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第八章 空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1. 空间直角坐标系（1） 三条坐标轴，三个坐标面, 八个卦限，（2）点的坐标：空间的点M 和有序数组x ,y ,z 之间存在一一对应关系，记为M （x , y , z ）（3）M 1(x 1,y 1,z 1) , M 2(x 2,y 2,z 2)间的距离|M 1M 2|= 212212212)()()(z z y y x x -+-+-.2. 向量的概念，（1）向量的模（向量的长度，向量大小）；零向量.单位向量；这两个向量相等.（2）；向量的数乘；定理1 设向量a ≠0, 那末，向量a 与b 平行（记作a ‖b ）的充分必要条件是：存在唯一常数λ使得b =λa .二、向量数量积1. 向量a , b 的数量积a ∙b =∣a ∣∙∣b ∣cos(∧b a ,)，也称为“点积”或“内积”.（1）a ·a =∣a ∣2 .（2）对于两个非零向量a 、b , a ⊥b 的充分必要条件是a ·b =0.（3）数量积还符合交换律、分配律.2. 向量数量积的坐标表达：a ·b =a x b x +a y b y +a z b z 例1 设{}3,5,2a =- ，{}2,1,4b = ，当λ，μ满足2μλ=时，b a μλ+与z o 轴垂直？例2已知}1,2,1{=a 和},0,1{c =b 的夹角为3/π，求c 。
3. 向量b 在向量a 上的投影向量，记作proj a b ； 数值b cos θ也称为b 在a 方向上的投影，记作comp a b . comp a b =∣b ∣cos(∧b a ,)=b b a b a ⋅=ab a ⋅=b e a ⋅, proj a b = （comp a b ）·e a . 例3 设a ={2,0,-1},b ={1,2,4},求b 在a 上的投影向量和投影.proj a b =comp a b ·e a =}52,0,54{}1,0,2{5152-=-⋅-.三、向量的向量积1.向量a , b 的向量积是一个向量，记为a ×b,∣a ×b ∣=∣a ∣∣b ∣sin(∧b a ,), (等于以a ,b 为邻边的平行四边形面积) a ×b 同时垂直于a 与b ，并且a ，b ， a ×b 符合右手法则.2.力矩M 等于r 与F 的向量积，即M =r ×F .3. 向量积的性质：（1）a ×a =0. 这是因为向量a 与a 的夹角为零.(2)对两个非零向量a 、b ，a ×b =0的充分必要条件是a ‖b .(3) b ×a = -a ×b .4. 向量积的坐标表达式: a ×b =z y xz yx b b b a a a k j i. 例4 设a ={2,0,-1},b ={1,2,4},求a ×b.练习 已知空间三点(1,1,1)P -，)5,4,2(Q ，)7,1,3(R ，求一向量，使它垂直于过R Q P ,,三点的平面，并求三角形PQR 的面积．四、平面及其方程1. 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，平面过),,(0000z y x M ，法向量n {}C B A ,,=，2.一般式方程: 0=+++D Cz By Ax ,3.截距式方程: 1=++cz b y a x ， 4. 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离222000C B A DCz By Ax d +++++=例5 求过点)8,3,1(--且与平面09643=---z y x 平行的平面方程．例6 一平面过点)1,0,1(-且平行于向量}1,1,2{=a 和}0,1,1{-=b , 试求这平面的方程． 例7 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．练习 分别按下列条件求平面方程：(1)平行于xOz 面且经过点(2,1,3)--； (2) 经过原点及点0(1,3,2)P -，且与平面8z 2y x 4=+-垂直，(3) 通过z 轴和点(3,1,2)-五、空间直线及其方程1 .对称式方程: pz z n y y m x x 000-=-=-,直线过点),,(0000z y x M ,{,,}m n p 为方向向量，也称为点向式方程.2.参数式方程: ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=.,,000pt z z nt y y m t x x3.一般式方程: ⎩⎨⎧=+++=+++.0 ,022221111D z C y B x A D z C y B x A (直线看作是两个相交平面的交线)例8 求过),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 两点的直线方程．例9 求过点)4,2,0(且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程．例10 求过点)2,1,0(且与直线⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=t z t y t x 211垂直相交的直线方程.练习 化直线L 的一般式方程⎩⎨⎧=--+=++-032,012z y x z y x 为对称式和参数式方程．六、直线 平面之间的关系1. 平面间的关系：П１：01111=+++D z C y B x A ，П２：02222=+++D z C y B x A ．平面的夹角为α，212121),cos(cos n n n n n n ⋅⋅==∧αП１、П２ 相互垂直的充分必要条件是21n n ⊥，即0212121=++C C B B A A ． П１、П２ 相互平行的充分必要条件是21//n n ，即212121C C B B A A == 2. 直线间的关系：设21,s s 分别是直线Ｌ１，Ｌ２的方向向量， ),(21s s ∧=θ．两直线L １、L ２ 相互垂直的充分必要条件是21s s ⊥，两直线L １、L ２ 相互平行的充分必要条件是21//s s ．3. 平面与直线的关系：当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角.4. 通过空间直线可以作无穷多个平面，所有这些平面的集合称为过直线Ｌ的平面束． 设Ｌ为两平面П１和П２的交线，其方程为⎩⎨⎧=+++=+++.0 ,022221111D z C y B x A D z C y B x A 过直线Ｌ的平面束方程为0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ.例11 已知空间两点)2,1,3( ),1,2,1(21--M M ，求过1M 点且与直线21M M 垂直的平面方程．( 07332=++-z y x ．)例12 过点)2,1,3(-且通过直线12354z y x =+=-的平面的方程. 例13求过点)3,0,2(-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-01253,0742z y x z y x 垂直平面方程。
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
⾼等数学下册学习笔记第⼋章1到4节1向量1.1 线性运算向量的加法满⾜平⾏四边形法则，满⾜交换律和结合律向量的数乘满⾜结合律和分配率。
以上运算统称为向量的线性运算。
1.1.1 ⼀些定理设向量 a ≠0 则向量 b 平⾏于向量 a 的充分必要条件是存在唯⼀的实数 α 使得 b =αa 。
1.1.2 坐标变换利⽤空间直⾓坐标系可以把向量的线性运算转化为坐标变换。
设 a =a x i +a y j +a z k ,b =b x i +b y j +b z k ，那么利⽤向量的线性运算可以得到：a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k αa =(αa x )i +(αa y )j +(αa z )k于是向量的线性运算可以转化为坐标之间的线性运算。
同理，定理 1.1.1.1 也可以⽤坐标来表⽰，即在不考虑分母为 0 的条件下，若 a xb x=a yb y=a zb z，那么 a ,b 平⾏。
2 公式|r |=√x 2+y 2+z 2|AB |=(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2+(z 2−z 1)2向量与坐标轴的三个夹⾓的余弦值称为该向量的⽅向余弦。
(cos a ,cos b ,cos c )=(x |r |,y |r |,z |r |)=1|r |(x ,y ,z )=r|r |=e r ⇒cos 2a +cos 2b +cos 2c =1投影具有与坐标相同的性质。
投影是⼀个实数⽽⾮⼀个向量，代表那段投影向量的长度。
记作 Prj u r ,(r )u 。
向量的坐标分别是向量在三个坐标轴上的投影。
Prj u a =|a |cos α,(α为向量a 和u 轴的夹⾓)(a +b )u =(a )u +(b u )(xa )u =x (a )u1.2 数量积，向量积，混合积1.2.1 数量积a ·b =|a ||b |cos α=|a |(b )a =|b |(a )b a ·a =|a |2a ⊥b ⇔a ·b =0向量数量积满⾜交换律分配律，实数的结合律。
i.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、冇界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：⑴｛g）|20｝；⑵｛（心）| 1<X2+/<4｝；⑷{(x,y) I (x - I)2 + b G} U {(w) I(X + I)2 + 尸5 1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R2,边界：{(x,y)|尸0}.(2)既非开集乂非闭集，有界集，聚点集：{(x』)|l Wx\y2w4},边界：{(x,叨F+b=l} U {(x』)| xV=4}.(3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x』)[yWF}, 边界：{(¥』)|尸<}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其木身，边界:{(X^)|(X-1)24-/=1 } U {(x,y)|(x4-l)2+y=l}.2.己知f (x,y)= x2+y~-xy tan —,试求f(tx,ty).y解:f(tx,ty) = (tx)2 + (ty)2-tx-tytan— = t2f(x,y).3•已知/(u,v,w)= w u + 卜严' ,试求f(x + y,x-y,xy).解：Xx+y, x-y, xy）=（巧严+（砂严’心'=（x+）泸'+（初）4•求下列各函数的定义域：(l)z= ln(y2-2x+l)；(4) w = —j= 4- —j= + —j=；yjx y]y yjzz - \n(y一x) +u = arccos解：(l)n = {(x,y)|/-2x + l>0}.(2)Z) = {(x,jO|x + y〉0,x-y >0}.(3)D = {(x,y)\4x-y2>0,\-x2-y2>0,x2+y2 ^0}.(4) D = {(x』,z) | x > 0,y > 0,z > 0}.(5) D = {(x,y)ix>0,y> 0, x2 > y}.(6)Z) = {(x』)| y-x > 0,x > 0,x2+y2 < 1}.⑺D = {(x,y,z)|/ + 尸工0,兀? + 尹2 _么2 J。
