第11关 解直角三角形（讲义部分）
知识点1 解直角三角形
1.已知一边一角
（1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠
,sin A c a =A c B c b cos sin ==
（2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠
,tan B a b =A a c sin =
2.已知两边
（1）已知两直角边b a ,，解法：由b
a
A =
tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠ A b
A a c cos sin =
=
（2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由
c a
A =sin 求出A ∠，,90A
B ∠-=∠
A c
B c b cos sin ==
解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念.
题型1 解直角三角形
【例1】如图，AD 是ABC ∆的中线，1
tan 3
B =，cos
C =，AC =
（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．
【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，
cos C =
， 45C ∴∠=︒，
在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，
在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即1
3
AE BE =，
33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=；
（2）AD 是ABC ∆的中线，
1
22
CD BC ∴==，
1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，
sin ADC ∴∠．
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注 意锐角三角函数的概念的正确应用．
【例2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，CD =，3BD =． （1）求sin CBD ∠的值； （2）若3AB =，求AD 的长．
【解答】解：（1）如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，
在Rt CED ∆中，
45,C CD ∠=︒，
1CE DE ∴==，
在Rt BDE ∆中，1
sin 3
DE CBD BD ∠=
=； （2）过点D 作DF AB ⊥于点F ， 则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形BEDF 是矩形，
1DE BF ∴==， 3BD =，
∴DF =2AF AB BF ∴=-=，
∴AD =
【点评】本题考查了锐角三角函数及矩形、等腰三角形的知识．构造直角三角形和矩形，利用锐
角三角函数是解决本题的关键．
【例3】如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，D 是AC 上一点，若1tan 3
DBA ∠=． （1）求AD 的长； （2）求sin DBC ∠的值．
【解答】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H ，
ABC ∆为等腰直角三角形，90C ∠=︒，
45A ∴∠=︒，8AC BC ==， AH DH ∴=，
设AH x =，则DH x =
1tan 3
DBA ∠=
， 3BH x ∴=， 4AB x ∴=，
由勾股定理可知：AB
x ∴=
由勾股定理可得，4AD ==；
（2）
4AD =，
4DC AC AD ∴=-=，
由勾股定理得，DB =
sin
CD DBC BD ∴∠=
==
【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．
【例4】如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36α∠=︒，求长方形卡片的周长．（精确到1)mm （参考数据：sin360.60︒≈，
cos360.80︒≈，tan360.75)︒≈
【解答】解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．
1801809090,
90,36.
DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=︒-∠=︒-︒=︒∠+∠=︒∴∠==︒
根据题意，得24BE mm =，48DF mm =． 在Rt ABE ∆中，sin BE
AB
α=， ∴24
40sin360.60
BE AB mm =
==︒
在Rt ADF ∆中，cos DF
ADF AD
∠=， ∴48
60cos360.80
DF AD mm =
==︒．
∴矩形ABCD 的周长2(4060)200mm =+=．
【点评】本题考查矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．
【例5】阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60D ∠=︒
，AB =
BC AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt ADE ∆，经过推理
和计算能够使问题得到解决（如图2)． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题： 如图3，四边形ABCD 中，1
tan 2
A =
，135B C ∠=∠=︒，9AB =，3CD =，求BC 和AD 的长．
【解答】解：（1）延长AB 与DC 相交于点E ，
在ADE ∆中，
90A ∠=︒，60D ∠=︒，
30E ∴∠=︒．
在Rt BEC ∆中，
90BCE ∠=︒，30E ∠=︒
，BC =
2BE BC ∴==
