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概率论与数理统计(第三版)课后答案习题5

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第五章 大数定律与中心极限定理
1. 设随机变量ξ的方差为
2.5。

利用契贝雪夫不等式估计： {}5.7||≥-ξξE P 的值。

解：由契贝雪夫不等式：
2
}|{|ε
ξ
εξξD E P ≤
≥-，又已知5.7,5.2==εξD ，故
044
.05.75
.2}5.7|{|2
=≤
≥-ξξE P 。

2. 已知某随机变量ξ的方差D ξ=1，但数学期望E ξ=m 未知，为估计m ，对ξ进行n 次独立观测，得样本观察值ξ1，ξ2，…，ξn 。

现用
{}
∑=≥<-=n
i i
p
m P m n
n 1
5.0||1ξξ
ξ多大时才可能使问当估计， 。

解：因∑===
n
i i m E n
E 1,
1ξξ又ξ1，ξ2，…，ξn 相互独立，故
∑
∑===
==n
i n
i i i n D n
n
D D 1
1
2
1
)(1)1(ξξξ，根据契贝雪夫不等式，有
2
5
.01}5.0|{|ξξξD E P -≤<-，即
n m P 41}5.0|{|-
≤<-ξ，
再由
p n p n -≥
≥-
14
,
41得。

3. 设在由n 个任意开关组成的电路的实验中，每次试验时一个开关开或关的概率各为
12。

设m 表示在这n 次试验中遇到的开电次数，欲使开电频率m
n 与开电概率p =0.5的绝对误差小于ε=0.01，并且要有99%以上的可靠性来保证它实现。

试用德莫佛-拉普拉斯定理来估计，试验的次数n 应该是多少？ 解：欲使
99
.0}01.0|{|
≥<-p n m
P ，即
99
.0}//01.0//|{|
≥<-n pq n pq p n
m P ，
亦即，则t ~N (0，1)且有
,99.001.0≥⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪
⎩⎪⎨⎧<
pq n t P 由58
.201.0995.0)58.2(≥⇒
=Φpq
n
，
以p =q =1/2代入可得 n =16641。

4. 用某种步枪进行射击飞机的试验，每次射击的命中率为0.5%，问需要多少支步枪同时射击，才能使飞机被击中2弹的概率不小于99%？
解：用n 步枪同时向飞机射击，可以看成用一枝步枪进行n 次射击的独立试验，令ξ表示n 次射击击中目标的次数，则ξ服从参数为n ，p =0.005的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得
⎭
⎬
⎫
⎩⎨
⎧-≥-=⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪
⎨
⎧--≥
--=≥n n n n P p np np
p np np
P P 004975.0005.02004975.0005.0)1(2)
1(}2{ξξξ
99.0004975.0005.021=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ-≈n n ，查表得n ≈1791。

5. 随机变量ξ表示对概率为p 的事件A 做n 次重复独立试验时，A 出的次数。

试分别
用契贝雪夫不等式及中心极限定理估计满足下式的n ：
P n
p D ξξ-<
⎧⎨⎩⎫
⎬⎭≥1299%
解：记
n ξη=
，由于ξ~B (n ，p )，故E ξ=np ，E η=p ，2
/n D D ξη=。

(1)根据契贝雪夫不等式，有
2
2
41)
2/(1}21|
{|2
1n
D D D
E P D p n P -
=-
≥-=⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧<
-ξηξηηξξ，
为使
%
99412
≥-
n
，解得 20≥n ；
(2)以i ξ表示每次试验时A 出现的次数，则i ξ服从参数为p 的二点分布，且E i ξ=p ，D i ξ=p (1-p )≤1/4，而
∑
===
n
i i
n n
1
ξξ
η是n 个独立同分布的随机变量之和，故由中心极限定理知
)
1,0(~N D E η
η
η-，因此有
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧<
-ξξD p n
P 2
1
122222/-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎭⎪⎬
⎫⎪⎩
⎪⎨⎧
<
-=n D D D D D E P ηξηξηηη，
为使
6
,16.5,
99.0122≥>≥-⎪⎭⎫
⎝⎛Φn n n 即查表得。

6. 一个养鸡场购进一万只良种鸡蛋，已知每只鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡育成种鸡的概率为0.9，试计算由这些鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率。

解：定义承机变量
⎩⎨
⎧=.,
0,
,1鸡只鸡蛋不能育成种
第鸡只鸡蛋能育成种第k k k ξ)
10000,,2,1( =k 。

则k ξ)10000,,2,1( =k 是独立同分布的，且756.09.084.0}1{=⨯==k P ξ，
224.0756.01}0{=-==k P ξ。

显然
∑==10000
1
k k
ξξ表示10000只鸡蛋中能育成种鸡的个数。

此为n =10000，p =0.756的贝努利概型，由隶莫弗——拉普拉斯定理可得
92.0)1(75001)1(7500)1(}7500{=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--Φ
-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪
⎨
⎧--≥--=≥p np np p np np p np np
P P ξξ。

7. 某印刷厂在排版时，每个字符被排错的概率为0.0001，试求在300000个字符中错误
不多于50个的概率。

解：令⎩⎨
⎧=.,0,
,1个字未排错第个字排错第i i i ξ则
∑==50000
1i i
ξξ是服从参数n =50000，p =0.0001的贝努
利概型，因此由隶莫弗——拉普拉斯定理可得
9874
.0)24.2()1(101)1(10)
1(}10{=Φ=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--Φ
-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪
⎨
⎧--<
--=≤p np np
p np np
p np np
P P ξξ。

8. 某班班会为学校主办一次周末晚会，共发出邀请书150张，按以往的经验，接到邀
请的人中大体上能有80%可到会，试求前来参加晚会的人数在110到130之间的概率。

解：令
⎩⎨
⎧=.
,
0,,1封邀请信的人不到会
接到第封邀请信的人到会接到第i i i ξ则i ξ服从参数p =0.8的二项分布。

且
E i ξ=0.8，D i ξ=0.16，∑==150
1i i
ξξ表示到会的总人数，则24,
120==ξξD E ，由中心极限定
理得
⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧-<-<-=<<241201302412024120110}130110{ξξP P 9586
.01)04.2(204.2241024120=-Φ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=<-=ξP 。

9. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8。

医院
检验员任意抽查100个服用此药品的人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。

(1)若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药品对这种疾病的治愈率为0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：(1)以ξ表示100人中治愈人数，则ξ ~b (100,0.8) 所求概率为
{}⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧⨯⨯⨯->
⨯⨯⨯-=>2.08.01008.0100752.08.01008
.010075ξξP P
()8944.025.11=-Φ-≈； (2)依题ξ~b (100,0.7)
则
{}⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧⨯⨯⨯->
⨯⨯⨯-=>3.07.01007.0100753.07.010070
.010075ξξP P
()1379.08621.0109.11=-=Φ-≈。

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《概率论与数理统计答案》第五章

《概率论与数理统计答案》第五章

2 答案与提示：由于 X ~ N ( µ , σ / n) ，所以
P{ X − 8 > 3} = 0.1336
3．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自总体 X ~ P (λ ) 的一个样本， X 、 S 2 分别为样本均值 和样本方差。求 DX 及 ES 2 。 答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体 期望、总体方差的关系，显然应由定理 5-1 来解决这一问题。
2
=(
1
hd a
) e
n 2 − 1
n
为
2σ 2
2πσ 2
w. c
∑ ( xi − µ )2
i =1
om
，
8．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) 的一个样本， µ 已知，求 σ 2
第五章 习题参考答案与提示
⎧ ⎪λax a −1e − λx , x > 0, （2） f ( x, λ ) = ⎨ ⎪ x ≤ 0, ⎩ 0,
1 3 1 （3） X 1 + X 2Leabharlann + X 3 。 5 10 2
om
（1）
（2）
第五章 习题参考答案与提示
3，求 θ 的矩估计值和极大似然估计值。
ˆ = 1/ 4 。 答案与提示： θ 的矩估计值为 θ
对于给定的样本值，似然函数为 L(θ ) = 4θ 6 (1 − θ ) 2 (1 − 2θ ) 4 ，解得
其中 θ > −1 为未知参数。
网
9．设 X ~ N ( µ , 1) ， X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X 的一个样本，试求 µ 的极
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._


1
3
。 P( A2) 1
1
9
16
8 16 16
1.12
解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为
36。 .出现点数和为
“3”对应两个基本事件 （ 1， 2），（ 2， 1）。故前后两次出现的点数之和为
3 的概率为 1 。 18
同理可以求得前后两次出现的点数之和为
4， 5 的概率各是 1 , 1 。 12 9
(8) 在长为 l 的线段上任取一点 , 该点将线段分成两段 , 观察两线段的长度 . 解： 8 x, y x 0, y 0, x y l ；
1.2
(1) A 与 B 都发生 , 但 C 不发生 ; ABC ； (2) A 发生 , 且 B 与 C 至少有一个发生 ; A(B C ) ； (3) A,B,C 中至少有一个发生 ; A B C ；
(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温 (假设最低气温不低于 T1, 最高气温不高于 T2);
解：用 x 表示最低气温 , y 表示最高气温 ;考虑到这是一个二维的样本空间，故：
6 x, y T 1 x y T2 ；
(7) 在单位圆内任取两点 , 观察这两点的距离 ;
解： 7 x 0 x 2 ；
有 C52 10 种，故所求概率为 1 。 12
1.14
解：分别用 A1, A2, A3 表示事件：
(1) 取到两只黄球 ; (2) 取到两只白球 ; (3) 取到一只白球 , 一只黄球 .则
P( A1)
C
2 8
C122
28 66
14 , P ( A2)
33
C
2 4
C122
6 66
1
《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案-

《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案-

习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数。

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。

解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。

解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格。

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2)。

解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温。

考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。

解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生。

C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生。

)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生。

C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生。

C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生。

BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生。

C B C A B A ⋃⋃；(7) A 。

B 。

C 中至多有两个发生。

ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

概率论(复旦三版)习题五答案

概率论(复旦三版)习题五答案

概率论与数理统计〔复旦第三版〕习题五答案1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10<X <18}.【解】设(1,2,3,4)i X i =表示第i 次掷的点数，那么41i i X X ==∑ 从而22291735()()[()].6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又1234,,,X X X X 独立同分布. 从而44117()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑ 所以235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率到达在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件.【解】设至少要生产n 件产品才能满足要求，令1,,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个产品合格第个产品不合格.1,2,,i n =，那么12,,,n X X X 相互独立且服从一样的〔0—1〕分布，{}10.8i p P X ===现要求n ,使得根据独立同分布的中心极限定理得整理得0.95,Φ≥⎝⎭查表 1.64,10≥ n ≥268.96, 故取n =269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供给多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电缺乏而影响生产.【解】设需要供给车间至少15m ⨯个单位的电能，这么多电能最多能同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。

把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中，用X 表示正在工作的机床数目，那么~(200,0.7)X B ,根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 查表知140 1.64,42m -=,m =151. 所以供给电能151×15=2265〔单位〕.4. 一加法器同时收到20个噪声电压k V 〔1,2,,20k =〕，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间〔0，10〕上服从均匀分布.记201k k V V ==∑，求P {V ＞105}的近似值.【解】易知: ()5,()100/12(1,2,,20)k k E V D V k ===。