1.指数式与对数式的运算与互化【例1】【2017全国卷I 】设x ,y ,z 为正数,且235x y z ==,则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x <<D ．325y x z <<【答案】D2.指数型与对数型函数的图象【例2】函数()lg 11x f x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭的大致图象是【答案】A【解析】由()2lg10f ==,可排除C 、D,由()13lg 02f =<,排除B,故选A ． 3.比较数与式的大小【例3】【2018年全国卷Ⅲ】设,则A ．B ．C ．D ．【答案】B4. 指数型与对数型函数的奇偶性【例4】【2015全国卷I 】若函数()(ln =+f x x x 为偶函数,则=a .【答案】1【解析】由题意可知函数(ln y x =是奇函数,所以(ln x ++(ln 0x -=,即 ()22ln ln 0a x x a +-==,解得1a =．5. 指数型与对数型函数的单调性及应用【例5】若113232b aa b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则A ．0a b ->B ．0a b -<C ．0a b +>D ．0a b +<【答案】C【解析】设()132x xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为3xy =是增函数,12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是增函数,由复合函数的性质可知()f x 是增函数.由113232b a a b ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得113322a ba b --⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()()f a f b >-,所以a b >- ,即0a b +>,故选C ．6. 指数型与对数型函数与方程问题的交汇【例6】【2018年全国卷I 】已知函数．若g （x ）存在2个零点,则a的取值范围是 A ．[–1,0） B ．[0,+∞） C ．[–1,+∞）D ．[1,+∞）【答案】C1.进行指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,运算时应注意以下几点：①必须同底数幂相乘（除）,指数才能相加（减）；②运算的先后顺序：有括号先算括号内的,无括号先进行指数的乘方、开方运算,再乘除,最后后加减；③当底数是负数时,先确定符号,把底数化为正数；④运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数．2.n：n a 的n 次方根,是一个恒有意义的式子,不受n 的奇偶性的限制,a ∈R ,但其值受n 的奇偶性的限制,当n 为大于1的奇数时a ,当n 为偶数时nn 次幂,当n 为奇数时,n=a ,a ∈R ,当n 为偶数时,n=()0a a ≥.3.下列关系式在指数幂的运算中经常用到：①()()22220,1且x xx x a a a a a a --±=+±>≠,②2111222x x x x --⎛⎫±=+± ⎪⎝⎭,③21111133333x x x x x x---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥±±=± ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,④()()211333x x x x x x ---⎡⎤±±=±⎢⎥⎣⎦,⑤()0,0a b a b -=>>.4.已知()f x =(0a >且1a ≠),则()()11f x f x +-=.5.判断一个函数是否是指数函数,只需判定是否符合xy a =(0a >且1a ≠)这一形式,即底数为不等于1的正数,指数只能是x ,x a 的系数为1,另外不要把指数函数与幂函数ay x =混淆,后者自变量x 在底数位置上.6.xy a = (0a >且1a ≠)的图象与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称.7.底数对指数函数的影响如图是指数函数(1)y ＝a x ,(2)y ＝b x ,(3)y ＝c x ,(4)y ＝d x 的图象,要比较底数a ,b ,c ,d 与1之间的大小,可作直线1x =,由直线1x =与四个图象交点的上下位置关系可得c >d >1>a >B ．由此我们还可得到以下规律：在第一象限内,指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高,底数越大．8.xy a =(0a >且1a ≠)的图象经过定点()0,1,x my an -=+的图象经过定点(),1m n +.9.指数函数()xf x a =的单调性取决于底数a 的大小,若1a >,指数函数()xf x a =单调递减；若01a <<,指数函数()xf x a =单调递减；若指数函数的底数a 为参数,解题时通常分01a <<和1a >进行分类讨论．10.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函 数,利用指数函数的单调性比较大小;当指数相同,底数不同时,常用作商法或利用函数图象比 较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值0,1比较,同时注意结合图像及特殊值. 对于 三个（或三个以上）数的大小比较,则应先根据值的大小对其分类,常将其分为三类：一 类是小于0的数,一类是大于0小于1的数,一类是大于1的数.11.指数型函数的图象,一般可由基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．如把x y a =(0a >且1a ≠)的图象经过平移、翻折、对称变换可得到(),0bx c x y a y a b b +==-≠的图象,注意()01,0bx cy aa ab +=>≠≠且的图象关于直线0bxc +=对称.12.形如若bx cy a +=(0a >且1a ≠,0b ≠)的函数的性质若()bx cf x a+=(0a >且1a ≠,0b ≠),则()f x 的定义域为(),-∞+∞,当1a >时()f x 在,c b ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是减函数,在,c b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数,()f x 的值域为[)1,+∞；当01a <<时()f x 在,c b ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是增函数,在,c b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,()f x 的值域为(]0,1. 13. 形如2bx cx dy a ++=(0a >且1a ≠,0b ≠)的函数的性质若()2bxcx df x a ++=(0a >且1a ≠,0b ≠),则()f x 的定义域为(),-∞+∞,当1a >时()f x 的单调性与2y bx cx d =++的单调性一致,当01a <<时()f x 的单调性与2y bx cx d =++的单调性相反；当1a b >⎧⎨>⎩或010a b <<⎧⎨<⎩时()f x 的值域为244,bd c b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭；当10a b >⎧⎨<⎩或010a b <<⎧⎨>⎩时()f x 的值域为2440,bd c ba -⎛⎤⎥ ⎥⎝⎦；()f x 的图象关于直线2cx b=-对称. 14.研究函数2xx y ab ac =+⋅+的性质通常采用换元法转化为二次函数进行研究.换元时,应注意确定新元的范围,以达到等价转化的目的,避免失误.求与指数函数有关的函数的定义域时,首先观察是()x y f a =型,还是()f x y a=型,前者的定义域受()f x 的定义域的影响,后者的定义域与()f x 的定义域相同,而求y =型的定义域时,往往转化为解指数不等式(组).15.给出函数定义域与值域的关系求参数的取值或取值范围,通常是先确定所给函数的单调性,然后根据函数单调性列出关于参数的方程或不等式,通过解方程或不等式(组)求参数的值或取值范围. 16.指数型函数的奇偶性是高考考查的一个热点,且常以以下函数为生长点：,xxy a a -=+,111,,112x xxx xa y a a y y a a --=-==++- (a >0且a ≠1). 17.一般地,如果b a ＝N (a >0,且a ≠1),那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b ＝log a N ,其中a 叫做对数的底数,N叫做真数．a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,它不仅体现了两者之间的相互关系,而且为对数的计算、化简、证明等问题提供了更多的解题途径.log a Na＝N (a >0,且a ≠1).18.如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．在运算性质log a M n ＝n log a M 中,要特别注意条件,在无M >0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N ＋,且n 为偶数)．对数式的化简、求值问题,要注意对数运算性质的逆向运用,如：当0,0M N >>时,log log log a a a M N MN +=,其中a >0且a ≠1.19.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常用到换底公式及其推论. 对数的换底公式：log a b ＝log c blog c a(a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0)．换底公式的两个重要结论：(1)log a b ＝1log b a ；(2)log log .m n a a n b b m=其中a >0且a ≠1,b >0且b ≠1,m ,n ∈R .20.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(3)对于含指数式的等式,有时通过两边取对数,可以把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改编或能简化运算,或能改变运算式子的结构,从而有利于寻找解题思路.21.y ＝log a x (a ＞0,且a ≠1)的图象过定点()1,0对称,作y ＝log a x (a ＞0,且a ≠1)的图象应抓住三个关键点⎝⎛⎭⎫1a ，－1,(1,0),(a ,1)．log a y x =的图象与1log ay x =的图象关于x 轴对称；log a y x =的图象与()log a y x =-的图象关于y 轴对称.22.多个对数函数图象比较底数大小的问题,可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．如图,作直线y ＝1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <B ．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．23.比较对数式大小的类型及相应的方法：①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较．③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较．24.若a ＞0,且a ≠1,则()()log 0110a b a b >⇔-->,()()log 0110a b a b <⇔--<.25.一些简单的对数不等式,一般先利用对数的运算性质化为同底数的对数值,再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解,一些含有对数式的不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.具体做法是：对不等式变形,不等号两边对应两个函数．在同一坐标系下作出两个函数的图象,比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数,来确定参数的取值或解的情况.26.指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．27.作一些复杂函数的图象,首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象,通过平移、对称、翻折等方法,得出所求函数的图象．28.对于形如()log a y bx c =+( a >0,a ≠1,0b ≠)的函数,高考考查重点是其图象的应用及根据函数在给定区间上的单调性,求参数取值范围,对于后一类问题,一定要注意定义域优先原则.对于形如()2log a y bx cx d =++的函数,要求会求该类函数的定义域、值域及单调区间.其中判断该类函数单调性的步骤为：1.求定义域2.判断对数函数的底数与1的关系,当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时,要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论．3.判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调.29.对数型函数的奇偶性是高考的一个热点,高考考查时常以以下几类函数为载体：log a b x y b x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,)log ay mx =+,()2ln 1e x y x =+-.1．【2018山东日照高三校际联考】若满足,则A ．B ．C ．D ．2．【2018浙江杭州高三第二次教学质量检测】设为自然对数的底数.若,则A ．B ．C ．D ．3．【2018湖南张家界高三第三次模拟】已知关于x 的不等式()22e 1e x x m x x -+≥在(],0-∞上恒成立,则实数m 的取值范围为 A ．[)1,-+∞B ．[)0,+∞C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．【2018安徽安庆二模】函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．5．【2018河南信阳联考】如图,点O 为坐标原点,点()1,1A .若函数(0,xy a a =>且1)a ≠及log (0,b y x b =>且1)b ≠的图像与线段OA 分别交于,,M N 且,,M N 恰好是OA 的两个三等分点,则,a b 满足A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>6．【2018河南省商丘模拟】已知()()ln 1f x x =-,设75a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭, ()4b f =, 32c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>7．【2018湖北省黄冈中学三模】已知函数,若,则 A ． B ． C ．D ．8．【2018山东威海二模】设均为小于1的正数,且,则A ．B ．C ．D ．9．【2018云南省昆明模拟】函数与函数的图象关于直线对称,则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是A ．B ．C ．D ．10．【2018山西运城高三模拟】已知函数,则使得f (2x )>f (x +3) 成立的x 的取值范围是A ．(-1,3)B ．C ．D ．11．【2018重庆市綦江区5月预测】已知函数,函数有四个不同的零点,且满足：, 则的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．【2018福建省三明高中联盟校段考】设p ： 51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使()()2lg 44f x a x x =+-有意义.若p ⌝为假命题,则实数a 的取值范围是______________.13．【2018年佛山市普通高中高三教学质量检测】若使得10101017n-⎛⎫< ⎪⎝⎭成立的最小整数44n =,则使得4171010m⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的最小整数m =__________． 14．【2018四川省高三“联测促改”活动】已知()93xxf x t =-⋅, ()2121x x g x -=+,若存在实数a , b 同时满足()()0g a g b +=和()()0f a f b +=,则实数t 的取值范围是__________．2.【答案】C 【解析】不妨令,代入得,则,故选C ．3.【答案】C【解析】由原不等式等价于()221e 10x mx mx --+≥,若0m =时,不等式成立,若0m ≠时,可令()()221e 1x f x mx mx =--+,则()()221e x f x mx m =--',又e 0x y =>,且为单调递增函数,构造函数()221g x mx m =--,则()g x 在()0-∞，的最值为()021g m =--,当0m >时,易知()g x 在()0-∞，上递减,此时()f x 为减函数,不等式成立,当0m <时,且210m --≤,即102m -≤<,满足不等式,综合得m 的范围为12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. 4.【答案】C故选C ．6.【答案】C【解析】()()ln 1f x x =-的图象关于x 1=轴对称,且在()1∞+，上单调递增, 又731452<<<∴()73 452f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C ．7.【答案】C 【解析】先判断函数的单调性,时,,所以函数,在为增函数,通过平移可得,在为增函数,作出与的图象,,可得,故,故选C ．8.【答案】B 【解析】设=m,因为均为小于1的正数,所以m ＜0,所以所以所以,同理,故选为B ．9.【答案】A 【解析】∵函数与函数的图像关于直线对称∴当时,对数函数在上是增函数,且二次函数的对称轴为正数,则二次函数的图象开口向上,过坐标原点；当时,对数函数在上是减函数,且二次函数开口向下,过原点.综上,图象可能是A ．故选A ．11.【答案】B【解析】,由二次函数的对称性可得由可得,函数有四个不同的零点,等价于的图象与的图象有四个不同的交点,画出的图象与的图象,由图可得,∴∴=令,∴,故选B ．12.【答案】()1,-+∞【解析】根据题意,由p ⌝为假命题,则p 为真命题,即51,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使2440ax x +->成立, 若0a >,则()41{ 210a f -≤>或4522{ 502a f -≥⎛⎫> ⎪⎝⎭,解得0a >；若0a =,则当51,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,总有440x ->成立； 若0a <,则24160{ 12512a a a ∆=+>⇒>-<-<,即10a -<<.综上得,所求实数a 的取值范围为()1,-+∞.14.【答案】[)1+∞，【解析】∵()()211221=211221x x x x x x g x g x ------==-=-+++,∴函数()g x 为奇函数,又()()0g a g b +=,∴a b =-． ∴()()()()0f a f b f a f a +=+-=有解,即93930aaaat t ---⋅+-⋅=有解,即9933a aa at --+=+有解． 令()332aam m -=+≥,则2992233a a a am m m m--+-==-+, ∵()2m m mϕ=-在[)2,+∞上单调递增,∴()()21m ϕϕ≥=． ∴1t ≥．故实数t 的取值范围是[)1,+∞．。
