而可计算出1234,,,S S S S …的高 进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==． 故答案为：2023253． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用 解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律 找出数字之间的排列规律 利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心 半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得 故2023A 点坐标为()2023,1-． 故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索 通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律 得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题 考查了二次函数的图象和性质 正方形的性质等知识 数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化 找其中的规律 是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．。

中考专题复习 ----------- 猜想、规律与探索一、设计类【例1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。

二、动态类【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A 2，A3，…。

若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。

则第10圈的长为。

【例4】)已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。

在平面直角坐标系内，现有一动点P 第1次从原点O 出发按甲方式运动到点P 1，第2次从点P 1出发按乙方式运动到点P 2，第3次从点P 2出发再按甲方式运动到点P 3，第4次从点P 3出发再按乙方式运动到点P 4,……。

依此运动规律，则经过第11次运动后，动点P 所在位置P 11的坐标是 。

三、数字类【例5】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。

请你按这种规律写出第七个数据是 。

【例6】观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，…．根据上述算式中的规【例7】按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），…，第5个数对是 。

【例8】一组按规律排列的数：，，，，，…请你推断第9个数是【例9】把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、…，则第10个数为 。

探索规律一 、选择题（本大题共5小题）1.给定一列按规律排列的数：11111,,,,3579它的第10个数是（ ）A.115 B.117 C.119 D.1212.观察下面几组数：1，3，5，7，9，11，13，15，… 2，5，8，11，14，17，20，23，… 7，13，19，25，31，37，43，49，…这三组数具有共同的特点．现在有上述特点的一组数，并知道第一个数是3，第三个数是11．则其第n 个数为（ ）A.85n -B.22n +C. 41n -D.225n +3.已知：2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，255552424+=⨯，…，若21010b ba a+=⨯符合前面式子的规律，则a b +的值为A ．179B ．140C ．109D ．2104.观察表一，寻找规律，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a ，b ，c 的值分别为（ ）A 、20，29，30B 、18，30，26C 、18，20，265.为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）A．26n+ D．8n+ C．44n+ B．86n二、填空题（本大题共21小题）6.如图所示，请说出第n个图形中笑脸的个数7.观察下列等式：22⨯=-，226575705⨯=-，5664604⨯=-，22⨯=-，223941401485250222⨯=-…8397907请你把发现的规律用字母表示出来：m n=8.根据下列图形的排列规律，第2008个图形是 (填序号即可).(① ；② ；③ ；④ .)……;9.观察下列等式：第一行 3＝4-1第二行 5＝9-4第三行 7＝16-9第四行 9＝25-16第五行 11＝36-25……按照上述规律，第n 行的等式为 .10.观察算式：2222211;132;1353;1357164;13579255=+=++=+++==++++==用代数式表示这个规律（n 为正整数）()1357921n ++++++-=____________11.已知数列a 、22a -、33a 、44a -，......则第n 个单项式为12.公元32r a a≈+得到无理数的近似值，其中r 取正整数，且a 取尽可能大的正整数，131212≈+=⨯______ ．13.下面是一个三角形数阵：1------------------------==第1行 2 3 --------------------第2行 4 5 6------------------第3行 7 8 9 10------------第4行 ……根据该数阵的规律,第8行第2个数是14.填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C = .15.已知y x 5=+，当x 分别取1，2，3，…，2020时，所对应y 值的总和是 ．CBA 5567532053116.柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：第一层有23⨯听罐头， 第二层有34⨯听罐头， 第三层有45⨯听罐头，……根据这堆罐头排列的规律，第n （n 为正整数）层有 听罐头（用含n 的式子表示）17.某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完全围起来，如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）……依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为______________18.一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ，第n 个数是 （n 为正整数）．19.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．20.222213321,351541,573561,796381⨯==-⨯==-⨯==-⨯==-，猜想：第n…… 第1幅 第2幅第3幅第n 幅个等式（n 为正整数）应为21.一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________22.将连续的自然数1至36按如图的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a ，用含有a 的代数式表示这9个数的和为 .23.如图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝ ．（用n 的代数式表示）24.如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连接图（2）中间的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题.s ss（1）将下表填写完整；（2）在第n 个图形中有 个三角形.(用含n 的式子表示)25.已知212212+=⨯，334433442233⨯=+⨯=+，，……若1010+=⨯bab a （a ，b 都是正整数），则a +b 的值是____________26.如图所示，下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n ()2n ≥枚棋子，每个图案中棋子总数为s ，则s 与n 之间的关系可以表示为 .三 、解答题（本大题共1小题）27.请你观察、思考下列计算过程2211121,11;11112321,111;==== ．探索规律答案解析一 、选择题 1.C 2.C 3.C 4.D 5.A二 、填空题6.2n7.2222m n m n +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.③9.()22211n n n +=+- 10.2n 11.()11n n na --12.103 13.30 14.10815.2032;解：当x ＜4时，原式＝4﹣x ﹣x +5＝﹣2x +9， 当x ＝1时，原式＝7； 当x ＝2时，原式＝5； 当x ＝3时，原式＝3；当x ≥4时，原式＝x ﹣4﹣x +5＝1，∴当x 分别取1，2，3，…，2020时，所对应y 值的总和是： 7+5+3+1+1+…+1 ＝15+1×2017 ＝2032．16.2(32)n n ++ 17.86n +18.8,20n n n ⎧⎨⎩是奇数是偶数19.7，2n-120.()()()2212121n n n -⨯+=-21.)4()2(2++n n n 或4)2()2(22-++n n22.9a23.2(1)n n +；观察法,由图知边长为1的正方形要火柴4根,边长为2的正方形要火柴12根,边长为3的正方形要火柴24根,以此类推答案是2(1)n n +24.(1)13,17 (2)43n - 25.1926.()41s n =-三 、解答题27.111111111。

猜想、探索型专项训练A总分120分，时间90分钟一、细心填一填（每题3分，共30分）1．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第n 个图形中需要黑色瓷砖块（用含n 的代数式表示）.2．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 张3．如图，点B 在AE 上，∠CAB =∠DAB ，要使△ABC ≌△ABD ，可补充的一个条件是： (写出一个即可）．4．如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律 ．ABCD E …… (1)（2）（3）……211＝ 213＋＝2 23＋6＝3 29＋10＝45．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为_____________。

6． 100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1，0，那么这100个数中“0”的个数为 ____________个． 7．如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方案摆下去,当每边上摆2006根火柴棒时,共需要摆________根火柴棒.8．右图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1， 回形线与射线OA 交于,,,321A A A …．若从O 点到1A 点的回形线为第1圈（长为7），从1A 点到2A 点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．BA 3A 2A 1AO9．观察下列各等式：111111111121223233434=-=-=-⨯⨯⨯L ，，， 根据你发现的规律，计算：2222122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯⨯+L （n 为正整数）10．请你仔细观察图中等边三角形图形的变换规律，写出你发现关于等边三角形内一点到三边距离的数学事实：。

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。