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OA ECD B 中考二轮复习之证明两角相等的方法【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： 〔1〕对顶角相等；〔2〕等角的余角〔或补角〕相等；〔3〕两直线平行，同位角相等、错角相等； 〔4〕凡直角都相等；〔5〕角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形〔1〕等腰三角形的两个底角相等；〔2〕等腰三角形底边上的高〔或中线〕平分顶角〔三线合一〕； 〔3〕三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的角之和 〔4〕全等三角形的对应角相等； 〔5〕相似三角形的对应角相等. 3、四边形〔1〕平行四边形的对角相等；〔2〕菱形的每一条对角线平分一组对角； 〔3〕等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆〔1〕在同圆或等圆中，假设有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等； 〔2〕在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.〔3〕圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 〔4〕圆接四边形的性质：圆接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的对角. 〔5〕三角形的心的性质：三角形的心与角顶点的连线平分这个角. 〔6〕正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.〔7〕从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】〔一〕 利用全等相关知识证明角相等例1 ：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠．例2 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是四边形一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 求证：∠EBC ＝∠EDC例3如图，四边形ABCD 中AC=BD ，CD ∥BA ，四边形AEBC 是平行四边形．求证：∠ABD ＝∠ABE ．〔二〕利用平行、三角形的角和、外角关系证明角之间的关系 例4．：△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE ，G 是垂足， 求证：⑴G 是CE 的中点；⑵∠B=2∠BCE.例5 如图，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，与线段AB 把平面分成①、②、③、④四个局部，规定：线上各点不属于任何局部．当动点P 落在某个局部时，连结PA PB ，，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角．〔提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．〕〔1〕当动点P 落在第①局部时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；〔2〕当动点P 落在第②局部时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立〔直接回答成立或不成立〕？〔3〕当动点P 在第③局部时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．〔三〕利用四边形的相关知识证明角的有关问题例6：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，以点E 为圆心，EB 为半径画弧，交BC 于点D ，连结ED ，并延长ED 到点F ，使，连结FC ．求证：∠F ＝∠A ．A B C D①②③A B C D P ① ② ③ ④ A B C D ① ② ③ ④ ④〔四〕利用圆的相关知识例7如图，BC 是直径，AB AG =，AD ⊥BC.求证：〔1〕∠EAF=∠AFE 〔2〕BE=AE=EF例8 ：如图，AD 为锐角△ABC 外接圆的直径，AE ⊥BC 于E ，交⊙O 于F 。
利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法
证明线段相等在几何题目中经常出现。
其中，利用三角形相关知识（包括内角和定理、余弦定理、正弦定理等）证明线段相等是常用的证明方法。
下面将详细介绍这些方法。
一、内角和定理法：
内角和定理是指三角形中所有内角之和为180度。
这一定理可以用于证明线段相等。
例如，若要证明线段AB与CD相等，可以先作AB和CD的连线，构成三角形ABC和三
角形CBD。
通过内角和定理可以得出∠ACB和∠CDB的和为180度。
若又已知∠ABC和∠CBD 的和为180度，那么两个三角形中剩下的角必然相等。
因此可以得出线段AB与CD相等的
结论。
二、余弦定理法：
余弦定理是指在一个三角形中，若其中一边为c，而其余两边为a和b，那么三角形的任意一个角度所对应的角度的余弦值可以通过以下公式计算：
cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab
如果要证明线段AB与CD相等，可以根据余弦定理计算出三角形ABC和三角形DCB中
所对应的角的余弦值。
因为两个三角形中有一个角相等，所以它们所对应的角的余弦值也
相等。
这样可以得出三角形ABC中AB的长度与三角形DCB中DC的长度相等的结论。
sinC = c / (2R)
其中，R为三角形的外接圆半径。
以上就是利用三角形相关知识证明线段相等的常用方法。
不同的证明方法适用于不同
的情况，而且证明方法并不局限于以上三种方法。
所以在实际应用中，需要根据具体问题
来选择合适的证明方法。
CE O D B A 21C ED B A 2143C O B A GA B F D EC三角形全等的证明专题线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案． 例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ， 还需添加的条件是（只需填一个）_____．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图3，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO ，要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等， 一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º， AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．O DA CB FC ED B A A O Q MC P B N C ED B A （5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． （注意书写格式和书写过程，一定要严谨！）图6评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了学生用数学的意识﹒练习1．已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ．求证：AE=CE ．2．如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ， 再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC平分∠AOB ．你能说明道理吗？A D C PB H F EG AD C B A OD C B A F C G BE AF D C BE A D C B 4．如图，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．7．如图，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．8．如图14，直线AD 与BC 相交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ．求证：CO=DO ．9．已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG=GF ．10．已知：如图16，AB=AE ，BC=ED ，点F 是CD 的中点，AF ⊥CD ．求证：∠B=∠E ．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）﹒(A )带①和②去 (B )带①去 (C )带②去 (D )带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．。
如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。
在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。
下面将详细介绍一些常用的证明方法。
一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。
如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。
2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。
如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。
3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。
4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。
5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。
二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。
如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。
3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。
4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。
此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。
总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。
只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
证明线段相等的方法常用的9种方法线段相等是几何学中的基本概念之一，它是指两条线段的长度相等。
在几何学中，我们常常需要证明两条线段相等，这时我们可以使用以下9种方法来证明。
1. 利用勾股定理：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么它们的斜边也相等。
因此，如果我们能够证明两条线段是直角三角形的两条直角边，那么它们的长度就相等了。
2. 利用等腰三角形的性质：如果两条线段分别是等腰三角形的两条等边，那么它们的长度也相等。
3. 利用相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应边长成比例。
因此，如果我们能够证明两条线段是相似三角形的对应边，那么它们的长度也相等。
4. 利用平移的性质：如果我们能够将一条线段平移至另一条线段上，使得它们的起点和终点重合，那么这两条线段的长度就相等了。
5. 利用旋转的性质：如果我们能够将一条线段绕着一个点旋转，使得它与另一条线段重合，那么这两条线段的长度也相等了。
6. 利用反证法：假设两条线段长度不相等，那么它们之间必然存在一个距离。
我们可以通过构造一个三角形来证明这个距离是不存在的，从而推出两条线段的长度相等。
7. 利用重心的性质：如果两条线段分别是一个三角形的两条边，且这个三角形的重心恰好在这两条线段的中点，那么这两条线段的长度也相等了。
8. 利用垂线的性质：如果两条线段分别是一个直角三角形的两条直角边，且它们的中点连成一条线段与直角边垂直相交，那么这两条线段的长度也相等了。
9. 利用向量的性质：如果我们能够将两条线段表示成向量的形式，那么它们的长度相等当且仅当它们的向量相等。
证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法来证明。
在实际应用中，我们需要根据题目的要求和条件来选择最合适的方法，以便更快更准确地得出结论。
复习证明线段相等的方法在几何学中，证明线段相等的方法有多种。
下面将介绍几种常用的证明线段相等的方法。
一、等长线段的定义当两条线段的长度相等时，我们称它们为等长线段。
根据等长线段的定义，我们可以证明两个线段相等的方法是通过测量它们的长度，如果测得的长度相等，那么可以得出两个线段相等的结论。
二、尺规作图法尺规作图法是一种利用直尺和圆规绘制几何图形的方法。
当我们需要证明两个线段相等时，可以借助尺规作图的方法来进行证明。
例如，你需要证明线段AB与线段CD相等。
首先，在直线上选择两个不重叠的点A和C，然后以A和CD为半径，用圆规在直线上分别画弧交于点B和D。
接着，以B为圆心，BC为半径，用圆规画弧与原来的弧相交于点E。
最后，连接DE。
如果线段DE与线段AB相等，那么就可以得出线段AB与线段CD相等的结论。
三、剪切法剪切法是证明线段相等的一种简便方法，它利用了几何图形的对称性质。
具体方法如下：将需要证明相等的线段剪下来，并保持其中一端固定。
然后，将剪下的线段旋转或翻转，使其与另一条线段重合。
如果两条线段完全重合，那么就可以得出它们相等的结论。
四、用已知线段构造假设我们已经知道线段AB与线段CD相等，现在需要证明线段EF与线段AB相等。
可以使用用已知线段构造的方法进行证明。
首先，选择一个点X，使得线段EX与线段AB重合。
然后，以X为中心，以EF的长度为半径，使用圆规画弧。
与EF线段交于点Y。
连接FY，如果FY与CD重合，那么就可以得出EF与AB相等的结论。
五、利用等式或比例关系有时，我们可以通过等式或比例关系来证明线段相等。
例如，已知线段AB与线段CD相等，且线段CD的长度为5个单位。
现在需要证明线段EF与线段AB相等。
假设线段EF的长度为X个单位。
则可以得到以下等式：X=5六、重心重合定理重心重合定理是用来证明线段重心重合的方法。
在三角形ABC中，如果线段AD与线段BE所在的中线重合，那么可以得出线段AD与线段BE相等的结论。
【一题多解】全等三角形全等三角形一、证明线段相等的方法：方法1：证全等，得对应边相等；方法2：垂直平分线上得点到线段两端距离相等；方法3：证对角线和垂直，得对角线上得点到两边距离相等；方法4：等角对等边；方法5：等面积法；例题11．已知三角形ABC中，AB＝AC，延长CB到点D，延长BC到点E，使得BD＝CE，求证AD＝AE．例题22．已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE，DF分别垂直于AB，AC，求证BE＝FC3．已知△ABC中，AD是∠A的平分线，D为BC边上的中点，证明AB＝AC变式4．如图，在▱ABCD中，点B关于AD的对称点为B′，连接AB′，CB′，CB′交AD于点F．求证：F为CB′的中点．二、以角平分线为背景证明线段相等的两种辅助线技巧，构造轴对称1.截取线段相等构造全等；2.作垂直构造全等；例题35．在三角形ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：OE＝OD三、证明线段之间数量关系的：1、倍长中线法2、截长补短法，求证剩余部分与第三条线段之间的数量关系．3、当出现等线段共端点时，考虑构造旋转全等或见45°可以构造等腰直角三角形进行线段转化．4、对称法例题46．如图，已知在△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到点D，使BD=AB．求证：CD=2CE．例题57．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD四、证明角相等或者求解角度计算1、截长补短法2、直角三角形全等得到角相等2、利用等线段共端点用旋转构造全等例题68．如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD=CD．2求证：∠A+∠C=180°．。
初中阶段证明线段相等的方法证明线段相等的方法可以根据具体情况采用不同的方法，主要包括以下几种常见的证明方法：一、等长法：1.直接用尺量法：使用尺量工具（如直尺、量角器等），将两条线段分别放在尺上进行测量，若两条线段的长度完全一致，则可以证明它们相等。
2.利用等长线段：若已知两条线段AB和CD相等，目标要证明两条线段EF和AB相等，可以寻找一个等长线段，如BC等于EF，然后利用等长线段具有传递性，即AB=CD，CD=BC，从而得出EF=BC=CD=AB。
3.利用配准法：将两条线段平行摆放，保持它们的位置不变，然后通过调整另外一个参照物，使其完全重合，这样就证明了它们的长度相等。
4.用折叠法：将一条线段对折，使两端的点重合，然后将另一条线段沿着对折的线段展开，如果两条线段能够完全重合，那么它们就相等。
二、搭建正方形法：1.通过构建正方形来证明线段相等。
如果已知两条线段AB和CD相等，并且它们都是正方形的一条边长，那么可以利用正方形的对角线相等来证明EF和AB相等。
2.构造对原线段的垂直平分线，将线段分成两等分，然后用等边三角形法或者利用等分线段法证明线段相等。
三、利用连线的性质：1.利用三角形边关系：已知两个点A、B和C，若AB=AC，则证明线段BC和AB相等；2.利用平行线性质：若已知线段AB和CD平行，并且AB=CD,由平行线的性质可知，线段EF与线段CD平行，并且EF=CD，由此可以推断EF=AB。
3.利用等角性质：若已知两个等角∠A和∠B，同时已知线段OA=OB,则可以证明线段AB和OA相等。
四、利用条件与性质：1.利用等腰三角形性质：如果已知等腰三角形的两条底边相等，则可以利用等边三角形的性质，证明三角形的其他边也相等。
2.利用圆的性质：如两个线段的长度分别与圆心角相等的两条弧相等，则可以推断这两个线段的长度也相等。
五、利用勾股定理：1.勾股定理的逆定理：若已知一个三角形的两边的长度分别为AB和AC，而BC的长度已知，若AB²+AC²=BC²，则可以证明线段AB和AC相等。
专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一)一、教学目标：知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法.过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力.情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展.二、教学重点：掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法.教学难点：分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法.三、教学用具：三角板、学案等四、教学过程：（一）引入：相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中.（二）例题：例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE .分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等．证明：∵AB=AC∴∠B=∠C．图1在△BDF 和△CED 中，点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方法．例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，CD AB ⊥于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC.分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证.证明：∵FE AC ⊥于点90E ACB ∠=，°，∴90FEC ACB ∠=∠=°， 易证A F ∠=∠． ∴ABC △FCE △. ∴AB FC =．点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ．分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就,,,...BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=∴∠=∠C图1图C 图1-1（如图1)（如图2）ACB（如图3）CB可构成边角边对应相等的ABE △与ACD △全等，从而可证全等三角形的对应角相等．证明：ABC Q △与AED △均为等腰直角三角形,AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=o．易证BAE CAD ∠=∠.ABE ACD∴△≌△．∴∠ABE=∠ACD．点拨：由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形；证夹角相等时常用等角加同角的和相等．此题可以拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等．例4点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．（1）如图1，若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆ 是 三角形．（2）如图1-2，在ABE ∆和BCF ∆中，若BA=BE,BC=BF,且α=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆是 三角形，且=∠MBN .（3）如图1-3，若将（2）中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.分析：（1）判断三角形形状时，三角形一般是特殊三角形，由已知易知BN EC AF BM ===2121，又可证得∠MBN=90°，所以△MBN 为等腰直角三角形．（2）图形中是两个等腰三角形以公共顶点为中心旋转而成，则一个等腰三角形取一腰，构成两个边角边全等三角形． 解：（1）等腰直角 （2）等腰 α （3）结论仍然成立证明：如图1-3，易证△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE ，∠AFB=∠ECB. ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB. ∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC.∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α.点拨：在图形形状发生变化时，抓住影响结论的主要条件是否变化，如果没有变，则结论不变；如主要条件变，则结论变．在证明此类问题时，图形变化后的证明思想或证明方法，常可由特殊（变化前）的证法类比得到．（三） 练习：1． 如图1，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．2．如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGFAC BDPQ图1图1的边CE 上，连接BE 、DG ．(1)求证：BE ＝DG ；(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．3.如图1，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ；(2) OB ＝OE .4. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系试证明你的猜想5．如图1-1，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点为射线上一点，连结，以为一边且在的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB AC =，90BAC =o ∠，①当点在线段上时（与点不重合），如图1-2，线段CF BD 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF BD 、的数量关系为 ；②当点在线段的延长线上时，如图1-3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点在线段上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点C F 、不重合），并说明理由．DE图1Q PDCBA图（四） 总结：通过本节课的学习，使学生在对例题、习题分析、证明、总结反思的过程中，体验根据线段和角的位置关系证明角等和线段相等的方法，即当两角或两边在一个三角形中时，利用等边对等角或等角对等边，当两角或两边在两个三角形中时证明他们所在的两个三角形全等；体验由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形．通过练习拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等，结论仍然成立．老师在用时可将例习题变为学案使用，也可根据自己的习惯和学生情况增减习题使用．教案设计程序简单，易于使用者直接使用或改变．欢迎提宝贵意见！谢谢！ （五） 反思：本节课例习题编排按照由易到难、有简单到复杂的顺序，符合学生的认知规律，学生通过课上的体验、总结、交流再通过练习进行巩固，希望达到教学目标．附练习参考答案：1． 证明：(1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC =∠BCD =90°．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形， ∴ ∠PBC =∠PCB =∠QCD =60°， ∴ ∠PBA =∠ABC －∠PBC =30°，∠PCD = ∠BCD －∠PCB =30°．图CAC BDPQ图1F EDCB A图∴ ∠PCQ =∠QCD －∠PCD =30°． ∴ ∠PBA =∠PCQ =30°．（2） ∵ AB =DC =QC ，∠PBA =∠PCQ ，PB =PC ，∴ △PAB ≌△PQC ，∴ PA =PQ ．2．（1）证明：如图1，∵正方形ABCD 和正方形ECGF ,90BC CD CE CG BCE DCG ∴==∠=∠=，，°． 在BCE △和DCG △中，BC CDBCE DCG CE CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)BCE DCG ∴△≌△． BE DG ∴=．（2）存在．BCE △绕点顺时针旋转得到DCG △（或将DCG △逆时针旋转得到BCE △）3．证明： (1) 如图1，∵∠BAD ＝∠EAC ， ∴∠BAC=∠EAD ．在△ABC 和△AED 中AB AEBAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△AED(SAS) ．(2)由(1)知∠ABC=∠AED ． ∵AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ．∴∠OBE=∠OEB ．∴OB=OE ．4．解： PQ =PB证明： 过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，图1E图1N MQ PDC BA∴AM =PM ． 又∵AB =MN ， ∴MB=PN ． ∵∠BPQ =900 ，∴∠BPM ＋∠NPQ =900 ． 又∵∠MBP ＋∠BPM =900 ， ∴∠MBP = ∠N PQ ． ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ． ∴PB =PQ ． 5．（1）①垂直，相等；②如图1-2，当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90o ．∵∠BAC ＝90o ，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠FAC ， 又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ． ∵∠BAC ＝90o ， AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝45o ，∴∠ACF ＝45o ， ∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90o ． 即 CF ⊥BD .（2）如图1-2，当∠ACB ＝45o 时，CF ⊥BD ．理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，则∠GAC ＝90o ，∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°， ∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上， 由（1）①可知CF ⊥BD .GBDEFA图。
