2019年高三二轮复习数学江苏专版 专题训练3个附加题综合仿真练(三)(理科)

江苏省南京市2019届高三二模考前模拟测试数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1. 已知{}0,2,4,6A =，{}2,34,5B =,，则B A ⋂ =． 2. 若复数z 满足z －－2＝i(1＋i)(i 为虚数单位)，则z ＝____________．3. 一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 500)(元/月)收入段应抽出________人．4. 函数()f x __________．5.根据如图所示的伪代码可知，输出的结果S 为________.6.在区间[1,1]-上随机取一个数x ，则cos2x π的值介于0到12之间的概率为=______. 7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：210y x ＝＋，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为 ▲ ．8. 已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此正四棱锥的侧棱长为________.9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝3EF ，则AF BC ⋅的值为 ．11. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，且数列{}nS 也为等差数列，则11a = ▲ ．12. 已知函数满足，当时，，若在区间上，函数ax x f x g -=)()(恰有一个零点，则实数的取值范围是 ▲ ．13.已知在ABC △中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若tan 2tan A B =，则b c a+的最大值为_______.14. 已知函数22e ()ln 0x x a f x x x a ⎧⎪=⎨⎪<<⎩，≥，，．若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得00()f x kx =成立，求实数a 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．()f x ()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭[]1,3x ∈()ln .f x x =1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦a15. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且 BC //平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面P AB ⊥平面PCD ．16. （本小题满分14分）已知函数 的最大值为2． （1）求函数在上的单调递减区间；（2）△ABC 中，，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C =60°，，求△ABC 的面积．()sin f x m x x =()0m >()f x []0π，ππ()()sin 44f A f B A B -+-=3c =17. （本小题满分14分）如图，某城市有一个边长为4百米的正方形休闲广场，广场中间阴影部分是一个雕塑群.建立坐标系（单位：百米），则雕塑群的左上方边缘曲线AB是抛物线24(13,0)=≤≤≥的一段. 为方便市民，拟建造一条穿越广场的直路EF（宽度y x x y不计），要求直路EF与曲线AB相切（记切点为M），并且将广场分割成两部分，其中直路EF左上部分建设为主题陈列区. 记M点到OC的距离为m（百米），主题陈列区的面积为S（万平方米）.（1）当M为EF中点时，求S的值；（2）求S的取值范围.18. （本小题满分16分）已知(2,0),(2,0),A B C D -点、依次满足12,().2AC AD AB AC ==+（1）求点D 的轨迹；（2）过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线,PA PB 都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．19. （本小题满分16分）设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.20. （本小题满分16分）已知函数()()2,f x x bx c b c R =++∈，并设()()xf x F x e=， Q (1,0)P Q P（1）若()F x 图像在0x =处的切线方程为0x y -=，求b 、c 的值； （2）若函数()F x 是(),-∞+∞上单调递减，则① 当0x ≥时，试判断()f x 与()2x c +的大小关系，并证明之；② 对满足题设条件的任意b 、c ，不等式()()22f c Mc f b Mb -≤-恒成立，求M的取值范围．数学Ⅱ(附加题)本卷共4小题，每小题10分，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设数列满足，且满足，试求二阶矩阵。

3个附加题专项强化练(一) 选修4系列(理科)A 组1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，已知圆O 的直径AB ＝4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE ＝2CD ，求△OCE 的面积．解：设CD ＝x ，则CE ＝2x . 因为CA ＝1，CB ＝3，由相交弦定理，得CA ·CB ＝CD ·CE ， 所以1×3＝2x 2，解得x ＝62. 取DE 的中点H ，连结OH ， 则OH ⊥DE .因为EH ＝32CD ＝364，所以OH 2＝OE 2－EH 2＝22－⎝⎛⎭⎫3642＝58，所以OH ＝104.又因为CE ＝2x ＝6，所以△OCE 的面积S ＝12OH ·CE ＝12×104×6＝154.B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成点(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：(1)由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋3a ＝3，2b －6＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)，得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－11－1－5－1 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11－54.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ2＝x 2＋y 2，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，由ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 得ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝2， x 2＋y 2－2(x ＋y )＝2，故圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，两式相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y－1＝0，该直线的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0. D ．[选修4－5：不等式选讲] 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，即－x 2－3x >0，解得－3＜x ≤－2；当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2， 即x 2＋x >0，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2；当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2，即x 2＋3x －4>0，解得x ≥2. 所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}． 2．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，圆O 是△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BC 的中点，连结AD并延长，与以C 为切点的切线交于点P ，求证：PC PA ＝BDAC.证明：连结CD ，因为CP 为圆O 的切线， 所以∠PCD ＝∠PAC ，又∠P 是公共角， 所以△PCD ∽△PAC ，所以PC PA ＝CD AC，因为点D 是劣弧BC 的中点， 所以CD ＝BD ，即PC PA ＝BDAC . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32 d ，若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值． 解：因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32 d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋6＝8，2＋2d ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 所以矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4，令f (λ)＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．解：由题意，直线l 的普通方程为2x ＋y ＝9， 椭圆C 的普通方程为y 29＋x 2a 2＝1(0＜a ＜3)，椭圆C 的准线方程为y ＝±99－a 2， 故99－a 2＝9，解得a ＝22(负值舍去)． D ．[选修4－5：不等式选讲]求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值． 解：y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2 x ， 由柯西不等式得y 2＝(3sin x ＋4cos 2x )2≤(32＋42)(sin 2x ＋cos 2x )＝25，当且仅当4sin x ＝3|cos x |，即sin x ＝35，|cos x |＝45时等号成立，所以y max ＝5.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5. 3．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M.(1)若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； (2)若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN . 解：(1)设AM ＝t ，则BM ＝8－t (0<t <8)， 由切割线定理可得BC 2＝BM ·BA .∴16＝8(8－t )，解得t ＝6，即线段AM 的长度为6. (2)证明：由题意，∠A ＝∠MNB ，∠B ＝∠B ， ∴△BMN ∽△BCA ，∴BN BA ＝MNCA， ∵AB ＝2AC ，∴BN ＝2MN . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T 对应的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 5－4 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，5a ＝－1，3c －4d ＝－1，5c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －132025 1120.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．解：法一：在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即所求弦长为2 2.法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线θ＝π4(ρ∈R)的直角坐标方程为y ＝x ，①曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截弦长的端点坐标分别为(0,0)，(2,2)，所以直线θ＝π4(ρ∈R)被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为22＋22＝2 2.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)． 证明：a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2) ＝a 4＋6a 2b 2＋b 4－4a 3b －4b 3a ＝a 4－4a 3b ＋6a 2b 2－4b 3a ＋b 4 ＝(a －b )4，∵a ≠b ，∴a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)>0， ∴a 4＋6a 2b 2＋b 4>4ab (a 2＋b 2)．4．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，弦CA ，BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD .求证：∠DEA ＝∠DFA .证明：连结AD ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝90°， 又EF ⊥FB ， ∴∠AFE ＝90°， ∴A ，F ，E ，D 四点共圆， ∴∠DEA ＝∠DFA .B ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 3 b 的一个特征值λ＝－1及对应的特征向量e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，求矩阵M 的逆矩阵．解：由题知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 3b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a 3－b ＝－1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝－1，3－b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2.∴det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 2＝1×2－2×3＝－4， ∴M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1234 －14.C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2y ＝t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝3cos θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．解：由题意知，直线l 的普通方程为2x －y －2＝0，由ρ2＝x 2＋y 2，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得曲线C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，它表示圆． 由圆心⎝⎛⎭⎫32，0到直线l 的距离d ＝15＝55＜32，得直线l 与曲线C 相交． D ．[选修4－5：不等式选讲]设x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，求证：1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ≥xy ＋yz ＋zx .证明：∵x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1， ∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ＝z x 2＋x y 2＋y z2， ∴由柯西不等式可得⎝⎛⎭⎫z x 2＋x y 2＋y z 2(xy ＋yz ＋zx )≥⎝⎛⎭⎫xyz x＋xyz y ＋xyz z 2＝⎝⎛⎭⎫xyz x＋xyz y ＋xyz z 2＝(xy ＋yz ＋zx )2. ∴1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx . B 组1．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，∠ACB ＝∠ADC .求证：AD ·BC ＝2AC ·CD .证明：∵∠ACB ＝∠ADC ，AD 是⊙O 的直径， ∴AD 垂直平分BC ，设垂足为E ，∵∠ACB ＝∠EDC ，∠ACD ＝∠CED ， ∴△ACD ∽△CED ， ∴AD CD ＝AC CE， ∴AD ·12BC ＝AC ·CD ，∴AD ·BC ＝2AC ·CD . B ．[选修4－2：矩阵与变换]在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1,2)．则A ′B ――→＝(2,2)，A ′B ′――→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4. 所以点B ′的坐标为(－1,4)． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离 d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45. 当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ∈R,4a 2＋b 2＋2c 2＝4，求2a ＋b ＋c 的最大值．解：由柯西不等式，得[(2a )2＋b 2＋(2c )2]·⎣⎡⎦⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫122≥(2a ＋b ＋c )2.因为4a 2＋b 2＋2c 2＝4，所以(2a ＋b ＋c )2≤10. 所以－10≤2a ＋b ＋c ≤10，所以2a ＋b ＋c 的最大值为10，当且仅当a ＝105，b ＝2105，c ＝105时等号成立． 2．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F .求证：AB 2＝BE ·BD －AE ·AC .证明：如图，连结AD ，因为AB 为圆O 的直径，所以AD ⊥BD .又EF ⊥AB ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， 所以BD ·BE ＝BA ·BF .连结BC ，则∠AFE ＝∠ACB ，∠BAC ＝∠EAF ， 得△ABC ∽△AEF ， 所以AB AE ＝ACAF ，即AB ·AF ＝AE ·AC ，所以BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB ·(BF －AF )＝AB 2. B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，由题意，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋2b －c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(2)令特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)·(λ－4)－8＝0， 解得λ1＝8，λ2＝2.矩阵M 的另一个特征值为2. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin α，y ＝1－cos 2α(α为参数)．求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解：由题意得，直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ，① 曲线C 的普通方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])，②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6(舍去)． 故P 点的直角坐标为(0,0)． D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c . 证明：法一：(基本不等式)∵a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a 2c ≥2a ，∴a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ＋a 2c ≥2a ＋2b ＋2c ， ∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c . 法二：(柯西不等式)由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥(b ＋c ＋a )2，∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c . 3．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD 分别交AB 于点E ，F .求证：PE ·PC ＝PF ·PD.证明：连结PA ，PB ，CD ，BC . 因为点P 为弧AB 的中点， 所以∠PAB ＝∠PBA . 又因为∠PAB ＝∠PCB ，所以∠PCB ＝∠PBA . 又∠DCB ＝∠DPB ，所以∠PFE ＝∠PBA ＋∠DPB ＝∠PCB ＋∠DCB ＝∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆． 所以PE ·PC ＝PF ·PD . B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 把曲线C 变换成曲线C 1，求曲线C 1的方程．解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 作用下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2，代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2⎝⎛⎭⎫x ′－y ′22＝1，即x ′2＋y ′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫2，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上．当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 则点A ⎝⎛⎭⎫2，π2的直角坐标为(0,2)，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0. AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以点B 的直角坐标为(－1，1). 所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4. D ．[选修4－5：不等式选讲]求函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值．解：易知函数f (x )的定义域为[0,4]，且f (x )≥0.由柯西不等式得[52＋(2)2][(x )2＋(4－x )2]≥(5·x ＋2·4－x )2，即27×4≥(5·x ＋2·4－x )2，所以5x ＋8－2x ≤6 3. 当且仅当2×x ＝54－x ，即x ＝10027时取等号． 所以函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值为6 3.4．本题包括A 、B 、C 、D 四个小题，请任选二个作答A ．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB ＝∠D .证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC .故∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B ＝∠D .因此∠OCB ＝∠D .B ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －20 1，设曲线C ：(x －y )2＋y 2＝1在矩阵A 对应的变换下得到曲线C ′，求C ′的方程．解：设P (x 0，y 0)为曲线C 上任意一点，点P 在矩阵A 对应的变换下得到点Q (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2y 0，y ＝y 0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 2＋y ，y 0＝y ，又(x 0－y 0)2＋y 20＝1，∴⎝⎛⎭⎫x 2＋y －y 2＋y 2＝1，即x 24＋y 2＝1， ∴曲线C ′的方程为x 24＋y 2＝1. C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．解：由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.设P ⎝⎛⎭⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则PC ＝⎝⎛⎭⎫3＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，PC 取得最小值，此时点P 的直角坐标为(3,0)．D ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd ＝1，求证：a 5＋b 5＋c 5＋d 5≥a ＋b ＋c ＋d .证明：因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd ＝1,所以a 5＋b ＋c ＋d ≥44a 5bcd ＝4a .①同理b 5＋c ＋d ＋a ≥4b ，②c 5＋d ＋a ＋b ≥4c ，③d 5＋a ＋b ＋c ≥4d ，④将①②③④式相加并整理，得a 5＋b 5＋c 5＋d 5≥a ＋b ＋c ＋d .当且仅当“a ＝b ＝c ＝d ＝1”时等号成立．。

3个附加题综合仿真练(三）（理科)1．本题包括A、B、C三个小题,请任选二个作答A．［选修4－2：矩阵与变换]设a，b∈R.若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A＝错误!对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0。

求实数a，b的值．解：法一：在直线l:ax＋y－7＝0上取点M(0,7)，N(1,7－a）,由错误!错误!＝错误!,错误!错误!＝错误!，可知点M（0，7）,N（1，7－a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点M′(0，7b），N′(3，b(7－a)－1）,由题意可知：M′,N′在直线9x＋y－91＝0上，∴错误!解得错误!∴实数a，b的值分别为2,13.法二：设直线l上任意一点P(x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到Q（x′，y′）,则错误!错误!＝错误!,∴错误!由Q(x′，y′）在直线l′：9x＋y－91＝0上，∴27x＋(－x＋by）－91＝0,即26x＋by－91＝0，∵点P在ax＋y－7＝0上,∴错误!＝错误!＝错误!，解得a＝2，b＝13.∴实数a，b的值分别为2,13.B．［选修4－4：坐标系与参数方程］以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l:错误!(t为参数）与圆C：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置关系．解：把直线l的参数方程化为普通方程为x＋y＝2.将圆C的极坐标方程ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x2＋2x＋y2－2y＝0，即(x＋1)2＋(y－1）2＝2.所以圆心C（－1,1）到直线l的距离d＝错误!＝错误!，所以直线l与圆C相切．C．［选修4－5:不等式选讲]已知a,b∈R，a〉b〉e（其中e是自然对数的底数）,求证：b a〉a b。

证明：∵b a〉0，a b>0,∴要证b a>a b，只要证a ln b〉b ln a,只要证错误!〉错误!，构造函数f (x ）＝ln x x,x ∈（e ，＋∞）． 则f ′(x )＝错误!,x ∈（e,＋∞),f ′(x ）<0在区间（e ，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在x ∈（e ，＋∞）上是单调递减的，所以当a 〉b 〉e 时，有f （b )>f (a )，即错误!>错误!,故b a >a b 得证．2．从0,1，2，3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成三位数的各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率；(2）求X 的概率分布及数学期望．解：（1）记“X 是奇数"为事件A ，能组成的三位数的个数是4×4×3＝48。

3个附加题综合仿真练（二）(理科）1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T将平面上的点错误!，(0，1)分别变换为点错误!，错误!.设变换T对应的矩阵为M.（1）求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值．解:（1）设M＝［⎦⎥⎤a b c d，则错误!错误!＝错误!，错误!错误!＝错误!，即错误!解得错误!则M＝错误!.(2）设矩阵M的特征多项式为f（λ),可得f（λ)＝错误!＝（λ－3）（λ－4)－6＝λ2－7λ＋6，令f(λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6。

B．[选修4－4：坐标系与参数方程］在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l:2ρsin 错误!＝m（m∈R)，圆C的参数方程为错误!(t为参数)．当圆心C到直线l的距离为错误!时，求m的值．解：由错误!ρsin错误!＝m，得2ρsin θcos错误!－错误!ρcos θsin错误!＝m，即x－y＋m＝0，即直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0，圆C的普通方程为（x－1)2＋(y＋2）2＝9,圆心C到直线l的距离d＝错误!＝错误!，解得m＝－1或m＝－5。

C．[选修4－5：不等式选讲］已知x，y,z都是正数且xyz＝8,求证：（2＋x)(2＋y)·（2＋z）≥64.证明：因为x为正数，所以2＋x≥2错误!。

同理2＋y≥22y，2＋z≥2错误!。

所以(2＋x)( 2＋y)( 2＋z)≥22x·22y·2错误!＝8错误!.因为xyz＝8，所以（2＋x）（2＋y）(2＋z)≥64.2．如图,在棱长为3的正方体ABCD。

A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.（1）求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2）求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．解：（1）以D为坐标原点，DA，DC,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系D。

2019届江苏高考仿真试卷（三）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合，则____．【答案】【解析】∵集合∴故答案为.2. 已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为____．【答案】【解析】∵复数∴∵为纯虚数∴，即.故答案为.3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为____．【答案】30【解析】根据频率分布直方图可得成绩不低于60分的学生的频率为.∴成绩不低于60分的学生的人数为为.故答案为.4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值为____．【答案】125【解析】模拟执行程序可得：，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为.故答案为.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；(3)按照题目的要求完成解答并验证．5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为____．【答案】【解析】设，则，矩形的面积为.∵∴由几何概率的求解公式可得：该矩形的面积大于的概率为.故答案为.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.6. 在中，已知，则的长为____．【答案】【解析】由题意得，.根据余弦定理得∴∵∴，即.故答案为.7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的焦距为____．【答案】【解析】∵双曲线与双曲线有公共的渐近线∴设双曲线的方程为∵双曲线经过点∴∴双曲线的方程为∴双曲线的焦距为故答案为.8. 在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点，，则的值为____．【答案】【解析】∵角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点，∴，∴故答案为.9. 设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为____．【答案】-6【解析】设等比数列的公比为.∵成等差数列∴，且.∴，即.∴或（舍去）∵∴故答案为.10. 已知均为正数，且，则的最小值为____．【答案】8【解析】∵均为正数，且∴∴，当且仅当，时取等号∴的最小值为故答案为.点睛：本题主要考查等差中项的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11. 在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为____．【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图所示：由对称性可知，圆的圆心在轴上，设，则，解得或（舍去）.∴面积最大的圆的标准方程为.故答案为.12. 设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】当时，，画出函数图象如图所示：∴函数此时有1个零点∵函数在上有3个不同的零点∴当时，有2个不同的零点∵∴令，则，若，则函数为增函数，不合题意，故.∴函数在上为增函数，在上为减函数，即.∵∴要使在上有2个不同的零点，则.∴故答案为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．13. 在平面四边形中，已知，则的值为____．【答案】10【解析】取中点，连接，.∴∵∴故答案为.14. 已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为____．【答案】【解析】由题意得函数为奇函数.∵函数∴令，得，则.∵函数的最小值为∴∴，得.①当时，函数的定义域为，由得或，由得，函数在，上为增函数，在上为减函数.∵，，∴，则②当时，函数的定义域为，由得，得或，函数在上为增函数，在，为减函数.∵，∴，则.综上所述，或.故答案为，.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. 在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，，且，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由向量，，得，再根据，即可得的值；（2）由，得，再根据，可得，从而可求得的值．试题解析：（1）∵向量，，∴，且.∵∴，即.∴，即.（2）∵∴依题意，.∵∴，化简得，.∴．∵∴．∴，即．16. 如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC // 平面AEF．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在三棱柱中，//，由可推出，再根据，可证平面，从而可证平面平面；（2）根据，，，，可证≌，结合（1），可推出四边形是平行四边形，即可证明//平面．试题解析：证明：（1）在三棱柱中，//．∵∴又∵，，，平面.∴平面又∵平面∴平面平面（2）∵，，，∴≌∴又由（1）知，．∴四边形是平行四边形，从而．又∵平面，平面∴//平面．17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：设，，（1）根据直线的方程为时，线段的长为，可分别求得和，从而求得椭圆的标准方程；（2）方法一：直线的斜率为，由得直线的斜率为，即可分别表示出直线和直线的方程，联立直线方程，得，从而可得；方法二：设直线，的斜率为，，则直线的方程为，由得直线的方程为，将直线的方程代入椭圆方程，从而求得，再由在椭圆上，得与的数量关系，从而表示出直线的方程，即可求得，进而求得.试题解析：设，．（1）在中，令，得，从而b3．由得．∴．∵∴，解得．∴椭圆的标准方程为．（2）方法一：直线的斜率为，由，则直线的斜率为．于是直线的方程为：．同理，的方程为：．联立两直线方程，消去y，得．∵在椭圆上∴，从而．∴．∴．方法二：设直线，的斜率为k，，则直线的方程为．由直线的方程为．将代入，得，∵是椭圆上异于点，的点∴，从而．∵在椭圆上∴，从而．∴，得．由，所以直线的方程为．联立则，即．∴．点睛：本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.18. 将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为，根据矩形薄铁皮的面积为100，即可求得的值；（2）设所得正四棱柱的底面边长为，根据题意得.方法一：表示出正四棱柱的体积，构造函数，求得单调性，即可求得函数的最大值，从而得体积最大值及的值；方法二：表示出的范围，从而得到的范围，再表示出正四棱柱的体积，即可求得最大值及的值.试题解析：（1）设所得圆柱的半径为，则，解得．（2）设所得正四棱柱的底面边长为dm，则即方法一：所得正四棱柱的体积记函数则在上单调递增，在上单调递减.∴当时，．∴当，时，dm3．方法二：，从而．所得正四棱柱的体积．∴当，时，dm3．答：（1）圆柱的底面半径为dm；（2）当为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．19. 设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．记（i1，2，3，4）．（1）求证：数列不是等差数列；（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；（3）数列能否为等比数列？并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）假设数列是等差数列，则，即，根据是等差数列及是等比数列，找出矛盾，假设不成立；（2）由，得，根据数列是等比数列得，化简求得，再根据，即可求得得范围；（3）方法一：设，，，成等比数列，其公比为，则，解方程组即可；方法二：假设数列是等比数列，则，化简得，即可求得，与且矛盾，故可得证.试题解析：（1）假设数列是等差数列，则，即．∵是等差数列∴，从而．又∵是等比数列∴．∴，这与矛盾，从而假设不成立．∴数列不是等差数列．（2）∵，∴．∵∴，即，由，得.∴且．又∵，∴，定义域为．（3）方法一：设，，，成等比数列，其公比为，则将①+③－2×②得，将②+④－2×③得，∵，，由⑤得，．由⑤⑥得，从而．代入①得．再代入②，得，与矛盾．∴，，，不成等比数列．方法二：假设数列是等比数列，则．∴，即．两边同时减1得，．∵等比数列，，，的公比为∴．又∵∴，即．这与且矛盾.∴假设不成立．∴数列不能为等比数列．点睛：用反证法证明命题的基本步骤：①反设，设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏；②归谬，从反设出发，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论；③否定反设，从而得出原命题结论成立．20. 设函数．（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若，求证：．【答案】(1)；(2)①.证明见解析；②.证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，对恒成立，根据，等价为对恒成立，即可求得得取值范围；（2）①分别求得与，若，则存在，使，从而得，取，则，即可证明；②不妨设，令，则，由（1）知函数单调递增，则，从而，根据，推出，只需证明成立，即只需证明成立，设，求得函数的单调性，即可证明.....................................试题解析：（1）由题意，对恒成立.∵∴对恒成立，∵∴，从而．（2）①，则．若，则存在，使，不合题意.∴．取，则．此时．∴存在，使．②依题意，不妨设，令，则．由（1）知函数单调递增，则，从而．∵∴∴．∴．下面证明，即证明，只要证明．设，则在恒成立．∴在单调递减，故，从而得证．∴，即．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.数学Ⅱ（附加题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．求证：．【答案】证明见解析【解析】试题分析：延长交⊙O于点E，则，根据，即可得证.试题解析：证明：延长交⊙O于点E，则．∵，∴．∴．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知．设变换，对应的矩阵分别为，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．【答案】12【解析】试题分析：依次实施变换，所对应的矩阵，分别求得点，，在此矩阵的作用下变换后的点，即可求得面积.试题解析：依题意，依次实施变换，所对应的矩阵．则，，．∴分别变为点．∴所得图形的面积为．23. 在极坐标系中，求以点为圆心且与直线：相切的圆的极坐标方程．【答案】【解析】试题分析：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，得点的直角坐标，再根据的直线的普通方程，从而可得点到直线的距离，即可求得所求圆的普通方程，再化为极坐标方程.试题解析：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．则点的直角坐标为．将直线：的方程变形为：，化为普通方程得．∴到直线：的距离为：．∴所求圆的普通方程为，化为极坐标方程得，．24. 已知a，b，c为正实数，且，求证：．【答案】证明见解析【解析】试题分析：由，，，且，可得，再根据基本不等式即可得证.试题解析：证明：∵，，为正实数∴（当且仅当取“=”）．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（1）求概率；（2）求的概率分布及数学期望．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，再将事件分类，根据古典概型概率公式求得概率；（2）先确定的所有可能值为300，400，500，600，700，再分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，则事件：“”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．∴．（2）的所有可能值为300，400，500，600，700．则，，，．∴的概率分布列为：∴（元）．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.26. 已知…，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．【答案】(1)30；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由二项式定理，得（i0，1，2，…，2n+1），（1）根据，得，即可得解；（2）先根据组合数的性质可得出，再将化简得，即可证明. 试题解析：由二项式定理，得（i0，1，2，…，2n+1）．（1）；（2）∵∴．∴．∵∴能被整除．。

6个解答题综合仿真练（三)1．已知向量m ＝（错误!cos x ，－1)，n ＝(sin x ,cos 2x )． (1）当x ＝错误!时，求m·n 的值;(2）若x ∈错误!，且m·n ＝错误!－错误!,求cos 2x 的值． 解：（1）当x ＝错误!时,m ＝错误!,n ＝错误!， 所以m·n ＝34－错误!＝错误!.(2)m·n ＝错误!cos x sin x －cos 2x ＝错误!sin 2x －错误!cos 2x －错误!＝sin 错误!－错误!， 若m·n ＝错误!－错误!，则sin 错误!－错误!＝错误!－错误!， 即sin 错误!＝错误!，因为x ∈错误!，所以－错误!≤2x －错误!≤错误!, 所以cos 错误!＝错误!，则cos 2x ＝cos 错误!＝cos 错误!×cos 错误!－sin 错误!sin 错误!＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!。

2。

如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ,N 分别为AB ,B 1C 1的中点． （1)求证:MN ∥平面AA 1C 1C ；（2)若CC 1＝CB 1,CA ＝CB ,平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥平面CMN 。

证明：(1)法一： 取A 1C 1的中点P ，连结AP ，NP . 因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝PA 1, 所以NP ∥A 1B 1，NP ＝错误!A 1B 1。

在三棱柱ABC 。

A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB . 所以NP ∥AB ，且NP ＝错误!AB .因为M 为AB 的中点，所以AM ＝错误!AB . 所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ，所以四边形AMNP 为平行四边形，所以MN ∥AP 。

因为AP ⊂平面AA 1C 1C ,MN ⊄平面AA 1C 1C ， 所以MN ∥平面AA 1C 1C 。

填空题满分练(1)1.复数z ＝x ＋(x ＋2)i(其中i 为虚数单位，x ∈R )满足2＋iz是纯虚数，则|z |＝________.答案：253解： 根据题意可设2＋iz＝b i(b ∈R 且b ≠0)，∴2＋i ＝[x ＋(x ＋2)i]×b i ＝－b (x ＋2)＋xb i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－b (x ＋2)，1＝xb ，解：得x ＝－23，∴z ＝－23＋43i ，∴|z |＝253.2.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}，则∁U A ＝________. 答案： {1,3}解： ∵集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}， ∴∁U A ＝{1,3}.3.某工厂生产A ，B ，C ，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号有16件，那么此样本的容量n 为________. 答案： 88解： 根据分层抽样的特点，样本中A 种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1＝211，所以样本的容量n ＝16÷211＝88.4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，则实数m ＝__________.答案： 1解： ∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0， ∴cos A ＝12或cos A ＝－2(舍).由a 2－c 2＝b 2－mbc ，得cos A ＝m 2，∴m 2＝12，∴m ＝1.5.已知等差数列{}a n 满足a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，则a 1a 7＝________. 答案： 13解： 由题意得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，所以a 2＝3，a 6＝11或a 2＝11，a 6＝3. 当a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，a 1＝1，a 7＝13，∴a 1a 7＝13；当a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，a 1＝13，a 7＝1，∴a 1a 7＝13.6.在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则AD →＝________.(用AB →，AC →表示) 答案： 23AB →＋13AC →解： 因为BC →＝3BD →， 所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)， 即AD →＝23AB →＋13AC →.7.给出30个数：1, 2, 4, 7, 11, 16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的流程图，那么图中①处和②处分别填入____________.答案： i ≤30和p ＝p ＋i 解： 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30， 即①中应填写i ≤30. 又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2， 第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4， 第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7，…， 故②中应填写p ＝p ＋i .8.已知实数x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋y －2≥0，－x ＋2y －2≤0，则z ＝(x －1)2＋y 2的最小值为________. 答案： 12解： 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，易知z 表示可行域内的点(x ，y )到点(1,0)的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋0－2|12＋122＝12.9.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，且双曲线C 的离心率为22，则双曲线C 的渐近线方程为________. 答案： y ＝±7x解： 依题意知，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，∴c ＝2，∵双曲线的离心率为22，∴c a ＝2a ＝22，∴a ＝22， ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝142， ∴渐近线方程为y ＝±b ax ＝±7x .10.已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等.若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为________.答案： 6解： 设圆锥N 的底面半径为r ，则它的母线长为2r ，高为3r ，由圆柱M 与圆锥N 的体积相同，得4π×6＝13πr 2×3r ，解：得r ＝23，因此圆锥N 的高h ＝3r ＝6.11.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”，则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为________. 答案： 8解： “3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n ＝8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点.12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为________. 答案：55解： 设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a ＝12，x ＝2c ，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫2c ，±b 22a .又C 为椭圆上一点， ∴(2c )2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±b 22a 2b2＝1，解：得e ＝55. 13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝(x ＋1)e x，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有________个. 答案： 3解： 当x <0时，f ′(x )＝(x ＋2)e x，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (x )<1.又f (x )是R 上的奇函数，f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时，f (x )<0，所以f (x )的图象如图所示.令t ＝f (x )，则当t ∈(－1,1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1,1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1,1)，从而函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有3个.14.已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________. 答案：27π32a 2解： 设底面△ABC 的外接圆半径为r ， 则asinπ3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ， 设正四面体的外接球半径为R ， 则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，∴R ＝64a .因为64∶63＝3∶4， 所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为 4π×⎝⎛⎭⎪⎫64a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27π32a 2. 填空题满分练(2)1.若复数z 满足1＋iz －i ＝i(i 是虚数单位)，则z ＝________.答案： 1解： 由题设有z ＝1＋ii＋i ＝－i ＋1＋i ＝1.2.已知集合A ＝{2,0，－2}，B ＝{x |x 2－2x －3>0}，集合P ＝A ∩B ，则集合P 的子集个数是________. 答案： 2解： 由题设有B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 故P ＝A ∩B ＝{－2}， 所以P 的子集的个数为2.3.已知cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.答案：1314解： ∵cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝17×12＋437×32＝1314.4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案： 43解： 由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)＝________. 答案： －1解： 根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22＝1，a 2a 4－a 23＝－1，a 3a 5－a 24＝1，a 4a 6－a 25＝－1，…， 所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝－1， 当n 为奇数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝－1.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f (x )的最小正周期为π2； ②直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin2x .答案： ④解： A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解：得φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以④正确.7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案： 30解： 第一次输出a ＝3，n ＝2；第二次输出a ＝3×2＝6，n ＝3；第三次输出a ＝6×5＝30，n ＝4.故这列数的第三项为30.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是________.答案： 6解： 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2,0)时，z 取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________. 答案：x 216＋y 24＝1 解： 由题意得4a ＋4b ＝24，即a ＋b ＝6①，由c a ＝32得a ＝2b ②，由①②解：得a ＝4，b ＝2.所以椭圆Γ的方程为x 216＋y 24＝1.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b的最小值是________. 答案： 4解： 设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m(x －m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m,4a ＋e b＝4m ＋m ≥24m·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号. 11.过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为________. 答案： 4 2解： 由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，可得直线l 的方程为x －y －2＝0， 此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解：得p ＝22，即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，Δ＝(62)2－8>0，x 1,2＝62±82＝32±4，则x 1＋x 2＝62，所以x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为x 1＋x 22＋2＝4 2.12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使∠AOP 和∠BOP 同时大于50°的概率为________. 答案： 16解： 由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP 和∠BOP 能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°＝20°120°＝16.13.在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2，则当S 21＋S 22取最大值时，BD ＝________.答案：102解： 设BD ＝b ，S 21＋S 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×sin A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×sin C 2＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2A ＋14cos 2C ＝34－2b 4－10b 2＋1316＝34－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－522＋1216， 所以当b 2＝52，即b ＝102时，S 21＋S 22取得最大值.14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x <1，log 2018x ，x ≥1，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是________.答案： [4＋22，＋∞)解： 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t ，log 2 018b ＝t(t >0)，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t，所以ab ＝1,2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t， 而2 018t>0，所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t＝2时等号成立.令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增，所以4a 2`＋b 2＋2a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174≥4＋2 2.填空题满分练(3)1.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥4}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案： [2,3)解： A ＝{x |2x ≥4}＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，∁R B ＝(0,3)，则A ∩(∁RB )＝[2,3).2.已知i 为虚数单位，复数1＋a i2－i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为________. 答案： 2解： 因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N *，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3＝________.(用数字表示) 答案： 9解： 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3，则等比数列的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.4.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为________.(用度数表示) 答案： 150°解： ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4).∴a －b 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝－124×23＝－32，又∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝150°.5.设变量x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是________.答案： [－3，＋∞)解： 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z ＝2x －y 经过点(0,3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z ＝2x －y 的取值范围是[)－3，＋∞.6.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________. 答案： 4解： 设Rt△EFG 的两条直角边分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝16，三棱锥O －EFG 的高为3，从而V O －EFG ＝13S △EFG ·3＝12ab ≤a 2＋b24＝4，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，故三棱锥O －EFG的体积的最大值为4.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S 为________.答案： 17解： 开始时，S ＝27，i ＝1，第一次循环，S ＝47，i ＝2，第二次循环，S ＝17，i ＝3，第三次循环，S ＝27，i ＝4，第四次循环，S ＝47，i ＝5，第五次循环，S ＝17，5<5不满足条件，输出S ＝17.8.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n 名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[75,80)中的学生有1名，若从成绩在[75,80)和[90,95)两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[90,95)中的概率为________.答案： 35解： 因为成绩在[75,80)的频率为5×0.01＝0.05，所以n ＝10.05＝20， 成绩在[90,95)的频率为1－5×(0.01＋0.02＋0.06＋0.07)＝0.2， 所以成绩在[90,95)中的学生人数为20×0.2＝4，所以成绩在[75,80)中有1个人，设为a ，成绩在[90,95)中有4个人，设为A ，B ，C ，D ， 从5个人中任意取2个人有(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(a ，D )，(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10个基本事件，2名学生成绩都在[90,95)的事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个基本事件， 所以由古典概型的概率公式，得所求概率为610＝35.9.将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3的图象向左平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为________. 答案：π6解： f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3＝23×1＋cos 2x 2－sin 2x －3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，平移后函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t ＋π6为奇函数，所以2t ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解：得t ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝0时，t 有最小值π6.10.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M (2,0)对称，且f (x )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f (x )的图象向右平移13个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间为____________.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43(k ∈Z ) 解： 由图知A ＝3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ，Q ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示.令HM ＝m (m >0)，则m 2＋(3)2＝4，得m ＝1，所以P (1，3)，Q (3，－3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2，T ＝4＝2πω，ω＝π2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ， 将(2,0)代入得π＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以φ＝0，f (x )＝3sin π2x ，所以g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6.由2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解：得4k －23≤x ≤4k ＋43()k ∈Z .所以g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43k ∈Z .11.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝________.答案：833解： 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，直线方程是y ＝3(x －1)，与抛物线方程联立，消去x ， 整理得3y 2－4y －43＝0，所以y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833. 12.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2ab sin C ＝3()b 2＋c 2－a 2，若a＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________. 答案： 3 3解： 由题意得2ab sin C 2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A, 所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解：得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.13.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上且在x 轴的上方，MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若OP ＝eOQ (e 为双曲线的离心率)，则e ＝________.答案：2＋1解： 由已知得，A (－a,0)，B (a,0)，F 1(－c,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 由△BOQ ∽△BF 1M 可得，OQ MF 1＝OBBF 1，即OQ b 2a＝a a ＋c ，解：得OQ ＝b 2a ＋c . 由△AOP ∽△AF 1M 可得，OP MF 1＝OA AF 1， 即OP b 2a＝a c －a ，解：得OP ＝b 2c －a . 由已知得OP ＝eOQ ，可得b 2c －a＝e ×b 2a ＋c，所以a ＋c ＝e (c －a )，即1＋e ＝e (e －1)， 整理得e 2－2e ＝1，又e >1，所以e ＝2＋1.14.设函数g (x )＝e x＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时，f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g ()g ()x 0＝x 0，则实数a 的取值范围为________.答案：(]－∞，e ＋2解： 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，＋∞上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x 可得F (x )≥F ()2－x ，解：得x ≤1，由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x＋3x －a 在(]－∞，1上有解：，即a ＝e x＋2x 在(]－∞，1上有解：，令h (x )＝e x＋2x ，x ∈(－∞，1]， 则h ′(x )＝e x＋2>0，故h (x )＝e x＋2x 在(]－∞，1上单调递增，则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e＋2.填空题满分练(4)1.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位，若z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________. 答案： 43解： ∵复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，∴z 1z 2＝a ＋i 3－4i ＝(a ＋i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a －4＋(4a ＋3)i 25， ∵z 1z 2为纯虚数，∴3a －4＝0且4a ＋3≠0，即a ＝43.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )＝________. 答案： {x |1≤x <2}解： 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和为________. 答案： 15解： 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长度的取值范围为________. 答案： [6－2，6＋2] 解： 设BC 的中点为M (x ，y ). 因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2， 所以4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以AM 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2]. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案： ①解： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解：放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有________种. 答案： 24解： 分两类求解：.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，函数单调递增，若f (1)＝1，则满足－1≤f (x ＋2)≤1的x 的取值范围是________. 答案： [－3，－1]解： 函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，由f (1)＝1，可知f (－1)＝－1.当x ≥0时，函数单调递增，由y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，得y ＝f (x )在R 上单调递增. 则由－1≤f (x ＋2)≤1，可得－1≤x ＋2≤1， 解：得－3≤x ≤－1.8.如图所示的流程图输出的结果为510，则判断框内的条件是________.答案： n ≤8(或n <9)解： 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋ (2). ∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意；当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意.∴判断框中的条件为n ≤8或n <9.9.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案： 8解： 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2,2)，又OA ＝OB ＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.10.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案： 2 2解： 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ， 在△ABC 中，∠BAC ＝120°， 则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， ∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt△OBO ′中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 2＝10，解：得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为________. 答案：153解： 由题意知在等腰△ABP 中，AB ＝AP ＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ， ∴25a ＝2asin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2552－1＝35. 设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－a －AP cos 2θ＝－11a 5， y ＝AP sin 2θ＝8a5，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 5，8a 5.由点P 在双曲线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 52a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案：316解： 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等， 则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316. 13.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n(n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为________. 答案： S n ＝3n－2n解： ∵a n ＋1＝S n ＋3n＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n，∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n， ∴S n ＝3n－2n.14.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是________. 答案： 3解： 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0，∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫33，0，B (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确. 填空题满分练(5)1.i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则|z |＝________. 答案：2解： 由题意知z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2. 2.已知集合P ＝{x |－1≤x <2}，集合Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤52，则P ∩Q ＝________. 答案： (0,2) 解： P ∩Q ＝(0,2).3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2,b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为________.(用度数表示) 答案： 45°解： ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0， ∴||a ＝()3e 1－e 22＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22＝10，||b ＝()2e 1＋e 22＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22＝5，a ·b ＝()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2＝6||e 12－||e 22＝5，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.4.已知整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7≥0，x ＋2y －5>0，则3x ＋4y 的最小值是________.答案： 16解： 可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ，当动直线3x ＋4y －z ＝0过点A 时，z 有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)，但点A (3,1)不在可行域内，故当直线过可行域内的整点(4,1)时，z 有最小值16.5.已知一个样本为x,1，y,5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为________. 答案： 3解： 样本x ,1，y ,5的平均数为2，故x ＋y ＝2，故s 2＝14[(x －2)2＋(y －2)2＋10]＝52＋14(x2＋y 2)≥52＋14×(x ＋y )22＝52＋14×2＝3，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故方差的最小值是3.6.(2018·江苏省盐城市东台中学模拟)下面求2＋5＋8＋…＋2018的值的伪代码中，正整数m 的最大值为________. I ←2S ←0While I <m S ←S ＋I I ←I ＋3 EndWhile Print S 答案： 2021解： 由伪代码知，这是当型循环结构的算法， 由于累加项的步长为3， 循环变量I 的终值为2018， 故2018<m <2022，由于m 是正整数，所以最大值为2021.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知关于实数x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0构成的平面区域为Ω，若∃(x 0，y 0)∈Ω，使得(x 0－1)2＋(y 0－4)2≤m ，则实数m 的取值范围是________. 答案： [20，＋∞)解： 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).(x 0－1)2＋(y 0－4)2表示可行域内一点与点(1,4)之间的距离的平方和， ∵点(1,4)到直线x ＋2y －19＝0的距离为25， 故[(x 0－1)2＋(y 0－4)2]min ＝20， 故实数m 的取值范围是[20，＋∞).8.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )＝________.答案： 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解： ∵由图象知，14T ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4，∴T ＝π，ω＝2.∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .∵|φ|<π，∴φ＝2π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象解：式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.9.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A, B 两点，与双曲线交于C, D 两点，当AB ＝2CD 时，双曲线的离心率为________. 答案：5＋12解： 由题意知F (2,0), c ＝2，∵过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C, D 两点， 在y 2＝8x 中，令x ＝2，则y 2＝16，即y ＝±4. ∴AB ＝8，∴CD ＝4，将x ＝2代入到双曲线的方程，可得y ＝±b 4a 2－1，则2b4a 2－1＝4.∵a 2＋b 2＝c 2＝4，∴a ＝5－1， ∴双曲线的离心率为e ＝c a＝25－1＝5＋12.10.已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α的同侧，且AB ＝2，AC ＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为________.答案： [1，7]解： 如图，过B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ， 则四边形BMNC 为直角梯形.在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E . 又BM ＝2sin∠BAM ＝2sinπ3＝3，AM ＝2cos π3＝1， CN ＝3sin∠CAN ＝3sinπ6＝32，AN ＝3cos π6＝32， 所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34. 又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ， 即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52， 所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤7.11.已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项，若a 1＝6m，其中m 为给定的正整数，则d 的所有可能取值的和为__________. 答案： 12(2m ＋1－1)(3m ＋1－1)解： ∵公差d 是a 1＝6m 的约数， ∴d ＝2i·3j(i ，j ＝0,1,2，…，m )，∴d 的所有可能取值之和为∑i ＝0m2i ·∑j ＝0m3j ＝12(2m ＋1－1)·(3m ＋1－1).12.已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________. 答案： 2解： 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )， 所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2， 当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.13.已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________. 答案： (3，＋∞)解： 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解：，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解：， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解：.综上，m 的取值范围为(3，＋∞).14.已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1＋a2，x ＜0，ex －1＋a 2x 2－()a ＋1x ＋a 2，x ≥0，若关于x 的方程f (－f (x ))＝e －a ＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是________.答案： ⎝⎛⎭⎪⎫2，2＋2e 解： 当x ＜0时，f (x )为增函数， 当x ≥0时，f ′(x )＝ex －1＋ax －a －1, f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解：得x ＝1，故函数f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 最小值为f (1)＝0.由此画出函数f (x )的图象如图所示.令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f ()t ＝e－a＋a2，f ()t ＝et －1＋a2，解：得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根，则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解：得2＜a ＜2e＋2.填空题满分练(6)1.已知全集U ＝R ，N ＝{x |x (x ＋3)<0}，M ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合是________.答案： {x |－1≤x <0}2.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)若复数z ＝1－i2－i ，则z 的虚部为________.答案： －15解： z ＝1－i 2－i ＝(1－i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3－i5，其虚部为－15.3.已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝________.答案：132解： 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列.因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.答案： 9解： 这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为(0.004＋0.002)×50×30＝9.5.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________. 答案： ⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 解： 由题意可得PF 1＝F 1F 2＝2c ，再由椭圆的定义可得PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c . 设∠PF 1F 2＝θ，又60°<∠PF 1F 2<120°， ∴－12<cos θ＜12.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝c 2－a 2＋2ac 2c2， 由－12＜cos θ＜12，可得e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12.6.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝yx －3的最小值是________.答案： －2解： 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y ＝0，解：得A (2,2)，z ＝y x －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率. ∵k PA ＝2－02－3＝－2，∴z ＝y x －3的最小值是－2.7.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线AD ＝7，AB ＝2，则S △ABC ＝________. 答案： 3 3解： ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×32＝3 3.8.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，PA ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________. 答案： 12π解： 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.9.给出如图所示的流程图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是________.答案： 0解： 由流程图知，若输入的x 的值为－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝25＝32>2，程序继续运行x ＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝23＝8>2，程序继续运行x ＝－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，不满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>2，∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0.10.若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.答案： π解： 由f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 图象的对称轴方程为x ＝π4ω可知，π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解：得φ＝π4＋k π，k ∈Z ，即ba＝tan φ＝1，所以a ＝b .又f ′(x )＝a ωcos ωx －b ωsin ωx 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，即a ω⎝⎛⎭⎪⎫cosωπ8－sin ωπ8＝0，所以ωπ8＝π4＋k π，k ∈Z ，解：得ω＝2＋8k ，k ∈Z ，又因为0<ω<5，所以ω＝2，所以T ＝2πω＝π.11.在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为________. 答案： 1－3π6解： 满足条件的正三角形ABC 如图所示.设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3. 满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆， 则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率P ＝1－3π6. 12.已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________. 答案：2＋1解： 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆. ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y ＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离.又点P (－1，－1)在圆C 的外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|PC →|＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.13.已知P 为函数y ＝4x的图象上任一点，过点P 作直线PA ，PB 分别与圆x 2＋y 2＝1相切于A ，B 两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，则△OMN 的面积为________.答案： 18解： 不妨设点P 在第一象限，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0，则PO 2＝x 20＋16x 20，PA 2＝PB 2＝PO 2－12＝x 20＋16x 20－1，故以P 为圆心，PA 为半径的圆的方程为()x －x 02＋⎝⎛⎭⎪⎫y －4x2＝x 20＋16x 20－1，联立x 2＋y 2＝1，两圆方程作差可得直线AB 的方程为x 0x ＋4x 0y －1＝0，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x 04， 所以△OMN 的面积为12·1x 0·x 04＝18.14.函数y ＝f (x )的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃a ∈[1,2]，使得f (x )≥ax 恒成立，则称函数y ＝f (x )具有性质P ，现有如下函数：①f (x )＝ex －1；②f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1(x ≤0)； ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (1－x )，x <0，(x －1)3＋1，x ≥0.则具有性质P 的函数f (x )为________.(填序号) 答案： ①② 解： ①设φ(x )＝ex －1－x (x ∈R )，则φ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，φ′(x )>0；当x <1时，φ′(x )<0.。

江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题及答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f(x)＝lnx ＋1－x 的定义域为 ▲ ．2．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z 1z 2为实数，则a 的值为 ▲ ． 3．某地区教育主管部门为了对该地拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的2018名学生的成绩，并根据这2018名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有 ▲ ．4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ ．5．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为6．执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ▲ ．7．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f(π3)的值为 ▲ ． a(第3题图)(第6题图)8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ ．9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为 ▲ ．10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5，3)作直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为 ▲ ．12．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x 2，当x ＞1时，f(x ＋1)＝f(x)＋f(1)，且．若直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ ．13．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 14．设函数f(x)＝ax ＋sinx ＋cosx ．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A ，B ，使得曲线y ＝f(x)在点A ，B 处的切线互相垂直，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．(0，1] 2．4 3．300 4．59 5．2 6．4 7．18． 5 9．12 10．60° 11．1或723 12．22－2 13．(53，73) 14．[－1，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ⊥PB ， BP ＝BC ，E 为PC 的中点． （1）求证：AP ∥平面BDE ； （2）求证：BE ⊥平面PAC ． 15．证：（1）设AC ∩BD ＝O ，连结OE ．因为ABCD 为矩形，所以O 是AC 的中点．因为E 是PC 中点，所以OE ∥AP ． …………………………………………4分 因为AP/⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以AP ∥平面BDE ． …………………………………………6分 （2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面PAB ． ………………………………………8分 因为AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ．因为PB ⊥PA ，BC ∩PB ＝B ，BC ，PB ⊂平面PBC ，所以PA ⊥平面PBC ． …………………………………………12分 因为BE ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BE ．因为BP ＝PC ，且E 为PC 中点，所以BE ⊥PC ． 因为PA ∩PC ＝P ，PA ，PC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC ． …………………………………………14分 PBCDEA(第15题图)16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交 于点A(x 1 ，y 1 )，α∈(π4，π2)．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x 2，y 2)．（1）若x 1＝35，求x 2；（2）过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及 △BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．16．解：（1）解法一：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．所以sin α＝45，cos α＝35．所以x 2＝cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210． (6)分解法二：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45．A(35，45)，则OA →＝(35，45)，…………2分OB →＝(x 2，y 2)， 因为OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ，所以35x 2＋45y 2＝ 2 2 ……4分又x 22＋y 22＝1，联立消去y 2得50 x 22－302x 2－7＝0 解得x 2＝－2 10或7210，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． ………………………6分 解法三：因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45． 因此A(35，45)，所以tan α＝43．………2分 所以tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝－7，所以直线OB 的方程为y ＝－7x ……………4分由⎩⎨⎧y ＝－7x ，x 2＋y 2＝1．得x ＝± 2 10，又x 2＜0，所以x 2＝－ 210． …………………6分（2）S 1＝12sin αcos α＝－14sin2α． …………………………………………8分因为α∈(π4，π2)，所以α＋π4∈(π2，3π4)． 所以S 2＝－12sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝－14sin(2α＋π2)＝－14cos2α．……………………………10分因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43． (12)(第16题图)所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12． 因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝2．………14分17．(本小题满分14分)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解法一：设∠AMN＝θ，在△A MN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋2032016 APMNBC(第17题图)120°)．…………………………………………12分当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．答：设计∠AMN为60 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． (14)分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD＝θ，在△PMD中，∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴MNsin60°＝AMsinθ，AM＝433sinθ，∴AD＝433sinθ＋2cosθ，(θ≥π2时，结论也正确)．……………6分AP2＝AD2＋PD2＝(433sinθ＋2cosθ)2＋(2sinθ)2＝163sin2θ＋833sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………8分＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)．…………………………12分当且仅当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23．此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°…………………………14分解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2 AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………………………………………2分因为MNsin60°＝ANsinα，即2sin60°＝ysinα，所以sinα＝34y，cosα＝x2＋4－y22×2×x＝x2＋(x2－xy)4x＝2x－y4．…………………………………………6分cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝12cosα－32sinα＝12·2x－y4－32·34y＝APMNBC第17题图D在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x(x －2y)＝4＋2xy ．………………………………………12分因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤2 3．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分解法四(坐标法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M(x 1，0)，N(x 2，3x 2)，P(x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4． …………………………………………2分MN 的中点K(x 1＋x 22，32x 2)． ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． ∴PK 2＝(x 0－x 1＋x 22)2＋(y 0－32x 2)2＝3，k MN ·k PK ＝－1，即3x 2x 2－x 1·y 0－32x 2x 0－x 1＋x 22＝－1， …………………………………………6分∴y 0－32x 2＝x 1－x 23x 2(x 0－x 1＋x 22)，∴(y 0－32x 2)2＝(x 1－x 2)23x 22(x 0－x 1＋x 22)2∴(1＋(x 1－x 2)23x 22)(x 0－x 1＋x 22)2＝3，即43x 22(x 0－x 1＋x 22)2＝3，∴(x 0－x 1＋x 22)2＝94x 22．∵x 0－x 1＋x 22＞0 ∴x 0－x 1＋x 22＝32x 2， ∴x 0＝12x 1＋2x 2，∴y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法五(变换法)：以AB 所在的直线为x 轴，A 为坐标原点，建立直角坐标系． 设M(x 1，0)，N(x 2，3x 2)，P(x 0，y 0)．∵MN ＝2，∴(x 1－x 2)2＋3x 22＝4．即x 21＋4x 22＝4＋2x 1x 2∴4＋2x 1x 2≥4x 1x 2，即x 1x 2≤2． …………………4分 ∵△MNP 为正三角形，且MN ＝2．∴PK ＝3，PK ⊥MN ． MN →顺时针方向旋转60°后得到MP →． MP →＝(x 0－x 1，y 0)，MN →＝(x 2－x 1， 3x 2)． ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 32－32 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2－x 13x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0－x 1y 0，即x 0－x 1＝12(x 2－x 1)＋32x 2，y 0＝－32(x 2－x 1)＋32x 2．∴x 0＝2x 2＋12x 1，y 0＝32x 1． …………………………………………8分∴AP 2＝x 20＋y 20＝(2x 2＋12x 1)2＋34x 21＝x 21＋4x 22＋2x 1x 2＝4＋4x 1x 2≤4＋4×2＝12， …………………………………………12分 即AP ≤23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN 不动，点A 在运动．由于∠MAN ＝60°，∴点A 在以MN 为弦的一段圆弧(优弧)上， (4)分 设圆弧所在的圆的圆心为F ，半径为R ，由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF ＋R ． …………8分 在△AMN 中，由正弦定理知：MNsin60°＝2R ，∴R ＝23， …………10分∴FM ＝FN ＝R ＝23，又PM ＝PN ，∴PF 是线段MN 的垂直平分线．设PF 与MN 交于E ，则FE 2＝FM 2－ME 2＝R 2－12＝13．APMNBCF E即FE ＝33，又PE ＝3． ……………………………12 ∴PF ＝43，∴AP 的最大值为PF ＋R ＝23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………………………14分 18． (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ∶x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2，一条准线方程为x ＝2．P 为椭圆C 上一点，直线PF 1交椭圆C 于另一点Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 的坐标为(0，b)，求过P ，Q ，F 2三点的圆的方程； （3）若F 1P →＝λQF 1→，且λ∈[12，2]，求OP →·OQ →的最大值．（1）解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2c＝2， 解得c ＝1，a 2＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝1．所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． (2)分（2）因为P(0，1)，F 1(－1，0)，所以PF 1的方程为x －y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 22＋y 2＝1， 解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝－43，y ＝－13，所以点Q 的坐标为(－43，－13)． ……………………4分解法一：因为k PF 1·k PF 2＝－1，所以△PQF 2为直角三角形． ……………………6分因为QF 2的中点为(－16，－16)，QF 2＝523，所以圆的方程为(x ＋16)2＋(y ＋16)2＝2518． (8)分解法二：设过P ，Q ，F 2三点的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，179－43D －13E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝13，E ＝13，F ＝－43．所以圆的方程为x 2＋y 2＋13x ＋13y －43＝0． …………………………………………8分（3）解法一：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，QF 1→＝(－1－x 2，－y 2)．因为F 1P →＝λQF 1→，所以⎩⎨⎧x 1＋1＝λ(－1－x 2)，y 1＝－λy 2，即⎩⎨⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－1－λ－λx 2)22＋λ2y 22＝1，x 222＋y 22＝1，解得x 2＝1－3λ2λ． …………………………………………12分 所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 2(－1－λ－λx 2)－λy 22＝－λ2x 22－(1＋λ)x 2－λ ＝－λ2(1－3λ2λ)2－(1＋λ)·1－3λ2λ－λ＝74－58(λ＋1λ) ． …………………………………………14分 因为λ∈[12，2]，所以λ＋1λ≥2 λ·1λ＝2，当且仅当λ＝1λ，即λ＝1时，取等号．所以OP →·OQ →≤12，即OP →·OQ →最大值为12． …………………………………………16分解法二：当PQ 斜率不存在时，在x 22＋y 2＝1中，令x ＝－1得y ＝± 2 2．所以11(1)(222OP OQ ⋅=-⨯-+=，此时11,22λ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦…………………………2 当PQ 斜率存在时，设为k ，则PQ 的方程是y ＝k(x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k(x ＋1)，x 22＋y 2＝1．得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 韦达定理 22121222422==k k x x x x --+， (4)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2) ，则212121212(1)(1)OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+++22212122222222222(1)()224(1)12122 61215122(12)2k x x k x x k k k k k k k k k k k =++++--=+++++-=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯+=-<+分。

江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(1)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ，使得AC ＝B .B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点⎝⎛⎭⎫32，π4，求圆C 的极坐标方程．C ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 为不全相等的正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP ―→·ST ―→＝0.设动点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1,0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N .求证：向量SM ―→与NQ ―→共线．3．一条直路上依次有2n ＋1棵树，分别为T 1，T 2，…，T 2n ＋1(n 为给定的正整数)，一个醉汉从中间位置的树T n ＋1出发，并按以下规律在这些树之间随机游走n 分钟：当他某一分钟末在树T i (2≤i ≤2n )位置时，下一分钟末他分别有14，12，14的概率到达T i －1，T i ，T i ＋1的位置．(1)求该醉汉第n 分钟末处在树T i (1≤i ≤2n ＋1)位置的概率； (2)设相邻2棵树之间的距离为1个单位长度，试求该醉汉第n 分钟末所在位置与起始位置(即树T n ＋1)之间的距离的数学期望(用关于n 的最简形式表示)．江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(1)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ，使得AC ＝B . 解：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 11 3＝2×3－1×1＝5, 所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35 －15－15 25，又AC ＝B ，所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 35 －15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35 45－15－35.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点⎝⎛⎭⎫32，π4，求圆C 的极坐标方程． 解：法一：因为圆心C 在极轴上且过极点， 所以设圆C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ，又因为点⎝⎛⎭⎫32，π4在圆C 上， 所以32＝a cos π4，解得a ＝6.所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.法二：点⎝⎛⎭⎫32，π4的直角坐标为(3,3)， 因为圆C 过点(0,0)，(3,3)，所以圆心C 在直线为x ＋y －3＝0上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ. C ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 为不全相等的正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z.证明：因为x ，y ，z 都是正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z. 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 由于x ，y ，z 不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z.2．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP ―→·ST ―→＝0.设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1,0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N .求证：向量SM ―→与NQ ―→共线． 解：(1)设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 .因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3,0)，所以OP ―→＝(x ，y )，ST ―→＝(4，－y )．因为OP ―→·ST ―→＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x . 所以曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为直线PQ 过点(1,0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0.所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即M (2m 2＋1,2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1,0)，所以SM ―→＝(2m 2＋2,2m －y 1)，NQ ―→＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2).因为(2m 2＋2)y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2)y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0.所以向量SM ―→与NQ ―→共线．3．一条直路上依次有2n ＋1棵树，分别为T 1，T 2，…，T 2n ＋1(n 为给定的正整数)，一个醉汉从中间位置的树T n ＋1出发，并按以下规律在这些树之间随机游走n 分钟：当他某一分钟末在树T i (2≤i ≤2n )位置时，下一分钟末他分别有14，12，14的概率到达T i －1，T i ，T i ＋1的位置．(1)求该醉汉第n 分钟末处在树T i (1≤i ≤2n ＋1)位置的概率； (2)设相邻2棵树之间的距离为1个单位长度，试求该醉汉第n 分钟末所在位置与起始位置(即树T n ＋1)之间的距离的数学期望(用关于n 的最简形式表示)．解：(1)不妨假设2n ＋1棵树T 1，T 2，…，T 2n ＋1从左向右排列，每2棵树的间距为1个单位长度．因为该醉汉下一分钟末分别有14，12，14的概率到达T i －1，T i ，T i ＋1的位置，所以该醉汉将以12的概率向左或向右走．我们规定，事件“以12的概率向左或向右走0.5个单位长度”为一次“随机游走”，故原问题等价于求该醉汉从树T n ＋1位置出发，经过2n 次随机游走后处在树T i 位置的概率为P i .对某个i (1≤i ≤2n ＋1)，设从T n ＋1出发，经过2n 次随机游走到达T i 的全过程中，向右走0.5个单位长度和向左走0.5个单位长度分别有k 次和2n －k 次，则n ＋1＋k －(2n －k )2＝i ，解得k ＝i －1，即在2n 次中有i －1次向右游走，2n －(i －1)次向左游走，而这样的情形共C i －12n 种，故所求的概率P i ＝C i －12n 22n (1≤i ≤2n ＋1)．(2)对i ＝1,2，…，2n ＋1，树T i 与T n ＋1相距|n ＋1－i |个单位长度，而该醉汉到树T i 的概率为P i ，故所求的数学期望E ＝∑i ＝12n ＋1|n ＋1－i |C i －12n 22n .而∑i ＝12n ＋1|n ＋1－i |C i －12n ＝∑j ＝02n|n －j |C j 2n＝2∑j ＝0n(n －j )C j 2n ＝2∑j ＝0n n C j2n －2∑j ＝0nj C j 2n ＝2n ∑j ＝0nC j 2n －2∑j ＝1n2n C j －12n －1＝2n ×12(C n 2n ＋∑j ＝02n C j2n )－4n ∑j ＝0n －1C j 2n －1＝n (C n 2n ＋22n)－4n ×12∑j ＝02n －1C j 2n －1＝n (C n 2n ＋22n)－2n ·22n －1＝n C n 2n ，因此E ＝n C n2n 22n .江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(2)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝⎛⎭⎫1，12，(0,1)分别变换为点⎝⎛⎭⎫94，－2，⎝⎛⎭⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值．C ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 都是正数且xyz ＝8，求证：(2＋x )(2＋y )·(2＋z )≥64.2．如图，在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E ＝CF ＝1.(1)求两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值； (2)求直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值．3．对于给定的大于1的正整数n ，设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n ，其中a i ∈{0,1,2，…，n －1}，i ＝0,1，2，…，n －1，n ，且a n ≠0，记满足条件的所有x 的和为A n . (1)求A 2；(2)设A n ＝n n (n －1)f (n )2，求f (n )．江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(2)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝⎛⎭⎫1，12，(0,1)分别变换为点⎝⎛⎭⎫94，－2，⎝⎛⎭⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝94，c ＋12d ＝－2，b ＝－32，d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，则M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－44. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，可得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 324 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6， 令f (λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m ， 得2ρsin θcos π4－2ρcos θsin π4＝m ，即x －y ＋m ＝0，即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0， 圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－1或m ＝－5.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 都是正数且xyz ＝8，求证：(2＋x )(2＋y )·(2＋z )≥64. 证明：因为x 为正数，所以2＋x ≥22x . 同理2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z . 所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz . 因为xyz ＝8，所以(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥64. 2．如图，在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E ＝CF ＝1.(1)求两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值； (2)求直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值．解：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，如图所示，则A (3,0,0)，C 1(0,3,3)，B (3，3,0)，E (3,0,2)，AC 1―→＝(－3,3,3)，BE ―→＝(0，－3,2)，所以cos 〈AC 1―→，BE ―→〉＝AC 1―→·BE ―→|AC 1―→||BE ―→|＝－9＋633×13＝－3939，故两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值为3939. (2)由(1)知BE ―→＝(0，－3,2)，又D 1(0,0,3)，B 1(3,3,3)，所以D 1E ―→＝(3,0，－1)，BB 1―→＝(0,0,3)． 设平面BED 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E ―→＝0，n ·BE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －z ＝0，－3y ＋2z ＝0，令x ＝1，得y ＝2，z ＝3，n ＝(1,2,3)是平面BED 1F 的一个法向量．设直线BB 1与平面BED 1F 所成的角为α，则sin α＝||cos 〈BB 1―→，n 〉＝93×14＝31414，所以直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值为31414.3．对于给定的大于1的正整数n ，设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n ，其中a i ∈{0,1,2，…，n －1}，i ＝0,1，2，…，n －1，n ，且a n ≠0，记满足条件的所有x 的和为A n . (1)求A 2；(2)设A n ＝n n (n －1)f (n )2，求f (n )．解：(1)当n ＝2时，x ＝a 0＋2a 1＋4a 2，a 0∈{0,1}，a 1∈{0,1}，a 2＝1， 故满足条件的x 共有4个，分别为x ＝0＋0＋4，x ＝0＋2＋4，x ＝1＋0＋4，x ＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A 2＝22. (2)由题意得，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法；a n 有n －1种取法， 由分步计数原理可得a 0，a 1，a 2…，a n －1，a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n (n －1)， 即满足条件的x 共有n n (n －1)个，当a 0分别取0,1,2，…，n －1时，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，a n 有n －1种取法，故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)＝n n (n －1)22；同理，A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n ＝n n (n －1)22·n ；A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n 2＝n n (n －1)22·n 2；A n 中所有含a n －1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n n －1＝n n (n －1)22·n n －1；当a n 分别取i ＝1,2，…，n －1时，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，故A n 中所有含a n 项的和为(1＋2＋…＋n －1)n n ·n n ＝n n ＋1(n －1)2·n n . 所以A n ＝n n (n －1)22(1＋n ＋n 2＋…＋n n －1)＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)22·n n －1n －1＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)2(n n ＋1＋n n －1)，故f (n )＝n n ＋1＋n n －1.江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(3)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答A ．[选修4－2：矩阵与变换]设a ，b ∈R .若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．∴实数a ，b 的值分别为2,13.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)与圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置关系． 解：把直线l 的参数方程化为普通方程为x ＋y ＝2.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a >a b .2．从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成三位数的各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率；(2)求X 的概率分布及数学期望．3．设P (n ，m )＝ k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *. (1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(3)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答A ．[选修4－2：矩阵与变换]设a ，b ∈R .若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．解：法一：在直线l ：ax ＋y －7＝0上取点M (0,7)，N (1，7－a )，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b (7－a )－1，可知点M (0,7)，N (1,7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点M ′(0,7b )，N ′(3，b (7－a )－1)，由题意可知：M ′，N ′在直线9x ＋y －91＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝13， ∴实数a ，b 的值分别为2,13.法二：设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到Q (x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ， 由Q (x ′，y ′)在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，∴27x ＋(－x ＋by )－91＝0，即26x ＋by －91＝0，∵点P 在ax ＋y －7＝0上，∴26a ＝b 1＝－91－7， 解得a ＝2，b ＝13.∴实数a ，b 的值分别为2,13.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t (t 为参数)与圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置关系． 解：把直线l 的参数方程化为普通方程为x ＋y ＝2.将圆C 的极坐标方程ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.所以圆心C (－1,1)到直线l 的距离d ＝22＝2， 所以直线l 与圆C 相切．C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a >a b .证明：∵b a >0，a b >0，∴要证b a >a b ，只要证a ln b >b ln a,只要证ln b b >ln a a， 构造函数f (x )＝ln x x，x ∈(e ，＋∞)． 则f ′(x )＝1－ln x x 2，x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0在区间(e ，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在x ∈(e ，＋∞)上是单调递减的，所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )，即ln b b >ln a a，故b a >a b 得证． 2．从0,1,2,3,4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X 为所组成三位数的各位数字之和．(1)求X 是奇数的概率；(2)求X 的概率分布及数学期望．解：(1)记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是4×4×3＝48.X 是奇数的个数是C 12C 23A 33－C 12C 12A 22＝28，所以P (A )＝2848＝712. 故X 是奇数的概率为712. (2)X 的可能取值为3,4,5,6,7,8,9.当X ＝3时，组成的三位数是由0,1,2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝448＝112； 当X ＝4时，组成的三位数是由0,1,3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝448＝112； 当X ＝5时，组成的三位数是由0,1,4或0,2,3组成，所以P (X ＝5)＝848＝16； 当X ＝6时，组成的三位数是由0,2,4或1,2,3组成，所以P (X ＝6)＝1048＝524； 当X ＝7时，组成的三位数是由0,3,4或1,2,4组成，所以P (X ＝7)＝1048＝524； 当X ＝8时，组成的三位数是由1,3,4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝648＝18； 当X ＝9时，组成的三位数是由2,3,4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝648＝18. 所以X 故E (X )＝3×112＋4×112＋5×16＋6×524＋7×524＋8×18＋9×18＝254. 3．设P (n ，m )＝∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k ，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *. (1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C k n 11＋k ＝1n ＋1∑k ＝0n (－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1， 又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C k n m m ＋k ＝1＋∑k ＝1n －1 (－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)m m ＋k ＋(－1)n m m ＋n ＝1＋∑k ＝1n －1 (－1)k C k n －1m m ＋k ＋∑k ＝1n (－1)k C k －1n －1m m ＋k ＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n (－1)k C k －1n －1m m ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m ) 即P (n ，m )＝n m ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！(n ＋m )！P (0，m )＝1C n n ＋m， 又Q (n ，m )＝C n n ＋m ，所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(4)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R . (1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，若|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对任意的实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．2.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3.D是线段BC的中点．(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；3．已知集合X＝{1,2,3}，Y n＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设S n＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Y n}，令f(n)表示集合S n所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(4)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R . (1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1. 解：(1)AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y . 因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，2－y ＝2， 解得x ＝3，y ＝0.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 . 设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14， 即 (AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －12 0 14 . B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x . 将直线l 的参数方程⎩⎨⎧ x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ， 即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，若|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对任意的实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．解：因为a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以由柯西不等式得(a －b ＋c )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·[12＋(－1)2＋12]＝3，因为|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对任意的实数a ，b ，c 恒成立，所以|x －1|＋|x ＋1|≥3.当x <－1时，－2x ≥3，即x ≤－32； 当－1≤x ≤1时，2≥3不成立；当x >1时，2x ≥3，即x ≥32. 综上，实数x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.2.如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3.D 是线段BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2)求二面角B 1-A 1D -C 1的余弦值．解：因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以分别以AB ，AC ，AA 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0，3)，C 1(0，4,3)，因为D 是BC 的中点，所以D (1，2,0)，(1)因为A 1C 1―→＝(0,4,0)，A 1D ―→＝(1,2，－3)，设平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1C 1―→＝0，n 1·A 1D ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 1＝0，x 1＋2y 1－3z 1＝0， 取⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3，y 1＝0，z 1＝1，所以平面A 1C 1D 的法向量n 1＝(3,0,1)，而DB 1―→＝(1，－2,3)，设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为θ，所以sin θ＝|cos 〈n 1，DB 1―→〉|＝|n 1·DB 1―→||n 1|·|DB 1―→|＝|3＋3|10×14＝33535， 所以直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为33535. (2) A 1B 1―→＝(2,0,0)，DB 1―→＝(1，－2,3)，设平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·A 1B 1―→＝0，n 2·DB 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，x 2－2y 2＋3z 2＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝3，z 2＝2，所以平面B 1A 1D 的法向量n 2＝(0,3,2)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝210×13＝13065， 故结合图象知二面角B 1-A 1D -C 1的余弦值13065. 3．已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1)写出f (6)的值；(2)当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足：若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6；若a ＝3，则b ＝1,3,6. 所以f (6)＝13.(2)当n ≥6时， f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝⎛⎭⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立． ②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：a ．若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立； b ．若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k 3＋1 ＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－13，结论成立； c ．若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2 ＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－23，结论成立； d ．若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋k ＋13，结论成立；e ．若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋(k ＋1)－13，结论成立；f ．若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋(k ＋1)－12＋(k ＋1)－23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(5)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3)，求矩阵A .B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．2.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P -AB -A 1的平面角的余弦值为255.3．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n .(1)证明：A 2＞B 2；(2)比较A n 与B n (n ∈N *)的大小，并给出证明．江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(5)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3)，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.①因为点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3，3)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.② 由①②解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x .将直线⎩⎨⎧ x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)代入y 2＝8x 得，n 2－82n ＋24＝0，解得n 1＝22，n 2＝6 2. 则|n 1－n 2|＝42，所以线段AB 的长为4 2.法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x,将直线⎩⎨⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)化为普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.所以AB 的长为⎝⎛⎭⎫92－122＋(6－2)2＝4 2. C ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立， 等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ， 因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)(x ＋2＋14－x )＝64，所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故实数a 的取值范围是(－∞，8)．2.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AB ＝AC ＝A 1B ＝2.(1) 求棱AA 1与BC 所成的角的大小；(2) 在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P -AB -A 1的平面角的余弦值为255.解：(1)以A 为坐标原点，AC ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，过A 平行于A 1B 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (2,0,0)，B (0,2,0)，A 1(0,2,2)，B 1(0，4,2)，AA 1―→＝(0,2,2)，BC ―→＝B 1C 1―→＝(2，－2,0)．所以cos 〈AA 1―→，BC ―→〉＝AA 1―→·BC ―→|AA 1―→|·|BC ―→|＝－48×8＝－12，故棱AA 1与BC 所成的角是π3.(2)设B 1P ―→＝λB 1C 1―→＝(2λ，－2λ，0)，则P (2λ，4－2λ，2)． 设平面P AB 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又AP ―→＝(2λ，4－2λ，2)，AB ―→＝(0,2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AP ―→＝0，n 1·AB ―→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧2λx ＋(4－2λ)y ＋2z ＝0，2y ＝0，令x ＝1，得平面P AB 的一个法向量n 1＝(1,0，－λ)． 易知平面ABA 1的一个法向量是n 2＝(1,0,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P 为棱B 1C 1的中点，其坐标为P (1,3,2)时，二面角P -AB -A 1的平面角的余弦值为255.3．设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －1＋b n ) ，B n＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n .(1)证明：A 2＞B 2；(2)比较A n 与B n (n ∈N *)的大小，并给出证明．解：(1)证明：A 2－B 2＝13(a 2＋ab ＋b 2)－⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝112(a －b )2>0.(2)A n ≥B n ，证明如下： 当n ＝1时，A 1＝B 1；当n ≥3时，A n ＝1n ＋1·a n ＋1－bn ＋1a －b，B n ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2n ， 令a ＋b ＝x ，a －b ＝y ，且x >0，y >0，于是A n ＝1n ＋1·⎝⎛⎭⎫x ＋y 2n ＋1－⎝⎛⎭⎫x －y 2n ＋1y ＝12n ＋1(n ＋1)y[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]，B n＝⎝⎛⎭⎫x 2n ， 因为[(x ＋y )n ＋1－(x －y )n ＋1]＝(2C 1n ＋1x n y ＋2C 3n ＋1·x n －2y 3＋…)≥2C 1n ＋1x ny ，所以A n ≥12n ＋1(n ＋1)y ·2C 1n ＋1x ny ＝x n 2n ＝⎝⎛⎭⎫x 2n ＝B n .江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(6)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α－2(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.2.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1＝2，D 为CC 1上任意一点(含端点)．(1)若D 为CC 1的中点，求异面直线BA 1与AD 所成角的余弦值； (2)当点D 与点C 1重合时，求二面角A 1BD A 的正弦值．3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n .(1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 43 (其中e 是自然对数的底数)．江苏高考数学3个附加题综合仿真训练(6)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上的任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x 2. 因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，则x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α－2(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝1， 设直线l 对应的直角坐标方程为y ＝kx ， 因为圆C 与直线l 相切，所以d ＝|2|1＋k 2＝1，得到k ＝±3，故直线l 的极坐标方程θ＝π3或θ＝2π3.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.2.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AA 1＝2，D 为CC 1上任意一点(含端点)．(1)若D 为CC 1的中点，求异面直线BA 1与AD 所成角的余弦值； (2)当点D 与点C 1重合时，求二面角A 1BD A 的正弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系，易知A (0,0,0)，B (0，－2,0)，A 1(0,0,2)，C 1(2,0,2)，所以AB ―→＝(0，－2,0)，BA 1―→＝(0,2,2)．(1)若D 为CC 1的中点，则AD ―→＝(2,0,1)， 设直线BA 1与直线AD 的夹角为θ，则cos θ＝BA 1―→·AD ―→|BA 1―→|·|AD ―→|＝222×5＝1010，因此异面直线BA 1与AD 所成角的余弦值为1010. (2)当点D 与点C 1重合时，易知D (2,0,2)，则BD ―→＝(2,2,2)， 设平面A 1BD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧BD ―→·m ＝0，BA 1―→·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋2z ＝0，2y ＋2z ＝0，取y ＝1，解得x ＝0，z ＝－1，即平面A 1BD 的一个法向量为m ＝(0,1，－1)， 同理，可得平面ABD 的一个法向量为n ＝(－1,0,1)． 设二面角A 1BD A 的大小为α，则|cos α|＝|m ·n ||m |·|n |＝12·2＝12，因为α∈[0，π]，所以sin α＝1－cos 2α＝32，因此二面角A 1BD A 的正弦值为32.3．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n .(1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 43 (其中e 是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a 2＝⎝⎛⎭⎫1＋12×1＋12＝2，故当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1k (k ＋1)a k ＋12k ＞2.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立.(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n ≤⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得ln a n ＋1≤ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1，故ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n 1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12×3＋1 3×4＋…＋1(n －1)n ＋123＋124＋…＋12n ＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n <34. 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34， 即a n ＜2e 43 (n ≥2)，而a 1＝1＜2e 43，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 43.。