反比例函数面积问题模型八年级数学

反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。

在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。

本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。

一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。

二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。

三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。

四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。

五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。

六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。

七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。

八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。

结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。

这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。

希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。

反比例函数19种模型反比例函数是数学中常见的函数类型之一，用来表示两个变量之间的反比关系。

以下是反比例函数的一些常见模型：1.直线模型：y = k/x，其中k为常数。

2.比例关系模型：y = (kx)/(ax + b)，其中k、a、b为常数。

3.反比例关系模型：y = (k/x) + a，其中k、a为常数。

4.工作时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。

5.人口密度模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。

6.速度和时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。

7.飞行时间和飞行距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。

8.投资收益模型：y = k/(x+a)，其中k和a为常数，x表示投资金额。

9.流量与管道直径模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示管道直径。

10.压力和体积模型：y = k/x，其中k为常数，x表示体积。

11.购买力和价格模型：y = k/x，其中k为常数，x表示价格。

12.照明强度和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。

13.土地价格和面积模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。

14.音量和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。

15.饼干消耗和人数模型：y = k/n，其中k为常数，n表示人数。

16.温度和容器大小模型：y = k/V，其中k为常数，V表示容器大小。

17.实验结果和样本数量模型：y = k/n，其中k为常数，n表示样本数量。

18.电阻和电流模型：y = k/I，其中k为常数，I表示电流。

19.体积和浓度模型：y = k/C，其中k为常数，C表示浓度。

这些模型仅是反比例函数在不同应用领域中的一些示例。

实际上，反比例函数可以描述的反比关系很多，取决于具体应用的背景和需求。

对于不同的问题和场景，可以选择适合的反比例模型来建模和分析。

【初中数学】反比例函数策略三——面积问题与面积法反比例函数策略（三）——面积问题与面积法王桥这一篇文章早都该写了。

因忙于修订《春季攻势》，今天略得小闲，续写《反比例函数策略（三）——面积问题与面积法。

在《沙场秋点兵》曾经有专门一讲，是讲述“反比例函数中的面积问题”的。

而对于“面积法”，更绝非一篇文章能够阐述得了的，只能是“后悔”“有期”了。

今天只谈与反比例函数“自带”的“面积模型”和与反比例函数相关的“面积法”。

一、反比例函数中的“面积模型”反比例函数是“自带”“面积模型”的！常言：“龙生龙，凤生凤”，发比例函数一旦诞生，就“自带”贵族气质——“自带”“面积模型”。

反比例函数就是这么“任性”！（一）反比例函数图像上的坐标矩形与坐标三角形的面积（以下部分内容选自《沙场秋点兵》）1、如图1，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S矩形OBAC=|k|；2、如图2，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S△OAB=1/2·|k|。

关于这两个结论的证明，自然不用赘述，关于这两个结论的灵活应用，则更是仪态万千，手头有《沙场秋点兵》的话，上面有许多练习，自己练练。

也可从本公众号找到去年推送的文章——反比例函数中的面积问题》自己打印练习......（二）反比例函数中的三角形与等积梯形1、如图3，若反比例函数解析式为y=k/x，则；S△OAB=S梯形BCDA；2、如图4，若反比例函数解析式为y=k/x，则（1）S△OAB=S梯形CDEA；（2）CD2=EB·EA；这两个结论，其实是前面结论的更进一步，但是，已经有些同学不太好理解了。

其证明如下：1、如图3，易知S△BOC=S△AOD=1/2·|k|，∴S△AOM=S梯形ADCM，∴S△BOM+S△ABM=S梯形ADCM+S△ABM，即S△AOB=S梯形BCDA；2、如图4，易知S△COD=S△BOE=1/2·|k|，∴S△COM=S梯形BEDM，则（1）S△COM+S△梯形ABMC=S梯形BEDM+S梯形ABMC，即S△AOB=S梯形BEDM；（2）易知CD·OD=BE·OE，∴BE:CD=OD:OE=CD:AE，即CD2=EB·EA。

反比例函数中与面积有关的问题知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。

这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题的几种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一k与三角形的面积k（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，※1、如图，已知双曲线y=x与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为6，则k=______．最佳答案过D点作DE⊥x轴，垂足为E，1k,由双曲线上点的性质，得S△AOC=S△DOE=2∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，∴DE∥AB，∴△OAB∽△OED，又∵OB=2OD，∴S△OAB=4S△DOE=2k，由S△OAB-S△OAC=S△OBC，得2k-21k=6，解得：k=4．故答案为：4．2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=x2018(x＞0)的图象上任意两点A、B作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S 1、S2,，比较它们的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。

模型介绍一、反比例函数k 的几何意义1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。

如图二，所围成三角形的面积为2k二、利用k 的几何意义进行面积转化1.如图，直线AB 与反比例函数k y x=（0k ≠）交于A 、B 两点，与x 、y 轴的交点分别为C 、D ，那么OAB OCD OBD OAC S S S S ∆∆∆∆=--，此方法是绝大部分学生选用的方法。

但是，从效率来讲，就比较低2.如图，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，则根据k 的几何意义可得，OBF OAE S S ∆∆=，而OBF OAB OAE ABFE S S S S ∆∆∆+=+梯形，所以OAB ABFE S S ∆=梯形，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。

【例1】．如图，反比例函数y＝在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是2，6，则△AOB的面积是8．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，∴x＝2时，y＝3；x＝6时，y＝1，＝S△OBD＝3，故S△ACOS四边形AODB＝×（3+1）×4+3＝11，故△AOB的面积是：11﹣3＝8．故答案为：8．变式训练【变1-1】．如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若，△AOB的面积为12，则k的值为（）A．4B．6C．10D．12解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∵OC∥AD，，∴，∴，k＞0，∴k＝12，故选：D．【变1-2】．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，＝4，则k的值为16．若E是AB的中点，S△BEF解：设E（a，），则B纵坐标也为，∵E是AB中点，∴F点坐标为（2a，），∴BF＝BC﹣FC＝﹣＝，＝4，∵S△BEF∴a•＝4，∴k＝16．故答案是：16．【例2】．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2，则k的值为12．解：解法一：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E，∵BC∥x轴，∴AE⊥BC，∵A，B两点在反比例函数y＝（x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4，∴A（，6），B（，4），∴AE＝2，BE＝﹣＝，∵菱形ABCD的面积为2，∴BC×AE＝2，即BC＝，∴AB＝BC＝，在Rt△AEB中，BE＝＝＝1，∴k＝1，∴k＝12．解法二：同理知：BE＝1，设A（a，6），则B（a+1，4），∴6a＝4（a+1），∴a＝2，∴k＝2×6＝12．故答案为12．变式训练【变2-1】．如图，点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，连接OA、OB，则△OAB的面积是（）A．9B．8C．7D．6解：∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，A、B的纵坐标分别是3和6，∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y轴于D，BE⊥y轴于E，＝S△BOE＝×12＝6，∴S△AOD＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∵S△OAB＝（4+2）×（6﹣3）＝9，∴S△AOB故选：A．【变2-2】．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数y＝与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝a﹣．（结果用a，b表示）解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，＝mn﹣b﹣b﹣（m﹣）（n﹣）∴阴影部分的面积S△AOB＝mn﹣b﹣（mn﹣b﹣b+）＝mn﹣b﹣mn+b﹣＝a﹣．故答案为：a﹣．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（）A．3B．2C．D．4解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝×2CE＝CE，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴＝（）2＝4，∵△BCD的面积等于1，OC＝OB，＝S△BCD＝，∴S△COD＝4×＝1，∴S△CEA∵OC＝CE，＝S△CEA＝，∴S△AOC＝+1＝，∴S△AOE＝k（k＞0），∵S△AOE∴k＝3，故选：A．2．如图，OC交双曲线y＝于点A，且OC：OA＝5：3，若矩形ABCD的面积是8，且AB ∥x轴，则k的值是（）A．18B．50C．12D．解：延长DA、交x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，∴∠CAB＝∠AOE，∴DE⊥x轴，CB⊥x轴，∴∠AEO＝∠ABC∴△AOE∽△CAB，∴＝（）2，∵矩形ABCD的面积是8，OC：OA＝5：3，∴△ABC的面积为4，AC：OA＝2：3，∴＝（）2＝，＝9，∴S△AOE∵双曲线y＝经过点A，＝|k|＝9，∴S△AOE∵k＞0，∴k＝18，故选：A．3．如图，已知点A，B分别在反比例函数y1＝﹣和y2＝的图象上，若点A是线段OB 的中点，则k的值为（）A．﹣8B．8C．﹣2D．﹣4解：设A（a，b），则B（2a，2b），∵点A在反比例函数y1＝﹣的图象上，∴ab＝﹣2；∵B点在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2a•2b＝4ab＝﹣8．故选：A．4．如图，点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，且0＜m＜n．若△AOB的面积为，则m+n＝（）A．7B．C．D．3解：∵点A（m，n），B（4，）在双曲线y＝上，∴mn＝4×＝k，∴mn＝k＝6，∴双曲线为y＝，∴n＝，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE＝S梯形ADEB，∵S△AOB∴（+）（4﹣m）＝，解得m1＝1，m2＝﹣16，∵0＜m＜n．∴m＝1，∴n＝6，∴m+n＝7，故选：A．5．如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴＝3，则S△于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD＝3，S△BCDAOC为（）A．2B．3C．4D．6解：在Rt△BCD中，∵×CD×BD＝3，∴×CD×3＝3，∴CD＝2，∵C（2，0），∴OC＝2，∴OD＝4，∴B（4，3），∵点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，∴k＝12，∵AC⊥x轴，＝＝6，∴S△AOC故选：D．6．如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y 轴上的动点，则△ABC的面积为（）A．k1﹣k2B．（k1﹣k2）C．k2﹣k1D．（k2﹣k1）解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），∴S△ABC故选：B．7．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线y＝与边BC交于点D、与对角线OB交于中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（）A．10B．5C．D．解：设E点的坐标是（x，y），∵E是OB的中点，∴B点的坐标是（2x，2y），则D点的坐标是（，2y），∵△OBD的面积为10，∴×（2x﹣）×2y＝10，解得，k＝，故选：D．8．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是12，则k＝（）A．6B．9C．D．解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b）∵D、E在反比例函数的图象上，∴＝k，设E的坐标为（a，y），∴ay＝k∴E（a，），＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣k﹣k﹣••（b﹣）＝12，∵S△ODE∴4k﹣k﹣+＝12k＝故选：D．9．如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）相交于点A、点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k＝8．解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝8÷2＝4，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝4，∵k＞0，∴k＝8．故答案为8．10．如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为2．解：如图，过点P作x轴的垂线于M，∵△POQ为等边三角形，∴OP＝OQ，OM＝QM＝OQ，∵反比例函数的图象经过点P，∴设P（a，）（a＞0），则OM＝a，OQ＝OP＝2a，PM＝，在Rt△OPM中，PM＝＝＝a，∴＝a，∴a＝1（负值舍去），∴OQ＝2a＝2，故答案为：2．11．如图，A（4，3）是反比例函数y＝在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x 轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y＝的图象于点P．则△OAP 的面积为5．解：过P作MN⊥x轴于M，交AB于N，过A作AD⊥x轴于D，∵A（4，3），∴AD＝3，OD＝4，∴AO＝＝5，∵AB＝AO，∴AB＝5，∵AB∥x轴，点B的横坐标是4+5＝9，纵坐标是3，即点B的坐标是（9，3），设直线OB的解析式是y＝ax，把B点的坐标（9，3）代入得：3＝9a，解得：a＝，即y＝x，∵AB∥x轴，∴MN⊥AB，把A（4，3）代入y＝，得k＝12，即y＝，解方程组得：或，∵点P在第一象限，∴点P的坐标是（6，2），∵A（4，3），AB∥x轴，P（6，2），∴MN＝AD＝3，PN＝3﹣2＝1，﹣S△APB＝3﹣＝5，∴△OAP的面积是S△ABO故答案为：5．12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC 面积的最小值为6．解：方法一：设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y＝x+m代入y＝，得x+m＝，整理，得x2+mx﹣3＝0，则a+b＝﹣m，ab＝﹣3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．＝AC•BC∵S△ABC＝（﹣）（a﹣b）＝••（a﹣b）＝（a﹣b）2＝（m2+12）＝m2+6，∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值6．故答案为6．方法二：因为y＝x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB，＝AC•BC＝AB2，∴S△ABC当AB最小时，m＝0，直线为y＝x，联立方程，解得或，∴A（，），B（﹣，﹣），AB＝×2＝2，＝×4×6＝6．∴S△ABC最小故答案为：6．13．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO ＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，且交线＝6，则k的值为8．段AB于点D，连接CD，OD．若S△OCD解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），∵点C为斜边OB的中点，∴C（，），∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C，∴k＝•＝，∵∠OAB＝90°，∴D的横坐标为m，∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D，∴D的纵坐标为，作CE⊥x轴于E，＝S△AOD，∵S△COES△OCD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝6，∴（AD+CE）•AE＝6，即（+）•（m﹣m）＝6，∴m2＝32，∴k＝＝8，故答案为：8．解法二：作CE⊥OA于E，∵C为AB的中点，OA＝AB，∠OAB＝90°，＝S△AOD＝k，S△AOB＝2k，∴S△OEC＝k，∴S△BOD∵C为斜边OB的中点，＝S△BCD＝S△BOD＝6，∴S△OCD∴×k＝6，∴k＝8．故答案为：8．14．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD，▱OABC的面积为15，则k的值为18．解：过点D作DN⊥y轴于N，过点B作BM⊥y轴于M，设OC＝a，CN＝2b，MN＝b，∵▱OABC的面积为15，∴BM＝，∴ND＝BM＝，∴A，D点坐标分别为（，3b），（，a+2b），∴•3b＝（a+2b），∴b＝a，∴k＝•3b＝•3×a＝18，故答案为：18．15．如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．解：连DC，如图，∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，而点D为OB的中点，∴BD＝OD＝b，＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．16．如图，已知反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8），B（﹣4，m）两点．（1）求k1，k2，b的值；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式x+b的解．解：（1）∵反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），∴k1＝8，B（﹣4，﹣2），解方程组，解得；（2）由（1）知一次函数y＝k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），＝×6×4+×6×1＝15；∴S△AOB（3）﹣4≤x＜0或x≥1．17．如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，cos∠OAB＝，反比例函数y＝的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线EB的解析式；．（3）求S△OEB解：（1）∵A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴，∴AB＝6，∵cos∠OAB＝＝，∴，∴OA＝10，由勾股定理得：OB＝8，∴A（8，6），∴D（8，），∵点D在反比例函数的图象上，∴k＝8×＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）设直线OA的解析式为：y＝bx，∵A（8，6），∴8b＝6，b＝，∴直线OA的解析式为：y＝x，则，x＝±4，∴E（﹣4，﹣3），设直线BE的解式为：y＝mx+n，把B（8，0），E（﹣4，﹣3）代入得：，解得：，∴直线BE的解式为：y＝x﹣2；＝OB•|y E|＝×8×3＝12．（3）S△OEB18．如图，直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα＝．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；．（3）求S△OAB解：（1）∵直线y＝x与反比例函数的图象交于点A（3，a），∴a＝×3＝4，∴点A的坐标为（3，4），∴k＝3×4＝12，∴反比例函数解析式y＝．（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x，），∵tanα＝，∴＝，解得：x＝±6，∵点B在第一象限，∴x＝6，∴点B的坐标为（6，2）．（3）设直线OB为y＝kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2＝6k，解得：k＝，∴OB直线解析式为：y＝x．过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：则点C坐标为（3，1），∴AC＝3．S△OAB的面积＝S△OAC的面积+S△ACB的面积＝×|AC|×6＝9．∴△OAB的面积为9．19．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与反比＝4．例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若S△AOB （1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与双曲线的另一交点为D点，求△ODB的面积．＝•|x A|•y B，解：（1）由题意得：S△AOB即×2×y B＝4，y B＝4，∴B（2，4），设反比例函数的解析式为：y＝，把点B的坐标代入得：k＝2×4＝8，∴y＝，设直线AB的解析式为：y＝ax+b，把A（﹣2，0）、B（2，4）代入得：，解得：，∴y＝x+2；（2）由题意得：x+2＝，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴D（﹣4，﹣2），＝S△OAD+S△OAB＝×2×2+4＝6．∴S△ODB20．如图，在平行四边形OABC中，，点A在x轴上，点D是AB 的中点，反比例函数的图象经过C，D两点．（1）求k的值；（2）求四边形OABC的面积．解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，∵∠AOC＝45°，∴OE＝CE，∴OE2+CE2＝OC2∵OC＝2，∴OE＝CE＝2，∴C（2，2），∵反比例函数的图象经过点C点，∴k＝2×2＝4；（2）过点D作DF⊥x轴于F，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC＝2，∠DAF＝∠AOC＝45°，又∵点D是AB的中点，∴AD＝，AF＝DF，∴AF2+DF2＝AD2，∴AF＝DF＝1，∴D点的纵坐标为1，∵反比例函数的图象过点D点，∴D（4，1），∴OF＝4，OA＝OF﹣AF＝4﹣1＝3，∴平行四边形OABC的面积S＝OA•CE＝3×2＝6．21．如图，直线y＝6x与双曲线y＝（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标为2．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上的点，且点B的纵坐标是6，连接OB，AB，求△AOB的面积．解：（1）将x＝2代入y＝6x，得：y＝12，∴点A的坐标为（2，12），将A（2，12）代入y＝，得：k＝24，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）在y＝中y＝6时，x＝4，∴点B（4，6），而A（2，12），如图，过A作AC⊥y轴，BD⊥x轴，交于点E，则OD＝4，OC＝12，BD＝6，AC＝2，AE＝2，BE＝6，＝S矩形OCED﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE∴S△AOB＝4×12﹣×2×12﹣×4×6﹣×2×6＝48﹣12﹣12﹣6＝18．22．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，且满足，求x的取值范围．解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y＝﹣．∵A（﹣4，n）在y＝﹣的图象上，∴n＝2，∴A（﹣4，2）．∵y＝kx+b经过A（﹣4，2）和B（2，﹣4），∴，解得∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2．（2）当y＝﹣x﹣2＝0时，解得x＝﹣2．∴点C（﹣2，0），∴OC＝2，＝S△AOC+S△COB∴S△AOB＝×2×2+×2×4＝6．（3）根据函数的图象可知：若D（x，0）是x轴上原点左侧的一点，当﹣4＜x＜0时，满足kx+b﹣＜0．23．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，2）、点B（﹣4，n）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上存在一点P，使△PAB的周长最小，求点P的坐标．解：（1）∵反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，2），∴k2＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数表达式为：y＝﹣，∵反比例y＝﹣的图象经过点B（﹣4，n），∴﹣4n＝﹣2，解得n＝，∴B点坐标为（﹣4，），∵直线y＝k1x+b经过点A（﹣1，2），点B（﹣4，），∴，解得：，∴一次函数表达式为：y＝+．（2）设直线AB与x轴的交点为C，如图1，当y＝0时，x+＝0，x＝﹣5；∴C点坐标（﹣5，0），∴OC＝5．S△AOC＝•OC•|y A|＝×5×2＝5．S△BOC＝•OC•|y B|＝×5×＝．S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝；（3）如图2，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，∵点A′和A（﹣1，2）关于x轴对称，∴点A′的坐标为（﹣1，﹣2），设直线A′B的表达式为y＝ax+c，∵经过点A′（﹣1，﹣2），点B（﹣4，）∴，解得：，∴直线A′B的表达式为：y＝﹣x﹣，当y＝0时，则x＝﹣，∴P点坐标为（﹣，0）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b＞0的解集．解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），∴C点坐标为（6，4），∵A点坐标为（3，2），∴k1＝3×2＝6，∴反比例函数解析式为y＝；把x＝6代入y＝得x＝1，则F点的坐标为（6，1）；把y＝4代入y＝得x＝，则E点坐标为（，4），把F（6，1）、E（，4）代入y＝k2x+b，得，解得，，∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5；﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF（2）△OEF的面积＝S矩形BCDO＝4×6﹣×4×﹣×6×1﹣×（6﹣）×（4﹣1）＝；（3）由图象得：不等式k2x+b﹣＞0的解集为＜x＜6．25．如图，已知反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y＝﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结OP、OQ．求△OPQ的面积．解：（1）反比例函数y＝（m≠0）的图象经过点（1，4），解得m＝4，故反比例函数的表达式为y＝．一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），所以，解得n＝﹣1，b＝﹣5．∴一次函数的表达式y＝﹣x﹣5；（2）由，解得或．∴点P（﹣1，﹣4），在一次函数y＝﹣x﹣5中，令y＝0，得﹣x﹣5＝0，解得x＝﹣5，故点A（﹣5，0），S△OPQ＝S△OP A﹣S△OAQ＝×5×4−×5×1＝7.5．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过AB边的中点C，且与OA边交于点D．（1）求k的值；（2）连接OC，CD，求△OCD的面积；（3）若直线y＝mx+n与直线CD平行，且与△OAB的边有交点，直接写出n的取值范围．解：（1）∵等边△OAB，∴AB＝BO＝AO＝4，∠ABO＝∠BOA＝∠OAB＝60°，∵点C是AB的中点，∴BC＝AC＝2，过点C作CM⊥OB，垂足为M，在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣60°＝30°，BC＝2，∴BM＝1，CM＝，∴OM＝4﹣1＝3，∴点C 的坐标为（﹣3，），代入y ＝得：k ＝﹣3答：k 的值为﹣3；（2）过点A 作AN ⊥OB ，垂足为N ，由题意得：AN ＝2CM ＝2，ON ＝OB ＝2，∴A （﹣2，2），设直线OA 的关系式为y ＝kx ，将A 的坐标代入得：k ＝﹣，∴直线OA 的关系式为：y ＝﹣x ，由题意得：，解得：舍去，，∴D （﹣，3）过D 作DE ⊥OB ，垂足为E ，S △OCD ＝S CMED +S △DOE ﹣S △COM ＝S CMED ＝（+3）×（3﹣）＝3，答：△OCD 的面积为3．（3）①当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 过点O 时，此时y ＝mx +n 的n ＝0，②当与直线CD 平行的直线y ＝mx +n 经过点A 时，设直线CD 的关系式为y ＝ax +b ，把C 、D 坐标代入得：，解得：a ＝1，b ＝3+∴直线CD 的关系式为y ＝x +3+，∵y ＝mx +n 与直线y ＝x +3+平行，∴m ＝1，把A （﹣2，2）代入y ＝x +n 得：n ＝2+2因此：0≤n ≤2+2且n ．答：n 的取值范围为：0≤n ≤2+2且n ≠3+．。

__反比例函数与图形的面积__一反比例函数与四边形的面积(教材P156目标与评定第7题)若正方形AOBC的边OA，OB在坐标轴上，顶点C在第一象限，且在反比例函数y＝1x的图象上，则点C的坐标是__(1，1)__．【解析】设点C的坐标为(x，y)．∵四边形AOBC是正方形，∴OB＝OA，即x＝y.∵点C在第一象限且在反比例函数y＝1x的图象上，∴x2＝1，∴x1＝1，x2＝－1(不合题意，舍去)，∴点C的坐标是(1，1)．【思想方法】反比例函数中k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)的横、纵坐标之积(xy＝k)为常数，即过反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴分别作垂线，两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.以正方形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，反比例函数y ＝3x 经过点D ，则正方形ABCD 的面积是( D ) A.32 B ．5 C ．6D ．12【解析】 由反比例函数中k 的几何意义可知， S 正方形ABCD ＝4×3＝12.故选D.图1图2[2019·杭州期末]如图2所示，反比例函数y ＝kx (k ≠0，x ＞0)的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D .若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为( A ) A ．2 B ．2 2 C.32D ．25【解析】 过D 作DE ⊥OA 于E ， 设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，∴OE ＝a ，DE ＝k a ，∵点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点， ∴OA ＝2a ，OC ＝2k a ， ∵矩形OABC 的面积为8， ∴OA ·OC ＝2a ·2ka ＝8，∴k ＝2.[2019·永康模拟]如图3，A ，C 分别是x 轴、y 轴上的点，反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象与矩形OABC 的边BC ，AB 分别交于E ，F ，若AF ∶BF ＝1∶2，则△OEF 的面积为( B ) A ．2B.83 C ．3D.103图3【解析】 设F 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t ，∵AF ∶BF ＝1∶2，∴AB ＝3AF ，∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，6t ，把y ＝6t 代入y ＝2x 得x ＝t 3，∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3，6t ，∴S △OEF ＝S 矩形ABCO －S △OEC －S △OAF －S △BEF ＝t ·6t －12×2－12×2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫6t －2t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫t －t 3＝83.[2018·盐城]如图4，点D 为矩形OABC 的边AB 的中点，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点D ，交BC 边于点E .若△BDE 的面积为1，则k ＝__4__． 【解析】 设点D 的坐标为(x ，y )，∵点D 为AB 的中点，且点D ，E 均在y ＝kx 上， ∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12y .∵S △BDE ＝12BD ·BE ＝12·x ·12y ＝1， ∴k ＝xy ＝4.图4[2018·烟台]如图5，反比例函数y ＝kx 的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k ＝__－3__.图5【解析】 (法一)如答图①，连结OP ， ∵C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ， ∴BD ∥y 轴，∴S △OPD ＝S △APD .∵▱ABCD 对角线的交点P ，▱ABCD 的面积为6， ∴S △APD ＝64＝32.又∵S △OPD ＝S △APD ＝32＝|k |2，∴|k |＝3.又∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k ＜0，∴k ＝－3.变形5答图①变形5答图②(法二)如答图②，过P点作PH⊥y轴于H，∵BD⊥DC，∴∠PDO＝∠DOH＝∠OHP＝90°，∴四边形PDOH是矩形，又AB∥CD，＝6，∴S▱ABCD＝S矩形ABDO∵BP＝DP，∴S＝3＝|k|，矩形PDOH又∵k<0，∴k＝－3.如图6，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝mx ＋n (m ≠0)的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象交于第一、三象限内的A ，B 两点，与y 轴交于点C ，过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，BM ＝OM ，OB ＝22，点A 的纵坐标为4. (1)求该反比例函数和一次函数的表达式；图6(2)连结MC ，求四边形MBOC 的面积． 解：(1)在Rt △OMB 中，BM ＝OM ，OB ＝22， ∴BM 2＋OM 2＝()222，解得OM ＝BM ＝2， ∴B 点的坐标为(－2，－2)．∵反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点B (－2，－2)， ∴k ＝(－2)×(－2)＝4， ∴该反比例函数表达式为y ＝4x ，∵反比例函数y ＝4x 经过A 点，而A 点的纵坐标为4， ∴4＝4x ，解得x ＝1，∴A 点坐标为(1，4)． 将点A (1，4)和B (－2，－2)代入一次函数，得⎩⎨⎧m ＋n ＝4，－2m ＋n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝2， ∴一次函数的表达式为y ＝2x ＋2； (2)一次函数y ＝2x ＋2与y 轴交于点C ， 当x ＝0时，y ＝2，∴C 点坐标为(0，2)， ∴OC ＝2，∵BM ＝2，∴OC ＝BM ， 又∵BM ⊥x 轴，∴OC ∥BM ， ∴四边形MBOC 为平行四边形， ∴S 四边形MBOC ＝2×2＝4.二反比例函数与三角形的面积(教材P156目标与评定第8题)如图7，点A在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，AM⊥x轴于点M.若△AMO的面积为3，则k＝__6__．图7【解析】∵△AMO的面积为3，∴|k|＝2×3＝6.又∵k＞0，∴k＝6.【思想方法】反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴以及过该点向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形的面积S是个定值，且S＝1 2|k|.[2018·宁波]如图8，平行于x轴的直线与函数y＝k1x(k1>0，x>0)，y＝k2x(k2>0，x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为(A)A．8 B．－8C．4 D．－4图8变形1答图【解析】 设点A 的坐标为(x A ，y )，点B 的坐标为(x B ，y )，点C 的坐标为(x C ，0)， 如答图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ， ∵AB ＝x A －x B ，CD ＝y ， ∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12(x A －x B )y ＝12(x A y －x B y )＝12(k 1－k 2)， 即4＝12(k 1－k 2)，∴k 1－k 2＝8.[2018·郴州]如图9，A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是( B )图9A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 ∵A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x ＝2时，y ＝2，即A (2，2)， 当x ＝4时，y ＝1，即B (4，1)．过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，答图略， 则S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.∵S 四边形AODB ＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S 梯形ABDC ， ∴S △AOB ＝S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC ＝12(BD ＋AC )·CD ＝12×(1＋2)×2＝3，∴S △AOB ＝3.[2018·龙东地区]如图10，平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC ∥x 轴，分别交y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx (x ＜0)的图象于B ，C 两点，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( A ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12图10变形3答图【解析】 如答图，连结OB ，OC ，设BC 与y 轴交于点D ， ∵BC ∥x 轴，∴S △OBC ＝S △ABC ＝2， ∵点B 在反比例函数y ＝3x 的图象上， ∴S △OBD ＝32，∴S △OCD ＝2－32＝12， 又∵点C 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴|k |＝1，k ＝±1.∵反比例函数y ＝kx 的图象经过第二象限， ∴k ＜0，∴k ＝－1.故选A.如图11，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝kx (k ≠0，x >0)的图象交于点A (1，a )，B 是此反比例函数的图象上任意一点(不与点A 重合)，BC ⊥x 轴于点C . (1)求k 的值； (2)求△OBC 的面积．图11解：(1)将点A (1，a )的坐标代入y ＝2x ，得a ＝2×1，解得a ＝2，将点A (1，2)的坐标代入y ＝kx ，得2＝k1，解得k ＝2；(2)由(1)可知，反比例函数的表达式为y ＝2x ， ∴S △OBC ＝|k |2＝22＝1.三 反比例函数与几何图形的综合(教材P156目标与评定第9题)如图12，在反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线．图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝__32__．图12【解析】 由题意，可知点P 1，P 2，P 3，P 4的坐标分别为(1，2)，(2，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12. 解法一：∵S 1＝1×(2－1)＝1， S 2＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝13，S 3＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝16，∴S 1＋S 2＋S 3＝1＋13＋16＝32；解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 1向x 轴，y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，即1×2－12×1＝32.【思想方法】 (1)反比例函数y ＝kx 中k 的几何意义：过函数图象上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为|k |；(2)注意运用数形结合的思想，解答此类题一定要正确理解k 的几何意义．如图13，A ，B 两点在反比例函数y ＝4x 上，分别经过A ，B 两点向坐标轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2的值为( D )图13A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 ∵A ，B 是反比例函数y ＝4x 上的点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段，则根据反比例函数中k 的几何意义，得两个矩形的面积都等于|k |＝4，∴S 1＋S 2＝4＋4－1×2＝6.故选D.[2018·温州]如图14，点A ，B 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为( B )图14A ．4B ．3C ．2D.32【解析】 ∵点A ，B 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，点A ，B 的横坐标分别为1，2，∴点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，∵AC ∥BD ∥y 轴，∴点C ，D 的横坐标分别为1，2，∵点C ，D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上， ∴点C 的坐标为(1，k )，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，k 2，∴AC ＝k －1，BD ＝k 2－12＝k －12，∴S △OAC ＝12(k －1)×1＝k －12，S △ABD ＝12·k －12×(2－1)＝k －14， ∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32， ∴k －12＋k －14＝32，解得k ＝3.[2018·广东改编]如图15，已知等边三角形OA 1B 1，顶点A 1在双曲线y＝3x (x ＞0)上．过B 1作B 1A 2∥OA 1交双曲线于点A 2，过A 2作A 2B 2∥A 1B 1交x 轴于点B 2，得到第二个等边三角形B 1A 2B 2；过B 2作B 2A 3∥B 1A 2交双曲线于点A 3，过A 3作A 3B 3∥A 2B 2交x 轴于点B 3，得到第三个等边三角形B 2A 3B 3…以此类推，则点B 6的坐标为__(26，0)__．图15变形3答图【解析】 如答图，过点A 1作A 1E ⊥x 轴，设OE ＝m ，则A 1E ＝3m ，由点A 1(m ，3m )在y ＝3x 图象上，得m ·3m ＝3，解得m ＝1(负值舍去)，∴B 1(2，0)，过A 2作A 2F ⊥x 轴于点F ，设B 1F ＝a ，则F (2＋a ，0)，∵△B 1A 2B 2是等边三角形，∴A 2(2＋a ，3a )，将A 2点代入y ＝3x ，解得a ＝2－1(负值舍去)，∴B 2(22，0)，类似求得B 3(23，0)，故B6(26，0)．第2课时 反比例函数的性质1．[2018·衡阳]对于反比例函数y ＝－2x ，下列说法不正确的是( D ) A ．图象分布在第二、四象限 B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 C ．图象经过点(1，－2)D ．若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 2【解析】 A ．∵k ＝－2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确； B ．k ＝－2＜0，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；C ．把x ＝1代入y ＝－2x 中，得y ＝－21＝－2，∴点(1，－2)在它的图象上，故本选项正确；D ．点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在反比例函数y ＝－2x 的图象上，若x 1＜0＜x 2，则y 1＞y 2，故本选项错误．2．[2018·湖州]如图6－2－10，已知直线y ＝k 1x (k 1≠0)与反比例函数y ＝k 2x (k 2≠0)的图象交于M ，N 两点．若点M 的坐标是(1，2)，则点N 的坐标是( A )图6－2－10A ．(－1，－2)B ．(－1，2)C ．(1，－2)D ．(－2，－1)【解析】 ∵点M ，N 都在反比例函数的图象上，且两点的连线经过原点，∴M ，N 关于原点对称．∵点M 的坐标是(1，2)，∴点N 的坐标是(－1，－2)．故选A.3．[2018·天津]若点A (x 1，－6)，B (x 2，－2)，C (x 3，2)在反比例函数y ＝12x 的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( B ) A ．x 1＜x 2＜x 3 B ．x 2＜x 1＜x 3 C ．x 2＜x 3＜x 1D ．x 3＜x 2＜x 1【解析】 把点A (x 1，－6)，B (x 2，－2)，C (x 3，2)分别代入y ＝12x 可得x 1＝－2，x 2＝－6，x 3＝6，即可得x 2＜x 1＜x 3，故选B.4．[2018·临沂]如图6－2－11，正比例函数y 1＝k 1x 与反比例函y 2＝k 2x 的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为1，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是( D )图6－2－11A ．x ＜－1或x ＞1B ．－1＜x ＜0或x ＞1C ．－1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．x ＜－1或0＜x ＜1【解析】 由反比例函数图象的中心对称性，正比例函数y 1＝k 1x 与反比例函y 2＝k 2x 的图象交点A 的横坐标为1，得另一个交点B 的横坐标为－1，结合图象知，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是x ＜－1或0＜x ＜1，故选D.5．[2018·无锡]已知点P (a ，m )，点Q (b ，n )都在反比例函数y ＝－2x 的图象上，且a ＜0＜b ，则下列结论一定正确的是( D ) A ．m ＋n ＜0 B ．m ＋n ＞0 C ．m ＜nD ．m ＞n【解析】 ∵k ＝－2＜0，∴反比例函数y ＝－2x 的图象位于第二、四象限，∵a ＜0＜b ，∴点P (a ，m )位于第二象限，点Q (b ，n )位于第四象限， ∴m ＞0，n ＜0，∴m ＞n .6．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 ∵当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，∴k ＞0，∵一次函数y ＝kx －k 的图象经过点(1，0)和点(0，－k )，－k ＜0， ∴一次函数的图象不经过第二象限．故选B.7．已知反比例函数y ＝6x ，当x >3时，y 的取值范围是__0<y <2__．【解析】 在坐标系内作出反比例函数y ＝6x 的函数图象，找到x >3对应的图象部分，确定其函数取值范围为0<y <2.8．[2018·台州]如图6－2－12，函数y ＝x 的图象与函数y ＝kx (x ＞0)的图象相交于点P (2，m )．图6－2－12(1)求m ，k 的值；(2)直线y ＝4与函数y ＝x 的图象相交于点A ，与函数y ＝kx (x ＞0)的图象相交于点B ，求线段AB 的长．解：(1)把点P (2，m )代入y ＝x ，得m ＝2， ∴P (2，2)，把点P (2，2)代入y ＝kx ，得k ＝4；(2)当y ＝4时，代入y ＝x 得x ＝4，∴A (4，4)，代入y ＝4x 得x ＝1，∴B (1，4)，∴AB ＝4－1＝3；9．[2019·拱墅区模拟]已知直线l ：y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)与函数y ＝2x 的图象交于点A (－1，m )． (1)求m 的值；(2)当k ＝__1__时，直线l 经过第一、三、四象限(任写一个符合题意的值即可)； (3)求(2)中的直线l 的表达式和它与两坐标轴围成的三角形面积． 解：(1)把A (－1，m )代入y ＝2x 中，得m ＝－2；(2)由(1)知m ＝－2，∴A (－1，－2)，把A (－1，－2)代入y ＝kx ＋b 中，得－2＝－k ＋b ， ∴b ＝k －2，∵直线l 经过第一、三、四象限， ∴⎩⎨⎧k ＞0，b ＜0，即⎩⎨⎧k ＞0，k －2＜0， 解得0＜k ＜2，∴k 可以取1； (3)由(2)知k ＝1，b ＝k －2＝－1， ∴直线l 的表达式为y ＝x －1，∴直线l 与坐标轴的交点坐标为B (0，－1)，C (1，0)， ∴OB ＝1，OC ＝1， ∴S △OBC ＝12×1×1＝12.10．[2018·绵阳]如图6－2－13，一次函数y ＝－12x ＋52的图象与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1.(1)求反比例函数的表达式；(2)在y 轴上求一点P ，使P A ＋PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标．图6－2－13第10题答图解：(1)∵反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象过点A ，且△AOM 面积为1，∴12|k |＝1， ∵k ＞0，∴k ＝2，故反比例函数的表达式为y ＝2x ；(2)如答图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连结A ′B ，交y 轴于点P ，则P A ＋PB 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52，y ＝2x，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，∴A (1，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴A ′(－1，2)，最小值A ′B ＝（4＋1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＝1092. 设直线A ′B 的表达式为y ＝mx ＋n ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝2，4m ＋n ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－310，n ＝1710， ∴直线A ′B 的表达式为y ＝－310x ＋1710， ∴x ＝0时，y ＝1710，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1710.11．如图6－2－14，一次函数y ＝k 1x ＋b (k 1≠0)与反比例函数y ＝k 2x (k 2≠0)的图象交于点A (－1，2)，B (m ，－1)．图6－2－14(1)求这两个函数的表达式；(2)在x 正半轴上是否存在点P (n ，0)，使△ABP 为等腰三角形？若存在，求n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)把A (－1，2)代入y ＝k 2x ，得k 2＝－2， ∴反比例函数的表达式为y ＝－2x .∵B (m ，－1)在反比例函数的图象上，∴m ＝2. 由题意得⎩⎨⎧－k 1＋b ＝2，2k 1＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧k 1＝－1，b ＝1，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋1； (2)存在．易求得AB ＝32，①当P A ＝PB 时，(n ＋1)2＋4＝(n －2)2＋1，解得n＝0，∵n>0，n＝0不符合题意，舍去；②当P A＝AB时，(n＋1)2＋4＝(32)2，解得n＝－1＋14(负值舍去)；③当BP＝BA时，1＋(n－2)2＝(32)2，解得n＝2＋17(负值舍去)．∴当n＝－1＋14或2＋17 时△ABP为等腰三角形．。