高考风向标文科数学一轮课时知能训练第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式

第五节 两角和与差及二倍角的三角函数[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos2α)；②cos 2α＝12(1＋cos2α)．(3)公式的逆用：①1±sin2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)s in20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12D [sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.]3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－15C ．15D ．45D [∵cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos2θ＝1－191＋19＝45.]4．(2017·某某二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________.【导学号：66482165】－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.【导学号：66482166】π3[由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.]三角函数式的化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos2x .[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角函数式的求值☞角度1 给角求值(1)2cos 10°－si n 20°sin 70°＝( )A.12 B ．32C ． 3D ． 2(2)sin50°(1＋3tan10°)＝________. (1)C (2)1[(1)原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.(2)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]☞角度2 给值求值(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B ．15C ．－15D ．－725(2)(2016·某某十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )【导学号：66482167】A.1＋358B ．1＋538C ．1－358D ．1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.(2)由7sin α＝2cos2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A.] ☞角度3 给值求角已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B ．π3C ．π4D ．π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角.三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos2x ＝34sin2x －14cos2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 5分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 12分 [规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (1)(2016·某某高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．3π2D ．2π(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (1)B (2)1[(1)法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.(2)f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)． ∴f (x )max ＝1.][思想与方法]三角恒等变换的三种变换角度(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． [易错与防X]1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的X 围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该X 围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的X 围是(0，π)，选余弦较好；若角的X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．。

两角和与差及二倍角的三角函数公式1.两角和公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相加时，可以将它们的三角函数值相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。

2.两角差公式：cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)tan(A - B) = (tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))这些公式表明，将两个角度的三角函数相减时，可以将其中的一个角度的三角函数值取相反数，并进行相乘、相加或者相除，从而得到结果的三角函数值。

3.二倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A) sin(2A) = 2sin(A)cos(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))这些公式表明，角度的两倍的三角函数值可以通过将角度的三角函数值平方、相乘、相加或者相除，并进行一些基本运算，从而得到结果的三角函数值。

这些公式在解决各种三角函数问题时非常有用。

它们可以帮助我们计算两个角度的和、差以及角度的两倍的三角函数值。

例如，当需要计算sin(75°)时，可以利用sin(45° + 30°)的两角和公式，以及sin(2 * 30°)的二倍角公式，从而得到sin(75°)的值。

此外，这些公式也有一些相关的推论：1.三角函数的积和商：sin(A)sin(B) = (cos(A - B) - cos(A + B))/2cos(A)cos(B) = (cos(A - B) + cos(A + B))/2sin(A)cos(B) = (sin(A + B) + sin(A - B))/22.三角函数的平方：sin^2(A) = (1 - cos(2A))/2。

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第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式A组基础题组1.已知cos α=—，α是第三象限角，则cos为（）A。

B.-C。

D。

—2.的值为( ）A. B.C.—D.-3.(1+tan 18°)(1+tan 27°）的值是（)A。

B.1+C.2D.2(tan 18°+tan 27°)4.设α、β都是锐角,且cos α=,sin(α+β）=,则cos β等于( )A. B.C.或D.或5。

（2017课标全国Ⅲ，6,5分)函数f（x）=sin+cos的最大值为（）A。

B。

1 C。

D。

6。

已知sin α+cos α=,则sin2= 。

7.已知cos=-,则cos x+cos= .8.(2018福建福州模拟）已知α∈,tan α=,求tan 2α和sin的值。

9.已知α∈,且sin+cos=。

(1）求cos α的值；(2）若sin(α—β)=-,β∈,求cos β的值.B组提升题组1.-=( ）A。

4 B.2 C.—2 D.—42。

设α为锐角，若cos=,则sin2α+的值为。

迁移发散2： 规范解答 ：
题型3 ·三角恒等式的证明
思路点拨： 分析角的差异进行变角：2α＋β＝（α＋β）＋α；β＝ （α＋β）－α.
规范解答：
点评： 三角恒等式可分为无条件三角恒等式与条件恒等式两类，其证明思路 与代数恒等式类似，证明的实质是进行恒等变换消去等式两端的差异 ，达到形式上的统一，具体的方法有切割化弦、拆角、常数代换、公 式变形等.
题型5 ·综合应用
例6
思路点拨：根据三角函数的相关公式对函数恒等变换，结合三角函数的图像 性质解决.
规范解答 ：
点评： 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的 考查还往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式， 先把函数解析式化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，再进一步讨 论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称 性等性质.
规律总结： 解决三角函数的综合问题时，既要熟悉三角公式的代数结构 ，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联 系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角 或半角的都可以利用倍角公式及其变形.
1、 解析：
精选习题
2、 解析：
3、 解析：
4、 解析：
5、 解析：
点评： 在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助 角，技巧性较强.值得强调的是：辅助角公式asin α＋bcos α＝sin （α＋φ）或asin α＋bcos α＝cos（α－φ），在历年高考中使用 频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应加以关注.
规律总结： 解决此类问题有固定的环节，一般分如下几个步骤： 第一步：将f（x）化为asin x＋bcos x的形式； 第二步：构造f（x）＝sin x·＋cos x·； 第三步：和角公式逆用f（x）＝sin（x＋φ） （其中φ为辅助角）； 第四步：利用f（x）＝sin（x＋φ）研究三角函数的性质； 第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和解题规范