慧博数学辅导八年级(下)北师版第1章三角形的证明试题(修订精品二)

单元测试（二）一、选择题1．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧，交腰 AC于点 E，则以下结论必定正确的选项是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠ EBC=∠BAC D．∠ EBC=∠ABE2．若等腰三角形的周长为10cm，此中一边长为 2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3．如图，△ ABD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠ DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为 E，AD 与 BE的延伸线交于点F，则∠AFB的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．25°4．某城市几条道路的地点关系如下图，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若 CF与 EF的长度相等，则∠ C 的度数为（）A．48°B．40°C．30°D．24°5．如图，在△ ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB，垂足为 D，点 E 是 AB 的中点，CD=DE=a，则 AB 的长为（）A．2a B．2a C．3a D．6．如图，点 P 是∠ AOB均分线 OC上一点， PD⊥OB，垂足为 D，若 PD=2，则点P 到边 OA 的距离是（）A．2B．3C． D．47．已知△ ABC的三边长分别为4、4、6，在△ ABC所在平面内画一条直线，将△ABC 切割成两个三角形，使此中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．68．如图，在△ ABC中， AB=AC，∠ A=30°， AB 的垂直均分线l 交 AC 于点 D，则∠ CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°9．如图，在△ ABC中， AB=AC，D 为 BC 上一点，且 DA=DC， BD=BA，则∠ B 的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°10．如图， OP 是∠ AOB的均分线，点 P 到 OA 的距离为 3，点 N 是 OB 上的随意一点，则线段 PN 的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3D．PN≤311．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，以极点 A 为圆心，适合长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC于点 D，若 CD=4，AB=15，则△ ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45D．6012．如图，△ ABC的三边 AB，BC，CA长分别是 20，30，40，其三条角均分线将△ ABC分为三个三角形，则 S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5二、填空题13．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是．14．如图，已知在△ ABC中， DE 是 BC的垂直均分线，垂足为E，交 AC于点 D，若 AB=6，AC=9，则△ ABD的周长是．15．如图 1 是一把园林剪刀，把它抽象为图2，此中 OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠ A=度．16．如图，在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=36°，DE 是线段 AC 的垂直均分线，若BE=a，AE=b，则用含 a、 b 的代数式表示△ ABC的周长为．17．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°， BD 均分∠ ABC交 AC于点 D， DE垂直均分AB，垂足为 E 点，请随意写出一组相等的线段．三、解答题18．如图， OM 均分∠ POQ， MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B 为垂足， AB 交 OM 于点N．求证：∠ OAB=∠ OBA．19．如图，已知等腰三角形ABC 中， AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且AD=AE，连结 BE、CD，交于点 F．(1)判断∠ ABE与∠ ACD的数目关系，并说明原因；(2)求证：过点 A、 F 的直线垂直均分线段BC．20．如图，在 Rt△ABC中，∠ ABC=90°，CD均分∠ ACB交 AB 于点 D，DE⊥ AC于点 E，BF∥ DE交 CD于点 F．求证： DE=BF．21．如图， AD 均分∠ BAC，AD⊥BD，垂足为点 D， DE∥AC．求证：△ BDE是等腰三角形．22．已知：如图，四边形ABCD中，对角线 AC， BD 订交于点 O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．(1)求证： BD 均分∠ ABC；(2)若∠ DAC=45°，OA=1，求 OC的长．23．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°，AD 均分∠ BAC， DE⊥ AB 于 E．求证：直线 AD 是线段 CE的垂直均分线．答案与分析1．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧，交腰 AC于点 E，则以下结论必定正确的选项是（）A．AE=EC B．AE=BE C．∠ EBC=∠BAC D．∠ EBC=∠ABE【考点】 KH：等腰三角形的性质．【专题】选择题【剖析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确立正确的选项．【解答】解：∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB，∵以点 B 为圆心， BC长为半径画弧，交腰AC于点 E，∴BE=BC，∴∠ ACB=∠BEC，∴∠ BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠ A=∠ EBC，应选 C．【评论】本题考察了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．2．若等腰三角形的周长为10cm，此中一边长为 2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【考点】 KH：等腰三角形的性质； K6：三角形三边关系．【专题】选择题【剖析】分为两种状况： 2cm 是等腰三角形的腰或 2cm 是等腰三角形的底边，而后进一步依据三角形的三边关系进行剖析可否组成三角形．【解答】解：若 2cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为 10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜ 6，不切合三角形的三边关系；若 2cm 为等腰三角形的底边，则腰长为（ 10﹣ 2）÷ 2=4（cm），此时三角形的三边长分别为 2cm， 4cm，4cm，切合三角形的三边关系；应选 A．【评论】本题考察了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形随意两边之和大于第三边．3．如图，△ ABD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠ DBC=90°，∠BCD=60°，DC中点为 E，AD 与 BE的延伸线交于点F，则∠AFB的度数为（）A．30°B．15°C．45°D．25°【考点】 KP：直角三角形斜边上的中线；KW：等腰直角三角形．【专题】选择题【剖析】依据直角三角形的性质获得 BE=CE，求得∠ CBE=60°，获得∠DBF=30°，依据等腰直角三角形的性质获得∠ ABD=45°，求得∠ ABF=75°，依据三角形的内角和即可获得结论．【解答】解：∵∠ DBC=90°， E 为 DC中点，∴BE=CE=CD，∵∠ BCD=60°，∴∠ CBE=60°，∴∠ DBF=30°，∵△ ABD是等腰直角三角形，∴∠ ABD=45°，∴∠ ABF=75°，∴∠ AFB=180°﹣90°﹣75°=15°，应选 B．【评论】本题考察了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，娴熟掌握直角三角形的性质是解题的重点．4．某城市几条道路的地点关系如下图，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若 CF与 EF的长度相等，则∠ C 的度数为（）A．48°B．40°C．30°D．24°【考点】 KH：等腰三角形的性质； JA：平行线的性质．【专题】选择题【剖析】先依据平行线的性质，由AB∥CD 获得∠ 1=∠BAE=45°，而后依据三角形外角性质计算∠ C 的度数．【解答】解：∵ AB∥CD，∴∠ 1=∠ BAE=48°，∵∠ 1=∠ C+∠E，∵CF=EF，∴∠ C=∠ E，∴∠ C=∠1=×48°=24°．应选 D．【评论】本题考察了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．5．如图，在△ ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB，垂足为 D，点 E 是 AB 的中点，CD=DE=a，则 AB 的长为（）A．2a B．2a C．3a D．【考点】 KP：直角三角形斜边上的中线．【专题】选择题【剖析】依据勾股定理获得CE=a，依据直角三角形的性质即可获得结论．【解答】解：∵ CD⊥AB，CD=DE=a，∴CE=a，∵在△ ABC中，∠ ACB=90°，点 E 是 AB 的中点，∴AB=2CE=2a，应选 B．【评论】本题考察了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理的应用，能求出AE=CE是解本题的重点，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6．如图，点 P 是∠ AOB均分线 OC上一点， PD⊥OB，垂足为 D，若 PD=2，则点P 到边 OA 的距离是（）A．2B．3C． D．4【考点】 KF：角均分线的性质．【专题】选择题【剖析】作 PE⊥ OA 于 E，依据角均分线的性质解答．【解答】解：作 PE⊥OA 于 E，∵点 P 是∠ AOB均分线 OC上一点， PD⊥ OB， PE⊥OA，∴PE=PD=2，应选： A．【评论】本题考察的是角均分线的性质，掌握角的均分线上的点到角的两边的距离相等是解题的重点．7．已知△ ABC的三边长分别为 4、4、6，在△ ABC所在平面内画一条直线，将△ ABC 切割成两个三角形，使此中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6【考点】 KI：等腰三角形的判断．【专题】选择题【剖析】依据等腰三角形的性质，利用 4 作为腰或底边得出切合题意的图形即可．【解答】解：如下图：当 AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能获得切合题意的等腰三角形．应选 B．【评论】本题主要考察了等腰三角形的判断以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类议论得出是解题重点．8．如图，在△ ABC中， AB=AC，∠ A=30°， AB 的垂直均分线l 交 AC 于点 D，则∠ CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°【考点】 KH：等腰三角形的性质； KG：线段垂直均分线的性质．【专题】选择题【剖析】依据三角形的内角和定理，求出∠C，再依据线段垂直均分线的性质，推得∠ A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠ BDC的度数，从而得出∠ CBD=45°．【解答】解：∵ AB=AC，∠ A=30°，∴∠ ABC=∠ACB=75°，∵AB的垂直均分线交 AC于 D，∴ AD=BD，∴∠ A=∠ ABD=30°，∴∠ BDC=60°，∴∠ CBD=180°﹣ 75°﹣ 60°=45°．应选 B．【评论】本题主要考察线段的垂直均分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的重点．本题的解法好多，用底角75°﹣30°更简单些．9．如图，在△ ABC中， AB=AC，D 为 BC 上一点，且 DA=DC， BD=BA，则∠ B 的大小为（）A．40°B．36°C．30°D．25°【考点】 KH：等腰三角形的性质．【专题】选择题【剖析】依据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠ BDA=∠BAD=2∠B，在△ ABD中利用三角形内角和定理可求出∠ B．【解答】解：∵ AB=AC，∴∠ B=∠ C，∵CD=DA，∴∠C=∠ DAC，∵BA=BD，∴∠ BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，又∵∠ B+∠BAD+∠BDA=180°，∴5∠ B=180°，∴∠ B=36°，应选 B．【评论】本题主要考察等腰三角形的性质，掌握等边平等角是解题的重点，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．10．如图， OP 是∠ AOB的均分线，点 P 到 OA 的距离为 3，点 N 是 OB 上的随意一点，则线段 PN 的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3D．PN≤3【考点】 KF：角均分线的性质．【专题】选择题【剖析】作 PM⊥OB 于 M，依据角均分线的性质获得PM=PE，获得答案．【解答】解：作 PM⊥OB 于 M ，∵OP是∠ AOB 的均分线， PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3，应选： C．【评论】本题考察的是角均分线的性质，掌握角的均分线上的点到角的两边的距离相等是解题的重点．11．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，以极点 A 为圆心，适合长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交边 BC于点 D，若 CD=4，AB=15，则△ ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45D．60【考点】 KF：角均分线的性质．【专题】选择题【剖析】判断出 AP 是∠ BAC的均分线，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，依据角均分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=CD，而后依据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意得 AP是∠ BAC的均分线，过点 D 作 DE⊥ AB于 E，又∵∠ C=90°，∴DE=CD，∴△ ABD的面积 =AB?DE=× 15×4=30，应选 B．【评论】本题考察了角均分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角均分线的画法，熟记性质是解题的重点．12．如图，△ ABC的三边 AB，BC，CA长分别是 20，30，40，其三条角均分线将△ ABC分为三个三角形，则 S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【考点】 KF：角均分线的性质．【专题】选择题【剖析】利用角均分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是 20，30，40，因此面积之比就是 2： 3： 4．【解答】解：利用同高不一样底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．应选 C．【评论】本题主要考察了角均分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式特别重要的．13．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是．【考点】 KH：等腰三角形的性质．【专题】填空题【剖析】依据 100°角是钝角判断出只好是顶角，而后依据等腰三角形两底角相等解答．【解答】解：∵ 100°＞90°，∴100°的角是顶角，故答案为： 100°．【评论】本题考察了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出 100°的角是顶角是解题的重点．D，14．如图，已知在△ ABC中， DE 是BC的垂直均分线，垂足为E，交AC于点若 AB=6，AC=9，则△ ABD的周长是．【考点】 KG：线段垂直均分线的性质．【专题】填空题【剖析】依据线段的垂直均分线的性质获得 DB=DC，依据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵ DE是 BC的垂直均分线，∴△ ABD的周长 =AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，故答案为： 15．【评论】本题考察的是线段的垂直均分线的性质，掌握线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的重点．15．如图1 是一把园林剪刀，把它抽象为图2，此中OA=OB．若剪刀张开的角为30°，则∠ A=度．【考点】 KH：等腰三角形的性质．【专题】填空题【剖析】依据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可获得结论．【解答】解：∵ OA=OB，∠ AOB=30°，∴∠ A=（ 180°﹣30°）=75°，故答案为： 75．【评论】本题考察了等腰三角形的性质，三角形的内角和，娴熟掌握等腰三角形的性质是解题的重点．16．如图，在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=36°，DE 是线段 AC 的垂直均分线，若BE=a，AE=b，则用含 a、 b 的代数式表示△ ABC的周长为．【考点】 KH：等腰三角形的性质； KG：线段垂直均分线的性质．【专题】填空题【剖析】由题意可知： AC=AB=a+b，因为 DE是线段 AC的垂直均分线，∠BAC=36°，因此易证 AE=CE=BC=b，从可知△ ABC的周长；【解答】解：∵ AB=AC，BE=a，AE=b，∴AC=AB=a+b，∵ DE是线段 AC的垂直均分线，∴∠ ECA=∠BAC=36°，∵∠ BAC=36°，∴∠ ABC=∠ACB=72°，∴∠ BCE=∠ACB﹣∠ ECA=36°，∴∠ BEC=180°﹣∠ ABC﹣∠ ECB=72°，∴CE=BC=b，∴△ ABC的周长为： AB+AC+BC=2a+3b故答案为： 2a+3b．【评论】本题考察线段垂直均分线的性质，解题的重点是利用等腰三角形的性质以及垂直均分线的性质得出 AE=CE=BC，本题属于中等题型．17．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°， BD 均分∠ ABC交 AC于点 D， DE垂直均分AB，垂足为 E 点，请随意写出一组相等的线段．【考点】 KG：线段垂直均分线的性质；KF：角均分线的性质．【专题】填空题【剖析】依据线段的垂直均分线的性质解答即可．【解答】解：∵ DE垂直均分 AB，∴BE=EA，故答案为： BE=EA．【评论】本题考察的是线段的垂直均分线的性质，掌握线段的垂直均分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的重点．18．如图， OM 均分∠ POQ， MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B 为垂足， AB 交 OM 于点N．求证：∠ OAB=∠ OBA．【考点】 KF：角均分线的性质； KD：全等三角形的判断与性质．【专题】解答题【剖析】依据角均分线上的点到角的两边的距离相等可得AM=BM，而后利用“HL”证明 Rt△ AOM 和 Rt△BOM 全等，依据全等三角形对应边相等可得OA=OB，再根据等边平等角的性质即可得证．【解答】证明：∵ OM 均分∠ POQ， MA⊥OP，MB⊥OQ，∴ AM=BM，在 Rt△AOM 和 Rt△ BOM 中，，∴ Rt△AOM≌Rt△ BOM（ HL），∴ OA=OB，∴∠ OAB=∠OBA．【评论】本题考察了角均分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判断与性质，等边平等角的性质，熟记性质是解题的重点．19．如图，已知等腰三角形 ABC 中， AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且AD=AE，连结 BE、CD，交于点 F．(1)判断∠ ABE与∠ ACD的数目关系，并说明原因；(2)求证：过点 A、 F 的直线垂直均分线段BC．【考点】 KH：等腰三角形的性质； KG：线段垂直均分线的性质．【专题】解答题【剖析】 (1)证得△ ABE≌△ ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；(2)利用垂直均分线段的性质即可证得结论．【解答】解： (1)∠ABE=∠ACD；在△ ABE和△ ACD中，，∴△ ABE≌△ ACD，∴∠ ABE=∠ACD；(2)∵AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB，由 (1)可知∠ ABE=∠ACD，∴∠ FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵ AB=AC，∴点 A、F 均在线段 BC的垂直均分线上，即直线 AF垂直均分线段 BC．【评论】本题考察了等腰三角形的性质及垂直均分线段的性质的知识，解题的重点是可以从题目中整理出全等三角形，难度不大．20．如图，在 Rt△ABC中，∠ ABC=90°，CD均分∠ ACB交 AB 于点 D，DE⊥ AC于点 E，BF∥ DE交 CD于点F．求证： DE=BF．【考点】 KF：角均分线的性质； JA：平行线的性质．【专题】解答题【剖析】依据角均分线的定义获得∠1=∠2，依据角均分线的性质获得DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质获得 3=∠5，于是获得结论．【解答】证明：∵ CD均分∠ ACB，∴∠ 1=∠ 2，∵DE⊥AC，∠ABC=90°∴ DE=BD，∠ 3=∠4，∵ BF∥DE，∴∠ 4=∠ 5，∴∠ 3=∠ 5，∴BD=BF，∴ DE=BF．【评论】本题考察了角均分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判断和性质，娴熟掌握角均分线的性质是解题的重点．21．如图， AD 均分∠ BAC，AD⊥BD，垂足为点 D， DE∥AC．求证：△ BDE是等腰三角形．【考点】 KI：等腰三角形的判断； JA：平行线的性质．【专题】解答题【剖析】直接利用平行线的性质得出∠ 1=∠ 3，从而利用角均分线的定义联合互余的性质得出∠ B=∠BDE，即可得出答案．【解答】证明：∵ DE∥AC，∴∠ 1=∠ 3，∵AD 均分∠ BAC，∴∠ 1=∠ 2，∴∠ 2=∠ 3，∵AD⊥BD，∴∠ 2+∠ B=90°，∠ 3+∠BDE=90°，∴∠ B=∠ BDE，∴△ BDE是等腰三角形．【评论】本题主要考察了平行线的性质以及角均分线的定义，正确得出∠ 2=∠3 是解题重点．22．已知：如图，四边形 ABCD中，对角线 AC， BD 订交于点 O，AB=AC=AD，∠ DAC=∠ABC．(1)求证： BD 均分∠ ABC；(2)若∠ DAC=45°，OA=1，求 OC的长．【考点】 KF：角均分线的性质； JB：平行线的判断与性质．【专题】解答题【剖析】 (1)依据等腰三角形的性质、平行线的性质以及角均分线的定义证明；(2)过点 O 作 OE⊥BC于 E，依据角均分线的性质获得OE=OA，依据勾股定理计算即可．【解答】 (1)证明：∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB，∵∠ DAC=∠ABC，∴∠ DAC=∠ACB．∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD．又∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD．∴∠ ABD=∠CBD．∴BD均分∠ ABC；(2)解：过点 O 作 OE⊥BC于 E，∵∠ DAC=45°，∠DAC=∠ABC，∴∠ ABC=∠ACB=45°，∴∠ B AC=90°，∵BD均分∠ABC，∴ OE=OA=1．在 Rt△OEC中，∠ ACB=45°，OE=1，∴ OC=．【评论】本题考察的是角均分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握角的均分线上的点到角的两边的距离相等是解题的重点．23．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°，AD 均分∠ BAC， DE⊥ AB 于 E．求证：直线 AD 是线段 CE的垂直均分线．【考点】 KF：角均分线的性质； KD：全等三角形的判断与性质； KG：线段垂直均分线的性质； KN：直角三角形的性质．【专题】解答题【剖析】因为 DE⊥AB，易得∠ AED=90°=∠ ACB，而 AD 均分∠ BAC，易知∠ DAE=∠DAC，又因为 AD=AD，利用 AAS可证△ AED≌△ ACD，那么 AE=AC，而 AD 均分∠BAC，利用等腰三角形三线合必定理可知 AD⊥CE，即得证．【解答】证明：∵ DE⊥AB，∴∠ AED=90°=∠ ACB，又∵ AD 均分∠ BAC，∴∠ DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△ AED≌△ ACD，∴AE=AC，∵AD 均分∠ BAC，∴ AD⊥CE，即直线 AD 是线段 CE的垂直均分线．【评论】本题考察了线段垂直均分的定义、全等三角形的判断和性质、等腰三角形三线合必定理，解题的重点是证明 AE=AC．。

一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC =，BD 平分ABC ∠，将BCD △连续翻折两次，C 点的对应点E 点落在边AB 上，B 点的对应点F 点恰好落在边AC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．18,2A AD BD ∠=︒=B ．18,A AD BC BD ∠=︒=+ C ．20,2A AD BD ∠=︒= D ．20,A AD BC BD ∠=︒=+2．如图，在ABC ∆中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，点D 在AB 上，连结CD ，将ADC ∆沿CD 折叠，点A 的对称点为E ，CE 交AB 于点F ，下列结论正确的个数是（ ） ①当BF =BC 时，EF =23-2；②当BF =BC 时，DEF ∆为直角三角形；③当DEF ∆为直角三角形，EF =23-2；④当DE 平行ABC ∆的边时，∠BCE =30°A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，EF 经过点O 且//EF BC ，若7AB =，8AC =，9BC =，则AEF 的周长是（ ）A ．15B ．16C ．17D ．244．如图，30MON ∠=︒点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ，223A B A ，334A B A ，…均为等边三角形，若11OA =，则边67B B 的长为（）A．63B．123C．323D．6435．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°6．如图，直线AB，CD交于点O，若AB，CD是等边△MNP的两条对称轴，且点P在直线CD上（不与点O重合），则点M，N中必有一个在（）A．∠AOD的内部B．∠BOD的内部C．∠BOC的内部D．直线AB上7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为（）A3B．2 C．3 D．3⊥于E，Q为BC延8．如图，过边长为3的等边ABC的边AB上一点P，作PE AC=时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（）长线上一点，当PA CQA ．13B ．12C ．32D ．29．如图，在Rt ABC △中，90BAC ︒∠=，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则下列结论一定成立的是（ ）A ．AC AE =B ．EC AE = C ．BE AE =D ．AC EC = 10．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于G ，交BE 于H ．下列结论：①BE BCE S S =△A △；②2BAG ACF ∠=∠；③AFG AGF ∠=∠；④BH CH =．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①②③C ．②③④D ．①②③④ 11．如图，直线a ，b 相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O ，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知，如图在ABC 中，AB AC =，AD 是三角形的高，若20CAD ∠=︒，则B的度数是（ ）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒二、填空题13．如图，OA OB OC ==且30ACB ∠=︒，则AOB ∠的大小是______度．14．在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板如图放置，其中(2,0)A ，(0,1)B ，则点C 的坐标为_______．15．如图，在△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，若∠BOC ＝80°，则∠A ＝_____．16．如图，OA ，OB 分别是线段MC 、MD 的垂直平分线，MD ＝5cm ，MC ＝7cm ，CD ＝10cm ，一只小蚂蚁从点M 出发，爬到OA 边上任意一点E ，再爬到OB 边上任意一点F ，然后爬回M 点，则小蚂蚁爬行的最短路径的长度为_____．17．如图，已知△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，有以下四个结论：①点P 在∠BAC 的平分线上；②△BRP ≌△QSP ；③QP ∥AR ；④△PQC 是等边三角形，其中正确的有______个．18．上午9时，一条船从海岛A 出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛B 处，如图，海岛A 在灯塔C 的南偏西32°方向，灯塔C 在海岛B 的北偏东64°方向，则灯塔C 到海岛B 的距离是______海里．19．如图，在ABC ∆中，AB AC =，36BAC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于点D ，E 是AB 的中点．连接ED 并延长，交BC 的延长线于点F ，连接AF ．写出图中三角形中所有的等腰三角形______．20．如图，已知∠MON=30°，点123,,A A A ...在射线ON 上，点123,,B B B ...在射线OM 上，112233334,,A B A A B A A B A ∆∆∆..均为等边三角形，若11OA =，则202020202021A B A ∆的边长为_______．三、解答题21．已知：如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，36A ∠=︒（1）利用尺规作B 平分线BD ，交AC 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）判断ABD △是否为等腰三角形，并说明理由．22．如图，在等边△ABC 的AC ，BC 上各取一点D ，E ，使AD =CE ，AE ，BD 相交于点M ，过点B 作直线AE 的垂线BH ，垂足为H ．（1）求证：△ACE ≌△BAD ；（2）若BE =2EC =4．①求△ABC 的面积；②求MH 的长．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，10AB =，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 的长．24．如图，已知四边形ABCD．（1）在边BC上找一点P，使得AP+PD的值最小，在图①中画出点P；（2）请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：①在线段AC上找一点M，使得BM＝CM，请在图②中作出点M；②若AB与CD不平行，且AB＝CD，请在线段AC上找一点N，使得△ABN和△CDN的面积相等，请在图③中作出点N．25．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC 交CE的延长线于点F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）连结DF，求证：AB垂直平分DF；（3）连结AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．26．在平面直角坐标系中，已知A（x，y），且满足x2+6x+y2﹣6y+18＝0，过点A作AB⊥y 轴，垂足为B．（1）求A点坐标；（2）如图1，若分别以AB、AO为边作等边△ABC和等边△AOD，试判定线段AC和CD的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图2，若在x轴正半轴上取一点M，连接BM并延长至N，以BN为直角边作等腰Rt△BNE，∠BNE＝90°，过点A作AF∥y轴交BE于点F，连接MF，设OM＝a，MF＝b，AF＝c，试证明：11ca b ab +=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设∠ABC=∠C=2x，根据折叠的性质得到∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°BD=DF，BC=BE=EF，在△BDC中利用内角和定理列出方程，求出x值，可得∠A，再证明AF=EF，从而可得AD =BC+BD．【详解】解：∵AB=AC，BD平分∠ABC，设∠ABC=∠C=2x，则∠A=180°-4x，∴∠ABD=∠CBD=x，第一次折叠，可得：∠BED=∠C=2x，∠BDE=∠BDC，第二次折叠，可得：∠BDE=∠FDE，∠EFD=∠ABD=x，∠BED=∠FED=∠C=2x，∵∠BDE+∠BDC+∠FDE=180°，∴∠BDE=∠BDC=∠FDE=60°，∴x+2x+60°=180°，∴x=40°，即∠ABC=∠ACB=80°，∴∠A=20°，∴∠EFD=∠EDB=40°，∴∠AEF=∠EFD-∠A=20°，∴AF=EF=BE=BC ，∴AD=AF+FD=BC+BD ，故选D ．【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．2．C解析：C【分析】由勾股定理可求A C 的长，利用折叠的性质和等腰三角形的性质依次计算可得①②正确．利用直角三角形分类讨论可知EF 有两种情况，③不正确，由平行内错角角相等可知④正确；【详解】解：①∵BF =BC ，且∠ABC =60°，∴BCF ∆为等边三角形，BF =CF =BC =2，AC AB =4，∵ADC ∆沿CD 折叠，∴CE =AC EF =CE -CF，故①正确；②当BF =BC 时，∠EFD =∠BFC =60°，∴∠DEF =∠A =30°，∠EDF =90°，∴EDF ∆为直角三角形，故②正确；③当DEF ∆为直角三角形时，此处要分情况讨论，当∠EDF =90°时，∵∠DEF =∠A =30°，∴∠EFD =60°=∠BFC ，EF =EC -CF-2，当∠EFD =90°时，∵∠ABC =60°，∠BCF =30°，∴FCEF =EC -FC ，综上所述，EF ，故③错误；④当DE 平行于ABC ∆的边时，∵DE ∥BC ，∴∠EDF =∠ABC =60°，∵∠DEC =30°，∴∠BCF =∠DEC =30°，故④正确，故选C【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CA ，学会运用分类讨论是解题的关键．3．A解析：A【分析】先根据平行线的性质、角平分线的定义、等边对等角得到BE=OE，OF=CF，再进行线段的代换即可求出AEF的周长．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，，∵BO平分ABC∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，同理可得：OF=CF，∴AEF的周长为AE+AF+EF=AE+OE+OF+AF= AE+BE+CF+AF=AB+AC=7+8=15．故答案为：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定“等边对等角”，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键．4．C解析：C【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出B1B2B2B3，B3B4B n B n+1的长为 2，进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2=2，∴B1B2=3，∵B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，∴B2B3=23，∵A4B4=8B1A2=8，∴B3B4=43，以此类推，B n B n+1的长为2n-13，∴B6B7的长为323，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键．5．B解析：B【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．【详解】∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD又∵CD平分∠ACB，∠A＝50°，∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6．D【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可．【详解】解：如图，∵△PMN是等边三角形，等边三角形的对称轴一定经过三角形的顶点，又∵直线CD，AB是△PMN的对称轴，直线CD经过点P，∴直线AB一定经过点M或N，故选：D．【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．C解析：C【分析】求出∠BCD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC=2，求出AB=4，即可得出答案．【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CD是高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=30°，∵BD=1，∴BC=2BD=2，∵在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AD=AB-BD=4-1=3，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是得出BC=2BD和AB=2BC，难度适中．8．C解析：C过P 作//PF BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP PF QC ==，根据等腰三角形性质求出EF AE =，证PFD QCD ∆≅∆，推出FD CD =，推出12DE AC =即可． 【详解】解：过P 作//PF BC 交AC 于F ， //PF BC ，ABC ∆是等边三角形，PFD QCD ∴∠=∠，60APF B ∠=∠=︒，60AFP ACB ∠=∠=︒，60A ∠=︒， APF ∴∆是等边三角形，AP PF AF ∴==，PE AC ⊥，AE EF ∴=，AP PF =，AP CQ =，PF CQ ∴=，在PFD ∆和QCD ∆中PFD QCD PDF CDQ PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， PFD QCD ∴∆≅∆，FD CD ∴=，AE EF =，EF FD AE CD ∴+=+，12AE CD DE AC ∴+==， 3AC =，32DE ∴=， 故选：C ．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．9．D解析：D根据角平分线的性质得出∠BAE=∠DAE ，再根据∠CEA=∠B+∠BAE ，∠CAE=∠CAD+∠DAE 得出∠CAE=∠CEA 即可得出答案．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴∠BAE+∠DAE+∠CAD=90°，∠B+∠C=90°∵AD ⊥BC∴∠BAE+∠DAE+∠B=90°，∠DAE+∠DEA=90°，∠CAD+∠C=90°∵AE 平分BAD ∠∴∠DAE=∠BAE∵∠B+∠C=90°∴∠CAD=∠B∵∠CEA=∠B+∠BAE∴∠CEA=∠DAE+∠CAD=∠CAE∴AC=EC ，其他选项均缺少条件，无法证明一定相等，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形两锐角和为90°，角平分线的定义以及等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．B解析：B【分析】根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD ＝∠ACB ，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC ＝∠DAC ，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．【详解】解：∵BE 是中线，∴AE ＝CE ，∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积，故①正确；∵AD 为高，∴∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC +∠ACB ＝90°，∠ABC +∠BAD ＝90°，∴∠ACB ＝∠BAD ，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ACB ＝2∠ACF ，∴∠BAD ＝2∠ACF ，即∠BAG ＝2∠ACF ，故②正确；∵CF 是角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，∵AD 为高，∴∠ADC ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABC +∠ACB ＝90°，∠ACB +∠CAD ＝90°，∴∠ABC ＝∠CAD ，∵∠AFG ＝∠ABC +∠BCF ，∠AGF ＝∠CAD +∠ACF ，∴∠AFG ＝∠AGF ，故③正确；根据已知条件不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出BH ＝CH ，故④错误；故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．11．D解析：D【分析】以点O 、A 、B 为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为OA OB =，OA AB =，OB AB =，从这三方面考虑点B 的位置即可．【详解】解：如图所示，①当OA OB =时，以点O 为圆心，OA 为半径作圆，与直线b 在O 点两侧各有一个交点，此时B 点有2个；②当OA AB =时，以点A 为圆心，OA 为半径作圆，与直线b 有另外一个交点，此时B 点有1个；③当OB AB =时，作OA 的垂直平分线，与直线b 有一个交点，此时B 点有1个， 综上，B 点总共有4个，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B 是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD ＝20°，∠ABC ＝∠ACB ，根据三角形内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的高，∴∠BAD ＝∠CAD ＝20°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝180402︒-︒＝70°， 故选：D ．【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的高线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．【分析】设∠OAC=x ∠CAB=y根据等腰三角形的性质则∠OCA=x ∠OBA=x+y ∠OBC=x+30°利用三角形内角和定理计算即可【详解】解：设∠OAC=x ∠CAB=y ∵OA=OC ∴∠OCA=x ∵解析：60．【分析】设∠OAC=x ，∠CAB=y ，根据等腰三角形的性质，则∠OCA=x ，∠OBA=x+y ，∠OBC=x+30°，利用三角形内角和定理计算即可．【详解】解：设∠OAC=x ，∠CAB=y ，∵OA=OC ，∴∠OCA=x ，∵OA=OB ，∵OC=OB ，∴∠OBC=x+30°，∵30ACB ∠=︒，∴∠CAB+∠OBA+∠OBC=150°，∴y+x+y+ x+30°=150°，∴2(x+y)=120°，∵∠AOB=180°-2∠OBA=180°-2(x+y)，∴∠AOB=180°-120°=60°，故答案为：60．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练应用性质，合理引进未知数，采用设而不求的思想计算是解题的关键．14．【分析】如图过点C 作CH ⊥x 轴于H 证明△AHC ≌△BOA （AAS ）可得结论【详解】解：如图过点C 作CH ⊥x 轴于H ∵∠AHC=∠CAB=∠AOB=90°∴∠BAO+∠CAH=90°∠CAH+∠ACH=解析：(3,2)【分析】如图，过点C 作CH ⊥x 轴于H ．证明△AHC ≌△BOA （AAS ），可得结论．【详解】解：如图，过点C 作CH ⊥x 轴于H ．∵∠AHC=∠CAB=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠CAH=90°，∠CAH+∠ACH=90°，∴∠ACH=∠BAO ，在△AHC 和△BOA 中，AHC AOB ACH OAB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AHC ≌△BOA （AAS ），∴AH=OB ，CH=OA ，∵A （2，0），B （0，1），∴OA=CH=2，OB=AH=1，∴C（3，2）．故答案为：（3，2）．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．15．40°【分析】连接OA根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB=100°根据线段垂直平分线的性质得到AO=BOAO=CO根据等腰三角形的性质计算即可【详解】解：连接OA∵∠BOC＝80°∴∠OBC解析：40°．【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB=100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO，AO=CO，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：连接OA，∵∠BOC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝100°，∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴AO＝BO，AO＝CO，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠B AC＝∠OAB+∠OAC＝40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．16．10cm【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论【详解】解：设CD与OA的交点为E与OB的交点为F∵OAOB分别是线段MCMD的垂直平分线∴ME＝CEMF＝DF∴小蚂蚁爬行的路径解析：10cm【分析】根据轴对称的性质和线段的垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】解：设CD与OA 的交点为E，与OB的交点为F，∵OA 、OB 分别是线段MC 、MD 的垂直平分线，∴ME ＝CE ，MF ＝DF ，∴小蚂蚁爬行的路径最短＝CE+EF+DF=CD ＝10cm ，故答案为：10cm ．【点睛】本题考查了轴对称的性质-最短路径的问题，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握知识点．17．4【分析】根据角平分线的判定定理可知①正确；根据等腰三角形的性质角平分线的性质可得所以内错角相等所以所以为等边三角形所以可判断③④正确再根据①③④的结论易证②正确【详解】点P 在的平分线上故①正确；A解析：4【分析】根据角平分线的判定定理可知①正确；根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，可得APQ QAP ∠=∠，QAP BAP ∠=∠，所以APQ BAP ∠=∠，内错角相等，所以//QP AR ，所以60BAC C ∠=∠=︒，PCQ △为等边三角形，所以可判断③④正确，再根据①③④的结论易证②正确．【详解】,,PR PS PR AB PS AC =⊥⊥90PRB PSQ ∴∠=∠=︒∴点P 在BAC ∠的平分线上，故①正确；PQ AQ =APQ QAP ∴∠=∠AP 平分BAC ∠QAP BAP ∴∠=∠APQ BAP ∴∠=∠//QP AR ∴，故③正确； ABC 为等边三角形60B C BAC ∴∠=∠=∠=︒//QP AR60BAC PQS ∴∠=∠=︒PQC ∴是等边三角形，故④正确；∴在BRP △和QSP 中B PQS PRB PSQ PR PS ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BRP △≌QSP 故②正确综上所述①②③④都正确故答案为：4.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，角平分线的性质定理，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．18．24【分析】作点C 垂直AB 于点DBE 垂直CE 于点E 由题意可求出AB 的长继而根据方位角可求出∠ACE=∠CAB=∠BCA 即可求解；【详解】解：如图作点C 垂直AB 于点DBE 垂直CE 于点E 由题意知：船的速解析：24【分析】作点C 垂直AB 于点D ，BE 垂直CE 于点E ，由题意可求出AB 的长，继而根据方位角可求出∠ACE=∠CAB=∠BCA ，即可求解；【详解】解：如图，作点C 垂直AB 于点D ，BE 垂直CE 于点E ，由题意知：船的速度为12海里，时间为2小时，∴ ()1211924AB =⨯-=，∵∠CBD=64°，∴∠BCD=90°-64°=26°，∵∠ACE=32°，∴∠BCA=90°-26°-32°=32°，∴∠ACE=∠CAB=∠BCA=32°，∴AB=BC=24，故答案为：24．【点睛】本题考查了平行线的性质，方位角以及等腰三角形的性质，正确掌握知识点是解题的关键．19．△ABD△BCD△ABC△ACF△ABF【分析】分别求出所有的角度即可求解【详解】解：∵AB=AC∠BAC=36°∴∠ABC=∠ACB=72°△ABC是等腰三角形∵BD是∠ABC的平分线∴∠ABD=解析：△ABD，△BCD，△ABC，△ACF，△ABF【分析】分别求出所有的角度，即可求解．【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，△ABC是等腰三角形，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=36°=∠BAC，∴AD=BD，∠BDC=∠BAC+∠ABD=72°=∠ACB，∴△ABD是等腰三角形，BD=BC，∴△BDC是等腰三角形，∵AD=BD，E是AB的中点，∴DE是AB的中垂线，∴AF=BF，∴∠ABF=∠BAF=72°，△ABF 是等腰三角形，∴∠CAF=36°=∠AFB ，∴AC=CF ，∴△ACF 是等腰三角形，故答案为：△ABD ，△BCD ，△ABC ，△ACF ，△ABF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．20．【分析】根据等边三角形的性质等腰三角形的性质以及含角的直角三角形得出得出以此类推进而得到答案【详解】∵是等边三角形∴∴∵∴∴∵∴∴∵是等边三角形同理可得：∴∴以此类推∴的边长故答案为：【点睛】本题考 解析：20192【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30角的直角三角形得出22122A B B A =，得出331244A B B A ==，441288A B B A ==，551216A B B A =，以此类推，进而得到答案．【详解】∵112A B A ∆是等边三角形，∴1121A B A B =，11211212160A B A B A A A A B ∠=∠=∠=︒，∴11120OA B ∠=︒，∵30MON ∠=︒，∴11111801801203030OB A OA B MON ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴1211112306090OB A OB A A B A ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵1130MON OB A ∠=∠=︒，∴1111OA A B ==，∴211A B =，∵233A B A ∆、334A B A ∆是等边三角形，同理可得：∴22122A B B A =，33232A B B A =，∴3123312242A B B A -===，4134412282A B B A -===，51455122162A B B A -===，以此类推，∴202020202021A B A ∆的边长20192=，故答案为：20192．【点睛】本题考查了规律性-图形的变化类，等边三角形的性质、等腰三角形的性质，30角的锐角三角函数，解答本题的关键是通过观察图形的变化寻找出规律．三、解答题21．（1）见详解；（2）是等腰三角形，证明见详解．【分析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，交于一点，过点B和这点作射线交AC与点D即可；（2）由∠A＝36°，求出∠ABC=72°，进而求出∠ABD，根据等角对等边即可证明结论．【详解】解：（1）如图所示：BD即为所求；（2）ABD△是等腰三角形．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD=BD，∴ABD△是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线的性质，尺规作图-作已知角的平分线等知识点，解此题的关键是能正确画图和求出∠ABD的度数．22．（1）见解析；（2）①367【分析】（1）根据等边三角形的性质，直接运用SAS证明即可；（2）①作AF⊥BC于F点，利用“三线合一”的性质结合已知条件先求出AF的长度，从而根据12·ABCS BC AF即可求解；②先在Rt △AFE 中求解出AE 的长度，再求出△ABE 的面积，结合等面积法即可求出BH 的长度，然后根据（1）的结论进一步证明∠BMH=60°，则在Rt △BMH 中即可求解MH 的长度．【详解】（1）∵△ABC 为等边三角形，∴AB=CA ，∠BAD=∠ACE=60°，在△BAD 和△ACE 中，AD CE BAD ACE AB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BAD （SAS ）；（2）如图所示，作AF ⊥BC 于F 点，①由“三线合一”知，∠BAF=30°，∵BC=BE+EC=4+2=6，∴AB=6，BF=3，由勾股定理可得：AF =，∴11622ABC S BC AF ==⨯⨯=△ ②由①可知，AF =，FE=1，∴根据勾股定理可得，AE=， ∵11422ABE S BE AF ==⨯⨯=△，∴27ABE S BH AE ===△， 由（1）可得，∠ABD=∠CAE ，∴∠ABD+∠BAM=∠CAE+∠BAM=60°，即：∠BMH=∠ABD+∠BAM=60°，则在Rt △BHM 中，∠MBH=30°，∴BH =， ∴7MH ==．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质综合运用，灵活运用全等三角形的性质以及等面积法求高是解题关键．23．254 【分析】首先连接BE ，根据线段垂直平分线的性质，可得AE ＝BE ，然后设AE ＝x ，由勾股定理可得方程： ()222=6+8x x -，继而求得答案．【详解】解：连接BE ，在Rt △ABC 中，AC ＝8，AB ＝10∴BC ＝6∵AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，∴AE ＝BE ，AD ＝BD ＝5设AE ＝x ，则BE ＝x ，EC ＝AC−AE ＝8−x ，∵Rt △BCE 中，∠C ＝90°，BE=x ，EC ＝8−x ，BC ＝6，∴()222=6+8x x - 解得：25=4x ， 故答案为：254，【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．24．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．【分析】（1）作A点关于BC的对称点A′，连接DA′交BC于P点，利用PA=PA′，则PA+PD=DA′，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件；（2）①作BC的垂直平分线交AC于M；②BA和CD的延长线相交于O点，作∠BOC的平分线交AC于N．【详解】解：（1）如图①，点P为所作；（2）①如图①，点M为所作；②如图②，点N为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了最短路径问题．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACF是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）由AAS证明△ACD≌△CBF即可；（2）由全等三角形的性质得CD ＝BF ，由CD ＝BD ，得BF ＝BD ，证出∠ABC ＝∠ABF ，由等腰三角形的性质即可得出结论；（3）由全等三角形的性质得AD ＝CF ，由垂直平分线的性质得AD ＝AF ，得出AF ＝CF 即可．【详解】（1）证明：∵CE ⊥AD ，∠BCF +∠ADC ＝90°，∵∠BCA ＝90°，BF ∥AC ，∴∠CBF ＝180°﹣∠BCA ＝90°，∴∠BCF +∠CFB ＝90°，∴∠CFB ＝∠ADC ，在△ACD 和△CBF 中，ACD CBF ADC CFB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBF （AAS ）；（2）证明：由（1）得：△ACD ≌△CBF ，∴CD ＝BF ，∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD ，∴BF ＝BD ，∵∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABF ＝90°﹣∠ABC ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABF ，∵BF ＝BD ，∴AB 垂直平分DF ；（3）解：△ACF 是等腰三角形，理由如下，如图：连接AF由（1）得：△ACD ≌△CBF ，∴AD ＝CF ，由（2）得：AB 垂直平分DF ，∴AD＝AF，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理是解题关键．26．（1）点A的坐标为（﹣3，3）；（2）CD＝AC，CD⊥AC．理由见解析；（3）见解析．【分析】（1）由非负数的性质可求出x＝﹣3，y＝3，则可得出答案；（2）由等边三角形的性质得出AB＝AC，AO＝AD，∠DAO＝∠CAB＝60°，证明△DAC≌△OAB，由全等三角形的性质可得出CD＝OB，∠ACD＝∠ABO＝90°，则可得出结论；（3）在AF上取一点P，使得AP＝OM＝a，连接BP，证明△BAP≌△BOM，由全等三角形的性质得出∠ABP＝∠OBM，BP＝BM，证明△FBP≌△FMB，由全等三角形的性质得出FP ＝FM＝b，即可得出结论；【详解】（1）∵x2+6x+y2﹣6y+18＝0，∴（x+3）2+（y﹣3）2＝0，∴x+3＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣3，y＝3，∴点A的坐标为(﹣3，3)；（2）CD＝AC，CD⊥AC．理由如下：∵△ABC和△AOD为等边三角形，∴AB＝AC，AO＝AD，∠DAO＝∠CAB＝60°，∴∠DAO﹣∠CAO＝∠CAB﹣∠CAO，∴∠DAC＝∠OAB，∴△DAC≌△OAB（SAS），∴CD＝OB，∠ACD＝∠ABO＝90°，由（1）可知BO＝AB＝3，又∵AB＝AC，∴CD＝OB＝AB＝AC，且CD⊥AC，（3）证明：在AF上取一点P，使得AP＝OM＝a，连接BP，∵AB ＝BO ，AP ＝OM ，∠PAB ＝∠MOB ＝90°，∴△BAP ≌△BOM （SAS ），∴∠ABP ＝∠OBM ，BP ＝BM ，∵∠ABP+∠PBO ＝90°，∴∠OBM+∠PBO ＝90°，又∵△BEN 为等腰直角三角形，∴∠FBN ＝45°，∴∠PBF ＝90°﹣45°＝45°＝∠FBN ，又∵BF ＝BF ，∴△FBP ≌△FBM （SAS ），∴FP ＝FM ＝b ，∴AF ＝FP+AP ，即c ＝a+b ． ∴11b a c a b ab ab++== ． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了完全平方公式及非负数的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质以及等边三角形的性质是解题的关键；。

八年级数学（下）单元学习质量测评 第一章三角形的证明试题（ A ） 温馨提示：亲爱的同学们：数学就是力量，自信决定成绩。

请你灵动智慧，缜密思考，细致作答，保持良好的心理状态，养成良好的做题习惯，将是你终身的财富。

答题前，请你先通览全卷；答题时，请你认真审题，做到先易后难；答题后，要注意检查．现在让我们一起走进数学的世界，发挥你的聪明才智，成功一定属于你！ 1.3线段的垂直平分线 一、选择题 1．如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（ ）A. 8B. 9C. 10D.11 2.如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A =60°，∠ABD =24°，则∠ACF 的度数为（ ） A. 48° B. 36° C. 30° D. 24° 3．如图，在等腰△ABC 中，一腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点G ，若已知AB =10，△GBC 的周长为17，则底BC 的长为（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 4．如图，AB =AC ，∠A =40°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点E ，垂足为D ，则∠EBC 的度数是（ ）A. 30°B. 40°C. 70°D. 80° 5．如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于D ，E 两点，且AC =10，BC =4，则△BCE 的周长为（ ） A. 6 B. 14 C. 18 D. 24 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，AB =13，AB 边的垂直平分线分别交AB 、AC 于N 、M 两点，则△BCM 的周长为（ ） A. 18 B. 16 C. 17 D. 无法确定 7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 8. 已知MN 是线段AB 的垂直平分线，C ，D 是MN 上任意两点，则∠CAD 和∠CBD 之间的大小关系是（ ）A ．∠CAD ＜∠CBDB ．∠CAD =∠CBDC ．∠CAD ＞∠CBD D.无法确定 9. 已知△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60 cm 和38 cm ，则△ABC 的腰和底边长分别为（ ） A ．24 cm 和12 cm B ．16 cm 和22 cm C ．20 cm 和16 cm D ．22 cm 和16 cm 10．如图，地面上有三个洞口A 、B 、C ，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A 、B 、C 三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（ ） A ．△ABC 三边垂直平分线的交点 B ．△ABC 三条角平分线的交点C ．△ABC 三条高所在直线的交点D ．△ABC 三条中线的交点 11. 三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ） A ．三条中线的交点 B ．三边垂直平分线的交点 C ．三条高的交点 D ．三条角平分线的交点 12. △ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线与直线AC 相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（ ）A ．50°B ．60°C ．150°D ．50°或130° 13. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，直线DE 是斜边AB 的垂直平分线交AC 于D ．若AC =8，BC =6，则△DBC 的周长为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．无法计算 14. 如图，在△ABC 中，AB =A ，AC =B ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 、BA 分别于点D 、E ，则△AEC 的周长等于（ ） A ．A +B B ．A －B C ．2A +B D ．A +2B 15. 如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A ．在AC ，BC 两边高线的交点处 B ．在AC ，BC 两边中线的交点处C ．在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．在∠A ，∠B 两内角平分线的交点处 二、填空题 16．△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于E ，交BC 于F ．若FC =3 cm ，则BF =_________． 120°可求出∠B 的度数，由直角三角形的性质即可求出BF =2AF =2CF =6 cm. 17. 如图，ED 为△ABC 的AC 边的垂直平分线，且AB =5，△BCE 的周长为8，则BC =________． 18．如图，已知在△ABC 中，AB =AC =10，DE 垂直平分AB ，垂足为E ，DE 交AC 于D ，若△BDC 的周长为16，则BC =__________ ． 19. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE =40°，则∠DBC = 20. 点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA =7，则PB = _________． 三、解答题 21. 某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使 三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置． 答案：解：如图，①连接AB ，AC ， ②分别作线段AB ，AC 的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P ，则P 即为售票中心 解析：由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点. 22．如图，在△ABC 中，∠C =90°，DE 垂直平分AB ，分别交AB ，BC 于D ，E ．若∠CAE =∠B +30°，求∠AEB 的度数 答案：140° 解析：解：∵DE 垂直平分AB ， ∴AE =BE ， ∴∠B =∠EAB . ∵∠C =90°，∠CAE =∠B +30°， ∴∠B +30°+∠B +∠B =90°， ∴∠B =20°， ∴∠AEB =180°－20°－20°=140°. 分析：根据线段垂直平分线求出AE =BE ，推出∠B =∠EAB ，根据已知和三角形内角和定理得出∠B +30°+∠B +∠B =90°，求出∠B ，即可得出答案. 23．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ． （1）求证：△ABD 是等腰三角形； （2）若∠A =40°，求∠DBC 的度数； （3）若AE =6，△CBD 的周长为20，求△ABC 的周长 答案：（1）证明：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∴DB =DA ， ∴△ABD 是等腰三角形. （2）30°（3）32 解析：解：（1）证明：∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∴DB =DA ， ∴△ABD 是等腰三角形； （2）∵△ABD 是等腰三角形，∠A =40°， ∴∠ABD =∠A =40°，∠ABC =∠C =（180°－40°）÷2=70°. ∴∠BDC =∠ABC －∠ABD =70°－40°=30°. （3）∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，AE =6， ∴AB =2AD =12. ∵△CBD 的周长为20， ∴AC +BC =20， ∴△ABC 的周长=AB +AC +BC =12+20=32． 分析：（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）首先利用三角形内角和求得∠ABC 的度数，然后减去∠ABD 的度数即可得到答案； （3）将△ABC 的周长转化为AB +AC +BC 的长即可求得. 24．如图所示，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，交AB 于E ，交AC 于D ，连接BD ． （1）若∠ABC =∠C ，∠A =50°，求∠DBC 的度数． （2）若AB =AC ，且△BCD 的周长为18 cm ，△ABC 的周长为30 cm ，求BE 的长. 答案：（1）15°；（2）6 cm 解析：解：（1）∵∠A =50°， ∴∠ABC =∠C =65°. 又∵DE 垂直平分AB ， ∴∠A =∠ABD =50°， ∴∠DBC =∠ABC －∠ABD =15°． （2）∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD =BD ，AE =BE ， ∴△BCD 的周长=BC +CD +BD =BC +CD +AD =BC +AC =18 cm ． ∵△ABC 的周长=30 cm ， ∴AB =30－18=12 cm ， ∴BE =AE =6 cm ． 分析：（1）已知∠A =50°，易求∠ABC 的度数．又因为DE 垂直平分AB 根据线段垂直平分线的性质易求出∠DBC 的度数．（2）同样利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解． 25．已知：如图，在△ABC 中，MN 是边AB 的中垂线，∠MAC =50°，∠C =3∠B ，求∠B 的度数 答案：B =26° 解析：解：∵MN 是边AB 的中垂线， ∴AM =BM ， ∴∠BAM =∠B . 设∠B =x ，则∠BAM =x ， ∵∠C =3∠B ，∴∠C =3x ， 在△ABC 中，由三角形内角和定理，得x +x +3x +50°=180°， ∴x =26°， 即∠B =26° 分析：根据线段垂直平分线性质得出AM =BM ，推出∠BAM =∠B ，设∠B =x ，则∠BAM =x ，∠C =3x ，在△ABC 中，由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可 友情提示：祝贺你，终于将考题做完了，请你再仔细的检查一遍，看看有没有错的、漏的，可要仔细点！。

一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交 AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于点N ，连接EN ，下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②DF= DN ；③AN = BF ；④EN ⊥NC ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接NE ．下列结论：①AE AF =；②AM EF ⊥；③DF DN =；④//AD NE ．正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 3．如图，在ABC 中，AB ＝AC ＝6，且15ABC S =△，AD ，BE 是ABC 的两条高线，P 是AD 上一动点，则PC PE +的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．84．如图，在ABC 中，点A 、B 、C 的坐标分别为(,0)m 、(0,2)和(5,3)，则当ABC 的周长最小时，m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．下列命题中，假命题是（ ）A ．直角三角形的两个锐角互余B ．等腰三角形的两底角相等C ．面积相等的两个三角形全等D ．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形6．下列说法中，不正确的有（ ）①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；③到三角形三边距离相等的点有1个④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高线长为4，则底边长是（ ） A ．3 B ．20 C ．3或20 D ．20或80 8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ．若∠A ＝30°，AE ＝10，则CE 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．如图，在ABD ∆中，AD AB =，90DAB ︒∠=，在ACE ∆中，AC AE =，90EAC ︒∠=，CD ，BE 相交于点F ，有下列四个结论： ①BDC BEC ∠=∠；②FA 平分DFE ∠；③DC BE ⊥；④DC BE =．其中，正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．②③D ．②③④ 10．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1211．如图AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于E ，点F ，G 分别是AB ，AC 上的点，且DF DG =，ADG 与DEF 的面积分别是10和3，则ADF 的面积是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．若以Rt ABC △的一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点也在Rt ABC △的其他边上，则这样的等腰三角形最多能画出（ ）A ．3个B ．5个C ．6个D ．7个二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与AC 的垂直平分线相交于点D ，过点D 作DF ⊥BC ，DG ⊥AB ，垂足分别为 F 、G ．若BG ＝5，AC ＝6，则△ABC 的周长是_____．14．在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板如图放置，其中(2,0)A ，(0,1)B ，则点C 的坐标为_______．15．如图所示，有n +1个边长为1的等边三角形，点A 、C 1、C 2、C 3、…、C n 都在同一条直线上，若记△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，△B n C n D n 的面积为S n ，则（1）S 1＝_____；（2）S n ＝_____．16．三角形的三边长分别为2，5，3，则该三角形最长边上的中线长为_______ 17．如图所示，在ABC 中，AB AC =，BAD ∠=α，且AE AD =，则EDC ∠=______．18．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是ABD △和ACD △的高．若83AB AC +=24ABC S =，120EDF ∠=︒，则AD 的长为______．19．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若15AB =，ABD ∆的面积是30，则CD 的长为__________20．如图，点M 是等边△ABC 的边BC 的中点，AB =4，射线CD BC ⊥于点C ，点P 是射线CD 上一动点，点N 是线段AB 上一动点，当MP +NP 的值最小时，则AN 长为____．三、解答题21．如图，在△ABE 中，AB=AE ，AD=AC ，∠BAD=∠EAC ，BC 、DE 交于点O ． 求证：（1）△ABC ≌△AED ；（2）OB=OE ．22．如图，四边形ABCD ，BC ∥AD ，P 为CD 上一点，PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ， （1）若∠BAD=80°，求∠ABP 的度数；（2）求证：BA=BC+AD ；（3）设BP=3a ，AP=4a ，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，求AE 的长（用含a 的代数式表示）23．如图，在四边形ABCD 中，90,A ABC BCD BDC ∠=∠=︒∠=∠，过点C 作CE BD ⊥，垂足为E ．求证：AB CE =24．如图，在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，点E 在BC 上，点F 在AB 的延长线上，且AE CF =．（1）求证：ABE CBF △≌△；（2）若75ACF ∠=︒，求EAC ∠的度数．25．如图1，将三角形纸片ABC ，沿AE 折叠，使点B 落在BC 上的F 点处；展开后，再沿BD 折叠，使点A 恰好仍落在BC 上的F 点处（如图2），连接DF ．（1）求∠ABC的度数；（2）若△CDF为直角三角形，且∠CFD=90°，求∠C的度数；（3）若△CDF为等腰三角形，求∠C的度数．26．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6 cm，△OBC的周长为16 cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ，∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，∴△AFE为等腰三角形，∴结论①正确；∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点，∴∠AMF=90°，∴∠DBF=∠DAN，∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∴AD=BD，∴△DBF≌△DAN，∴DF= DN，AN=BF，∴结论②③正确；∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM，∴△BMA≌△BMN，∴AM=MN，∴BE是线段AN的垂直平分线，∴EA=EN，∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，∴AD∥EN，∵AD⊥BC∴EN⊥NC，∴结论④正确；故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键．2．D解析：D【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判断①；由M 为EF 的中点且AE=AF 可判断②；作FH ⊥AB ，证△FBD ≌△NAD 可判断③，证明△EBA ≌△EBN （SAS ），推出∠BNE=∠BAM=90°，即可判断④．【详解】解：∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5° ∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE ，故①正确；∵M 为EF 的中点，∴AM ⊥EF ，故②正确；∵AM ⊥EF ，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ，在△FBD 和△NAD 中，FBD DAN BD ADBDF ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△FBD ≌△NAD （ASA ），∴DF=DN ，故③正确；∵∠BAM=∠BNM=67.5°，∴BA=BN ，∵∠EBA=∠EBN ，BE=BE ，∴△EBA ≌△EBN （SAS ），∴∠BNE=∠BAE=90°，∴∠ENC=∠ADC=90°，∴AD ∥EN ．故④正确，综上，正确的结论有：①②③④故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．3．B解析：B【分析】连接PB ，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质计算即可；【详解】连接PB ，∵AB AC =，BD CD =，∴AD 是等腰△ABC 底边BC 边的中垂线，∴PB PC =，∴PC PE PB PE +=+，又PB PE BE +≥，∴B ，P ，E 三点共线时，PB PE +最小，即等于BE 的长，又∵△1152ABC S AC BE ==，6AC =， ∴5BE =；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，结合轴对称的性质计算是解题的关键． 4．C解析：C【分析】做出B 关于x 轴对称点为B′，连接B′C ，交x 轴于点A'，此时ABC 的周长最小，由等腰直角三角形的性质可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．【详解】解：如图所示，做出B 关于x 轴对称点为B′，连接B′C ，交x 轴于点A'，此时△ABC 周长最小过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，∵B（0，2），∴B′（0，-2），∵C（5，3），∴CH= B′H=5，∴∠CB'H=45°，∴∠BB' A'=45°，∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，∴OB'=OA'=2，则此时A'坐标为（2，0）．m的值为2．故选：C．【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键．5．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．C解析：C【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质逐一进行判断即可．【详解】①根据角平分线的判定可知①正确；②根据角平分线的性质可知②正确；③缺乏前提条件：在三角形内部，若不限制条件，到三角形三边距离相等的点有4个，故③错误；④根据垂直平分线的性质可知④正确；⑤缺乏前提条件：在平面内，若不在平面内到三角形三个顶点距离相等的点有无数个，故⑤错误，∴错误的有2个，故选：C．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和判定及垂直平分线的性质，掌握角平分线的性质和垂直平分线的性质是解题的关键．7．D解析：D【分析】需分等腰三角形的顶角是钝角和等腰三角形的顶角是锐角两种情况解答即可．【详解】解：如图：（1）当顶角是钝角时，在Rt△ACO中，由勾股定理可得AO2=AC2-OC2=52-42=9∴AO=3，即OB=AB+AO=5+3=8在Rt△BCO中，由勾股定理可得BC2=OB2+OC2=82+42=80,则（2）顶角是锐角时在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2=AC2-DC2=52-42=9，∴AD=3，DB=AB-AD=5-3-2在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2=DB2+DC2=22+42=20,则；故选D．【点睛】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和分情况讨论思想是解答本题的关键．8．A解析：A【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质求出DE＝5，再根据角平分线的性质求出CE＝DE＝5即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，在Rt△ADE中，∠A＝30°，AE＝10，∴DE＝1AE＝5，2∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝5，故选：A．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．9．D解析：D【分析】由△ABD和△ACE都是等腰直角三角形得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，再进一步得出∠DAC=∠BAE证得△ABE≌△ADC，可以判断①③④；作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，利用面积相等证得AP= AQ，再利用角平分线的判定定理即可判断②．【详解】∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BDA=∠ECA=45 ，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即：∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC （SAS ），∴BE=DC ，故④正确；∠ADF=∠ABF ，∴∠BDC=45︒-∠ADF ，∠BEC=45︒-∠AEF ，而∠ADF=∠ABF ≠∠AEF ，∴∠BDC ≠∠BEC ，故①错误；∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，∴∠DFB=90°，∴CD ⊥BE ，故③正确；作AP ⊥CD 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，∵△ABE ≌△ADC ，∴ABE ADC S S =，∵BE=DC ，∴AP= AQ ，∵AP ⊥CD ，AQ ⊥BE ，∴FA 平分∠DFE ，故②正确；综上，②③④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．10．B解析：B【分析】由作法知EF 是AC 的垂直平分线，可得AP=CP ，线段PC PD +的最小就是PA+PD ，当A 、P 、D 三点共线时最短，由点D 是底边BC 的中点，可BD=CD =6，由AB=AC ，可得⊥，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=22AD BC-=即可．AB BD8【详解】解：连结PA，由作法知EF是AC的垂直平分线，∴AP=CP，∴PC+PD=PA+PD，+的最小就是PA+PD，线段PC PD当A、P、D三点共线时最短，∵点D是底边BC的中点，∴BD=CD=11BC=12=6⨯，22∵AB=AC，⊥，∴AD BC在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=2222-=-=，AB BD1068（PC+PD）最小=（PA+PD）最小=AD=8．故选择：B．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，关键是利用垂直平分线将PC转化为PA，找到P、A、D三点共线时最短．11．A解析：A【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC∴DF=DH ，在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，DE DG DF DH ⎧⎨⎩＝＝ ， ∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ），∴S △EDF =S △GDH =3，同理Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴S △ADF =S △ADH =ADG GDH △△S -S =10-3=7∴S △AED = =7-3=4ADF EDF SS -，故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 12．D解析：D【分析】先以Rt △ABC 三个顶点分别为圆心，再以每个顶点所在的较短边为半径画弧，即可确定等腰三角形的第三个顶点，也可以作三边的垂直平分线确定等腰三角形的第三个顶点．【详解】解：如图1，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则△BCD 是等腰三角形；如图2，以A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则△ACD 是等腰三角形；如图3，作AB 的垂直平分线，交AC 于点D ，连接BD ，则△BCD 是等腰三角形； 如图4，以C 为圆心，BC 长为半径画弧，交AC 于点D ，交AB 于点F ，连接BD ，CF 则△BCD 、△BCF 是等腰三角形；如图5，作BC 的垂直平分线，交AB 于点D ，连接CD ，则△BCD 是等腰三角形； 如图6，作AC 的垂直平分线，交AB 于点D ，连接CD ，△ACD 是等腰三角形， ∴符合题意的等腰三角形最多能画7个，故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定的应用，通过作垂直平分线或者画弧的方法确定相等的边是解题关键．二、填空题13．16【分析】连接ADDC证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）可得出AG＝CF再证明Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）得出BG＝BF则可求出答案【详解】解：连接ADDC∵BD平分∠ABCDG⊥ABD解析：16【分析】连接AD、DC．证明Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）可得出AG＝CF，再证明Rt△BDG≌Rt△BDF （HL），得出BG＝BF，则可求出答案【详解】解：连接AD、DC．∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，∴DG＝DF．∵D在AC的中垂线上，∴DA＝DC．在Rt△DGA与Rt△DFC中，∵DG＝DF，DA＝DC，∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．∴AG＝CF．又∵BD＝BD，DG＝DF．∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．∴BG ＝BF ．又∵AG ＝CF ，∴△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝BG ﹣AG +BF +FC +AC ＝2BG +AC ＝2×5+6＝16．故答案为：16．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．14．【分析】如图过点C 作CH ⊥x 轴于H 证明△AHC ≌△BOA （AAS ）可得结论【详解】解：如图过点C 作CH ⊥x 轴于H ∵∠AHC=∠CAB=∠AOB=90°∴∠BAO+∠CAH=90°∠CAH+∠ACH=解析：(3,2)【分析】如图，过点C 作CH ⊥x 轴于H ．证明△AHC ≌△BOA （AAS ），可得结论．【详解】解：如图，过点C 作CH ⊥x 轴于H ．∵∠AHC=∠CAB=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠CAH=90°，∠CAH+∠ACH=90°，∴∠ACH=∠BAO ，在△AHC 和△BOA 中，AHC AOB ACH OAB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AHC ≌△BOA （AAS ），∴AH=OB ，CH=OA ，∵A （2，0），B （0，1），∴OA=CH=2，OB=AH=1，∴OH=OA+AH=3，∴C （3，2）．故答案为：（3，2）．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．15．【分析】首先求出S1S2S3…探究规律后即可解决问题【详解】解：如图过点B 作BE ⊥AC1于点E ∵△ABC1是等边三角形AB=AC1=BC1=1∴AE=∴∴由题意可知=…所以∵∴故答案为：【点睛】本题 解析：383n 【分析】首先求出S 1，S 2，S 3，…，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：如图，过点B 作BE ⊥AC 1于点E ，∵△ABC1是等边三角形，AB=AC1=BC1=1∴AE=12， ∴222213122BE AB AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴111331224AC B S ∆=⨯⨯= 由题意可知，11111111122B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆====133248⨯=， 222211121233B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， 333321131344B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， …，所以111n AC B n S S n ∆=+， ∵1113312AC B S ∆=⨯= ∴34(1)n n S n =+． 故答案为：38，34(1)n n + 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．16．【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解；【详解】由题知∴三角形是直角三角形3是斜边长∴最长边上的中线长为；故答案是【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定解析：3 2【分析】根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解；【详解】由题知222 293+==，∴三角形是直角三角形，3是斜边长，∴最长边上的中线长为32；故答案是32．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理和直角三角形的形状，准确分析计算是解题的关键．17．【分析】根据等边对等角和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论【详解】解：根据题意：在△ABC中AB=AC∴∠B=∠C∵AE=AD∴∠ADE=∠AED∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC化简可得解析：1 2α【分析】根据等边对等角，和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论．【详解】解：根据题意：在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED，∴∠B+∠α-∠EDC=∠C+∠EDC，化简可得：∠α=2∠EDC，∴∠EDC=12α，故答案为：12α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定理，关键是熟悉三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的知识点．18．【分析】先证明△ADE≌△ADF可得：DE＝DF∠ADE＝∠ADF＝=×120°=60°再利用面积法求出DE的值再根据直角三角形的性质即可解决问题【详解】解：∵DEDF分别是△ABD和△ACD的高∴解析：【分析】先证明△ADE≌△ADF，可得：DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，再利用面积法求出DE的值，再根据直角三角形的性质即可解决问题．【详解】解：∵DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝12EDF∠=12×120°=60°，∴S△ABC＝12•AB•DE＋12•AC•DF＝12•DE（AB＋AC）＝24，∵AB AC+=∴DE＝∵∠ADE＝∠ADF＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AD＝2DE＝故答案是：【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．19．4【分析】过点作的垂线交于点根据角平分线的性质可得再根据三角形的面积即可求出DH从而求出结论【详解】解：如图过点作的垂线交于点由题意可得：平分∵∴∵的面积为∴即∴∴故答案为：4【点睛】本题考查的是角解析：4【分析】过点D作AB的垂线交AB于点E，根据角平分线的性质可得CD DH=，再根据三角形的面积即可求出DH，从而求出结论．【详解】解：如图，过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ，由题意可得：AD 平分BAC ∠，∵DH AB ⊥，90C ∠=︒∴CD DH =，∵15AB =，ABD △的面积为30， ∴1302AB DH ⨯⨯=，即115302DH ⨯⨯=， ∴4DH =， ∴4CD =，故答案为：4．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20．1【分析】作点M 关于直线CD 的对称点G 过G 作于N 交CD 与P 再根据等边三角形的性质计算即可；【详解】作点M 关于直线CD 的对称点G 过G 作于N 交CD 与P ∵△ABC 是等边三角形AB=4∴AB=BC=AC=4解析：1【分析】作点M 关于直线CD 的对称点G ，过G 作GN AB ⊥于N ，交CD 与P ，再根据等边三角形的性质计算即可；【详解】作点M 关于直线CD 的对称点G ，过G 作GN AB ⊥于N ，交CD 与P ，∵△ABC 是等边三角形，AB =4，∴AB=BC=AC=4，30G ∠=︒，∵M 是BC 的中点，∴2BM CM CG ===，∴6BG =，在Rt △BNG 中，30G ∠=︒，6BG =，∴3BN =，∴431AN =-=；故答案是1．【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，准确计算是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用SAS 定理证明△ABC ≌△AED ；（2）利用△BAC ≌△EAD 全等的性质，得到角与边的关系，进一步证明即可．【详解】证明：（1）∵∠BAD=∠EAC ，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC ，即∠BAC=∠EAD ，在△BAC 和△EAD 中，AB AE BAC EAD AC AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△BAC 和≌△EAD ；（2）∵△BAC ≌△EAD ，∴∠ABC=∠AED ，∵AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ，∴∠OBE=∠OEB ，∴OB=OE ．【点睛】题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定定理和等腰三角形的性质定理是解题的关键．22．（1）∠ABP=50°；（2）见解析；（3）①EA=52a 或EA=3910a 【分析】（1）由PA 平分∠BAD 且BP ⊥AP ，∠BAD=80°，在Rt APB ∆中即可求得．（2）延长BP 交AD 延长线于H ，可得AB=AH ，可证△BCP ≌△HDP ，可得BC=DH ，从而结论可证．（3）过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E ，点F ．若AB=EF ，可能有两种情况，延长BP 交AE 延长线于H ，每种情况都可依据角平分线的性质，过P 点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；然后通过解直角三角形即可求解．【详解】解：（1）∵PA平分∠BAD且∠BAD=80°，∴∠BAP=∠DAP=40°；又∵∠BPA=90°∴∠ABP+∠BAP=90°，故∠ABP=50°．（2）延长BP交AD延长线于H，∵PA平分∠BAD，∴∠BAP=∠DAP而∠BPA=90°=∠HPA，∴∠ABP=∠AHP，∴AB=AH；∵AP⊥BH，∴BP=PH；∵BC//AH，∴∠PBC=∠H；而∠BPC=∠HPD；∴△BCP≌△HDP（ASA）；∴BC=DH，故AB=AH=AD+DH=AD+BC．（3）①延长BP交AE延长线于H，过P点分别做PI和PG垂直于AB和AH，则PI=PG；易得△BFP≌△HEP，∴ BP=HP=3a，FP=EP=12 EF；在直角三角形ABP中，BP2+AP2=AB2；∴ AB=5a，EP=52a；∵在直角三角形ABP中AB PI BP AP⋅=⋅，∴ PI=125a=PG；在直角三角形EPG中，GP2+EG2=EP2，∴ EG=710a；在直角三角形HPG中，GP2+HG2=HP2，∴ GH=95a ； ∴ EH=52a ； ∴ EA=AH-EH=52a ．②延长BP 交AE 延长线于H ，过P 点分别做PI 和PG 垂直于AB 和AH ，由①得GH=95a ，EG=710a ； ∴ EH=1110a ； ∴ EA=3910a ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是准确作出辅助线．23．证明见解析．【分析】用“角角边”证明△ABD ≌ECB 即可．【详解】证明：∵90A ABC ∠=∠=︒，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ADB=∠DBC ，∵BCD BDC ∠=∠，∴BD=BC ，∵∠A=∠BEC=90°，∴△ABD ≌△ECB∴AB CE =．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是找准全等三角形，依据等腰三角形的判定和同角的余角相等证明全等．24．（1）见详解；（2）15°【分析】（1）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，AE ＝CF ，即可利用HL 证得Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，即可求得∠CAB 与∠ACB 的度数，即可得∠FCB 的度数，又由Rt △ABE ≌Rt △CBF ，即可求得∠EAB 的度数，再得出∠EAC 的度数即可．【详解】（1）证明：∵∠ABC ＝90°，∴△ABE 与△CBF 为直角三角形．∵在Rt △ABE 与Rt △BCF 中，AB BC AE CF ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；（2）∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，∵∠ACF ＝75°，∴∠FCB ＝30°，∵Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠EAB ＝∠FCB ＝30°，∴∠EAC ＝45°-30°=15°．【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．25．（1）60°；（2）30°；（3）20°或40°．【分析】（1）由折叠的性质可知△ABF 是等边三角形，即可得出结论；（2）根据折叠的性质及三角形内角和定理即可得出结论；（3）根据折叠的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质表示出∠AFD ，根据平角的定义表示出∠DFC ，然后分三种情况讨论即可得出结论．【详解】解：（1）由折叠的性质可知：AB =AF ，BA =BF ，∴AB =BF =AF ，∴△ABF 是等边三角形，∴∠ABC =∠AFB =60°；（2）∵∠CFD=90°，∴∠BFD=90°．由折叠的性质可知：∠BAD=∠BFD，∴∠BAC=∠BAD=90°，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-90°-60°=30°；（3）设∠C=x°．由折叠的性质可知，AD=DF，∴∠FAD=∠AFD．∵∠AFB=∠FAD+∠C，∴∠FAD=∠AFB-∠C=60°-x，∴∠AFD=60°-x，∴∠DFC=180°-∠AFB-∠AFD=180°-60°-（60°-x）=60°+x．∵△CDF为等腰三角形，∴分三种情况讨论：①若CF=CD，则∠CFD=∠CDF，∴60°+x+60°+x+x=180°，解得：x=20°；②若DF=DC，则∠DFC=∠C，∴60°+x=x，无解，∴此种情况不成立；③若DF=FC，则∠FDC=∠C=x，∴60°+x+x+x=180°，解得：x=40°．综上所述：∠C的度数为20°或40°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质．分三种情况讨论是解答本题的关键．26．（1）6 cm；（2）5 cm；（3）∠DAE＝60°【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据∠BAC＝120°，得到∠ABC＋∠ACB＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，从而得到∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，继而求得∠DAE的度数．【详解】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝6 cm．（2）连接OA，∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB＋OC＋BC＝16 cm，BC＝6 cm，∴OA＝OB＝OC＝5 cm．（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＋∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠EAC＝60°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．。

一、选择题1．如图，在ABC 中，PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，且分别与AB 交于点M ，N 连接CM ，CN ．有下列四个结论：①P A B ∠=∠+∠；②ACB MCN P ∠=∠+∠；③ACB ∠与P ∠是互为补角；④MCN △的周长与AB 边长相等其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．下列说法中，不正确的有（ ）①不在角的平分线上的点到这个角的两边的距离不相等；②三角形两内角的平分线的交点到各边的距离相等；③到三角形三边距离相等的点有1个④线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等，⑤到三角形三个顶点距离相等的点有1个A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．如图，已知等边,2ABC AB =，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，BD CF DE BC =⊥，于点,E FG BC ⊥于,G DF 交BC 于点P ，则下列结论中：①BE CG =；②EDP GFP ≌；③60EDP ∠=︒；④1EP =．一定正确的是（ ）A ．①B ．②④C ．①②③D ．①②④ 4．已知，如图，BC=DC ，∠B+∠D=180°． 连接AC ，在AB ，AC ，AD 上分别取点E ，P ，F ，连接PE ，PF ． 若AE=4，AF=6，△APE 的面积为4，则△APF 的面积是（ ）A．2 B．4 C．6 D．85．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（）A．BD＝CE B．BD⊥CE C．AF平分∠CAD D．∠AFE＝45°6．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°7．如图，在平面直角坐标系中，点A1在x轴的正半轴上，B1在第一象限，且△OA1B1是等边三角形．在射线OB1上取点B2，B3，…，分别以B1B2，B2B3，…为边作等边三角形△B1A2B2，△B2A3B3，…使得A1，A2，A3，…在同一直线上，该直线交y轴于点C．若OA1＝1，∠OA1C＝30°，则点B9的横坐标是（）A ．2552B ．5112C ．256D ．51328．如图，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，且90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一条直线上，CM 平分DCE ∠，连接BE ．以下结论：①AD CE =；②CM AE ⊥；③2AE BE CM =+；④//CM BE ，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）A ．5a =，12b =，13c =B ．6a =，8b =，10c =C ．7a =，24b =，25c =D ．8a =，12b =，15c =10．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm =BC ，12cm AC =，三个内角的平分线交于点P ，则点P 到AB 的距离PH 为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3013cmD ．6013cm 11．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且120ADC =∠︒，20cm BC =，则AM 的长度为（ ）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm 12．如图，每个小正方形的边长都相等，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则ABC ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒二、填空题13．如图．在ABC 中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ．（1）点D 从B 向C 的运动过程中，BDA ∠逐渐变____（填“大”或“小”）；（2）在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．_____．14．如图，在ABC 中，10,12,CA CB AB AB ===边上的中线8,CD AE =平分BAC ∠，P 是线段AE 上的一点，,PF AB PG BC ⊥⊥，若:1:2PF PG =，则PG =_________．15．如图所示，有n +1个边长为1的等边三角形，点A 、C 1、C 2、C 3、…、C n 都在同一条直线上，若记△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，△B n C n D n 的面积为S n ，则（1）S 1＝_____；（2）S n ＝_____．16．如图，在ABC 中，线段AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD ，若80C ∠=︒，40CBD ∠=︒，则A ∠的度数为_____°．17．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O ，若∠B ＝50°，则∠AOC ＝_____．18．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，△ABC 的面积为60，AB ＝16，BC ＝14，则DE 的长等于_____．19．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，分别以A ，B 两点为圆心，大于1AB 2为半径画弧，两弧交于M ，N 两点，直线MN 交AC 于点D ，若4CD =，则AC 的长度为____．20．如图，在ABC 中，AB BC =，30C ∠=︒，过点B 作BD BC ⊥，交AC 于点D ，若2CD =，则AD 的长为__________．三、解答题21．如图，ABE △是等腰三角形，AB AE =，45BAE ∠=︒，过点B 作BC AE ⊥于点C ，在BC 上截取CD CE =，连接AD 、DE 并延长AD 交BE 于点P（1）求证：AD BE =；（2）试说明AD 平分BAE ∠．22．问题提出（1）如图1，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AC =12，AB =5，若P 是BC 边上一动点，连接AP ，则AP 的最小值为______．问题探究（2）如图2，在等腰直角△ABC 中，∠ABC =90°，AC =m ，求边AB 的长度（用含m 的代数式表示）．问题解决（3）在图3中，若AC =8，点D 是BC 边的中点，若P 是AB 边上一动点，试求PD +22AP 的最小值．23．如图1，将三角形纸片ABC ，沿AE 折叠，使点B 落在BC 上的F 点处；展开后，再沿BD 折叠，使点A 恰好仍落在BC 上的F 点处（如图2），连接DF ．（1）求∠ABC 的度数；（2）若△CDF 为直角三角形，且∠CFD =90°，求∠C 的度数；（3）若△CDF 为等腰三角形，求∠C 的度数．24．如图．在△ABC 中，∠C =90 °，∠A =30°．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，连接EB ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB 平分∠ABC ．（3）求证：AE =EF ．25．如图，已知等腰ABC 的底边13BC cm =，D 是腰BA 延长线上一点，连接CD ，且12BD cm =，5CD cm =．（1）判断BDC 的形状，并说明理由；（2）求ABC 的周长．26．在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90，BD 平分∠AB C 交AC 于点D ．（1）如图1，点F 为BC 上一点，连接AF 交BD 于点E ．若AB =BF ，求证：BD 垂直平分AF ．（2）如图2，CE ⊥BD ，垂足E 在BD 的延长线上．试判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点F 为BC 上一点，∠EFC =12∠ABC ，CE ⊥EF ，垂足为E ，EF 与AC 交于点M ．直接写出线段CE 与线段FM 的数量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，即可判定④正确．【详解】解：∵PD ，PE 分别是AC ，BC 边的垂直平分线，∴90CDP ∠=︒，90CEP ∠=︒，又∵360P AC DP B C CE P ∠∠+∠=∠++︒，∴180P ACB ∠=︒∠+，故结论③正确；又∵180AC A B B ∠+︒∠+∠=， ∴P A B ∠=∠+∠，故结论①正确； 直线PD 是AC 的垂直平分线，AM CM ∴=，∴A ACM ∠=∠同理，NB NC =，B BCN ∠=∠，∵AC MC ACB M N N BC ∠∠+∠∠=+，∴M ACB N A C B ∠∠∠=+∠+，∴ACB MCN P ∠=∠+∠，故结论②正确； AMN △的周长为MC MN NC =++，∴AMN 的周长=AM MN NB AB ++=，故结论④正确；综上所述，①②③④正确，共4个．故选D ．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质逐一进行判断即可．【详解】①根据角平分线的判定可知①正确；②根据角平分线的性质可知②正确；③缺乏前提条件：在三角形内部，若不限制条件，到三角形三边距离相等的点有4个，故③错误；④根据垂直平分线的性质可知④正确；⑤缺乏前提条件：在平面内，若不在平面内到三角形三个顶点距离相等的点有无数个，故⑤错误，∴错误的有2个，故选：C ．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和判定及垂直平分线的性质，掌握角平分线的性质和垂直平分线的性质是解题的关键．3．D解析：D【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB ≌△FGC ，就可以得出BE ＝CG ，DE ＝FG ，就可以得出△DEP ≌△FGP ，得出∠EDP ＝∠GFP ，EP ＝PG ，得出PC ＋BE ＝PE ，就可以得出PE ＝1，从而得出结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°．∵∠ACB ＝∠GCF ，∵DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴∠DEB ＝∠FGC ＝∠DEP ＝90°．在△DEB 和△FGC 中，DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB ≌△FGC （AAS ），BE ＝CG ，DE ＝FG ，故①正确；在△DEP 和△FGP 中，DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；∴PE ＝PG ，∠EDP ＝∠GFP≠60°，故③错误；∵PG ＝PC ＋CG ，∴PE ＝PC ＋BE ．∵PE ＋PC ＋BE ＝2，∴PE ＝1，故④正确．∴正确的有：①②④．故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．4．C解析：C【分析】作PG AB ⊥于点G ，PJ AD ⊥于点J ，延长AD ，取DH AB =，连接CH ，先证明()ABC HDC SAS ≅，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到,BAC H AC CH ∠=∠=，结合等边对等角得到BAC CAD ∠=∠，再由角平分线的性质证得PG PJ =，最后根据三角形面积公式解题即可.【详解】解：如图，作PG AB ⊥于点G ，PJ AD ⊥于点J ，延长AD ，取DH AB =，连接CH ，180,180B ADC ADC CDH ∠+∠=︒∠+∠=︒B CDH ∴∠=∠BC CD B CDH AB BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC HDC SAS ∴≅,BAC H AC CH ∴∠=∠=CAD H ∴∠=∠BAC CAD ∴∠=∠PG PJ ∴=142APE S AE PG =⋅= 2PG ∴=2PJ ∴=1162622APF S AF PJ ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.5．C解析：C【分析】作AM ⊥BD 于M ，AN ⊥EC 于N ，设AD 交EF 于O ．证明△BAD ≌△CAE ，利用全等三角形的性质一一判断即可．【详解】解：如图，作AM ⊥BD 于M ，AN ⊥EC 于N ，设AD 交EF 于O ．∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 与△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴EC ＝BD ，∠BDA ＝∠AEC ，故A 正确，∵∠DOF ＝∠AOE ，∴∠DFO ＝∠EAO ＝90°，∴BD ⊥EC ，故B 正确，∵△BAD ≌△CAE ，AM ⊥BD ，AN ⊥EC ，∴AM ＝AN ，∴FA平分∠EFB，∴∠AFE＝45°，故D正确，若C成立，则∠EAF＝∠BAF，∵∠AFE＝∠AFB，∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，所以AF不一定平分∠CAD，故C错误，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．B解析：B【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．【详解】∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD又∵CD平分∠ACB，∠A＝50°，∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故选：B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．7．B解析：B【分析】利用待定系数法求得两条直线的解析式，根据等边三角形的性质，点的坐标规律，即可求解．【详解】解：∵OA1=1，∠OA1C=30︒，∴OC=，3∴点C的坐标为(0，-，∵A 1、A 2、A 3所在直线过点A 1(1，0)，C (0，3-，设直线A 1A 2的解析式为y kx =-∴0k =，∴k =∴直线A 1A 2的解析式为33y x =-， ∵△OA 1B 1为等边三角形，∴点B 1的坐标为(12，∵B 1、B 2、B 3所在直线过点O(0，0)，B 1 (12，同理可求得直线O B 1的解析式为y =，∵△OA 1B 1和△B 1A 2B 2为等边三角形，∴∠B 1OA 1=∠B 2 B 1A 2=60︒，∴B 1A 2∥OA 1，∵B 1 (12，2)，∴A 2x = 解得：52x =，∴点A 2的坐标为(52，2)， ∴B 1A 2=2，同理点B 2的坐标为(32，点B 3的坐标为(72，点B 4的坐标为(152， ，总结规律： B 1的横坐标为12，B2的横坐标为13122 +=，B3的横坐标为171222++=，B4的横坐标为11512422+++=，，∴B9的横坐标为1511124816326422+++++++=，故选：B【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是寻找点的坐标规律．8．C解析：C【分析】由“SAS”可证ACD BCE≅∆∆，可得AD BE=，ADC BEC∠∠=，可判断①，由等腰直角三角形的性质可得45CDE CED∠=∠=︒．CM AE⊥，可判断②，由全等三角形的性质可求90AEB CME，可判断④，由线段和差关系可判断③，即可求解．【详解】解：ACB∆和DCE∆均为等腰直角三角形，CA CB∴=，CD CE=，90ACB DCE∠=∠=︒，∵∠ACD+∠DCB=90°，∠DCB+∠BCE=90°，ACD BCE∠∠∴=，在ACD∆和BCE∆中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS∴∆≅∆，AD BE∴=，ADC BEC∠∠=，故①错误，DCE∆为等腰直角三角形，CM平分DCE∠，45CDE CED ∴∠=∠=︒，CM AE ⊥，故②正确，点A ，D ，E 在同一直线上，135ADC ．135BEC ∴∠=︒．90AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒，90AEB CME ，//CM BE ∴，故④正确，CD CE =，CM DE ⊥，DM ME ∴=．90DCE ∠=︒，1=2DM ME CM DE ∴==． 2AE AD DE BE CM ∴=+=+．故③正确，故选择：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明ACD BCE ≅∆∆是本题的关键．9．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理，只要判断两个较小的数的平方和是否等于最长边的平方即可．【详解】A.∵52+122=132，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；B.∵62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；C.∵72+242=625=252，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；D.∵82+122=208≠152，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．10．B解析：B【分析】由勾股定理解得13cm AB =，根据角平分线的性质，可得,,CAP PAB ABP CBP ACP BCP ∠=∠∠=∠∠=∠，过点P ，分别作Rt ABC △三边的垂线段，继而证明MAP △()HAP ASA ≅△，PMC △()PNC ASA ≅△，BHP ()BNP ASA ≅△，由全等三角形对应边相等的性质得到PM PH =，,PM PN PN PH ==，即可证明PM PH PN ==，最后利用三角形面积公式及等积法解题即可求得PH 的值．【详解】解：在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm =BC ，12cm AC =， 222251213AB ACBC ∴=+=+=P 是Rt ABC △中三个内角的平分线的交点，,,CAP PAB ABP CBP ACP BCP ∴∠=∠∠=∠∠=∠过点P ，分别作Rt ABC △三边的垂线段，如图，在MAP △与HAP △中，CAP BAP AP AP AMP AHP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴MAP △()HAP ASA ≅△PM PH ∴=同理得，PMC △()PNC ASA ≅△，BHP ()BNP ASA ≅△,PM PN PN PH ∴==PM PH PN ∴==111222ABC S AC PM AB PH BC PN ∴=⋅+⋅+⋅ 1()2AC AB BC PH =++⋅ 1(51213)2PH =⨯++⋅ 15PH =又115123022ABC S AC BC =⋅=⨯⨯= 1530PH ∴=2PH ∴=故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式及等积法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．A解析：A【分析】作MN⊥AD于N，如图，先利用四边形内角和计算出∠DAB＝60°，再根据角平分线的性质得到MC＝MN，接着证明MN＝MB，然后根据角平分线的性质的逆定理判断AM平分∠DAB，从而得到∠MAB的度数，进而即可求解．【详解】解：作MN⊥AD于N，如图，∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝120°，∴∠DAB＝60°，∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，∴MC＝MN，∵M点为BC的中点，∴MC＝MB=12BC=12×20=10cm，∴MN＝MB，∴AM平分∠DAB，∴∠MAB＝12∠DAB＝12×60°＝30°，∴AM=2MB=20cm，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线的性质定理的逆定理，以及直角三角形的性质，添加辅助线，是解题的关键．12．A解析：A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数．【详解】解：如图，连结AC ，由题意可得：2222221310,125,125,AB AC BC +==+==+=∴AC=BC ，222AB AC BC =+，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故选A ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．二、填空题13．小80°或110°【分析】（1）由题意易得由点D 从B 项C 的运动过程中逐渐变大可求解问题；（2）由题意可分①若AD=DE 时②若时③若时则点D 与点B 重合点E 与点C 重合与题意矛盾故不符合题意；然后根据等腰解析：小 80°或110°【分析】（1）由题意易得140BDA BAD ∠=︒-∠，由点D 从B 项C 的运动过程中，BAD ∠逐渐变大可求解问题；（2）由题意可分①若AD =DE 时，②若AE DE =时，③若AE AD =时，则点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，与题意矛盾，故不符合题意；然后根据等腰三角形的性质及角的等量关系可进行求解．【详解】解：（1）∵180BDA B BAD ∠+∠+∠=︒，∴140BDA BAD ∠=︒-∠，∵点D 从B 项C 的运动过程中，BAD ∠逐渐变大，∴BDA ∠逐渐变小；故答案为小；（2）若AD =DE 时，∵,40AD DE ADE =∠=︒，∴70DEA DAE ∠=∠=︒，∵DEA C EDC ∠=∠+∠，40B C ∠=∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴180110BDA ADE EDC ∠=︒-∠-∠=︒；若AE DE =时，∵,40AE DE ADE =∠=︒，∴40EDA DAE ∠=∠=︒，∴100DEA ∠=︒，∵DEA C EDC ∠=∠+∠，∴60EDC ∠=︒，∴18080BDA ADE EDC ∠=︒-∠-∠=︒；若AE AD =时，则点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，与题意矛盾，故不符合题意； 综上所述：当80BDA ∠=︒或110°时，△ADE 的形状可以是等腰三角形；故答案为80°或110°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．【分析】连接PBPC 过P 作PH ⊥AC 垂足为H 设PF=x 求出CD 的长从而算出△ABC 的面积再根据S △ABC=S △ABP+S △ACP+S △BCP=求出x 值可得结果【详解】解：连接PBPC 过P 作PH ⊥AC 解析：167【分析】连接PB ，PC ，过P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，设PF=x ，求出CD 的长，从而算出△ABC 的面积，再根据S △ABC =S △ABP +S △ACP +S △BCP =21x ，求出x 值，可得结果．【详解】解：连接PB ，PC ，过P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，∵AP 平分∠BAC ，∴PF=PH ，设PF=x ，则PH=x ，PG=2x ，∵CA=CB=10，CD 是AB 中线，AB=12，∴AD=BD=6，则=8，∴S △ABC =12AB CD ⨯⨯=48， 又S △ABC =S △ABP +S △ACP +S △BCP =()12AB PF AC PH BC PG ⨯⋅+⋅+⋅ =()11210202x x x ⨯++ =21x=48解得：x=167， 即PG=167， 故答案为：167．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是利用△ABC 的面积列出方程．15．【分析】首先求出S1S2S3…探究规律后即可解决问题【详解】解：如图过点B 作BE ⊥AC1于点E ∵△ABC1是等边三角形AB=AC1=BC1=1∴AE=∴∴由题意可知=…所以∵∴故答案为：【点睛】本题 解析：38 34(1)n n + 【分析】首先求出S 1，S 2，S 3，…，探究规律后即可解决问题．【详解】解：如图，过点B 作BE ⊥AC 1于点E ，∵△ABC1是等边三角形，AB=AC1=BC1=1∴AE=12， ∴22221312BE AB AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∴1113312AC B S ∆=⨯=由题意可知，11111111122B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆====1248⨯=， 222211121233B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， 333321131344B C D AC B AC B S S S S ∆∆∆===， …， 所以111n AC B n S S n ∆=+，∵1111224AC B S ∆=⨯⨯=，∴n S =【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．16．30【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB 根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB 根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B 根据三角形的外角性质计算得到答案【详解】解：∵∠C=80°∠CBD=40°∴∠CD解析：30【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB ，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B ，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=80°，∠CBD=40°，∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，∵线段AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴DA=DB ，∴∠A=∠DBA=12∠CDB=30°， 故答案为：30．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．17．100°【分析】根据线段垂直平分线的性质和等边对等角可得∠OBA=∠A ∠OBC=∠C 根据三角形外角的性质可得∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO再利用角的和差即可解析：100°【分析】根据线段垂直平分线的性质和等边对等角可得∠OBA=∠A，∠OBC=∠C，根据三角形外角的性质可得∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO，∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO，再利用角的和差即可得出∠AOC．【详解】解：如图，连接BO并延长至P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠A，∠OBC=∠C，∵∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO，∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO，∴∠AOC=∠AOP+∠COP =2(∠ABO+∠CBO)=2∠ABC=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．18．【分析】过点D作DF⊥BC垂足为F根据角平分线的性质得到FD=DE再利用面积求DE即可【详解】解：过点D作DF⊥BC垂足为F∵BD是△ABC的角平分线DE⊥ABDF⊥BC∴FD=DEDE=4故答案为解析：【分析】过点D作DF⊥BC，垂足为F，根据角平分线的性质得到FD=DE，再利用面积求DE即可．【详解】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴FD=DE，182ABD SAB DE DE =⋅=， 172CBDS BC DF DE =⋅=， ABC ABD DBC S S S =+△△△，8760DE DE +=，DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE ． 19．【分析】利用基本作图得到MN 垂直平分AB 则DA=DB 所以∠DBA=∠A=30°再计算出∠BDC=60°得到BD=8从而得到AD 的长然后计算AC 的长【详解】解：由作法得MN 垂直平分AB ∴DA=DB ∴∠解析：12【分析】利用基本作图得到MN 垂直平分AB ，则DA=DB ，所以∠DBA=∠A=30°，再计算出∠BDC=60°得到BD=8，从而得到AD 的长，然后计算AC 的长．【详解】解：由作法得MN 垂直平分AB ，∴DA=DB ，∴∠DBA=∠A=30°，∴∠BDC=30°+30°=60°，在Rt △BDC 中，BD=2CD=2×4=8，∴AD=8，∴AC=AD+CD=8+4=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．20．【分析】利用等腰三角形的性质判定证明BD=AD 利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解【详解】∵∴∠A=30°∠ABC=120°∵∴∠CBD=90°BD=1∴∠DBA=30°∴∠DBA=∠A ∴ 解析：1.【分析】利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD ，利用直角三角形中30°角的性质计算BD 即可得解.【详解】∵AB BC =，30C ∠=︒，∴∠A=30°，∠ABC=120°，∵BD BC ⊥，2CD =，∴∠CBD=90°，BD=1，∴∠DBA=30°，∴∠DBA=∠A ，∴BD=AD ，∴AD=1.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键.三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用SAS 证明△BCE ≌△ACD ，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE ．（2）根据△BCE ≌△ACD ，得到∠EBC=∠DAC ，由∠BDP=∠ADC ，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD 平分∠BAE ．【详解】证明：（1）∵BC ⊥AE ，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB ，∴BC=CA ，在△BCE 和△ACD 中，90BC AC BCE ACD CE CD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴AD=BE ．（2）∵△BCE ≌△ACD ，∴∠EBC=∠DAC ，∵∠BDP=∠ADC ，∴∠BPD=∠DCA=90°，∵AB=AE ，∴AD 平分∠BAE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE ≌△ACD ．也考查了等腰三角形三线合一的性质．22．（1）6013；（2）AB =22m ；（3）DP +22PA 的最小值为6 【分析】（1）过A 作AE ⊥CB 于E ，根据点到直线的距离垂线段最短，则AE 即为所求，根据勾股定理求出BC ，再利用等积面积法即可求出AE ，即可解答（2）利用等腰三角形性质，再利用勾股定理即可解答（3）连接PD ，作PE ⊥AC 于点E ，作点D 关于AB 的对称点D ，连接PD ’，则PD PD '=．作D F '⊥AC 于点F ，PD +PE =PD '+PE ≥D F '，当且仅当D 、P 、F 三点共线时，PD +PE 最短，即PF 的长，利用勾股定理求出BC 的长，即可得到D C '的长，再利用勾股定理即可求得D F '的长，即可解答【详解】解：（1）如图1，过A 作AE ⊥CB 于E ，在Rt △ABC 中，∵∠BAC =90°，AB =5，AC =12，∴BC 2212513+=∵1111512132222ABC S AB AC BC AE AE =⋅=⋅=⨯⨯=⨯⨯△， ∴AE =6013（2）∵∠ABC =90°，∴AB 2+BC 2=AC 2，∵AB =AC ，AC =m∴2AB 2=m 2，∴AB =2m （3）如图3，连接PD ，作PE ⊥AC 于点E ，由（2）得PE =22AP ∴PD +22PA =PD +PE 作点D 关于AB 的对称点D ，连接PD '，则PD =PD '．作D F '⊥AC 于点F ， PD +PE =PD ' +PE ≥D F '，当且仅当D 、P 、F 三点共线时，PD +PE 最短，∵AC =8，∠A =∠C =45°∴BC 2842= ∵D 是BC 中点，∴BD =DC =22∵点D 与点D 关于直线AB 对称，∴D B '=22即CD '=62又∵D F '⊥AC ，∠C =45°，∴D F FC '=222CD D F FC D F '''=+=∴D F '=2262= 2PD AP +的最小值为6． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，以及垂线段最短求线段和最小值，知道线段最短是点的位置并能确定出最小值时点的位置是解题关键．23．（1）60°；（2）30°；（3）20°或40°．【分析】（1）由折叠的性质可知△ABF是等边三角形，即可得出结论；（2）根据折叠的性质及三角形内角和定理即可得出结论；（3）根据折叠的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质表示出∠AFD，根据平角的定义表示出∠DFC，然后分三种情况讨论即可得出结论．【详解】解：（1）由折叠的性质可知：AB=AF，BA=BF，∴AB=BF=AF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABC=∠AFB=60°；（2）∵∠CFD=90°，∴∠BFD=90°．由折叠的性质可知：∠BAD=∠BFD，∴∠BAC=∠BAD=90°，∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-90°-60°=30°；（3）设∠C=x°．由折叠的性质可知，AD=DF，∴∠FAD=∠AFD．∵∠AFB=∠FAD+∠C，∴∠FAD=∠AFB-∠C=60°-x，∴∠AFD=60°-x，∴∠DFC=180°-∠AFB-∠AFD=180°-60°-（60°-x）=60°+x．∵△CDF为等腰三角形，∴分三种情况讨论：①若CF=CD，则∠CFD=∠CDF，∴60°+x+60°+x+x=180°，解得：x=20°；②若DF=DC，则∠DFC=∠C，∴60°+x=x，无解，∴此种情况不成立；③若DF=FC，则∠FDC=∠C=x，∴60°+x+x+x=180°，解得：x=40°．综上所述：∠C的度数为20°或40°．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质．分三种情况讨论是解答本题的关键．24．见解析【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60 ，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE∴EB平分∠ABC．（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线∴DE⊥AB∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE= BE∴AE=EF【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．25．（1）直角三角形，理由见解析；（2）325 12cm【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可；（2）根据勾股定理求出AC，再求出ABC的周长即可．【详解】解：（1）BDC是直角三角形，理由是：∵BC=13cm，BD=12cm，CD=5cm，∴BD2+CD2=BC2，∴∠D=90°，即BDC是直角三角形；（2）设AB=AC=x cm，在Rt ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2=AC2，即（12-x）2+52=x2，解得：x=169 24，∴AB=AC=16924（cm），∵BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=16924+16924+13=32512（cm）．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．26．（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠AB C，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=12×180°=90°即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=12FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=12∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【详解】证明(1)∵BD平分∠AB C，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=12× 180°=90°，∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=1FM，2∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=1∠ABC=22.5°，2∠ABC=∠ABC，∴∠MNC=2∠NFH=2×12∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键．。