高一数学必修一函数的定义 域和值域

高一值域和定义域的知识点高一数学知识点：值域和定义域解析数学中的值域和定义域是一项基本概念，特别在高一的课程中，这两个概念被频繁地引用和运用。

理解和掌握这些概念，对于高一学生来说是至关重要的。

一、定义域的概念与运用1.1 定义域的定义在函数的定义中，值域和定义域是两个至关重要的概念。

首先，定义域指的是自变量的取值范围。

也就是说，在一个函数中，自变量可以取到的所有可能值形成的集合就是该函数的定义域。

例如，在函数 y = 2x + 3 中，自变量 x 可以取到任何实数的值，所以定义域是整个实数集R。

1.2 定义域的限制在实际问题中，有时候函数并不适用于所有的自变量取值范围。

例如，对于一个表示温度的函数而言，可能只适用于自变量为正数的情况，因为负温度在实际生活中并没有意义。

所以，在这种情况下，定义域就需要做出相应的限制。

例如，函数y = √x 的定义域就是非负实数集[0, +∞)。

1.3 定义域的确定方法确定一个函数的定义域，首先要注意函数中不能出现负号下的奇次根号，因为这样的根无法在实数范围内取得。

其次，要注意有分数形式的分母，不能等于零，因为除数不能为零。

最后，要留意任何其他潜在的限制条件，如有意义性等。

二、值域的概念与运用2.1 值域的定义与定义域类似，值域也是函数的一个重要概念。

值域指的是函数的因变量所能取到的所有可能值所形成的集合。

例如，在函数 y = 2x + 3 中，对于任何实数的自变量 x ，函数的值域都是整个实数集R。

2.2 值域的限制对于某些函数而言，其值域可能受到一些限制。

例如，函数 y = x^2 的值域就是非负实数集[0, +∞)，因为平方的结果永远不会是负数。

在寻找函数的值域时，我们需要考虑是不是有潜在的限制条件。

2.3 值域的确定方法确定一个函数的值域，可以通过图像分析和数学推导等多种方法。

对于某些函数而言，我们可以通过观察函数的图像，来判断函数的值域。

例如，当一个函数的图像形状是一个开口向上的抛物线时，我们就可以确定其值域是非负实数集。

函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 （2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零； ☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。

（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。

例1．函数()4xf x -=的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()4xf x -=的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D 例2．函数2211y x x =-+-的定义域为( )A. {|11}x x x ≥≤-或B. {|11}x x -≤≤C. {1}D. {-1,1}【答案】D 【解析】函数2211y x x =-+-可知: 2210{ 10x x -≥-≥,解得： 1x =±. 函数2211y x x =-+-的定义域为{-1,1}.故选D.例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2113x -≤-≤，故函数f (x )的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f xg x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤， 所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 【答案】A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数212y x x =+-的定义域为___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。

第2课时函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝25－x 2＋lg cos x ；(3)y ＝x －12x －log 2(4－x 2)；(4)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解(1)－|x |≠0，2－1≥0，≠±2，≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x≠±2}．(2)－x 2≥0，x >0，5≤x ≤5，k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为－5，－32π－π2，5.(3)0，>0，解得－2<x <0或1≤x <2，∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．(4)0.5(x －2)>0，x－5≠0x <3，≠52，∴思维升华(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．函数的值域例1(2019·长沙月考)求下列函数的值域：(1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；(2)y ＝2x ＋1x －3；(3)y ＝2x －x －1；(4)y ＝x ＋1＋x －1.解(1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．(3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为158，＋∞(4)函数的定义域为[1，＋∞)，∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数，∴当x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．结合本例(4)求函数y＝x＋1－x－1的值域．解函数的定义域为[1，＋∞)，y＝x＋1－x－1＝2x＋1＋x－1，由本例(4)知函数y＝x＋1＋x－1的值域为[2，＋∞)，∴0<1x＋1＋x－1≤22，∴0<2x＋1＋x－1≤2，∴函数的值域为(0，2]．思维升华求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．跟踪训练1求下列函数的值域：(1)y＝1－x21＋x2；(2)y＝x＋41－x；(3)y＝2x2－x＋12x－1x>1 2解(1)方法一y＝1－x21＋x2＝－1＋21＋x2，因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2.所以－1<－1＋21＋x2≤1.即函数的值域为(－1,1]．方法二由y＝1－x21＋x2，得x2＝1－y1＋y.因为x2≥0，所以1－y1＋y≥0.所以－1<y≤1，即函数的值域为(－1,1]．(2)设t＝1－x，t≥0，则x＝1－t2，所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]．(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为2＋12，＋定义域与值域的应用例2(1)(2020·广州模拟)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，<0，＋2＝－b ，×2＝ba ，＝－32，＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．思维升华已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2(1)若函数f (x )＝ax －2021在[2021，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围为________．答案[1，＋∞)解析由于函数f (x )＝ax －2021在[2021，＋∞)上有意义，即ax －2021≥0在[2021，＋∞)上恒成立，即a ≥2021x在[2021，＋∞)上恒成立，而0<2021x≤1，故a ≥1.(2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b >1)，则实数b ＝________.答案3解析f (x )＝12(x －1)2＋1，x ∈[1，b ]且b >1，则f (1)＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1，∵f (x )在[1，b ]上为增函数，∴函数值域为1，12(b －1)2＋1.由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍)．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．一、抽象函数的函数值例1(1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________.答案12解析因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12.(2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f f f (π)＝－1，则f (0)＝________.答案1解析令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2(1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案1解析由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0)．∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12.(2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________．答案[2，4]解析对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．1．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为()B ．(2，＋∞)(2，＋∞)，12∪[2，＋∞)解析由题意可知x 满足(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求(2，＋∞)．2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为()A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e x D ．y ＝sin x x答案D 解析因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}，故D 正确．3．函数y ＝x －1＋1的值域为()A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)答案D解析函数y ＝x －1＋1，定义域为[1，＋∞)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x ＝1时，该函数取得最小值1，故函数y ＝x －1＋1的值域为[1，＋∞)．4．(2019·衡水中学调研)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为()A ．(－1,0)∪(0,1]B ．(－1,1]C ．(－4，－1)D ．(－4,0)∪(0,1]答案A解析要使函数f (x )x 2－3x ＋4≥0，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤1，故选A.5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32，故选B.6．(2019·佛山模拟)函数f (x )＝3x3x ＋2x的值域为()A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1]D ．(0,1)答案D解析f (x )＝3x3x ＋2x＝11，>0，∴1>1，∴0<11<1.7．(多选)下列函数中值域为R 的有()A ．f (x )＝3x －1B ．f (x )＝lg(x 2－2)C ．f (x )2，0≤x ≤2x ，x >2D ．f (x )＝x 3－1答案ABD解析A 项，f (x )＝3x －1为增函数，函数的值域为R ，满足条件；B 项，由x 2－2＞0得x ＞2或x ＜－2，此时f (x )＝lg(x 2－2)的值域为R ，满足条件；C 项，f (x )2，0≤x ≤2，x ，x >2，当x ＞2时，f (x )＝2x ＞4，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2∈[0,4]，所以f (x )≥0，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件；D 项，f (x )＝x 3－1是增函数，函数的值域为R ，满足条件．8．(多选)若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，则实数m 的值可能为()A ．2B ．3C ．4D ．5解析函数y ＝x 2－4x －4的对称轴方程为x ＝2，当0≤m ≤2时，函数在[0，m ]上单调递减，x ＝0时，取最大值－4，x ＝m 时，有最小值m 2－4m －4＝－8，解得m ＝2.则当m ＞2时，最小值为－8，而f (0)＝－4，由对称性可知，m ≤4.∴实数m 的值可能为2,3,4.9．(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．答案[－1,7]解析要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1,7]．10．函数f (x )＝3x ＋2x ，x ∈[1,2]的值域为________．答案[5,7]解析令g (x )＝3x ＋2x＝x >0，易证g (x )在23，＋∴f (x )在[1,2]上为增函数，从而得f (x )的值域为[5,7]．11．(2020·石家庄模拟)若函数f (x )＝x －2＋2x ，则f (x )的定义域是________，值域是________．答案[2，＋∞)[4，＋∞)解析x －2≥0⇒x ≥2，所以函数f (x )的定义域是[2，＋∞)；因为函数y ＝x －2，y ＝2x 都是[2，＋∞)上的单调递增函数，故函数f (x )＝x －2＋2x 也是[2，＋∞)上的单调递增函数，所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (2)＝4，故函数f (x )＝x －2＋2x 的值域为[4，＋∞)．12．函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x >1)的值域为________．答案[26＋4，＋∞)解析令x －1＝t >0，∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t ＋4≥26＋4，当且仅当t ＝6t即t ＝6时等号成立．∴函数的值域为[26＋4，＋∞)．13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是()A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案A解析函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，要使函数g (x )有意义，≤2x ≤2，－1≠0，解得0≤x <1，故选A.14．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________．答案[－2,0]∪(4,60]解析由题意知，f (x )x －4，x ∈[1，2]，3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．15．已知函数f (x )x 2＋2x ，0≤x ≤5，，a ≤x <0的值域为[－15,1]，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2,0)C ．[－2，－1]D ．{－2}答案B解析当0≤x ≤5时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，所以－15≤f (x )≤1；当a ≤x <0时，f (x )＝1－为增函数，所以1－a ≤f (x )<0，因为f (x )的值域为[－15,1]，所以≥－15，<0，故－2≤a <0，故选B.16．(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y ＝x 2，x ∈[1,2]与函数y ＝x 2，x ∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是()A ．y ＝[x ]([x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.1]＝0)B ．y ＝x ＋x ＋1C ．y ＝1x－log 3x D ．y ＝|x ＋1x ＋1|答案AD 解析根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调．对于选项A ，y ＝[x ]，定义域为R ，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A 可以构造“同值函数”；对于选项B ，y ＝x ＋x ＋1，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B 不可以构造“同值函数”；对于选项C ，y ＝1x－log 3x ，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C 不可以构造“同值函数”；对于选项D ，y ＝|x ＋1x ＋1|，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D 可以构造“同值函数”．所以能够被用来构造“同值函数”的是A ，D.。

高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。

解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。

故得：2()1,1f x x x x =-+≠。

说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。

2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。

（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。

【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。

函数的值域与表示知识集结知识元常见的求函数值域类型知识讲解一、定义函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．二、求函数值域的常用方法（1）公式法：适用于一次函数、二次函数、反比例函数及以后要学的基本初等函数，形如（且分式不可约）的值域为.（2）图象法：适用于能画出图象的函数，如，.（3）不等式性质法（包含观察法、配方法、分离常数法、有界法）：适用于解析式中只出现“一个”或通过变形化成只能出现“一个”函数，如：，等.（4）换元法：适用于无理式中含有自变量的函数，如等.（5）判别式：适用于形如（，不全为零且分式不可约）的函数.（6）方程思想（包括判别式法、反解法）：适用于可解出的解析式函数，如等.例题精讲常见的求函数值域类型例1.函数f（x）＝x＋1，x∈{﹣1，1，2}的值域是（）A．0，2，3B．0≤y≤3C．{0，2，3}D．[0，3]例2.函数y＝的定义域是（﹣∞，1）∪[2，5），则其值域是（）A．（﹣∞，0）∪（，2]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）∪[2，＋∞）D．（0，＋∞）例3.函数y＝的值域是（）A．（﹣∞，1）∪（1，＋∞）B．（﹣∞，0）∪（0，＋∞）C．（﹣∞，）∪（，＋∞）D．（﹣∞，）∪（，＋∞）例4.函数的值域是．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的值域”的题目补充.例题精讲备选题库例1.函的值域是（）A．R B．[-1，1]C．{-1，1}D．{-1，0，1}例2.函数y=的值域是（）A．[0，+∞）B．[0，4]C．[0，4）D．（0，4）例3.函数的值域为（）A．[-1，+∞）B．[0，+∞）C．（-1，+∞）D．（0，+∞）例4.已知，则函数f（x）=log2x的值域是（）A．[-3，-2]B．[-2，3]C．[-3，3]D．[-2，2]例5.函数y=2+1的值域为（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．例6.已知函数f（x）=-，则函数f（x）的值域为（）A．[-3，0]B．[0，3]C．[-3，3]D．[3，12]例7.下列哪个函数的定义域与函数f（x）=（）x的值域相同（）A．y=|x|B．y=C．y=x+D．y=lnx例8.定义函数f（x）={x∙{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.5}=2，{-2.5}=-2，当x∈（0，n]，n∈N*时，函数f（x）的值域为A n，记集合A n中元素的个数为a n，则a n=（）A．n B．C．D．图象法知识讲解1.图象法在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法．2.函数图象的作法步骤①列表；②.描点；③.连线．注意：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）例题精讲图象法例1.若a＋b＝0，则直线y＝ax＋b的图象可能是（）A．B．C．D．例2.若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是（）A．B．C．D．例3.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点例4.已知函数f（x）＝x2﹣2x，则下列各点中不在函数图象上的是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，3）C．（2，0）D．（﹣2，6）例5.可作为函数y＝f（x）的图象的是（）A．B．C．D．图象的平移变换知识讲解一、变换作图法设，.例题精讲图象的平移变换例1.已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，如图所示，则满足等式f（a﹣1）＝f（5）的实数a的值为．例2.已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x＋k2的图象大致为（）A．B．C．D．例3.若函数y＝f（x）的图象如图①所示，则图②对应函数的解析式可以表示为（）A．y＝f（|x|）B．y＝|f（x）|C．y＝f（﹣|x|）D．y＝﹣f（|x|）例4.函数y＝f（x）的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，则不等式f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集为．例5.将y＝f（x）的图象的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标缩短为原来的，则所得函数的解析式为（）A．y＝3f（3x）B．C．D．函数的解析式知识讲解一、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法．注意：函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐标系中描点，形成该函数的图象．二、求函数解析式的常用方法1.配凑法：原函数的表达式为，t是关于x的式子，要求的解析式，这是要把通过变形、整理，使其变为只含t与常数的式子，然后将t换成x，即可以得到的解析式，这种方法叫做配凑法.2.换元法：解题时，把某个式子看做整体，用一个新的变量取代替它，从而使问题简化，这种方法叫做配凑法.3.待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型先设出函数解析式，再将对应值代入，利用恒等式原理求出待定系数即可.4.解方程组法（或消元法）：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法（或消元法）.5.赋值法：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当赋值，从而使问题简单化、具体化.例题精讲函数的解析式例1.若函数，，则f（x）＋g（x）＝．例2.已知a，b为常数，若f（x）＝x2＋4x＋3，f（ax＋b）＝x2＋10x＋24，则5a﹣b ＝．例3.已知f（x）＝2x＋3，g（x＋2）＝f（x），则g（x）等于（）A．2x＋1B．2x﹣1C．2x﹣3D．2x＋7例4.已知g（x）＝1﹣2x，f[g（x）]＝（x≠0），则f（）等于（）A．15B．1C．3D．30例5.已知f（x＋1）＝2x2＋1，则f（x﹣1）＝．构造函数知识讲解例题精讲分段函数知识讲解1.定义分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．1.学习分段函数的注意事项（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一范围，然后选取相应的对应关系.要注意写解析式是各自端点的开闭，做到不重复、不遗漏.（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上值域的并集；分段函数的最大（小）值则是分别在没端上求出最大（小）值，然后取各个最大（小）值中的最大（小）值.例题精讲分段函数例1.设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．13例2.函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定A＝{y|y ＝f（x），x∈P}，B＝{y|y＝f（x），x∈M}，给出下列三个判断：①若P∩M＝Φ，则A∩B＝Φ；②若P∪M＝R，则A∪B＝R；③若P∪M≠R，则A∪B≠R．其中错误的判断是（只需填写序号）．例3.已知函数f（x）＝则f（f（5））＝（）A．0B．-2C．-1D．1例4.设f（x）＝，则f（5）的值为（）A．10B．11C．12D．例5.设函数f（x）＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f （x2）＝f（x3），则x1＋x2＋x3的取值范围是（）A．（]B．（）C．（]D．（）列表法知识讲解1.列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．例题精讲列表法例1.设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下）：表1映射f的对应法则原象1234象3421表2映射g的对应法则原象1234象4312则与f[g（1）]相同的是（）A．g[f（1）]B．g[f（2）]C．g[f（3）]D．g[f（4）]例2.已知函数f（x），g（x）分别由表给出，则f（g（1））＝．x123 f（x）213 g（x）321例3.已知函数分别由下表给出x123f（x）131x123g（x）321则f（g（1））＝．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数的表示方法”的题目补充.例题精讲备选题库例1.直线l1：y=kx+b和直线l2：（k≠0，b≠0）在同一坐标系中，两直线的图形应为（）A．B．C．D．例2.函数f（x）=ln|x|-|x|的图象为（）A．B．C．D．例3.二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．（-∞，-6）∪（-6，+∞）B．（-∞，-2）∪（3，+∞）C．（-2，3）D．（-6，+∞）例4.已知函数f（x）=x2+bx，若函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则实数b的取值范围是______________。

1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”；②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y =ax +b (a ≠0)y =ax 2+b x +c (a ≠0)y =x k (k ≠0) （三）1、如何求函数的定义域例1：已知函数f (x ) =3+x +21+x （1）求函数的定义域；（2）求f （－3），f (32)的值； （3）当a ＞0时，求f （a ）,f (a －1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y =f (x )，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．解：例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.分析：小结几类函数的定义域：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.2、如何判断两个函数是否为同一函数例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？（1）y = (x)2 ; （2）y = (33x);x2（3）y =2x; （4）y=x分析：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

数学必修一定义域知识点定义(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数某，在集合B中都有唯一确定的数f(某)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(某)，某属于集合A。

其中，某叫作自变量，某的取值范围A叫作函数的定义域;常见题型1，f(某)的定义域，求f(g(某))的定义域.例1，f(某)的定义域为(-1，1)，求f(2某-1)的定义域.略解：由 -1<2某-1<1有 0<1∴f(2某-1)的定义域为(0，1)2，f(g(某))的定义域，求f(某)的定义域.例2，f(2某-1)的定义域为(0，1)，求f(某)的定义域。

解：0<1，设t=2某-1∴某=(t+1)/2∴0<(t+1)/2<1∴-1<1∴f(某)的定义域为(-1,1)注意比拟例1与例2，加深理解定义域为某的取值范围的含义。

3，f(g(某))的定义域，求f(h(某))的定义域.例3，f(2某-1)的定义域为(0，1)，求f(某-1)的定义域。

略解：如例2，先求出f(某)的定义域为(-1，1)，然后如例1有 -1<1，即0<2∴f(某-1)的定义域为(0，2)指使函数有意义的一切实数所组成的集合。

其主要根据：①分式的分母不能为零②偶次方根的被开方数不小于零③对数函数的真数必须大于零④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1例4，f(某)=1/某+√(某+1)，求f(某)的定义域。

略解：某≠0且某+1≧0，∴f(某)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞)注意：答案一般用区间表示。

例5，f(某)=lg(-某 2+某+2)，求f(某)的定义域。

略解：由-某 2+某+2 >0 有某 2-某-2 <0即-1<2∴f(某)的定义域为(-1，2)函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。

某 1 2 3 4 (89)p 2/99 1/49 2/97 1/48 …2/11又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元.求该厂日盈利额T(元)关于日产量某(件)的函数;解：由题意：当日产量为某件时，次品率p=2/(100-某)那么次品个数为：2某/(100-某)，正品个数为：某-2某/(100-某)所以T=100[某-2某/(100-某) ]-100·2某/(100-某)即T=100[某-4某/(100-某) ],(某∈N且1≦某≦89)数学必修一值域知识点名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)根本不等式法等关于函数值域误区“范围”与“值域”相同吗“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。

人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。

1．2.5 函数的定义域和值域1．实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的限制，要符合实际情形．2．若只写函数的表达式，略去函数的定义域，那么这个函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的变化范围．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－x －1；(2)y ＝x 2＋12＋x ＋1|x |. [提示] (1)要使函数有意义，自变量x 须满足：⎩⎨⎧x －1≥01－x －1≠0解得：x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)． (2)要使函数有意义，x 须满足： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12＋x ≥0|x |≠0即⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ＞0x ≠0解得x >－2且x ≠0.∴函数的定义域为(－2,0)∪(0，＋∞).把图象上的点向y 轴上作投影，投影点集合对应的数集，就是函数的值域．函数y ＝x2x 2＋1(x ∈R)的值域是________．[提示] y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1，∴y 的值域为[0,1)． 答案：[0,1)[例1] (1)f (x )＝1|x |－2； (2)f (x )＝5－x ＋x －5； (3)f (x )＝(x ＋1)0|x |－x ·x ＋6(x ∈Z)．[思路点拨] 解答本题可根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．[解] (1)要使函数有意义，需满足|x |－2≠0.|x |≠2，即x ≠±2， 所以原函数的定义域为{x |x ≠±2}．(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0x －5≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5x ≥5，∴只有x ＝5使函数有意义，所以原函数的定义域是{5}． (3)要使函数有意义，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，x ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，x >－6，∴－6＜x ＜0且x ≠－1，又x ∈Z ， ∴x ＝－5，－4，－3，－2.因此，所求函数的定义域为{－5，－4，－3，－2}.1．求下列函数的定义域． (1)y ＝x ＋1＋12－x ；(2)y ＝x －1x ＋1. 解：(1)使y ＝x ＋1＋12－x有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≥0，2－x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠2. ∴y ＝x ＋1＋12－x的定义域是{x |x ≥－1且x ≠2}． (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＞－1.∴x ≥1，∴函数y ＝x －1x ＋1的定义域为[1，＋∞).[例2] (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}； (2)y ＝1－x 2； (3)y ＝1＋1x ＋1(x >0)．[思路点拨] 求函数的值域就是求函数值的取值集合．[解] (1)x ＝1时，y ＝3；x ＝2时，y ＝5；x ＝3时，y ＝7；x ＝4时，y ＝9. 所以函数y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}． (2)因为1－x 2≤1，所以y ＝1－x 2的值域为(－∞，1]．(3)∵x ＋1>1，∴0<1x ＋1<1，∴1<1＋1x ＋1<2， ∴y ＝1＋1x ＋1的值域为(1,2).2．求下列函数的值域．(1)y ＝2x －4x ＋3；(2)y ＝x 2－6x ＋6，x ∈[1,6)．解：(1)y ＝2(x ＋3)－10x ＋3＝2－10x ＋3.∵x ＋3≠0，∴10x ＋3≠0，∴y ≠2.∴函数的值域为{y |y ∈R ，y ≠2}．(2)法一：配方，得y ＝x 2－6x ＋6＝(x －3)2－3. ∵x ∈[1,6)，∴0≤(x －3)2<9， ∴－3≤y <6.∴函数的值域为{y |－3≤y <6}． 法二：配方，得y ＝(x －3)2－3. ∵x ∈[1,6)，结合图，∴函数的值域为{y |－3≤y <6}．1．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}解析：选A 由对应关系y ＝x 2－2x 得，0→0,1→－1,2→0，3→3，所以值域为{－1,0,3}． 2．函数f (x )＝13x －1＋4－x ＋2的定义域为( )A．(－∞，4] B ．(1,4]C ．(－∞，－1)∪(1,4)D ．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D 要使函数f (x )＝13x －1＋4－x ＋2有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，4－x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ≤4，即x <1或1<x ≤4， ∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1,4]． 3．函数f (x )＝1＋x2＋x(x >0)的值域是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C ∵f (x )＝1＋x 2＋x ＝x ＋2－1x ＋2＝1－1x ＋2在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫12，1. 4．函数f (x )＝1|x |－3＋4－x 的定义域是(用区间表示)________． 解析：只要⎩⎪⎨⎪⎧ |x |－3≠04－x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±3，x ≤4.∴定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,4]． 答案：(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,4] 5．函数y ＝x ＋x ＋1的值域是________．解析：因y ＝x ＋x ＋1为增函数，且x ≥－1，则y ≥－1. 答案：[－1，＋∞) 6．已知函数f (x )＝1－x ＋|2＋x |2x ＋4的定义域为A ，函数g (x )的定义域为B ＝[－1,1)，求A ∩B ，A ∪B ，B ∪(∁R A )．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥02x ＋4＞0，∴－2＜x ≤1.∴A ＝(－2,1]．∴∁R A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)． 又∵B ＝[－1,1)，∴A ∩B ＝[－1,1)，A ∪B ＝(－2,1]，B ∪(∁R A )＝(－∞，－2]∪[－1,1)∪(1，＋∞)．求函数值域常用的方法有哪些？观察法：对于一些简单的函数，通过对解析式的简单变形和观察，来求出函数的值域；隔离常数法：对于分式函数y ＝ax ＋b cx ＋d(ad ≠bc )，可先分离出一个常数，即y ＝ac ＋bc －ad c 2x ＋d c ，所以其值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ∈R ，且y ≠a c.配方法：对于二次函数在其定义域范围内的值域问题，可用配方法来求．同时要结合二次函数的图象来求解，注意给定区间可能在对称轴同侧或包含对称轴．一、选择题 1．已知f (x )＝1x ＋1，则f [f (x )]的定义域为( ) A ．{x |x ∈R 且x ≠－2} B ．{x |x ∈R 且x ≠－1}C ．{x |x ∈R 且x ≠－1且x ≠－2}D ．{x |x ∈R 且x ≠0且x ≠－1} 解析：选C ∵f [ f (x )]＝1f (x )＋1＝11x ＋1＋1＝x ＋1x ＋2(x ＋1≠0)，∴f [ f (x )]有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x ＋2≠0，x ∈R.∴其定义域{x |x ∈R 且x ≠－1且x ≠－2}． 2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D 使y ＝1－x ＋x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0.∴0≤x ≤1， ∴该函数的定义域为{x |0≤x ≤1}． 3．函数y ＝2x －32x ＋3的值域是( )A ．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选B 对函数y ＝2x －32x ＋3隔离常数得，y ＝1－62x ＋3， ∴y ≠1，即值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．4．若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析：选C 由二次函数的对称性可求得． 二、填空题5．已知f (x ＋1)的定义域为[1,2]，则f (x )的定义域为________． 解析：∵f (x ＋1)的定义域为[1,2]．∴1≤x ≤2,2≤x ＋1≤3.∴f (x )的定义域为[2,3]． ∴f (x )中2≤x ≤3，∴4≤x ≤9. 答案：[4,9]6．将长为a 的铁丝折成矩形，则面积y 与一边长x 的函数关系式为________，定义域为________．解析：由于边长为x ，则邻边长为a －2x 2，∴y ＝x ⎝⎛⎭⎫a 2－x ，∵x >0，a2－x >0， ∴0<x <a2.答案：y ＝－x 2＋a 2x ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|0<x <a 2三、解答题7．求下列函数的定义域． (1)y ＝－x2x 2－3x －2；(2)y ＝x －1·1－x ； (3)y ＝31－1－x；(4)y ＝x 2－3＋5－x 2.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ≠2且x ≠－12， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤0且x ≠－12. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，解得x ＝1.∴函数的定义域为{x |x ＝1}．(3)由题意得⎩⎨⎧1－1－x ≠0，1－x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≤1.∴函数的定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3≥0，5－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥3，x 2≤5.∴函数的定义域为{x |3≤x ≤5或－5≤x ≤－3}． 8．求函数f (x )＝1x －x (1≤x ≤4)的值域．解：因为函数y ＝1x 和y ＝－x 在区间[1,4]上都单调递减，所以函数f (x )＝1x －x 在区间[1,4]上是减函数．于是f (4)≤f (x )≤f (1)，即值域为⎣⎡⎦⎤－74，0.。

高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x 中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。

函数值的集合{f(x│x∈A}叫做函数的值域。

（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x]的定义域为x∈（a,b ）求f(x 的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。

②已知f(x 的定义域为x∈（a,b ）求f[g(x]的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 f[g(x] 的定义域。

3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。

（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x 图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：函数y=kx +b y=ax2+b x+cy=ax y=logax值域 R a>0a<0{y|y ∈R{y|y>R0}且y≠0}4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(a x-kb x (a,b>0且a,b≠1，k∈R[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则a x-kb x>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x|}(Ⅱ若0 ，则，定义域为 {x| }(Ⅲ若a=b>0，则当0 时定义域为 R ；当k ≥ 1 时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。

的定义域如何确定3.通常表示函数的方法有：4. y f x 的定义域为A, x 1, x 2 A 。

函数是增函数，函数是减函数，函数是奇函数，函数是偶函数。

讲授新课： 一、函数的判断例1.<1>下列对应是函数的是注：检验函数的方法（对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应） ① x y: \y\ x② x x 2 x 1<2>下列函数中，表示同一个函数的是： （ ）2.思考：对于不同的函数如：① y x 22x ② y x 1 ③ y1 Ig 2x 5 ⑤ y1 yx注：定义域和对应法则必须都相同时，函数是同一函数练习:其中表示同一函数的是 二：函数的定义域 注：确定函数定义域的主要方法(1)若f x 为整式，则定义域为 R.(2)若f X 是分式，则其定义域是分母不为 0的实数集合(3)若f X 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合;⑷ 若f x 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合;(5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题 例：1.求下列函数的定义域:(4) y x 2 3 5 x 2A. f X x, g x ,X 2B.f x x,g xC. f x x 2, g JD. fxx 2x, g x1.设有函数组：①x, y J x 2 ② y x, y 眷x 3 ③ y jG , yxx ④y|x1 x 0,y x(1) y、x2x 2 3x 2(2) y x 1 -1 x(3) yV x 1 (5) f x 4x (6) t 是时间，距离ft 60 3t3 2x2.已知函数f x 的定义域是[-3,0], 求函数f x 1的定义域。

练习:1.求下列函数的定义域: 2(1) (3) f x 1 1丄; 1 1x(4) f x2.已知f x 的定义域为 0,1，求函数yf x 2x 4的定义域。

3三、函数值和函数的值域例1求下列函数的值域：（观察法）例5.画出函数y x 2 4x 6,x 1,5的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

高一数学必修一函数的定义域和值域资料
函数的定义域和值域是高一数学中的重要概念。

它们是相关函数与变量之间的关系，关系到函数求值。

因此，学习高一数学，必须深入了解它们。

定义域：定义域也称为函数的定义区域，是指给定函数f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量）的实变量x的取值范围的集合，也就是为了使f(x)的值确实存在，z取值范围的集合。

一般而言，x的取值范围通常为数轴上的所有实数或部分实数，也就是x∈R。

而如果有些函数涉及有理数，那么定义域x取值范围为:x∈Q，也就是定义域只能取到有理数。

值域：函数值域就是函数在给定定义域上可能出现的值集合，称为函数值域。

记f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量），则值域Df={y：y=f(x)，x∈Df }，其中，Df为定义域。

举例说明：
1. 不等式f(x)<2的值域
当x∈R时，函数f(x)的定义域就是R，而值域为｛y:y<2,x∈R｝=｛y:y<2｝。

以上就是函数的定义域和值域的概念及其具体的表示方法的介绍，希望小伙伴们能够更好的理解这些概念，为学习数学提供助力。

高一函数定义域、值域、解析式题型一、具体函数的定义域问题1求以下函数的定义域1〔1〕y x1xx ；〔2〕yx12x5x6〔2〕〔3〕假设函数 2f(x)mxmx1的定义域为R，那么实数m的取值X围是〔〕(A)0m4(B)0m4(C)m4(D)0m4二、抽象函数的定义问题〔一〕函数f(x)的定义域，求函数f[g(x)]的定义域2.函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数 2f(2x)的定义域。

〔二〕函数f[g(x)]的定义域，求函数f(x)的定义域3.函数f(2x1)的定义域为[1,2]，求函数f(x)的定义域。

〔三〕函数f[g(x)]的定义域，求函数f[h(x)]的定义域4.函数 2f(x1)的定义域为(2,5)，求函数 f1()x的定义域。

5.函数f(x)的定义域为[1,1]，且函数F(x)f(x m)f(xm)的定义域存在，XX数m的取值X围。

〔一〕配凑法5. f21x13(1)2xxx，求f(x)的解析式。

〔二〕换元法6.f(12x)2xx，求f(x)的解析式。

〔三〕特殊值法7.对一切x,yR，关系式f(x y)f(x)(2xy1)y且f(0)1，求f(x)。

待定系数法8.f(x)是二次函数，且 2f(x1)f(x1)2x4x4，求f(x)。

〔四〕转化法9.设f(x)是定义在(,)上的函数，对一切xR，均有f(x)f(x2)0，当1x1时，f(x)2x1，求当1x3时，函数f(x)的解析式。

〔五〕消去法11.函数f(x)满足〔六〕分段求解法123f(x)f()xx，求f(x)12.函数f(x)2x1,g(x) x xo2,2,1,x0，求f[g(x)]的解析式(一〕配方法13.求二次函数256(32)yxxx的值域。

〔二〕图象法〔数形结合法〕14.求 4 2yx4(x[2,3])的值域。

3〔三〕别离常数法abx15.求定义域在区间[1,1]上的函数(0)yababx〔四〕换元法的值域。

16.求函数yx12x的值域。

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一：求函数解析式１、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

例1、 已知，试求。

解:设,则,代入条件式可得：，t ≠1。

故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形.2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2、 （１）已知，试求; (2)已知,试求; 解：（1)由条件式,以代ｘ,则得，与条件式联立,消去，则得：。

(2)由条件式，以—x 代ｘ则得:,与条件式联立，消去,则得：.说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4、 求下列函数得解析式:（1)已知就是二次函数，且，求； （2）已知,求，,； (3)已知，求； (4）已知，求. 【题意分析】（1)由已知就是二次函数，所以可设,设法求出即可。

（2)若能将适当变形，用得式子表示就容易解决了。

(３）设为一个整体，不妨设为,然后用表示，代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得， 由，得恒等式，得。

故所求函数得解析式为。

（２）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ， 又。

（3)设，则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

（４）因为 ① 用代替得 ② 解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有：(1）解析式类型已知得，如本例⑴，一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式，顶点式与标根式得选择；(２）已知求得问题,法一就是配凑法，法二就是换元法，如本例（2)（3); (３)函数程问题，需建立关于得程组,如本例（4）。

若函数程中同时出现，，则一般将式中得用代替,构造另一程。