集合与二元关系
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集合与关系部分习题参考答案习题三3.1 （1）假（2）真（3）真（4）真（5）假（6）假（7）假（8）真（9）假（10）真3.2 (1)A∪B={1,2,3,5,7,9,11}(2)A∩C={3}(3)(A∪B)∩C={1,5,7,9,11}(4)A－B={1,9}(5)C－D={3,6,12}(6)B⊕D ={3,4,5,7,8,11}3.3 (1)A∪B={1,2,3,5,7,9,11} (2)A∩C={3} (3)(A∪B)∩C={1,5,7,9,11}(4)A－B={1,9} (5)C－D={3,6,12} (6)B⊕D ={3,4,5,7,8,11} 3.4(1)如下图（2）（3）（4）3.5（1）)P={∅,{∅}}(A（2）)P={∅,{{1}},{1},{{1},1}}(A（3）)P={∅,{∅},{{1}},{{2}},{{1,2}},{∅,{1}},{∅,{2}},{∅,{1,2}},(A{{1},{2}},{{1},{1,2}},{{2},{1,2}},{∅,{1},{2}},{∅,{1},{1,2}},{∅,{2},{1,2}} ,{{1},{2},{1,2}},A}（4）P={∅,{{1,1}},{{2,1}},{1,2,1},{{1,1},{2,1}},{{1,1},{1,2,1}},{{2,1},{1,2(A),1}},A}3.6 原式=((A∪(B－C))∩A)∪(B－(B－A))=A∪（A∩B）=A3.7（1）假。
例如，A={1,2},B={1,3},C={2,3}不成立（2）假。
例如，A=∅, B={1},C={2}不成立3．8证明(A∪C)-(B∪C)=A-B-C。
（原题有误，右式少了C）证明：(A∪C)-(B∪C)= (A∪C) ∩CB=(A ∪C ) ∩CB=BC C A ))((=B C A=CB A --3.9（1）(A ∩B )-C =A ∩(B -C )，右式左式=-===)()(C B A C B A C B A（2）A ∪(B -A )=A ∪B ，右式左式=====B A E B A A A B A A B A ))()()()(（3）A -(A -B )=A ∩B ，右式左式=====B A B A A A B A A B A A )()()(()(（4）A -(B -C )=(A -B )∪(A ∩C )，右式左式====)()()(()(C A B A C B A C B A（5）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C )，右式左式=--===)()()()())(C B C A C B C A C B A（6）A ∪B =A ∪(B ∪(A ∩B ))。
吸收律）右式（右式())(===A B B A A B3.10 设256|)(|,64|)(|,3||===B A P B P A 。
求 |,||,|B A B |||,|B A B A ⊕-。
解：,1||,6||==B A B 7||,2||=⊕=-B A B A 。
3.11解：假设会英、日、德和法语的人分别为A ，B ，C ，D ，则 |A|=13，|B|=5，|C|=10，|D|=9，|A ∩B| =2，|A ∩C|=|A ∩D|=|C ∩D|=4, |B ∩C|=|B ∩D|=0, 因B 只与A 相交，所以集合关系图如下，可知：只会日语的为|B| - |A ∩B|=5-2=3，根据图可计算： |A ∪C ∪D |=24 -3=21， 根据容斥原理：|A ∪C ∪D |=|A|+|D|+|C|-|A ∩C|-|A ∩D|-|C ∩D|+| A ∩C ∩D| 可知会三种语言的有： | A ∩C ∩D|=21-32+4+4+4=1 人只会英语的：|A|-| A ∩B |- |A ∩C|- |A ∩D|+| A ∩C ∩D |=13-2-4-4+1= 4 人 只会德语的：|C|-| D ∩C |- |A ∩C|+| A ∩C ∩D|=10-4-4+1 = 3 人 只会法语的：|D|-| D ∩C |- |A ∩D|+| A ∩C ∩D|=9-4-4+1= 2 人 只会日语的: |B| - |A ∩B|=5-2=3人。
习题四4.1 设A={a,b}，求P(A)×A={<Φ,a>,<Φ,b>,<{a},a>,<{a},b>,<{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>}4.2 设A,B为集合，|A|=n,|B|=m。
（1）问A到B的二元关系共多少个？2nm（2）问A上二元关系共多少个？22n4.3 列出下列二元关系R的所有元素：（1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={<x,y>|x,y∈A∩B}；R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>}（2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={<x,y>|2≤x+y≤4且x∈A且y∈B}；R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}（3）A={1,2,3}，B={-3,-2,-1,0,1}，R={<x,y>| x∈A, y∈B且|x|=|y|}；R={<1,1>,<1,-1>,<2,2>,<2,-2>,<3,3>,<3,-3>}4.4 列出所有从X={a,b,c}到Y={d}的关系。
X ×Y ={ <a,d>,<b,d>,<c,d>}，X ×Y的所有子集为X到Y的关系，有8个，分别是：R1=Φ, R2={<a,d>}, R3={<b,d>}, R4={<c,d>}, R5={<a,d>,<b,d>}, R6={<a,d>,<c,d>},R7={<b,d>,<c,d>}, R8={<a,d>,<b,d>,<c,d>}。
4.5 设A＝{0,1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，用列举法描述下列关系，并作出它们的关系图及关系矩阵：（1）R1={<x,y>|x∈A∩B且y∈A∩B}R1={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}（2）R2={<x,y>|x∈A，y∈B且x=y2}R2={<1,1>,<4,2>}（3）R3={<x,y>|x∈A，y∈A且x+y=5}R3={<0,5>,<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>,<5,0>}（4）R4={<x,y>|x∈A，y∈A且x=ky,k∈N,k＜2}R4={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<0,5>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}4.6 设P={<1,2>，<2,4>，<3,3>}和Q={<1,3>，<2,4>，<4,2>}，计算P∪Q，P∩Q，dom P，dom Q，ran P，ran Q，dom（P∩Q），ran（P∩Q）。
解：P∪Q ={<1,2>，<2,4>，<3,3>，<1,3>，<4,2>}，P∩Q={<2，4>}，dom P={1,2,3}，dom Q={1,2,4}，ran P={2,3,4}，ran Q={2,3,4}，dom（P∩Q）={2}，ran（P∩Q）={4}。
4.7 设P={1,2,3}，图4-10给出了P上的5个关系R1、R2、R3、R4、R5，判断它们具有哪些性质？图4-10R1：自反性； R2：反对称； R3：反自反，对称； R4：反对称，传递；R5：自反，对称，反对称，传递。
4.8 设A 为一集合，|A |=n ,试计算（1）A 上有多少种不同的自反的（反自反的）二元关系？自反和反自反都是nn -222种（2）A 上有多少种不同的对称的二元关系？ n 22（3）A 上有多少种不同的反对称的二元关系？ n n 32⋅4.9 设A ＝{a ,b ,c ,d }，A 上二元关系R 1，R 2分别为 R ={<b ,b >,<b ,c >,<c ,a >} S={<b ,a >,<c ,a >,<c ,d >,<d ,c >} 计算R S ，S R ，R 2，S 2。
解：R S={<d,a>}，S R={<b,a>，<b,d>}，R 2={<b,a>,<b,b>,<b,c>}，S 2={<c,c>,<d,d>,<d,a>}4.10 设R 1和R 2是A 上任意关系，判断以下命题的真假并说明理由。
（1）若R 1和R 2是自反的，则R 1 R 2也是自反的；真；（2）若R 1和R 2是反自反的，则R 1 R 2也是反自反的；假；例如： R1={<1,2>}，R2={<2,1>}，则R1 R2={<2,2>}，不是反自反。
（3）若R 1和R 2是对称的，则R 1 R 2也是对称的；假；例如：R 1={<1,2>，<2,1>}，R 2={<1,3>,<3,1>}，则R 1 R 2={<3,2>},不是对称。
（4）若R 1和R 2是传递的，则R 1 R 2也是传递的。
假；设集合A ={a , b , c }，当R 1={(a , b ), (b , c ), (a , c )}，R 2={(b , c ), (c , a ), (b , a )}，R 1和R 2都是传递的. 但是，由12R R = {(a , a ), (a , c ), (b , a )} 得 (b , a )∈12R R ，(a , c )∈ 12R R ，且(b , c )∉12R R ，故12R R 不是传递的。
