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第二章光的衍射(菲涅耳圆孔衍射

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第二章光的衍射

第二章光的衍射

用振动矢量叠加法
K为奇数
K为偶数
说明：
１．圆孔中露出半波带数目(k不是很大)
K为奇数，
A
=
1 2
(a1
+
ak
)
≈
a1
P为亮点
K为偶数，
A
=
1 2
(a1
− ak )
≈
0
P为暗点
∞ ２．k
无障碍物（自由传播）
ak → 0
AP
=
a1 2
IP
=
a12 4
三. 计算露出半波带数目k
Rh2k = rk2 − (r0 + h)2 = rk2 − r02 − 2r0h − h2 ≈ rk2 − r02 − 2r0h
把每一个半波带进一步划分，分割为m个更窄的环 带！如何来分析？
2、观察点P不在轴线上时，振幅如何计算？
§2.3 、菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）
一. 圆孔衍射 圆孔衍射的特点
（1）、Ak 取决于 k ，当 λ, R, Rhk一定时，k 取决于 r0 ,
即P的点位置 ⎩⎨⎧rr00小大，，kk大小
k 偶数时轴上点是暗点，奇数时是亮点。
6）、缺点：（1）f ′ 与 λ 有关，色差很大。激光
的出现使波片的应用成为可能；
（2）除
f′
外，尚有1 3f Nhomakorabea′,
1 5
f
′L
多个焦距的存
在，对给定物点，波片可给出多个象点。
菲涅耳直边衍射的矢量分析：
四、直线传播和衍射的关系
即使是直线传播，也要按惠——菲原理的方式进行，此 原理主要指同一波面上所有点所发次波在某一给定观察点 的相干迭加。衍射现象是光的波动特性最基本的表现，直 线传播不过是衍射现象的极限表现而已。

第二章 光的衍射

第二章 光的衍射

四、单缝衍射图样的特点
（1）条纹最大值光强不相等、 中央最大、其余皆小 ， Ｉ１０< 5%Ｉ０． 2 中央： 2 b （2）角宽度： ＝sin k
k
b
2 中央：l f b 线宽度： l ＝f 其余：l f b
令：Ｉ０＝A０２＝1 则可由
Ｉp＝Ap2＝A0 2 [
sin( b ) sin
b ) sin (

k0
]
2
k0
得： A12＝0.0451 A22＝0.0162 A32＝0.0083 A42＝0.0050 A52＝0.0034 A62＝0.0024 A72＝0.0018
sin 0.610
1

R
sin 1.116
2

sin 1.619 R R
3


（3）次最大的位置；
sin 0.819
10

R
sin 1.333
20

R
sin 1.847
30

R

中央亮斑的光强占总光强的84%,其余 光强共占16％ ．
四、讨论：
1 2 3 4
sinθ sinθ sinθ
10 20
30
sinθ
k0
=±1.43 =±2.46 =±3.47 ( …… 1 =± (k )
0
( ) b ( ) b
3 ≈± 2 b 3 ≈± 2 b 5/2 7 ) ≈± 2 b b
k0 = 1,2,
2 b

2.4 菲涅耳衍射(圆孔和圆屏)
一、圆孔衍射

第二章 光的衍射

第二章 光的衍射

因此基尔霍夫衍射 i A(q)e ikr (cos 0 cos ) ds 积分 的复振幅表达 Ｅ(p)= 2 r 式为




三、惠更斯-菲涅耳原理
a) 对于一般衍射问题直接计算 E 的积分相当 复杂，常用半波带法和振幅矢量法分析
b) 惠更斯－菲涅耳原理的进步之处是：给出 次波源在传播过程中的振幅变化及相位关 系和次波的叠加关系。
说明
下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方 法 ——半波带法。它在处理一些有对称性的问 题时，既方便，物理图象又清晰。
一、菲涅耳半波带
如图所示：点光源O发出的单色光照射半径为ρ的圆 孔，露出的波面s是一个高度为h的球冠。将波面 S 分 成许多以 B0 为圆心的环形波带，并使：
S

B2
r3=r2+λ/2 r2=r1+λ/2 B3 r1=r0+λ/2
用如下上下交替的矢量来表示 P 点处振幅的叠加
a1 a3 ak Ak Ak a2 a4 a3 –a4 a1 –a2 a2 a4 ak a1 a3
1 a 2 k
1 a 2 1
1 k 为奇数时 Ak ( a1 ak ) 2 1 合成一式 Ak ( a1 ak ) 2
1 k 为偶数时 Ak 2 ( a1 ak )
sk R rk R r0
代入ds
2R 2 drk ds rk R( R r0 )
∵ rk ,可将drk视为相邻两波带间r的差值λ/2，则ds=Δsk ∴ 结论：Δ sk/rk 与 K 无关， 对 每个半波带都相
影响 ak 的只剩下倾斜因子 K（θk）：K↑，θ↑， ak 缓慢减少。
0 0
n
dS

第二章-光的衍射PPT课件

第二章-光的衍射PPT课件
波面为球面的波动称为球面波，如点光源发出球面 波；
波面为平面的波动称为平面波，如平行光束；
波面为柱面的波动称为柱面波，如狭缝光源发出柱 面波；
一般情况下，波面与传播方向垂直。
2021
13
2、惠更斯原理
[表述]：任何时刻，波面上的每一个点都可作为新的 次波源而发出球面次波，在以后的任一时刻，所有次 波波面的包络面形成整个波动在该时刻的新波面。
3、衍射现象的出现与否，还决定于障碍物的线度和 波长的相对大小，只有障碍物的线度和波长可以比拟 时，衍射现象才明显地表现出来．
结论
对光而言，衍射是绝对的，直线 传播是相对的；直线传播仅是衍 射的一种近似。
2021
12
二、更斯原理
1、波面： 光波传播过程中，位相相同的空间各点的轨迹所构 成的曲面，即等相面，称为波阵面，简称波面。
是他的经典名著。
2021
4
§2. 1 惠更斯-菲涅耳原理
一、光的衍射现象：
1、机械波的衍射 不沿直线传播而绕过障碍物，沿各方向绕射的现象。 如声波、水波的衍射。
2、电磁波的衍射
不沿直线传播而绕过障碍物，继续传播的现象。如
无线电波（电视、广播）的衍射。
3、光波的衍射
A
E
直线传播 宽
衍射
E
A
a'
S
缝
S
惠更斯首先发明了摆钟并对有关时计的若干种摆（单摆、复
摆、旋轮摆等）作了研究，这对当时天文与航行上所用和后来时
计的发展起了重要的作用。惠更斯是创建经典力学的先驱之一，
在研究钟摆、圆周运动、完全弹性体碰撞等问题中，他阐明了许
多动力学的概念和规律（摆的运动方程与周期、向心力与离心力、

光的衍射

光的衍射

第二章光的衍射本章重点：1、惠更斯原理，菲涅耳衍射积分的意义；2、夫朗和费单缝衍射和衍射光栅，推导和运用他们的强度分布规律；3、光栅方程的推倒及其意义；4、环状波带片；本章难点：1、波带片的焦距2、夫琅和费单缝衍射衍射花样的光强分布§2.1 惠更斯—菲涅耳原理一、光的衍射现象（泊松亮斑）1、定义：光线绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影并在屏幕上出现光强不均匀的分布的现象2、种类a)、菲涅耳衍射：障碍物离光源和考察点的距离都是有限的，或其中之一的距离为有限的。

b)、夫琅和费衍射：光源和考察点到障碍物的距离可以认为是无限的（即实际上使用的是平行光束）。

二、惠更斯原理1、波面：在波的传播过程中，位相相同的点的轨迹2、惠更斯原理的内容：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。

3、图示：4、成功之处可以解释光的直线传播、反射、折射及晶体的双折射现象。

5、缺陷不能解释波的干涉和衍射现象，而且会导致有倒退波的存在。

三、菲涅耳对惠更斯原理的改进——惠更斯—菲涅耳原理1、改进保留了次波假设，补充了次波位相和振幅的定量表示式，并增加了“次波相干叠加”的原理。

2、惠更斯——菲涅耳原理的内容：面积元dS 所发出的各次波的振幅和位相符合下列四个假设：a)在波动理论中，波面是一个等相位面。

因而可以认为dS 面上各点所发出的所有次波都有相同的初相位（可令=0）。

b)次波在P 点处所引起的振动的振幅与r 成反比。

这相当于表明次波是球面波。

c)从面积元dS 所发出的次波在P 处的震幅正比于dS 的面积，且与倾角θ有关，θ为dS 的法线n 与dS 到P 点的连线r 之间的夹角，即从dS 发出的次波地到达P 点时的震幅随θ的增大而减小。

d)次波在P 点处的相位，由光程则面积元dS 所发出的各次波在P 点的振动为波面S 所发出的各次波在P 点的振动为复数形式 3、成功之处 理论上可以解释和描述光束通过各种形状的障碍物时所产生的衍射现象4、不足之处 计算起来困难§2.2 菲涅耳半波带一、菲涅耳半波带1、定义： 任何相邻两带的对应部分所发的次波到达P （位于波面的对称轴上）点时的光程差为λ/2，它们以相反的位相同时到达P 点，这样分成的环形带叫做菲涅耳半波带。

光的衍射现象ppt课件

光的衍射现象ppt课件

[教学难点]
菲涅耳半波带、光栅方程、光栅光谱
.
1
光的衍射
.
2
一、光的衍射现象
衍射——光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影
区,并在屏上出现光强不均匀分布的现象。同光的干涉 现象一样，是光的本质特性之一。
.
3
不同宽度的单缝衍射图样
.
4
单缝衍射
.
5
圆孔衍射
日常生活中为什么我们很容易观察到声波、无线电波的衍射， 而难以观察到光波的衍射呢？这是由于声波和无线电波的波长较 长（约几百米），自然界中存在这样尺度的障碍物或空隙（如墙、 山秋和建筑物等），容易表现出衍射现象；而光波的波长很短 （4000-7600Å )，自然界中通常不存在如此小的障碍物或空隙，光 主要表现出直线传播的特性。
如何从理论上解释光的衍射现象呢？
.
8
二、Huygens-Fresnel原理
.
9
惠更斯 — 菲涅耳原理 惠更斯 波阵面上各点都看成是子波波源
能定性解释光的传播方向问题
菲涅耳 波场中各点的强度由各子波在该点 的相干叠加决定
能定量解释衍射图样中的强度分布
波前上每个面元d都可以看成是新的振动中 心，它们发出次波。在空间某一点P的振动是 所有这些次波在该点的相干迭加。
相 邻 小 环 带 在 P 0 贡 献 的 振 动 位 相 差 m ,振 动 .的 合 成 用 矢 量 图 来 表 示
29
其余的半波带同样处理，并考虑到倾斜因子 f ( ) 的影响， 半径将逐渐收缩，形成螺旋线
uur
M 1 Am
m
u ur
A1
u ur
u ur
A3
o u ur A 2

第二章 光的衍射

第二章 光的衍射

· Q
θ
r
面元dS发出的各次波的 面元dS发出的各次波的 和位相满足： dE(p) 和位相满足：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
· p
1. S上各面元位相相同； 上各面元位相相同 上各面元位相相同；
S(波前 波前) 波前 设初相为零
2. 次波在 点引起的振动的振幅 次波在P点引起的振动的 点引起的振动的振幅 成反比； 与r成反比； 成反比 3. 次波在 点的位相由光程 决定。 次波在P点的位相由光程∆决定 点的位相由光程 决定。
b 2 b b b sinu ， 由 I = I0 可得到以下结果： 可得到以下结果： u
1.主最大（中央明纹中心）位置： 1.主最大（中央明纹中心）位置： 主最大 单缝衍射 sin u = 1 →I = I0 = Imax θ = 0处 u = 0 → ， u 即为几何光学像点位置
1. 波面在 点产生的振动 波面在P点产生的振动
A(Q) dE( p) ∝ K(θ) cos(ω −kr) dS t r A(Q)取决于波面上Q点处的强度。 点处的强度。 ( )
K(θ)：方向因子
θ ≥ 90o，K = 0
θ ↑→ θ )↓ ↑→K( ↓
θ = 0， K=Kmax ，
( K(θ)A Q) dE( p) = C dS ⋅ cos(ωt −kr) r ( K(θ) A Q) cos(ω −kr)dS t EP = ∫∫ dE = C∫∫ S S r ——菲涅耳衍射积分 菲涅耳衍射积分
圆孔的衍射图样： 圆孔的衍射图样：
屏上 图形： 图形：
孔的投影 菲涅耳衍射 夫琅禾费衍射
二、圆屏衍射
P点合振幅为： 点合振幅为： 点合振幅为 A = ak+1 −ak+2 +ak+3 −ak+4 +... P

光的衍射

光的衍射


Acos


t

nr v

0

观察屏
不但光线拐弯， 而且在屏上出现 明暗相间的条纹。
这是光具有波动 性的重要表现。
例2：单缝衍射
衍射屏
L
S
观察屏 L
例3：指缝间的衍射
光线同样拐弯，而且在屏上出 现明暗相间的条纹。
例4：刀片边缘的衍射
例5：圆屏的衍射
注意刀片狭缝的衍射花样
注意阴影中央的 亮点（泊松点）
▲ 衍射的可观察条件
不足之处
s
s’
不能解释衍射光强的重新分布惠更斯ຫໍສະໝຸດ 理vDtvv
S(t) S(t+Dt )
子波构成的平面波波前
球面波的传播 子波构成的球面波波前
狭 缝 生 成 的 子 波 和 波 前
波的叠加
狭缝
例：用Huygens原理作图证明折射定律
ab' v1t v2t sin1 sin2
sin1 sin2
§2.2惠更斯—菲涅耳原理
一、惠更斯原理
任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自
发出球面波；在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包
络面形成整个波在该时刻的新波面。
s
s’
直线传播规律 较好的解释光的 反射折射规律
成功之处
双折射现象
r = vt
定性的解释光的干涉、衍射现象
不能解释干涉衍射光的振幅变化
§2.4菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）
一. 圆孔衍射 二. 圆屏衍射 三. 波带片 四. 直线传播和衍射的联系
2-1 光的衍射现象(Diffraction of Light)
当一个波在传播中遇到障碍物时，会绕过去继续传播，如声音透过门缝， 河里的水波穿过涵洞，这种不遵从直线传播规律的绕射现象就是波的衍射。

第2章 光的衍射

第2章 光的衍射

m
R sin
1）中央主最大值的位置 0=0
sin 1 0.610

R
( 第一最小)
2）最小值的位置
sin 2 1.116
sin 3 1.619

R

R

其它最大值的位置:
sin 10 0.819
sin 20 1.333
sin 30 1.847
单 缝 衍 射 次 最 大 值 的 位 置
四.夫氏单缝衍射图样的特点
(1) 各最大值光强不等,中央主最大光强最强, I0=A02, 各级次 最大依次减弱. 最亮的次最大光强还不到主最大光强的5%. (2) 角宽度和条纹线宽. (3)暗纹等间距，次最大不是等间距. （4）白光作光源：中央白，边缘为彩色.
当

d jБайду номын сангаас时, b k
,出现缺级.
缺级的亮纹级次
d j k b
衍射缺级(N=6，d=3b )
六、双缝衍射 双缝衍射是光栅衍射N=2的情况，是夫琅禾费衍射。
sin 2 u sin 2 sin 2 u I P A02 2 2 [4 A02 cos 2 ( / 2)] 2 u sin ( / 2) u

2 d sin

P点的总光强为:
sin u I P I0 u
2
sin N / 2 sin / 2
2
单缝衍射因子
多光束干涉因子
I0= A02为只有一条缝存在时单缝衍射中央主最大光强 单缝衍射因子对干涉主极大起调制作用
u
b sin
七. 干涉和衍射的区别和联系
干涉和衍射两者的本质都是波的相干叠加的结 果，都满足惠更斯-菲涅耳原理. • 区别:1)参与相干叠加的对象不同。干涉是有限几 束光的叠加，而衍射则是无穷多次波的相干叠加， 前者是粗略的，后者是精细的叠加。

现代光学基础课件：第二章 光的衍射

现代光学基础课件：第二章 光的衍射
如图，O点为点光源，圆孔半径为Rh，S为光通过圆孔时的 波面。设圆孔包含有k个整数半波带。
Rhk Rh
Rh2k rk2 (r0 h)2
rk2 r02 2r0h h2 O
lR
s Bk k
Rh
h B0
rk
r0
P
由于h<<r0
Rh2k rk2 r02 2r0h (1)
Rh2k rk2 r02 2r0h (1)
面积，且与倾角 有关。 4 次波在p点的相位，由光程 nr 决定
§2.2 惠更斯—菲涅耳原理
二、惠更斯－菲涅耳原理
ds处发出的子波对P 点的贡献为dE(P),正
比于：
Q处面元大小 ds
倾斜因子 Q处发出的子波到达P点的光振幅 ei kr t
Q处的光场振幅分布函数A(Q)
r
11
§2.2 惠更斯—菲涅耳原理
二、合振幅的计算
以a1、a2、a3、…分别表 示各半波带发出的次波在 P点所产生的振幅。
P点叠加的合振幅Ak为：
Ak a1 a2 a3 a4 a5 ....... (1)k1ak
§2.3 菲涅耳半波带
S 2 R2 (1 cos)
cos R2 (R r0 )2 rk2
2R(R r0 ) 将上列两式分别微分
又因为
O
rk2
r02
(r0
k
)2
2
r02
lR
s Bk k
Rh h B0
rk
r0
P
k r0 (2)
Rh2k R2 (R h)2 2Rh (3)
一、菲涅耳半波带
S
R
O
rk=r0+k(λ/2)
B3

2光的衍射概论

2光的衍射概论

B3P B2P
Bk
P
Bk 1P
2
由: B0P r0
有
:
B1P
r0
2
B2
P
பைடு நூலகம்
r0
2
2
B3
P
r0
3
2
Bk
P
r0
k
2
C
B3 B2
B1
B0
r0
C‘ 极点
P
对称轴， S的法线
相邻波面到观察点P距 离 均 相 差 λ/2 的 环 形 带 波面称为半波带。
2、合振幅的计算
设：各半波带所发次波在P点产生的振幅分别为 a1, a2 , a3 ,, ak ,
当障碍物线度与光波波长可以比拟时，才能发生显著的衍射现象。
衍射与直线传播的内在联系
可见光波长在390nm～760nm范围内，常见的障碍物线度均远大 于它，因而，光波通常显示出直线传播性质；一旦遇到线度与波 长相同或更小数量级的障碍物，衍射现象就会明显地显示出来。
结论
对光而言，衍射是绝对的，直线传 播是相对的；直线传播仅是衍射的 一种近似。
称为倾斜因子。
若S上振幅按函数A(Q)分布，则：
dE CK( ) A(Q) cos(kr ωt)dS
r
在P点的合振动为：
E
S
dE
C S
K
r
AQ coskr
t dS
复数形式为： E C K AQeikrtdS
S
r
上式即为原理的积分表达式，亦称为菲涅耳积分。
惠更斯-菲涅耳原理是处理衍射问题的理论基础。原则上 可以根据上式确定任一点P的合振幅或光强。
由于露出波面为球冠，而球冠总面积为

第二章 光的衍射 第二节 菲涅尔衍射课件

第二章 光的衍射 第二节 菲涅尔衍射课件

③. 圆孔半径固定：
2 A a I A 2 4A I 1 1 1
④. 圆孔足够大：
Rhk R、r0
ak 0 2 a1 Ak 2
几何光学
二、圆屏衍射 1.装置： 2.结果：P点永远是亮点 3.分析：
A ak 1 ak 2 ak 3 ak 4
Jason Ren Physics
小
一、圆孔衍射
结
Jason Ren Physics
) Rhk 2 ( R 1 r 1 k ( 0 ) R R r0 r0
a k 1 2
第 二 章 光 的 衍 射
二、圆屏衍射
A ak 1 ak 2 ak 3 ak 4
三、菲涅耳波带片
1 1 1 2 Rhk R r0 ( ) k
4.讨论：
a k 1 2
第 二 章 光 的 衍 射
a k 1 const 圆屏几何中心永远是亮的； ①. 2
②. 屏中有亮点，没有其他影子； ③. 圆屏使光源成实像；
三、菲涅耳波带片
Jason Ren Physics
a2 k 1 奇数 1.波带片：合振幅：Ak a1 a3 a5 k
Jason Ren Physics
h r0
第 二 章 光 的 衍 射
rk r0 (k / 2)
2 2 2 2 r rk2 r02 k [r ( k / 2 )] r k / 4 0 0 0
k
r0
Rhk 2 k r0 2r0h
2 2 2 2 22 2 2 2 r 2 r h h r ( r h ) R R h 2 Rh R2 R ( R h ) 00 0 k hk

光学教程__第2章_光的衍射

光学教程__第2章_光的衍射

r
10
③ dE K( )dS
0, K Kmax
K( ):倾斜因子 K ( ) , K 0 (无倒退子波)
2
④次波在P点处的相位落后于dS处振动的相位，落后的值为
2 r kr
ds子波源发出的子波在P点引起的振动为：
dE C K( ) cost kr dS
r
❖ 波阵面上所有dS 面元发出的子波在P点引起的合振动为:
②在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形 成整个波在该时刻的新波面。
——“次波”假设。 3、惠更斯原理的图示如下：
6
光学
2.2 惠更斯-菲涅耳原理
惠更斯原理图示
r S Σ1
r = vt1
Σ2
7
光学
2.2 惠更斯-菲涅耳原理
4、惠更斯原理的成功与失败 ①可以解释光的直线传播、反射、折射和双折射现象； ② “子波”的概念能定性解释光的拐弯现象，但不能说 明在不同方向上波的强度分布，即不能解释波的衍射。 也不能解释波的干涉现象（未涉及波长等）； ③而且由惠更斯原理还会导致有倒退波的存在，而实际 上倒退波是不存在的； ④原理描述粗糙、简单，缺乏定量描述。
8
光学
2.2 惠更斯-菲涅耳原理
二、惠更斯-菲涅耳原理
菲涅耳在惠更斯提出的子波假设基础上，又增添了两条： 1）提出了“子波相干叠加”的概念。
从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇时， 也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各 子波在该点的相干叠加所决定。
2) 给出了子波的数学表达式。
因m，所以 am 0
Ap
ak 1 2
AP
ak 1 2
am 2
30
因此

光学 第2章 光的衍射

光学 第2章 光的衍射
r0 R
R
r0 R
drk
2
可以看出
dSk rk
与k无关，说明它对每个半
波带均相同，因此对
ak 和Ak 均无影响。
又由于： k rk K ak K ，其相位依次相差 ，如图。
a1 a3
ak
a2
a4
从图可以看出:
a2
a1 2
a3 2
，a4
a3 2
a5 2
，
ak
ak 1 2
ak 1 2
(2) 水波的衍射——水波绕过小孔继续传播
水波的衍射现象随障碍物的线度(如挡板上的小孔的尺寸)变化的情况：
孔的尺寸比波长大很多时，水波沿直线传播； 孔 的尺寸和波长可比拟时，有明显的衍射现象。
结论：在传播路径上遇到障碍物时，机械波能绕过障碍物继续向前传 播，这种现象称为机械波的衍射。
3
(3) 电磁波的衍射——偏远山区能接收到电台广播是由于无线电波能 绕过大山
ak
a1 2
ak 1 2
ak
k足够大时，ak
ak
1，
ak 1 2
ak
ak 2
Ak
a1 2
ak 2
(P点相消,暗点)
a1 a3 k为奇数
a2 a4
ak Ak
1 2
ak
1 2 a1
a1 a3
k为偶数
ak
1 2
ak
a4
Ak
1 2 a1
a2
故得：Ak
1 2
a1 1 k1 ak
1 2
a1
23
三.菲涅耳圆屏衍射
1. 装置：点光源S所发球面波照射到不透光圆屏上，在屏上可观察到衍射花样。
2. P点的合振幅

第二章 光的衍射

第二章 光的衍射
a1 a k 2 + 2 Ak = a a a a 1 + k −1 − a k ≈ 1 − k 2 2 2 2 ( k 为奇数 ) ( k 为偶数 )
讨论（ 讨论（1）
a1 a k 2 + 2 Ak = a a a a 1 + k −1 − a k ≈ 1 − k 2 2 2 2
i =1 k
k
Ak = ∑ a2i −1 = a1 + a3 + a5 + a7 + ⋯
i =1
奇数带
Ak = ∑ a2i = −(a2 + a4 + a6 + a8 + ⋯)
i =1
k
偶数带
菲涅耳波带片的透镜作用
2 Rhk = kλ
R r0 R + r0
⇒
令
f ' = R 2 kλ hk
⇒
1 1 1 + = 2 R r0 Rhk kλ 1 1 1 + = （透镜成像公式） ′ R r0 f
1 x − ξ 2 y − η 2 ≈ z 1 + + 2 z z
“近场” 近似
je jkz ~ U ( x, y ) = − λz
jk 2 2 ∫ ∫−∞ A(ξ ,η ) exp 2 z (x − ξ ) + ( y − η ) dξ dη
+∞
[
]
夫琅和费（Fraunhofer） 夫琅和费（Fraunhofer）衍射
远场近似
1 x − ξ 2 y − η 2 r ≈ z 1 + + 2 z z 1 x 2 + y 2 xξ + yη ≈ z 1 + − 2 z2 z2

光的衍射2.2

光的衍射2.2
未充分利用。
改进 ：相位型波带片, 余弦式环形波带片。
Fresnel Zone plates
A zone plate used to image alpha particles coming from a target 1cm in front, on photographic film 5cm behind. The plate is 2.5 mm in diameter and contains 100 zones, the narrowest of which is 5.3 m wide.
a1 a2 a3 a4 ...... ak ak 1
f1，f1+p，f1+2p， f1+3p，…f1+(k-1)p，f1+kp。
对于轴上光源点 S 和轴上场点 P ，设圆孔恰好分 为 k 个半波带，则有
~ i 1 E 1 a1 e ~ i 1 p E 2 a2e ~ i 1 2p E 3 a3e
2
2
rk2 r02 h 2( R r0 )
rk2 r02 h 2( R r0 )
2 Rh Rhk 2
代入
rk r0 k
R( rk2 r02 ) 2 Rh l ( R r0 )
2
得到第k个波带的半径： Rhk k
lRr0
R r0
解出被圆孔限制的波面所 2 能分割出的波带总数k ： R r0 2 Rh 1 1 k Rh lRr0 l R r0
1 k 1 Ak P a1 1 a k 2


a1 1 自由空间传播 A ， I free I zone1 时（ak=0）： 2 4

光的衍射现象

光的衍射现象
sind rdr
R(Rb)
d 2 Rr
dr R b
=rk,dr2,d
R
rk R b
与 k 无 关 ， 即 它 对 于 每 个 半 波 带 都 一 样 r k
影 响 A k 大 小 的 因 素 只 剩 下 - f(k )
从 一 个 半 波 带 到 下 一 个 半 波 带 k 变 化 很 小 ， 从 而 f ( k ) 和 A k 随 k 的 增 加 而 缓 慢 地 减 小 ， 最 后 当 k 时 ， f ( k ) 0
0 ; ; 0，
r ; r0 （场点到光孔中心的距离）
U °(P)i
r0
U °0(Q)eikrd
(0)
-
三、衍射现象的分类
分类的标准——按光源和考察点（光屏）到障 碍物距离的不同进行分类。
-
1 Fresnel衍射（近场衍射）
障碍物（孔隙）距光源和光屏的距离都是有限的，或 其中之一是有限的。
S
[教学难点]
菲涅耳半波带、光栅方程、光栅光谱
-
光的衍射
-
一、光的Байду номын сангаас射现象
衍射——光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影
区,并在屏上出现光强不均匀分布的现象。同光的干涉 现象一样，是光的本质特性之一。
-
不同宽度的单缝衍射图样
-
单缝衍射
-
圆孔衍射
日常生活中为什么我们很容易观察到声波、无线电波的衍射， 而难以观察到光波的衍射呢？这是由于声波和无线电波的波长较 长（约几百米），自然界中存在这样尺度的障碍物或空隙（如墙、 山秋和建筑物等），容易表现出衍射现象；而光波的波长很短 （4000-7600Å )，自然界中通常不存在如此小的障碍物或空隙，光 主要表现出直线传播的特性。

第二章光的衍射(菲涅耳圆孔衍射)

第二章光的衍射(菲涅耳圆孔衍射)
• 如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对 应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些 点，合振幅较小．
• 如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大 值和最小值之间．
• 结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动 时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化．
2021/2/4
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四、菲涅耳圆屏衍射
当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不 透明，被圆屏挡住部分的波面（也即有k个半波带发 出的次波不起作用）对轴线上p点的光强将没有贡献。
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例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、 3、5、…、19等10个奇数带露出。第2、4、6、…、20 等10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传 播时光强的多少倍？ 解：波带片在轴上场点的振幅为
AP a1 a3 ... a19 10a1
自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为 ：
4
Rh2k rk2 r02 2r0h
(1)
又因r为k2：r02(r0k2)2r02 O k r0 (2)
l R
sB k
k
Rh
B
h
0
rk
r0
P
(略去 k 2 2 )
4
Rh2k R 2 (R h)2 2Rh (3) 由（1）、（2）、（3）式可得: h kr0
2(R r0)
Rh2k
当k不是很大时，有 ak 1 a1
Ip
Ap2
a12 4
I0
1.即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。 此时的P点应该是一个亮点。
2.此亮点称为泊松（Possion 1781—1840）亮斑。这 是几何光学中光的直线传播所不能解释的。
3.1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，推导 出圆盘轴线上应是亮点。

光的衍射

光的衍射
解：（ ） θR1 = 1.22λ1 / D = 2.24 ×10−4 (rad) ， M1 = 1/θR1 = 4.46 ×103 ：（1） 1 （2）θR2 = 1.22λ2 / D2 = 2.68 ×10−7 (rad) ， M1 = 1/θR2 = 3.73 ×106 ） （3）θR3 = 1.22λ3 / D3 = 6.10 ×10−9 (rad) ， M1 = 1/θR3 = 1.64 ×108 ）
O
Φ φ1
a
∆l
R
A
B 图 46
∆A
φ1
图 47(a)
v v v v A = ∆A + ∆A2 + ∆A3 + ...... 1
∆A Φ 2 2sin(φ1 / 2) φ1 A R 2π∆l 2πasinθ 2u φ1 = = = λ λN N φ1 πasinθ Φ = Nφ1 = 2u (u = ) ∆A λ sinu A = ∆A 图 47(a) sin(u / N)
, 2）u = ±kπ ， asinθ = ±kλ (k =1 2, ......) ，A=0，I＝0 —— 级暗纹中心。 ） ， ＝ ——k 级暗纹中心。
dI = 0 可得其它明纹中心位置满足： tan u = u [ u = (πasinθ ) / λ ]。这一 可得其它明纹中心位置满足： 。 du 结果可近似表为： 结果可近似表为： 1 asinθ = ±(k + )λ (k =1 2, 3......) , 2
δθ
小 辨 最 分 角 角 辨 分 率
光学仪器的分辨本领： 光学仪器的分辨本领： 最小分辨角： 最小分辨角： 分辨率： 分辨率：
δθ =θ1 =1.22
λ
D
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• 如果带数不是整数，那么合振幅介乎上述最大 值和最小值之间．
• 结论：当置于P处的屏沿着圆孔的对称轴线移动 时，将看合振幅到屏上的光强不断地变化．
四、菲涅耳圆屏衍射
当点光源发出的光通过圆屏（盘）衍射时,由于圆屏不 透明，被圆屏挡住部分的波面（也即有k个半波带发 出的次波不起作用）对轴线上p点的光强将没有贡献。
光学 §2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射 三、菲涅耳圆孔衍射
光学 §2.2 菲涅耳半波带 菲涅耳衍射
将一束光（例激光）投射在一个圆孔上，并在距孔 1m－2m处放置一接收屏，可观察衍射图样。
根据前面的讨论，对圆孔后光强起作用的半波带数 量有k个。
Ak
1 2
a1
ak
Ak
1 2
a1
ak
O
R
Bk
Rh
波面S
R O
rk=r0+k(λ/2)
Rh
r0
P
B0
设圆屏遮蔽了开始的k个半波带，从第k+1个半波带开
始，其余所有的半波带所发出的次波都能到达P点。
这些半波带的次波在P点叠加后振幅为:
AP
ak 1 2
am 2
因m，所以 am 0
Ap
ak 1 2
因此
Ip
Ap2
a2 k 1 4
当k不是很大时，有 ak 1 a1
若做一个特殊光阑，使之只允许序数为奇数的半波 带或序数为偶数的半波带透光，则P点的振幅为同相位 各次波叠加，因此叠加后将会振幅很大。
如图，若只允许序数为奇数的 半波带透光，则P点的合振幅为:
AP a1 a3 a5 ... a2k1
a2k1
k
如图，若只允许序数为偶数的半波 带透光，则P点的合振幅为 :
AP a2 a4 a6 ... a2k
a2k
k
对P点都为光强很强的亮点。把 这种特殊光阑称为菲涅耳波带片。
直线传播与衍射的联系
• 有遮蔽 波面不完整 一些次波不能 到达观测点 光强分布不均匀 衍射 现象
• 无遮蔽 波面完整 所有次波都能到 达观测点 光强分布均匀 光沿直线 传播 衍射现象的极限
置，我们可以看到，光 屏的中心点会有时明时
O
暗地变化。
lR
s Bk
k
Rh
h B0
rk
r0
P
k Rh2 ( 1 1 )
r0 R
Rh2
Rh
Rh Rh
Rh
• P点的合振幅的大小取决于露出的波带数, 而波 带数又取决于圆孔的位置和半径．改变圆孔的 位置和半径，给定P点的光强也将发生变化.
• 如果对于P点露出的波带数为整数，为奇数相对 应的那些点，合振幅较大；偶数相对应的那些 点，合振幅较小．
lR
s Bk
k
Rh
h B0
rk
r0
P
由于h<<r0，则h2可略去
Rh2k rk2 r02 2r0h
(1)
Rh2k rk2 r02 2r0h
(1)
又因为：
rk2
r02
(r0
k
)2
2
r02
O
k r0 (2)
lR
s Bk
k
Rh h B0
rk
r0
P
(略去 k 2 2 )
4
Rh2k R 2 (R h)2 2Rh (3) 由（1）、（2）、（3）式可得: h kr0
• 光传播 次波叠加 衍射 • 无论光是直线传播还是具有明显的衍射现
象，都遵循惠更斯----菲涅尔原理。
例题：一块波带片的孔径内有20个半波带，其中第1、 3、5、…、19等10个奇数带露出。第2、4、6、…、20 等10个偶数带遮蔽，试分析轴上场点的光强是自由传
播时光强的多少倍？
解：波带片在轴上场点的振幅为
2(R r0 )
Rh2k
Rh2
k
r0 R R r0
Or
k Rh2 ( 1 1 )
r0 R
k Rh2 ( 1 1 )
r0 R
由上式可见，圆孔包含的半波带的数目和圆孔的 半径Rh，圆孔到P点的距离r0，以及入射光波的波长， 还有点光源到衍射屏距离R都有关。
当Rh、R、一定时，
改变r0，即改变光屏的位
Ip
Ap2
a12 4
I0
1.即P点的光强近似等于光在自由空间传播时的光强。 此时的P点应该是一个亮点。
2.此亮点称为泊松（Possion 1781—1840）亮斑。这 是几何光学中光的直线传播所不能解释的。
3.1818年泊松在巴黎科学院研究菲涅尔论文时，屏 衍射轴线上的亮点，证明了惠更斯— 菲涅耳原理的正确性。
k rk
B0 r0
l
P
由此可见，想知道圆孔衍射场轴线上某点是亮点还是 暗点，必须知道圆孔所包含的半波带数目k。
如图，O点为点光源，光通过光阑上的圆孔，圆孔
半径为Rh，S为光通过圆孔时的波面。设圆孔包含有 k个整数半波带。
Rhk Rh
Rh2k rk2 (r0 h)2
rk2 r02 2r0h h2 O
泊松（Poisson 1781－1840）法国数学 家。 1812年当选为巴黎科学院院士。
泊松对积分理论、行星运动理论、热 物理、弹性理论、电磁理论、位势理论 和概率论都有重要贡献。他一生共发表 300多篇论著。
阿拉果（Arago 1786－1853） 法国科学家
五、波带片
从前面的讨论可知，在相对于P点划分的半波带 中，奇数序（1、3、5…….） （或偶数序）半波带所 发出的次波在P点是同相位的（相差2π的整数倍）， 而奇数序和偶数序半波带所发出的次波在P点是反相 的（相差π的奇数倍）。
AP a1 a3 ... a19 10a1
自由传播波面不受限，轴上场点的振幅为 ：
AP 0
a1 2
则它们的振幅之比为： AP 10a1 20
AP 0
a1
2
光强之比为： I p Ap2 400
I p0
A2 p0