九下菱形练习题导学案

2019初三下册预习（一） 菱形的性质导学案学习目标：1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形的定义及性质；3.会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积． 学习过程 【自主探究】1、 叫做菱形。

菱形是 的平行四边形。

2、探究菱形的性质。

首先：菱形具有 的一切性质。

性质1：菱形是 ，它有 条对称轴，对称轴是 性质2 ：菱形的 都相等。

已知，如图1，四边形ABCD 是菱形，且AD=BC ，求证四边相等。

性质3：菱形的对角线 。

（2）：已知，如图1，四边形ABCD 是菱形，求证AC ⊥BD 。

菱形的面积： （3）：,如图1，在菱形ABCD 中，已知AC=6，BD=8，边上的高是4.8，求菱形ABCD 的面积。

【典例解析】1、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，（1）AB= = = ,即菱形的 。

（2）图中的等腰三角形有 ，直角三角形有 ，△AOD ≌ ≌ ≌ ，由此得出菱形的对角线 ，每一条对角线 。

（3）如果∠ADC=120°，则△ABD 和△BCD 是 三角形，OD= AD 。

ODC BA图12. 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，若AC=12cm ，BD=16cm ，求菱形的高AE 。

3 .如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E 。

求证：∠AFD=∠CBE.【课堂练习】1.菱形ABCD ，若∠A:∠B ＝2：1，∠CAD 的平分线AE 和边CD 之间的关系是（ ） A ．相等 B ．互相垂直且不平分 C ．互相平分且不垂直 D ．垂直且平分2.已知菱形ABCD 的周长为40cm ，BD=34AC ，则菱形的面积为（ ） A ．96cm 2B ．94cm 2C ．92cm 2D ．90cm23.已知菱形的周长为40cm ，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为( ) A ．6cm ，8cmB ．3cm ，4cmC ．12cm ，16cmD ．24cm ，32cm4.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为 ( ) A. 45°，135° B. 60°，120° C. 90°，90° D. 30°，150°5.菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是23 cm ，则另一条对角线的长是（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．23cm6.菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为 ，周长为 ，面积为 。

18.2.2 菱形第2课时菱形的判定一、新课导入1.导入课题用菱形的定义，我们容易得到，一组邻边相等的平行四边形是菱形，除此之外还有没有其他判定方法？(板书课题)2.学习目标（1）能从研究菱形性质的逆命题正确性中得到菱形的判定.（2）能运用菱形的判定方法判定一个四边形是菱形.3.学习重、难点重点：菱形的判定的推导与归纳.难点：菱形的判定的正确运用.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：P57例4的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：自己写出菱形性质的逆命题，验证它们的正确性，并相互交流.（4）自学参考提纲：①由定义判定一个四边形是菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.②运用定义证明四边形是菱形，可先证它是平行四边形，再证它是菱形.③运用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明四边形是菱形时，可先证它是平行四边形，再证它是菱形.④要证明一个平行四边形是菱形，只需先证明有一组邻边相等或对角线互相垂直.⑤判断：a.对角线互相垂直的四边形是菱形.（×）b.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（√）2.自学：结合自学指导进行自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生在完成判定定理的证明及完成自学提纲时遇到的偏差和困难之处.②差异指导：对学生在菱形判定的证明步骤不当或思路不清之处进行点拨、引导.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化（1）菱形的判定方法：①按定义判定.②按对角线判定.（2）证明一个四边形是菱形的步骤.1.自学指导（1）自学内容：P57例4以下至P58练习的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：写出菱形性质“菱形的四条边相等”的逆命题，再作图思考如何证明逆命题的正确性.（4）自学参考提纲：①“菱形的四条边相等”的逆命题是四条边相等的四边形为菱形.②如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证:四边形ABCD是菱形.a.若按定义证：先证它是平行四边形，再证它是菱形，要证它是平行四边形，需找两对对角相等.因此可连接对角线.再运用三角形全等得到角相等.请按上述分析填空尝试证明；b.若按对角线来判定，则需先证它是平行四边形，再证对角线垂直，这就只需证它的一组邻边相等，就可得它是菱形.证一组对边平行就可通过连接一组对角线，运用一组内错角相等证得一组对边平行且相等.然后再证对角线垂直.尝试分析填空写出证明过程.c.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和，则它是菱形吗？为什么？它的面积是多少？解：画出图形如图所示，根据题意，有AD=9,BD=,AC=12,根据平行四边形的性质知116,22AO AC DO BD ====则在△AOD 中，AO 2+DO 2=AD 2,∴△AOD 为直角三角形，∴AO ⊥OD 也即AC ⊥BD,∴平行四边形ABCD 为菱形，其面积为1122⨯⨯= ③完成P 58练习题第1(1)题和第3题.2.自学：结合自学指导自主学习.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生对P57最后一个“思考”的判断和论证存在的困难在哪里. ②差异指导：引导学生运用两个方法证明“思考”中的结论.（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.4.强化（1）画菱形的方法.（2）菱形的判定:①按定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②按对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③按边：四条边相等的四边形是菱形.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：交流自己这节课的学习有哪些收获和困惑.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生的学习积极性和学习成果.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思).本节课的教学以学生自主探究为主，通过观察和推理，让学生掌握菱形的三种判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.在教学的过程中，对于学生难于理解的地方，教师要进行专门的讲解和指导.教学时应充分发挥学生的主动性，并增强与学生的互动和交流.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（60分）1.(15分)下列条件中，能判定一个四边形是菱形的条件是(B)A.对角线互相平分的四边形B.对角线互相垂直且平分的四边形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形2.(15分) ABCD的对角线AC平分∠BAD ABCD 是(填“是”或“不是”)菱形.3.(15分)中，对角线AC=24，BD=10，一边长为13是菱形.(填“平行四边形”、“矩形”或“菱形”)4.(15分)四边形ABCD是平行四边形，请补充一个条件：AB=BC，使它是菱形.二、综合应用（20分）5.如图，AE∥BF，ＡＣ平分∠BAD，且交ＢＦ于点Ｃ，ＢＯ平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵AE∥BF,∴∠EAC=∠ACB.又∵AC平分∠BAD,∴∠ACB=∠BAC=∠EAC,∴AB=BC.同理：AB=AD,∴AD=BC,而AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形.三、拓展延伸（20分）6.如图，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分BD；③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA.请你以其中的三个作为题设，以“四边形ABCD是菱形”作为结论.（1）写出一个真命题，并证明；（2）写出一个假命题，并举出一个反例加以说明.解：（1）若①②③，则四边形ABCD是菱形.∵AC⊥BD,AC平分BD,∴∠BOC=∠DOA=90°,BO=OD.又∵AD∥BC,∴∠OBC=∠ODA.∴△BOC≌△DOA,∴OC=OA.∴AC、BD互相垂直且平分，∴四边形ABCD是菱形.（2）若②③④，则四边形ABCD是菱形.反例：当四边形ABCD是矩形时，满足②③④，但不是菱形.。

《菱形的判定》导学案
渔渡中学党文州
一、填空题
1．菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为，周长为 .
2．菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角
为，，， .
3．菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为 .
4．已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为 .
5．已知菱形ABCD中AE⊥BC，垂足E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为 .
6．顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为形．
三、解答题
1．如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分．
2．如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证：四边形AFCE 是菱形．
3．已知：如图，四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形．。

四川省渠县崇德实验学校2020届中考九年级数学专题复习：菱形导学案一、 菱形的概念及性质1.概念：有一组邻边①相等的平行四边形是菱形.2.性质：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O.练习1.如图1，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O.(1)若AB 的长为1，则菱形ABCD 的周长为4；(2)若菱形的边长为2，∠ABC＝60°，则△ABC 是等边三角形，AC ＝2，BD ＝23； (3)若AC ＝6，BD ＝8，则BC ＝5，S 菱形ABCD ＝24；(4)在(3)的条件下，过点A 作AE⊥BC 于点E ，如图2所示，则AE ＝245.【方法指导】 菱形中出现30°，60°，120°的角时，就会出现等边三角形和含有30°角的直角三角形，这时只要知道一条线段长就可以得到所有线段长，所有三角形的周长以及面积.因此这部分知识既联系着等腰三角形、直角三角形，又联系着解直角三角形. 二、 菱形的判定练习(1)如图1，四边形ABCD 是平行四边形，AC 与BD 相交于点O ，添加一个条件：答案不唯一，如：AB ＝BC 或AC⊥BD 等，可使它成为菱形；(2)如图2，四边形ABCD 的对角线互相垂直，且OB ＝OD ，请你添加一个适当的条件：答案不唯一，如：OA ＝OC ，使四边形ABCD 成为菱形.(只需添加一个即可)三、菱形的性质与判定例题 、如图，在四边形ABCD 中，BC∥AD，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 的周长的最小值．【思路点拨】（1）根据条件“BC=12AD ，点E 为AD 的中点”证得BC=AE ，结合BC ∥AD 可得四边形ABCE 是平行四边形，由“E 为AD 的中点，AC ⊥CD ”可得AE=AC ，从而可判定四边形ABCE 为菱形；（2）由四边形ABCE 为菱形得AC 和BE 互相垂直平分，进而得点A 关于BE 的对称点为点C ，根据对称性可知，△PAF 周长的最小值为AF+CF 的值，再根据第（2）问中给出的条件，即可求解. 【自主解答】解：(1)四边形ABCE 为菱形． 理由如下：∵BC∥AD，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，∴AE＝12AD ＝BC.∴四边形ABCE 为平行四边形． 又∵AC⊥CD，∴CE＝12AD ＝AE ＝BC.∴四边形ABCE 为菱形． (2)由(1)得四边形ABCE 为菱形， ∴BE 垂直平分AC. 连接PC ，∴PA＝PC.∵△PAF 的周长l ＝PA ＋PF ＋AF ， ∴l＝PA ＋PF ＋AF ＝PC ＋PF ＋AF≥CF＋AF. ∵∠D＝30°，AC⊥CD，∴∠DAC＝60°. ∴△ACE 为等边三角形． ∵点F 为AE 的中点， ∴CF⊥AE.∵AB＝4，∴AC＝AB ＝AE ＝4，AF ＝12AE ＝2.∴在Rt △ACF 中， CF ＝AC·sin60°＝4×32＝2 3. ∴l＝PA ＋PF ＋AF ＝PC ＋PF ＋AF≥CF＋AF ＝23＋2， 即△PAF 的周长的最小值为23＋2. 方法指导1.判定菱形的基本思路：(1)若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等； (2)若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；(3)若已知四边形是平行四边形，则可以证一组邻边相等或对角线互相垂直. 2.与菱形有关的计算常涉及下面几种：(1)求角度时，注意将菱形的性质与等腰三角形和平行线的相关性质结合，转化要求的角，找到与已知角存在的关系求解；(2)求长度(线段长或周长)时，若菱形中有一个顶角为60°，连接相邻两边的顶点，菱形被对角线分割为两个等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及三角函数等进行计算.3.关于利用轴对称性质求最值的模型方法见“万能解题模型(八)——几何中线段的最值问题”模型2. 四、课后作业巩固1.一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(C) A.8 B.12 C.16 D.322.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AC ，BD 是对角线，E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，AC 的中点，连接EF ，FG ，GH ，HE ，则四边形EFGH 的形状是(C)A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E 的坐标为(D)A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(3，3)4.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠B＝120°.点P 是对角线AC 上一点(不与端点A 重合)，则线段12AP ＋PD 的最小值为2 3.5.如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE ＝BF ，AC⊥EF.求证：四边形AECF 是菱形.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC ，AD∥BC. ∵DE＝BF ，∴AE＝CF. ∵AE∥CF，∴四边形AECF 是平行四边形. ∵AC⊥EF，∴四边形AECF 是菱形.6.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交AD ，AC ，BC 于点E ，O ，F ，连接CE 和AF. (1)求证：四边形AECF 为菱形；(2)若AB ＝4，BC ＝8，求菱形AECF 的周长.解：(1)证明：∵EF 垂直平分AC ， ∴OA＝OC ，EF⊥AC，AE ＝CE ，AF ＝CF.∵四边形ABCD 为矩形，∴AD∥BC.∴∠EAO＝∠FCO. 又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA).∴AE＝CF.∴AE＝CE＝CF＝AF.∴四边形AECF为菱形.(2)设菱形AECF的边长为x，则AF＝x，BF＝BC－CF＝8－x.在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴菱形AECF的周长为4×5＝20.。

第一章 特殊平行四边形1. 菱形的性质与判定（三）一、教学目标：知识与技能目标能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。

三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：知识应用；第三环节：拓展提高；第四环节：效果检测；第五环节：课堂小结；第六环节：因人作业。

第一环节：知识回顾内容：同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？1.如图1所示：在菱形ABCD 中，AB=6，请回答下列问题： (1)其余三条边AD 、DC 、BC 的长度分别是多少？ (2)对角线AC 与BD 有什么位置关系？ (3)若∠ADC=120°，求AC 的长。

2. 如图2所示：在□ABCD 中添加一个条件使其成为菱形： 添加方式1： . 添加方式2： .第二环节：知识应用1.典型例题：例3 如图3，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长为10cm.求：(1)对角线AC 的长度；(2)菱形ABCD 的面积.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD,即∠AED=90°，E DCBA图1EDCBA图2EDCBA 图3DE=12BD ×10=5（cm ） ∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得：222213512().AE AD DE cm =-=-= ∴AC=2AE=2×12=24(cm). （2）S 菱形ABCD = S △ABD + S △CBD =2×S △ABD =2×12×BD ×AE = BD ×AE=10×12=120(cm 2).2.变式训练：如上图3，四边形ABCD 是菱形，其中对角线BD 长为12cm ，AC 长为16cm.求：(1)菱形的边长； (2)求菱形一条边上的高。

3.方法启迪：同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？ 4.知者加速与补读帮困：知者加速1：已知菱形的周长为40cm ，一条对角线长为16cm ，则这个菱形的面积是 cm 2.第三环节：拓展提高1.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD 是菱形吗？为什么？2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC 折出一个菱形，使∠A 成为菱形一个内角吗？图4图5ABC第四环节：效果检测1.如图6所示，菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线BD 长10cm ，则 ∠ABC= °，AC= cm.2.如图7，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=4cm ，BD=8cm ，则这个菱形的面积是 cm 2．3.已知，如图8，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，四边形EGFH 是（ ）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形4. 已知：如图9，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和BC 上的点，且BE=BF ， 求证：(1)△ADE ≌CDF ； (2) ∠DEF=∠DFE.知者加速2：已知：如图10，在Rt △ABC=90°，∠BAC=60°，BC 的垂直平分线分别交BC 和AB 于点D 、E ，点F 在DE 延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF 是菱形.ECDAB 图6O CDAB图7H EGF BAD C图8FAD CBE图9DFB EAC图10第五环节：课堂小结内容：通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？请从以下三个方面进行总结：知识收获、方法收获、关注问题。

第23课矩形、菱形、正方形【考点梳理】：（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．（4）等腰梯形：①边：上下底平行但不相等，两腰相等；②角：同一底边上的两个角相等；对角互补③对角线：对角线相等；④对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）．3．几种特殊四边形的判定方法①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．③说明四边形ABCD的四条相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD边相等．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．③四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD菱形ABCD的一个角为直角．（4）识别等腰梯形的常用方法 ① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等．5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b则S 菱形=12ab ． ③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 形=212a ． ④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ． 【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：矩形的性质和判定【例题赏析】(1) （2015，某某某某，11，3分）如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 与对角线AC 重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上，折痕分别是CE ，AF ，则等于（A ．B ． 2C ． 1.5D ． 考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 根据矩形的性质和折叠的性质，得到AO=AD ，CO=BC ，∠AOE=∠COF=90°，从而AO=CO AC=AO+CO=AD+BC=2BC ，得到∠CAB=30°，∠ACB=60°，进一步得到∠BCE=所以BE=，再证明△AOE ≌△COF ，得到OE=OF ，所以四边形AECF 为菱形，所以AE=CE 得到BE=，即可解答．解答：解：∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∠B=90°，∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=60°，∴BE=∵AB∥CD，∴∠OAE=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴EF与AC互相垂直平分，∴四边形AECF为菱形，∴AE=CE，∴BE=，∴=2，故选：B．点评：本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是由折叠得到相等的边，性质得到∠CAB=30°，进而得到BE=，在利用菱形的判定定理与性质定理解决问题．(2)（2015•某某某某14，3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与C′重合．若AB=3，则C′D的长为3．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据矩形的对边相等可得CD=AB，再根据翻折变换的性质可得C′D=CD可得解．解答：解：在矩形ABCD中，CD=AB，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠后点C和点C′重合，∴C′D=CD，∴C′D=AB，∵AB=3，∴C′D=3．故答案为3．点评：本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，关键．【考点二】：菱形的性质与判定【例题赏析】(1)（2015，某某某某，6，3分）如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（）A．AC=AD B．BA=BC C．∠ABC=90° D． AC=BD考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．解答：解：如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是BA=BC，故选B点评：此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．(2)（2015某某某某10，4分）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC（）A．4B．4 C．2D．2考点：菱形的性质．分析：连接AC交BD于点E，则∠BAE=60°，根据菱形的周长求出AB的长度，在RT△ABE 中，求出BE，继而可得出BD的长．解答：解：在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，∴∠BAE=60°，AC⊥BD，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=4，在RT△ABE 中，AE=ABsin∠BAE=4×=2，故可得AC=2AE=4．故选A．点评：此题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【考点三】：正方形的性质与判定【例题赏析】(1)（2015•某某某某，第10题3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在ABAD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（）A．2B．3C．D．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．分析：首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD 利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．解答：解：如图，延长FD到G，使DG=BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF （SAS），∴GF=EF ，∵CE=3，CB=6，∴BE===3，∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，∴EF==，∴（9﹣x）2=9+x2，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF===2，故选A．点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键．(2) （2015，某某某某，18，3分）如图，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是 3 ．考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．专题： 计算题．分析： 根据最短路径的求法，先确定点E 关于BC 的对称点E ′，再确定点A 关于DC 点A ′，连接A ′E ′即可得出P ，Q 形AEPQ 的面积．解答：解：如图1所示，作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴=，即=，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，S四边形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S BEP=9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，故答案为：．点评：本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法．【考点四】：特殊平行四边形的探索题【例题赏析】(1)（2015•某某某某,第27题10分）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG 的对角线，思考与收获点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）考点：四边形综合题．.分析：（1）（i）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得，∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可．（ii）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可判断出，据此求出BF的长度是多少；然后判断出∠EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的值是多少，进而求出k的值是多少即可．（3）首先根据∠DAB=45°，可得∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△ACE∽△∠BCF，即可用n表示出BF的值；最后判断出EBF=90°，在Rt△BEF中，根据勾股定理，判断出m，n ，p三者之间满足的等量关系即可．解答：（1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，∴∠ACB=∠ECF=45°，∴∠ACE=∠BCF，在△CAE和△CBF中，，∴△CAE∽△CBF ．（ii）解：∵△CAE∽△CBF，∴∠CAE=∠△CBF，，又∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=90°，又∵，AE=2∴，∴，∴EF2=BE2+BF2==3，∴EF=，∵CE2=2EF2=6，∴CE=．（2）如图②，连接BF，，∵==k，∴AC=，CE==，∴，∠ACE=∠BCF，在△ACE 和△∠BCF中，，∴△ACE ∽△∠BCF，∴，∠CAE=∠CBF，又∵AE=2，∴，∴BF=，∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠CBF=90°，∴∠EBF=90°，∴EF2=BE2+BF2=1，∵，∴=，CE=3，∴EF=，∴1，∴，解得k=±，∵==k＞0，∴k=．（3）∵∠DAB=45°，∴∠ABC=180°﹣45°=135°，在△ABC中，根据余弦定理，可得AC2=AB2+BC2﹣2AB •BC•cos135°=2=在△ACE和△∠BCF中，，∴△ACE∽△∠BCF，∴，∠CAE=∠CBF ，又∵AE=n，∴，∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBE+∠CBF=90°，∴∠EBF=90°，∴EF2=BE2+BF2，∴，∴（2）m2+n2=p2，即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2）m2+n2=p2．点评：（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．（4）此题还考查了余弦定理的应用，要熟练掌握．(2)（2015•某某凉山州第21题8分）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．.分析：根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案．解答：解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠B AF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换．【真题专练】1.（2015•某某,第11题3分）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+42.（2015•某某省黔东南州,第6题4分）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥于H，则DH=（）A ．B．C．12 D．243.（2015•某某省某某,第题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为（）4．（2015•黔西南州）（第3题）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6则菱形的边长AB等于（）A． 10 B． C． 6 D． 55.（2015•某某，第7题3分）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（）A． 2 B． 3 C． D．6.（2015•某某某某）（第10题，3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（A．3 B．1.5 C．2D．7.（2015•某某某某12，3分）如图，M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，分别以AE BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则△ABG是三角形．8.．（2015某某某某16，3分）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有个．9.（2015•某某,第25题12分）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、DBP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．10. （2015•某某某某第22题12分）如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t秒．（1）当t=5时，请直接写出点D 、点P 的坐标； （2）当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，求出△PBD 的面积S 关于t 写出相应t 的取值X 围；（3）点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，当△PEO 与△BCD 时，求出相应的t 值．【真题演练参考答案】1.（2015•某某,第11题3分）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（）A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4考点：菱形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质．所有分析：首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可．解答：解：∵DE=AD，DF=CD，∴四边形ACEF是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，∴AE=CF，∴四边形ACEF是矩形，∵△ACD是等边三角形，∴AC=1，∴EF=AC=1，过点D作DG⊥AF于点G，则AG=FG=AD×cos30°=，∴AF=CE=2AG=，∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF=1++1+=2+2，故选B．点评：本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定与性质的知识，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大．2.（2015•某某省黔东南州,第6题4分）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB 于H，则DH=（）A．B．C．12 D．24考点：菱形的性质．分析：设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．解答：解：如图，设对角线相交于点O，∵AC=8，DB=6，∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，由勾股定理的，AB===5，∵DH⊥AB，∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD，即5DH=×8×6，解得DH=．故选A．点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．3.（2015•某某省某某,第题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为（）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7﹣x）2=25﹣x2，通过解方程求得x的值，易得点B′到BC的距离．解答：解：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′M2即（7﹣x）2=25﹣x2，解得x=3或x=4，则点B′到BC的距离为2或1．故选：A．点评：本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△AMB′和等腰直角△B′DM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．4．（2015•黔西南州）（第3题）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（）A． 10 B． C． 6 D． 5考点：菱形的性质．分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=AC，OB=BD，AC⊥BD，∵AC=8，BD=6，∴OA=4，OB=3，∴AB==5，即菱形ABCD的边长是5．故选：D．点评：本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．5.（2015•某某，第7题3分）过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，则EF的长为（）A． 2 B． 3 C． D．考点：菱形的判定与性质；矩形的性质．分析：求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF=CF，根据矩形的对边相等可得CD=AB，然后求出CF，从而得解．解答：解：∵矩形对边AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO=CO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形，∵∠DCF=30°，∴∠ECF=90°﹣30°=60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CF，∵AB=，∴CD=AB=，∵∠DCF=30°，∴CF=÷=2，∴EF=2．故选A．点评：本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出△CEF是等边三角形．6.（2015•某某某某）（第10题，3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（）A．3 B．1.5 C．2D．考点：旋转的性质．.专题：计算题．分析：根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．解答：解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠B′AD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE，在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，AD=×3=，根据勾股定理得：x2=（3﹣x）2+（）2，解得：x=2，∴EC=2，则S△AEC=EC•AD=，故选D点评：此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．7.（2015•某某某某12，3分）如图，M、N分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，分别以AE、BF为折痕，使点D、点C落在MN的点G处，则△ABG是等边三角形．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；正方形的性质．分析：由折叠的性质可知AG=AD，BG=BC，然后根据正方形的性质可知：AD=AB=BC，从而可知：AG=AB=BC．解答：解：由折叠的性质可知AG=AD，BG=BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC．∴AG=AB=BC．∴△ABG是等边三角形．故答案为：等边．点评：本题主要考查的是翻折的性质、等边三角形的判定和正方形的性质，由折叠的性质证得：AG=AD，BG=BC是解题的关键．8.．（2015某某某某16，3分）我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点（如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点），则正方形的腰点共有9个．考点：正方形的性质；等腰三角形的判定．专题：新定义．分析：根据把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的点叫做这个四边形的腰点，可得正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四点，据此解答即可．解答：解：如图，，正方形一共有9个腰点，除了正方形的中心外，两条与边平行的对称轴上各有四个腰点．故答案为：9．点评：（1）此题主要考查了正方形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．9.（2015•某某,第25题12分）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．（1）求证：HF=AP；（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．所有分析：（1）先根据EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出结论；（2）由勾股定理求出BP的长，根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP，再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根据EQ=EF﹣QF 即可得出结论．解答：（1）证明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB与Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP===4．∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ•tan∠FBQ=BQ•tan∠ABP=2×=．由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．点评：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．10.（2015•某某某某第22题12分）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值X围；（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．考点：四边形综合题．.分析：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，由矩形的性质得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行线得出△ABD∽△NBO，得出比例式，求出BN、NO，得出OM、DN、PN，即可得出点D、P的坐标；（2）当点P在边AB上时，BP=6﹣t，由三角形的面积公式得出S=BP•AD；②当点P在边BC 上时，BP=t﹣6，同理得出S=BP•AB；即可得出结果；（3）设点D（﹣t， t）；分两种情况：①当点P在边AB上时，P（﹣t﹣8， t），由和时；分别求出t的值；②当点P在边BC上时，P（﹣14+t， t+6）；由和时，分别求出t的值即可．解答：解：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：则CM⊥x轴，BN⊥x轴，AD∥x轴，BN∥DM，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴BD==10，当t=5时，OD=5，∴BO=15，∵AD∥NO，∴△ABD∽△NBO，∴，即，∴BN=9，NO=12，∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）；（2）如图2所示：当点P在边AB上时，BP=6﹣t，∴S=BP•AD=（6﹣t）×8=﹣4t+24；②当点P在边BC上时，BP=t﹣6，∴S=BP•AB=（t﹣6）×6=3t﹣18；综上所述：S=；（3）设点D（﹣t， t）；①当点P在边AB上时，P（﹣t﹣8， t），若时，，解得：t=6；若时，，解得：t=20（不合题意，舍去）；②当点P在边BC上时，P（﹣14+t， t+6），若时，，解得：t=6；若时，，解得：t=（不合题意，舍去）；综上所述：当t=6时，△PEO与△BCD相似．点评：本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，由三角形相似得出比例式才能得出结果。

《菱形的判定》导学案【学习目标】1．能说出菱形的两个判定定理，并会用它进行相关的论证和计算．2．会根据已知条件画出菱形．3．经历探究菱形判定条件的过程，通过观察、猜想、证明的过程，•培养科学的探索精神．4．在探究过程中加深对菱形的理解，养成主动探索的学习习惯．5．通过菱形与矩形判定方法的类比，进一步体会类比的思想方法的作用．【学习过程】二、预习导学（自主探究）阅读课本57～58页，完成下列问题：1、知识探究①．有一组的平行四边形是菱形．②．对角线的平行四边形是菱形．③．的四边形是菱形．2、自学反馈（1）判断下列说法是否正确：①对角线互相垂直的四边形是菱形；（）②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（）③对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；（）④两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（）（2）如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，①若AB=AD，则□ABCD是形；②若AC=BD，则□ABCD是形；③若∠ABC是直角，则□ABCD是形；④若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形．BBAD三、合作探究1、知识运用（教师引导学生分析并板书演示）例1 如图，□ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=5，AC=8，DB=6． 求证：四边形ABCD 是菱形．2、学生模仿（学生代表板演）练习1 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ．试问四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由．请同学们用一句话（几何命题）描述右图中的结论：3、知识运用（教师引导学生分析并画图演示）例2 画一个边长为3cm 并且有一个角是50°的菱形． 4、学生模仿（学生在草稿纸上完成）练习2 画一个两条对角线的长分别为4cm 和6cm 的菱形．四、课堂小结：菱形常用的判定方法有哪些？1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（定义） 2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（判定1） 3．有四条边相等的四边形是菱形．（判定2）ABBAC五、课后作业（第1～6题直接在导学案上完成） 1．下列命题中正确的是（ ）A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．三条边相等的四边形是菱形C ．四条边相等的四边形是菱形D ．四个角相等的四边形是菱形2．对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）A ．矩形B ．一般的平行四边形C ．菱形D ．以上都不对3．下列条件中，不能判定四边形ABCD 为菱形的是（ ） A ．AC ⊥BD ，AC 与BD 互相平分 B ．AB=BC=CD=DAC ．AB=BC ，AD=CD ，且AC ⊥BD D ．AB=CD ，AD=BC ，AC ⊥BD4．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ． 求证：四边形OCED 是菱形．5．如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD ． 求证：四边形ADCE 是菱形．6．已知线段AC ，请画出以AC 为一条对角线、并且有一个角等于70°的菱形，这样的菱形可以画几个？7．课本随堂练习第1～2题；8．课本习题6．2第1～3题．。

第22课时 矩形、菱形一、基础知识梳理（课前完成）1. （一）定义:（1） 矩形的定义：__________________________的平行四边形叫矩形． (2）菱形的定义：有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形． 2. 矩形、菱形的性质与判定：矩形的性质： 矩形的常用判定方法：① 矩形的四个角都是_______； ①有______角是直角的四边形是矩形； ② 矩形的对角线_________； ②对角线相等的_____________是矩形； 推论：直角三角形斜边上的中线等于 ； 推论：如果一个三角形一边上的____ 那么这个三角形是_______________.菱形的性质： 菱形的常用判定方法： ①菱形的四条边________； ①四条边相等的四边形是______；②菱形的对角线互相_______，并且___ ②________互相垂直的平行四边形是菱形3. 矩形、菱形的对称性与面积：①矩形既是 对称图形,又是 图形,它有 条对称轴.S=②菱形既是 对称图形,又是 图形,它有 条对称轴.S= =二、基础诊断题1．如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．的是（ ） A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OC2．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） A ．3 B ．3.5 C ．2.5 D ．2.83. 如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ） A ．B ．C ．D ．三、典型例题2题图3题图1题图图1例题1（2014年浙江嘉兴）已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．例题2（2014•湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．四、达标检测题 （一）基础检测一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1．已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 22．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A ．12B ．2C 4．下列命题中的真命题是（ ）A ．三个角相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D ．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形５．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（） A ．，）B ．（） C ．（） D ．2题图ECBA3题图 5题图二、填空题6．在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)7．如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．8. 如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______． 9．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .10．如图，已知菱形ABCD 的一个内角︒=∠80BAD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上，且BO BE =，则EOA ∠= 度．三、解答题11. 如图，已知E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F ．（1）求证：△ABE ≌△FCE ．（2）连接AC ．BF ，若∠AEC=2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形．10题图D7题图8题图9题图12.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．（二）能力提升1、（2014•丽水）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B 为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2、（2014年山东烟台）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28° B．52° C．62°D．72°3、（2014•呼和浩特）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE5、（2014•德州）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有（）个．和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（）7、（2014•毕节地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）8、（2014•十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）9、（2014年浙江嘉兴）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为（）10（2014•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．11、（2014年江苏南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？12、（2014•白银）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O 是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G 、F 、E ．（1）如图，当点O 在△ABC 的内部时，求证：四边形DGFE 是平行四边形；（2）若四边形DGFE 是菱形，则OA 与BC 应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）五、课后反馈1. 如图：矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是__________.2．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．过对角线交点Ｏ作OE AC 交AD 于E ，则AE 的长是( ) A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.43 .如图所示，矩形ABCD 中，AB =4，BC=E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个A BCDPE3题图BAD4题图C1题图2题图4 .如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A =60°，则对角线BD 的长度为（ ） A ．2 B． C ． 4 D．5.下列命题是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．一组邻边相等的四边形是菱形C ．四个角是直角的四边形是正方形D ．对角线相等的梯形是等腰梯形 6. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ） A1 BCD ．527. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH 的各边分别与半圆相切且平行于AB 或BC ，则矩形EFGH 的周长是 ．8 .如图1，在菱形ABCD 中，AC=2，BD=2 3 ，AC ，BD 相交于点O ． （1）求边AB 的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；③ 转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE ＞CE ），求CG 的长．6题图7题图A B C D 第9题图 l 1 l 2 l 3 l 4α9. .已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻的两条平行直线间的距离均 为h ，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB ＝4，BC ＝6，则tan α的值等于A ．23B ．34C ．43D ．3210.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝4，∠AOD ＝120°， 求AC 的长.11. 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠ABC ＝67.5°，△ABD 和△ABC 关于AB 所在的直线对称，点M 为边AC 上的一个动点（不与点A ，C 重合），点M 关于AB 所在直线的对称点为N ，△CMN 的面积为S ．（1）求∠CAD 的度数；（2）设CM ＝x ，求S 与x 的函数表达式，并求x 为何值时S 的值最大？（3）S 的值最大时，过点C 作EC ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，连接EN （如图2）．P 为线段EN 上一点，Q 为平面内一点，当以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出．．．．所有满足条件的NP 的长．12.如图，O ⊙的半径为1，ABC ∆是O ⊙的内接等边三角形， 点D ，E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是A ．2 B．3 C ．23D ．2313、（1）如图，在四边形ABCD 是矩形，点E 是AD 的中点，求证：EC EB =（2）如图，AB 与O ⊙相切于C ，B A ∠=∠，O ⊙的半径为6，AB ＝16，求OA 的长.ADC 第10题图N第11题图1 AN第11题图2ADEAB CDE．O第12题图。

《18.2.2 菱形》教案第一课时教学目的1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．重点、难点1．教学重点：菱形的性质1、2．2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P108中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识．课堂引入1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．例习题分析例1 （补充）已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．例2 （教材P108例2）略随堂练习1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．课后练习1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．《18.2.2 菱形》教案第二课时教学目的1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．重点、难点1．教学重点：菱形的两个判定方法．2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．例题的意图分析本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3．课堂引入1．复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3．【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形．例习题分析例1 已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴ EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．又 EF⊥AC，∴AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．※例2（选讲）已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF 中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．随堂练习1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。

第一章特殊平行四边形1．菱形的性质与判定（一）一、教学目标：1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：设置情境，提出课题；第三环节：猜想、探究与证明；第四环节：性质应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。

第一环节课前准备1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。

2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。

第二环节设置情境，提出课题【教学内容】学生：观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。

教师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？学生1：图片中有八年级学过的平行四边形。

教师：请同学们观察，彩图中的平行四边形与ABCD相比较，还有不同点吗？学生2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。

教师：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。

【注意事项】学生在通过观察对比得到菱形定义的过程中，会提出菱形的许多性质，如四条边相等、对角相等和对边平行等等，教师要对学生的答案进行积极的有鼓励性的评价，激发学生的学习积极性，同时又要强调菱形不仅是平行四边形，而且有其自身特点“一组邻边相等”，这样强化了菱形的定义，又为下面的教学内容做好了铺垫。

第三环节猜想、探究与证明【教学内容】1、想一想①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

你能列举一些这样的性质吗？学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。

学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。