最新江苏高考二轮复习数学思维能力专项训练(5名师精编资料汇编

专项强化练(一) 集合、常用逻辑用语、统计、概率、算法与复数A组——题型分类练题型一集合的基本关系1．已知集合A＝{－1，3，m2}，集合B＝{3，－2m－1}，若B⊆A，则实数m＝________．解析：∵B⊆A，∴m2＝－2m－1或－1＝－2m－1，解得m＝－1或m＝0，经检验均满足题意，故m＝－1或0.答案：－1或02．(2020-2021·天一中学模拟)已知集合A＝{x∈N|－1<x<log2k}，若集合A的子集有8个，则k的取值范围为________．解析：因为集合A的子集有8个，所以集合A中恰好3个元素，即A＝{0，1，2}，所以2<log2k≤3，所以4<k≤8.答案：(4，8]3．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．解析：由x－y∈A，及A＝{1，2，3，4，5}，得x>y，当y＝1时，x可取2，3，4，5，有4个；当y＝2时，x可取3，4，5，有3个；当y＝3时，x可取4，5，有2个；当y＝4时，x可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．答案：10[临门一脚]1．要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．2．根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．3．集合中如果含有字母，根据条件求解后，一定要用互异性检验．4．子集问题中要注意空集优先的原则，其中集合中的方程或不等式中含有参数需要分类讨论．题型二集合的运算1．(2020-2021·苏州中学模拟)已知U＝R，A＝{1，a}，B＝{a2－2a＋2}，a∈R，若(∁U A)∩B ＝∅，则a＝________．解析：由题意知B⊆A，所以a2－2a＋2＝1或a2－2a＋2＝a.当a2－2a＋2＝1时，解得a ＝1；当a2－2a＋2＝a时，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a＝2时，满足题意，所以a＝2.答案：22．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，那么A∩B＝________．解析：A∩B＝{0，1，2，8}∩{－1，1，6，8}＝{1，8}．答案：{1，8}3．(2020-2021·江苏高考)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B ＝________．解析：因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，故A∩B＝{1，6}．答案：{1，6}4．已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1.答案：15.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为________．解析：因为B＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，所以A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，所以阴影部分表示的集合为∁R(A∩B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪(2，＋∞)6．(2020-2021·海门中学期初测试)给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋2k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．答案：②[临门一脚]1．解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． 2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素； (2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况．题型三 常用逻辑用语1．命题：“若x ∈R ，则x 2≥0”的逆否命题为：“____________________”． 解析：x ∈R 的否定为x ∉R ；x 2≥0的否定为：x 2＜0，故原命题的逆否命题为： “若x 2＜0，则x ∉R ”．答案：若x 2＜0，则x ∉R2．(2018·泰州中学模拟)对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．解析：若y ＝f (x )为奇函数，则y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，反过来不成立，因为当y ＝f (x )为偶函数时，y ＝|f (x )|的图象也关于y 轴对称．答案：必要不充分3．若命题p ：4是偶数，命题q ：5是8的约数．则下列命题中为真的序号是________． ①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q .解析：命题p 为真，命题q 为假，故②④为真． 答案：②④4．(2020-2021·常州中学单元检测)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0，2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，但f (x )在[0，2]上不一直都是增函数．答案：f (x )＝sin x (答案不唯一)5．若命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，得“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题．当a ≤0时，不成立；当a >0时，由Δ＝16－4a 2<0，得a >2.故实数a 的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)[临门一脚]1．要注意命题的否定和否命题的区别，“若p 则q ”的命题需要掌握其否命题，含量词的命题需要掌握其命题的否定．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假．题型四 统计1．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3 000人，则该校学生总人数是________．解析：设该校学生总人数为n ，则1－200＋100500＝3 000n ，解得n ＝7 500.答案：7 5002．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，若该校的学生总人数为3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为________．解析：由图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.答案：9003．(2020-2021·江苏高考)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．解析：这组数据的平均数为6＋7＋8＋8＋9＋106＝8，故方差为s 2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.34．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布表．若利用每组中点值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为________．数据 [12.5，15.5)[15.5，18.5)[18.5，21.5)[21.5，24.5)频数2134解析：x ＝10(14×2＋17×1＋20×3＋23×4)＝19.7.答案：19.75.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为________．解析：由茎叶图知，得分较为稳定的那名运动员应该是乙，他在五场比赛中得分分别为8，9，10，13，15，所以他的平均得分为x ＝8＋9＋10＋13＋155＝11，其方差为s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.答案：6.8 [临门一脚]1．从考查内容上看，主要集中在分层抽样、频率分布直方图、平均数和方差的计算上；充分理解抽样的公平性是避免抽样问题求解时出错的关键；读懂频率分布表与直方图是解总体分布估计题的重点，时刻注意分清横纵坐标的含义可避免错误．2．系统抽样问题要注意所抽号码的特性是考查冷考点，不能遗忘．3．分层抽样，要求每层样本数量与每层个体数量的比与所有样本数量与总体容量的比相等．4．茎叶图的茎和叶的含义要明确，重复数字要重复算．5．方差、标准差的公式要记忆准确，计算时不要出错，方差和标准差用来反映数据波动性，数值越小波动性越小．题型五 概率1．(2018·江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．解析：设2名男生为a ，b ，3名女生为A ，B ，C ，从中选出2人的情况有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共10种，而都是女生的情况有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种，故所求概率为310.102．记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率P ＝3－（－2）5－（－4）＝59. 答案：593．一架飞机向目标投弹，完全击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．解析：根据互斥事件的概率公式得，目标受损但未完全击毁的概率为1－0.2－0.4＝0.4.答案：0.44．某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是________．解析：由题意知，某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首所有可能的取法有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)共6种．其中，满足甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的取法共5种，则所求的概率P ＝56.答案：565．(2020-2021·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．解析：法一：设3名男同学分别为A ，B ，C ，2名女同学分别为a ，b ，则所有等可能事件分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共7个，故所求概率为710.法二：同法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB ，AC ，BC ，共3个，故所求概率为1－310＝710. 答案：710[临门一脚]1．解决概率问题首先要正确区分概率模型，分清古典概型与几何概型的关键就是古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个．2．古典概型的关键是准确理解事件的含义，多用枚举法和树形图进行计数， 列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏．3．几何概型的常用测度要正确区分：一元问题用长度、角度来作为测度；二元问题用面积来作为测度，常与线性规划结合考察；三元问题用体积来作为测度．4．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A －的概率，然后利用P (A )＝1－P (A －)可得解．题型六 算法1．(2020-2021·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．解析：第一次循环，S ＝12，x ＝2；第二次循环，S ＝12＋22＝32，x ＝3；第三次循环，S ＝32＋32＝3，x ＝4；第四次循环，S ＝3＋42＝5，满足x ≥4，结束循环．故输出的S 的值是5. 答案：52．(2018·江苏高考)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．解析：I ＝1，S ＝1，此时I <6，进入下一次循环；I ＝3，S ＝2，此时I <6，进入下一次循环； I ＝5，S ＝4，此时I <6，进入下一次循环； I ＝7，S ＝8，此时I >6，不满足I <6，退出循环，输出S ＝8.答案：83．执行如图所示的伪代码，若输出y的值为1，则输入x的值为________．解析：若x≥0，则2x＋1＝1，解得x＝－1(舍去)；若x＜0，则2－x2＝1，解得x＝±1，所以x＝－1，综上所述，输入x的值为－1.答案：－14．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n个自然数平方和的一般公式．如图是一个求前n个自然数平方和的算法流程图，若输入x的值为1，则输出S的值为________．解析：执行程序，可得，输入x的值为1, S＝1，不满足条件S＞5，x＝2，S＝5；不满足条件S＞5，x＝3，S＝14，满足条件S＞5，退出循环，输出S的值为14.答案：14[临门一脚]1．流程图和伪代码要看清楚这四个关键位置的含义：(1)分支的条件；(2)循环的条件；(3)变量的赋值；(4)变量的输出．2．利用选择结构解决算法问题时，要根据题目的要求引入一个或多个判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．3．循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．4．流程图和伪代码中注意求和问题中“S←S＋I”和“I←I＋1”的位置先后顺序不同对最终结果的影响．5．For语句中step的含义是步长，如果不写即默认步长为1.题型七 复数1．(2020-2021·江苏高考)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．解析：(a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ， 因为其实部为0，故a ＝2. 答案：22．已知复数z 满足z ＝(1－2i)(3＋i)，其中i 为虚数单位，则|z |＝________． 解析：复数z ＝(1－2i)(3＋i)，i 为虚数单位，则|z |＝|1－2i||3＋i|＝12＋（－2）2×32＋12＝5 2.答案：5 23．(2018·江苏高考)若复数z 满足i ·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．解析：由i ·z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i i ＝2－i ，∴z 的实部为2. 答案：24．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i ，则复数z 在复平面上对应的点在第________象限． 解析：因为z ＝1＋i 2－i ＝（1＋i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝1＋3i 5＝15＋35i ，所以复数z 在复平面上对应的点在第一象限．答案：一 [临门一脚]1．复数的概念要记清楚：实部、虚部(不含i)、共轭复数(实部不变、虚部变为相反数)、复数模、复数的几何意义．2．复数乘法的运算按“多项式乘法”来记忆，除法的运算按“分母实数化”进行记忆． 3．注意实数集内的乘法、乘方的一些结论和一些运算法则在复数集中不一定成立，要注意区分．4．i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i 不能遗忘．5．复数模的运算可以直接用公式求解，也可以用性质|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|求解更简便．B 组——高考提速练1．(2020-2021·扬州期末)已知i 是虚数单位，且复数z 满足(1＋i)z ＝2，则|z |＝________．解析：法一：由题意可知，z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，则|z |＝12＋（－1）2＝ 2.法二：因为(1＋i)z ＝2，所以|1＋i|·|z |＝2，2|z |＝2，所以|z |＝22＝ 2.答案： 22．命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是__________________．解析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是：∃x ≥2，x 2＜4.答案：∃x ≥2，x 2＜43．已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{x |x ＝2n －1，n ∈M }，则M ∩N ＝________． 解析：由已知条件得N ＝{－1，1，3}，所以M ∩N ＝{1}． 答案：{1}4．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．解析：应从丙种型号的产品中抽取 60×300200＋400＋300＋100＝18(件)．答案：185.如图是一个算法流程图．若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．解析：由流程图可知其功能是运算分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥1，2＋log 2x ，0<x <1，所以当输入的x 的值为116时，y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.答案：－26.(2020-2021·苏州期末)某班级50名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩在[60，80)内的学生人数是________．解析：由频率分布直方图得成绩在[60，80)内的频率为1－(0.010＋0.030＋0.010)×10＝0.5，所以成绩在[60，80)内的学生人数为50×0.5＝25.答案：257．(2018·镇江高三期末)已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的__________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择一个)．解析：由两直线平行得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠－1，所以a ＝1，因此“a ＝1”是“直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋1＝0平行”的充分必要条件．答案：充分必要8．(2020-2021·南京三模)从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，则这3个数字经适当排序后能组成等差数列的概率为________．解析：从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个不同的数字，所有不同的情况有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共10种，其中3个数字经适当排序后能组成等差数列的情况有(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(3，4，5)，共4种，所以所求的概率P ＝410＝25. 答案：259．(2020-2021·常州期末)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________．解析：由伪代码可知当x ≥1时，令x 2－2x －2＝1，得x ＝3；当x <1时，令x ＋1x －1＝1，无解，故输入的实数x 的值是3.答案：3 10．(2018·苏州高三调研)假设苏州轨道交通1号线每5分钟一班，且列车在某站停留0.5分钟，若某乘客到达该站站台的时刻是随机的，则该乘客到达该站站台立即能乘上车的概率为________．解析：在5分钟内，有0.5分钟该乘客到达该站站台立即能乘上车，则所求概率为0.55＝110.答案：11011．若复数z 满足z ＋2z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为________．解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z ＝x －y i ，因为z ＋2z ＝3＋2i ，所以z ＋2z ＝(x ＋y i)＋2(x －y i)＝3x －y i ＝3＋2i ，所以x ＝1，y ＝－2，所以z ＝1－2i ，所以复数z 的模为 5.答案： 512．根据如图所示的伪代码可知，输出的结果为________．解析：第一次循环i ＝1，满足条件i ＜8，i ＝1＋2＝3，S ＝3×3－2＝7；第二次循环i ＝3，满足条件i ＜8，i ＝3＋2＝5，S ＝3×5＋7＝22；第三次循环i ＝5，满足条件i ＜8，i ＝5＋2＝7，S ＝3×7＋22＝43；第四次循环i ＝7，满足条件i ＜8，i ＝7＋2＝9，S ＝3×9＋43＝70；第五次循环i ＝9，不满足条件i ＜8，循环终止，输出S ＝70.答案：7013．(2020-2021·常州期初检测)给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0成立；命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax2＋ax ＋1>0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14. ∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a >14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.答案：(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 14．(2018·南京四校联考)已知直线l 1：x －2y －1＝0，直线l 2：ax －by ＋1＝0，a ，b ∈{1，2，3，4}，则直线l 1与直线l 2有公共点的概率为________．解析：(a ，b )的所有可能情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共16个．若直线l 1与直线l 2没有公共点，则l 1∥l 2，即k 1＝k 2，即12＝a b，即b ＝2a ，满足条件的实数对(a ，b )有(1，2)，(2，4)共2种情形，∴所求概率P ＝1－216＝78. 答案：78。

限时练(五)（建议用时：40分钟）1。

已知集合A＝｛－1，0,1，2｝,B＝｛x｜x2－1＞0｝,则A∩B＝________.解析由题意得B＝{x|x＜－1或x＞1}，则A∩B＝{2｝.答案｛2}2。

已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________。

解析由题意得z＝错误!＝错误!＝－1＋3i.所以｜z｜＝｜－1＋3i|＝错误!＝错误!。

答案错误!3.将四个人(含甲、乙）分成两组,每组两人，则甲、乙为同一组的概率为________.解析设4个人分别为甲、乙、丙、丁，依题意，基本事件有(甲乙，丙丁)，(甲丙，乙丁),（甲丁，丙乙），共3种。

满足要求的事件只有(甲乙，丙丁),共1种，所以其概率为错误!.答案错误!4.直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________。

解析设直线l的斜率为k，则k＝－错误!＝错误!。

答案错误!5。

已知函数f（x）＝错误!那么f错误!＝________。

解析因为f错误!＝log3错误!＝log33－2＝－2，所以f错误!＝f（－2）＝2－2＝错误!.答案错误!6.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图所示的频率分布直方图.样本数据分组为[50，60），［60，70）,[70,80）,［80，90），[90，100].若采用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80，100］范围内的数据16个，则其中分数在［90，100］范围内的样本数据有________个.解析分数在［80,100]内的频率为(0.025＋0。

015)×10＝0.4，而分数在［90,100］内的频率为0.015×10＝0.15.设分数在［90，100］内的样本数据有x个，则由错误!＝错误!，得x＝6。

答案67.如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1,2，3,4，那么实数a的取值范围是________.解析由5x2－a≤0，得－错误!≤x≤错误!,因为正整数解是1，2，3，4，则4≤错误!＜5，所以80≤a＜125.答案[80，125）8.已知将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.解析依题意可得原圆锥的母线长为l＝2，设底面半径为r，则2πr＝π×2⇒r＝1，从而高h＝l2－r2＝错误!＝错误!，所以圆锥的体积为V＝错误!Sh＝错误!πr2h＝错误!.答案错误!9.执行如图所示的流程图，如果输入的x，t均为2，那么输出的S＝________.解析循环体部分的运算为：第一步,M＝2，S＝5,k＝2；第二步,M＝2，S＝7，k＝3.故输出的结果为7。

1．(2019·江苏名校高三入学摸底)设集合A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－3x －4≥0}，则A ∩(∁R B )＝______．[解析] 由B ＝{x |x 2－3x －4≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，得∁R B ＝{x |－1<x <4}，又A ＝{－2，2}，所以A ∩(∁R B )＝{2}．[答案] {2}2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________． [答案] 任意一个无理数，它的平方不是有理数3．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________．[解析] 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．[答案] 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<34．(2019·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________． ①∃x ∈R ，x ＋1x ＝2； ②∃x ∈R ，sin x ＝－1； ③∀x ∈R ，x 2>0； ④∀x ∈R ，2x >0．[解析] 对于①x ＝1成立，对于②x ＝3π2成立，对于③x ＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．[答案] ①②④5．已知U ＝R ，A ＝{1，a }，B ＝{a 2－2a ＋2}，a ∈R ，若(∁U A )∩B ＝∅，则a ＝______．[解析] 由题意知B ⊆A ，所以a 2－2a ＋2＝1或a 2－2a ＋2＝a ．当a 2－2a ＋2＝1时，解得a ＝1；当a 2－2a ＋2＝a 时，解得a ＝1或a ＝2．当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性，舍去；当a ＝2时，满足题意．所以a ＝2．[答案] 26．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，得－3≤a <0； 所以－3≤a ≤0． [答案] －3≤a ≤07．(2019·南京调研)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．[解析] 因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}＝(－1，1)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}＝(－∞，0]，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]． [答案] (0，1)∪(－∞，－1]8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知集合P ＝{x |x ≤a }，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，若P ∩Q ＝Q ，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |log 8x ≤13，得Q ＝{1，2}，又P ∩Q ＝Q ，所以a ≥2，即实数a 的取值范围是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)9．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的值为________．[解析] 由题意得sin θ－1≥0．又－1≤sin θ≤1， 所以sin θ＝1．所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12．[答案] 1210．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(八))已知x ≠0，x ∈R ，则“2x <1”是“3x >9”的______条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)[解析] 由2x <1得x >2或x <0．由3x >9得x >2，所以由“3x >9”可以得“2x <1”，反之却无法得到，所以“2x <1”是“3x >9”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分 11．给出以下三个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)[解析] 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ．故填②． [答案] ②12．(2019·南京高三模拟)下列说法正确的序号是________．①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”．[解析] 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确．由x ＝－1，能够得到x 2－5x －6＝0，反之，由x 2－5x －6＝0，得到x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，所以④不正确．[答案] ③13．若命题“∀x ∈[－1，1]，1＋2x ＋a ·4x <0”是假命题，则实数a 的最小值为 __________．[解析] 变形得a <－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋14x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋122＋14，令t ＝12x ，则a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f (t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，所以[f (t )]min ＝f (2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋14＝－6，又因为该命题为假命题， 所以a ≥－6，故实数a 的最小值为－6． [答案] －614．(2019·江苏四星级学校高三联考)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．[解析] 法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2．故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1．z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，显然该集合中共有3个元素．[答案] 3。

1.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P (2，－1).(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，假设直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值.解 (1)由e ＝c a ＝32，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3， 椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.把P (2，－1)代入，得b 2＝2， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(2)由得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数. 设直线PA 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8，即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0， 因为该方程的两根为2，x A ， 所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2， 即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2， 从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1. 故k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－12，是定值. C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为23，且离心率e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定圆E ，使得过圆E 上的任意一点都可以作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1，l 2与椭圆C 都只有一个公共点？假设存在，求出圆E 的方程；假设不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22得，a ＝2c ，又短轴长为23，所以2b ＝23，b ＝ 3. 又b 2＋c 2＝a 2，得a ＝6，b ＝c ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)假设满足条件的圆E 存在，那么可设P (x 0，x 0)是圆E 上的任意一点，当过P 的直线l 的斜率为k 时，其方程为y ＝k (x －x 0)＋y 0，代入x 26＋y 23＝1，得x 26＋(kx －kx 0＋y 0)23＝1.即(1＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(y 0－kx 0)2－6＝0.①假设直线l 与椭圆C 的公共点只有一个，那么①中判别式Δ＝0， 即16k 2(y 0－kx 0)2－8(1＋2k 2)[(y 0－kx 0)2－3]＝0. 整理得关于k 的方程(6－x 20)k 2＋2x 0y 0k －y 20＋3＝0，②要使过圆E 上任意一点都可以作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1，l 2与椭圆C 都只有一个公共点，那么方程②必须有两根，且两根之积为－1， 故－y 20＋36－x 20＝－1，即x 20＋y 20＝9，满足②中的判别式Δ>0. 又对于点(6，3)，(－6，3)，(6，－3)，(－6，－3)，直线l 1，l 2中有一条的斜率不存在，另一条的斜率为0，显然成立，故满足条件的圆E 存在，方程为x 2＋y 2＝9.E 的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A →＝λF 2B →，假设λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 的长度的最小值.解 (1)设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，易知c ＝1.因为椭圆E 过定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，所以1a 2＋12b 2＝1，结合c 2＝a 2－b 2可得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可设l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 2＋2y 2－2＝0得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，那么Δ＝4k2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为y 1,2＝－2k ±8(k 2＋1)2(k 2＋2)＝－k ±2(k 2＋1)k 2＋2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2kk 2＋2， ①y 1y 2＝－1k 2＋2，②y 1＝λy 2(－2≤λ≤－1)， ③由①2÷②得y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4k 2k 2＋2⇒λ＋1λ＋2＝－4k2k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得－12≤λ＋1λ＋2≤0⇒－12≤－4k 2k 2＋2≤0，解得0≤k 2≤27.QA →＝(x 1－2，y 1)，QB →＝(x 2－2，y 2)，QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)，x 1＋x 2－4＝k (y 1＋y 2)－2＝－4(k 2＋1)k 2＋2，QC 2＝|QA →＋QB →|2＝(x 1＋x 2－4)2＋(y 1＋y 2)2＝16(k 2＋1)2(k 2＋2)2＋4k 2(k 2＋2)2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2. 令t ＝1k 2＋2，那么t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，QC 2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742－172. 所以当t ＝12时，(QC )min ＝2.A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x轴时，AF ＝2PF . (1)求椭圆C 的离心率；(2)假设椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积；(3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆〞. 假设b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆〞的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n2为定值.(1)解 由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程，得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又AF ＝2PF ，所以a ＋c ＝2b 2a，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)解 因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b 2a2－(－a )·3b 2－a 2＝－b 2a2， 由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明 由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237.①连结OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，那么四边形OMPN 的外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)，即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，那么m ＝237x 0，令x ＝0，那么n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 203，因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).5.如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为椭圆C 1上任一点，MN是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，在y 轴上截距为3－2的直线l 与AF 平行且与圆C 2相切.(1)求椭圆C 1的离心率；(2)假设椭圆C 1的短轴长为8，求PM →·PN →的最大值.解 (1)由题意得F (c,0)，A (0，b )，那么k AF ＝－bc. 因为在y 轴上截距为3－2的直线l 与AF 平行，所以直线l ：y ＝－b cx ＋3－2，即bx ＋cy ＋(2－3)c ＝0. 因为圆C 2的圆心C 2(0,3)，半径r ＝1，且直线l 与圆C 2相切，所以|2c |b 2＋c2＝1，即2c a＝1，所以e ＝22. (2)因为椭圆C 1的短轴长为8，所以2b ＝8，即b ＝4. 因为a 2＝b 2＋c 2，e ＝22，所以a ＝2c,2c 2＝b 2＋c 2. 所以c ＝b ＝4，a ＝42，所以椭圆方程为x 232＋y 216＝1.设P (x ，y )，那么PM →·PN →＝(PC 2→＋C 2M →)·(PC 2→＋C 2N →) ＝PC 2→2＋PC 2→·(C 2M →＋C 2N →)＋C 2M →·C 2N → ＝PC 2→2＋C 2M →·C 2N →＝x 2＋(y －3)2－1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 216＋(y －3)2－1＝－y 2－6y ＋40＝－(y ＋3)2＋49，又y ∈[－4,4]，所以当y ＝－3时，PM →·PN →的最大值为49.C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在椭圆上(异于椭圆C 的左、右顶点)，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线L 的垂线F 2Q ，交L 于点Q ，且OQ ＝2(O 为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)假设直线l ：x ＝my ＋4(m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′，直线A ′B 交x 轴于点D ，求当△ADB 的面积最大时，直线l 的方程.解 (1)由椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4×12ab ＝43，得ab ＝2 3.延长F 2Q 交直线F 1P 于点R ，因为F 2Q 为∠F 1PF 2的外角平分线的垂线， 所以PF 2＝PR ，Q 为F 2R 的中点， 所以OQ ＝F 1R 2＝F 1P ＋PR 2＝F 1P ＋PF 22＝a ，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋4，x 24＋y23＝1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，①所以Δ＝(24m )2－4×36×(3m 2＋4)＝144(m 2－4)>0，即m 2>4. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A ′(x 1，－y 1)， 解①得y 1,2＝－12m ±6m 2－43m 2＋4， 那么y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，直线A ′B 的斜率k ＝y 2－(－y 1)x 2－x 1＝y 2＋y 1x 2－x 1，所以直线A ′B 的方程为y ＋y 1＝y 1＋y 2x 2－x 1(x －x 1)， 令y ＝0，得x D ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝(my 1＋4)y 2＋y 1(my 2＋4)y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋4，故x D ＝1，所以点D 到直线l 的距离d ＝31＋m2，所以S △ADB ＝12AB ·d ＝12d ·(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝32|y 1－y 2| ＝18·m 2－43m 2＋4.令t ＝m 2－4(t >0)，那么S △ADB ＝18·t 3t 2＋16＝183t ＋16t≤1823×16＝334，当且仅当3t ＝16t ，即t 2＝163＝m 2－4，即m 2＝283>4，m ＝±2213时，△ADB 的面积最大，所以直线l 的方程为3x ＋221y －12＝0或3x －221y －12＝0.。

小题训练5一、填空题：1.已知集合{}3,2a M =，{},N a b =．若{}4M N = ，则=M N ▲ ．2.已知复数3i1iz -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ．3.一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为 ▲ ．4.从高三年级随机抽取100名学生，将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图．由图中数据可知成绩在[130，140)内的学生人数为 ▲ ．5.执行如图所示算法的伪代码，则输出S的值为▲．6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为▲．7.已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．8.在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =．设3n S 为该数列的前3n 项和，n T 为数列{}3n a 的前n 项和．若3n n S tT =，则实数t 的值为 ▲ ．9.已知实数x ,y 满足条件0,0,1,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则1()2x y -的最大值为 ▲ ．10.在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与函数π3sin(010)2y x x =≤≤的图象所有交点的横坐标之和为 ▲ ．11.已知111(,)P x y ，222(,)P x y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12POP θ∠=（θ为钝角）．若π3s i n ()45θ+=，则1212x x y y +的值为 ▲ ．12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲ ．13.如图，在△ABC 中，已知π3BAC ∠=，2AB =，3AC =，2DC BD = ，3AE ED = ，则BE =▲．14.已知函数1()()e xaf x ax=-∈R．若存在实数m，n，使得()0f x≥的解集恰为[],m n，则a的取值范围是▲．。

1．(20xx·常州期末)曲线y ＝x －cos x 在点⎝⎛⎭⎫π2，π2处的切线方程为________．[解析] y ′＝1＋sin x 、故曲线y ＝x －cos x 在点⎝⎛⎭⎫π2，π2处的切线的斜率为2．由点斜式方程可得切线方程为2x －y －π2＝0．[答案] 2x －y －π2＝02．函数y ＝1－2x 的定义域为集合A 、函数y ＝ln(2x ＋1)的定义域为集合B 、则A ∩B ＝________．[解析] 由1－2x ≥0得x ≤12、故A ＝⎝⎛⎦⎤－∞，12、由2x ＋1>0得x >－12、故B ＝⎝⎛⎭⎫－12，＋∞、故A ∩B ＝⎝⎛⎦⎤－12，12． [答案] ⎝⎛⎦⎤－12，12 3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x(0≤x ≤2)的值域为________．[解析] 因为函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x(0≤x ≤2)是减函数、又知⎝⎛⎭⎫130＝1、⎝⎛⎭⎫132＝19、从而值域为⎣⎡⎦⎤19，1． [答案] ⎣⎡⎦⎤19，14．不等式－1＜x 2＋2x －1≤2的解集是________．[解析] 原不等式等价于：⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ＞0，x2＋2x －3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2或x ＞0，－3≤x≤1， 所以不等式的解集是{x |－3≤x ＜－2或0＜x ≤1}． [答案] {x |－3≤x ＜－2或0<x ≤1}5．(20xx·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋log3x ，x>0，3－log2（－x ），x<0，则f (3)＋f (－2)＝________．[解析] f (3)＋f (－2)＝(2＋log 33)＋(3－log 22) ＝2＋12＋3－12＝5．[答案] 5a ＝20．由q (x )＝bx －20ln x25及q (25)＝270得25b －20ln 1＝270、所以b ＝545、所以f (x )＝p (x )＋q (x )－10x ＝1045x －25x 2－20ln x25－5(5≤x ≤50)． (2)f ′(x )＝1045－45x －20x ＝－4x2＋104x －1005x ＝－4（x －1）（x －25）5x(5≤x ≤50)、显然f (x )在[5、25)上单调递增、在(25、50]上单调递减、所以f (x )max ＝f (25)＝265．答：该景区实行门票新政后景区年收入的净增加值的最大值为265万元． 12．(20xx·江苏名校高三入学摸底)已知函数f (x )＝x ln x －x ． (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)令g (x )＝f (x )－m2(x 2－2)(m ∈R )、若函数g (x )在(0、＋∞)内有两个不相等的极值点x 1和x 2、且x 1<x 2．①求实数m 的取值范围；②已知λ>0、若不等式e 1＋λ<x 1·x λ2恒成立、求实数λ的取值范围．[解] (1)函数f (x )的定义域为(0、＋∞)、且f ′(x )＝ln x 、令f ′(x )＝ln x <0、得0<x <1、故函数f (x )的单调递减区间为(0、1)．(2)①依题意、函数g (x )＝x ln x －m2x 2－x ＋m 的定义域为(0、＋∞)、所以方程g ′(x )＝0在(0、＋∞)内有两个不相等的实根、即方程ln x －mx ＝0在(0、＋∞)内有两个不相等的实根、所以函数y ＝ln x 与函数y ＝mx 的图象在(0、＋∞)内有两个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示、若令过原点且切于函数y ＝ln x 图象的直线斜率为k 、只需0<m <k ．设切点为A (x 0、ln x 0)、所以k ＝y ′|x ＝x 0＝1x0、又k ＝ln x0x0、所以1x0＝ln x0x0、解得x 0＝e 、于是k ＝1e 、所以0<m <1e． ②e 1＋λ<x 1·x λ2等价于1＋λ<ln x 1＋λln x 2．由①可知x 1、x 2分别是方程ln x －mx ＝0的两个根、即ln x 1＝mx 1、ln x 2＝mx 2、 所以原不等式等价于1＋λ<mx 1＋λmx 2＝m (x 1＋λx 2)、因为λ>0、0<x 1<x 2、所以原不等式等。

江苏省2022届高三数学二轮专题训练：填空题（54）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。

1．已知集合{}11M =-，，11242x N xx +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N =__ ▲ ． 2．复数ii 4321+-在复平面上对应的点位于第 __ ▲ 象限． 3．根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则的值为__ ▲ ．4 若, 满足条件4104320,10200x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪+⎨≥⎪⎪≥⎩则的最大值等于 ▲ ． 5．设31sin (), tan(),522πααππβ=<<-=则tan ()βα-的值等于__ ▲ ． 6．设是定义在上的奇函数，且当时，32)(-=x x f ，则=-)2(f __▲___．7．在△ABC 中，BC=1，3π=∠B ，当△ABC 的面积等于时，=C tan __ ▲ ．8．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3－＝0，则点P 的坐标为 ▲ ．9．设)(x f y =是一次函数，1)0(=f ，且)13(),4(),1(f f f 成等比数列，则－1 0 1 2 311 2 3 4 5++)4()2(f f …=+)2(n f _ ▲ ．10．函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点，若点在一次函数n mx y +=的图象上，其中,0m n >，则12m n+的最小值为__ ▲ ． 11．设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ∆∆-=+与则,2的面积之比为__▲ ．12．若函数是定义在（0，）上的增函数，且对一切>0,>0满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为__ ▲ ．13．第29届奥运会在北京举行设数列=)2(log 1++n n *)(N n ∈，定义使k a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅321为整数的实数为奥运吉祥数，则在区间[1，2022]内的所有奥运吉祥数之和为____▲____．14．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即 {}x m = 在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，]；②函数)(x f y =的图像关于直线2k x =∈Z 对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数； 则其中真命题是__ ▲ ．1 2 三 3 1 4 25 5 112- 6 -1 7 -9. )32(+n n 10 8 11 1 12 （0，2） 13 2026 14 ①②③。

2015年江苏高考二轮复习数学思维能力专项训练(5)1. 已知534sin )6cos(=+-απα，则)67sin(πα+的值为 2.已知两非零向量→→→→==b a n m b n m a ,),3,3(),1,1(且夹角是钝角或直角，则m+n 的范围是3.（南京市、盐城市2015届高三）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲ 4.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.5．(2014·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________. 6．7．若函数23)(-+=x ax x f 在区间()+∞,2上是增函数，且对满足上述条件的任意实数a ， 不等式a ≥λ恒成立，则实数λ的最小值为 ．8.若在给定直线t x y +=上任取一点,P 从点P 向圆8)2(22=-+y x 引一条切线，切点为.Q 若存在定点,M 恒有,PQ PM =则t 的范围是_______.9.设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是 ； 10.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围．11.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//,45AB CD ABC ∠=︒，1,2,DC AB PA ==⊥平面ABCD ，1PA =．（1）求证：//AB 平面PCD ； （2）求证：BC ⊥平面PAC ；（3）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积．12.如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成矩形的两个顶点．(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若OP →＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q (m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由．2015年江苏高考二轮复习数学思维能力专项训练(5)答案1. 已知534sin )6cos(=+-απα，则)67sin(πα+的值为 542.已知两非零向量→→→→==b a n m b n m a ,),3,3(),1,1(且夹角是钝角或直角，则m+n 的范围是 （2,6）3.（南京市、盐城市2015届高三）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲4 4.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 答案 －5或2解析 对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4， 则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2. 如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有C 1C 2＝r 1＋r 2， 即m ＋12＋m ＋22＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2， 所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．5．(2014·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1，所以q ＞1.∵a 2a 1＝q ，∴a 1(q －1)＝1，a 1＝1q －1，∴a 3＝q 2q －1＝q －12＋2q －1＋1q －1＝q －1＋1q －1＋2≥2q －1·1q －1＋2＝4，当且仅当q ＝2时取得等号，故可知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.答案 2n －16．21 7．若函数23)(-+=x ax x f 在区间()+∞,2上是增函数，且对满足上述条件的任意实数a ，不等式a ≥λ恒成立，则实数λ的最小值为 -6 ．8.若在给定直线t x y +=上任取一点,P 从点P 向圆8)2(22=-+y x 引一条切线，切点为.Q 若存在定点,M 恒有,PQ PM =则t 的范围是_______. ),6[]2,(+∞⋃--∞∈t9.设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是 (,2]-∞ ；10.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围．解 (1)因为a ∥b ， 所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，所以sin A ＝a sin B b＝3×632＝22.所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12]．所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12]．11.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//,45AB CD ABC ∠=︒，1,2,DC AB PA ==⊥平面ABCD ，1PA =．AB平面PCD；（1）求证：//（2）求证：BC 平面PAC；（3）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD 的体积．12.如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成矩形的两个顶点．(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若OP →＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q (m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．(1)证明易求A(2,1)，B(－2,1)．设P(x0，y0)，则x204＋y20＝1.由OP→＝mOA→＋nOB→，得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2m－n，y0＝m＋n，所以4m－n24＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝12.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝12上．(2)解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2x1x2＝k OA·k OB＝－14.平方得x21x22＝16y21y22＝(4－x21)(4－x22)，即x21＋x22＝4.因为直线MN的方程为(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝|x1y2－x2y1|x2－x12＋y2－y12，所以△OMN的面积S＝12 MN·d＝12|x1y2－x2y1|＝12x21y22＋x22y21－2x1x2y1y2＝12x21⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－x224＋x22⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－x214＋12x21x22＝12x21＋x22＝1.故△OMN的面积为定值1.H 欢迎下载，资料仅供参考!!!H。