2.1.3 函数的单调性【学习要求】1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念．2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．【学法指导】考察函数的单调性，可以从函数的图象、函数值的变化情况，增(减)函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增(减)函数的定义加以证明.填一填：知识要点、记下疑难点1.增函数与减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数.2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性. (区间M称为单调区间).研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．探究点一函数单调性的有关概念问题1 观察下列函数的图象，回答当自变量x的值增大时，函数值f(x)是如何变化的？答：当自变量在实数集内由小变大时，函数y＝2x的值也随着逐渐增大，函数y＝－2x的值反而减小；而函数y＝x2＋1，在区间(－∞，0]上，函数值逐渐减小，在区间[0，＋∞)上又逐渐增大．问题2 如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？答：在给定区间上任取x1，x2，x1<x2，f(x1)<f(x2)．问题3在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1，如何用Δx与Δy来描述：“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大”？“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次减小”？答：分别表示为：当Δx>0时，Δy>0；当Δx>0时，Δy<0.问题4 对于函数f(x)，当Δx>0时，有Δy>0，我们说f(x)是增函数；当Δx>0时，有Δy<0. 我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈A，你能给增函数和减函数下个定义吗？答：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，如下图(1)；当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数，如下图(2)．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．(区间M称为单调区间)例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：y ＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．其中y ＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．小结： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．跟踪训练1 根据下图说出函数在每一个单调区间上，是增函数还是减函数．解： 函数在[－1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．探究点二 增函数、减函数的证明或判断问题1 判断函数单调性的方法有哪些？答： 定义法，图象法．问题2 证明函数单调性的方法有哪些？答： 只有定义法．问题3 根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数f(x)在区间D 上单调性的一般步骤有哪些？答： (1)取值：任取x 1，x 2∈D，且x 1<x 2；(2)作差：f(x 1)－f(x 2)；(3)变形：通常通过因式分解、配方与通分等途径将结果化为积或商的形式；(4)定号：判断差f(x 1)－f(x 2)的正负；(5)小结：指出函数f(x)在给定区间D 上的单调性．例2 证明函数f(x)＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．证明： 设x 1，x 2是任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＝2x 2＋1－(2x 1＋1)＝2(x 2－x 1)＝2Δx>0.所以函数f(x)＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．小结： 运用定义判断或证明函数的单调性时，要注意x 1、x 2的三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x 1<x 2.要牢记证明函数单调性的五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结．跟踪训练2 证明函数f(x)＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数． 证明： 设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 1－x 2<0，Δy ＝f(x 1)－f(x 2)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2. 由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0，且x 2－x 1＝－Δx>0，于是Δy>0.所以，f(x)＝1x在(0，＋∞)上是减函数．探究点三 函数单调性的应用问题1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？答： 先判断函数f(x)在区间D 上的单调性，如果函数f(x)在D 上是增函数，则当x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，如果f(x)在D 上是减函数，结论则相反．问题2 已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对应自变量的大小关系吗？答： 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f 符号，转化为自变量的大小关系．例3 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有f(x ＋d)<f(x)，求满足f(1－a)<f(2a －1)的a 的取值范围．解： 令x 1＝x ＋d ，x 2＝x ，∵d>0，∴x 1>x 2，由f(x ＋d)<f(x)知，f(x 1)<f(x 2)．∴y＝f(x)在定义域R 上是减函数．∵f(1－a)<f(2a －1)，∴1－a>2a －1，即a<23. ∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23. 小结： 如果由函数y ＝f(x)在区间M 上的任意两个数x 1<x 2推出f(x 1)<f(x 2)，则函数y ＝f(x)是增函数；反之，如果已知函数y ＝f(x)在区间M 上是增函数，若f(x 1)<f(x 2)成立，则x 1<x 2也成立．已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维．跟踪训练3 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，判断f(a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系． 解： 由于a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34， 又因函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，所以f(a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34. 练一练：课堂检测、目标达成落实处1.若函数f(x)＝4x 2－mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m 的值为________．解析： 由题意，函数f(x)的图象的对称轴方程为x ＝m 8＝－2， 2.函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x 的取值范围是_______． 解析： 由题意可知：当x∈(－3,1)时，－2<f(x)<2， 即|f(x)|<2.3.物理学中的玻意耳定律p ＝k V(k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．证明： 根据单调性的定义，设V 1，V 2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V 1<V 2，则p(V 1)－p(V 2)＝k V 1－k V 2＝k V 2－V 1V 1V 2. 由V 1，V 2∈(0，＋∞)，得V 1V 2>0.由V 1<V 2，得V 2－V 1>0.又k>0,于是p(V 1)－p(V 2)>0，即p(V 1)>p(V 2)．所以，函数p ＝k V在(0，＋∞)上是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大． 课堂小结：1.若f(x)的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f(x)在A 和B 上都单调递减，未必有f(x)在A ∪B 上单调递减．2.对增函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0或f x 1－f x 2x 1－x 2>0.对减函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]<0或f x 1－f x 2x 1－x 2<0. 3.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③1f x 单调递减(f(x)≠0)． 4.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商f x 1f x 2与1比较.。
2.1.3 函数的单调性【学习要求】1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念．2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．【学法指导】考察函数的单调性，可以从函数的图象、函数值的变化情况，增(减)函数的定义等多方面进行，但函数单调性的证明必须根据增(减)函数的定义加以证明.填一填：知识要点、记下疑难点1.增函数与减函数的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间M⊆A.如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，当Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数.2.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性. (区间M称为单调区间).研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就把握了相应事物的变化规律．因此研究函数的性质是非常重要的．日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降．很多函数也具有类似性质，这就是我们要研究的函数的重要性质——函数的单调性．探究点一函数单调性的有关概念问题1 观察下列函数的图象，回答当自变量x的值增大时，函数值f(x)是如何变化的？问题2 如何用x与f(x)来描述当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大？问题3在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)＝y2－y1，如何用Δx与Δy来描述：“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次增大”？“当x在给定区间从小到大取值时，函数值依次减小”？问题4 对于函数f(x)，当Δx>0时，有Δy>0，我们说f(x)是增函数；当Δx>0时，有Δy<0. 我们说f(x)是减函数．如果给出函数y＝f(x)，x∈A，你能给增函数和减函数下个定义吗？例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？跟踪训练1 根据下图说出函数在每一个单调区间上，是增函数还是减函数．探究点二增函数、减函数的证明或判断问题1 判断函数单调性的方法有哪些？问题2证明函数单调性的方法有哪些？问题3根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数f(x)在区间D上单调性的一般步骤有哪些？例2 证明函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．跟踪训练2 证明函数f(x)＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数．探究点三函数单调性的应用问题1 如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？问题2已知函数的单调性，能利用函数值的大小关系得出对应自变量的大小关系吗？例3 已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)<f(x)，求满足f(1－a)<f(2a－1)的a的取值范围．跟踪训练3 已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，判断f(a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系．练一练：课堂检测、目标达成落实处1.若函数f(x)＝4x 2－mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则实数m 的值为________．2.函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x 的取值范围是_______．3.物理学中的玻意耳定律p ＝k V(k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．课堂小结：1.若f(x)的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f(x)在A 和B 上都单调递减，未必有f(x)在A ∪B 上单调递减．2.对增函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0或1－2x 1－x 2>0. 对减函数的判断，当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]<0或1－2x 1－x 2<0. 3.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③1单调递减(f(x)≠0)．4.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商12与1比较.。
