3-2一维单原子链

一维单原子链色散关系
一维单原子链色散关系：
1、什么是一维单原子链色散关系？
一维单原子链色散关系是在一维晶体中，由相互连接的单原子链构成的量子力学模型。

它是一种解释物理现象的理论模型。

这种模型通过一维的单原子链的局部性，分析描述物理事件的过程变化，并对单原子链的扩散作用建立一种零级理论。

2、一维单原子链色散关系的用途
一维单原子链色散关系可以帮助我们研究一维晶体中的物质传输。

它能够揭示物理现象当中的各种动力学特性，比如材料的热阻和黏度，分析能帮助我们更好的理解物质的变化和性质，对材料的制备和应用都有一定的帮助作用。

3、一维单原子链色散关系的应用
一维单原子链色散关系可以应用于电子传导、载波传导、热传导、磁学和开关器件等领域。

例如，在芯片出现故障时，可以利用这种模型来分析发生故障的原因，借助这种模型来实现对电路板的修复和测
试。

同样，磁记录器也可以利用一维单原子链色散关­系来调整自身的工作性能，提高记录的质量和效率。

4、一维单原子链色散关系的局限性
一维单原子链色散关系的局限性主要在于它只适用于一维晶体结构，无法用于模拟多原子晶体中的复杂物理现象。

另外，由于晶体表面厚度的影响，从某些特定角度来看，色散关系也有限制性，不能描述表面效应的精细结构。

一维单原子链推导
一维单原子链是指一维无限长的单原子链，其中原子质量为m，原子间距为a。

热运动使得原子离开平衡位置，假设第n个原子离开平衡位置的位移为μn，它相对于a是一个很小的量，第n个原子到第n+1个原子间相对位移为δ，则：$\delta=μn+1-μn$。

当原子m在平衡位置时，两个原子相互作用势为$V(a)$；相对位移为$\delta$时，两个原子相互作用势为$V(a+\delta)$。

将$V(a+\delta)$在平衡位置用泰勒级数展开，可得：$\cdots(21)(222=+++=aaδaδdrdVaVdrVddrdVaVaVrVδ$。

由于考虑的是微振动，即$\delta$很小，展开式可以近似保留到$\delta^2$项，可得：$10(\cdots)!(\cdots)!2)(\cdots)('\theta'\theta'\theta'\theta'\theta'\approx++++ +++2222\delta\delta\delta$。

只考虑最近邻原子间的相对位移的二次项对系统总势能的贡献，则总势能写为：$\cdots212)(μ221−−=≈∑nnnVμββδ$。

第n个原子所受的力为：$\cdots2(11+−−−−=−≈∂δ∂−=nnnnVfμμμββδβ$，其中β是相邻原子间准弹性力的力常数，它直接由两个原子间的相互作用势能所决定，$a$是两个原子间的平衡间距。

若只考虑最近邻原子间的相互作用，则作用在第n个原子上的力为来自左边弹簧的张力β$(μn-μn-1)$与来自右边弹簧的张力β$(μn+1-μn)$之和。

HUBEI UNIVERSITYCh3.2 一维单原子链31D monatomic chain 个原子的平衡位置为n x 个原子间的距离相对位移后，相互作用势能——平衡条件——振动很微弱很小，势能展式中只保留到——恢复力常数相邻原子间的作用力是正比于相对位移的弹性恢复力最近邻第n个原子的运动方程——每一个原子运动方程类似Ch3.2 一维单原子链5个原子的运动方程设方程组的解为：naq—第n个原子振动相位因子将试探解代入振动方程：Ch3.2 一维单原子链7无关，表明N 个方程都归结为同一个方程。

通连续介质中的机械波波数格波和连续介质波具有完全类似的形式, X-na 取值不同同原子之间有位相差，相邻原子位相差为aq 。

晶体中的格波波长Ch3.2 一维单原子链99⁄波矢的格波中，原子的振动完全相同的整数倍，所有原子的振动完全相同，这表可以限制在只需研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容4.玻恩－卡曼（Born-Karman ）周期性边界条件一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述——N 个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点——处理问题时考虑到环链的循环周期性——N 很大，原子运动近似为直线运动Ch3.2 一维单原子链11——第一布里渊区包含状态数,就有一个Ch3.2 一维单原子链13——频率是波数的偶函数色散关系——q 空间的周期——一维单原子晶体可以做低通滤波器只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减）长波极限情况 , ——连续介质的弹性模量和介质密度格波传播速度晶格可以看成是连续介质色散曲线开始偏离直线向下弯曲。

时，色散曲线变得平坦，格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致不同频率的格波传播速度不同Ch3.2 一维单原子链15——晶格可看作是连续介质个原子位移个原子总的位移Ch3.2 一维单原子链17原子坐标和简正坐标的变换线性变换系数——线性变换为么正变换为实数————N项独立的模式Ch3.2 一维单原子链19——哈密顿量代入得到晶格振动的总能量可以表示为N 个独立简谐振子的能量之和Ch3.2 一维单原子链21晶格振动的能量量子；或格波的能量量子的谐振模式对应不同种类的声子Ch3.2 一维单原子链23一维无限长原子链，m ，a ，β一维单原子晶格振动波矢的数目＝晶体的原胞数，原子链自由度。

第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2a一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系qv p ω=2.21∑=qqQ 221∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑••=qiqna q n t Q Nmt ,)e (1)(μ∑∑∑′−′−′=nq qinaq q .q ina q .,t Q t QN T )e ()e (21∑∑∑′+′−′=q nq q ina qq .q .,Nt Q t Q)(e1)()(21∑∑′−′′=q qqq qq t Qt Q,)()(21,..δ∑−=qqqt Qt Q)()(21..∑=qqqt Qt Q)()(21.*.)()(*t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示：势能∑−=qinaqq n eQ Nm 1μ∑−−−='')1('11q aq n i q n e QNm μ∑−−=nn n U 21)(21μμβ1(')'(')','1{[1]}()2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e emNβ−++==+−−∑∑}2{2∑−−−−=qiaq iaq qq e e Q Q mβ{1cos()}q qqQ Qaq mβ−=−∑代入上式，得：*{1cos()}qqqU Q Q aq mβ=−∑利用)}cos(1{22aq mq −=βω2*12q q q qU Q Q ω=∑2221∑=qq q Q U ω系统势能所以2221∑=qq q Q U ω哈密顿量2221()2q q qqH T U Q Q ω=+=+∑ ——系统复数形式的简正坐标ti q q q eA Nm Q ω=势能动能∑=qq Q T 221 1()[()()]2Q q a q ib q =+)]()([21)(*q ib q a q Q −=∑=qq Q T 2212221∑=qq q Q U ω∑>+=22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=222)]()([21q q q b q a U ω能量本征值qq n n qωε=)21(+=2()/exp()()2qq n q q n Q H ξϕωξ=−=本征态函数一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数。

一维单原子链费米半径费米半径是描述一维单原子链中费米子行为的一个重要概念。

在固体物理学中，费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子，中子等。

费米子遵循费米-狄拉克统计，根据泡利不相容原理，同一量子态最多只能容纳一个费米子。

费米半径则是描述费米子在动量空间中占据态密度的临界值，低于费米半径的态密度被称为占据态密度，高于费米半径的态密度被称为非占据态密度。

一维单原子链是一种理想化的模型系统，在实际物理体系中也具有一定的现实意义。

研究一维单原子链费米半径可以揭示费米子在一维结构中的特殊行为，对于理解低维系统的物理性质具有重要意义。

为了理解一维单原子链费米半径的概念和其物理意义，首先需要了解费米子的本质和费米-狄拉克统计方法。

费米子是半整数自旋粒子，其运动状态由哈密顿量描述。

费米子具有泡利不相容原理，该原理指出相同自旋的费米子之间不能处于同一量子态。

因此，费米子分布在动量空间中的态密度被分为占据态密度和非占据态密度。

费米子的动量分布由费米-狄拉克分布函数给出。

一维单原子链是一种理想化的模型系统，其由无限长的原子线依次排列而成。

在一维单原子链中，费米子受限于维度的约束，其态密度的形态将会与三维情况有所不同。

费米-狄拉克分布函数可以用来描述一维单原子链费米子的动量分布。

费米-狄拉克分布函数给出了费米子在不同动量处占据态密度的概率分布。

在一维单原子链中，费米子的能量和动量之间的关系由能带结构决定。

在低温下，费米子的动量分布将呈现两个尖峰，分别对应于占据态密度和非占据态密度。

费米半径的确定通过占据态密度和非占据态密度尖峰之间的交叉点得到。

费米半径对于理解一维单原子链中费米子的行为至关重要。

由于一维结构的约束，费米半径相较于三维情况更加复杂。

一维单原子链中费米半径的计算可以通过数值方法或理论推导得到。

在具体的一维单原子链模型中，费米半径可能会受到外界因素的影响，如温度、相互作用等。

研究一维单原子链费米半径的物理意义在于理解低维系统中的费米子行为。

一维单原子链
一维单原子链，是由单个原子组成的一条直线结构。

这样的结构
具有稳定性和强的原子间作用力，因此一维单原子链在纳米科学领域
中被广泛应用。

一维单原子链的材料种类多样，通常包括金属、半导体和氧化物等。

在制备一维单原子链时，需要使用类似于扫描隧道显微镜等高技
术仪器，将原子逐个逐个地排列在一起，制成精细的结构。

利用一维单原子链，可以制作出具有独特性能的纳米器件。

例如，在光学应用方面，可以通过改变单原子链的排列方式，来控制其吸收、反射和透射等特性，进而实现光学信息存储、光伏电池和量子计算等
方面的研究。

在电子学应用方面，一维单原子链可以用于制作高性能
电子器件，例如纳米电缆、纳米场效应晶体管和纳米传感器等。

此外，一维单原子链的制备也为物理学和化学学科的发展带来了
新的思想和方法。

例如，在材料科学和固体物理学领域，研究人员可
以利用单原子链构建的新型组织结构，来探索材料的独特性能和物理
行为；在化学领域，通过单原子链的构建，可以实现对反应过程的控
制和调节，从而开发新型化学反应催化剂等。

总的来说，一维单原子链的制备和应用具有非常广泛的前景和重
要的意义，对于人类社会的发展和科学技术的进步都将发挥重要的作用。

第九讲：晶体振动上一维单原子链简谐近似和简正坐标布拉伐晶格晶体中的格点表示原子的平衡位置，原子在格点附近作热振动，由于晶体内原子之间存在相互作用力，各个原子的振动不是孤立的，而是相互联系在一起的，因此在晶体中形成各种模式的波，称为格波。

只有当振动非常微弱时，原子间的相互作用可以认为是简谐的，非简谐的相互作用可以忽略，在简谐近似下，振动模式才是独立的。

由于晶体的平移对称性，振动模式所取的能量值不是连续的，而是分立的。

通常用一系列独立的简谐振子来描述这些独立的振动模，它们的能量量子称为声子。

势能和动能函数设简单晶格晶体包含N 个原子，平衡位置为R n ，偏离平衡位置的位移矢量为µn (t )，则原子的位置为()()R R n n n t t '=+µ。

将位移矢量µn (t )用分量表示，写成µi ( i = 1, 2, ..., 3N )。

N 个原子体系的势能函数可以在平衡位置附近展开成泰勒级数：⋅⋅⋅++ +=∑∑==j i N i N j i j i i i V V V V µµ∂µ∂µ∂µ∂µ∂03131,20021 (3-1) 下标0表示为在平衡位置时所具有的值。

可以设V 0 = 0，而且在平衡位置相互作用力为零：0 0=i V ∂µ∂ (3-2) 忽略二阶以上的非简谐项可得：j i N j i ji V V µµ∂µ∂µ∂031,221∑==(3-3) N 个原子体系的动能函数为：∑==Ni ii m T 31221µ(3-4)简正坐标 为了使问题简化，引入简正坐标N Q Q Q 321 , , ,⋅⋅⋅简正坐标和原子的位移坐标 µi 之间通过正交变换相互联系：∑==Nj jij i i Qa m 31µ (3-5)引入简正坐标后体系的势能函数和动能函数为：∑==Ni iQT 31221(3-6)∑==N i ii QV 312221ω (3-7)由于动能函数T 是正定的，根据线性代数的理论，总可以找到这样的正交变换，使势能函数和动能函数同时化为平方项之和。

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