平面几何中线段相等的几种证明方法及平面几何习题大全

平面几何的证明方法平面几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面内的点、线、面及其相互关系。

在解决平面几何问题时，证明是一个关键步骤。

本文将介绍一些常用的平面几何证明方法，并说明它们的应用场景。

一、直接证明法直接证明法是一种常用的证明方法，即通过逐步推导和陈述使命题成立。

这种方法依赖于已知条件和平面几何定理，逻辑严谨、思路清晰。

例如，当要证明某两条线段相等时，可以通过给出这两条线段的定义，然后根据它们的属性，逐步推导得出结论。

二、间接证明法间接证明法是通过否定反证法来证明结论。

假设原命题不成立，然后逐步推导，得出矛盾，从而推出原命题成立。

这种方法常用于证明无理数、无法被二分等问题。

例如，当要证明某条直线平分了一个角时，可以假设这条直线没有平分该角，然后通过逻辑推导得出矛盾，证明了该直线实际上是平分了这个角。

三、反证法反证法是通过假设结论不成立，然后推出矛盾，证明原结论的一个方法。

这种方法常用于证明唯一性问题。

例如，当要证明两个圆只有一个公共切点时，可以先假设它们有两个或更多个公共切点，然后通过推导得出矛盾，从而证明了原结论。

四、归纳法归纳法适用于一系列问题的证明。

首先证明基本情况成立，然后假设某个特定的情况成立，通过归纳法推导得出所有情况都成立。

这种方法常用于证明几何图形的性质。

例如，当要证明一个多边形的内角和公式时，可以通过归纳法证明三角形和四边形的情况，然后推广到所有多边形。

五、共线法共线法是通过证明多个点共线来证明结论的方法。

在平面几何中，当需要证明某些点共线时，可以利用已知条件中的共线关系，或者通过构造辅助线，从而达到共线的目的。

例如，当要证明一个四边形的对角线交于一点时，可以通过构造这两条对角线，然后利用平行线的性质证明它们的交点存在。

六、相似性法相似性法是通过画出几何图形的相似部分来证明结论的方法。

当需要证明两个三角形相似时，可以通过观察它们的角度和边长关系，利用相似三角形的性质得出结论。

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。

这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。

在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。

同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。

这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。

考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。

为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。

同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。

考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

1.研究证明角平分在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。

2.研究证明四点共圆在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。

这个问题也是几何学中的基础问题之一。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。

3.研究证明角的倍数关系在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。

这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

4.证明线与圆相切在这一部分中，我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。

5.证明垂直在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。

八年级数学如何解决复杂的平面几何问题在八年级数学学习中，平面几何是一个重要的内容，涉及到各种几何图形的性质、相似与全等、平行与垂直等知识点。

当面临复杂的平面几何问题时，我们可以采用一些有效的方法和技巧来解决。

本文将介绍一些解决复杂平面几何问题的技巧和方法。

方法一：分析题目首先，我们需要仔细分析题目，理清楚问题的要求。

有时候问题可能会给出一些已知条件，而我们需要推导出一些其他的结论。

这就要求我们对图形的性质和定理有一定的了解。

例如，如果题目给出了一个等边三角形ABC，要求证明三角形ABC的内角都是60°。

我们可以通过分析等边三角形的性质得知，等边三角形的三条边相等，三个内角也都相等且等于60°。

通过这种分析，我们可以快速得出结论。

方法二：应用几何定理在解决复杂的平面几何问题时，我们需要运用一些几何定理和性质。

例如，分析题目中涉及的几何图形的性质，如直角三角形的勾股定理、相似三角形的比例关系等。

这些定理和性质是解决问题的基础，熟练掌握它们对于解决问题至关重要。

在运用定理时，我们要确保条件满足，然后应用相应的定理进行推导。

方法三：引入辅助构造有时候，为了解决问题，我们可以引入一些辅助构造。

通过添加线段、点等，构造出与原问题有一定联系的图形，以便更好地分析和解决问题。

例如，在证明两个三角形全等时，如果给定两个对应的边相等，我们可以通过添加一个公共点，使用辅助线段来构造两个等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质推导出所需的结论。

方法四：运用数学推理数学推理是解决问题的重要手段之一。

通过利用几何图形的性质和定理，我们可以进行严密的推理和证明。

例如，利用线段延长或平移，我们可以得到一些等角关系，运用角的性质来推导问题。

在应用数学推理时，我们要思考如何从已知条件出发，逐步推导出所需的结论。

同时，在推理过程中要注意提炼关键信息，排除无效的步骤，确保推理的严谨性。

方法五：多加练习练习是提高解决复杂平面几何问题能力的关键。

初三数学空间几何认识一、平面几何1.点、线、面的基本概念2.直线、射线、线段的概念及性质3.平面、直线、线段之间的位置关系4.平行线、相交线的性质5.三角形、四边形、五边形、多边形的基本概念及性质6.矩形、菱形、正方形、梯形的性质7.圆的基本概念及性质8.圆周率、直径、半径、弧、弦、圆心角的关系9.相交线、平行线与圆的关系10.三角形的不等式二、立体几何1.空间几何体的概念及分类2.球、正方体、长方体、圆柱、圆锥的性质3.面、棱、顶点的概念及关系4.多面体的概念及分类5.平面与立体几何体的位置关系6.直线与立体几何体的位置关系7.点、线、面在立体几何中的位置关系8.立体几何中的角、边、面的度量9.立体几何中的体积、表面积计算10.立体几何中的平行公理及推论三、几何变换1.变换的概念及分类2.平移、旋转的性质及几何变换3.相似变换、位似变换的性质及几何变换4.坐标与几何变换5.函数与几何变换6.几何变换在实际问题中的应用四、几何证明1.证明的概念及方法2.直接证明、反证法、归纳证明、综合法、分析法3.三角形、四边形、圆等常见几何图形的证明方法4.相似三角形的性质及证明5.中位线、平行线、相交线等几何性质的证明6.几何图形的对称性及证明7.几何图形的旋转及证明五、几何问题解决1.几何问题的类型及解决方法2.比例问题、面积问题、体积问题、角度问题等3.几何构造问题、几何计数问题、几何最值问题等4.几何问题中的函数与方程思想5.几何问题中的数形结合思想6.几何问题中的转化与化归思想7.几何问题中的逻辑推理与证明思想六、数学思想与方法1.数形结合思想2.转化与化归思想3.函数与方程思想4.分类与整合思想5.归纳与演绎思想6.模型思想与数学建模7.合情推理与演绎推理以上是初三数学空间几何认识的知识点概述，希望对您有所帮助。

在学习过程中，要注意理论联系实际，培养空间想象能力和逻辑思维能力。

习题及方法：一、平面几何习题1.习题一：已知直线AB和CD互相平行，AB // CD，点E位于直线AB上，点F位于直线CD上。

人教版数学八年级竞赛教程之如何做几何证明题附答案如何做几何证明题几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。

几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

为了解决几何问题，我们需要掌握常用的分析和证明方法。

其中，综合法是一种从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决的方法。

分析法则是从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止。

两头凑法则是将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

掌握构造基本图形的方法也是解决几何问题的关键。

复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

其中，证明线段相等或角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

举个例子，已知如图1所示，$\triangle ABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=BC$，$AD=DB$，$AE=CF$。

求证：$DE=DF$。

分析：由$\triangle ABC$是等腰直角三角形可知，$\angleA=\angle B=45^\circ$，由$D$是$AB$中点，可考虑连结$CD$，易得$CD=AD$，$\angle DCF=45^\circ$。

从而不难发现XXX。

证明：连结$CD$，可得$AC=BC$，$\angle A=\angle B$，$\angle ACB=90^\circ$，$AD=DB$，$CD=BD=AD$，$\angle DCB=\angle B=\angle A$，$AE=CF$，$\angle A=\angle DCB$，$AD=CD$。

证明线段相等的方法线段相等是平面几何中一个非常基础的概念，也是很多证明题中常见的一个步骤。

在数学学习中，我们经常会遇到需要证明两条线段相等的问题，那么我们应该如何进行证明呢？下面我将介绍几种常见的证明线段相等的方法。

一、利用线段的定义证明。

首先，我们需要了解线段的定义，线段是由两点之间的所有点构成的集合。

因此，要证明两条线段相等，只需要证明它们的长度相等即可。

例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以利用尺规作图工具，将线段AB与线段CD分别画在同一张纸上，然后利用尺子测量它们的长度，若它们的长度相等，则可以得出线段AB与线段CD相等的结论。

二、利用线段的性质证明。

除了利用线段的定义进行证明外，我们还可以利用线段的性质来证明线段相等。

常见的线段性质有垂直平分线段、等分线段等。

例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以先作出线段AB的垂直平分线，并延长至与线段CD相交于点E，然后利用垂直平分线的性质证明AE=EB，CE=ED，从而得出线段AB与线段CD相等的结论。

三、利用其他几何图形证明。

在实际问题中，我们有时也可以利用其他几何图形来证明线段相等。

例如，若要证明线段AB与线段CD相等，我们可以构造一个与线段AB和线段CD相关的几何图形，通过对这个几何图形进行分析，得出线段AB与线段CD相等的结论。

总结。

通过以上介绍，我们可以看出，证明线段相等的方法有很多种，我们可以根据具体的题目情况选择合适的方法进行证明。

在实际操作中，我们需要灵活运用线段的定义和性质，结合几何图形进行分析，从而得出线段相等的结论。

在数学学习中，证明线段相等是一个基础而重要的问题，希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

同时，也希望大家在学习数学的过程中能够多加练习，提高自己的证明能力，为今后的学习打下坚实的基础。

平面几何中的垂线性质与证明在平面几何中，垂线是一种特殊的线段，它与所相交的线段成直角。

垂线的性质及其相关的证明是理解和运用平面几何的基础知识。

本文将深入探讨垂线的性质，并给出相应的证明。

一、垂线的定义和基本性质：在平面几何中，我们定义垂线为与所相交的线段成直角的线段。

下面是几个垂线的基本性质：1. 垂线的长度相等性质：如果两条垂线分别与两条平行线段相交，则两个垂线的长度相等。

证明如下：(在这里，请根据自己的题目需求思考该性质是否适用，如果不适用，请自行调整性质及其证明的内容。

以下仅为示例)假设有两条平行线段AB和CD，垂线分别为AE和CF。

我们需要证明AE和CF的长度相等。

首先，连接AC和BF两条线段，根据平行线与横切线的性质可知∠AEC = ∠CFB（对应角相等）和∠CAE = ∠CBF（内错角相等）。

由此可得三角形ACF和BCD相似。

进一步，根据相似三角形的性质，我们可以得出AE/CF = AC/BC。

因为AC = BC（平行线段的性质），所以AE = CF，即垂线AE和CF的长度相等，证毕。

2. 垂线的唯一性性质：通过一个点在直线上作垂线，得到的垂线是唯一的。

证明如下： (在这里，请根据自己的题目需求思考该性质是否适用，如果不适用，请自行调整性质及其证明的内容。

以下仅为示例)假设有一条直线AB和一点C在直线上，我们需要证明通过点C作直线AB的垂线唯一。

假设存在另一条直线CD与直线AB垂直，且与直线AB相交于E 点。

由于CD与AB垂直，所以∠CDE = 90°。

又因为CD与AB平行（同一直线上的垂线平行），所以∠CDE = ∠BCA（内错角相等）。

由于∠CDE和∠BCA都等于90°，所以∠BCA = 90°。

这意味着直线AB和BC之间的夹角为90°，根据垂线的定义，BC是AB的垂线。

由于AB和CD共有一点C，所以根据直线的性质，两条直线BC和CD必然重合，即垂线是唯一的。

数学篇学思导引在平面几何中，证明两条线段相等是一种常见的问题，其证明方法非常多，其中利用全等三角形对应边相等是证明线段相等的主要方法.但有些题目所给的图中没有现成的全等三角形，这就需要通过添加辅助线去构造全等三角形，再利用全等三角形的性质，找到解题的突破口.一、通过旋转构造全等三角形旋转前后，图形中的对应角的大小、线段的长短、面积的大小均不变.当三角形或正方形绕着图形的某个顶点顺时针（或逆时针）旋转一定角度以后，旋转前后的图形是全等的，其对应边及对应角是相等的.此外，旋转不同的角度（比如30°、45°、60°、90°等）还可以构造出新的图形（比如等边三角形、直角三角形等）、得到新的位置关系（垂直或平行），然后依据旋转后构造的条件即可顺利解题.例1如图1，四边形ABCD为正方形，DE//AC，AE=AC，AE与CD相交与F.求证：CE=CF.图1图1-1分析：此题ABCD是正方形，具有对称性，可以利用旋转图形来构造全等三角形.将△ADC旋转至△ABG处，可得到△ADC≌△ABG.然后再通过计算角度∠ABG和∠ABD，证得B、D、G三点共线.然后再利用BD是对角线，具有对称性，求得△ABG≌△CBG.从而证得△ADC≌△ABG≌△CBG，进而证明三角形ACG为等边三角形.再计算出相关角的大小，得出∠AEC=∠EFC=75°最后证明CE=CF.解：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接CG，如图1-1.∵旋转前后的两个三角形全等，∴∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°又∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=45°，∴∠ABG+∠ABD=135°+45°=180°，B、G、D共线，∴DG是∠AGC的角平分线，∴△AGB≌△CGB.∴AG=CG又∵△ADE≌△ABG，∴AG=AE，又∵AE=AC，∴AE=AG=AC=GC，∴△AGC为等边三角形，∴∠AGB=30°，∴∠DAE=∠BAG=∠ABD-∠AGB=45°-30°=15°，∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=45°-15°=30°，又∵AE=AC，∴∠AEC=（180°-30°）÷2=75°，又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，如何构造全等三角形证明线段相等江苏省盐城景山中学孔佩佩28数学篇∴∠AEC =∠EFC ，∴△CEF 为等腰三角形，∴CE =CF .评注：此题图形比较简单，但等量线段、全等三角形较少，直接解答比较困难，可考虑旋转三角形来构造全等三角形，创造等量关系.将△ADE 旋转到△ABG 后，利用正方形的对称性证明G 、B 、H 、D 四点共线，然后利用等量关系证明△AGC 为等边三角形，进而证明△CEF 为等腰三角形，完成证明.二、通过补形构造全等三角形许多几何问题常因图形复杂、不规则而给解题带来困难，这时可以考虑利用补形的方法构造特殊图形，通过证明三角形全等来求解.具体的步骤如下：第一，作垂线或平行线，构造正方形、长方形或特殊三角形；第二，找等量关系，从补形后的整体图形中找全等三角形确定边角的等量关系，或找相似三角形得到比例关系；第三，通过计算得到新的等量关系证明线段相等.例2设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任意一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE .求证：PA =PF.图2图2-1分析：题中CF 与PF 构成的图形不完整，可以将其补全，经过分析发现补全后的图形是正方形，可以得到很多相等的线段，并求出一些角的度数.但题中的点P 是一个不确定的点，直接求解较难.不妨将图形问题转化为“数与式”的问题来解.设|AB |=a ，|BP |=b ，|CE |=c ，然后通过Rt△ABP ∽Rt△PEF 来求解出a 、b 、c 之间的关系.最后再分析出PA 与PF 之间的关系.解：过F 作FG ⊥CD 交CD 于G ，过F 作FE ⊥BC 交BC 于E ，如图2-1所示.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCE =90°，又∵CF 平分∠DCE ，∴四边形CEFG 是正方形，∴EF =CE ，设|AB |=a ，|BP |=b ，|CE |=c ，则|PC |=a -b ，|EF |=|CE |=c ，在Rt△ABP 中，tan∠BAP =BP AB =b a，在Rt△PEF 中，tan∠EPF =EF PE，∵PE =PC +CE =(BC -BP )+CE =(a -b )+c =a -b +c ，∴tan∠EPF =EF PE =c a -b +c，∵PF ⊥AP ，∴∠APF =90°，∴△BAP ∽△EPF ，∴∠BAP =∠EPF ，∴tan∠BAP =tan∠EPF ，即b a =c a -b +c，∴ac =ab -b 2+bc ，整理得c (a -b )=b (a -b )，∴c =b ，∴BP =CE =EF ，又∵△BAP ∽△EPF ，∴△BAP ≌△EPF ，∴PA =PF ，评注：本题通过补全图形的方法将不规则的图形放入两个正方形中，由于P 点为任意一点，构造△ABP ∽△PEF ，得到BP 与EF的比例关系.再结合CF 是对角线，将△ABP ∽△PEF 转化为△ABP ≌△PEF ，从而证明结论.证明线段相等的方法多种多样，构造全等三角形的方法灵活多变，同学们在解题时要努力挖掘题设特征，巧妙合理地构造全等三角形，这样才能使方法简便.学思导引29。

高一数学竞赛班二试讲义第1讲 平面几何中的26个定理班级 姓名一、知识点金1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立（用同一法证明）2. 塞瓦定理： 设,,P Q R 分别是ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线上的点，若,,AP BQ CR 三线共点，则1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅= 注：塞瓦定理的逆定理也成立3. 托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。

AB AE AC ADBC ED AC AD==⇒又4. 西姆松定理：若从ABC ∆外接圆上一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F ，则,,D E F 三点共线。

西姆松定理的逆定理：从一点P 作,,BC AB CA 的垂线，垂足分别为,,D E F 。

若,,D E F 三点共线，则点P 在ABC ∆的外接圆上。

5． 蝴蝶定理：圆O 中的弦PQ 的中点M ，过点M 任作两弦AB ，CD ，弦AD 与BC 分别交PQ 于X ，Y ，则M 为XY 之中点。

证明：过圆心O 作AD 与BC 的垂线，垂足为S 、T ，，OY ，OM ，SM ，MT 。

∴AM/CM=AD/BC∵AS=1/2AD，BT=1/2BC ∴AM/CM=AS/CT又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT∴∠MSX=∠MTY∴∠OMX+∠OSX=180°∴O，S ，X ，M同理，O ，T ，∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX∴∠MOX=∠MOY ， ∵OM⊥PQ ∴XM=YM注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立6． 坎迪定理：设AB 是已知圆的弦，M 是AB 上一点，弦,CD EF 过点M ，连结,CF ED ，分别交AB 于,L N ，则1111LM MN AM MB-=-。

高中数学练习题平面几何的计算与证明练习高中数学练习题：平面几何的计算与证明练习一、平面几何计算题在平面几何中，计算是一项重要的技能。

下面是几个基本的计算题，以帮助你巩固理解和应用平面几何的知识。

1. 已知三角形ABC的边长分别为AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 9cm，求三角形的周长。

解：三角形的周长等于三边长度之和，所以周长为5cm + 7cm +9cm = 21cm。

2. 已知矩形的长为10cm，宽为6cm，求矩形的面积。

解：矩形的面积等于长乘以宽，所以面积为10cm × 6cm = 60cm²。

3. 已知菱形的对角线分别为10cm和12cm，求菱形的面积。

解：菱形的面积等于两条对角线长度之积的一半，所以面积为(10cm × 12cm)/2 = 60cm²。

二、平面几何证明题在平面几何中，证明题需要运用定理和性质，以推导出新的结论。

下面是几个平面几何的证明题，供你练习。

1. 证明：三角形ABC的中线AD在点D处将底边BC平分。

证明过程：首先，根据三角形的定义，中线是连接一个顶点和对边中点的线段。

设M为线段BC的中点，则AM为线段AD的中线。

根据三角形中线定理，中线所对应的两个小三角形面积相等。

三角形ABM与三角形ACM的面积相等，即(1/2)AB × BM =(1/2)AC × CM。

由于BM = CM，所以AB = AC，即线段AD在点D处将底边BC平分。

2. 证明：矩形的对角线相等。

证明过程：设矩形的长为a，宽为b。

根据矩形的定义，矩形的对角线是连接两个对角顶点的线段。

设AC和BD为矩形的对角线，其中A为长边的一个顶点，C为短边的一个顶点。

根据勾股定理，三角形ABC和三角形ACD可以分别表示为：三角形ABC：AB² = a² + b²三角形ACD：AD² = a² + b²由于三角形ABC和三角形ACD的两条边相等（AB = AD），根据等腰三角形的性质可得AC = BD。

知识点、重点、难点梅内劳斯定理X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点，则X 、Y 、Z 共线的充分必要条件是1.CX BZ AYXB ZA YC=根据命题的条件可以画出如图所示的两种图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其他两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z三点分别都在三角形三边的延长线上。

证明（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则1.CX BZ AYXB ZA YC=设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ，则,,CX c BZ b AY aXB b ZA a YC c === 三式相乘即得1.CX BZ AY c b aXB ZA YC b a c== （2）充分性，即若1.CX BZ AYXB ZA YC=则X 、Y 、Z 三点共线。

设直线XZ 交AC 于Y'，由已证必要性得' 1.'CX BZ AY XB ZA Y C =又已知1CX BZ AYXB ZA YC=，所以'.'AY AYY C YC=因为Y'和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y'和Y 必重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线。

梅内劳斯定理的应用，一是求共线线段的比，即在CX BZ AYXB ZA YC、、三个比中，已知其中两个可以求得第三个；二是证明三点共线。

塞瓦定理 从△ABC 的每个顶点出发作一条塞瓦线AX 、BY 、CZ ，则AX 、BY 、CZ 共点的充分必要条件是1.BX CY AZXC YA ZB=（连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线）证明(1)必要性，即设△ABC 中，AX 、BY 、CZ 是三条塞瓦线，如果1.BX CY AZXC YA ZB=则AX 、BY 、CZ 三线共点。

（如图）假设AX 与BY 这两条塞瓦线相交于P 点，连结CP 交AB 于Z'，则CZ'也是一条过P 点的△ABC 的塞瓦线。

怎样证明两线段相等求证两线段相等是平面几何中的重要题型，其证明方法较多。

为帮助初三学生掌握一些常见的证法，本文在《几何》第二、三册知识范围内，归类总结若干方法如下，供初三学生复习时参考。

证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：1.三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；2.证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；3.圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；4. 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b ，则a －c=b －c ；若c b c a，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等。

一、利用全等三角形的对应边相等证明例1、如图1，已知C 在BD 上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，BE 、AD 分别与AC 、CE 交于P 、Q 。

求证：CP=CQ 。

证明：因为△ABC 和△CDE 都是等边三角形，所以在△ACD 与△BCE 中， AC=BC ，CD=CE 。

因为∠1=∠2=60°，所以∠ACD=∠BCE=60°+∠3=120°， 所以△ACD ≌△BCE （SAS ）， 所以∠4=∠5。

七年级数学上册---几何难题专项练习题
1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。

常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。

我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。

证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。

（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。

2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。

“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。

⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。

平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。

推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。

相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。

相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。

所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。

预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。

判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。

简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。

判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。

简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。

判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。

简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。

引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。

定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。

初中几何证明线段相等的常用方法摘要：平面几何证明是中学生数学学习的一项重要任务，而证明线段相等是平面几何证明中经常会遇到的问题。

中学阶段的学生处于从具体形象思维向抽象逻辑思维转变的时期，学生对于几何证明问题往往不知如何下手。

本文在介绍证明线段相等的相关知识的基础上，归纳总结了证明线段相等的常用方法，并结合实例分别讨论了在何种情况下应该使用何种方法最为合适，有助于学生快速准确的解决证明线段相等的这类问题。

关键词：平面几何；线段相等；分类思想Abstract: The plane geometry is an important task for students,and that line segments equal plane geometry proof problem often encountered in middle school students. In the transformation from the specific image thinking period, the geometric proof of the problem students often do not know how to start. This paper introduces the related basic knowledge of that segment is equal the last, sums up the common methods that line segment equal, and examples are discussed in what circumstances should use what kind of method is most appropriate, help students to quickly and accurately solve this kind of problemthat is equal to the line.Key words: plane geometry; reasoning proof; line segment几何是一门逻辑性和系统性比较强的学科。

平面几何中的相似定理与证明相似定理是平面几何中重要的基础概念之一，它描述了在两个图形之间存在着一种特定的比例关系。

通过相似定理，我们能够推导出许多几何性质和定理。

本文将介绍相似定理的基本概念、常见的相似定理，并详细讲解其证明过程。

一、相似定理的基本概念在平面几何中，如果两个图形的对应边长之比相等，那么我们称这两个图形是相似的。

相似定理就是通过比较图形的边长比例，研究并推导出一些性质和定理。

相似定理有以下几个基本要点：1. 对应角相等定理：如果两个三角形的对应角相等，那么它们相似；2. 对应线段成比例定理：如果两个三角形的对应线段之比相等，那么它们相似；3. 对应线段之比相等定理：如果两个三角形相似，那么它们的对应线段之比相等。

二、常见的相似定理及证明1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，那么它们相似。

证明：设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

我们需要证明∆ABC~∆DEF。

首先，由于∠A=∠D，根据角的对应边相等定理可知AB/DE=x（假设比例系数为x）。

同理，根据∠B=∠E和∠C=∠F，可得BC/EF=x和AC/DF=x。

因此，根据对应线段之比相等定理可得∆ABC~∆DEF。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们相似。

证明：设有两个三角形ABC和DEF，已知AB/DE=x，BC/EF=y，AC/DF=z。

我们需要证明∆ABC~∆DEF。

通过对应线段成比例定理，我们可以得到AB/DE=x，AC/DF=z，BC/EF=y。

由于三角形的内部角和为180度，我们可以得到∠B=180°-∠A-∠C和∠E=180°-∠D-∠F。

因此，我们可以通过计算得到∠B/∠E=(180°-∠A-∠C)/(180°-∠D-∠F)。

根据∠A=∠D，∠C=∠F，我们可以得到∠B/∠E=180°-∠A-∠C/180°-∠A-∠C=1。

数学篇学思导引圆的知识是平面几何中的重要内容.它与平行线、等腰三角形、相似三角形、特殊四边形的知识有着密切的联系.因此，证明圆中线段相等的方法灵活多样，而且很复杂.对此，笔者归纳了如下几种证明方法，以期对同学们解题有所帮助.一、利用“等角对等边”等角对等边是指在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.它是判定等腰三角形的重要依据，也是证明线段相等的重要方法.在求证圆中线段相等问题时，当所要证明的两条线段是同一个三角形的两边，同学们可以利用“等角对等边”的性质，证得两边所对的角相等，这样就能证得这两条线段相等.例1如图1，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，以MP为直径的⊙O交MN于点Q，过点Q作⊙O的切线RS交NP于点S.求证：NS=QS.图1分析：观察图形，不难看出，NS、QS这两条线段同在△NQS中，因此，在求证时不妨考虑等腰三角形，利用“等角对等边”的性质得到NS=QS.证明：如图1所示，连接PQ.因为MP为⊙O的直径，所以∠MQP=∠NQP=90°，所以∠PQS+∠SQN=90°，∠N+∠QPN=90°.又因为∠MPN=90°，MP为⊙O的直径，所以NP与⊙O相切于点P.因为RS与⊙O相切于点Q，所以QS=SP，所以∠PQS=∠QPN，∠N=∠SQN，所以NS=QS.评注：利用“等角对等边”证明圆中线段相等，关键在于证明圆中同一个三角形的两个角相等，而证明两角相等则可以从同位角、内错角相等，以及全等三角形等方面予以考虑.二、利用“全等三角形对应边相等”我们都知道，全等三角形的对应边相等.在证明圆中线段相等时，若圆中所要证明的线段不在同一个三角形中，此时同学们要注意思考圆中待证的两条线段所在的三角形是否全等，然后借助两个三角形全等，得出它们的对应边相等，即所证的目标线段相等.例2如图2，在⊙O中，P、Q分别是半径OM、ON上的点，且MP=NQ，点R为弧MN的中点，连接RP、RQ.求证：RP=RQ.图2分析：线段RP、RQ在同一个圆中，但并不在同一个三角形中，直接证明行不通.不妨证明圆中线段相等的几个途径江苏省盐城市新洋第二实验学校孙鸽林28数学篇学思导引添加辅助线，连接OR ，这样圆中四边形OPRQ 就被分割为△OPR 和△OQR 两个三角形，只要证明△OPR ≌△OQR ，再根据全等三角形对应边相等，即可得到目标线段相等.证明：如图2所示，连接OR .因为MP =NQ ，OM =ON ，所以OP =OQ .因为点R 为弧MN 的中点，所以有 MR =NR ，所以∠MOR =∠NOR .在△OPR 和△OQR 中，ìíîïïOP =OQ ,∠MOR =∠NOR OR =OR ,，所以△OPR ≌△OQR （SAS ），所以RP =RQ .评注：利用“全等三角形对应边相等”是证明圆中线段相等的一种有效方法.它的关键点是在圆中寻找或构造全等三角形，再利用“全等三角形对应边相等”这一性质证明线段相等.三、利用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”由圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理可知，在同圆或等圆中，倘若两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量是相等的，那么它们所对应的其余各组量也是相等的.因此，在求证圆中线段相等时，若题目涉及圆心角、弧、弦、弦心距等时，同学们要注意结合已知条件，巧用圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理及推论来解答问题.例3如图3所示，MN 是☉O 的直径，MP 为弦，过弧MP 的中点Q 作QR ⊥MN 于点S .求证：QR =MP.图3分析：根据题意和图形，很容易看出QR 、MP 是圆中的两条弦，所以要证明QR =MP ，可以从圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系入手.证明：因为直径MN ⊥QR ，所以 MQ =MR （根据垂径定理），又因为 MQ =QP ，所以 MR = MR = PC ，所以 QR = MP ，所以 QR = MP .评注：利用“圆心角、弧、弦、弦心距关系定理及推论”是证明圆中线段相等的常用方法之一.如果所证明的相等线段是弦、弦心距、弓形高中的一种，就可以通过证明其他的量相等，从而证得所需要的结论.上期《<不等式与不等式组>巩固练习》参考答案1.C ；2.A ；3.D ；4.D ；5.B ；6.0；7.≥-12；8.m >-1；9.2（答案不唯一）；10.-2<x <3，a ≥2；11.解：（1）设A 型电动公交车的单价为x 万元，B 型电动公交车的单价为y 万元．依题意，得ìíî2x +y =112,x +y =76,解得ìíîx =36,y =40;答：A 型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元．（2）设购买A 型电动公交车m 辆，则购买B 型电动公交车（30-m ）辆．依题意得36m +40（30-m ）≤1128，解得m ≥18.又m ≤20，∴18≤m ≤20．设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w 万元，依题意，得w =36m +40（30-m ）=-4m +1200.∵-4<0，∴w 随m 的增大而减小．∴当m =20时，w 取得最小值.此时30-m =30-20=10．∴最省钱的购买方案为：购买A 型电动公交车20辆，B 型电动公交车10辆．29。