26.3 解直角三角形
一、选择题
1．已知在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin40° B．m cos40° C．m tan40° D.
m
tan40°
2．[2017·蒙阴县一模]如图31－K －1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin A ＝1
3，
则BC 等于( )
A ．45
B ．5 C.15 D.1
45
图31－K －1 图31－K －2
3．如图31－K －2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝4
5，BC ＝10，
则AB 的长是( )
A ．3
B ．6
C ．8
D ．9
4．[2017·滨州]如图31－K －3，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( )
图31－K－3
A．2＋ 3 B．2 3 C．3＋ 3 D．3 3
二、填空题
5．如图31－K－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为________．
图31－K－4 图31－K－5
6.图31－K－5①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC＝BD＝15 cm，∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为________ cm(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.精确到0.1 cm).
7．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，则AB的长为________．
三、解答题
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)已知a＝35，c＝35 2，求∠A，∠B，b；
(2)已知a＝23，∠A＝30°，求b，c，∠B.
9．[2017·衡水模拟]如图31－K－6，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝53，
∠A＝30°
(1)求AD和BC;
(2)求sin C.
图31－K－6
1．B 2．B
3．B [解析] ∵AD ＝CD ，∴∠DAC ＝∠DCA. ∵AD ∥BC ， ∴∠DAC ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠DCA ， ∴cos ∠ACB ＝cos ∠DCA ＝4
5
.
在Rt △ABC 中，cos ∠ACB ＝AC BC ＝AC 10＝4
5，
∴AC ＝10×4
5＝8，
∴AB ＝102
－82
＝6.
4．A [解析] ∵在△ABC 中，AC ⊥BC ， ∠ABC ＝30°， ∴AB ＝2AC ，BC ＝AC
tan 30°
＝3AC.
∵BD ＝BA ，
∴DC ＝BD ＋BC ＝(2＋3)AC ，
∴tan ∠DAC ＝DC AC ＝（2＋3）AC
AC ＝2＋ 3.
故选A.
5．4 3 [解析] ∵cosB ＝BC AB ，即cos30°＝6AB ，∴AB ＝6cos 30°＝6
3
2＝4 3.
故答案为4 3.
6．14.1 [解析] 如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E.
∵BC ＝BD ，BE ⊥CD ， ∴∠CBE ＝∠DBE ＝20°. 在Rt △BED 中，cos ∠DBE ＝BE
BD ，
∴cos20°＝BE
15
，
∴BE≈15×0.940＝14.1(cm )．
7． 3＋ 3 [解析] 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，
则∠ADC ＝∠BDC ＝90°.
∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD.
∵∠A ＝30°，AC ＝23， ∴CD ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3. 由勾股定理，得AD ＝AC 2
－CD 2
＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3. 故答案为3＋ 3.
8．解：(1)因为a ＝35，c ＝352，
所以sin A ＝a c ＝35352＝2
2，所以∠A ＝45°，
所以∠B ＝90°－∠A ＝45°，所以b ＝a ＝35.
(2)因为a ＝23，∠A ＝30°， 所以c ＝
a
sin A
＝43，
所以b ＝c· cos30°＝6, ∠B ＝90°－∠A ＝60°.
9．解：(1)在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝1
2AB ＝3，AD ＝3BD ＝3 3.
∵AC ＝53，AD ＝33， ∴CD ＝AC －AD ＝2 3.
在Rt △CBD 中，∵∠CDB ＝90°，BD ＝3，CD ＝23，
∴BC ＝BD 2
＋CD 2
＝21. (2)sinC ＝BD BC ＝321
＝21
7.
期末检测卷 时间：120分钟 满分：100分 班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________ 一、选择题(每小题2分，共24分) 1. 9的平方根是( ) A ．±3 B ．－3 C ．3 D ．81 2．下面所给的图形中，不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3．如图，Rt △ABC ≌Rt △DEF ，则∠E 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 第3题图 4．下列实数中，是无理数的是( ) A.π3 B ．－0.3 C.227 D.38 5．下列各式从左到右的变形正确的是( ) A.y x ＝y ＋1 x ＋1 B.y x ＝ay ax C.y x ＝a 2y a 2x D.y x ＝（a 2＋1）y （a 2＋1）x 6．下列计算结果正确的是( ) A.2＋5＝7 B.2×5＝10
C ．32－2＝3 D.25＝510 7．如图，在数轴上表示实数 7的点可能是( ) A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N 第7题图 8．一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长为( ) A ．13 B ．17 C ．22 D ．17或22 9．如图，若∠2＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 第9题图 第10题图 10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，能直接判断△ABD ≌△ACD 的依据是( ) A ．SSS B ．SAS C ．HL D ．ASA 11．某工厂生产一批零件，计划20天完成．若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列方程为( ) A.20x ＋10x ＋4＝15 B.20x －10x ＋4 ＝15 C.20x ＋10x －4＝15 D.20x －10x －4 ＝15 12．当x 分别取－2015、－2014、…、－2、－1、0、1、12、…、12014、12015 时，
专题11解直角三角形及其应用 一、选择题 1、下列计算错误的个数是（ ） ①sin60°-sin30°=sin30°②sin 245° +cos 245°=1 ③（tan60°）2 =13④tan30° =cos30sin 30o o A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案：C 分析：根据特殊角三角函数值，可得答案． 解答：A .sin60° -sin30°1 2 ≠sin30°，故A 错误； B .sin 245°+cos 245°=1，故B 正确； C .（tan60°）2=3，故C 错误； D .tan30°=3030sin cos ? ? ，故D 错误； 选C ． 2、如图，ABC ?的顶点都是正方形网格中的格点，则cos CBA ∠等于（ ） A. 45 B. 35 C. 34 D. 答案：A 分析：过点C 作CD ⊥AB ，根据勾股定理求出BC 长，在Rt △CDB 中cos =BD CBA BC ∠，即可求解．
解答：过点C 作CD ⊥AB ， ∴5BC == 在Rt △CDB 中 ∴4 cos =5 BD CBA BC ∠= 选A 3、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC 为（ ） A. 3sin α米 B. 3cos α米 C. 3 sin α 米 D. 3 cos α 米 答案：A 分析：直接利用锐角三角函数关系得出sin 3 BC BC AB α==，进而得出答案． 解答：解：由题意可得：sin 3 BC BC AB α==， 故()3sin BC m α=． 选A 4、如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．
第19章解直角三角形 19、1 测量 教学目标 使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。 教学过程 一、引入新课 测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢? 二、新课 1．根据同学们课前预习的，书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种?你是如何理解的呢?(待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图) 课上阐述测量旗杆的方法。 第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同 学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长 度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。(如 图所示) 由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以，△ ACB∽△A1C1 B1，因此，BC AC＝B1C1 A1C1，则BC＝ AC×B1C1 A1C1，即可求得旗杆 BC的高度。 如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢?
第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1C l，用刻度尺量出纸上B l C l的长度,便可以计算旗杆的实际高度。 由画图可知: ∵∠BAC＝∠B l A l C l＝34°，∠ ABC＝∠A1B1C l＝90° ∴△ABC∽△A l B1C l ∴B l C1＝ 1 500 ∴BC＝500B l C l，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度。 2．带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。(指导学生使用测角仪测出角度) 三、小结 本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。 四、作业 1．课本第99页习题19．1。 2．写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。
解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30B．30+10C．10+30D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3（.2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89， cos63.40.45，tan63.42.00，21.41，31.73）
的
4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户设计遮阳篷”这-课 题进行了探究: 出: 1是某住户窗户上方安装的，要求设计的遮阳篷既能最大限度夏天 炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射. 方案设计: 2,该数学课题研究小组通过调查研究设AC 的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太DA 与遮阳篷C D 的夹角∠A D C 最大(∠A D C =77.44°):冬至这一天的正午时刻，太 DB 与遮 阳篷CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m 决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷C . (结果0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59)
解直角三角形教学设计及反思 教学内容分析: 本节内容是在学习了“锐角三角函数” “勾股定理”等内容的基础上进一步探究如何利用所学知识解直角三角形。通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。将为一般性地学习三角形的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。对部分学生来说，有一定的难度。 教学目标： 1、知识技能：使学生掌握直角三角形的边角关系，会选用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2、过程与方法：经历探求直角三角形边角关系的过程，体会三角函数在解决问题过程中的作用，感受理论来源于实践又反作用于实践的唯物主义思想。 3、情感态度与价值观：形成数形结合的数学思想，体会数学与实践生活的紧密联系。从而增强学生的数学应用意识，激励学生敢于面对数学学习中的困难。通过获取成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心, 养成良好的学习习惯。 教学课时：一课时教学重难点:
创设情境: 2.4米时，梯子与地面所称的角a 等于多少（精 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。 难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。 教学过程： 问题1:如图所示，一棵大树在一次强大台风中折断倒下，树干折断处距 地面3米，且树干与地面的夹角是30° ,大树折断之前高多少米？ 问题2：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角Q —般要满足50° W a W 75。（如图）,现有一个长6米的梯 子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位） 确到1。）？这时人是否能够安全使用这个梯子 ? （2）当梯子底端距离墙
2011年苏州中考数学试卷分析 一、试卷的基本结构 整个试卷分三部分，共29个题目，130分。第一部分为选择题，共10个题目，30分。第二部分为填空题，共8个题目，24分，第三部分为解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题）共11个题目，76分。 二、考查的内容及分布 从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容：函数、方程与不等式、三角形、四边形、圆、统计概率。对数形结合、动手操作以及空间想象能力、知识迁移能力都作了重点考查。 考查知识点在各年级所占的比例 分析今年试卷中各题在三个年级段所占比例来讲，三个年级的比例相差不大，八年级的知识相对多了一点点。七、八年级所学的知识在基础题和中等难度题目中出现比较多，而九年级的知识点相对来讲偏难一点，比如二次函数。
与去年相比，差别不大。 三、试题分析 试题的设置又具较明显的梯度，综合题有一定难度。选择题、填空题、解答题三种题型中的大部分题目都立足于考核初中数学的核心基础知识、基本技能及隐含于其中的基本数学思想方法。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1．12()2 ?-的结果是 A ．－4 B ．－1 C ．14- D ．3 2 【答案】B 。 【考点】有理数乘法。 【分析】利用有理数运算法则，直接得出结果数。 2．△ABC 的内角和为 A ．180° B ．360° C ．540° D ．720° 【答案】A 【考点】三角形的内角和定理。 【分析】利用三角形的内角和定理，直接得出. 3．已知地球上海洋面积约为316 000 000km 2，316 000 000这个数用科学记数法可表示为 A ．3.61×106 B ．3.61×107 C ．3.61×108 D ．3.61×109 【答案】C 。 【考点】科学记数法。 【分析】利用科学记数法的计算方法，直接得出结果。 4．若m ·23＝26，则m 等于 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
初中数学解直角三角形八
第十一章解直角三角形 考点一、直角三角形的性质（3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1AB 可表示如下：?BC= 2 ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下：?CD=21AB=BD=AD D为AB的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边 c的平方，即2 2c 2 a= + b 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是 两直角边在斜边上的摄影的比例中 项，每条直角边是它们在斜边上的摄
影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22 c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin = ∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记为cosA ，即c b cos =∠=斜边 的邻边A A
解直角三角形 知识要点： 1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切 sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边 A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边 的邻边 A A ∠∠ (1)平方关系：1cos sin 2 2=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =?； (3)商的关系：tanA= A A cos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系： 如果ο 90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο ；tanA=cot （90°-A ）=cotB 2、 解直角三角形 3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用 转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长． 已知条件 解法 一边及 一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c= sin a A 斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA 两边 两条直角边a 和b ，B ＝90°-A ， 直角边a 和斜边c sinA= a c ，B ＝90°-A ，
例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值． 例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则 CD AC AB- 等于（）． A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A 例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值． 例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积． 例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值． 二：可解的非直角三角形的类型与解法 解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考． 一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31 +，求△ABC各内角的度数． B A D C 图1
28.2.1解直角三角形 【学习目标】 1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系． 2.会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 【重点难点】 重点：解直角三角形的解法． 难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 【新知准备】 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 、 ∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 (2)三边之间关系 (3)锐角之间关系． 【课堂探究】 一、自主探究 探究1要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a 一般要满足50°≤a ≤75°.现有一个长6m 的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m ）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m 时，梯子与地面所成的角a 等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A ＝75°，斜边AB ＝6，求∠A 的对边 BC 的长． 问题（2）可以归结为在Rt △ABC 中，已知AC ＝2.4，斜边AB ＝6， 求锐角a 的度数 A B α C
AD 探究2 （1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？ （2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？ 解直角三角形： . 注意： 二、尝试应用 1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b a ， 解这个三角形． 2、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B =35°，b =20， 解这个三角形（结果保留小数点后一位）． 三、补偿提高 1.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =6， ∠BAC 的平分线 解这个直角三角形。 2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B ＝72°，c = 14. 【学后反思】 1.通过本节课的学习你有那些收获? 2. 你还有哪些疑惑？ A B C 26 A B C a b =20 c 35° A C A B C b=20 a =30 c B A B C b a c=14
2009——2010学年度第一学期期末教学质量检测 八年级数学试卷 一、选择题（每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请将它的代号填在题后的括号内） 1．下列图形中，不是轴对称图形的个数是( )。【原创】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．在一个暗箱里放有a 个除颜色外其它完全相同的球，这a 个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a 大约是【根据2007年河北省中考数学第5题改编】 A ．4 B ．9 C ．12 D ．3 3．若－5a ＞2a ，a 下列各式正确的是（ ）【原创】 A ．a ＞0 B ．a ≤0 C ．a ≥0 D ．a ＜0 4．下列四种说法正确的（ ）【原创】 （1）立方根是它本身的是1 （2）平方根是它本身的数是0 （3）算术平方根是它本身的数是0 （4）倒数是它本身的数是1和－1 A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（3）（4） 5．化简b a b b a a ---2 2的结果是（ ）【2010年河北省中考数学第7题】 A ．2 2b a - B ．b a + C ．b a - D ．1 6．在平面直角坐标系中，点P （x －2, x ）不可能在的象限是（ ）【原创】 A ．第一象限 B ．第二象限 得 分 评卷人
22．（本小题满分8分）【根据八年级数学学习点津上册第58页填空第4题改编】 如图8，P 是等边△ABC 内的一点，且PA =6，PB =8，PC =10，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转60°后，得到△P ′AB 。 （1）△APP ′的形状是 ； （2）求∠APB 的度数。 23．（本小题满分8分）【根据八年级数学学习点津上册第101页第14题改编】 在图9所示的平面直角坐标系中有两个△ABC 和△DEF 请解答 下列问答：（1）△DEF 是由△ABC 怎样得到的？ （2）将下表补充完整，在直角坐标系中画出△A ′B ′C ′； （3）观察△ABC 与△A ′B ′C ′，写出有关这两个三角形的一个正确结论。 得 分 评卷人 得 分 评卷人 （x ，y ） （2x ，y ） A （ ） A ′ （ ） B （0，0） B ′ （ ） C （ ） C ′ （ ） 图 y
华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习优生提升测试卷B卷（附答案详解） 1．在Rt△ABC中，∠C为直角，sinA= 2 2 ，则cosB的值是( ) A．1 2 B． 3 2 C．1 D． 2 2 2．如图，小强和小明去测量一棵古树的高度，他们在离古树60 m的A处，用测角仪测得古树顶的仰角为30°，已知测角仪高AD＝1.5 m，则古树BE的高为( ) A．(203－1.5)m B．(203＋1.5)m C．31.5 m D．28.5 m 3．在网格中的位置如图所示（每个小正方体边长为1），于，下列选项中，错误的是（） A．B．C．D． 4．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=43，则S阴影=（） A．2 3 B．πC．2πD．
5．在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=3 2 ，那么AC 边的长是（ ） A ．6 B ．25 C ．35 D ．213 6．在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有( )是正确的. A ．sinA= c a B ．cosB= b c C ．sinB= b a D ．tanA= a b 7．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面 所成角为45°，如果梯子底端O 固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB 为： A ． 米 B ．米 C ．3 米 D ．米 8．上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处(如图)，从A ，B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东30°方向，那么船在B 处与小岛M 的距离为( ) A ．20海里 B ．(203＋20)海里 C ．153海里 D ．203海里 9．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i =1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的 是（ ） A ．sinα = 16 B ．cosα=16 C ．tanα=1 6 D ．tanα=2 10．如图，电线杆CD 的高度为，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB=，则拉 线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）（ ）
第十二章分式 1.分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母 对于任意一个分式，分母不能为零，分式有意义 对于任意一个分式，分母为零，分式无意义 4.分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。 5.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 6.完全平方公式a2+2ab+b2 = （a+b）2a2-2ab+b2=﹙a-b﹚2两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方 7.常见的恒等变形如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2， (x-y)3= -(y-x)3. 8.约分：把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分 9.最简分式：如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式 10.通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 11.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变. 12分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变。 通分的关键:确定几个分式的最简公分母。通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求最简公分母时，首先要因式分解，将所有的表达式都化成积的形式，然后，再定最简公分母. 解分式方程的一般步骤：(1)去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程； (2)解整式方程；(3)验根：可把整式方程的根分别代入最简公分母，如果使最简公分母为0，那么这个根叫分式方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，那么这个根是原分式方程的根；(4)写出方程的解． 15、用分式方程解应用题常见的等量关系 一.工程问题 1．工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 设工作总量为“1”的公式：1÷单独完成的工作时间=工作效率；1÷工作效率=单独完成的工作时间。 2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 二．营销问题 1．商品总利润＝商品总售价一商品总成本价= 商品单件利润×销售量 2.商品单件利润＝商品单件售价一商品单件成本价 3．商品利润率＝商品总利润/商品总成本价×100%=商品单件利润/商品单件成本价×100% 4．商品销售额＝商品单价×商品销售量 5、折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 三．行程问题 1．路程＝速度×时间，速度＝路程/ 时间 2．在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空）：顺水速度＝静水速度＋水流速度 逆水速度＝静水速度－水流速度 增长率问题原来量×（1 增长率）=现在量 第十三章全等三角形 1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2、全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应角相等,对应边相等. (2)全等三角形中的对应线段相等.即对应的角平分线，对应的中线，对应的高线相等。
2017-2018九下数学教学进度及复习计划（2018-2） 一．教学进度集备计划 时间 周一周二周三周四周五备注周次 1 （2.26-3.2）课 上 3.4圆周角定理 第二课时 3.5确定圆的条 件. 3.6.1直线和圆 3.6.2直线和圆 3.8圆内接正多 边形 主备：圆新课课 后 处理假期作业处理假期作业 课后作业处理课后作业处理 圆的复习 2 （3.5- 3 .9）课 上 3.9弧长及扇形 面积 1.1实数 1.2 数的开方 与二次根式 1.3 代数式与 整式 1.4 分式主备：数与式 赵连江，赵静课 后 圆的复习数的运算数的运算分式的运算分式的运算周测：赵卫国 3 （3.12-3.16）课 上 整式方程的应 用（2.1 2.3） 整式方程的应 用（2.1 2.3） 2.2 分式方程 应用 2.4 不等式 （组）的解法及 不等式的应用 方程与不等式 应用题（多模 型综合） 主备：方程与不 等式赵卫国， 周茜 课 后 各类方程的概念及解法运算周测：赵静 4 （3.19-3.23）课 上 3.1 平面直角 坐标系及函数 3.2 一次函数 及图象的应用 （读图信息） 3.3 反比例函 数及应用 3.4 二次函数 的图象与性质 3.5 二次函数 的实际应用 主备：函数郑 朝龙，刘文源 课 后 图形与坐标 （基础知识+ 变换+坐标系 相关的探究） 一次函数与反比例函数 概念与应用二次函数（利 润问题） 函数应用（面 积、拱桥） 周测：周茜 5 （3.26-3.30）课 上 4.1 线段、直 线、射线、角、 相交线与平行 线 4.2 三角形与 全等三角形4.3 等腰三角形与 直角三角形 4.4 相似三角 形 4.5 解直角三 角形及应用（1） 4.5 解直角三 角形及应用（2） 主备：三角形 渠海霞，赵静 课 后 相关证明或计算解直角三角形计算周测：郑朝龙 6 （4.2-4 .6）课 上 图形与证明题 型（5.2矩菱 正） 图形与证明题 型（5.2矩菱 正） 7.2 对称、平 移、旋转与位似 7.3 尺规作 图 6.1 ——6.3 圆的概念及基 本性质、与圆 有关的计算 主备：四边形 赵连江，周茜 课 后 5.1 平行四边 形及多边形 四边形证明四边形证明四边形证明 圆有关的计算周测：刘文源 7 课7.1 视图与投8.1 统计8.2 概率二轮：运动型二轮：运动型主备：赵卫国，
第十一章 解直角三角形 小结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= 2 1AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比 例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠=斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠=斜边的邻边A A
③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=A A cos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 （3~5） 1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
初三数学解直角三角形 1、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫解直角三角形． 2、解直角三角形的依据 （1）三边之间的关系：a2＋b2=c2．（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°． （3）边角之间的关系： 例1如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，tanB=cos∠DAC． （1）求证：AC=BD；（2）若BC=12，，求AD的长． 3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示： 例2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米的上空P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°，如图所示，求A、B两个村庄之间 的距离．（精确到1m．参考数据） 4、方向角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的夹角叫方向角．如图所示：例3某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h．交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A在y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置； 2）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； 3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请你通过计算判断汽车在这段限速公路 上是否超速行驶（本问中取1.7） 1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，则a=（） A．B． C． D．6 2、一等腰梯形的高为4，下底长为8，下底的底角的正弦值为0.8，那么它的上底和腰长分别为（）A．4和5 B．2和5 C．2和4 D．4和10 3、王师傅在楼顶的A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知水平距离BD为10m，楼高AB为24m，则树高CD为（）m．
测试3 解直角三角形(一) 学习要求 理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型． 课堂学习检测 一、填空题 1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， 第1题图 ①三边之间的等量关系： __________________________________． ②两锐角之间的关系： __________________________________． ③边与角之间的关系： ==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______； == B A tan 1 tan _____； ==B A tan tan 1 ______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 第④小题图 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ． CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)． 第⑤小题图 直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________． 若r 是Rt △ABC (∠C ＝90°)的内切圆半径，则r ＝_________＝_________． ⑥直角三角形的面积公式．
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， S △ABC ＝_________．(答案不唯一) 2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角) 3 二、解答题 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． (1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ； (2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (3)已知：3 2 sin =A ，6=c ，求a 、b ； (4)已知：,9,2 3 tan ==b B 求a 、c ； (5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ． 综合、运用、诊断 5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2α ，OC ⊥AB 于C 点．
A 米 A B C a α 直角三角形边角关系测试题 1.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ， AB 为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A ． 32 ）m B ． （32）m C ．3 m D ．4m 2.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m ，则他升高了（ ） A ．5200m B ．500m C ．3500m D ．1000m 3.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA = 5 1，则AD 的长为 （A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1 4.在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45 ，则tanB ＝（ ） A ．43 B ． 34 C ． 35 D ．45 5.如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向点C 处测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于 （ ） A 、a ·sin α B 、a ·tan α C 、a ·cos α D 、α tan a 6.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线， 5 3sin = ∠CAM ，则B ∠tan 的值为 ． 7. 如图，先锋村准备在坡角为0 30=α山坡上栽树，要求相邻两树 之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为
__________米. 8、如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3米，引桥的坡角ABC ∠为?15，则引桥的水平距离BC 的长是_________米（精确到0.1米）。 9. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与 小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为 米（精确到0.1）.（参考数据：414.12≈ 732.13≈） 10.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB ．小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40m 到达E ，又测得 教学楼顶端A 的仰角为60° ．则这幢教学楼的高度AB 11.小明在某风景区的观景台O 处观测到北偏东 50的P 处有一艘货船,该船正向南匀速航行,30分钟后再观察时,该船已航行到O 的南偏东40 ,且与O 相距2km 的Q 处.如图所示. 求: (1)∠OPQ 和∠OQP 的度数; (2)货船的航行速度是多少km/h? (结果精确到0.1km/h, 已知sin 50=cos 40=0.7660, cos 50=sin 40=0.6428, tan 50=1.1918, tan 40=0.8391, 供选用.) A B C
《解直角三角形（一）》学案 学习目标： 1、 理解三角函数的有关概念，掌握特殊角的三角函数值； 2、 弄清解直角三角形的含义，掌握直角三角形中的边角关系，会应用这些关系解直角三角形； 3、 能够利用构造直角三角形的方法解决求角度和线段长度的问题； 4、 在弄清基本概念、基础知识、基本题型的同时，不断归纳数学思想和方法，进一步深刻理解数形结合、转化在数学学习中的作用。 一、知识点归纳 1、锐角α的三角函数定义: ∠α的正弦：sin α= ∠α的余弦：cos α= ∠α的正切：tan α= 思考：根据三角函数的定义，你能正确填空吗你是怎样得到的 ① ＜sin α＜ ② ＜cos α＜ “ ③ ＜tan α＜ ④sin α+ cos α 1 ⑤tan α sin α（填“＜”或“＞”） ②观察表格，猜想：随着∠α的增大，sin α ；cos α ； tan α 。（填增大或减小） 3、由直角三角形中的已知元素（边和角），求出其它所有未知元素的过程，叫 做 。其主要依据如下： ⑴边的关系： ； ⑵角的关系： ； ⑶边角之间的三角函数关系： SinA= cosA= tanA= SinB= cosB= tanB= 思考：解直角三角形有哪几种基本类型在练习本上列举出来，并进行口头解答。 二、热点示例与题组练习 目标1、特殊角三角函数值 题组一 1、已知∠A 为锐角，且sinA= 23，则sin 2 A = . 2、计算：0 030 60sin cos -tan450 的值是 。 3、若tan α= 3 1 tan600,则α的度数是 。 4、在△ABC 中，若-+A B cos 21 -（sin 2 3)2=0，则∠C 的度数是 。 目标2、解直角三角形 题组二 在Rt △ABC 中，∠C=90° ①已知 a=23,b=2,则∠A= ； ②已知a=10, ∠B=600，则C = 。 ③已知BC=6cm,sinA=5 3 ,则AB 的长是 cm 。 ④已知cosB=5 3 ,则tanA= ; 题组三 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，BD=63，BC=9，求 AC 的长。 c b a C B A c a C B A D A B C
（冀教版）八年级数学上册（全册）单元测试汇总 第12章分式和分式方程单元测试 一、单选题（共10题；共30分） 1.化简分式bab+b2的结果为（） A、1a+b B、1a+1b C、1a+b2 D、1ab+b 2.有理式①, ②, ③, ④中, 是分式的有（） A、①② B、③④ C、①③ D、①②③④ 3.若x=3是分式方程的根, 则a的值是（）. A、5 B、﹣5 C、3 D、﹣3 4.给出下列式子：1a、3a2b3c4、56+x、x7+y8、9x+10y, 其中, 是分式的有（） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.在式子y2、x、12π、2x-1中, 属于分式的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 6.如果1a+1b=1, 则a-2ab+b3a+2ab+3b的值为（） A.15 B.-15 C.-1 D.-3 7.学校建围栏, 要为24000根栏杆油漆, 由于改进了技术, 每天比原计划多油400根, 结果提前两天完成了任务, 请问原计划每天油多少根栏杆？如果设原计划每天油x根栏杆, 根据题意列方程为（） A. = +2 B. = ﹣2 C. = ﹣2 D. = +2 8.下列分式中最简分式为（） A. B. C. D. 9.小明乘出租车去体育场, 有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米, 但交通比较拥堵, 路线二的全程是30千米, 平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%, 因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时, 根据题意, 得（） A.25x?30(1+80%)x=1060 B.25x?30(1+80%)x=10 C.30(1+80%)x?25x=1060 D.30(1+80%)x?25x=10