反比例函数图象中的面积问题

反比函数图像上的四种三角形的面积函数是解决实际生活问题的重要模型，在近几年各省市的考题中，对于函数的考查比例占有相当重的份量，绝大部分是考查考生对其基本概念、图象性质的理解和应用，甚至成为中考压轴题的大类。

反比例函数的图像经常与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。

结论1、过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

设P （a ，b ）是反比例函数y=xk（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PA ⊥x轴，垂足为A ，三角形PAO 的面积是S ，则S k 2=结论2、过反比例函数图像上一点，向y 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

设P （a ，b ）是反比例函数y=x k（k ≠0）图像上的一点，过点P 作PB ⊥y 轴，垂足为B ，三角形PBO 的面积是S ，则S k 2=。

结论3、正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=xk（k ＞0）的图像交于A 、kx 襄樊市第四十七中学 熊沙 图（1）2）B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

证明：I因为，正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y=x k（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，所以，x k xk1=，所以，x=±111k kk k k =， 当x=11k kk 时，y= k 1x=1kk ，所以，点A 的坐标是（11k kk ，1kk ），当x =-11k kk 时，y= k 1x =-1kk ，所以，点B 的坐标是（-11k kk ，-1kk ），所以，OC 的长度是11k kk ，三角形ABC 的面积=三角形AOC 的面积+三角形BOC 的面积=21×OC ×AC+21×OC ×BD =21×11k kk ×1kk +21×11k kk ×|-1kk | =21k+21k=k 。

２０２２年８月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例谈与反比例函数有关的图形面积问题◉湖北省建始县教学研究室㊀李翠芝㊀㊀摘要:反比例函数是初中数学的重点内容,也是中考考点之一．其中与反比例函数有关的图形面积问题又是重中之重,几乎年年考．有关解决反比例函数与图形面积问题的两种常用方法,一是直接利用反比例函数解析式中k 的几何意义求解,二是利用反比例函数关系式巧设点的坐标求解,这也是数形结合思想在初中数学中最直观的运用．关键词:反比例函数;图形面积;数形结合１引言反比例函数的学习是初中数学的一大难点,也是重点,是每年必考的内容．而数形结合思想是解决初中数学问题最重要㊁最基础的数学思想方法．如,借助数轴求不等式组的解集㊁借助画线段图解行程问题等都是运用数形结合思想．解决与反比例函数有关的图形面积问题时,如果我们也能运用数形结合思想,往往可以使复杂的问题简单化．下面举例说明．２基础题型引例㊀如图１,双曲线y ＝kx上点P 的坐标为(a ,b ),过点P 分别作x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为M ,N ．则有下列结论:①S 矩形P M O N ＝a b ＝a b ＝k ;②连接P O ,则S әP O M ＝S әP O N ＝１２k．图１㊀㊀㊀图２３简单应用例１㊀如图２,已知反比例函数y ＝６x和反比例函数y ＝３x在第一象限内的图象分别是C １和C ２,点P 在C １上,P A 垂直于x 轴于点A ,交C ２于点B ,则әP O B 的面积为㊀㊀㊀．解析:S әP O B ＝S әP O A －S әB O A＝１２ˑ６－１２ˑ３＝３２．故填:３２．变式㊀如图３,直线A B 平行于x 轴,与函数y ＝k １x (k １＞０,x ＞０)的图象交于点A ,与y ＝k ２x(k ２＞０,x ＞０)的图象相交于点B ,点A 在点B 的右侧,与y 轴交于点D ,点C 为x 轴上的一个动点,若әA B C 的面积为３,则k １－k ２的值为㊀㊀．图３图４图５解析:如图４,连接O A ,O B ,则S әA B C ＝S әA B O ＝S әA O D －S әB O D＝１２k １－１２k ２＝１２(k １－k ２)＝３．所以,k １－k ２＝６．故填:６．例２㊀如图５,已知双曲线y １＝１x(x ＞０),y ２＝４x (x ＞０),点P 为双曲线y ２＝４x 上的一点,且P A 垂直于x 轴于点A ,P B 垂直于y 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y １＝１x于D ,C 两点,则әP C D 的面积为㊀㊀㊀．解析:设点P 的坐标为a,４a æèçöø÷,则点C 的坐标为a ４,４a æèçöø÷,点D 的坐标为a ,１a æèçöø÷．所以,S әP C D ＝１２P D P C＝１２４a －１a æèçöø÷a －a ４æèçöø÷＝９８．故填:９８．４常考类型与中点相关这类题主要是利用线段的中点得到图形之间的３５Copyright 博看网 . All Rights Reserved.解法探究２０２２年８月下半月㊀㊀㊀面积关系,一般只需直接应用k 的几何意义求解,但有时设坐标求解也比较简单．图６例３㊀如图６,A ,B 是双曲线y ＝kx上的两点,过点A 作A C 垂直于x 轴,交O B 于点D ,垂足为点C ．若әA D O 的面积为１,D 为O B 的中点,则k 的值为(㊀㊀)．A．４３㊀㊀㊀B ．８３㊀㊀㊀C ．３㊀㊀㊀D．４图７分析:如图７,过点B 作x 轴的垂线,垂足为E ．由条件可知,S әC O D ＝１４S әB O E ＝１４ˑ１２k ＝１８k ＝１８k ,而S әA O C －S әC O D ＝S әA O D ,即１２k －１８k ＝１,所以k ＝８３．故选:B ．点评:此题也可以设A ,D ,B 中任意一点的坐标,表示出另外两点的坐标,再根据面积求解．图８拓展㊀如图８,四边形O A B C 是矩形,边O A 在x 轴上,边O C 在y 轴上,双曲线y ＝kx与边B C 交于点D ,与对角线O B 交于点E ,且E 是O B 的中点,若әO B D 的面积为５,则k 的值是㊀㊀．解析:如图９,过点E 作E F 垂直于y 轴于点F．图９易证әO E F ʐәO B C ．由中点条件易得S әB O C ＝４S әE O F ＝４ˑ１２k ＝－２k ．S әB O C －S әC O D ＝S әB O D ,即－２k －１２ˑ(－k )＝５．解得,k ＝－１０３．故填:－１０３．图１０提升㊀如图１０,在平面直角坐标系中,矩形A B C D 的顶点A ,B 在x 轴的正半轴上,反比例函数y ＝kx(k ＞０,x ＞０)的图象经过顶点D ,分别与对角线A C ,边B C 交于点E ,F ,连接E F ,A F ,若E 为A C 的中点,әA E F 的面积为２,则k 的值为(㊀㊀)．A．２４５B ．３C ．４D．６分析:此题的矩形和三角形顶点都不在原点,不能直接用k 值表示图形面积,适合设坐标求解．解析:设A (a ,０)．由四边形A B C D 是矩形,点D 在y ＝k x 上,得D a ,k a æèçöø÷,则点C 的纵坐标为k a ．因为E 为A C 的中点,所以点E 的纵坐标为k２a,E ２a,k ２a æèçöø÷．于是,C ３a ,k a æèçöø÷,F ３a ,k ３a æèçöø÷．由әA E F 的面积为２,A E ＝E C ,得S әA C F ＝４,即１２ˑk a －k ３a æèçöø÷ˑ２a ＝４,解得k ＝６．故选:D ．５直击中考综合题举例图１１例４㊀如图１１,在平面直角坐标系中,坐标原点O 是R t әA O B的直角顶点,øO A B ＝３０ʎ,若点A 在反比例函数y ＝１２x(x ＞０)的图象上．(１)求经过点B 的反比例函数解析式;(２)设点B 的坐标为(－２,a ),过点B 作B E 平行于x 轴,与反比例函数y ＝１２x(x ＞０)交于点E ,求әA O E 的面积．图１２分析:(１)如图１２,分别过点A 和点B 作x 轴的垂线,垂足分别为D ,C ．易证әA O D ʐәO B C ,于是S әO B C ʒS әA O D ＝(O B ʒO A )２＝(１ʒ３)２＝１ʒ３．所以,S әO B C ＝１３S әA O D ＝１３ˑ１２k ＝１６ˑ１２＝２．因此,经过点B 的反比例函数的解析式为y ＝－４x．(２)先求点B 的纵坐标,由此可得点E 的纵坐标,再把点E 的纵坐标代入y ＝１２x可求得点E 的坐标,利用A ,E 的坐标可求әA O E 的面积．点评:第(１)问也可设点A 的坐标,利用三角形相似,由线段之间的关系表示出点B 的坐标再求函数关系式．写反比例函数关系式时要注意k 值的正负．第(２)问的解答要过点E 作x 轴的垂线,关键是把求三角形的面积转化成直角梯形的面积问题．６结语综上所述,在解与反比例函数有关的图形面积问题时,一般有两种途径:一是直接利用反比例函数解析式中k 的值求解;二是利用函数解析式和图形中的点之间的特殊关系巧设点的坐标求解．即要解决形的问题,我们抓住形的特征,以及形和数之间的特殊关系,把形的问题直接转化成数的问题来求解．这里转化的桥梁就是反比例函数图象上点的坐标．Z４５Copyright 博看网 . All Rights Reserved.。

反比例函数中的面积问题一、导入：《飞翔的蜘蛛》信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。

一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。

难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。

温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。

它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。

这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。

于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。

奇迹是执着者造成的。

二、知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。

这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|三、专题讲解考点一已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）【例1】如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得∴k=4（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点∴而由四边形OEBF的面积为2得解得k=2评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。

㊀㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １９反比例函数中图形面积问题的解题技巧反比例函数中图形面积问题的解题技巧Һ赵振海㊀（山东省东营市垦利区第二实验中学，山东㊀东营㊀２５７５００）㊀㊀ʌ摘要ɔ反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０）系数ｋ的几何意义是中考出题频率最高的反比例函数考点．目标图形面积的值与比例系数ｋ的值可以互相设求，可以说是变化万千．教师在平时教学中，进行此类题目的训练对培养学生的创造性思维和灵活应变能力具有很好的作用．变化的图形㊁固定的知识点相结合，能激发学生的创造灵感，培养学生学习函数的兴趣．ʌ关键词ɔ反比例函数；图形面积；解题技巧中考题通过改变与本知识点关联的图形来体现新颖的出题特点，从而实现试题对不同难度和能力水平的考查．２０２０年中考题，题目类型十分丰富，解题方法更是多种多样．一㊁直接应用数形结合实现面积值与ｋ值的互求例１㊀（２０２０㊃贵州省贵阳）如图１，点Ａ是反比例函数ｙ＝３ｘ图像上任意一点，过点Ａ分别作ｘ轴，ｙ轴的垂线，垂足为Ｂ，Ｃ，则四边形ＯＢＡＣ的面积为．图１ʌ解答ɔ从反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０）图像上任意一点向ｘ轴和ｙ轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为Ｓ＝｜ｋ｜．故答案为３．例２㊀（２０２０㊃湖南省常德）如图２，若反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图像经过点Ａ，ＡＢʅｘ轴于Ｂ，且әＡＯＢ的面积为６，则ｋ＝．ʌ解答ɔ解：运用知识点ＳәＡＯＢ＝｜ｋ｜２，图２ȵＡＢʅＯＢ，ʑＳәＡＯＢ＝｜ｋ｜２＝６，ʑｋ＝ʃ１２，ȵ反比例函数的图像在二四象限，ʑｋ＜０，ʑｋ＝－１２．故答案为－１２．例３㊀（２０２０年㊃山东省滨州）如图３，点Ａ在双曲线ｙ＝４ｘ上，点Ｂ在双曲线ｙ＝１２ｘ上，且ＡＢʊｘ轴，点Ｃ，Ｄ在ｘ轴上，若四边形ＡＢＣＤ为矩形，则它的面积为（㊀㊀）．图３Ａ．４Ｂ．６Ｃ．８Ｄ．１２ʌ解答ɔ解：过Ａ点作ＡＥʅｙ轴，垂足为Ｅ，ȵ点Ａ在双曲线ｙ＝４ｘ上，ʑ四边形ＡＥＯＤ的面积为４，ȵ点Ｂ在双曲线ｙ＝１２ｘ上，且ＡＢʊｘ轴，ʑ四边形ＢＥＯＣ的面积为１２，ʑ矩形ＡＢＣＤ的面积为１２－４＝８．故选Ｃ．ʌ点评ɔ以上三个题目均比较直接地考查了反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０）系数ｋ的几何意义，这一知识点需要我们记准用熟．第２题需要注意ｋ的符号，第３题仅仅是两个图像的简单组合，和直接应用差不多，没有难度．无论是求ｋ，还是求面积，都是知识点的直接应用．二㊁运用简单不规则图形面积的和差转换巧求面积例４㊀（２０２０㊃山东省威海）如图４，点Ｐ（ｍ，１），点Ｑ（－２，ｎ）都在反比例函数ｙ＝４ｘ的图像上．过点Ｐ分别向ｘ轴，ｙ轴作垂线，垂足分别为点Ｍ，Ｎ．连接ＯＰ，ＯＱ，ＰＱ．若四边形ＯＭＰＮ的面积记作Ｓ１，әＰＯＱ的面积记作Ｓ２，则（㊀㊀）．图４Ａ．Ｓ１ʒＳ２＝２ʒ３Ｂ．Ｓ１ʒＳ２＝１ʒ１Ｃ．Ｓ１ʒＳ２＝４ʒ３Ｄ．Ｓ１ʒＳ２＝５ʒ３ʌ解答ɔ解：ȵ点Ｐ（ｍ，１），点Ｑ（－２，ｎ）都在反比例函㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １９数ｙ＝４ｘ的图像上，ʑｍˑ１＝－２ｎ＝４，ʑｍ＝４，ｎ＝－２．ȵＰ（４，１），Ｑ（－２，－２），过点Ｐ分别向ｘ轴，ｙ轴作垂线，垂足分别为点Ｍ，Ｎ，ʑＳ１＝４．作ＱＫʅＰＮ，交ＰＮ的延长线于Ｋ，则ＰＮ＝４，ＯＮ＝１，ＰＫ＝６，ＫＱ＝３，ʑＳ２＝ＳәＰＱＫ－ＳәＰＯＮ－Ｓ梯形ＯＮＫＱ＝１２ˑ６ˑ２－１２ˑ４ˑ１－１２（１＋３）ˑ２＝３，ʑＳ１ʒＳ２＝４ʒ３．故选Ｃ．例５㊀（２０２０㊃四川省达州）如图５，点Ａ，Ｂ在反比函数ｙ＝１２ｘ的图像上，Ａ，Ｂ的纵坐标分别是３和６，连接ＯＡ，ＯＢ，则әＯＡＢ的面积是．图５ʌ解答ɔ解：ȵ点Ａ，Ｂ在反比函数ｙ＝１２ｘ的图像上，Ａ，Ｂ的纵坐标分别是３和６，ʑＡ（４，３），Ｂ（２，６）．作ＡＤʅｙ轴于Ｄ，ＢＥʅｙ轴于Ｅ，ＳәＡＯＤ＝ＳәＢＯＥ＝１２ˑ１２＝６，ȵＳәＯＡＢ＝ＳәＡＯＤ＋Ｓ梯形ＡＢＥＤ－ＳәＢＯＥ＝Ｓ梯形ＡＢＥＤ，ʑＳәＯＡＢ＝１２ˑ（４＋２）ˑ（６－３）＝９．故答案为９．ʌ点评ɔ以上两个题目都出现了不规则的斜三角形，它们没有在坐标轴上的一条边，因此我们不能一眼看出其面积和ｋ值的关系，它们的求解均是通过割补法进行的，都是将斜三角形变成矩形㊁直角三角形㊁直角梯形的代数和，如第４题，Ｓ２＝ＳәＰＱＫ－ＳәＰＯＮ－Ｓ梯形ＯＮＫＱ．解此类题目的关键就是向坐标轴作垂线割补原图．三㊁巧用组合图形面积值和方程思想逆向求得ｋ值图６例６㊀（２０２０㊃辽宁省营口）如图６，在平面直角坐标系中，әＯＡＢ的边ＯＡ在ｘ轴正半轴上，其中øＯＡＢ＝９０ʎ，ＡＯ＝ＡＢ，点Ｃ为斜边ＯＢ的中点，反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的图像过点Ｃ且交线段ＡＢ于点Ｄ，连接ＣＤ，ＯＤ，若ＳәＯＣＤ＝３２，则ｋ的值为（㊀㊀）．Ａ．３Ｂ．５２Ｃ．２Ｄ．１ʌ解答ɔ解：根据题意设Ｂ（ｍ，ｍ），则Ａ（ｍ，０），ȵ点Ｃ为斜边ＯＢ的中点，ʑＣｍ２，ｍ２()，ȵ反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的图像过点Ｃ，ʑｋ＝ｍ２㊃ｍ２＝ｍ２４．ȵøＯＡＢ＝９０ʎ，ʑＤ的横坐标为ｍ，ȵ反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的图像过点Ｄ，ʑＤ的纵坐标为ｍ４．作ＣＥʅｘ轴于Ｅ，ȵＳәＣＯＤ＝ＳәＣＯＥ＋Ｓ梯形ＡＤＣＥ－ＳәＡＯＤ＝Ｓ梯形ＡＤＣＥ，ＳәＣＯＤ＝３２，ʑ１２（ＡＤ＋ＣＥ）㊃ＡＥ＝３２，即１２ｍ４＋ｍ２()㊃ｍ－１２ｍ()＝３２，ʑｍ２８＝１，ʑｋ＝ｍ２４＝２．故选Ｃ．例７㊀（２０２０㊃山东省淄博）如图７，在直角坐标系中，以坐标原点Ｏ（０，０），Ａ（０，４），Ｂ（３，０）为顶点的ＲｔәＡＯＢ，其两个锐角对应的外角平分线相交于点Ｐ，且点Ｐ恰好在反比例函数ｙ＝ｋｘ的图像上，则ｋ的值为（㊀㊀）．图７Ａ．３６Ｂ．４８Ｃ．４９Ｄ．６４ʌ解答ɔ解：过Ｐ分别作ＡＢ，ｘ轴，ｙ轴的垂线，垂足分别为Ｃ，Ｄ，Ｅ，如图７，ȵＡ（０，４），Ｂ（３，０），ʑＯＡ＝４，ＯＢ＝３，ʑＡＢ＝３２＋４２＝５，ȵә的两个锐角对应的外角平分线相交于点Ｐ，ʑＰＥ＝ＰＣ，ＰＤ＝ＰＣ，ʑＰＥ＝ＰＣ＝ＰＤ，设Ｐ（ｔ，ｔ），则ＰＣ＝ｔ．ȵＳәＰＡＥ＋ＳәＰＡＢ＋ＳәＰＢＤ＋ＳәＯＡＢ＝Ｓ矩形ＰＥＯＤ，ʑ１２ˑｔˑ（ｔ－４）＋１２ˑ５ˑｔ＋１２ˑｔˑ（ｔ－３）＋１２ˑ３ˑ４＝ｔˑｔ，解得ｔ＝６，ʑＰ（６，６）．把Ｐ（６，６）代入ｙ＝ｋｘ得ｋ＝６ˑ６＝３６．故选Ａ．ʌ点评ɔ第６题根据题意设Ｂ（ｍ，ｍ），则Ａ（ｍ，０），Ｃｍ２，ｍ２()，Ｄｍ，ｍ４ｍ()，然后根据ＳәＣＯＤ＝ＳәＣＯＥ＋Ｓ梯形ＡＤＣＥ－ＳәＡＯＤ＝Ｓ梯形ＡＤＣＥ，得到１２ｍ４＋ｍ２()㊃ｍ－１２ｍ()＝３２，即可求得ｋ＝ｍ２４＝２．第７题过Ｐ分别作ＡＢ，ｘ轴，ｙ轴的垂线，垂足㊀㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １９分别为Ｃ，Ｄ，Ｅ，如图７，利用勾股定理计算出ＡＢ＝５，根据角平分线的性质得ＰＥ＝ＰＣ＝ＰＤ，设Ｐ（ｔ，ｔ），利用面积的和差得到１２ˑｔˑ（ｔ－４）＋１２ˑ５ˑｔ＋１２ˑｔˑ（ｔ－３）＋１２ˑ３ˑ４＝ｔˑｔ，求出ｔ，得到Ｐ点坐标，然后把Ｐ点坐标代入ｙ＝ｋｘ中求出ｋ的值．从解题方法来看两题用的都是列方程的方法．四㊁巧用三角形全等或等积规律求图形面积或反求ｋ值例８㊀（２０２０㊃湖南省张家界）如图８所示，过ｙ轴正半轴上的任意一点Ｐ，作ｘ轴的平行线，分别与反比例函数ｙ＝－６ｘ和ｙ＝８ｘ的图像交于点Ａ和点Ｂ，若点Ｃ是ｘ轴上任意一点，连接ＡＣ，ＢＣ，则әＡＢＣ的面积为（㊀㊀）．图８Ａ．６Ｂ．７Ｃ．８Ｄ．１４ʌ解答ɔ解：ȵＡＢʊｘ轴，且әＡＢＣ与әＡＢＯ共底边ＡＢ，ʑәＡＢＣ的面积等于әＡＢＯ的面积，连接ＯＡ，ＯＢ，如图８所示．则ＳәＡＢＯ＝ＳәＰＢＯ＋ＳәＰＡＯ＝１２ＰＯ㊃ＰＢ＋１２ＰＯ㊃ＰＡ＝１２ˑ｜８｜＋１２ˑ｜－６｜＝４＋３＝７．故选Ｂ．图９例９㊀（２０２０㊃黑龙江省牡丹江）如图９，点Ａ在反比例函数ｙ１＝１８ｘ（ｘ＞０）的图像上，过点Ａ作ＡＢʅｘ轴，垂足为Ｂ，交反比例函数ｙ２＝６ｘ（ｘ＞０）的图像于点Ｃ．Ｐ为ｙ轴上一点，连接ＰＡ，ＰＣ，则әＡＰＣ的面积为（㊀㊀）．Ａ．５Ｂ．６Ｃ．１１Ｄ．１２ʌ解答ɔ解：连接ＯＡ和ＯＣ，ȵ点Ｐ在ｙ轴上，则әＡＯＣ和әＡＰＣ面积相等，ȵＡ在ｙ１＝１８ｘ上，Ｃ在ｙ２＝６ｘ上，ＡＢʅｘ轴，ʑＳәＡＯＣ＝ＳәＯＡＢ－ＳәＯＢＣ＝６，ʑәＡＰＣ的面积为６．故选Ｂ．ʌ点评ɔ以上两题中均有一个 跑偏 的三角形，解决方法都是运用等积变换将 跑偏 的三角形替换成目标三角形．如第９题连接ＯＡ和ＯＣ，利用等积法可得әＡＰＣ的面积即әＡＯＣ的面积，再结合反比例函数中系数ｋ的意义，利用ＳәＡＯＣ＝ＳәＯＡＢ－ＳәＯＢＣ，问题迎刃而解．五㊁运用相似巧求目标三角形面积值反求ｋ值例１０㊀（２０２０㊃四川省凉山）如图１０，矩形ＯＡＢＣ的面积为１００３，对角线ＯＢ与双曲线ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）相交于点Ｄ，且ＯＢʒＯＤ＝５ʒ３，则ｋ的值为．图１０ʌ解答ɔ解：ȵＯＡＢＣ为矩形，ʑＡＢʅｘ轴，作ＤＥʅｘ轴，ʑＡＢʊＤＥ，ʑәＯＤＥʐәＯＡＢ，ʑＳәＯＤＥＳәＯＡＢ＝ＯＤＯＢ()２，ȵＯＢʒＯＤ＝５ʒ３，矩形ＯＡＢＣ的面积为１００３，ʑＳәＯＤＥ＝ＳәＯＡＢˑ３５()２＝１００３ˑ１２ˑ９２５＝６，ʑｋ＝６ˑ２＝１２．故答案为１２．例１１㊀（２０２０㊃贵州省遵义）如图１１，әＡＢＯ的顶点Ａ在函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＞０）的图像上，øＡＢＯ＝９０ʎ，过ＡＯ边的三等分点Ｍ，Ｎ分别作ｘ轴的平行线交ＡＢ于点Ｐ，Ｑ．若四边形ＭＮＱＰ的面积为３，则ｋ的值为（㊀㊀）．图１１Ａ．９Ｂ．１２Ｃ．１５Ｄ．１８ʌ解答ɔ解：ȵＮＱʊＭＰʊＯＢ，ʑәＡＮＱʐәＡＭＰʐәＡＯＢ，ȵＭ，Ｎ是ＯＡ的三等分点，ʑＳәＡＮＱＳәＡＭＰ＝１４，ȵ四边形ＭＮＱＰ的面积为３，ʑＳәＡＮＱ＝１．ȵ１ＳәＡＯＢ＝ＡＮＡＯ()２＝１９，ʑＳәＡＯＢ＝９，ʑｋ＝２ＳәＡＯＢ＝１８．故选Ｄ．ʌ点评ɔ以上两题均运用相似三角形的性质 面积比等于相似比的平方，求得目标三角形面积，进而可求出ｋ的值．ʌ参考文献ɔ王涛．与反比例函数有关的面积问题解析［Ｊ］．资治文摘（管理版），２０１０（２）．。

万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题万能解题模型(一)：反比例函数中的面积问题类型1：单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$A(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，点 $P(x_1,0)$ 为$A$ 点向 $x$ 轴作垂线段的底部交点，则 $\triangle AOP$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1y_1$，同时 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1\cdot\frac{k}{x_1}=\frac{1}{2}k$，因此$\triangle AOP$ 和 $\triangle ABC$ 面积的比值为$\frac{S_{\triangle AOP}}{S_{\triangleABC}}=\frac{\frac{1}{2}x_1y_1}{\frac{1}{2}k}=\frac{y_1}{k} $，即 $S_{\triangle AOP}=|k|\cdot S_{\triangle ABC}$。

类型2：单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$P(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，$AC$ 和 $DE$ 分别为$P$ 点向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段的线段，$B$ 点为 $AC$ 和$DE$ 的交点，则四边形 $PMON$ 的面积为 $S=|x_1y_1|$，同时四边形 $ACDE$ 的面积为$S=\frac{1}{2}|x_1|\cdot|y_1|=\frac{1}{2}S_{\square PMON}$，因此四边形 $PMON$ 和四边形 $ACDE$ 面积的比值为$\frac{S_{\square PMON}}{S_{\squareACDE}}=\frac{2S}{|x_1|\cdot|y_1|}=2|k|$，即 $S_{\square PMON}=|k|\cdot S_{\square ACDE}$。

反比例函数中的有关面积问题一、反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。

如图二，所围成三角形的面积为2k二、利用k 的几何意义进行面积转化1.如图，直线AB 与反比例函数k y x =（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。

但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。

【针对训练】1、如图，△BOD 都是等腰直角三角形，过点B 作AB ⊥OB 交反比例函数y ＝（x ＞0）于点A ，过点A 作AC ⊥BD 于点C ，若S △BOD ﹣S △ABC ＝3，则k 的值为．解：设A 点坐标为（a ，b ），∵△ABC 和△BOD 都是等腰直角三角形，∴BC ＝AC ，OD ＝BD∵S △BOD ﹣S △ABC ＝3，OD 2﹣AC 2＝3，OD 2﹣AC 2＝6，∴（OD +AC ）（OD ﹣AC ）＝6，∴a •b ＝6，∴k ＝6．故答案为6．2、如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC ﹣S △BAD ＝．解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为（a +b ，a ﹣b ）．∵点B在反比例函数y＝的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）＝a2﹣b2＝8．∴S△OAC﹣S△BAD＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝×8＝4．故答案为：4．3、如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═kx（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝4x；（2）点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．【解析】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1∴B（﹣1，﹣4）将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═kx（k≠0）中得：k＝4∴反比例函数的表达式为y＝4x；（2）如图：设点P的坐标为（m，4m）（m＞0），则C（m，m﹣3）∴PC＝|4m﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m∴△POC的面积＝12m×|4m﹣（m﹣3）|＝3解得：m＝5或﹣2或1或2∵点P不与点A重合，且A（4，1）∴m≠4又∵m＞0∴m＝5或1或2∴点P的坐标为（5，45）或（1，4）或（2，2）．4、如图所示，函数y1＝kx+b的图象与函数（x＜0）的图象交于A（a﹣2，3）、B（﹣3，a）两点．（1）求函数y 1、y 2的表达式；（2）过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴，试问在线段AB 上是否存在点P ，使S △PAM ＝3S △PBN ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【详解】解：（1）∵A 、B 两点在函数（x ＜0）的图象上，∴3（a ﹣2）＝﹣3a ＝m ，∴a ＝1，m ＝﹣3，∴A （﹣1，3），B （﹣3，1），∵函数y 1＝kx+b 的图象过A 、B 点，∴，解得k ＝1，b ＝4∴y 1＝x+4，y 2＝；（2）由（1）知A （﹣1，3），B （﹣3，1），∴AM ＝BN ＝1，∵P 点在线段AB 上，∴设P 点坐标为（x ，x+4），其中﹣1≤x≤﹣3，则P 到AM 的距离为h A ＝3﹣（x+4）＝﹣x ﹣1，P 到BN 的距离为h B ＝3+x ，∴S △PBN ＝BN•h B ＝×1×（3+x ）＝（x+3），S △PAM ＝AM•h A ＝×1×（﹣x ﹣1）＝﹣（x+1），＝3S△PBN，∵S△PAM∴﹣（x+1）＝（x+3），解得x＝﹣，且﹣1≤x≤﹣3，符合条件，∴P（﹣，），综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣，）．【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，在（2）中用P点坐标分别表示出△PBN和△PAM的面积是解题的关键．5、如图，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝在第一象限内交于A、B两点，已知A（1，m），B（2，1）．（1）k1＝，k2＝，b＝．（2）直接写出不等式y2＞y1的解集；（3）设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，求△PED的面积S 的最大值．解：（1）∵A（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝上，∴k2＝m＝2×1＝2，∴A（1，2），则，解得：，∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3；故答案为：﹣1，2，3；（2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1或x＞2；（3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2，∵PD＝﹣x+3，OD＝x，则，∵，∴当时，S有最大值，最大值为．6、如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+5的图象与函数y＝（k＜0）的图象相交于点A，并与x轴交于点C，S△AOC＝15．点D是线段AC上一点，CD：AC＝2：3．（1）求k的值；（2）根据图象，直接写出当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集；（3）求△AOD的面积．解：（1）y＝﹣x+5，当y＝0时，x＝5，即OC＝5，C点的坐标是（5，0），过A作AM⊥x轴于M，＝15，∵S△AOC∴＝15，解得：AM＝6，即A点的纵坐标是6，把y＝6代入y＝﹣x+5得：x＝﹣1，即A点的坐标是（﹣1，6），把A点的坐标代入y＝得：k＝﹣6；（2）当x＜0时不等式＞﹣x+5的解集是﹣1＜x＜0；＝15，（3）∵CD：AC＝2：3，S△AOC＝＝5．∴△AOD的面积＝S△AOC7、如图，反比例函数y＝经过点D，且点D的坐标为（﹣，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，交反比例函数图象于另一点C，若3OA＝4OB，求△BOC的面积．解：（1）∵反比例函数y＝经过点D（﹣，2）．∴k＝﹣＝﹣1，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）设直线AB的解析式为y＝ax+b，∴A（0，b），B（﹣，0），∴OA＝b，OB＝，∵3OA＝4OB，∴3b＝，∴a＝，∴y＝x+b，∵直线AB经过D（﹣，2），∴2＝×（﹣）+b，∴b＝，∴y＝x+，B（﹣2，0），解得或，∴C（﹣，），＝2×＝．∴S△BOC8、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC、AO．（1）求反比例函数解析式；（2）若四边形ACBO的面积为3，求点A的坐标．解：（1）作BD⊥OC于D，如图，∵△BOC为等边三角形，∴OD＝CD＝OC＝1，∴BD＝OD＝，∴B（﹣1，﹣），把B（﹣1，﹣）代入y＝得k＝﹣1×（﹣）＝，∴反比例函数解析式为y＝；（2）设A（t，），∵四边形ACBO的面积为3，∴×2×+×2×＝3，解得t＝，∴A点坐标为（，2）．9、如图，△AOB在平面直角坐标xOy中，反比例函数y1＝的图象经过点A，反比例函数y2＝的图象经过点B，作直线x＝1分别交y1，y2于C，D两点，已知A（2，3），B（3，1）．（1）求反比例函数y1，y2的解析式；（2）求△COD的面积．解：（1）∵反比例函数y1＝的图象经过点A（2，3），反比例函数y2＝的图象经过点B（3，1），∴k1＝2×3＝6，k2＝3×1＝3，∴y1＝，y2＝．（2）由（1）可知两条曲线与直线x＝1的交点为C（1，6），D（1，3），∴CD＝6﹣3＝3，＝1＝．∴S△COD10、正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝（x＞0）．（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，①求△A'EF的面积；②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），∴点D（1，3），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，故反比例函数表达式为：y＝；（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），同理点F（，2），﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），设点P（m，0），则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝或；当EF＝PF时，同理可得：m＝（舍去负值）；当EP＝PF时，同理可得：m＝，故点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．11、如图，单位长度为1的网格坐标系中，一次函数y＝kx+b与坐标轴交于A、B两点，反比例函数y＝（x＞0）经过一次函数上一点C（2，a）．（1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象；（2）依据图象直接写出当x＞0时不等式kx+b＞的解集；（3）若反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b交于C、D两点，使用直尺与2B铅笔构造以C、D为顶点的矩形，且使得矩形的面积为10．解：（1）∵一次函数y＝kx+b过点A（0，4），点B（8，0），∴，∴，∴一次函数解析式为：y＝﹣x+4；∵点C在一次函数图象上，∴a＝﹣×2+4＝3，∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C（2，3），∴m＝6，∴反比例函数解析式为：y＝，图象如图所示：（2）∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+4交于C、D两点，∴＝﹣x+4，∴x1＝2，x2＝6，∴点D（6，1），由图象可得：当2＜x＜6时，y＝kx+b的图象在y＝图象的上方，∴不等式kx+b＞的解集为2＜x＜6；（3）如图，若以CD为边，则矩形ABDC，矩形A'B'DC为所求，若以CD为对角线，则矩形DEDF为所求．12、如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，＝|3﹣x|×2＝5，∴S△APC∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立，解得：或，∴B点坐标为（2，1），∵点P在y轴上，∴设P（0，m），∴AB＝＝，AP＝，PB＝，若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2，即＝2+，解得：m＝1，∴P（0，1）；若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2，即＝+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；综上所述：P（0，1）或P（0，﹣1）．13、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；（2）求△AOD的面积；（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，∴点A，点B关于原点对称，∴点B的横坐标为1，∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S △AEO ＝S △ACE ＝，∵AD ＝2DE ，∴AE ＝DE ，∴S △AOD ＝2S △AOE ＝3；（3）作EF ⊥x 轴于F ，作AH ⊥x 轴于H ，则EF ∥AH ，∵AD ＝2DE ，∴DE ＝EA ，∵EF ∥AH ，∴＝＝1，∴DF ＝FH ，∴EF 是△DHA 的中位线，∴EF ＝AH ，∵S △OEF ＝S △OAH ＝﹣，∴OF •EF ＝OH •HA ，∴OH ＝OF ，∴OH ＝HF ，∴DF ＝FH ＝HO ＝DO ，∴S △OAH ＝S △ADO ＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵点A在y＝﹣的图象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵点A在直线y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，则OM＝2，∴点M的坐标为（0．﹣2）；当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．。

反比例函数面积问题反比例函数是一种特殊的函数形式，具有以下的一般形式： y =k/x （其中k为常数，x不等于0）。

反比例函数经常在数学和科学领域中出现，特别是在描述多种关系和量之间的相互影响时。

在这篇文章中，我们将探讨反比例函数面积问题。

面积问题是在求解几何形体的面积时经常遇到的一类问题。

反比例函数面积问题就是基于反比例函数的特性来解决与面积相关的问题。

让我们从一个具体的实例开始，以更好地理解反比例函数在面积问题中的应用。

假设有一个矩形，其长度为x，宽度为y。

我们知道，矩形的面积可以通过计算长度乘以宽度来得到。

我们将根据反比例函数的定义来描述此问题。

根据反比例函数的定义，我们有y = k/x。

将x和y分别替换为矩形的长度和宽度，我们得到y = k/x = l*w （其中l表示矩形的长度，w表示矩形的宽度）。

我们可以看到，在这个例子中，矩形的面积与其长度和宽度之间存在反比例关系。

当长度增加时，宽度会减小，以保持面积不变；反之亦然。

现在让我们来尝试解决一个具体的反比例函数面积问题。

问题：假设有一个矩形，其长度为8 cm，面积为24 cm²。

当长度增加到10 cm时，矩形的面积是多少？解法：我们可以使用反比例函数来解决这个问题。

根据反比例函数的定义，我们有y = k/x。

这里，y表示矩形的面积，x表示矩形的长度。

根据题目中给出的条件，我们可以将面积和长度表示为y = 24/x。

我们将已知的长度和面积带入公式，得到24 = 8/x。

现在我们可以解这个方程，求得反比例函数的常数k的值。

通过求解方程，我们得到k = 24*8 = 192。

现在我们可以使用得到的常数k来求解问题中给出的具体情况。

根据反比例函数的形式y = k/x，我们有y = 192/10 = 19.2 cm²。

所以，当长度增加到10 cm时，矩形的面积为19.2 cm²。

通过这个具体的例子，我们可以看到反比例函数如何在解决面积问题中发挥作用。