(江苏专用)2021高考数学二轮复习 填空题训练 综合仿真练(一)

综合仿真练(二)1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝_________. 解析：因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}， 所以A ∪B ＝{1,3,4}， 因为全集U ＝{1,2,3,4}， 所以∁U (A ∪B )＝{2}． 答案：{2}2．若复数z 满足2z －z i ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b 为实数)，则2z －z i ＝2a ＋2b i －(a －b i)·i＝(2a －b )＋(2b－a )i ＝3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以z 的虚部为2.答案：23．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．解析：设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8.答案：84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.答案：55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13. 答案：136．(2021·镇江期初)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ≤0，f x －2＋1，x >0，则f (2 019)＝________.解析：当x >0时，f (x )＝f (x －2)＋1，则f (2 019)＝f (2 017)＋1＝f (2 015)＋2＝…＝f (1)＋1 009＝f (－1)＋1 010, 而f (－1)＝0，故f (2 019)＝1 010.答案：1 0107．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．解析：由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bca 2＋b 2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 5.答案： 58．(2021·盐城中学模拟)已知递增的等差数列{a n }的公差为d ，从中抽取部分项ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n ，…构成等比数列，其中k 1＝2，k 2＝5，k 3＝11，且集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫na nk n ＋1≥12，n ∈N *中有且仅有2个元素，则d 的取值范围是________．解析：由题意得d >0，且a 2，a 5，a 11成等比数列，则a 2a 11＝a 25，即(a 1＋d )(a 1＋10d )＝(a 1＋4d )2，化简得a 1＝2d >0，则a n ＝(n ＋1)d ，a 2＝3d ，a 5＝6d ，则构成的等比数列的公比为2，ak n ＝(k n ＋1)d ＝3d ×2n －1，得k n ＋1＝3×2n －1，所以a n k n ＋1＝n ＋1d3×2n －1，a n ＋1k n ＋1＋1－a n k n ＋1＝n ＋2d3×2n－n ＋1d3×2n －1＝－nd3×2n<0，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n k n ＋1是递减数列．由集合M 中有且仅有2个元素，可得a 2k 2＋1＝3d 6＝d 2≥12，且a 3k 3＋1＝4d 3×4＝d 3<12，解得1≤d <32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 9.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P ­BB 1C 1C 的体积为________．解析：因为四棱锥P ­BB 1C 1C 的底面积为16，高PB 1＝1，所以VP ­BB 1C 1C ＝13×16×1＝163.答案：16310．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________.解析：由0≤x <π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f (α)＝f (β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6.答案：7π611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，－x ＋1，x ＜0.若函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________.解析：当x <0时，－x >0，故－x ＋1>0， 所以f (－x ＋1)＝x 2－2x ＋1－1＝x 2－2x ， 当x ≥0时，f (x )＝x 2－1，当0≤x <1时，x 2－1<0，故f (x 2－1)＝－x 2＋2，当x ≥1时，x 2－1≥0，故f (x 2－1)＝x 4－2x 2.故f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x <0，－x 2＋2，0≤x <1，x 4－2x 2，x ≥1，作出函数f (f (x ))的图象如图所示，可知当1<k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．答案：(1,2]12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，|AB ―→|＝|AO ―→|，则CA ―→·CB ―→＝__________.解析：由AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→，可得OB ―→＋OC ―→＝0，即BO ―→＝OC ―→，所以圆心在BC 中点上，且AB ⊥AC .因为|AB ―→|＝|AO ―→|＝2，所以∠AOC ＝2π3，C ＝π6，由正弦定理得AC sin 2π3＝AOsinπ6，故AC ＝23，又BC ＝4，所以CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|·cos C ＝4×23×32＝12.答案：1213．设a ，b ，c 是三个正实数，且a (a ＋b ＋c )＝bc ，则ab ＋c的最大值为__________．解析：由a (a ＋b ＋c )＝bc ，得1＋b a ＋c a ＝b a ·c a ，设x ＝b a ，y ＝c a，则x ＋y ＋1＝xy ，ab ＋c＝1x ＋y ，因为x ＋y ＋1＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以x ＋y ≥2＋22，所以a b ＋c 的最大值为2－12. 答案：2－1214．(2021·扬州中学模拟)已知奇函数f (x )满足f (－x )＝f (x ＋2)，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，若函数g (x )＝txx 2＋1，x ∈[－4,4]，h (x )＝f (x )－g (x )有5个不同的零点，则实数t的取值范围为________．解析：因为f (－x )＝f (x ＋2)且f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (x ＋2)，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )的周期为4.由g (x )＝txx 2＋1，x ∈[－4,4]，得g ′(x )＝－t x 2－1x 2＋12，令g ′(x )＝－tx 2－1x 2＋12＝0，得x ＝－1或x ＝1.易知g (x )为奇函数，①当t <0时，g (x )在[－4，－1)，(1,4]上单调递增，在(－1,1)上单调递减，作出函数f (x )，g (x )的大致图象如图1所示，要使h (x )＝f (x )－g (x )有5个不同的零点，只需－1＝f (3)<g (3)<0，解得－103<t <0.②当t ＝0时，显然满足题意，③当t >0时，g (x )在[－4，－1)，(1,4]上单调递减，在(－1,1)上单调递增，作出函数f (x )，g (x )的大致图象如图2所示，要使h (x )＝f (x )－g (x )有5个不同的零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧0<g1<f 1，g ′0>1，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<t <2，t >1，所以1<t <2.综上所述，t 的取值范围是－103<t ≤0或1<t <2.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－103，0∪(1,2)。

14个填空题综合仿真练(一)1. ______________________________________________________ 已知集合A= {0,3,4} , B= { —1,0,2,3}，贝U A n B= ________________________________________________________________________ .解析：因为集合A= {0,3,4} , B= { —1,0,2,3}，所以A n B= {0,3}.答案：{0,3}22. 已知x> 0,若(x —i)是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x= ________________ .解析：因为x>0, (x—i) 2= x2— 1 —2x i是纯虚数(其中i为虚数单位)，所以x2— 1 = 0 且—2X M0,解得x= 1.答案：13. ___________________________________________________________ 已知函数f (x) = x2—2x —3，则该函数的单调递增区间为__________________________________ .解析：设t = x2—2x—3,由t >0, 即卩x2—2x —3>0,解得x<—1或x>3,所以函数f(x)的定义域为(一汽—1］U ［3 , ),因为函数t = x2—2x—3的图象的对称轴为x= 1,所以函数t = x2—2x—3在(—g, —1］上单调递减，在［3 ,+^)上单调递增，所以函数f (x) 的单调递增区间为［3 ,+^).答案：［3 ,+^)4. _________ 从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是___ .解析：将2个白球记为A, B,2个红球记为C, D,1个黄球记为E,则从中任取两个球的所有可能结果为(A, B) , (A, C), (A, D) , (A, E) , (B, C) , (B, D) , ( B, E) , (C, D) , (C,日，(D,日，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A, C), (A , D) , (B, C) , (B, D) , ( E,6 3C) , (E , D)共6个，故所求概率为P=^ =-.10 5答案：355. 执行如图所示的伪代码，若输出的_________ y的值为13 ,则输入的x的值是.1 / 49.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为2 / 413解析：若6x = 13,则x = >2,不符合题意；若 x + 5= 13，则x = 8>2,符合题意，故6x = 8.答案：86 . 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)分别为：3 / 4解得 a = 2 ..：5.答案：2 ：5119.已知a ,卩€ (0 , n ),且tan( a —卩)=~ , tan 卩=—匚,则tan a 的值为 __________________2 5答案：右10.已知关于x 的一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0的解集为(一1,5),其中a , b , c 为常 数.则不等式cx 2+ bx + a <0的解集为 ____________________ .. _ 2解析：因为不等式 ax + bx + c >0的解集为(一1,5),所以a (x + 1)( x — 5)>0 ,且a <0 ,222即 ax — 4ax — 5a >0 ,贝U b =— 4a , c =— 5a ,贝U cx + bx + a <0 即为一5ax — 4ax + a <0,从21 而 5x + 4x —1< 0,解得—1< x w .5答案：-1, 11 1解析：这组数据的平均数为 5(9.4 + 9.7 + 9.8 + 10.3 + 10.8) = 10，方差为号[(10 — 9.4)2 2 2 2+ (10 — 9.7) + (10 — 9.8) + (10 — 10.3) + (10 — 10.8) ] = 0.244.答案：0.2 44n7.已知函数 f (x ) = sin( 3x +0 )(0< co <2,0< 0 <n ).若 x =——为函数 f (x )的一个零n点，X =~3为函数f (x )图象的一条对称轴，则 o 的值为 ______________n n解析：函数f (x )的周期T = 4X — + — T =生,所以o = 2nX 呉=7.o7 n 7答案：6&在厶ABC 中,角A , B, C 所对的边分别为 a , b , c , 且满足 cos== 2~5, AB • AC =253, b + c = 6,贝U a =2A 3 丄 ,••• cos A = 2陀—1 = 5 又由 2A2-- > --- > AB • AC = 3,得 bc cos A = 3 ,••• bc = 5 ,由余弦定理得 2 2 2a =b +c — 2bc cos A = ( b + c )2bc (1 + cos A ) = 36 — 10X 5= 20 ,5解析：tana = tan[(tan a — S + tan SB ) + S] = 1 — tan a —S tan S =311.9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为4 / 4y y 2y - 2+ 2 2x = y —2>0,则 log 次+ log 2y = log 2xy = log 2y —2 = log 2 y —2+ 上2+ 4 >log 28= 3，当且仅当(y — 2)2= 4,即y = 4时等号成立, y — 2+ log 2y 的最小值为3.答案：3 12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ： x 2+ y 2+ 2x — 8= 0,直线I :y = k (x — 1)( k€ R)过定点A,且交圆C 于点B, D,过点A 作BC 的平行线交 CD 于点己，则厶AEC 的周长为解析：易得圆 C 的标准方程为(x — 1)2+ y 2= 9,即半径r = 3,定点A —1,0)，因为AE // BC 所以 EA= ED 贝U EC + EA= EC + ED= 3,从而△ AEC 的周长为 5.答案：513. 设集合 A = {x | x = 2 , n € N}，集合 B= {x |x = b n , n € N}，满足 A n B = ?，且 A U B =N .若对任意的 n € N , b n <b n + 1 ,贝U b 2 017 = _________________ .解析：因为210= 1 024<2 017,2 11= 2 048>2 017，所以小于等于 2 017的正整数中有10 个是集合A 中的元素，所以由集合B 的定义可知b 2 017 = 2 017 + 10 = 2 027.答案：2 0271 214. 已知函数f (x ) = kx , g (x ) = 2ln x + 2e -<x <e ，若f (x )与g (x )的图象上分别存e在点M N 使得M N 关于直线y = e 对称，则实数k 的取值范围是 ________________________ .1 2设曲线 y = — 2ln x -W x We 上的点 P (x o ,— 2lne解析：设直线y = kx 上的点Mx , kx )，点M 关于直线y = e 的对 称点Nx, 2e — kx )，因为点N 在g (x ) = 2ln x + 2e x <e 2的图象上, e 所以 2e — kx = 2lnx + 2e ,所以 kx = — 2ln x .构造函数y = kx , y = —2ln画出函数 1 2 y =— 2ln x e W x <e 的图象如图所示,切点).因为y '22，所以过点P 的切线方程为y + 2ln X 。

综合仿真练(八)1．(2021·通州中学)若复数z 满足z iz －i＝1，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为________．解析：由z iz －i＝1得z i ＝z －i ，即z ＝i 1－i ，所以|z |＝|i||1－i|＝12＝22. 答案：222．已知集合M ＝{0,1,3}，N ＝{x |x ＝3a ，a ∈M }，则M ∩N ＝________.解析：因为M ＝{0,1,3}，N ＝{x |x ＝3a ，a ∈M }，所以N ＝{0,3,9}，所以M ∩N ＝{0,3}． 答案：{0,3}3．在区间(0,5)内任取一个实数m ，则满足3<m <4的概率为________． 解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足3<m <4的概率为P ＝4－35－0＝15.答案：154．已知一组数据x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则数据3x 1,3x 2，…，3x 100 的标准差为________． 解析：由x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则3x 1,3x 2，…，3x 100的方差是18，所以所求标准差为3 2.答案：3 25．在如图所示的算法中，输出的i 的值是________．解析：当i ＝1时，S ＝2；当i ＝3时，S ＝6；当i ＝5时，S ＝30；当i ＝7时，S ＝210>200.所以输出的i ＝7.答案：76．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e ＝________.解析：由双曲线的性质“焦点到渐近线的距离等于b ”，则b ＝a ＋c2，即a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝c 2.整理得3c 2－2ac －5a 2＝0，所以3e 2－2e －5＝0，解得e ＝53.答案：537．设正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的边长为1，其表面积为14，则AA 1＝________. 解析：正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，则AA 1＝3. 答案：38．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：因为y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝e ＝1e .又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e＝－1，所以a ＝－e.答案：－e9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，y ≥x ，0≤y ≤4，x ≥0表示的平面区域的面积为S ，则S的值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，得面积S ＝12(42－22)＝6. 答案：610．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)在(0，π)上有且只有两个零点，则实数ω的取值范围为________．解析：易得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π3.因为函数f (x )在(0，π)上有且仅有两个零点，所以π<ωπ－π3≤2π， 解得43<ω≤73.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤43，73 11．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．解析：由(a ＋2b )⊥(a －2b )，得(a ＋2b )·(a －2b )＝0，即|a |2－4|b |2＝0，则|a |＝2|b |，cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a ＋b ·a －b|a ＋b ||a －b |＝a 2－b2a 2＋2a ·b ＋b 2·a 2－2a ·b ＋b 2＝3b221b2＝217. 答案：21712．(2021·扬州中学模拟)已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，且S 6＝－9，S 8＝4，若满足不等式n ·S n ≤λ的正整数n 有且仅有3个，则实数λ的取值范围为________．解析：不妨设S n ＝An 2＋Bn ，由S 6＝－9，S 8＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧36A ＋6B ＝－9，64A ＋8B ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－152，所以nS n ＝n 3－152n 2，令f (x )＝x 3－152x 2，则f ′(x )＝3x 2－15x ＝3x (x －5)，易得数列{nS n }在1≤n ≤5，n ∈N *时单调递减； 在n >5，n ∈N *时单调递增．令nS n ＝b n ，有b 3＝－812，b 4＝－56，b 5＝－1252，b 6＝－54，b 7＝－492.若满足题意的正整数n 只有3个，则n 只能为4,5,6，故实数λ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－812. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－81213．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c6cos C ，则cos A cos B cos C ＝________.解析：由题意及正弦定理得tan A 2＝tan B 3＝tan C6，可设tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，于是k ＝116，从而cos A cos B cos C ＝320×215×112＝110. 答案：11014．已知函数f (x )＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3，x ∈[0,4]，则f (x )最大值是________．解析：法一：当x ＝0时，原式值为0；当x ≠0时，由f (x )＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3＝2x ＋7＋6xx ＋4＋3x，令t ＝2x ＋7＋6x，由x ∈(0,4]，得t ∈[2＋3，＋∞)，f (x )＝g (t )＝2t t 2＋1＝2t ＋1t. 而t ＋1t ≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f (x )≤12.即f (x )的最大值为12.法二：f (x )＝2xx 2＋4x ＋3－x 2x 2＋4x ＋3＝2x x 2＋4x ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋4x ＋32，于是令t ＝x x 2＋4x ＋3，所求的代数式为y ＝2t －t 2.当x ＝0时，t ＝0；当x ≠0时，有t ＝1x ＋4＋3x≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－32，当t ＝2－32时， 2t －t 2有最大值12，此时x ＝ 3.答案：12。

综合仿真练(四)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中的元素的个数为________． 解析：集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，所以A ∪B 中元素的个数为5.答案：52．复数z ＝21－i (其中i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________．解析：z ＝21－i ＝21＋i1－i 1＋i ＝1＋i ，则复数z 的共轭复数为1－i.答案：1－i3．如图是一个算法的流程图，则输出的k 的值为________．解析：阅读流程图，当k ＝2,3,4,5时，k 2－7k ＋10≤0，一直进行循环，当k ＝6时，k 2－7k ＋10＞0，此时终止循环，输出k ＝6.答案：64．一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，现从中随机摸出2个球，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为________．解析：从2个红球和2个白球中随机摸出2个球，共有6种结果，其中摸出的2个球中没有红球的结果有1种，则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为1－16＝56.答案：565．双曲线x 25－y 24＝1的右焦点与左准线之间的距离是____________.解析：由已知得，双曲线的右焦点为(3,0)，左准线方程为x ＝－53，所以右焦点与左准线之间的距离是3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝143.答案：1436．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：不喜欢戏剧喜欢戏剧 男性青年观众 40 10 女性青年观众4060现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为________．解析：由题意，得840＝n 40＋10＋40＋60，所以n ＝30.答案：307．(2021·高邮中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0362 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0372 019＝________.解析：由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0362 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0372 019，则S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0372 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0362 019＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫32 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019，所以2S ＝4 037×(－4)＝－16 148，S ＝－8 074.答案：－8 0748．底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________． 解析：取点O 为底面ABCD 的中心，则SO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点E ，连结OE ，SE ，则OE ＝BE ＝1，在Rt △SBE 中，SE ＝SB 2－BE2＝2，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2＝1，从而该正四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ·SO ＝13×2×2×1＝43. 答案：439．若直线l 1：2x －y ＋4＝0，直线l 2：2x －y －6＝0都是⊙M ：(x －a )2＋(y －1)2＝r 2的切线，则⊙M 的标准方程为________________________．解析：根据题意，l 1∥l 2，且l 1，l 2都是⊙M ：(x －a )2＋(y －1)2＝r 2的切线，则直线l 1与直线l 2之间的距离就是⊙M 的直径，即d ＝2r ，而d ＝|4－－6|22＋12＝25，则r ＝5，且圆心(a,1)在直线2x －y ＋4＋－62＝0，即2x －y －1＝0上，则有2a －1－1＝0，解得a ＝1，即圆心的坐标为(1,1)，则⊙M 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝510．若a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________．解析：由已知等式得2a ＋2b ＋1＝2ab ＋2a ＋b 2＋b ，从而a ＝b －b 2＋12b，所以a ＋2b ＝b －b 2＋12b ＋2b ＝12＋32b ＋12b ≥12＋234＝23＋12，当且仅当b ＝33时等号成立，故a ＋2b 的最小值为23＋12.答案：23＋1211．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2θ－π4＝________.解析：由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2知θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4. 又cos θ＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝31010. 令θ＋π4＝α，则sin α＝31010，cos α＝1010，于是sin 2α＝2sin αcos α＝35，cos 2α＝2cos 2α－1＝－45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－3π4＝22(－sin 2α－cos 2α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210. 答案：21012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x >1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )<0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞) 13.(2021·如东模拟)如图，已知AC ＝2，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C )，且BM ⊥BN ，则AM ―→·CN ―→的最大值为________．解析：法一：由题设可知AB ＝BC ＝BN ＝1.因为点M 在以AB 为直径的半圆上，所以AM ⊥BM ，又BM ⊥BN ，所以AM ∥BN ，若设∠MAB ＝θ，则∠NBC ＝θ.如图，建立平面直角坐标系xBy ，则点A (－1,0)，M (－sin 2θ，sin θcosθ)，C (1,0)，N (cos θ，sin θ)，所以AM ―→＝(－sin 2 θ＋1，sin θcos θ)＝(cos 2θ，sin θcos θ)，CN ―→＝(cos θ－1，sin θ)．于是，AM ―→·CN ―→＝cos 2θ·(co s θ－1)＋sin 2θcos θ＝cos 3θ－cos 2θ＋(1－cos 2θ)cos θ＝－cos 2θ＋cos θ＝14－⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－122.又易知0<θ<π2，所以，当θ＝π3时，可得AM ―→·CN ―→的最大值为14.法二：如图，建立平面直角坐标系xBy ，设直线BN 的方程为y ＝kx (k >0)，则因为BM ⊥BN ，所以直线BM 的方程为y ＝－1kx .点N 是直线BN 与以AC 为直径的半圆的交点，所以将y＝kx 与x 2＋y 2＝1联立，可求得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫11＋k2，k 1＋k 2.点M 是直线BM 与以AB 为直径的半圆的交点，所以将y ＝－1k x 与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14联立，可求得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2k 2＋1，k k 2＋1.又点A (－1，0)，C (1,0)，所以向量AM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1，k k 2＋1，CN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2－1，k 1＋k 2，所以AM ―→·CN ―→＝1k 2＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2－1＋k k 2＋1·k 1＋k 2＝1k 2＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋11＋k 2－1＝11＋k 2－1k 2＋1＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2－122，故当11＋k 2＝12，即k ＝3时，可得AM ―→·CN ―→的最大值为14.法三：由题设可知AB ＝BC ＝BN ＝1，因为点M 在以AB 为直径的半圆上，所以AM ⊥BM ，又BM ⊥BN ，所以AM ∥BN ， 所以AM ―→·BN ―→＝|AM ―→|×1×cos 0°＝|AM ―→|.因为AM ⊥BM ，AB ＝1，所以|AM ―→|＝1×cos∠MAB ＝cos ∠MAB ，所以AM ―→·BC ―→＝AM ―→·AB ―→＝|AM ―→|×1×cos∠MAB ＝|AM ―→|2.于是，AM ―→·CN ―→＝AM ―→·(BN ―→－BC ―→)＝AM ―→·BN ―→－AM ―→·BC ―→ ＝|AM ―→|－|AM ―→|2＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AM ―→|－122.又0<|AM ―→|<1，所以，当|AM ―→|＝12时，可得AM ―→·CN ―→的最大值为14.法四：如图，分别延长AM ，CN ，设其交点为E ，并设ME 与大半圆的交点为D ，连接CD ，则易知AM ⊥MB ，AD ⊥DC ，所以BM ∥CD ，又B 为AC 的中点，所以M 为AD 的中点，所以AM ―→＝12AD ―→.又易知AE ―→∥BN ―→，且B 为AC 的中点，所以N为CE 的中点，所以CN ―→＝12CE ―→.于是，AM ―→·CN ―→＝14AD ―→·CE ―→＝14AD ―→·(CD ―→＋DE ―→)＝14AD ―→·CD ―→＋14AD ―→·DE ―→＝0＋14|AD ―→|·|DE ―→|cos 0°＝14|AD ―→|·|DE ―→|.因为BN 为△ACE的中位线，所以|AD ―→|＋|DE ―→|＝|AE ―→|＝2|BN ―→|＝2.从而，AM ―→·CN ―→＝14|AD ―→|·|DE ―→|≤14⎝⎛⎭⎪⎫|AD ―→|＋|DE ―→|22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14，当且仅当|AD ―→|＝|DE ―→|，即D 为AE 的中点时不等式取等号．故所求AM ―→·CN ―→的最大值为14.法五：如图，以BC 为直径画半圆，交BN 于点D ，连接CD ，则BD ⊥CD .又易知AM ∥BD ，且AM ＝BD ，所以AM ―→·CN ―→＝BD ―→·(CD ―→＋DN ―→)＝BD ―→·CD ―→＋BD ―→·DN ―→＝0＋|BD ―→|·|DN ―→|cos 0°＝|BD ―→|·|DN ―→|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|BD ―→|＋|DN ―→|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，当且仅当|BD ―→|＝|DN ―→|，即D 为BN 中点时不等式取等号．故所求AM ―→·CN ―→的最大值为14.答案：1414．(2021·靖江中学模拟)若关于x 的方程k |x ＋1|x －2＝x 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：法一：由题意知，当k ＝0时，原方程仅有一个解，不符合题意，∴k ≠0.k |x ＋1|x －2＝x 可化为k |x ＋1|＝x (x －2)(x ≠2)， 令y 1＝k |x ＋1|(x ≠2)，y 2＝x (x －2)(x ≠2)，分k >0，k <0两种情况，分别在平面直角坐标系内作出两个函数的大致图象，如图所示．①k >0时，易知当x ≥－1时，函数y 1＝k |x ＋1|的图象与y 2＝x (x －2)的图象有两个不同的交点．当x <－1时，设y 1＝－k (x ＋1)的图象与y 2＝x (x －2)的图象相切，令－k (x ＋1)＝x (x －2)，即x 2＋(k －2)x ＋k ＝0，由Δ＝(k －2)2－4k ＝0，得k ＝4±23(在图2中作出k ＝4＋23时，y 1＝k |x ＋1|的大致图象)，由图2可知，k ＝4＋23，且当k >4＋23时，在x ∈(－∞，－1)上，两个函数的图象又有两个不同的交点，故两个函数的图象共有四个不同的交点，与方程k |x ＋1|x －2＝x 有两个不相等的实数根矛盾，不符合题意，故仅当0<k <4＋23时符合题意．②当k <0时，设y 1＝k (x ＋1)(x ≥－1时)的图象与y 2＝x (x －2)的图象相切，令k (x ＋1)＝x (x －2)，即x 2－(k ＋2)x －k ＝0，由Δ＝(k ＋2)2＋4k ＝0，得k ＝－4±2 3. 由图2可知，k ＝－4＋23，且当－4＋23<k <0时，两个函数的图象有两个不同的交点，关于x 的方程k |x ＋1|x －2＝x 有两个不相等的实数根．综上所述，k 的取值范围是(－4＋23，0)∪(0,4＋23)．法二：∵关于x 的方程k |x ＋1|x －2＝x 有两个不相等的实数根，∴k ≠0， 又x ≠2，且易知x ＝－1不是原方程的根， ∴当x ≠－1且x ≠2时，k ＝x x －2|x ＋1|，则k ＝[x ＋1－1][x ＋1－3]|x ＋1|，令t ＝x＋1，则k ＝t －1t －3|t |(t ≠3，t ≠0)．令f (t )＝t －1t －3|t |＝t 2－4t ＋3|t |，t ≠3，且t ≠0，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋3t－4，t >0，t ≠3，－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋3t ＋4，t <0.作出函数f (t )的大致图象，如图所示，∵当t >0时，t ＋3t－4≥23－4，当且仅当t ＝3时等号成立，∴由图象可知，当23－4<k <0时，函数y ＝k 的图象与f (t )的图象有两个不同的交点，故当23－4<k <0时符合题意．当t <0时，－t －3t＋4≥23＋4.当且仅当t ＝－3时等号成立，∴由图象可知，当0<k <23＋4时符合题意．综上，k 的取值范围是(－4＋23，0)∪(0,4＋23)．答案：(－4＋23，0)∪(0,4＋23)。

江苏省南京市、盐城市 2021届高三年级第二次模拟考试数学试题2021．3一、填空题〔本大题共 14小题，每题5分，合计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的地点上．〕．．．．．．．．．1．会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，那么AIB＝．答案：{1，3}考点：会合交集运算分析：∵会合A＝xx2k1，k Z，B＝xx(x5)0，∴A I B＝{1，3}．2．复数z＝1＋2i，此中i为虚数单位，那么z2的模为．答案：5考点：复数分析：z214i4i234i，∴z25．3．如图是一个算法流程图，假定输出的实数y的值为﹣1，那么输入的实数x的值为．答案：1 4考点：算法与流程图分析：当x0时，log2(2x1)1，解得x 1切合题意，4当x0时，2x1，该等式无解．故x1．44．某校初三年级共有500名女生，为了认识初三女生1分钟“仰卧起坐〞工程训练状况，统计了全部女生1分钟“仰卧起坐〞测试数据(单位：个)，并绘制了以下频次散布直方图，那么1分钟起码能做到30个仰卧起坐的初三女生个．1答案：325 考点：频次散布直方图0.01)分析：x2，∴＋＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ．答案：12考点：随机事件的概率 分析：先后取两次共有16种取法，此中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81 ．162a6．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x(0，1]时，f(x)x ，3那么f(a)的值为 ．答案：0考点：函数的奇偶性与周期性分析：当x(0，1]时，f(x)xa，∴f(1)1 a ，33a ，∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(1)f(1)13∵函数f(x)周期为 2，∴f( 1) f(1)，解得a ＝﹣3，∴f( 1)f(1) 0，∴f(a)f(3)f( 3 2)f(1)0．7．假定将函数f(x)sin(2x)的图象沿 x 轴向右平移 ( ＞0)个单位后所得的图象与3f(x)的图象对于x 轴对称，那么的最小值为 ．答案：2考点：三角函数的图像与性质2T分析：由题意知．228．在△ABC中，AB＝25，AC＝5，∠BAC＝90°，那么△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为．答案：65考点：圆锥的侧面积分析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为25，5的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝2(255)65．9．数列a n为等差数列，数列b n为等比数列，知足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝{a，b，﹣2}，此中a＞0，b＞0，那么a＋b的值为．答案：5考点：等差、等比中项分析：不如令a＞b，那么ab4，2ba2，那么b＝1，a＝4，∴a＋b＝5．10．点P是抛物线x24y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为(0，﹣1)，那么PFPA 的最小值为．答案：22考点：抛物线的性质分析：令直线l为：y＝﹣1，作PG⊥l于点G，那么PFPG cosAPGcos PAF，PA PA当直线AP且抛物线与点P时，∠PAF最大，此时cos∠PAF最小，即PF最小，PA 令直线AP：y＝kx﹣1，与抛物线联立：x24y，x24kx40，y kx1当(4k)2440，解得k＝±1，进而有∠PAF＝45°，即cos PAF＝2．2 11．x，y为正实数，且xy＋2x＋4y＝41，那么x＋y的最小值为．答案：8考点：根本不等式分析：∵xy＋2x＋4y＝41，∴(x4)(y2)49，∴(x4)(y2)2(x4)(y2)14，当且仅当x＝3，y＝5取“＝〞，∴x＋y≥8，即x＋y的最小值为8．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x m)2y2r2(m＞0)．过原点O且互相垂3直的两条直线 l 1和l 2，此中l 1 与圆C 订交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．假定AB ＝OD ，那么直线 l 1的斜率为 ．25答案：5考点：直线与圆综合分析：作CE ⊥AB 于点E ，那么CE 2BC 2BE 2 BC 21AB 2 BC 2 1OD 24 4r 21(m 2 r 2)5r 2 m 2 ，44由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴5r 2m 2 m 2 r 2，化简得r5 ，4m3即cos ∠OCD ＝CD ＝r 5，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝25，OCm 352 5．∴直线l 1的斜率为5．在△ 中， 为定长， uuuruuur uuurABC BC AB 2AC ＝3BC ．假定△ABC 的面积的最大值为2，那么13边BC 的长为．答案：2考点：平面向量与解三角形分析：方法一：依据题意作图以下，且令在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，uuur uuuruuur此中C 是AD 中点，E 是BD 中点，那么AB 2AC2AE ，uuuruuur uuuruuur 3uuur3∴AB2AC ＝3BC 可转变为AEBCa ，22 依据三角形中线公式得，AE1 2(AD 2AB 2)BD 2，BC1 2(AB2 BD 2) AD 2，22即3a1 2(4b2 c 2) BD 2 ，a 1 2(c 2 BD 2)4b 2，消BD 2得，2 2211a 2 6b 2 3c 2，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，那么BF ＝ax ，AF ＝h ，411a 2 6b 2 3c 2 可转变为11a 2 6(x 2 h 2)3[h 22]，ax化简得h 29x 26ax8a 2 a 22a ，，当x3 时，h 取最大值a，即h 的最大值为9∴S max1 aa 2，解得a ＝2，即BC 的长为2． 2方法二：14．函数f(x)e x x b (e 为自然对数的底数，b R)，假定函数g(x)f(f(x)1 )恰有24个零点，那么实数b 的取值范围为．答案：(1，1ln2)2考点：函数与方程分析：∵f(x)e x x b ，∴f(x)e x1，当x ＜0，f (x)＜0，那么f(x)在(，0)上单一递减，当x ＞0，f(x)＞0，那么f(x)在(0，)上单一递加，∴f(x)的最小值为f(0) 1b ，简单知道当1b 0，函数g(x)f(f(x)1)没有零点；2当1b0 ，函数g(x)f(f(x)1)有且仅有两个零点；2要使函数g(x)f(f(x)1)恰有4个零点，一定1b0，即b ＞12此时f(x)恰有2个零点，令这两个零点为t 1，t 2，规定t 1＜0＜t 2，那么f(x)1 ＝t 或t 2，f(x)＝1 t 或 1 t，易知f(x)＝1 t 有两个不相等的2 12 1 2 22 2实根，那么f(x)＝1t 1一定知足有且仅有两个不相等的实根，故1 t 11 b ，即t 112 12b ，由于函数 f(x)在( b ，t 1)上单一递减， 2 2∴f(11 b 11b)f(t 1)0，即e2 ( b)b0，解得bln2， 22251综上所述，1 bln2．2二、解答题〔本大题共 6小题，合计 90分．请在答题纸指定地区 内作答，解允许写出文字．．．．．．．说明，证明过程或演算步骤． 〕 15．〔本题总分值 14分〕如图，三棱锥P —ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ． 〔1〕求证：AC ∥平面PDE ；〔3〕假定PD ＝AC ＝2，PE ＝ 3，求证：平面 PBC ⊥平面ABC ．（ 解：〔1〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点，（ DE ∥AC ， （ AC平面PDE ，DE 平面PDE ，∴AC ∥平面PDE（ 2〕∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE1AC12在△PDE 中，DE 2PE 2 PD 24，PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE 平面PDE PE ⊥平面ABC PE 平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16．〔本题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且a ＝bcosC ＋csinB ．〔1〕求B 的值；〔2〕设∠BAC 的均分线AD 与边BC 交于点D ，AD ＝17，cosA ＝7 ，求b7 25的值．解：〔1〕由正弦定理得sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB6Sin[﹣π(B ＋C)]＝sinBcosC ＋sinCsinB sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋sinCsinB sinBcosC ＋sinCcosB ＝sinBcosC ＋sinCsinB sinCcosB ＝sinCsinB∵B 、C (0，)，sinB ＞0，sinC ＞0，cosB ＝sinB ，tanB ＝1，由B(0，)， 得B ＝ ．4 2〕记A ＝2 AD 是∠BAC 的角均分线∴∠BAD ＝∠CAD ＝∵cosA ＝7 ，A(0，)，2524∴sinA ＝1 cos2 A ＝25sinC ＝sin(A ＋B)＝17 250∵cosA ＝2cos 2112sin 2 ，A(0，)，22∴sin ＝4，cos＝355∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋)＝7210在△ADC 中，由正弦定理得：b AD ， AD sinADC sinCADC=5∴bsinsinC17．〔本题总分值14分〕如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛参观，从点A 向小岛建三段栈道 AB ，BD ，BE ．湖面上的点B 在线段AC上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，此中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆 C 的优弧〔圆C 上实线局部〕上再修筑栈道?DE ．记∠CBD 为．（ 1〕用表示栈道的总长度f()，并确立sin 的取值范围；（ 2〕求当为什么值时，栈道总长度最短．7解：〔1〕连结CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1 ，BD ＝ 1，sin tan?( 2)12DEf() 312 2tansin11，1)，当B 与A 重合时，sin，∴sin[33〔2〕∵sin[1，1)，∴cos(0，22 ]，33求得f()cos (2cos1)sin2∴时，即cos1，f()minf() 35323318．〔本题总分值16分〕如图，在平面直角坐标系x 2 y 2 1(a ＞b ＞0)的离心率为1xOy 中，椭圆C ：b 2，且过a 2 2点(0，3)．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①假定点B 为椭圆C 的上极点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长；②假定原点 O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．8解：〔1〕由题意得c1 ，b 3，b 2a 2 c 2，解得a ＝2，b 23a 2 椭圆方程为：x 2 y 2143〔2〕①B(0， 3)，O 是△ABC 的垂心，设M(x 0，y 0)(y 0＜0)，那么N(x 0，﹣y 0)知足x2y 0 2 1，OM ⊥BN ，那么有y 0y 03 1，43x 0 x 0解得x 0 2 33，y 04 3377那么MN ＝433，7设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，B(x 0，y 0)，O 是△ABC 的重心，那么x 1x 2x 0，y 1y 2 y 0，那么有(x 1x 2)2(y 1 y 2)212431，那么2x 1x 2 3y 1y 210，I 假定MN 斜率不存在，那么M(﹣1，3 3)，N(﹣1， )，d ＝1，22II 假定MN 斜率存在，那么y kx m ，联立得(4k 23)x 28mkx 4m 2 120，3x 2 4y 21248(4k220，那么x 1 x 28km，x 1x 24m 22 m3) 4k 234k2，3整理得4k 23 4m 2，那么点O 到MN 的距离dm11，当k ＝0时，取d3k 22，14k 429综上，当k ＝0时，d min3 ．219．〔本题总分值16分〕函数f(x)x 3x 2 (a16)x ，g(x)alnx ，aR ．函数h(x)f(x) g(x)x的导函数h(x)在[5，4]上存在零点．2〔1〕务实数 a 的取值范围；〔2〕假定存在实数a ，当x[0，b]时，函数f(x)在x ＝0 时获得最大值，求正实数b 的最大值；〔3〕假定直线l 与曲线y f(x)和yg(x)都相切，且l 在y 轴上的截距为﹣12，务实数a 的值．解：〔1〕由题意，h(x)x 2 x (a16) alnx ，h(x)2x 1a在[5，4]上存在零点，5，4]上有解，ax2即2x 2x a0 在[2x 2x ，2x 2 x [10，28]，因此a 的取值范围是[10，28]． 2〔2〕f(x)3x 2 2x(a 16)，f (0) 0 a 16令f(x)＝0，x 113a4713a 473，x 23，当0＜b ≤x 2时，明显f(x)在x ＝0时取最大值当bx 2时，f(x)在[0，x 2]上单一递减，在 [x 2，b]上单一递加，因此只要f(b) f(0)0，即b 3b 2 (a16)bb 2 b a16，∵a max28，∴b 的最大值为 4，〔3〕设f(x)上切点为(x 1，f(x 1))，f(x)3x 2 2x(a 16) ，可得切线方程为y x 13 x 12 (a 16)x 1[3x 122x 1 (a 16)](x x 1)，点(0，﹣12)在其上，可得(x 12)(2x 123x 1 6) 0，因此x 12设g(x)上切点为(x 2，g(x 2))，g(x)a ，x10可得切线方程为y alnx 2a(xx 2)，点(0，﹣12)在其上，x 2可得12alnx 2 a ，由于公切线，因此 3x 122x 1(a 16)a，将x 12代入，可得24aax 2x 212 alnx 2ax 2 1由 a，因此a 的值为12．a，可得1224 x 2a20．〔本题总分值16分〕无量数列a n 的各项均为正整数，其前 n 项和为S n ，记T n 为数列a n 的前a n 项和，即T n a 1 a 2 Laa n．〔1〕假定数列 a n 为等比数列，且 a 1 1，S 45S 2，求T 3的值；〔2〕假定数列a nT n 2 ，求数列a n为等差数列，且存在独一的正整数n(n ≥2)，使得a n的通项公式；〔3〕假定数列T n 的通项为T nn(n 1)a n 为等差数列．2，求证：数列a 11q2 TS 15；解：〔1〕S 4 5S 234〔2〕由于无量等差数列，因此d ≥0，且a 1 N ，d N ，当d ＝0时，a n 和T n 均为常数，故不存在独一的整数知足条件，舍去；2n1T ni1a iII 当d ≥2时，a n1 2(n1)2n12n 13，舍去a na na 1 n1故d ＝1，T ni1a in(n 1)n(n 1)a 11) 2 2 a 1 a n a 1n 12(a 1 n2(a 1 n 1) 假定a 12，那么没有知足条件的n ，因此a 12，此时 T n n(n 1)n2， n2 211故a n n〔3〕T11，T23，T36a11，a22，a33，又T n T n1a n a n1因此a n n；假定a n n，T n a1a2L a a n a1a2L a n12Ln(n1)n与原命题2矛盾，∴a n n，a n a n11为常数，因此数列a n为等差数列．12。

综合仿真练(九)1．设全集U ＝{x |x ≥3，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥10，x ∈N }，则∁U A ＝________. 解析：∵全集U ＝{x |x ≥3，x ∈N }，A ＝{x |x 2≥10，x ∈N }＝{x |x ≥10，x ∈N }，∴∁U A ＝{x |3≤x ≤10，x ∈N }＝{3}．答案：{3}2．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值为________．解析：由图可知，在[50,75)上的频率为0.1，所以n ＝1000.1＝1 000. 答案：1 0003．若复数z 满足z ＋i ＝2＋ii，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.解析：由z ＋i ＝2＋i i ，得z ＝2＋i i －i ＝－2i ＋1－i ＝1－3i ，则|z |＝12＋－32＝10.答案：104．在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为________．解析：由图可知x 2－2x ＋2＝26，解得x ＝－4或x ＝6，又x <4，所以x ＝－4. 答案：－45．从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________．解析：从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，基本事件总数n ＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有：(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共有5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P ＝515＝13.答案：136．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝________. 解析：设S n ＝An 2＋Bn ，由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9，S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，∴S 7＝49. 答案：497.如图，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A ­A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A ­A 1EF 的体积VA ­A 1EF ＝VE ­A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 38．(2021·兴化中学模拟)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于________．解析：如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：PF 1＋PF 2＝2a 1，PF 1－PF 2＝2a 2，∴PF 1＝a 1＋a 2，PF 2＝a 1－a 2，设F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，该式可变成3e 21＋1e 22＝4.答案：49．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0中心对称，则|φ|的最小值为________．解析：由题意可知当x ＝5π6时，y ＝0，即有sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＋φ＝0，解得φ＝k π－5π3，k ∈Z ，化简得φ＝(k －2)π＋π3，k ∈Z ，所以|φ|的最小值为π3.答案：π310．(2021·江苏模拟)在直角三角形ABC 中，tan A ＝2，D 为斜边AB 延长线上靠近B 的一点，若△CBD 的面积为1，则CA ―→·CD ―→＝________.解析：如图，过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴S △CBD ＝12CE ·BD ＝1，∴CE ·BD ＝2.∵CA ⊥CB ，∴CA ―→·CB ―→＝0，∴CA ―→·CD ―→＝CA ―→·(CB ―→＋BD ―→)＝CA ―→·CB ―→＋CA ―→·BD ―→＝CA ―→·BD ―→＝|CA ―→|·|BD ―→|cos(π－A )＝－|CA ―→|·|BD ―→|cos A ＝－CA ·BD ·AE CA＝－BD ·AE ＝－BD ·CEtan A ＝－12BD ·CE ＝－12×2＝－1.答案：－111．已知正实数a ，b 满足9a 2＋b 2＝1，则ab3a ＋b的最大值为________．解析：法一： ab 3a ＋b ≤ab 23ab ＝2·3ab 62≤9a 2＋b 262＝212，当且仅当3a ＝b 时等号成立，又因为9a 2＋b 2＝1，a >0，b >0，所以当a ＝26，b ＝22时，ab 3a ＋b 取得最大值为212. 法二：令⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝cos θ，b ＝sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则ab 3a ＋b ＝13·sin θcos θcos θ＋sin θ.令t ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，所以t ∈(1，2]．所以ab 3a ＋b ＝13·cos θ＋sin θ2－12cos θ＋sin θ＝16·t 2－1t ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t .因为y ＝t －1t 在t ∈(1， 2 ]上单调递增，所以当t ＝2时，ab 3a ＋b 取得最大值为212.答案：21212．已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足1 0011 000<S 2n S n <1110的n 的最大值为________． 解析：由2a n ＋1＋S n ＝2，① 可得当n ≥2时，2a n ＋S n －1＝2.②①－②得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以2a n ＋1＝a n . 因为a 2＝12，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2)．又因为a 2a 1＝12，所以a n ＋1a n ＝12，所以数列{a n }是以1为首项，12为公比等比数列，所以S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以S 2n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ，从而S 2n S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.由不等式1 0011 000<S 2n S n <1110，得1 0011 000<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <1110，所以11 000<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110， 解得4≤n ≤9，所以满足条件的n 的最大值为9. 答案：913．(2021·海安中学模拟)已知a >0，b >0，且2a ＋3b＝1，则P ＝a ＋b ＋a 2＋b 2的最小值为________．解析：如图，考虑直线l ：x a ＋y b＝1，因为2a ＋3b＝1，不难发现，直线l 过点P (2,3)，构造圆C ：(x －r )2＋(y －r )2＝r 2，与直线l 切于点T ，显然圆C 与x 轴、y 轴分别切于点M (r,0)，N (0，r )．易得A (a,0)，B (0，b )，|AB |＝a 2＋b 2，所以P ＝a ＋b ＋a 2＋b 2＝|OA |＋|OB |＋|AB |＝|OA |＋|OB |＋|TA |＋|TB |＝|OA |＋|OB |＋|AM |＋|BN |＝|OM |＋|ON |＝2r .由于点P (2,3)在圆外，故有(2－r )2＋(3－r )2≥r 2，整理得r 2－10r ＋13≥0，解得r ≥5＋23(r ≤5－23舍去)． 故P ＝a ＋b ＋a 2＋b 2的最小值为10＋4 3. 答案：10＋4 314．已知函数f (x )＝e x－ax －1，g (x )＝ln x －ax ＋a ，若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0， 即[e x 0－(ax 0＋1)][ln x 0－a (x 0－1)]<0.在同一直角坐标系下作出函数y ＝e x，y ＝ax ＋1，y ＝ln x ，y ＝a (x －1)的图象(图略)． 当a <0时，f (x 0)>0，g (x 0)>0恒成立，不满足题意； 当a ＝1，x >1时，e x>x ＋1，ln x <x －1恒成立，满足题意；当a >1，x >1时，ln x －a (x －1)<x －1－a (x －1)＝(1－a )(x －1)<0，此时只需存在x 1∈(1,2)，使得e x 1>ax 1＋1，则e 2>2a ＋1，解得a <e 2－12，所以1<a <e 2－12；当0<a <1，x >1时，e x－(ax ＋1)>x ＋1－(ax ＋1)＝(1－a )x >0，此时只需存在x 2∈(1,2)，使得ln x 2<a (x 2－1)，则ln 2<a (2－1)，解得a >ln 2，所以ln 2<a <1.综上所述，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2，e 2－12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2，e 2－12。

模拟试卷(二)(时间：150分钟 总分值：200分)数学Ⅰ试题一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分)A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|kx －y －2≤0}，其中x ，y ∈R .假设A ⊆B ，那么实数k的取值范围是________. 答案 [－3， 3 ]解析 要使A ⊆B ，只需直线kx －y －2＝0与圆相切或相离，所以圆心到直线的距离d ＝21＋k2≥1，解得－3≤k ≤ 3.y ＝lg(3x ＋1)＋12－x的定义域是________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－13且x ≠2解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，2－x ≠0，解得x >－13且x ≠2，故函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－13且x ≠2. 3.如下图的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的数学考试成绩，(图二)的流程图中输入的a i 为茎叶图中的学生成绩，那么输出m ，n 的值分别是________.(图一)(图二)答案 26,12解析 分析流程图可知，n 为50名学生中成绩在[80，100)的人数，m 为50名学生中成绩在[60,80)的人数，分析茎叶图即可知n ＝12，m ＝26.4.某企业3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量比为1∶2∶1，用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h ，1 020 h ，1 032 h ，那么抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h. 答案 1 013解析 由于三个分厂的产量比为1∶2∶1，所以从三个分厂抽出产品数量的比例也应为1∶2∶1， 所以100件产品的使用寿命的平均值为 980×1＋1 020×2＋1 032×14＝1 013(h).5.现有红桃1,2,3和黑桃4,5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，那么所取2张牌均为红桃的概率为________. 答案310解析 从5张中取2张共有根本领件10个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5).其中2张均为红桃的有3个：(1,2)，(1,3)，(2,3)，那么所求概率为310.f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，那么f (x )的最大值为__________.答案 2解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6＜2π3，∴f (x )max ＝2.7.在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，那么使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为________. 答案 34解析 根据函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点， 得4a 2－4(π－b 2)≥0，即a 2＋b 2≥π.建立如下图的平面直角坐标系，那么试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部，使函数f (x )有零点的区域为图中阴影局部，且S 阴影＝4π2－π2＝3π2.故所求概率为P ＝S 阴影S 矩形＝3π24π2＝34.x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点A (a,0)，B (0，b )，原点到直线l 的距离为34c ，那么双曲线的离心率为________. 答案 2解析 如下图，在△OAB 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OE ＝34c ， AB ＝a 2＋b 2＝c .因为AB ·OE ＝OA ·OB ， 所以c ·34c ＝ab ， 即34(a 2＋b 2)＝ab ，两边同除以a 2，得34⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－b a ＋34＝0， 解得ba ＝3或b a ＝33(舍去). 所以e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2.9.(2021·绍兴模拟)假设实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，那么实数z 的最小值是________. 答案 －19解析 x ＋2y ＋3z ＝1，那么x ＝1－2y －3z ，据此可得 (1－2y －3z )2＋4y 2＋9z 2＝1，整理得4y 2＋(6z －2)y ＋(9z 2－3z )＝0，满足题意时上述关于y 的一元二次方程有实数根， 那么Δ＝(6z －2)2－16(9z 2－3z )≥0， 整理可得(3z －1)(9z ＋1)≤0，那么－19≤z ≤13.那么实数z 的最小值是－19.10.在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设a 2＋b 2＋2c 2＝8，那么△ABC 面积的最大值为________. 答案255解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab 1－cos 2C＝12(ab )2－(a 2＋b 2－c 2)24＝12(ab )2－(8－3c 2)24，而2ab ≤a 2＋b 2＝8－2c 2，即ab ≤4－c 2， 所以S △ABC ≤12(4－c 2)2－(8－3c 2)24＝14c 2(16－5c 2) ≤14×5c 2＋(16－5c 2)25＝255，当且仅当a ＝b ，c 2＝85时取等号.S n 为数列{a n }的前n 项和，假设不等式n 2a 2n ＋4S 2n ≥λn 2a 21对任何等差数列{a n }及任何正整数n恒成立，那么λ的最大值为________. 答案 12解析 当a 1＝0时，λ∈R ； 当a 1≠0时，n 2a 2n ＋4S 2n ≥λn 2a 21，即n 2a 2n ＋4S 2n n 2a 21≥λ，所以a 2na 21＋()a 1＋a n 2a 21≥λ，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a1＋1≥λ. 即2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n a 1＋122＋12≥λ，所以λ≤12，即λmax ＝12.12.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝DC ＝2，假设E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，那么AC →·EF →的取值范围是________.答案 [－4,6]解析 方法一 因为AC →＝AB →＋BC →，EF →＝EC →＋CF →，所以AC →·EF →＝(AB →＋BC →)·(EC →＋CF →)＝AB →·EC →＋BC →·CF →＝3|EC →|－2|CF →|. 因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2， 所以|EC →|∈[0,2]，|CF →|∈[0,2]，所以由不等式的性质知，AC →·EF →的取值范围是[－4,6].方法二 以A 为坐标原点，建立如下图的平面直角坐标系，那么C (3,2)，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2， 所以可设E (x,2)，F (3，y )，且x ∈[1,3]，y ∈[0,2]， 所以AC →＝(3,2)，EF →＝(3－x ，y －2)，所以AC →·EF →＝3(3－x )＋2(y －2)＝5－3x ＋2y ∈[－4,6]， 即AC →·EF →的取值范围是[－4,6].P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，BC ∥AD ，Q 是四边形ABCD内部一点，且二面角Q －PD －A 的平面角大小为π4，假设动点Q 的轨迹将ABCD 分成面积为S 1，S 2(S 1<S 2)的两局部，那么S 1∶S 2＝________.答案 35－4∶4解析 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q 的轨迹与y 轴的交点坐标为Q (0，b,0)(b >0). 由题意可知A (0,0,0)，D (2,0,0)，P (0,0,1)， ∴DP →＝(－2,0,1)，DQ →＝(－2，b,0)，AD →＝(2,0,0).设平面APD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PDQ 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DP →＝0，n 1·AD →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DP →＝0，n 2·DQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋z 1＝0，2x 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋z 2＝0，－2x 2＋by 2＝0，令y 1＝1，得n 1＝(0,1,0)，令z 2＝2，得n 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1，2b，2，∴n 1·n 2＝2b，|n 1|＝1，|n 2|＝5＋4b2，∵二面角Q －PD －A 的平面角大小为π4，∴cos〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝22，即2b5＋4b 2＝22， 解得b ＝255.∴S △ADQ ＝12AD ·AQ ＝12×2×255＝255.S 四边形BCDQ ＝S 梯形ABCD －S △ADQ ＝12×(1＋2)×1－255＝32－255. ∵S 1<S 2，∴S 1＝32－255，S 2＝255.∴S 1∶S 2＝35－4∶4.14.(2021·如皋调研)函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋mx ＋12(x ∈R )，且y ＝f (x )在x ∈[0,2]上的最大值为12，假设函数g (x )＝f (x )－ax 2有四个不同的零点，那么实数a 的取值范围为________. 答案 (0,1)解析 假设m ≥0，那么f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋mx ＋12在[0,2]上单调递增，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋mx ＋12有最小值12，不合题意，∴要使f (x )在[0,2]上的最大值为12，m 必然小于0，如果－m 2≥2，即m ≤－4，那么f (2)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m ＋92≤12， 得－52≤m ≤－2，不合题意；如果－m2<2，那么⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m ＋92≤12，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－m 24≤12，即⎩⎪⎨⎪⎧－52≤m ≤－2，－2≤m <0，解得m ＝－2，∴m ＝－2，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，假设g (x )＝f (x )－ax 2有四个零点，那么y ＝f (x )的图象与y ＝ax 2的图象有四个交点， 只有y ＝ax 2开口向上，即a >0，当y ＝ax 2与y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋12有一个交点时，方程ax 2＋x 2－2x ＋12＝0有一个根，由Δ＝0，得a ＝1，此时函数g (x )＝f (x )－ax 2有三个不同的零点，不合题意， 要使函数g (x )＝f (x )－ax 2有四个不同的零点，y ＝ax 2与y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋12有两个交点，那么抛物线y ＝ax 2的开口要比y ＝x 2的开口大， 可得a <1，∴0<a <1，即实数a 的取值范围为(0,1). 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，PA ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点.(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)假设PC ⊥平面BGD ，求PG GC的值.(1)证明 由得△ABC 是等腰三角形，且底角等于30°. 由AB ＝BC ，AD ＝CD ，BD ＝BD ， 得△ABD ≌△CBD ，所以∠ABD ＝∠CBD ＝60°，且∠BAC ＝30°， 所以BD ⊥AC .又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥PA .又PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .(2)解 在△ABC 中，由余弦定理得AC ＝23，那么PC ＝PA 2＋AC 2＝3＋12＝15， 因为PC ⊥平面BGD ，GD ⊂平面BGD ， 所以PC ⊥GD .在△PDC 中，PD ＝3＋7＝10，CD ＝7，PC ＝15， 设PG ＝x ，那么GC ＝15－x ， 所以PD 2－PG 2＝CD 2－GC 2， 即10－x 2＝7－(15－x )2，所以PG ＝x ＝3155，GC ＝2155，所以PG GC ＝32.16.(14分)在平行四边形OABC 中，过点C 的直线与线段OA ，OB 分别相交于点M ，N ，假设OM →＝sin θ·OA →，ON →＝cos θ·OB →，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin 2θ的值；(2)记△OMN 的面积为S 1，平行四边形OABC 的面积为S ，试求S 1S的值. 解 (1)由题意得OC →＝AB →＝OB →－OA →， 所以MC →＝OC →－OM →＝OB →－OA →－sin θ·OA → ＝OB →－(1＋sin θ)·OA →.又MN →＝ON →－OM →＝cos θ·OB →－sin θ·OA →， 由M ，N ，C 三点共线，得cos θ1＝sin θ1＋sin θ，那么sin θ－cos θ＝sin θ·cos θ，两边平方，得1－2sin θ·cos θ＝sin 2θ·cos 2θ， 即sin 22θ＋4sin 2θ－4＝0，解得sin 2θ＝22－2或－22－2(舍去). 所以sin 2θ＝22－2.(2)由题意得S 1＝12|OM →|·|ON →|sin∠AOB＝12sin 2θ·S △AOB ＝2－12S ，即S 1S ＝2－12. 17.(14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝ 1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线PA 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线PA 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程；②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值.解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＋a 2c ＝62，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝22，那么b ＝22，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由题可设直线PA 的方程为y ＝k (x ＋4)，k ＞0， 那么M (0,4k )，所以直线FN 的方程为y ＝224k (x －22)，那么N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2k . ①当直线PA 的斜率为12，即k ＝12时，M (0,2)，N (0，－4)，F (22，0)，因为MF ⊥FN ，所以圆心为(0，－1)，半径为3， 所以△FMN 的外接圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝9.②联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋4)，x 216＋y28＝1，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋16k 2x ＋32k 2－16＝0，解得x 1＝－4或x 2＝4－8k 21＋2k 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－8k 21＋2k 2，8k 1＋2k 2，直线AN 的方程为y ＝－12k (x ＋4)，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－41＋2k 2，－8k 1＋2k 2，所以P ，Q 关于原点对称，即PQ 过原点. 所以△APQ 的面积S ＝12OA ·(y P －y Q )＝2×16k 1＋2k 2＝322k ＋1k≤82， 当且仅当2k ＝1k ，即k ＝22时，等号成立.所以△APQ 的面积的最大值为8 2.18.(16分)如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山(P 为圆弧TSBC 及CD 上的长方形停车场PQCR .(1)设∠PAB ＝θ，试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； (2)求停车场PQCR 面积的最大值及最小值.解 (1)S 矩形PQCR ＝f (θ)＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝8 100sin θcos θ－9 000(sin θ＋cos θ)＋10 000 , θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)由(1)知S矩形PQCR＝f (θ)＝8 100sin θcos θ－9 000·(sin θ＋cos θ)＋10 000 ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.令sin θ＋cos θ＝t ，那么t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[1，2]. ∴S 矩形PQCR ＝8 1002t 2－9 000t ＋10 000－8 1002，当t ＝109时，S 矩形PQCR 取得最小值950(m 2)，当t ＝2时，S 矩形PQCR 取得最大值14 050－9 0002(m 2).答 停车场面积的最大值和最小值分别为14 050－9 0002(m 2)和950(m 2). 19.(16分)对于数列{a n }，记Δa n ＝a n ＋1－a n ，Δk ＋1a n ＝Δk a n ＋1－Δk a n ，k ，n ∈N *，那么称数列{Δka n }为数列{a n }的“k 阶差数列〞.(1)Δa n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.①假设{a n }为等比数列，求a 1的值；②设t 为任意正数，证明：存在k ∈N *，当n >m ≥k ，n ∈N *，m ∈N *时总有|a n －a m |≤t ；(2)Δ2a n ＝3n －2，假设a 1＝1，且a n ≥a 3对n ∈N *恒成立，求a 2的取值范围. (1)①解 因为a 2＝a 1＋Δa 1＝a 1－12，a 3＝a 2＋Δa 2＝a 1－14，且{a n }为等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－122＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14，解得a 1＝13，当a 1＝13时，当n ≥2时，a n ＝Δa n －1＋…＋Δa 1＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋13＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 当n ＝1时，符合上式， 所以{a n }为等比数列，即a 1＝13.②证明 因为a n －a m ＝Δa n －1＋…＋Δa m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －m 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， 所以|a n －a m |＝23·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m≤23·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ≤43·⎝ ⎛⎭⎪⎫12m， 令43·⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ≤t ，那么m ≥log 243t， 故k 可取不小于log 243t 的正整数，那么对任意n >m ≥k ，n ∈N *，m ∈N *，|a n －a m |≤43·⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ≤t .(2)解 因为Δa n ＝Δ2a n －1＋…＋Δ2a 1＋Δa 1 ＝3(1－3n －1)1－3－2(n －1)＋Δa 1＝3n2－2n ＋12＋Δa 1 ＝3n 2－2n ＋a 2－12.由Δ2a n ＝3n－2>0知，{Δa n }是递增的. 所以a n ≥a 3对n ∈N *恒成立，当且仅当满足⎩⎪⎨⎪⎧Δa 2＝a 3－a 2≤0，Δa 3＝a 4－a 3≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤0，a 2＋7≥0，解得－7≤a 2≤0.所以a 2的取值范围是[－7,0].20.(16分)函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数.解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 那么f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线.(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0， 从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， 故h (x )在(1，＋∞)上无零点. 当x ＝1时，假设a ≥－54，那么f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x ＝1是h (x )的零点；假设a <－54，那么f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0. 所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数.①假设a ≤－3或a ≥0，那么f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (xf (0)＝14，f (1)＝a＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)内有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点.②假设－3<a <0，那么f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a3，1上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a3－a 3＋14. (ⅰ)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)上无零点；(ⅱ)假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，那么f (x )在(0,1)上有唯一零点；(ⅲ)假设f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点.综上所述，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点.数学Ⅱ(附加题)21.[选做题](此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．假设多做，那么按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) A.(10分)[选修4－1：几何证明选讲]如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点B ，C ，AQ ⊥OP ，垂足为Q .假设PA ＝4，PC ＝2，求AQ 的长.解 如图，连结AO .设圆O 的半径为r .因为PA 是圆O 的切线，PB 是圆O 的割线， 所以PA 2＝PC ·PB .因为PA ＝4，PC ＝2，所以42＝2×(2＋2r )，解得r ＝3. 所以PO ＝PC ＋CO ＝2＋3＝5，AO ＝r ＝3.由PA 是圆O 的切线得PA ⊥AO ，所以△APO 是直角三角形. 因为AQ ⊥PO ，由面积法可得12AQ ·PO ＝12AP ·AO ，所以AQ ＝AP ·AO PO ＝4×35＝125. B.(10分)[选修4－2：矩阵与变换]曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求M 的逆矩阵M －1.解 (1)设P (x ，y )为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上与P 对应的点，那么⎣⎡⎦⎤1 a b 1 ⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋ay ′，y ＝bx ′＋y ′，代入x 2－2y 2＝1得(x ′＋ay ′)2－2(bx ′＋y ′)2＝1得(1－2b 2)x ′2＋(2a －4b )x ′y ′＋(a 2－2)y ′2＝1，及方程x 2＋4xy ＋2y 2＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得a ＝2，b ＝0. (2)因为M ＝⎪⎪⎪⎪1 20 1＝1≠0，故M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11 －210111＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1. C.(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长. 解 方法一 在ρ＝4sin θ中，令θ＝π4，得ρ＝4sin π4＝22，即弦长为2 2.方法二 以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. 直线θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，① 曲线ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长为(2－0)2＋(2－0)2＝2 2.D.(10分)[选修4－5：不等式选讲]函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]. (1)求m 的值；(2)假设a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.(1)解 因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }. 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立. 所以a ＋2b ＋3c ≥9.[必做题](第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22.(10分)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率. 解 (1)由条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0). ∵点P (1,2)在抛物线上， ∴22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 那么k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1). ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA ＝－k PB ，由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线上，得y 21＝4x 1， ① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， ∴y 1＋2＝－(y 2＋2)， ∴y 1＋y 2＝－4， 直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2).23.(10分)函数f 0(x )＝x (sin x ＋cos x )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明. 解 (1)因为f n (x )为f n －1(x )的导数，所以f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x ＋cos x )＋x (cos x －sin x ) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x )，同理，f 2(x )＝－(x ＋2)sin x －(x －2)·cos x .(2)由(1)得f 3(x )＝f 2′(x )＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ， 把f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )分别改写为f 1(x )＝(x ＋1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋(x －1)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f 2(x )＝(x ＋2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2＋(x －2)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π2， f 3(x )＝(x ＋3)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2＋(x －3)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2， 猜想f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n )·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2.(*)下面用数学归纳法证明上述等式. ①当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式(*)成立，即f k (x )＝(x ＋k )sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2，那么当n ＝k ＋1时，f k＋1(x )＝f k ′(x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x ＋k )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋(x －k )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＝(x ＋k ＋1)cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k π2 ＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k ＋12π， 即当n ＝k ＋1时，等式(*)也成立.综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2＋(x －n )·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋n π2成立.。

综合仿真练(三)1．已知向量m ＝(3cos x ，－1)，n ＝(sin x ，cos 2x )． (1)当x ＝π3时，求m ·n 的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且m ·n ＝33－12，求cos 2x 的值．解：(1)当x ＝π3时，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，所以m ·n ＝34－14＝12.(2)m ·n ＝3cos x sin x －cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12， 若m ·n ＝33－12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝33－12，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以－π6≤2x －π6≤π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63， 则cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6sin π6＝63×32－33×12＝32－36. 2.如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 1的中点． (1)求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；(2)若CC 1＝CB 1，CA ＝CB ，平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥平面CMN .证明：(1)法一：取A 1C 1的中点P ，连结AP ，NP . 因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝PA 1， 所以NP ∥A 1B 1，NP ＝12A 1B 1.在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB . 所以NP ∥AB ，且NP ＝12AB .因为M 为AB 的中点，所以AM ＝12AB .所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ，所以四边形AMNP 为平行四边形，所以MN ∥AP . 因为AP ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ， 所以MN ∥平面AA 1C 1C.法二： 取BC 的中点Q ，连结NQ ，MQ . 由三棱柱可得，四边形BCC 1B 1为平行四边形． 又Q ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点， 所以CQ ∥C 1N ，CQ ＝C 1N ， 所以四边形CQNC 1为平行四边形． 所以NQ ∥CC 1.因为NQ ⊂平面MNQ ，CC 1⊄平面MNQ ， 所以CC 1∥平面MNQ .因为AM ＝MB ，CQ ＝QB ，所以MQ ∥AC . 同理可得AC ∥平面MNQ .因为AC ⊂平面AA 1C 1C ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，AC ∩CC 1＝C ，所以平面MNQ ∥平面AA 1C 1C. 因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN ∥平面AA 1C 1C. (2)因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥A B. 因为CC 1＝CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1. 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，所以CN ⊥BC .因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC ＝BC ，CN ⊂平面CC 1B 1B ，所以CN ⊥平面AB C.因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥A B.因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ， 所以AB ⊥平面CMN .3.(2020-2021·海门中学模拟)某城市有一矩形街心广场ABCD ，其中AB ＝4百米，BC ＝3百米，在其中心P 处(AC 中点)有一观景亭．现将挖掘一个三角形水池PMN 种植荷花，其中M 点在BC 边上，N 点在AB 边上，满足∠MPN ＝45°.设∠PMC ＝θ.(1)将PM 表示为角θ的函数，并求出cos θ的取值范围； (2)求水池△PMN 面积的最小值．解：(1)∵矩形ABCD ，AB ＝4百米，BC ＝3百米， ∴AC ＝5百米，∵P 为AC 中点，∴AP ＝CP ＝52百米．设∠ACB ＝α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin α＝45，cos α＝35在△CPM 中，PM sin α＝CP sin θ，即PM45＝52sin θ∴ PM ＝2sin θ，当点M 在B 处时，θ即为∠PBC ＝∠PCB ＝α，则cos θ＝35，当点N在B 处时，θ＝∠PBC ＋π4＝α＋π4，cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35×22－45×22＝－210∴cos θ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－210，35(0<θ<π). (2)在△APN 中，PN sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝AP sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ，即PN35＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ，∴PN ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4S △PMN ＝12×PM ×PN ×sin π4＝24·2sin θ·32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝31＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π4 ∴当2θ－π4＝π2，即θ＝3π8∈(0，π)时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4max ＝1，则(S △PMN )min ＝31＋2＝3(2－1)此时cos θ＝2－24<35符合条件． 答：水池△PMN 面积的最小值为(32－3)百米2.4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b2＝1经过点(b,2e )，其中e 为椭圆C 的离心率．过点T (1,0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值；(3)记直线l 与y 轴的交点为P .若AP ―→＝25TB ―→，求直线l 的斜率k .解：(1)因为椭圆C ：x 28＋y 2b 2＝1经过点(b,2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1.因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，b 28＋8－b 22b2＝1，解得b 2＝4或b 2＝8(舍去)． 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 28＋y24＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以直线MN 的方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y24＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝82k 2＋1.因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝1－x 1·x 2－1x M －x N 2， 因为(1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1，(x M －x N )2＝4x 2＝322k 2＋1.所以AT ·BT MN 2＝72k 2＋1×2k 2＋132＝732.(3)在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )， 从而AP ―→＝(－x 1，－k －y 1)，TB ―→＝(x 2－1，y 2)， ∵AP ―→＝25TB ―→，∴－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25，①由(2)知x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，②联立①②得x 1＝－4k 2＋232k 2＋1，x 2＝16k 2－232k 2＋1. 又x 1x 2＝2k 2－82k 2＋1，∴50k 4－83k 2－34＝0， 解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍去)．又因为k ＞0，所以k ＝ 2.5．数列{a n }中，对任意给定的正整数n ，存在不相等的正整数i ，j (i <j )，使得a n ＝a i a j ，且i ≠n ，j ≠n ，则称数列{a n }具有性质P .(1)若仅有3项的数列1，a ，b 具有性质P ，求a ＋b 的值； (2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋2 019具有性质P ；(3)正项数列{b n }是公比不为1的等比数列．若{b n }具有性质P ，则数列{b n }至少有多少项？请说明理由．解：(1)∵数列1，a ，b 具有性质P ∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴a ＋b ＝2或a ＋b ＝－2；(2)证明：假设存在不相等的正整数i ，j (i <j )使得a n ＝a i a j ，即n n ＋2 019＝ii ＋2 019·jj ＋2 019(*)解得：j ＝i ＋2 019ni －n ，取i －n ＝1，则存在⎩⎪⎨⎪⎧i ＝n ＋1，j ＝n ＋2 020n ，使得(*)成立∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋2 019具有性质P;(3)设正项等比数列{b n }的公比为q ，q >0且q ≠1，则b n ＝b 1·q n －1.∵数列{b n }具有性质P∴存在不相等的正整数i ，j (i <j )，i ≠n ，j ≠n ，使得b 1＝b 1·q i －1·b 1·qj －1，即b 1＝1qi ＋j －2，且m ≥3∵j >i ≥1，且i ，j ∈N *，∴i ＋j －2≥1若i ＋j －2＝1，即b 1＝1q，∴b 2＝1，b 3＝q要使b 1＝1q ＝b i b j ，则1q 2必为{b n }中的项，与b 1＝1q矛盾；∴i ＋j －2≠1若i ＋j －2＝2，即b 1＝1q 2，∴b 2＝1q，b 3＝1，b 4＝q ，要使b 1＝1q 2＝b i b j ，则1q 3必为{b n }中的项，与b 1＝1q2矛盾；∴i ＋j －2≠2若i ＋j －2＝3，即b 1＝1q 3，∴b 2＝1q 2，b 3＝1q，b 4＝1，b 5＝q ，b 6＝q 2，b 7＝q 3,这时对于n ＝1,2，…，7，都存在b n ＝b i b j ，其中i <j ，i ≠n ，j ≠n .∴数列{b n }至少有7项．6．已知函数f (x )＝mx＋x ln x (m >0)，g (x )＝ln x －2. (1)当m ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2)设函数h (x )＝f (x )－xg (x )－2，x >0.若函数y ＝h (h (x ))的最小值是322，求m 的值；(3)若函数f (x )，g (x )的定义域都是[1，e]，对于函数f (x )的图象上的任意一点A ，在函数g (x )的图象上都存在一点B ，使得OA ⊥OB ，其中e 是自然对数的底数，O 为坐标原点．求m 的取值范围．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝1x ＋x ln x ，f ′(x )＝－1x2＋ln x ＋1.因为f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ′(1)＝0， 所以当x >1时，f ′(x )>0；当0<x <1时，f ′(x )<0. 所以函数f (x )的单调增区间是(1，＋∞)．(2)h (x )＝m x ＋2x －2，则h ′(x )＝2－m x 2＝2x 2－mx2，令h ′(x )＝0，得x ＝m2，当0<x < m2时，h ′(x )<0，函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，m 2上单调递减； 当x >m2时，h ′(x )>0，函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫m2，＋∞上单调递增．所以h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎪⎫m 2＝22m － 2.①当2(2m －1)≥m2，即m ≥49时， 函数y ＝h (h (x ))的最小值h (22m －2)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22m －1＋22m －1－1＝322，即17m －26m ＋9＝0，解得m ＝1或m ＝917(舍去)，所以m ＝1.②当0<2(2m －1)<m2，即14<m <49时， 函数y ＝h (h (x ))的最小值h ⎝⎛⎭⎪⎫m 2＝2(2m －1)＝322，解得m ＝54(舍去)． 综上所述，m 的值为1.(3)由题意知，k OA ＝m x2＋ln x ，k OB ＝ln x －2x.考虑函数y ＝ln x －2x，因为y ′＝3－ln x x2>0在[1，e]上恒成立， 所以函数y ＝ln x －2x在[1，e]上单调递增，故k OB ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－1e ，所以k OA ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e ， 即12≤mx2＋ln x ≤e 在[1，e]上恒成立， 即x 22－x 2ln x ≤m ≤x 2(e －ln x )在[1，e]上恒成立． 设p (x )＝x 22－x 2ln x ，则p ′(x )＝－2x ln x ≤0在[1，e]上恒成立， 所以p (x )在[1，e]上单调递减，所以m ≥p (1)＝12.设q (x )＝x 2(e －ln x )，则q ′(x )＝x (2e －1－2ln x )≥x (2e －1－2ln e)>0在[1，e]上恒成立， 所以q (x )在[1，e]上单调递增， 所以m ≤q (1)＝e.综上所述，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，e .。

综合仿真练(一)(理独)1．本题包括A 、B 、C 三个小题，请任选二个作答 A ．[选修4－2：矩阵与变换](2020-2021·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3122.(1)求A 2；(2)求矩阵A 的特征值．解：(1)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3122，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3122⎣⎢⎡⎦⎥⎤3122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×3＋1×23×1＋1×22×3＋2×22×1＋2×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤115106. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －1 －2 λ－2＝λ2－5λ＋4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝4. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，求圆C 的极坐标方程．解：法一：因为圆心C 在极轴上且过极点， 所以设圆C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ， 又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4在圆C 上，所以32＝a cos π4，解得a ＝6.所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ. 法二：点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4的直角坐标为(3,3)， 因为圆C 过点(0,0)，(3,3)， 所以圆心C 在直线为x ＋y －3＝0上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9.所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ. C ．[选修4－5：不等式选讲](2020-2021·南通等七市一模)柯西不等式 已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤1，求证：1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥94. 证明：由柯西不等式，得[(a 2＋1)＋(b 2＋1)＋(c 2＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥a 2＋1·1a 2＋1＋b 2＋1·1b 2＋1＋c 2＋1·1c 2＋12＝9， 所以1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥9a 2＋b 2＋c 2＋3≥91＋3＝94. 2．(2020-2021·扬州期末)已知直线x ＝－2上有一动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ―→·OQ ―→＝0(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．解：(1)设点P (x ，y )，则Q (－2，y )，∴OP ―→＝(x ，y )，OQ ―→＝(－2，y )， ∵OP ―→·OQ ―→＝0，∴OP ―→·OQ ―→＝－2x ＋y 2＝0，即y 2＝2x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)，直线BD 与x 轴的交点为E ，△MBD 内切圆与MB 的切点为T .设直线AM 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(k 2－2)x ＋k 24＝0，Δ＝4－4k 2>0， ∴x 1,2＝2－k 2±21－k22k 2， ∴x 1x 2＝14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2，∴直线AN 的方程为y ＝y 1x 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，与方程y 2＝2x 联立并整理得y 21x 2－y 21＋2x 21－2x 1＋12x ＋14y 21＝0，化简得2x 1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫2x 21＋12x ＋12x 1＝0，解得x ＝14x 1或x ＝x 1，∴x 3＝14x 1＝x 2，∴直线BD ⊥x 轴，设△MBD 的内切圆圆心为H ，连接HT ，则H 在x 轴上且HT ⊥AB . 法一：∴S △MBD ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|2y 2|，且△MBD 的周长为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|， ∴S △MBD ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＋2|y 2|·r ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12·|2y 2|， ∴r ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 2||y 2|＋ ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＝11x 2＋12＋1y 22＋1⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋122＝112x 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋1x 2＋12. 令t ＝x 2＋12，则t >1，∴r ＝112t －1＋1t 2＋1t 在(1，＋∞)上单调递增，则r >12＋1，即r 的取值范围为(2－1，＋∞)．法二：∴H (x 2－r,0)，直线BD 的方程为x ＝x 2， 直线AM 的方程为y ＝y 2x 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12y ＋12y 2＝0，且点H 与点O 在直线AB 的同侧， 不妨设点B 在x 轴上方，∴r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－r y 2＋12y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＝x 2－r y 2＋12y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22，解得r ＝x 2y 2＋12y 2y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＝112x 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋1x 2＋12.令t ＝x 2＋12，则t >1，∴r ＝112t －1＋1t 2＋1t 在(1，＋∞)上单调递增，则r >12＋1，即r 的取值范围为(2－1，＋∞)．法三：∴△MTH ∽△MEB ，∴MH MB ＝HT BE，即x 2＋12－r⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＝r|y 2|， 解得r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12|y 2||y 2|＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋y 22＝x 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122y 22＋1＋1＝112x 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋122＋1x 2＋12.令t ＝x 2＋12，则t >1，∴r ＝112t －1＋1t 2＋1t 在(1，＋∞)上单调递增，则r >12＋1，即r 的取值范围为(2－1，＋∞)．3．一条直路上依次有2n ＋1棵树，分别为T 1，T 2，…，T 2n ＋1(n 为给定的正整数)，一个醉汉从中间位置的树T n ＋1出发，并按以下规律在这些树之间随机游走n 分钟：当他某一分钟末在树T i (2≤i ≤2n )位置时，下一分钟末他分别有14，12，14的概率到达T i －1，T i ，T i ＋1的位置．(1)求该醉汉第n 分钟末处在树T i (1≤i ≤2n ＋1)位置的概率；(2)设相邻2棵树之间的距离为1个单位长度，试求该醉汉第n 分钟末所在位置与起始位置(即树T n ＋1)之间的距离的数学期望(用关于n 的最简形式表示)．解：(1)不妨假设2n ＋1棵树T 1，T 2，…，T 2n ＋1从左向右排列，每2棵树的间距为1个单位长度．因为该醉汉下一分钟末分别有14，12，14的概率到达T i －1，T i ，T i ＋1的位置，所以该醉汉将以12的概率向左或向右走．我们规定，事件“以12的概率向左或向右走0.5个单位长度”为一次“随机游走”，故原问题等价于求该醉汉从树T n ＋1位置出发，经过2n 次随机游走后处在树T i 位置的概率为P i .对某个i (1≤i ≤2n ＋1)，设从T n ＋1出发，经过2n 次随机游走到达T i 的全过程中，向右走0.5个单位长度和向左走0.5个单位长度分别有k 次和2n －k 次，则n ＋1＋k －2n －k2＝i ，解得k ＝i －1，即在2n 次中有i －1次向右游走，2n －(i－1)次向左游走，而这样的情形共Ci －12n种，故所求的概率P i ＝C i －12n22n (1≤i ≤2n ＋1)．(2)对i ＝1,2，…，2n ＋1，树T i 与T n ＋1相距|n ＋1－i |个单位长度，而该醉汉到树T i的概率为P i ，故所求的数学期望E ＝∑i ＝12n ＋1|n ＋1－i |C i －12n22n .而∑i ＝12n ＋1|n ＋1－i |Ci －12n＝∑j ＝02n|n －j |C j2n＝2∑j ＝0n(n －j )C j2n ＝2∑j ＝0nn C j2n －2∑j ＝0nj C j2n＝2n ∑j ＝0nC j2n －2∑j ＝1n2n C j －12n －1＝2n ×12(C n 2n ＋∑j ＝02n C j 2n )－4n ∑j ＝0n －1C j2n －1＝n (C n2n ＋22n)－4n ×12∑j ＝02n －1C j2n －1＝n (C n 2n ＋22n )－2n ·22n －1＝n C n2n ，n C n2n 22n .因此E＝。

综合仿真练(七)1．已知集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{y |y 2－3y －4<0}，则P ∩Q ＝________. 解析：由y 2－3y －4<0得，－1<y <4，则Q ＝(－1,4)，而集合P 表示偶数集，故P ∩Q ＝{0,2}．答案：{0,2}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝________.解析：2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60. 答案：604．已知正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面四边形的对角线的长度是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积是______cm 3.解析：由正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面四边形的对角线的长度是3 5 cm ，得该正四棱柱的高为6 cm ，则这个正四棱柱的体积是32×6＝54 (cm 3)．答案：545．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝412＝13.答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：n 10 9 8 7 6 5 4 3 2 S101927344045495254当n ＝1答案：547．(2020-2021·扬州四模)已知x >0，y >0，则2xy x 2＋8y 2＋xyx 2＋2y 2的最大值是________．解析：2xy x 2＋8y 2＋xy x 2＋2y 2＝3x 3y ＋4xy3x 4＋10x 2y 2＋16y 4＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4y x x 2y 2＋16y 2x 2＋10＝3×x y ＋4y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4y x 2＋2令t ＝x y ＋4y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y >0，则t ≥4，原式＝3×t t 2＋2＝3t ＋2t ≤34＋24＝23.答案：238．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．解析：由题意，c －a 2c＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2，又∵e >1，故e ＝1＋ 2.答案：1＋ 29．已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．解析：由题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1－4x －2，x <0，故若要使不等式成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，得1<x <2.答案：(1,2)10．(2020-2021·盐城中学模拟)在△ABC 中，A 1，B 1分别是边BA ，CB 的中点，A 2，B 2分别是线段A 1A ，B 1B 的中点，…，A n ，B n 分别是线段A n －1A ，B n －1B (n ∈N *，n >1)的中点，设数列{a n }，{b n }满足：向量B n A n ―→＝a n CA ―→＋b n CB ―→ (n ∈N *)，有下列四个命题：①数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列；②数列{a n ＋b n }是等比数列； ③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 有最小值，无最大值；④若△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n ―→|最小时，a n ＋b n ＝12.其中真命题是__________．解析：根据题意可得BA 1―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12BA ―→，BA 2―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14BA ―→，…，BA n ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (CA ―→－CB ―→)，B 1B ―→＝12CB ―→，B 2B ―→＝14CB ―→，…，B n B ―→＝12n CB ―→，则B n A n ―→＝B n B ―→＋BA n ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12n (CA ―→－CB ―→)＋12n CB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n CA ―→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1CB ―→＝a n CA ―→＋b n CB ―→，由于在△ABC 中，CB ―→，CA ―→不共线，所以a n ＝1－12n ，b n ＝12n －1－1，则数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列，①正确；数列{a n ＋b n }即为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ，是首项和公比均为12的等比数列，②正确；b n a n ＝2－2n 2n －1＝－1＋12n －1>－1恒成立，在n ∈N *时单调递减，有最大值为0，无最小值，故③错误；根据题意，|B n A n ―→|2＝(a 2n ＋b 2n )CA ―→2＋2a n b n CA ―→·CB ―→＝(a 2n ＋b 2n )CA ―→2，a 2n ＋b 2n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －6·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2＝5⎝⎛⎭⎪⎫12n －352－15，当n ＝1时，|B n A n ―→|取得最小值，即有|B n A n ―→|最小时，a n ＋b n ＝12，故④正确．答案：①②④11．(2020-2021·海门中学模拟)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin Csin C ＋2sin B＋sin B sin C的最小值为________． 解析：由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc ＝2cb bc ＋2b＋b 2bc ＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立． 答案：3212．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则||c 的最大值为________．解析：因为(2a －c )·(3b －c )＝0，所以6a ·b ＋c 2－(2a ＋3b )·c ＝0.又因为a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，所以a ·b ＝0，所以||c 2＝||2a ＋3b ·||c ·cos θ(θ为2a ＋3b 与c 夹角)，所以||c ＝||2a ＋3b ·cos θ≤||2a ＋3b ＝12＋52＝26，即|c |的最大值为26.答案：2613．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x 2，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝12或t ≥1，即f (a )＝12或f (a )≥1，所以a ＝12或a ≥23，因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为________．解析：设O 1(x 1，kx 1)，O 2(x 2，kx 2)，P (x 0，y 0)， 则圆O 1的方程为(x －x 1)2＋(y －kx 1)2＝(kx 1)2， 圆O 2的方程为(x －x 2)2＋(y －kx 2)2＝(kx 2)2， 将点P (x 0，y 0)的坐标代入可得 (x 0－x 1)2＋(y 0－kx 1)2＝(kx 1)2，① (x 0－x 2)2＋(y 0－kx 2)2＝(kx 2)2.② ①－②得2x 0＋2ky 0＝x 1＋x 2.③由①得x 20＋y 20＝2x 1x 0＋2x 1ky 0－x 21.④将③代入④得x 20＋y 20＝x 1(x 1＋x 2)－x 21＝x 1x 2＝6.故点P 在圆x 2＋y 2＝6上．又因为圆心O 到直线2x －y －8＝0的距离为85，所以点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为d －r ＝855－ 6.答案：855－ 6。

填空题总分值练(1)z ＝x ＋(x ＋2)i(其中i 为虚数单位，x ∈R )满足2＋i z是纯虚数，那么|z |＝________. 答案 253 解析 根据题意可设2＋i z＝b i(b ∈R 且b ≠0)， ∴2＋i ＝[x ＋(x ＋2)i]×b i ＝－b (x ＋2)＋xb i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝－b (x ＋2)，1＝xb ，解得x ＝－23， ∴z ＝－23＋43i ，∴|z |＝253. 2.(2021·南通、徐州、扬州等六市模拟)集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}，那么∁U A ＝________.答案 {1,3}解析 ∵集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}，∴∁U A ＝{1,3}.A ，B ，C ，Dn 的样本，假设样本中A 种型号有16件，那么此样本的容量n 为________. 答案 88解析 根据分层抽样的特点，样本中A 种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1＝211，所以样本的容量n ＝16÷211＝88. 4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，那么实数m ＝__________.答案 1解析 ∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，∴cos A ＝12或cos A ＝－2(舍). 由a 2－c 2＝b 2－mbc ，得cos A ＝m 2，∴m 2＝12， ∴m ＝1.{}a n 满足a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，那么a 1a 7＝________.答案 13解析 由题意得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，所以a 2＝3，a 6＝11或a 2＝11，a 6＝3.当a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，a 1＝1，a 7＝13， ∴a 1a 7＝13；当a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，a 1＝13，a 7＝1， ∴a 1a 7＝13.6.在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，那么AD →＝________.(用AB →，AC →表示)答案 23AB →＋13AC → 解析 因为BC →＝3BD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，即AD →＝23AB →＋13AC →. 7.给出30个数：1, 2, 4, 7, 11, 16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的流程图，那么图中①处和②处分别填入____________.答案 i ≤30和p ＝p ＋i解析 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，即①中应填写i ≤30.又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2，第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4，第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7，…，故②中应填写p ＝p ＋i .x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －3≤0，x ＋y －2≥0，－x ＋2y －2≤0，那么z ＝(x －1)2＋y 2的最小值为________. 答案 12 解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示(含边界)，易知z 表示可行域内的点(x ，y )到点(1,0)的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋0－2|12＋122＝12.C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，且双曲线C 的离心率为22，那么双曲线C 的渐近线方程为________.答案 y ＝±7x解析 依题意知，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，∴c ＝2，∵双曲线的离心率为22， ∴c a ＝2a ＝22，∴a ＝22， ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝142， ∴渐近线方程为y ＝±bax ＝±7x . M 的底面半径为2，高为6，圆锥NM 和圆锥N 的体积一样，那么圆锥N 的高为________. 答案 6解析 设圆锥N 的底面半径为r ，那么它的母线长为2r ，高为3r ，由圆柱M 与圆锥N 的体积一样，得4π×6＝13πr 2×3r ，解得r ＝23，因此圆锥N 的高h ＝3r ＝6. n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开场，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序〞，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不一样时，称为不同的k 阶段序.假设某圆的任意两个“k 阶段序〞均不一样，那么称该圆为“k 阶魅力圆〞，那么“3阶魅力圆〞中最多可有的等分点个数为________.答案 8解析 “3阶段序〞中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序〞共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序〞，故“3阶魅力圆〞中的等分点的个数不多于8个；另一方面，假设n ＝8，那么必须包含全部共8个“3阶段序〞，不妨从(红，红，红)开场按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝〞符合条件，故“3阶魅力圆〞中最多可有8个等分点. x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，假设AF 2→＝2F 2C →，那么椭圆的离心率为________.答案 55解析 设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a ＝12，x ＝2c ，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c ，±b 22a . 又C 为椭圆上一点，∴(2c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±b 22a 2b 2＝1，解得e ＝55. f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝(x ＋1)e x ，那么对任意m ∈R ，函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有________个.答案 3解析 当x <0时，f ′(x )＝(x ＋2)e x ，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (xf (x )是R 上的奇函数，f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时，f (x )<0，所以f (xt ＝f (x )，那么当t ∈(－1,1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1,1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1,1)，从而函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有3个.P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的外表积为________.答案 27π32a 2 解析 设底面△ABC 的外接圆半径为r ，那么a sin π3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ， 设正四面体的外接球半径为R ， 那么R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，∴R ＝64a . 因为64∶63＝3∶4， 所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的外表积为 4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫64a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27π32a 2.。

综合仿真练(三)1．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)． 解析：由x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，得∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0是真命题． 答案：真2．(2020-2021·徐州中学模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集个数是________．解析：作出单位圆和函数y ＝3x的图象(图略)，可知他们有两个公共点，所以A ∩B 中有两个元素，则A ∩B 有4个子集．答案：43．已知复数z ＝3－i1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________．解析：法一：因为z ＝3－i 1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝102＝ 5.法二：因为z ＝3－i 1＋i ＝3－i 1－i 2＝1－2i ，所以|z |＝12＋－22＝ 5.答案： 54．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n ，则10n ＝1603 200，所以n ＝200.答案：2005．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t 的值是________．t ←1i ←2While i ≤4t ←t ×i i ←i ＋1End While Print t解析：当i ＝2时，满足循环条件，执行循环t ＝1×2＝2，i ＝3； 当i ＝3时，满足循环条件，执行循环t ＝2×3＝6，i ＝4； 当i ＝4时，满足循环条件，执行循环t ＝6×4＝24，i ＝5； 当i ＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t ＝24. 答案：246．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为________．解析：两队各出一名运动员的基本事件总数n ＝12，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，共有3个基本事件，所以出场的两名运动员号码不同的概率P ＝1－312＝34.答案：347．等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13＝________. 解析：由题意及等差数列的性质得5a 7＝100，故a 7＝20,3a 9－a 13＝3(a 1＋8d )－(a 1＋12d )＝2a 7＝40.答案：408．将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，可得函数g (x )＝sin 2x －cos 2x 的图象，则φ的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8， 故将函数f (x )向右平移π4＋k π，k ∈Z 个单位可得g (x )的图象，因为φ>0，故φ的最小值为π4.答案：π49．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为h ，则有1r 2＋1h2＝1，而母线长l ＝r 2＋h 2，则l 2＝(r 2＋h 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋1h 2≥4，即可得母线最小值为2，此时r ＝h ＝2，则体积为13πr 2h ＝13(2)3π＝223π.答案：223π10．(2020-2021·无锡期初)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是________．解析：因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34. 答案：3411．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是△ABC (包括边界)内任一点．则AD ―→·EP ―→的取值范围是________．解析：以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,4)，B (2,0)，E (1，2)，D (1，0)，设P (x ，y )，则AD ―→·EP ―→＝(1，－4)·(x －1，y －2)＝x －4y ＋7，令z ＝x －4y ＋7，则y ＝14x ＋7－z 4，作直线y ＝14x ，平移直线y ＝14x ，由图象可知当直线y ＝14x ＋7－z4，经过点A 时，直线的截距最大，但此时z 最小， 当直线经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最大． 即z min ＝－4×4＋7＝－9，z max ＝2＋7＝9， 即－9≤AD ―→·EP ―→≤9.故AD ―→·EP ―→的取值范围是[－9,9]． 答案：[－9,9]12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos α－βcos α＋β＝________.解析：由题意可知A (－a,0)，B (a,0)，设P (x 0，y 0)，则k PA ·k PB ＝y 20x 20－a2，又y 20＝b 2－b 2a 2·x 20，所以k PA ·k PB ＝－b 2a 2，即tan αtan β＝－b 2a 2.又e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝32，所以－b 2a 2＝－14，即tan αtan β＝－14，所以cos α－βcos α＋β＝cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β＝1＋tan αtan β1－tan αtan β＝35.答案：3513．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→，则|BQ ―→|的最小值是__________．解析：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴，使得C 落在第一象限，建立平面直角坐标系(图略)，设P (cos α，sin α)，则由AQ ―→＝23AP ―→＋13AC ―→得，Q 23cos α＋12，23sin α＋32，故点Q 的轨迹是以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32为圆心，23为半径的圆．又BD ＝7，所以|BQ ―→|的最小值是7－23.答案：7－2314．(2020-2021·盐城中学模拟)已知函数f (x )＝1x＋a ln x (x ∈(0，e])的最小值是0，则实数a 的取值集合为________．解析：法一：f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2.当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1e ＋a ，令1e ＋a ＝0，得a ＝－1e ，满足题意；当0<a ≤1e时，易知x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e]上单调递减，f (x )min ＝f (e)＝1e ＋a ，令1e＋a ＝0，得a ＝－1e ，不满足题意；当a >1e 时，易知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a －a ln a ，令a －a ln a ＝0，得a ＝e ，满足题意．综上，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1e ，e .法二：由题意可得①∀x ∈(0，e]，f (x )＝1x＋a ln x ≥0，且②当x ∈(0，e]时，方程1x＋a ln x ＝0有解．由①可得∀x ∈(0，e]，ax ln x ≥－1，当a ＝0时满足题意；当a >0时，需－1a ≤(x ln x )min ；当a <0时，需－1a≥(x ln x )max .令g (x )＝x ln x ，x ∈(0，e]，则g ′(x )＝1＋ln x ，由g ′(x )＝0得x ＝1e ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，又当0<x <1e 时，g (x )<0，所以g (x )max ＝g (e)＝e ，则当a >0时，－1a ≤－1e ，得0<a ≤e；当a <0时，－1a ≥e，得－1e ≤a <0.故可得－1e ≤a ≤e.由②可得a ≠0，且当x ∈(0，e]时，方程－1a ＝x ln x 有解，则－1a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，e ，易得a ≤－1e或a ≥e.综上可得实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1e ，e . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1e ，e。

14 个填空题综合仿真练 (一)1．已知会合A＝ {0,3,4}， B＝ {－ 1,0,2,3}，则 A∩ B＝ ________.分析：由于会合A＝{0,3,4} ， B＝{ － 1,0,2,3}，因此 A∩ B＝ {0,3}．答案： {0,3}2．已知 x＞ 0，若 (x－ i)2是纯虚数 (此中 i 为虚数单位 )，则 x＝ ________.分析：由于 x＞ 0， (x－ i)2＝ x2－ 1－ 2xi 是纯虚数 (此中 i 为虚数单位 )，因此 x2－ 1＝ 0 且－ 2x≠ 0，解得 x＝ 1.答案：13．已知函数 f (x)＝x2－ 2x－ 3，则该函数的单一递加区间为________．分析：设 t＝ x2－ 2x－ 3，由 t≥ 0，即 x2－ 2x－ 3≥ 0，解得 x≤－ 1 或 x≥ 3，因此函数 f(x)的定义域为 (－∞，－ 1]∪ [3，＋∞)，由于函数t＝ x2－ 2x－ 3 的图象的对称轴为2函数 t＝ x － 2x－ 3 在 (－∞，－ 1]上单一递减，在 [3，＋∞ )上单一递加，因此函数x＝ 1，因此f(x)的单一递加区间为[3，＋∞ )．答案： [3，＋∞ )4．从 2 个白球， 2 个红球， 1 个黄球中随机拿出 2 个球，则拿出的 2 球中恰有 1 个红球的概率是________．分析：将 2 个白球记为A， B,2 个红球记为C，D, 1 个黄球记为E，则从中任取两个球的全部可能结果为(A，B)， (A， C)， (A， D)， (A， E)， (B， C)， (B， D)， (B，E )， (C， D )，(C， E)，(D，E )，共10 个，恰有 1 个红球的可能结果为(A，C)，(A，D)，( B，C)，(B，D )，(E， C)， (E， D )共6 个，故所求概率为6 3 P＝10＝ 5.答案：355．履行如下图的伪代码，若输出的y 的值为 13，则输入的x 的值是 ________．Read xIf x≤ 2 Theny← 6xElsey← x＋ 5End IfPrint y分析：若 6x＝ 13，则 x＝13x＋ 5＝ 13，则 x＝ 8>2，切合题意，故6 >2 ，不切合题意；若x＝ 8.答案：86．一种水稻品种连续 5年的平均单位面积产量 ( 单位： t/hm 2) 分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．分析：这组数据的均匀数为1(9.4＋ 9.7＋ 9.8＋ 10.3＋ 10.8)＝ 10，方差为1[(10－ 9.4)2＋ (1055－9.7)2＋ (10－ 9.8)2＋ (10－ 10.3)2＋ (10－ 10.8) 2]＝0.244. 答案： 0.244ππ为函数 f(x)的一个零点， x＝3 7．已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)(0< ω<2,0< φ<π)．若 x＝－4为函数 f( x)图象的一条对称轴，则ω的值为 ________．分析：函数 f(x)的周期 T ＝ 4×π π＝7πT ＝2π36＋，又ω，因此ω＝ 2π×＝ .3 437π7答案：678．在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为A＝2 5 ―→―→a，b，c，且知足 cos， AB ·AC25＝ 3， b＋ c＝ 6，则 a＝ ________.分析：∵ cos A＝2―→ ―→55，∴ cos A＝ 2cos2A－ 1＝3，又由AB ·AC ＝ 3，得 bccos A＝3，∴225bc＝ 5，由余弦定理得a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A＝ (b＋ c)2－ 2bc(1＋ cos A)＝ 36－ 10×8＝ 20，解5得 a＝ 2 5.答案：2 5119．已知α，β∈ (0，π)，且 tan(α－β)＝2， tan β＝－5，则 tan α的值为 ________．分析： tan α＝ tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ＝1－ 125 1－ tan α－βtan β1－1×－125答案：3113＝11.10．已知对于 x 的一元二次不等式 ax2＋ bx＋ c>0 的解集为 (－ 1,5)，此中 a， b， c 为常数．则不等式 cx2＋bx＋ a≤ 0 的解集为 ________．分析：由于不等式 ax2＋ bx＋ c>0 的解集为 (－ 1,5)，因此 a(x＋ 1)(x－ 5)>0，且 a<0，即ax2－4ax－ 5a>0，则 b＝－ 4a， c＝－ 5a，则 cx2＋ bx＋ a≤ 0即为－ 5ax2－ 4ax＋ a≤0，进而215x＋4x－ 1≤ 0，解得－ 1≤ x≤ .51答案：－1，51211．已知正数 x， y 知足x＋y＝ 1，则 log2x＋ log2y 的最小值为 ________．1 2y y2＝ log2y－ 2＋22分析：由x＋y＝ 1，得 x＝－2>0，则 log2x＋ log2 y＝ log2xy＝ log2－－＝y y2y 2log 2y － 2 ＋ 4＋ 4 ≥ log 28＝ 3，当且仅当 (y － 2)2＝ 4，即 y ＝ 4 时等号建立， 故 log 2x ＋ log 2y y － 2的最小值为 3.答案：312．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：x 2＋ y 2＋ 2x －8＝ 0，直线 l ：y ＝ k(x － 1)(k ∈ R)过定点 A ，且交圆 C 于点 B ，D ，过点 A 作 BC 的平行线交 CD 于点 E ，则△ AEC 的周长为 ________．分析： 易得圆 C 的标准方程为 (x － 1)2＋ y 2＝ 9，即半径 r ＝ 3，定点 A(－ 1,0)，由于 AE∥BC ，因此 EA ＝ ED ，则 EC ＋ EA ＝ EC ＋ ED ＝ 3，进而△ AEC 的周长为 5.答案：513．设会合 A ＝ {x|x ＝ 2n ， n ∈N * }，会合 B ＝{ x|x ＝ b n ， n ∈ N * } ，知足 A ∩ B ＝ ?，且 A∪B ＝ N * .若对随意的 n ∈ N * ， b n <b n ＋1，则 b 2 017＝ ________.分析： 由于 210＝ 1 024<2 017,2 11＝ 2 048>2 017 ，因此小于等于 2 017 的正整数中有 10个是会合 A 中的元素，因此由会合B 的定义可知 b 2 017＝ 2 017＋ 10＝ 2 027.答案：2 0271 2 14．已知函数 f(x)＝ kx ，g(x)＝ 2ln x ＋ 2e e ≤ x ≤ e，若 f(x)与 g(x)的图象上分别存在点M ，N ，使得 M ， N 对于直线 y ＝ e 对称，则实数k 的取值范围是 ________________．分析： 设直线 y ＝ kx 上的点 M (x ， kx)，点 M 对于直线 y ＝ e 的对12称点 N (x,2e － kx)，由于点 N 在 g(x)＝ 2ln x ＋ 2e e ≤ x ≤ e 的图象上，因此 2e － kx ＝2ln x ＋ 2e ，因此 kx ＝－ 2ln x ．结构函数 y ＝ kx ， y ＝－1≤ x ≤ e 2，画出函数＝－ 2ln x1≤ x ≤ e 2 的图象如下图， 设2ln x ey e曲线 ＝－1≤ x ≤ e 2 上的点，－2ln x 0)，则 k OP≤ ≤y 2ln x eP(x 0k k OB (此中 B 为端点， P 为切点 )．由于 y ′ ＝－ 2，因此过点 P 的切线方程为 y ＋ 2ln x ＝－ 2x 0(x － x )，又该切线经过原点，x 0因此 0 ＋ 2ln x 0 ＝－ 2＝ ，因此 k OP ＝－ 2 .又点 B 1， 2 ，因此 k OB ＝ ，因此 k(0－ x )， xee e 2ex 02∈ － ， 2e .2答案 ： － ， 2e。

南京市、盐城市 2021 届高三年级第二次模拟考试数学2019.03.20 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分，不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上。

1. 已知集合A ={x |1 <x < 3}, B ={x | 2 <x < 4}，则A ∩B = .【答案】{x |1 <x < 4}【解析】画数轴可得。

【点评】考察集合并集，属于简单题。

2.若复数z 满足【答案】-2za + 2i=i (i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为.【解析】 z =i (a + 2i)=ai - 2, a =-2【点评】复数，简单题3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20 人，则第三组中人数为.【答案】18【解析】1⨯(0.24+0.16)=0.4 ，总人数： 20 ÷ 0.4=50 （人），第三组： 50 ⨯ 0.36=18【点评】考察频率分布直方图，属于简单题。

4.右图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为.【答案】16i = 1, s = 1 i = 3, s = 4【解析】i = 5, s = 9 i = 7, s = 16【点评】考察算法流程图，属于简单题。

5. 现有 5 件相同的产品，其中 3 件合格，2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为 .【答案】 35C 1C 1 3⨯ 2 3 【解析】 P = 3 2 = = 2 10 5【点评】考察排列组合与概率，属于简单题。

6. 等差数列{a n }中， a 4 = 10 ，前 12 项的和 S 12 = 90，则a 18 的值为 .【答案】-4【解析】S 12 = (a 4 + a 9 )⨯ 6 ⇒ a 9 = 5 ⇒ d = -1⇒ a 18 = -4【点评】考察等差数列，属于简单题。

综合仿真练(六)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________. 解析：集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z }＝{1,2,3,4,5}，则∁U M ＝{6,7}．答案：{6,7}2．已知复数z ＝2＋i2－i (i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析：法一：z ＝2＋i2－i ＝2＋i 25＝35＋45i ， 则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1. 法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2－i ＝|2＋i||2－i|＝55＝1.答案：13．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为________．解析：样本中高二年级抽45－20－10＝15人，设该校学生总数为n 人，则45n ＝15300，所以n ＝900.答案：9004．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________．S ←1I ←1While I ≤8 S ←S ＋I I ←I ＋2End While Print S解析：模拟执行程序，可得S ＝1，I ＝1，满足条件I ≤8；S ＝2，I ＝3，满足条件I ≤8； S ＝5，I ＝5，满足条件I ≤8； S ＝10，I ＝7，满足条件I ≤8； S ＝17，I ＝9，不满足条件I ≤8；退出循环，输出S 的值为17. 答案：175．(2020-2021·天一中学模拟)若过抛物线x 2＝2py (p >0)或y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与该抛物线交于A ，B 两点，则称线段AB 为该抛物线的焦点弦，此时有以下性质：1AF ＋1BF＝2p.已知抛物线L ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与y 轴交于点A ，过点F 作直线交抛物线L 于B ，C 两点，若以AC 为直径的圆恰好过点B ，且CF ＝BF ＋8，则p 的值为________ .解析：因为以AC 为直径的圆恰好过点B ，所以AB ⊥BC ，如图，设|BF |＝m (m >0)，过点B 作准线的垂线，垂足为D ，易知△ABD ∽△FAB ，则AB 2＝AF ·BD ＝pm ，又因为AF 2＝AB 2＋BF 2，所以p 2＝m 2＋pm ，即m ＝5－12p ，由抛物线的焦点弦性质可得1AF ＋1BF ＝2p ，所以1CF ＝3－52p，即CF ＝3＋52p ，所以CF －BF ＝2p ，又因为CF ＝BF ＋8，所以2p ＝8，即p ＝4. 答案：46．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．解析：从100张卡片上分别写有1,2,3，…，100中任取1张，基本事件总数n ＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有：1×6,2×6，…，16×6，共有16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率是P ＝16100＝425.答案：4257．若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________． 解析：由圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高h ＝3，所以V ＝13×π×12×3＝3π3.答案：3π38．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________．解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，则S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝－198，所以q ＝－32，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝－27a 18＋3a 12＝－158，所以a 1＝1，则a 3＝a 1q 2＝94. 法二：设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 6S 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 1q 3＋a 2q 3＋a 3q 3a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＝－198，所以q ＝－32，则a 4－a 2＝a 3q －a 3q ＝－3a 32＋2a 33＝－158，所以a 3＝94答案：949．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．解析：f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，且f (e)＝e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，因为f (x )为奇函数，所以f (－e)＝－f (e)＝－e ，故结合函数图象得f (x )<－e 的解集为(－∞，－e)．答案：(－∞，－e)10．(2020-2021·如皋中学模拟)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是________．解析：在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意．(2)当m ＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 答案：(0,1]∪[3，＋∞)11．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ，若f (x －φ)的图象关于y 轴对称⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，则φ＝________.解析：因为f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x －φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6.由f (x －φ)的图象关于y 轴对称得，－2φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以－2φ＝π3＋k π(k ∈Z )．又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：π312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|，则b 的取值范围为___________________________．解析：设AB 的中点为M ，则|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|⇒2|OM |≥3|2AM |⇒|OM |≥32|OA |＝62，又直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，所以62≤|OM |<2，而|OM |＝21＋b2，所以62≤21＋b2<2⇒1<b 2≤53，解得1<b ≤153或－153≤b <－1，即b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎥⎤1，153. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎥⎤1，153 13．(2020-2021·泰州中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x2，x ＜1，若F (x )＝f [f (x )＋1]＋m 有两个零点x 1，x 2，则x 1·x 2的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥0，∴f (x )＋1≥1，∴f [f (x )＋1]＝ln[f (x )＋1]，当x ＜1时，f (x )＝1－x 2＞12，f (x )＋1＞32，∴f [f (x )＋1]＝ln[f (x )＋1]，综上可知，F (x )＝ln[f (x )＋1]＋m ＝0，则f (x )＋1＝e －m，f (x )＝e －m－1，有两个根x 1，x 2(不妨设x 1＜x 2)．当x ≥1时，ln x 2＝e －m －1，当x ＜1时，1－x 12＝e －m －1，令t ＝e －m－1＞12，则ln x 2＝t ，x 2＝e t,1－x 12＝t ，x 1＝2－2t ，∴x 1x 2＝e t (2－2t )，t ＞12，设g (t )＝e t (2－2t )，t ＞12.求得g ′(t )＝－2t e t，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，g ′(t )＜0，函数g (t )单调递减，∴g (t )＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e ，∴g (t )的值域为(－∞，e)，∴x 1x 2取值范围为(－∞，e)．答案：(－∞，e)14．在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C ，则sin C 的最大值为________．解析：由1tan A ＋1tan B ＝4tan C ，得cos A sin A ＋cos B sin B ＝4cos C sin C ，即sin A ＋B sin A sin B ＝4cos Csin C， 化简得sin 2C ＝4sin A sin B cos C .由正、余弦定理得c 2＝4ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2(a 2＋b 2－c 2)，即3c 2＝2(a 2＋b 2)，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 26ab ≥2ab 6ab ＝13，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以cos C 的最小值为13，故sin C 的最大值为223.答案：223。

填空题押题练D 组1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，那么M ∩N ＝______.解析 因为N ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，因此M ∩N ＝{0,1}．答案 {0,1}2．复数11＋i ＝________. 解析 11＋i ＝1－i 1＋i1－i ＝1－i 2＝12－12i. 答案12－12i 3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________．解析 依照对命题的否定知，是把命题取否定，然后把结论否定．答案 任意一个无理数，它的平方不是有理数4．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方式，从全部运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．解析 设应抽取的女运动员人数是x ，那么x 98－56＝2898，易患x ＝12. 答案 125．设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝log 122 0112 010，那么a ，b ，c 的大小关系是________． 解析 由指数函数、对数函数图象可知a ＞1,0＜b ＜1，c ＜0，因此a ＞b ＞c .答案 a ＞b ＞c6．把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，那么所得函数图象的解析式是________．解析 依照函数图象变换法那么求解．把y ＝2sin x 向左平移π6个单位长度后取得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)取得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.答案 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6 7．已知等比数列{a n }知足a 5a 6a 7＝8，那么其前11项之积为________．解析 利用等比数列的性质求解．由a 5a 6a 7＝a 36＝8得，a 6＝2，因此，其前11项之积为a 1a 2…a 11＝a 116＝211.答案 2118．在等腰直角△ABC 中，过直角极点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，那么AM ＜AC 的概率为________．解析 所求概率P ＝180°－45°290°＝34. 答案 349．两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度别离为20 m 、50 m ，BD 为水平面，那么从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．解析 在△ACD 中，容易求得AD ＝2010， AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22， 因此∠CAD ＝45°，即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案 45°10．关于任意x ∈[1,2]，都有(ax ＋1)2≤4成立，那么实数a 的取值范围为________．解析 由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1,2]恒成立，得－2≤ax ＋1≤2在x ∈[1,2]恒成立，利用分类参数的方式得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x min ，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x max ，利用反比例函数的单调性得－32≤a ≤12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 11．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分两部份，使得这两部份的面积之差最大，那么该直线的方程为________．解析 当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝012．设四面体的六条棱的长别离为1,1,1,1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，那么a 的取值范围是________．么DC ＝2，别离取解析 由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，那DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、CE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝ 1－12＝22，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE ＝ 2. 答案 (0，2) 13．两个半径别离为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如下图，那么AM →·AB →＋AN →·AM →＝________.解析 依照向量的数量积运算求解．连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，那么C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB →＝|AB →||AM →|cos ∠MAC ＝|AB →|·|AC →|＝12|AB →|2＝92，同理AN →·AB →＝|AB →||AN →|·cos∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM →·AB →＋AN →·AM →＝9. 答案 914．已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x －a |＋a 22，当x ∈[0，ln 3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，那么a ＝________.解析 因为f ′(x )＝－ln x －1＋a ≥0在(0，e)上恒成立，因此a ≥(ln x ＋1)max ＝2. 又x ∈[0，ln 3]时，e x ∈[1,3]，因此当a ∈(3，＋∞)时，g (x )＝a －e x ＋a 22递减，现在M －m ＝a －1＋a 22－⎝⎛⎭⎪⎫a －3＋a 22＝2，不适合，舍去；当a ∈[2，3]时， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －e x ＋a 22，0≤x ≤ln a ，e x －a ＋a 22，ln a ＜x ≤ln 3，现在m ＝a 22， M max ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1＋a 22，3－a ＋a 22＝a －1＋a 22， 因此a －1＋a 22－a 22＝a －1＝32，解得a ＝52. 答案 52。

填空题押题练F 组1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，那么集合A ∩∁U B ＝________.解析 ∁U B ＝{x |x ≤1}，A ＝{x |0＜x ＜2}，故A ∩∁U B ＝{x |0＜x ≤1}． 答案 {x |0＜x ≤1}2．复数(1＋2i)2的共轭复数是________．解析 (1＋2i)2＝1＋4i －4＝－3＋4i ，其共轭复数为－3－4i. 答案 －3－4i3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，那么a 1＝________.解析 利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，那么a 3·a 9＝2a 25⇒a 23·q 6＝2(a 3q 2)2⇒q ＝2，又a 2＝1，因此a 1＝22.答案224．设变量x ，y 知足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－12x －y ≤3，，那么目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．解析 不等式组对应的可行域如图，由图可知，当目标函数通过图中点(2,1)时取得最小值7. 答案 75．以下结论错误的选项是________．①命题“假设p ，那么q ”与命题“假设綈q ，那么綈p ”互为逆否命题； ②命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，那么p ∨q 为真； ③“假设am 2＜bm 2，那么a ＜b ”的逆命题为真命题； ④若p ∨q 为假命题，那么p 、q 均为假命题．解析 依照四种命题的组成规律，选项①中的结论是正确的；选项②中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项②中的结论正确；当m ＝0时，a ＜b ⇒am 2＝bm 2，应选项③中的结论不正确；选项④中的结论正确． 答案 ③6．从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，那么这10人成绩的方差为________.解析 x ＝110(5×3＋4×1＋3×1＋2×3＋1×2)＝3，再依照方差公式 s 2＝1n∑ni ＝1(x i －x )2代入数据， s 2＝110[3×(5－3)2＋(4－3)2＋(3－3)2＋3×(2－3)2＋2×(1－3)2]计算得方差为125. 答案1257．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下图，M 、N 别离是最高、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，那么函数f (x )的最小正周期是________．解析 由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N (x N ，－1)，因此OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，因此函数f (x )的最小正周期是2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3.答案 38．锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝4，b ＝5，△ABC 的面积为53，那么C ＝________，sin A ＝________.解析 由三角形面积公式能够求出sin C ，取得锐角∠C 的值，借助余弦定理求出c 边，最后利用正弦定理求sin A ．由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又∠C 为锐角三角形的内角，因此C ＝60°.在△ABC中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝21，即c ＝21.再在△ABC 中，由余弦定理得sin A ＝a sin C c＝4×3221＝277. 答案 212779．已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次掏出三个数a ，b ，c ，那么“以a ，b ，c 为边恰好组成三角形”的概率是________．解析 “在A 中可重复的依次掏出三个数a ，b ，c ”的大体事件总数为23＝8，事件“以a ，b ，c 为边不能组成三角形”别离为(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，因此P ＝1－38＝58.答案 5810．以下图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝________.解析 当a ＝5，P ＝25＞24，S ＝25；a ＝6，P ＝24＜25，输出的S ＝25. 答案 2511．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右核心，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，那么cos ∠F 1PF 2＝________.解析 双曲线的方程为x 22－y 22＝1，因此a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝|2PF 2|，因此点P 在双曲线的右支上，那么有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，因此解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，因此依照余弦定理得cos ∠ F 1PF 2＝222＋422－142×22×42＝34. 答案 3412．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x ≤0，f x －1＋1，x ＞0，f (x )＝x 的根从小到大组成数列{a n }，那么a 2 012＝________.解析 利用函数图象得数列通项公式，再求第2 012项．作出函数f (x )的图象如图，由图象可知方程f (x )＝x 的根依次是0,1,2,3，…，因此a n ＝n －1，故a 2012＝2 012－1＝2 011.答案 2 01113．已知函数f (x )是概念在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，假设a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 4116f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4116，那么a ，b ，c 的大小关系是________．解析 由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，那么g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ⎝⎛⎭⎪⎫log 4116＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，因此c ＞a ＞b .答案 c ＞a ＞b14．如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2别离是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，假设向量OP →＝x e 1＋y e 2，那么将有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在座标系xOy 中的坐标． (1)假设OP →＝3e 1＋2e 2，那么|OP →|＝________；(2)在座标系xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为________． 解析 由题意可得e 1·e 2＝cos 120°＝－12.(1)|OP →|＝ 3e 1＋2e 22＝9＋4－6＝7；(2)设圆O 上任意一点Q (x ，y )，那么OQ →＝x e 1＋y e 2，|OQ→|＝1，即x 2＋2xy ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋y 2＝1，故所求圆的方程为x 2－xy ＋y 2－1＝0. 答案 (1)7 (2)x 2－xy ＋y 2－1＝0。