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第1篇一、实验目的本次实验旨在让学生掌握数学建模的基本步骤，学会运用数学知识分析和解决实际问题。
通过本次实验，培养学生主动探索、努力进取的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。
二、实验内容本次实验选取了一道实际问题进行建模与分析，具体如下：题目：某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量。
表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据（单位：百万元）。
1. 数据准备：将数据整理成表格形式，并输入到计算机中。
2. 数据分析：观察数据分布情况，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立：利用统计软件（如MATLAB、SPSS等）进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
4. 模型检验：对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等，以判断模型的拟合效果。
5. 结果分析：分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
三、实验步骤1. 数据准备将数据整理成表格形式，包括年份、季度、公司销售额和行业销售额。
将数据输入到计算机中，为后续分析做准备。
2. 数据分析观察数据分布情况，绘制散点图，初步判断是否适合使用线性回归模型进行拟合。
3. 模型建立利用统计软件进行线性回归分析，建立公司销售额对全行业的回归模型。
具体步骤如下：（1）选择合适的统计软件，如MATLAB。
（2）输入数据，进行数据预处理。
（3）编写线性回归分析程序，计算回归系数。
（4）输出回归系数、截距等参数。
4. 模型检验对模型进行检验，包括残差分析、DW检验等。
（1）残差分析：计算残差，绘制残差图，观察残差的分布情况。
（2）DW检验：计算DW值，判断随机误差项是否存在自相关性。
5. 结果分析分析模型的拟合效果，并对公司销售量的预测进行评估。
四、实验结果与分析1. 数据分析通过绘制散点图，观察数据分布情况，初步判断数据适合使用线性回归模型进行拟合。
2. 模型建立利用MATLAB进行线性回归分析，得到回归模型如下：公司销售额 = 0.9656 行业销售额 + 0.01143. 模型检验（1）残差分析：绘制残差图，观察残差的分布情况，发现残差基本呈随机分布，说明模型拟合效果较好。
基本最小二乘法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：基本最小二乘法（Least Squares Method）是统计学中一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过最小化实际观测值与理论值之间的残差平方和来求得模型参数。
最小二乘法常用于回归分析、拟合曲线以及解决线性方程组等问题。
最小二乘法的核心思想是寻找使得误差的平方和最小的参数估计值。
具体来说，假设有n个数据点(x_1,y_1), (x_2,y_2), …, (x_n,y_n)，要拟合这些数据点，可以假设它们之间存在某种函数关系y=f(x)，通过最小化残差平方和的方法来确定函数f(x)的参数值。
最小二乘法的数学表达式可以用下面的公式来表示：\min_{\beta} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \beta^{T}x_{i})^{2}y_{i}是实际观测值，x_{i}是自变量，\beta是要求解的参数向量。
最小二乘法的优势在于它是一种封闭解的方法，能够直接获得参数的解析解，而不需要通过迭代算法来求解。
最小二乘法对于数据中的离群点具有一定的鲁棒性，能够有效地排除异常值的影响。
最小二乘法在实际应用中有着广泛的应用。
在回归分析中，最小二乘法可以用来拟合数据点并预测新的输出值；在信号处理中，最小二乘法可以用来估计信号的频率和幅度；在机器学习和人工智能领域，最小二乘法也被广泛应用于线性回归、岭回归等算法。
最小二乘法也存在一些限制。
最小二乘法要求数据满足线性关系，并且误差项服从正态分布。
如果数据不符合这些假设，最小二乘法的结果可能会出现偏差。
最小二乘法对数据中的离群点较为敏感，如果数据中存在大量离群点，最小二乘法的结果可能会受到影响。
为了解决最小二乘法的这些限制，人们提出了许多改进的方法。
岭回归（Ridge Regression）和Lasso回归（Lasso Regression）是两种常见的正则化方法，可以在最小二乘法的基础上引入惩罚项来减少模型的复杂度，并提高模型的泛化能力。
最小二乘法的实验报告最小二乘法的实验报告引言：最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和求解最优解。
它适用于各种领域，如统计学、经济学、工程学等。
本实验旨在通过实际案例，探讨最小二乘法在实际问题中的应用和效果。
一、实验目的本实验旨在通过最小二乘法，对一组实际数据进行拟合，得出最佳拟合曲线，并分析拟合结果的合理性和可靠性。
二、实验材料与方法1. 实验材料：- 一组实际数据：包含自变量和因变量的数据对。
- 计算机软件：如MATLAB、Python等，用于进行最小二乘法计算和绘制拟合曲线。
2. 实验方法：- 数据处理：对实际数据进行预处理，包括数据清洗、异常值处理等。
- 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适当的拟合模型。
- 参数估计：利用最小二乘法，求解模型参数的最优估计值。
- 拟合效果评估：通过计算残差平方和、确定系数等指标，评估拟合效果的好坏。
三、实验过程与结果1. 数据处理：在本实验中，我们选择了一组汽车销量与广告投入的数据。
首先，我们对数据进行了清洗，排除了异常值和缺失值。
2. 模型选择：根据实际问题和数据特点，我们选择了线性模型进行拟合。
即假设广告投入与汽车销量之间存在线性关系。
3. 参数估计：利用最小二乘法，我们求解了线性模型的参数估计值。
具体计算过程如下： - 建立线性模型：y = β0 + β1x，其中y表示汽车销量，x表示广告投入。
- 最小化残差平方和：min Σ(yi - (β0 + β1xi))^2，其中yi为实际销量，xi为实际广告投入。
- 对β0和β1求偏导，并令偏导数为0，得到最优解的估计值。
4. 拟合效果评估：通过计算残差平方和和确定系数等指标，我们评估了拟合效果的好坏。
结果显示，残差平方和较小，确定系数较接近1，表明拟合效果较好。
四、实验讨论1. 拟合效果的合理性：通过对拟合效果的评估，我们认为拟合结果较为合理。
然而，我们也要注意到，拟合结果仅仅是对观测数据的一个估计，并不能完全代表真实情况。
最小二乘法的原理及在建模中的应用分析最小二乘法（least squares method）是一种数学优化方法，用于解决线性回归和非线性回归问题，通过求取使得误差平方和最小化的参数估计值。
它的原理是寻找一条最佳拟合曲线或平面，使得观测值与拟合值之间的误差最小。
在线性回归问题中，最小二乘法可以用来估计回归模型的参数。
假设我们有n个样本点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，其中yi是对应的观测值，我们想要找到一个线性模型y = ax + b，使得拟合值与观测值之间的误差最小。
这个问题可以通过最小化误差平方和来求解。
误差平方和定义为E(a, b) = Σ(yi - (axi + b))^2，我们需要找到使得E(a, b)最小的a和b。
∂E/∂a = -2Σ(xi(yi - (axi + b))) = 0∂E/∂b = -2Σ(yi - (axi + b)) = 0将上述方程进行化简，可以得到如下的正规方程组：Σ(xi^2)a + Σ(xi)b = Σ(xi yi)Σ(xi)a + nb = Σ(yi)解这个方程组，可以得到最小二乘估计的参数值。
1.线性回归分析：最小二乘法可以用于估计线性回归模型的参数。
通过最小二乘估计，可以得到最佳拟合直线，并用这条直线来预测因变量。
2.时间序列分析：最小二乘法可以用于拟合时间序列模型。
通过寻找最佳拟合函数，可以识别出序列中的趋势和周期性变化。
3.统计数据处理：最小二乘法可以用于数据平滑和滤波处理。
通过拟合一个平滑曲线，可以去除数据中的噪声和不规则波动，从而提取出数据中的趋势信息。
4.多项式拟合：最小二乘法可以用于多项式拟合。
通过最小二乘估计，可以拟合出多项式函数，将其用于数据拟合和函数逼近。
5.曲线拟合：最小二乘法可以用于非线性曲线拟合。
通过选择合适的函数形式，并通过最小二乘估计求解参数，可以拟合出复杂的非线性曲线。
总之，最小二乘法是一种常用的参数估计方法，可以用于线性回归、非线性拟合、时间序列分析等多种建模问题。
用最小二乘法求解线性模型及对模型的分析最小二乘法是一种常用于求解线性模型的数学方法。
在实际应用中，通过观测数据，我们希望找到一条最能拟合这些数据的直线，即线性模型。
接下来，将详细介绍最小二乘法的基本原理、步骤以及对模型的分析。
最小二乘法的基本原理是，通过最小化观测数据与模型预测值之间的差异来确定模型的参数。
这种差异可以用残差（residual）来度量，即实际观测值与模型预测值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到一组参数，使得残差的平方和最小。
假设我们的线性模型为：y = a + bx其中，y是因变量，x是自变量，a和b是待求参数。
根据最小二乘法的原理，需要找到使得残差平方和最小的a和b。
最小二乘法的求解步骤如下：1. 根据已知的观测数据，得到一组样本点{(x1, y1), (x2,y2), ..., (xn, yn)}。
2. 使用线性模型对每个样本点进行预测，得到模型预测值yi = a + bxi。
3. 计算每个样本点的残差ei = yi - yi。
4.最小化残差平方和，即最小化目标函数：Q(a, b) = ∑(ei)^2 = ∑(yi - yi)^2其中，ei代表第i个样本点的残差。
5.对目标函数求偏导数，令偏导数为零，解得关于参数a和b的方程组。
6.求解方程组，得到a和b的估计值。
对于线性模型的分析，最小二乘法提供了一种可行的求解方法，同时也可以进行模型的评估和精度分析。
首先，通过最小二乘法求解得到的a和b的估计值可以用于建立线性模型的方程，从而对未知的因变量进行预测。
这样可以利用建立的模型进行进一步的分析和预测。
其次，对于得到的估计值，可以利用统计学方法进行检验。
常见的方法包括计算估计值的标准差、置信区间以及显著性检验等。
这些方法可以用来评估模型的可靠性和有效性，确定估计值的准确性。
此外，还可以通过分析残差来对模型进行进一步的评估。
残差反映了观测数据与模型预测值之间的差异，如果残差呈现其中一种特定的模式，可能暗示着模型存在问题。
线性回归与最小二乘法线性回归是一种常用的统计分析方法，也是机器学习领域的基础之一。
在线性回归中，我们通过寻找最佳拟合直线来对数据进行建模和预测。
最小二乘法是线性回归的主要方法之一，用于确定最佳拟合直线的参数。
1. 线性回归的基本原理线性回归的目标是找到一条最佳拟合直线，使得预测值与实际值之间的误差最小。
我们假设线性回归模型的形式为：Y = β₀ + β₁X₁ +β₂X₂ + … + βₙXₙ + ε，其中Y是因变量，X₁、X₂等是自变量，β₀、β₁、β₂等是回归系数，ε是误差项。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种求解线性回归参数的常用方法。
它的基本思想是使所有样本点到拟合直线的距离之和最小化。
具体来说，我们需要最小化残差平方和，即将每个样本点的预测值与实际值之间的差的平方求和。
3. 最小二乘法的求解步骤（1）建立线性回归模型：确定自变量和因变量，并假设它们之间存在线性关系。
（2）计算回归系数：使用最小二乘法求解回归系数的估计值。
（3）计算预测值：利用求得的回归系数，对新的自变量进行预测，得到相应的因变量的预测值。
4. 最小二乘法的优缺点（1）优点：最小二乘法易于理解和实现，计算速度快。
（2）缺点：最小二乘法对异常点敏感，容易受到离群值的影响。
同时，最小二乘法要求自变量与因变量之间存在线性关系。
5. 线性回归与其他方法的比较线性回归是一种简单而强大的方法，但并不适用于所有问题。
在处理非线性关系或复杂问题时，其他方法如多项式回归、岭回归、lasso回归等更适用。
6. 实际应用线性回归及最小二乘法广泛应用于各个领域。
在经济学中，线性回归用于预测GDP增长、消费者支出等经济指标。
在医学领域，线性回归被用于预测疾病风险、药物剂量等。
此外，线性回归还可以应用于电力负荷预测、房价预测等实际问题。
总结：线性回归和最小二乘法是统计学和机器学习中常用的方法。
线性回归通过拟合一条最佳直线，将自变量与因变量之间的线性关系建模。
最小二乘法求解线性回归问题最小二乘法是回归分析中常用的一种模型估计方法。
它通过最小化样本数据与模型预测值之间的误差平方和来拟合出一个线性模型，解决了线性回归中的参数估计问题。
在本文中，我将详细介绍最小二乘法在线性回归问题中的应用。
一、线性回归模型在介绍最小二乘法之前，先了解一下线性回归模型的基本形式。
假设我们有一个包含$n$个观测值的数据集$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，其中$x_i$表示自变量，$y_i$表示因变量。
线性回归模型的一般形式如下：$$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_px_p+\epsilon$$其中，$\beta_0$表示截距，$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_p$表示自变量$x_1,x_2,\dots,x_p$的系数，$\epsilon$表示误差项。
我们希望通过数据集中的观测值拟合出一个线性模型，即确定$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$这些未知参数的值，使得模型对未知数据的预测误差最小化。
二、最小二乘法的思想最小二乘法是一种模型拟合的优化方法，其基本思想是通过最小化优化问题的目标函数来确定模型参数的值。
在线性回归问题中，我们通常采用最小化残差平方和的方式来拟合出一个符合数据集的线性模型。
残差代表观测值与模型估计值之间的差异。
假设我们有一个数据集$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，并且已经选定了线性模型$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_p x_p$。
我们希望选择一组系数$\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_p$，使得模型对数据集中的观测值的预测误差最小，即最小化残差平方和（RSS）：$$RSS=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2$$其中，$y_i$表示第$i$个观测值的实际值，$\hat{y}_i$表示该观测值在当前模型下的预测值。
用最小二乘法求解线性模型及对模型的分析
作者:邓春亮
1、研究30名儿童体重为因变量与身高为自变量的关系，儿童体重与身高的记录如下表：
试用计算机完成下面统计分析：
（1） 应用最小二乘法求经验回归方程；
（2） 以拟合值ˆi y
为横坐标，残差ˆi e 为纵坐标，作残差图，分析Gauss-Markou 假设对本例的适用性； （3） 考虑因变量的变换12
U Y =,再对新变量U 和X 重复（1）和（2）的统计分析;
（4） 将Box-Cox 变换应用到本例，计算变换参数λ的值，并做讨论。
说明：第一题的数据和结果文件见附件1，下面第二题的数据文件和结果文件见附件2，必要时可参看。
解：
（1）在SPSS窗口中录入数据，首先进行异常值检测，探查对回归估计有异常大影响的数据。
先利用SPSS画出体重与身高的散点图
图１－1
从图1可以看出没有明显不一致的点。
也可以通过SPSS软件计算COOK统计量，看下表
从上面数据看残差值和中心化的杠杆率center ii h 的值没有异常大的，数据,这里(ii h = center ii h +1/n)， COOK 统计量i D 值也没有异常大的数据，一般来说，残差值和杠杆率越大，COOK 统计量就越大，残差值和杠杆率越小，COOK 统计量就越小。
可见这些数据是比较一致的。
接下来对这些数据求解经验回归方程。
然后利用最小二乘法，在SPSS 中Analyze 菜单下依次选择Regress:2-Stage Least Square,选择因变量和自变量执行可输出结果如下表：
表１－2
这里可以看出所求经验回归方程的常数项(Constant) 为-26.615154，身高X 的系数为0.395087。
故经验回归方程为：i y =-26.615154+0.395087i x （2）通过SPSS,可得拟合值与残差如下表
以拟合值ˆi y
为横坐标，残差
ˆi e 为纵标，得残差图
图１－2
从图中可以看出，残差图没有明显的不一致的征兆，则可以认为Gauss-Markou 假设()20,e N I σ对本例基本上
是合理的。
（3）作变换12
U Y =,这时用同样的方法可求得经验回归方程为：i u =-0.314471+0.040641i x
以拟合值ˆi y
为横坐标，残差ˆi e 为纵坐标，作残差图得
图3
从图3看，此时的残差图也没有明显的不一致的趋势，认为Gauss-Markou 假设()20,e N I σ对本例基本上是合
理的。
（4）将因变量Y 进行Box-Cox 变换，
(
)
1
,ln ,Y Y Y λλλλ
λ⎧- ≠0 ⎪
=⎨⎪ =0⎩
变换后原来的因变量()12,,
,n Y y y y =变为()()()()(
)
12,,
,n Y y y y λλλ
λ=
计算不同λ值对应的残差平方和()
(
),RSS z
λλ，
()
()
()1
11
1,ln ,i n n i i i n n
i i i y y z y y λλλλλ-==⎧ ≠0 ⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪
=⎨⎝⎭
⎪⎪⎛⎫ =0
⎪ ⎪⎝⎭⎩
∏∏ 这里分别取,1,2,7i i λ=值为-1.5，-1，-0.5，0，0.5，1，1.5，计算分别计算()i z λ，然后计算对应的残差平方
和()
(
),RSS z
λλ，这里n=30,
计算得到i z λ如表所示，这里i Z 表示1i z λ。
表１－5
通过SPSS 软件运行得到的方差分析表，可知道相应的残差平方和，具体数据如下表所示：
通过表6的简单比较可以看出当0.5λ=时，残差平方和()
,RSS z λλ达到最小，因此我们可以近似地认为0.5
就是变换参数λ的最优选择.
2、研究儿童的体重Y 与身高1X 和胸围2X 之间的关系是具有一定现实意义的，因为这种关系使我们能够用简单
的方法从1X 和2X 的值去估计一个儿童的体重，下表是一组观测数据:
试用计算机完成下面的统计分析：
（1） 先假设Y 与1X 和2X 有如下线性关系：1122Y X X e αββ=+++，做最小二乘分析，并做相应的残差图。
试计算Box-Cox 变换参数的λ值.
（2） 对（1）中计算出的变换参数λ值，做相应的Box-Cox 变换，并对变换后的因变量做对1X 和2X 的最小二
乘回归，并做残差图。
解：（1）
先计算中心化杠杆率center ii h 和COOK 统计量i D 的值
从表中2-1的计算结果可以看出，第19个观测的杠杆率最高为0.33436.。
因此，第19个样本点最有可能对模型拟合造成较大的影响。
然后求解经验回归方程，从运行结果的方差分析表2-2（ANOVA(b)）可以看出F 统计量的P-值（Sig.）为0.000，这表明模型在总体中是显著的。
表2-2 ANOVA(b)
表2-3
从回归系数计算分析表2-3（Coefficients(a)），可知道回归方程的常数项为-36.133，自变量身高和胸围相对应的未标准化的回归系数（Unstandardized Coefficients ）分别为0.299、0.362，因而回归方程为
1236.1330.2990.362i i i y x x =-++
且从表中可知3个系数的t 统计量的P 值均为0.000，这表明模型在总体中是显著的。
以拟合值ˆi y
为横坐标，残差ˆi e 为纵坐标，作残差图： 图2-1 残差图
从图2-1可以看出，残差图从左至右逐渐散开呈漏斗状，这是误差方差不相等的征兆。
考虑将因变量Y 进行Box-Cox 变换，跟第一题的（4）问同样。
这里同样分别取,1,2,7i i λ=值为-1.5，-1，-0.5，0，0.5，1，1.5，计算分
别计算()
i
z λ，然后计算对应的残差平方和()
(
),RSS z
λλ，这里n=30,计算得到i
z
λ
如表1-5所示，然后计算对应自
变量1X 和2X 的残差平方和()
(
),RSS z λλ。
得12
7,Z Z Z 方差分析表如下
从上面的方差分析表中可以得到,1,2,
,7i i λ=对应的残差平方和(
)
(
),i i RSS z λλ
从这个表中可的简单比较可以看出当0λ=时，残差平方和()
(),34.747RSS z
λλ=达到最小，而0.5λ=对应的
残差平方和次之为34.857，且从的方差分析表可知它们对应的P 值都为0.000，都具有显著性。
现在再看0λ=和
0.5λ=时,对应因变量4Z 和
5Z 对应的回归系数分析表。
从上面两个表可知，因变量为4Z ，即0λ=时的回归系数常数项（Constant ）值为14.092，对应的回归方程为
1214.0920.2900.367i i i z x x =++，但其常数项对应的P 值（Sig ）为0.016，还是比较大的，当取0.005α=时，
则方程常数项就不具有显著性了；因变量为5Z ，即0.5λ=时的回归系数常数项（Constant ）值为-22.235，对应的回归方程为1222.2350.2940.364i i i z x x =-++，其所有系数的P 值都是0.000，这个值是很小的，都具有显著性。
这说明0.5λ=时，因变量5Z 对自变量1X 和2X 进行模拟得到的方程显著性更好一些。
因此0.5才是变换参数λ的最优选择.
（3） 当0.5λ=时，Y 对应的Box-Cox 变换即为5Z ，如上面可知这时因变量5Z 对应的回归方程为
1222.2350.2940.364i i i z x x =-++，这时因变量5Z 对应的拟合值ˆi z
和残差ˆi e 如下表 表2-5
以拟合值ˆi z
为横坐标，残差ˆi e 为纵坐标，作残差图如图2-2：这时从图2-2可以看出通过Box-Cox 变换后的残差图比没有变换时的残差图集中程度好多了，散开的趋势弱了很多。
图2-2。
