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证明线段相等的技巧要证明两条线段相等,一般的思路是从结论入手,结合已知分析,主要看要证明的两条线段分布的位置怎样,无外乎有三种情况：1要证明的两条线段分别在两个三角形中；2要证明的两条线段在同一个三角形中；3要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况;一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等;例1 已知：如图1,B、C、E三点在一条直线上,△ABC和△DCE均为等边三角形,连结AE、DB,求证：AE=DB;二、如果要证明的两条线段在同一三角形中一般的思路是利用等角对等边;例2 已知：如图2,△ABC中AB=AC,D为BC上一点,过D作DF⊥BC交AC于E,交BA的延长线于F,求证：AE=AF;三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明;例3 已知：如图3,△ABC中AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,且BD=EC,连结DE交BC于F,求证：DF=EF;例4 已知：如图5,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AD、CD上一点,且BE=BF,AG ⊥BF于F,CH⊥BE于H,求证：AG=CH;分析：从结论入手,要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边,这里的AG、CH虽然在两个三角形中,但显然不全等,作辅助线构成全等三角形也无法作,由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高,这时就应该想到面积法,作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形,很显然结合已知条件可知构成平行四边形,延长AD到S使DS=AE,连结CS;延长ACD到R使DR=CF,连结AR证明略;证明线段和角相等的技巧⒈怎样证明两线段相等证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：⑴三角形①两线段在同一三角形中,通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等,全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；⑵证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等,菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等,两条对角线相等；⑶圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等；⑷ 等量代换：若a=b,b=c,则a=c ；等式性质：若a=b,则a －c=b －c ；若cb c a ,则a=b. 此外,也有通过计算证明两线段相等,有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.⒉ 怎样证明两角相等证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：⑴ 同角或等角的余角、补角相等；⑵ 证明两直线平行,同位角、内错角相等；⑶ 到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上；⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；⑸ 同一三角形中,等边对等角,等腰三角形三线合一；⑹ 平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； ⑺ 同圆中,同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；。
《线段相等，角相等，线段垂直》方法总结一.证明线段相等的方法：1.中点2.等式的性质性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。
若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （a,b≠0 或a=b ，c≠0）3.全等三角形4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c，c=b即可）二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等《线段相等，角相等，线段垂直》经典例题1.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
※．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，E 为AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，连DE 交BC 于F ，求证：DF ＝EF 。
［证法1］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝CE 。
∵DG ∥AC ，∴FDG ∠＝FEC ∠、FGD ∠＝FCE ∠，而BD ＝CE ，∴DFG ∆≌EFC ∆，∴DF ＝EF 。
［证法2］过D 作DG ∥AC 交BC 于G 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠。
∵DG ∥AC ，∴DGB ∠＝ACB ∠，∴ABC ∠＝DGB ∠，∴BD ＝DG ，又BD ＝CE ，∴DG ＝CE ，而DG ∥CE ，∴四边形DGEC 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法3］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ， 又BD ＝CE ，∴BD ＝EH 。
∵EH ∥BD ，∴DBF ∠＝EHF ∠、BDF ∠＝HEF ∠，而BD ＝EH ，∴BDF ∆≌HEF ∆，∴DF ＝EF 。
［证法4］过E 作EH ∥BD 交BC 的延长线于H 。
∵AB ＝AC ，∴ABC ∠＝ACB ∠＝ECH ∠。
∵EH ∥BD ，∴ABC ∠＝EHC ∠，∴ECH ∠＝EHF ∠，∴CE ＝EH ，又BD ＝CE ，∴BD ＝EH ，而BD ∥EH ，∴四边形BDHE 是平行四边形，∴DF ＝EF 。
［证法5］过D 作DJ ∥BC 交AC 于J 。
∵DJ ∥BC ，∴AB BD ＝AC CJ，而AB ＝AC ，∴BD ＝CJ ，又BD ＝CE ， ∴CJ ＝CE 。
