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函数的极值与导数教学设计教材分析：《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。
本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
学生情况分析：学生已经初步学习了运用单调性研究导数，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，体会导数的工具作用。
教法选择：情境创设、探索发现、总结归纳学法引导：以学生发现探究，自主合作交流为主，教师点拨疏导为辅。
课堂组织形式：创设情景—发现问题—自主探索—协作探究—交流评价。
一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数极值的逆用三、教学基本流程组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程、创设情景，导入新课通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提问学生回答）、探索研讨引导学生自主学习，从而发现问题。
引导学生通过合作总结函数极值的定义从而我们得出结论: 若0满足f/=0,且在0的两侧的导数异号,则0是f的极值点,f0是极值,并且如果f/ 在0两侧满足“左正右负”,则0是f的极大值点,f0是极大值;如果f/ 在0两侧满足“左负右正”,则0是f的极小值点,f0是极小值极大值与极小值统称为极值让学生进一步理解极值的定义。
、讲解例题x规律总结掌握利用导数求极值的方法及极值的简单应用。
让学生独立总结，同学之间相互补充。
利用导数研究函数的极值教学设计辽宁省兴城市第二高级中学武丹一、教材分析：《利用导数研究函数的极值》是在学生学习了《利用导数研究函数的单调性》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
二、学情分析：学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。
三、教学目标（一）知识与技能：了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
（二）过程与方法：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（三）情感态度与价值观：体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；四、教学重点和教学难点：教学重点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。
教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
教学用具：利用多媒体辅助教学电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察。
幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率。
学法分析通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。
通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。
教学设计教学过程 教学内容设计意图一、情境设计将庐山的图片展示给学生，连绵起伏的群山和一位古人，使学生联想起以前学过的诗句：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”激发学生的学生的学生兴趣，让学生们意识到学科之间的相互联系。
二、新课引入：把表示山峰高低起伏的曲线放在直角坐标系中，观察图像，函数=f （）在1，2，3，4点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？让学生来说出观察的结果，，提高学生语言表达的能力，增强学生学习的自信心。
三、新课讲授归纳总结定义：000000,,,.f x x x f f x f x y f x x f x x x x 极大值设函数在附近有定义如果对附近的都有则称函数在点处取所有点极大值，记作，称为函数的一个极大值点 00000,,.f x x f x x x f x f x y f x x 极小值如果对附近的都有则称函数在点处取所有点极小值，记作，称为函数的一个极小值点,函数的极大值和极小值统称为极大值点与极小值点称为极值极值点.小组探究培养小组间的合作精神，培养学生的学习兴趣四、教师点拨：思考小组探究1、极值是函数的局部性质,反映了函数值在某一点附近的大小变化情况;2、极大值和极小值之间没有必然的大小联系3、函数的极值与导数的关系。
3.3.2利用导数研究函数的极值1．理解极值的定义．(难点)2．掌握利用导数求函数极值及最值的步骤，能熟练地求函数的极值、最值．(重点)3．会根据函数的极值、最值求参数的值．(难点)[基础·初探]教材整理函数的极值阅读教材P96～P98练习A上面部分内容，完成下列问题．1．极值点与极值(1)极大值点与极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任意一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)极小值点与极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任意一点的函数值都不小于x0点的函数值．称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为函数的极值.2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)函数的极大值一定大于极小值．()(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(4)函数f(x)＝1x有极值．()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型](1)①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确命题的个数有() 【导学号：25650127】A．1个B．2个C．3个D．4个。
第三章导数及其应用3. 3 导数的应用3. 3. 2 利用导数研究函数的极值（一）知1^嘗L匚新知初血1・函数极值的概念满足条件：函数y =加）的定义域内一点心，存在一个包含兀。
的开区间⑴极大值点与极大值条件：对于开区间内所有点x,都_________ •结论:在点弘处取得极大值心为函数.低）的一个极大值点，记作：y极大值=几叼）点，记作：y极小值=/（血-------------- •思考1:极值点是不是1个点?［提示］极值点不是点，是函期⑴的变号零点，是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数.2.函数的单调性与极值⑴牝是仙0）上的极大值点：QfUo）=_2_«®xE（a,血时，加）是增力啲③%岂0,份时，加）是减舛］（2）呵是@，0）上的极小值点：syv（））=P_.®xE（a, Xo）时，加）是减倔③圧％b）时，他是增力啲3.求可导函数『=加）的极值的步骤⑴求导数八兀）⑵求方程/（兀）=°的所有实数根.（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧导函数/V）的符号如何变化.①如W的符号由正变负则她。
）是极大值■②如果伽的符号由负变疋则加°）是极小值.③如果在他=0的根尸心的左右侧符号不变则加o）不是极值.思考2：导数值为0的点-定是函数的极值点吗？［提示］导数值为0的点不-定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况.初试身手Jy1.设定义在（Q, 0）上的可导函数加）的 \导函数临的冬象如图所示，则仙的极值点【\ / \八- ■ ■\~ 1° \T的个数为（）VA. 1B. 2C. 3D. 4C [在极值点两侧导数一正一负，观察图象可知极值点有3个•]2.已知函数冃⑴的导函数尸/⑴的图象如图所示，则（A.函数加）有1个极大值点，1个极小值点卜/B.函数兀）有2个极大值点，2个极小值点"乩C.函数血）有3个极大值点，1个极小值点D.函数/⑴有1个极大值点，3个极小值点A [由/匕）的图象可知/⑴在（一°°，血内递增，在（恥乃）内递减，在（加+呵递增，所以血是加）的极大值点，乃是加）的极小值点•]3.函数y=3X3-9X+5的极大值为_____11 \y' =9X2~9,令f 二0,得x二±L 当x变化时，y' , y的变化情况如下表：从上表可以看岀，当%= —1时，函数y有极大值3x(—1)'—9x(—1)+5=11.]F严严护I类型1/求函数的极值和极值点【例1】求下列函数的极值.(l»=-+31m；(2»=?-12x；(3»=-2T7-2.［思路探究］解答本题可先求㈣⑴=0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性，进而判断极值.［解］⑴函t»-;+31n x的定义域为(0, +°°),/(%)=—*+A A3 3(x~l) x_x2，4/(期二0 得x=i.当x变化时，几x),加)的变化状态如下表：因此当x=l时，加)有极小值，并且极小值为/⑴=3.(2)函数/⑴的定义域为R； /«=3?-12=3(x+2)(i-2). 4fW=0,得呛=_2或血二2.当x变化时,f(x),加)的变化状态如下表:・：由上表可知，当尸一2时，他有极大值16, 当尸2时，加)有极小值T6.(3)函数加)的定义域为R,2 x2+l — 4x2 2 x~\x+1 /⑴== - x2+l 2令%X）= 0,得呛=一1, X2=l.当x变化时，/V）、加）的变化状态如下表:由上表可以看出，当%=—1时，函数有极小值几_1）二丁_2=_3,9当x=l时，函数有极大值/⑴p—2=T.求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f⑴.(2)求加)的拐点，即求方程f⑴=0的根.(3)利用f⑴与加)瞼的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.提醒：不要忽略函数的定义域.餌踪洲练. 1.求下列函数的极值：(l»=?-3?-9x+5；(2)加尸竽［解］(1)函数加)=f—3*—9计5的定义域为R,助⑴=3"—6%—9.解方程3#—6x—9=0,得Q= —1, “2=3.当x变化时，几x)与/⑴的变化状态如下表：因此，％= —1是函数的极大值点，极大值为人一1)=10；x=3是函数的极小值点，极小值M3)=-22.(2)函数加)=导的定义域为(0, +oo),助⑴=三弊,A A4fW=o,得尸e.当X变化时,/⑴与加)的变化状态如下表:因此，x=e是函数的极大值点，极大值M)=?没有极小值.1.可导函数加)在点壮处取极值的充要条件是什么？ ［提示］(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零 的点不一定是极值点，即“函数)=加)在一点的导数值为零是函数y 二在这点取极值的必要条件，而非充分条件.”(2) 可导函数f ⑴在点犹处取得极值的充要条件是/5)=0,且在犹 左侧和右侧/⑴的符号不同.已知函数极值求参数的值(范围)［探究问题］(3)如果在加的两侧/V)的符号相同，则呵不是/⑴的极值点.2-函数在某个区间上有多个极值点，那么-定既有极大值也有极小值吗？［提示］⑴函数/W在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有-个极大值点.⑵当函数加）在某区间上连续且有有限个极值点时，函数血在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.【例2】已知他=『+3丹+加+『在兀=-1时有极值0,求常数。
§3．3．2利用导数研究函数的极值—吕嫚 营口市第二高级中学一 、教学目标1知识与技能目标：（1）了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；（2）掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法，利用导数求函数的极值和最值；； （3了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；（4）培养学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的能力。
2过程与方法目标：培养学生观察 → 分析→探究→归纳得出数学概念和规律的学习能力。
3情感态度与价值观目标：通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探究精神。
二 、教学重难点重点：掌握求可导函数的极值的一般方法。
难点：0x 为极值点的充要条件为0)(0='x f 且该点两侧的导数值异号 三、 教学方法与教学用具运用“问题探究式”“观察发现式”“讨论式”的教学方法，本节课在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过生活实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的极值定义及利用导数求极值的方法。
让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输。
为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。
四 、教学内容分析本节是人教B 版选修1-1§主要研究利用导数求可导函数的极值,分两课时，这是第一课时。
它是在学生已经学会求函数的导数并会利用导数判断函数单调性后进行学习的。
学好这一节，不仅能够加深学生对函数单调性与导数关系的理解，更是要掌导数的另一个重要应用，求函数的极值和最值。
整节课都体现了数形结合的数学思想，学好本节，对于进一步完善函数内容的知识体系，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义。
五、教学过程点统称为极值点。
学生观察图像：说出哪些是极值点，哪些是极大小值是。
概念深化一问题探究：1.极值点与极值区别？2.函数的极值能在端点处取得吗？3.函数在极值是否唯一？4.极值与最值的区别？教师提出问题，学生分组讨论，探索归纳问题结论。
3.3.2利用导数研究函数的极值(一)1．函数极值的概念满足条件：函数y＝f(x)的定义域内一点x0，存在一个包含x0的开区间．(1)极大值点与极大值条件：对于开区间内所有点x，都有f(x)＜f(x0)．结论：f(x)在点x0处取得极大值，x0为函数f(x)的一个极大值点，记作：y极大值＝f(x0)．(2)极小值点与极小值条件：对于开区间内所有点x，都有f(x)＞f(x0)．结论：f(x)在点x0处取得极小值，x0为函数f(x)的一个极小值点，记作：y极小值＝f(x0)．思考1：极值点是不是一个点？[提示]极值点不是点，是函数f′(x)的变号零点，是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数．2．函数的单调性与极值(1)x0是(a，b)上的极大值点：①f′(x0)＝0.②x∈(a，x0)时，f(x)是增加的．③x∈(x0，b)时，f(x)是减少的．(2)x0是(a，b)上的极小值点：①f′(x0)＝0.②x∈(a，x0)时，f(x)是减少的．③x∈(x0，b)时，f(x)是增加的．3．求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．思考2：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？[提示]导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况．1．设定义在(a，b)上的可导函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为()A．1 B．2C．3D．4C[在极值点两侧导数一正一负，观察图象可知极值点有3个．]2．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点A[由f′(x)的图象可知f(x)在(－∞，x2)内递增，在(x2，x3)内递减，在(x3，＋∞)递增，所以x2是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点．]3．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．11[y′＝9x2－9，令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.](1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝x3－12x；(3)f(x)＝2xx2＋1－2.[思路探究]解答本题可先求使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性，进而判断极值．[解](1)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3(x－1)x2，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：(2)函数f(x)的定义域为R；f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2或x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：∴由上表可知，当x＝－2时，f(x)有极大值16，当x＝2时，f(x)有极小值－16.(3)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝x2＋－4x2 x2＋2＝－x－x＋x2＋2.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化状态如下表：f(－1)＝－22－2＝－3，当x＝1时，函数有极大值f(1)＝22－2＝－1.求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根.(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.提醒：不要忽略函数的定义域.1．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.[解](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：值点，极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：，没有极小值.因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝1e1．可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？[提示](1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．”(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同．(3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点．2．函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？[提示](1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的．【例2】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．[思路探究] 由函数f (x )在x ＝－1处有极值，可得f′(－1)＝0且f (－1)＝0，由此列出方程求a ，b 的值，但还要注意检验求出的a ，b 的值是否满足函数取得极值的条件．[解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上是增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．因为当x ∈(－3，－1)时，f (x )是减少的；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )是增加的， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.1．(变换条件，改变问法)本例的其他条件不变，如果直线y ＝k 与函数图象有三个交点，求k 的取值范围．[解] 由典例的解析可知f (x )＝x 3＋6x 2＋9x ＋4，f′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，令f′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝－1.根据x 1，x 2列表，分析f′(x )的符号，f (x )的单调性和极值点．函数图象大致如图所示：要使直线y ＝k 与函数图象有三个交点，则0＜k ＜4.2．(变换条件)本例的条件改为“x ＝－3，x ＝－1是f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2的两个极值点”，求常数a ，b 的值．[解] 因为f′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由极值点的必要条件可知⎩⎪⎨⎪⎧3×(－3)2＋6a ×(－3)＋b ＝0，3×(－1)2＋6a ×(－1)＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －18a ＋b ＋27＝0，－6a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9， 所以a ＝2，b ＝9.由函数的极值(点)求参数的步骤(1)列式：根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．[思路探究](1)由求极值的步骤可得；(2)法一：使极大值或极小值为0，可使f(x)恰有两个实根；法二：将方程的根转化为两函数的图象问题，利用函数单调性及极值画出函数大致图象，判断即可．[解](1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时f′(x)<0，∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)法一：∵f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图①所示．∴a＋2＝0，a＝－2.①②当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图②所示．∴a－2＝0，a＝2.综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．法二：方程f(x)＝0恰好有两个实数根，等价于直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有两个交点．∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3.令y′>0，解得x>1或x<－1；令y′<0，解得－1<x<1.∴y＝x3－3x在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)和(－∞，－1)上为增函数．∴当x＝－1时，y极大值＝2；当x＝1时，y极小值＝－2.∴y＝x3－3x的大致图象如图③.y＝a表示平行于x轴的一条直线．由图象知，当a＝2或a＝－2时，y＝a与y＝x3－3x有两个相异交点．故当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．对于求方程f(x)＝a的根的个数问题，我们可转化为求函数y＝f(x)与函数y＝a 的图象的交点个数问题.在解决问题时，可遵循以下步骤：第一步：利用导数判断函数y＝f(x)的单调性、极值等情况，综合各种信息画出函数y＝f(x)的大致图象；第二步：研究函数y＝f(x)与y＝a的图象的交点个数；第三步：根据交点个数写出方程根的情况.提醒：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内一定不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.2．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．[解](1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知，y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根.1．思考辨析(1)函数的极大值一定比极小值大．( ) (2)对可导函数f (x )，f′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件．( )(3)若f (x )在某区间内有极值，那么f (x )在该区间内一定不是单调函数．( ) [提示] (1)× 函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．(2)× 必要条件． (3)√2．若函数f (x )＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．5D ．6D [∵f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，∴f′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，令f′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1，经判断易知极大值为f (0)＝a ＝6.]3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值又有极小值D [由y ′＝－2x －3x 2＝0解得x ＝0或x ＝－23. 又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23时，y ′＜0，y 为减函数；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0时，y ′＞0，y 为增函数； x ∈(0，＋∞)时，y ′＜0，y 为减函数，所以当x ＝－23时，y 极小值＝5027，当x ＝0时，y 极大值＝2.]4．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处取得极大值，在x ＝3处取得极小值，则a ＝________，b ＝________.－3 －9 [∵y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，∴－1和3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可求得a ＝－3，b ＝－9，经检验符合．]5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调区间，并求极值． [解] (1)∵f′(x )＝2ax ＋b x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，∴a ＝12，b ＝－1. (2)由(1)得f′(x )＝x －1x ＝x 2－1x＝(x ＋1)(x －1)x ，x ∈(0，＋∞)．令f′(x )＝0，解得x ＝1.当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的单调递减区间为(0,1)，递增区间为(1，＋∞)． ∴f (x )极小值＝f (1)＝12.。
