一道变质量问题的求解
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第２ ９卷 总 第 ４ ６期 ０
物
理Байду номын сангаас
教
学
探
讨
Ｖ０． ９ Ｎｏ ４ ６ １２ ．０
（ ） ２ ０１ ．３ Ｓ ．２ １ ９
２１ ０ １年 第 ２期 （ 上半 月）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐｈ ｓｃ Ｔｅ ｃ ｉ ｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｙ ｉｓ ａｈｎ
一
道 变 质 量 问题 的 求 解
Ｍ －ｖ ｄ
＝
方法二 ： 用变质量 物体的动力 学方程 — — 密
舍尔斯基 方程 ， 取 已落在 地 面 上 的那 部分 绳 子 可 作为主体 ， 不断加入 的部分作 为其 附加物 。 方 法三 ： 用质心 运 动定 理 ， 全 部 绳 子 看作 把
ｄｔ
（ － ｖ ｕ－ ）
＋ Ｆ
ｄｔ
常可用 以下方 法 求解 ， 量定 理 、 动 变质 量 物 体 的
动力学方程 —— 密 舍 尔斯 基 方程 、 心 运 动 定 质 理 。 以一 个竞赛 题 的求 解 为例 ： 现 题 目 如图 １ 所示 ， 为 长 Ｚ 的均匀 铁链 质 量 为 ， ， 端 一 被提 起 ， 另一 端 恰 好 触 地 ， 但 无 作 用 力 。 从 静 止 开 始 释 设 放 ， 铁链 落地后 不弹起 。 且
上， 接着在 ｄ 时间 内又有 ｄ ￡ ｘ的一 小段 绳 子 以速
ｄｒ ：
一 一 一
・
度
下 落到 地 面 上 ， 落地 后 其 速 度 变
＝
（ — ） Ｚ ｇ＋ Ａ 。 ｕ （ — ｚ） Ｚ ｇ＋ ２ Ｚ ｚ） （ — ｇ
３ Ｚ— ｚ） 。 ２（ ｇ
为零 ， 故其 动 量 改 变 了 Ａ ｘ ￣２ （ — ｚ ， 中 ｄ ／ｇ ｚ ）式
２ ｇ（ — ｚ） ２ Ｚ 。
地面对 已落 下 的（ 一卫 Ｚ ）段绳 子 的支持 力设 为 Ｎ２则 Ｎ２ ２ （ 一 ｚ ， ， — ｇ１ ）
故 总支持 力为 ：
Ｎ — Ｎ１＋ Ｎ２＝ ３ ｇ（ — ｚ） ２ Ｚ 。
方法 二 ： 用密 舍尔 斯基方 程
如图 １ 所示 ， 设在 某 时刻 ｔ 已有 长 为（ —ｚ ， ｚ ） 的 一 段 绳 子 落 在 地 面 上 ， 它 作 为 主体 ， 质 把 其
Ｆ 一 一 （ — ） Ｚ ｇ＋ Ｎ
方法 一 ： 动量 定 理 ， 中 任 意 小 质元 的落 用 绳
地速度 为其 自由下落 的速 度 ， 落地后 的速度 变 为
在 ｄ 时 间 内有 质量 为 ｄ 的绳子 （ ￡ Ｍ 附加 物） 加入 主体 ， 附加 物加入 主体 前 的速度 为 ：
把前 三式代 入 密舍 尔斯基方 程 ， 得
。一 一 ２（ ／一 ） ｇ＋ Ｎ
质点 系 ， 其质 心的运 动取 决 于所受 重力 。
解 方 法一 ： 动量定 理 用
故地 面支 持力 Ｎ 为 ：
Ｎ １ １ ｚ） － ｕ ｄ 一 （一 ｇ－ Ｍ
设 已有 长 为 （ 一 ｚ １ ）的 一 段 绳 子 落 在 地 面
量为：
Ｍ （）＝ （ — ｚ） Ｚ
试证 明 ： 下落 过程 中铁 链
对 地的作 用 力 等 于 已 落 地 那
段链 条 的重 力 的三倍 。
分 析
法。
这段 绳子 的速度 为 ｕ （）一 ０ 。
本 题 有 多 种 解
这 段绳 子（ 体） 受外力 Ｆ为重力 一 ｚ 主 所 （— ｘ ｇ及 地面 支持 力 Ｎ 的合力 ， ） 即
张 雄
重 庆 垫 江 中学 ， 庆 市 垫 江 区 ４ ８ ０ 重 ０ ３０
在 中学 物 理 竞 赛 中 ， 我们 常遇 到有 关 变 质
绳子动量的改变 等于它在 ｄ ￡时 间 内所 受 的 冲
量 问题 的求 解 。 于这 一 类 题 目， 多 同 学会 利 对 很
用机械 能守 恒定 律 求解 。 际 上 ， 这 个 问题 中 实 在 由于研 究对象 的质 量在 改变 ， 并且 在变化 的过程
２１ ０ １年 第 ２期 （ 半 月） 上
具有向Ｔ，速度的物体一定处于失重状态吗？ ￣ Ｊ ｎ
骆 少 科
合 川 中学 ， 庆 市 合 川 区 ４ １ ２ 重 ０ ５０
高一物 理教材 （ 人教 版 ） 三章第 七节 ，超 第 《 重与失 重》中讲到 ： 降机 以 “一 ０ ５ ｓ 升 ． ｍ／ 的加 速 度 匀 加 速 下 降 ， 在 升 降 机 里 的 人 质 量 为 站
５ｋ ， 人 对 升 降 机 地 板 的 压 力 为 多 大 ？ ０ｇ问
例 乘坐 的 翻滚过 山车 通过环 形轨道 的最 高点 时 ， 人是 处于 超重 还是 失重状 态 ？ 解 过 山车通 过 轨 道 最 高 点 时 ， 受重 力 人
Ｇ和座椅 的压力 Ｆ 作 用 ，
分析 在升 降 机 中 的人 受 到两 个 力 作 用 ： 重力 Ｇ和地 板对其 的支持 力 Ｆ， 人在 Ｇ和 Ｆ的合 力作用下 ， “＝ ０ ５ ｓ 以 ． ｍ／ 的加 速度 竖直 向下运 动。 取竖直 向下为 正 ， 由牛顿第 二定 律得 ：
ｄ ｘ
乱 一
＝ 一
零 ， 动量 的 改变 等 于地 面 给 予 的 冲量 。 其 由此 得 出的地 面 冲力 的反 作 用力 即是 该 质 元 对 地 面 的
压力 ， 再加 上 已 落在 地 面部 分 绳 子 的重 力 ， 是 就 地 面所受 的总压力 。
√
用 密舍尔斯 基 方程 ，
是绳 子质 量 的线 密度 。 由动 量定 理 知 ， 一小 段 这
一
＝
Ｖｏ． ９ Ｎｏ ４ ６ １２ ．０
（ ） ２ ２ １ ．， Ｓ ． Ｏ １ ｉ Ｏ．
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探
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第 ２ ９卷 总 第 ４ ６期 ０
Ｊ ｒ ａ ｏ Ｐｈ ｓｃ Ｔｅ ｃ ｉｇ ｏｕ ｎ ｌ ｆ ｙ ｉｓ ａ ｈｎ
量 。 Ｎ。 地 面对 ｄ 设 是 段 绳子 的支持力 ， 则有
ｄ ，２ （ — ｚ ｚ ／ｇ Ｚ ）一 Ｎｌｔ ｄ，
中相当于很 多完全 非弹 性碰撞 ， 系要 损失 部 分 体
能量 ， 因此 整个过程 机械 能不 守恒 。 此类题 目， 对
故 Ｎ＝ ： ＝
：＝ ：
＝
警
￣
／ ｇ（ 一 ） ，２ １ ｚ） ２ １ ／ ｇ（ 一
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道 变 质 量 问题 的 求 解
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方法二 ： 用变质量 物体的动力 学方程 — — 密
舍尔斯基 方程 ， 取 已落在 地 面 上 的那 部分 绳 子 可 作为主体 ， 不断加入 的部分作 为其 附加物 。 方 法三 ： 用质心 运 动定 理 ， 全 部 绳 子 看作 把
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常可用 以下方 法 求解 ， 量定 理 、 动 变质 量 物 体 的
动力学方程 —— 密 舍 尔斯 基 方程 、 心 运 动 定 质 理 。 以一 个竞赛 题 的求 解 为例 ： 现 题 目 如图 １ 所示 ， 为 长 Ｚ 的均匀 铁链 质 量 为 ， ， 端 一 被提 起 ， 另一 端 恰 好 触 地 ， 但 无 作 用 力 。 从 静 止 开 始 释 设 放 ， 铁链 落地后 不弹起 。 且
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为零 ， 故其 动 量 改 变 了 Ａ ｘ ￣２ （ — ｚ ， 中 ｄ ／ｇ ｚ ）式
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地面对 已落 下 的（ 一卫 Ｚ ）段绳 子 的支持 力设 为 Ｎ２则 Ｎ２ ２ （ 一 ｚ ， ， — ｇ１ ）
故 总支持 力为 ：
Ｎ — Ｎ１＋ Ｎ２＝ ３ ｇ（ — ｚ） ２ Ｚ 。
方法 二 ： 用密 舍尔 斯基方 程
如图 １ 所示 ， 设在 某 时刻 ｔ 已有 长 为（ —ｚ ， ｚ ） 的 一 段 绳 子 落 在 地 面 上 ， 它 作 为 主体 ， 质 把 其
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方法 一 ： 动量 定 理 ， 中 任 意 小 质元 的落 用 绳
地速度 为其 自由下落 的速 度 ， 落地后 的速度 变 为
在 ｄ 时 间 内有 质量 为 ｄ 的绳子 （ ￡ Ｍ 附加 物） 加入 主体 ， 附加 物加入 主体 前 的速度 为 ：
把前 三式代 入 密舍 尔斯基方 程 ， 得
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质点 系 ， 其质 心的运 动取 决 于所受 重力 。
解 方 法一 ： 动量定 理 用
故地 面支 持力 Ｎ 为 ：
Ｎ １ １ ｚ） － ｕ ｄ 一 （一 ｇ－ Ｍ
设 已有 长 为 （ 一 ｚ １ ）的 一 段 绳 子 落 在 地 面
量为：
Ｍ （）＝ （ — ｚ） Ｚ
试证 明 ： 下落 过程 中铁 链
对 地的作 用 力 等 于 已 落 地 那
段链 条 的重 力 的三倍 。
分 析
法。
这段 绳子 的速度 为 ｕ （）一 ０ 。
本 题 有 多 种 解
这 段绳 子（ 体） 受外力 Ｆ为重力 一 ｚ 主 所 （— ｘ ｇ及 地面 支持 力 Ｎ 的合力 ， ） 即
张 雄
重 庆 垫 江 中学 ， 庆 市 垫 江 区 ４ ８ ０ 重 ０ ３０
在 中学 物 理 竞 赛 中 ， 我们 常遇 到有 关 变 质
绳子动量的改变 等于它在 ｄ ￡时 间 内所 受 的 冲
量 问题 的求 解 。 于这 一 类 题 目， 多 同 学会 利 对 很
用机械 能守 恒定 律 求解 。 际 上 ， 这 个 问题 中 实 在 由于研 究对象 的质 量在 改变 ， 并且 在变化 的过程
２１ ０ １年 第 ２期 （ 半 月） 上
具有向Ｔ，速度的物体一定处于失重状态吗？ ￣ Ｊ ｎ
骆 少 科
合 川 中学 ， 庆 市 合 川 区 ４ １ ２ 重 ０ ５０
高一物 理教材 （ 人教 版 ） 三章第 七节 ，超 第 《 重与失 重》中讲到 ： 降机 以 “一 ０ ５ ｓ 升 ． ｍ／ 的加 速 度 匀 加 速 下 降 ， 在 升 降 机 里 的 人 质 量 为 站
５ｋ ， 人 对 升 降 机 地 板 的 压 力 为 多 大 ？ ０ｇ问
例 乘坐 的 翻滚过 山车 通过环 形轨道 的最 高点 时 ， 人是 处于 超重 还是 失重状 态 ？ 解 过 山车通 过 轨 道 最 高 点 时 ， 受重 力 人
Ｇ和座椅 的压力 Ｆ 作 用 ，
分析 在升 降 机 中 的人 受 到两 个 力 作 用 ： 重力 Ｇ和地 板对其 的支持 力 Ｆ， 人在 Ｇ和 Ｆ的合 力作用下 ， “＝ ０ ５ ｓ 以 ． ｍ／ 的加 速度 竖直 向下运 动。 取竖直 向下为 正 ， 由牛顿第 二定 律得 ：
ｄ ｘ
乱 一
＝ 一
零 ， 动量 的 改变 等 于地 面 给 予 的 冲量 。 其 由此 得 出的地 面 冲力 的反 作 用力 即是 该 质 元 对 地 面 的
压力 ， 再加 上 已 落在 地 面部 分 绳 子 的重 力 ， 是 就 地 面所受 的总压力 。
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用 密舍尔斯 基 方程 ，
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Ｖｏ． ９ Ｎｏ ４ ６ １２ ．０
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故 Ｎ＝ ： ＝
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