最新2019届高三第一次大联考数学(文)试题

三湘名校教育联盟• 2019届高三第一次大联考文科数学本试卷共4页。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R ，集合 A=={145|2--x x x <0}，B={3<<3|x x - }，则图中阴影部分表示的集合为A. (-3,-2]B. (-2,3]C. (2,3]D.[3,7)2.若复数z 满足i i z +=+7)2(的共轭复数z 在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限3.已知向量)2,2(),2,1(-=+=b a λ,若|2||2|b a b a +=-，则λA.-3B. -1C.1D.24.函数2||ln ||)(x x x x f =的图像大致为5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*∈=N n a b n ,log 2 ，且442=+b b ，则3a 的值为A. 1B.2C.4D. 16 6.设Z a ∈，函数 a x e x f x -+=)(，若命题p ：“0))(),1,1(≠-∈∀x f x ”是假命题，则a 的取值个数有A. 1个B. 2个C.3个D. 4个7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.488.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线b x y +=与圆a y x x =+2有交点的概率为21，则a = A. 41 B. 21 C. 1 D.29.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。

2019届山东省高三第一次大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则的元素个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】根据两个函数图像交点的个数确定的元素个数.【详解】由幂函数的图像可以知道，它们有三个交点，所以集合有三个元素.选D.【点睛】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.考查直观想象能力.属基础题2．若复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由得到，再由复数除法运算，即可得出结果.【详解】因为，所以，故的虚部为.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算、复数的虚部的概念，突显了对数学运算、基本概念的考查. 解答本题首先要了解复数的虚部的概念，其次要能熟练进行复数的四则运算.3．设是不共线的向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】将转化为相互垂直，转化为模长相等，即可得出结果.【详解】，可知以为邻边的平行四边形为矩形，可知两条对角线不一定垂直，当，可知以为邻边的平行四边形为菱形，不一定是矩形，所以不一定成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的几何性质、充分与必要条件的基本概念，熟记充分条件与必要条件的概念以及向量的数量积即可，属于基础题型.4．已知向量的夹角为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据向量夹角公式求，再根据二倍角公式得结果.【详解】因为，所以.选A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，考查基本求解能力，属基本题.5．已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图像，先确定为等腰三角形，根据题意得到腰长和顶角，代入面积公式即可得出结果.【详解】由题意直线，圆均过原点，通过图形观察可知为等腰三角形，且，，所以.故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，结合圆的特征以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.6．已知抛物线的焦点为，上一点在轴上的投影为，为坐标原点.若的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由题意，不妨设在第一象限，再由的面积为，求出，根据在抛物线上，求出，最后由即可求出结果.【详解】由对称性可知，不妨设在第一象限，，即，因为在抛物线上，即，解得，由抛物线定义，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，熟记抛物线的结构特征以及抛物线定义即可，属于基础题型.7．我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形所围成的区域记为Ⅰ，在圆内且在正方形外的部分记为Ⅱ，在圆外且在大正方形内的部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先要将小正方形旋转度，由此看出大正方形与小正方形边长的比值，进而得到面积比，从而可确定概率间的关系.【详解】将小正方形旋转度，图像转化为:由图像易知：小正方形的面积是大正方形面积的一半，所以.则选A.【点睛】本题考查了几何概型，着重考查了利用相似比求面积比，突显了对数学抽象与直观想象的考查.8．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题首先根据指数函数的单调性得出，然后根据对数函数的单调性得出，最后根据对数的换底公式进一步判断的大小关系即可得出结果.【详解】，，所以最小，所以，所以选B. 【点睛】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质、不等式的性质，以及函数与方程的思想，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于基础题型.9．如图，在中，点在边上，且,,,的面积为，则线段的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由, 的面积为，得到的面积；进而求出，再由余弦定理求出，最后在中，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】因为, 的面积为，所以的面积为，则,即.在中，，所以，又因为，，，所以，.所以在中，，即，所以选C.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.10．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.11．设函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由函数解析式判断出函数的奇偶性，以及单调性，再由，，结合函数单调性，即可求出结果.【详解】易知函数为奇函数，且在上为增函数，又因为，由，得，即，解得，故选B.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，熟记函数的奇偶性和单调性、以及不等式的解法即可，属于常考题型.12．如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将、、分别对应重合为，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由题意可知，两个锥体叠加后得到的是三棱柱，根据三棱锥的对称性得出空间直线的垂直、平行关系，即可得出结果.【详解】由于正四棱锥和一个正三棱锥，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：点对应正四棱锥的上底面中心，点对应另一正四棱锥的上底面中心，由图形可知拼成一个三棱柱，设为的中点，由此可知，又因为平面，所以，因为，，所以.故选A.【点睛】本题考查了空间几何体的叠加，重点考查了几何体的“割”与“补”，突显了对数学抽象和数学建模的考查，熟记空间中线面位置关系即可，属于常考题型.二、填空题13．已知函数在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】先由解析式求出，再对函数求导，求出切线斜率，进而可得出结果.【详解】,∴在点处的切线方程为，即. 【点睛】本题考查了导数的四则运算、切线的斜率与切点处导数的关系，重点考查了导数的乘法运算，突显了对数学运算的考查.14．网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体最大侧棱长为_________.【答案】【解析】首先要能将三视图还原成立体图形，再由勾股定理求棱长，即可得出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，其中底面为等腰直角三角形，，，故，取中点，，即最大棱长为.【点睛】本题考查了几何体的三视图，重点考查了主视图、左视图、俯视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，以及空间线面垂直的判定与性质，突显了对数学抽象和直观想象的考查.15．关于的不等式组表示的平面区域为，若平面区域内存在点，满足，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】先由约束条件作出可行域，再由题意可得，过定点的动直线与平面区域有公共点，结合图像即可得出结果.【详解】画出平面区域为图中阴影部分区域，其中，，而表示过定点的动直线，又题意可转化为：过定点的动直线与平面区域有公共点，也即与线段相交，所以，而，，即.【点睛】本题考查了线性规划问题，重点考查了可行域、目标函数、最优解的概念，属于常考题型.16．已知函数的图象关于点对称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.【答案】【解析】根据函数在上有且只有三个零点，可得，求出，再由，从大到小依次取验证即可得出结果.【详解】依题意，，当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有四个零点，函数的零点可由求得，有四个零点，不符合条件.当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有三个零点，函数的零点可由求得，有三个零点，综上，的最大值是.【点睛】本题考查了三角函数图像的性质、函数的零点，熟记正弦函数的周期性、对称性等即可，属于常考题型.三、解答题17．已知数列，，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意①当为奇数时，根据求出通项公式；②当为偶数时，根据求出通项公式，最后再综合两种情况即可得出结果.(2)根据并项求和的方法求和即可得出结果.【详解】(1)①当为奇数时，.②当为偶数时，.综上，. (2)∵.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，熟记等差数列的通项公式以及前n项和公式，结合并项求和的思想即可求解，属于常考题型.18．已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.(1)证明：平面；(2)若点是棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析；(2).【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明即可；(2)首先要将线面平行即平面转化为线线平行，从而确定点的位置，最后利用比例关系将所求三棱锥的体积转化为其它棱锥的体积，进而可得出结果. 【详解】(1)因为是等腰梯形，所以，即，即，，所以，又因为，，，所以平面；(2)因为平面，，所以，所以，所以，即，所以平面，又因为平面，平面平面，平面，所以，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查体积公式应用，熟记线面垂直的判定定理和性质定理以三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.19．下表是年个重点城市（序号为一线城市，其它为非一线城市）的月平均收入与房价对照表，根据表中数据并适当修正，得到房价中位数与月平均收入的线性回归方程是，我们把根据房价与月平均收入的线性回归方程得到的房价称为参考房价，若实际房价中位数大于参考房价，我们称这个城市是“房价偏贵城市”.序月评房价参考序月评房价参考序月评房价参考号价收入中位数房价号价收入中位数房价号价收入中位数房价1106706782211708117327257042170811479215972 210015525845118012706513918194762270651874115780 39561509004573213702716286194042370271053815324 48798307293657614697416667182042469741206914688 574241092620088156920974317760256920233314040 67825267142490016690310627181202669031358213836 77770397232424017688429000173882768842212613608 8775015114240001866547979165842866541220710848 97723177272367619664812500169202966481247210776 107635130122262020660812298162003066081640610286(1)计算城市的参考房价；(2)从个一线城市中随机选取个城市进行调研，求恰好选到一个“房价偏贵城市”的概率；(3)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为一线城市与该城市为“房价偏贵城市”有关？一般城市非一线城市总计房价偏贵城市不是房价偏贵城市总计附参考公式及数据：，其中.0.1000.0500.012.7063.841 6.635【答案】(1)；(2)；(3)见解析.【解析】（1）将代入，即可求出结果；(2)用列举法分别列举“这五个城市中选取个”以及“其中恰好有一个房价偏贵城市”所包含的基本事件，基本事件的个数比即是所求概率；(3)根据题中数据先完善列联表，再由求出，结合临界值表即可得出结果.【详解】(1)城市的参考房价为：；(2)一线城市中，城市是房价偏贵城市，不是房价偏贵城市，从这五个城市中选取个的所有可能有：，，，，，，，，，共十种，其中恰好有一个房价偏贵城市的情形有：，，，，，，所以恰好选到一个房价偏贵城市的概率.(3)一般城市非一线城市总计房价偏贵城市 3 9 12不是房价偏贵城市 2 16 18总计 5 25 30，所以我们没有的把握认为是否是一线城市与该城市是否是房价偏贵城市有关.【点睛】本题考查了线性回归分析、古典概率、独立性检验，熟记古典概型的概率计算公式，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.20．椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.已知当时，，且的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)当时，求过点且圆心在轴上的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由当时，，且的面积为，得到，进而求出，求解即可得到，，从而可得椭圆方程；(2) 当时，，代入椭圆方程，求出点坐标，进而可得线段的中垂线方程，从而可求出所求圆心和半径，得到所求圆的方程.【详解】(1)由已知得：当时，，此时，所以，，所以椭圆的方程为. (2)当时，，代入椭圆的方程得：，所以，，所以，线段的中点坐标，线段的中垂线方程为，令，即圆心坐标为，所以半径，因此所求圆的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，通常需要联立直线与椭圆方程，结合题中条件求解，属于常考题型.21．已知函数（为常数，且）(1）当时，求函数的单调区间；(2）若函数在区间上有唯一的极值点，求实数和极值的取值范围.【答案】(1) 函数的递增区间是，递减区间是；(2)【解析】(1）先对函数求导，将代入导函数，解导函数对应的不等式，即可求出结果；(2）先记，根据函数在区间上有唯一的极值点，可得函数图像是开口向下的抛物线，且，从而可得的范围，再由，以及在上单调递增，即可求出的取值范围.【详解】(1)（，当时，由解得，所以函数的递增区间是，递减区间是；(2)记，，函数在区间上有唯一极值点，则函数图像是开口向下的抛物线，且，即，所以的取值范围是，，所以，因为在上单调递增，且时，，，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的计算、导数的应用，考查了函数与方程思想、数形结合思想，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及极值等，属于常考题型.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先依据动点的极坐标的关系找到点的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线的参数方程，依据参数的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.【详解】（Ⅰ）设的极坐标为，的极坐标为，由题设知.所以，即的极坐标方程，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）交点，所以直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程，代入得：，，设方程两根为，则分别是对应的参数，所以.【点睛】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.23．已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；（Ⅱ）首先利用绝对值不等式定理得到函数的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.【详解】（Ⅰ）不等式为，可以转化为：或或，解得或，所以原不等式的解集是或.（Ⅱ），所以或，解得或.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.。

2019届江西省高三上学期第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A）∪B为（）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（∁UA．{1} B．{1，5} C．{1，4} D．{1，4，5}2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”3．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）4．函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1] C．[﹣2，1）D．[﹣2，﹣1]5．命题p：∃x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x≤1 B．￢p：∃x∈R，x≤1 C．￢p：∀x∈R，x＜1 D．￢p：∃x∈R，x＜16．已知函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于（）A．B．C．2 D．167．已知tan（π﹣α）=﹣，且α∈（﹣π，﹣），则的值为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=满足f（）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A． B．C．1 D．9．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（）A．50元B．60元C．70元D．100元sin，则（）10．若a=2，b=ln2，c=log5A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a11．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx﹣ax+1，当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a=（）A．﹣2 B．2 C．±1 D．112．函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠C=60°，b=2，c=2，则a= ．14．若方程x2﹣mx﹣1=0有两根，其中一根大于2，另一根小于2的充要条件是．（3﹣ax）在区间（2，6）上递增，则实数a的取值范围是．15．函数f（x）=loga16．若函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，则下列结论中正确的序号是．①图象C关于直线x=对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数f（x）在区间（﹣，）内不是单调的函数；④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．若函数f（x）=e x+x2﹣mx，在点（1，f（1））处的斜率为e+1．（1）求实数m的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值．19．已知函数f（x）=msin2x﹣cos2x﹣，x∈R，若tanα=2且f（α）=﹣．（1）求实数m的值及函数f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在[0，π]上的递增区间．20．已知f（x）=x2+ax+．（1）若b=﹣2，对任意的x∈[﹣2，2]，都有f（x）＜0成立，求实数a的取值范围；（2）设a≤﹣2，若任意x∈[﹣1，1]，使得f（x）≤0成立，求a2+b2﹣8a的最小值，当取得最小值时，求实数a，b的值．21．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知•（cosB+cosA）=1．（1）求角C；（2）若c=，△ABC的周长为5+，求△ABC的面积S．22．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x）+5，其中a∈R．（1）当a∈[﹣1，1]时，f'（x）≥0恒成立，求x的取值范围；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由．2019届江西省高三上学期第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（∁UA）∪B为（）A．{1} B．{1，5} C．{1，4} D．{1，4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}先求出CU A={1，5}，再由B={1，4}，能求出（CUA）∪B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，∴CUA={1，5}，∵B={1，4}，∴（CUA）∪B={1，4，5}．故选：D．2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【考点】四种命题．【分析】将原命题的条件与结论进行交换，得到原命题的逆命题．【解答】解：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．故选B．3．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x2﹣4x+3≥0，得：x≤1或x≥3．所以B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}={x∈R|x≤1或x≥3}，又A={x∈R|﹣3＜x＜2}，所以A∩B={x∈R|﹣3＜x＜2}∩{x∈R|x≤1或x≥3}={x|﹣3＜x≤1}．故选A．4．函数f（x）=+lg（x+2）的定义域为（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，1] C．[﹣2，1）D．[﹣2，﹣1]【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【分析】根据题意可得，解不等式可得定义域．【解答】解：根据题意可得解得﹣2＜x≤1所以函数的定义域为（﹣2，1]故选B5．命题p：∃x∈R，x＞1的否定是（）A．￢p：∀x∈R，x≤1 B．￢p：∃x∈R，x≤1 C．￢p：∀x∈R，x＜1 D．￢p：∃x∈R，x＜1 【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x≤1，故选：A6．已知函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于（）A．B．C．2 D．16【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由题意可得2α=，求出α=﹣，由此求出f（4）=运算求得结果．【解答】解：函数f（x）=xα的图象经过点，故有 2α=，∴α=﹣．∴f（4）===，故选B．7．已知tan（π﹣α）=﹣，且α∈（﹣π，﹣），则的值为（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵α∈（﹣π，﹣），tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣，可得：tanα=，∴====﹣．故选：A．8．函数f（x）=满足f（）+f（a）=2，则a的所有可能值为（）A． B．C．1 D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数的解析式，通过讨论a的范围，列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）=满足f（）+f（a）=2，当a∈（﹣1，0）时，可得： +2cosaπ=2，可得cosa，解得a=．当a＞0时，f（）+f（a）=2，化为： +e2a﹣1=2，即e2a﹣1=1，解得a=．则a的所有可能值为：．故选：D．9．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为（）A．50元B．60元C．70元D．100元【考点】函数模型的选择与应用．【分析】设售价，利用销售额减去成本等于利润，构建函数，利用配方法，即可求得结论．【解答】解：设销售定价为a元，那么就是提高了（a﹣50）元，则销售件数减少10（a﹣50）个，所以一个月能卖出的个数是[500﹣10（a﹣50）]，每单位商品的利润的是（a﹣40）元，则一个月的利润y=（a﹣40）[500﹣10（a﹣50）]=﹣10a2+1400a﹣40000=﹣10（a﹣70）2+9000，∴当a=70时，y取得最大值9000，∴当定价为70时，能获得最大的利润9000元，故选：C．sin，则（）10．若a=2，b=ln2，c=log5A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数和对数函数的性质，比较和0，1的大小关系即可．sin＜0，【解答】解：a=2＞1，0＜b=ln2＜1，c=log5∴a＞b＞c，故选：A11．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx﹣ax+1，当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a=（）A．﹣2 B．2 C．±1 D．1【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由奇函数f（x）的图象关于原点对称，由题意可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1，求得当x∈（0，2）时，f（x）的导数和单调区间，确定a＞0，f（1）取得最大值﹣1．解方程可得a的值．【解答】解：y=f（x）是奇函数，可得f（x）的图象关于原点对称，由当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1，由f（x）=alnx﹣ax+1的导数为f′（x）=﹣a=，由最大值可得a＞0，f（x）在（1，2）递减，在（0，1）递增．最大值为f（1）=1﹣a=﹣1，解得a=2．故选：B．12．函数y=的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数在x=0时，解析式无意义，可得函数图象与y轴无交点，利用排除法，可得答案．【解答】解：当x=0时，解析式的分母为0，解析式无意义，故函数图象与y轴无交点，故排除A，B，D，故选：C二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠C=60°，b=2，c=2，则a= 4 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得：a2﹣2a﹣8=0，即可解得a的值．【解答】解：∵∠C=60°，b=2，c=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：12=a2+4﹣2a，整理可得：a2﹣2a﹣8=0，∴解得：a=4或﹣2（舍去），故答案为：4．14．若方程x2﹣mx﹣1=0有两根，其中一根大于2，另一根小于2的充要条件是（，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设f（x）=x2﹣mx﹣1，则由题意可得f（2）=3﹣2m＜0，由此求得m的范围．【解答】解：设f（x）=x2﹣mx﹣1，则由方程x2﹣mx﹣1=0的两根，一根大于2，另一根小于2，可得f（2）=4﹣2m﹣1＜0，求得m＞，故答案为：（，+∞）．（3﹣ax）在区间（2，6）上递增，则实数a的取值范围是．15．函数f（x）=loga【考点】复合函数的单调性．【分析】由题意可知内函数为减函数，则外函数对数函数为减函数，求出a的范围，再由内函数在区间（2，6）上恒大于0求出a的范围，取交集得答案．【解答】解：∵a＞0且a≠1，∴内函数g（x）=3﹣ax为定义域内的减函数，（3﹣ax）在区间（2，6）上递增，要使函数f（x）=logag（x）为定义域内的减函数，则0＜a＜1；则外函数y=loga又g（x）=3﹣ax在区间（2，6）上递减，∴g（x）≥g（6）=3﹣6a≥0，即a≤．∴实数a的取值范围是．故答案为：．16．若函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，则下列结论中正确的序号是①②．①图象C关于直线x=对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数f（x）在区间（﹣，）内不是单调的函数；④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数y=Asin（ωx+φ）图象“对称中心为零点，对称轴处取最值”的结论，验算可得①正确，②是真命题．由正弦函数的单调性，得函数f（x）的一个增区间是[﹣，]，得③是假命题；根据函数图象平移的公式，可得④中的平移得到的函数为y=3sin（2x﹣），故④不正确．【解答】解：因为当x=时，f（x）=3sin（2×﹣）=3sin，所以直线x=是图象的对称轴，故①正确；因为当x=时，f（x）=3sin（2×﹣）=0，所以函数图象关于点（，0）对称，故②正确；令﹣≤2x﹣≤，解得x∈[﹣，]，所以函数的一个增区间是[﹣，]，因此f（x）在区间[0，]上是增函数，故③不正确；由y=3sin2x的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数表达式为y=3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣），所以所得图象不是函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象C，故④不正确故答案为：①②．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知p：﹣x2+7x+8≥0，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先化简p，q，（1）p是q的充分不必要条件得到，解得即可；（2）非p”是“非q”的充分不必要条件，得到q是p的充分不必要条件，得到，解得即可．【解答】解：p：﹣x2+7x+8≥0，即x2﹣7x﹣8≤0，解得﹣1≤x≤8，q：x2﹣2x+1﹣4m2≤0，得到1﹣2m≤x≤1+2m（1）∵p是q的充分不必要条件，∴[﹣1，8]是[1﹣2m，1+2m]的真子集．∴∴m≥．∴实数m的取值范围为m≥．（2）∵“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．∴，∴1≤m ≤．∴实数m 的取值范围为1≤m ≤．18．若函数f （x ）=e x +x 2﹣mx ，在点（1，f （1））处的斜率为e+1．（1）求实数m 的值；（2）求函数f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率，求解即可．（2）求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．【解答】解：（1）f'（x ）=e x +2x ﹣m ，∴f'（1）=e+2﹣m ，即e+2﹣m=e+1，解得m=1； 实数m 的值为1；…（2）f'（x ）=e x +2x ﹣1为递增函数，∴f'（1）=e+1＞0，f'（﹣1）=e ﹣1﹣3＜0， 存在x 0∈[﹣1，1]，使得f'（x 0）=0，所以f （x ）max =max{f （﹣1），f （1）}， f （﹣1）=e ﹣1+2，f （1）=e ，∴f （x ）max =f （1）=e …19．已知函数f （x ）=msin2x ﹣cos 2x ﹣，x ∈R ，若tan α=2且f （α）=﹣．（1）求实数m 的值及函数f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[0，π]上的递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用同角三角函数关系和已知条件f （α）=﹣求得，由此得到m 的值；则易得函数f （x ）=sin （2x ﹣）﹣1，根据正弦函数的性质来求最小正周期；（2）利用（1）中得到的函数解析式和正弦函数的单调增区间解答．【解答】解：（1），又∵，∴，即；故，∴函数f（x）的最小正周期；（2）f（x）的递增区间是，∴，所以在[0，π]上的递增区间是[0，]∪[，π]．20．已知f（x）=x2+ax+．（1）若b=﹣2，对任意的x∈[﹣2，2]，都有f（x）＜0成立，求实数a的取值范围；（2）设a≤﹣2，若任意x∈[﹣1，1]，使得f（x）≤0成立，求a2+b2﹣8a的最小值，当取得最小值时，求实数a，b的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由题意可得，解得即可，=f（﹣1）≤0，再根据基本不等式即可求出a2+b2﹣8a的最小值．（2）由题意可得f（x）max【解答】解：（1），对于x∈[﹣2，2]恒有f（x）＜0成立，∴，解得，…（2）若任意x∈[﹣1，1]，使得f（x）≤0成立，又a≤﹣2，=f（﹣1）≤0，f（x）的对称轴为，在此条件下x∈[﹣1，1]时，f（x）max∴，及a≤﹣2得a+b﹣1≥0，⇒b≥1﹣a＞0⇒b2≥（1﹣a）2，于是，当且仅当a=﹣2，b=3时，a2+b2﹣8a取得最小值为29．21．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知•（cosB+cosA）=1．（1）求角C；（2）若c=，△ABC的周长为5+，求△ABC的面积S．【考点】余弦定理．【分析】（1）由题意和正、余弦定理化简已知的式子，由两角和的正弦公式、诱导公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；（2）由题意求出a+b的值，由余弦定理化简后求出ab的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∴由正、余弦定理得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，则2cosCsin（A+B）=sinC，即2sinCcosC=sinC，∵sinC≠0，∴，由0＜C＜π得，；…（2）由条件得，，且，∴a+b=5，由余弦定理得：a2+b2﹣2abcosC=7，则（a+b）2﹣3ab=7，解得ab=6，∴△ABC的面积…22．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x）+5，其中a∈R．（1）当a∈[﹣1，1]时，f'（x）≥0恒成立，求x的取值范围；（2）讨论函数f（x）的极值点的个数，并说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，令h（a）=2（x2+x﹣1）a+1，要使f′（x）≥0，则使h（a）≥0即可，而h（a）是关于a的一次函数，列出不等式求解即可．（2）令g（x）=2ax2+ax﹣a+1，x∈（﹣1，+∞），当a=0时，当a＞0时，①当时，②当时，当a＜0时，求解函数的极值以及判断函数的单调性．【解答】解：（1）f′（x）=+a（2x﹣1）=，x∈（﹣1，+∞），（1）令h（a）=2（x2+x﹣1）a+1，要使f′（x）≥0，则使h（a）≥0即可，而h（a）是关于a的一次函数，∴，解得或，所以x的取值范围是…（2）令g（x）=2ax2+ax﹣a+1，x∈（﹣1，+∞），当a=0时，g（x）=1，此时f（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上递增，无极值点；当a＞0时，△=a（9a﹣8），①当时，△≤0，g（x）≥0⇒f（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上递增，无极值点；②当时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个根为x1，x2（不妨设x1＜x2），因为，所以，由g（﹣1）=1＞0，∴，所以当x ∈（﹣1，x 1），g （x ）＞0⇒f （x ）＞0，函数f （x ）递增； 当x ∈（x 1，x 2），g （x ）＜0⇒f （x ）＜0，函数f （x ）递减； 当x ∈（x 2，+∞），g （x ）＞0⇒f （x ）＞0，函数f （x ）递增；因此函数有两个极值点， 当a ＜0时，△＞0，由g （﹣1）=1＞0，可得x 1＜﹣1， 所以当x ∈（﹣1，x 2），g （x ）＞0⇒f （x ）＞0，函数f （x ）递增； 当x ∈（x 2，+∞），g （x ）＜0⇒f （x ）＜0，函数f （x ）递减；因此函数有一个极值点， 综上，当a ＜0时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点…。

2019届高三第一次联考（数学文）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分 选择题(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B I 等于（ ）A ．{}x|2<x 3≤B ．{}x|x 1≥C ．{}x|2x<3≤D ．{}x|x>22．已知向量(,1)a x =r ，(3,6)b =r，且a b ⊥r r ，则实数x 的值为（ ）A ．12 B ．2- C ．2 D ．21-3．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）A ．12，24，15，9B ．9，12，12，7C ．8，15，12，5D ．8,16,10,64．已知过(1,)A a -、(,8)B a 两点的直线与直线210x y -+=平行，则a 的值为（ ） A ．10-B ．2C ．5D ．175．在复平面内，复数1i iz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4a a a -++，则数列的通项公式n a =（ ）A ．34()2n ⋅ B ．24()3n ⋅ C ．134()2n -⋅ D ．124()3n -⋅7．将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A ．sin(2)10y x π=-B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=-8．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x (,0)∈-∞，当1x <2x 时，都有1()f x <2()f x ”的函数是（ ）A ．()1f x x =-+B ．2()1f x x =-C ．()2x f x =D ．()()ln f x x =-9．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．410．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线21//l l 的一个充分条件是( )A ．α//1l 且α//2lB ．α⊥1l 且α⊥2lC ．α//1l 且α⊄2lD ．α//1l 且α⊂2l第二部分 非选择题(共 100 分)二、填空题: 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3tan 4α=-，则x 的值为 ．12．如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ． 13．下列四个命题中：①2,2340x R x x ∀∈-+>；②{}1,1,0,210x x ∀∈-+>；③,x N ∃∈使2x x ≤；④,x N ∃∈使x 为29的约数。

2019届第一次全国大联考（新课标Ⅲ卷）数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求解A,再根据并集的定义进行求解即可．【详解】∵,,∴.故选A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，根据并集的定义是解决本题的关键．2．设为虚数单位，复数，若，则复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】结合正余弦函数的值域，利用复数的几何意义即可得出．【详解】由，得，又实部，故复数在复平面内所对应的点在第二象限，故选B.【点睛】本题考查了复数的几何意义，涉及正余弦函数的值域问题，属于基础题．3．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，若沿点，连线折成如图所示的多面体，使平面，则该多面体的正视图的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图及条件可证，可得AB，由此可求正视图的面积.【详解】由题意，得，，由平面，得，所以，∴所求多面体的的正视图的面积为．故选A.【点睛】本题考查了折叠体问题，考查了三视图的知识及空间线面、线线位置关系，属于基础题. 4．函数在区间上的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先判断f（x）的奇偶性，利用奇偶性及f（x）的特殊函数值排除选项，即可得出答案．【详解】∵，∴，故函数为奇函数，排除B；又且时，函数无零点，排除A、D，故选C．【点睛】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据循环确定求和，再根据等比数列求和公式得结果.【详解】由图知输出的结果．故选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6．已知向量，为单位向量，若，则向量，的夹角大小为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将向量的垂直关系用数量积表示，化简可得结果.【详解】由，得，即，所以，所以向量，的夹角大小为，故选C.【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质，考查了向量的垂直关系的转化及夹角公式，属于基础题.7．若，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由诱导公式及二倍角公式将原式化为，再将其变形为齐次分式型，利用同角基本关系式可得，代入所求式子中即可求解.【详解】由，得，即，所以，即，解得或，故．故选B.【点睛】本题考查了三角函数中的诱导公式、二倍角公式，考查了同角基本关系式的应用，关键是熟练运用公式解决问题.8．设双曲线：的离心率为，其渐近线与圆：相切，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据双曲线C的渐近线与圆相切，利用d＝r，得到m与e的关系式，再结合椭圆中a、b、c的关系，建立方程解出即可．【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线为，又渐近线与圆：相切，故，又，∴，解得，故选B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．9．在中，角的对边分别为，若的面积为，则( )A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【解析】利用三角形的面积公式得到利用正弦定理将其边化角，结合两角和的正弦公式及同角基本关系可得结果.【详解】由题意，知的面积，得，再由正弦定理得，因为，所以，即，所以,两边同时除以,得.故选D.【点睛】本题考查了三角形面积公式及正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式及同角基本关系式，运用了弦化切的方法，属于中档题.10．已知函数（），若，为其图象上两相邻的对称中心，且函数的最大值为3，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由两点坐标确定周期，可得，由五点法确定，由最值确定A、B可得解析式，将x=代入求值即可.【详解】∵，为函数图象上两相邻的对称中心，∴，（其中为函数的最小正周期），则，解得，所以，，即，，又，所以.因为函数的最大值为3，所以，故，所以．故选B.【点睛】本题考查了由三角函数的性质确定解析式，涉及正弦型函数的图像特征，属于基础题. 11．已知抛物线：，若直线：被抛物线截得的弦长为17，则与抛物线相切且平行于直线的直线方程为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由于直线过抛物线的焦点，所以根据抛物线定义求弦长，解得，再根据直线与抛物线相切得判别式为零求结果.【详解】设抛物线的焦点为，则，可得直线过焦点，设直线交抛物线于点，由抛物线定义可知，联立直线与抛物线的方程，消去得，所以，则，解得，则抛物线的方程为.设与抛物线相切且平行于直线的直线方程为，联立方程，消去得，则，解得，故所求直线方程为.故选B. 【点睛】凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出．12．若函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，所得函数的图象与函数图象上存在关于原点对称的点，且的最小值为，则实数( )A．B．2 C．3 D．【答案】A【解析】先根据函数的图像变换规则及对称性求得相应的函数解析式，然后将题目转化为方程有解，分离a，构造函数，利用导数分析函数的单调性及最值，可得a的范围.【详解】∵函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，∴所得图象的对应函数解析式为即.因为曲线关于原点对称的曲线为，所以当曲线与曲线有交点时，满足题意，故方程有解，即有解，令（），可知直线与的图象有交点.又，令，可得，（舍去），故当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，故，所以的最小值为，又的最小值为，∴，解得，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数图像交点的问题，考查了函数的性质及图像变换的应用，考查了转化思想，属于中档题.二、填空题13．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．【答案】【解析】先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，易知，故，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14．已知一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆锥侧面爬行，若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能性相等，且将蚂蚁看作一个点，则蚂蚁距离圆锥顶点超过的概率为______．【答案】【解析】先找到对立事件，利用圆锥侧面积公式结合几何概型的概率计算公式计算比值，再用1减去比值即可得到所求.【详解】易得圆锥的母线长为，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过时，蚂蚁应爬行在底面半径为，母线长为的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过的概率为，故答案为.【点睛】本题考查了几何概型问题，考查了圆锥表面积公式，关键是确定几何概型的测度，属于基础题.15．已知函数，，且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，若、均为正数，则的最小值为_____．【答案】【解析】先由导数值求得斜率，建立m、n的关系式，再构造均值不等式求解，求得最值,【详解】由题意，得，得，又，得.由已知可得，即，故，当且仅当，即时取等号，故填．【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题16．在面积为4的正方形中，是线段的中点，现将图形沿折起，使线段重合，得到一个四面体（其中点B重合于点A），则该四面体外接球的表面积为______．【答案】【解析】先确定三角形ACD外心，再根据平面，确定外接球球心在过且平行于直线上，最后解方程得球半径，根据球表面积公式得结果.【详解】作出图形如图所示，由图可知在四面体中，，，，故平面，将图形旋转得到如图所示的三棱锥，其中为等边三角形，过的中心作平面的垂线，过线段的中点作平面的垂线，易得直线与相交，记，则即为三棱锥外接球的球心.设外接球的半径为R，连接、，可得,在中，，故外接球的表面积，故答案为.【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．三、解答题17．已知数列满足，其中为数列的前项和，若，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，试比较与的大小．【答案】(1) (2)【解析】（1）先由题意求得t，得到的表达式，可求得a n；（2）由（1）得b n，结合对数的运算性质进行求和，并进行比较.【详解】（1）由，，可得，又，解得，故，即，当时，，∴，当时，符合上式，故数列的通项公式为．（2）由（1）可得，，∴，易知，所以，故．【点睛】本题考查数列中由求数列通项及数列求和的问题，考查了对数的求和及对数的运算性质的应用，属于中档题.18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，且，．（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离．【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）过点C作,连接，根据已知条件可证平面，则，可求，利用数据可得，又由已知可得，则平面，可得面面垂直.（2）利用等体积转化求解点到平面的距离．【详解】（1）过点C作,为垂足，连接，由已知得，，易得，且，，又平面，∴平面，∴，故，可知在中，，∴，∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）连接,由，可得，又，可得平面，即平面，故为三棱锥的高，∴.由（1），知，，，，故.设点到平面的距离为，则，又，，，∴，即点到平面的距离为．【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了空间线线、线面的位置关系，考查了利用等体积转化求点到面的距离，属于中档题.19．2018年3月，国家癌症中心发布了中国最新癌症数据，下表统计了我国男、女性癌症发病率前5类的数据：我国癌症发病率（单位：发病人数/10万）TOP5（1）记男、女性癌症前5类发病率的平均值分别为，计算并比较与的大小；（2）定义高于本性别前5类发病率平均值的癌种为高发病率癌种，在男、女性前5类癌种中每个癌种各取1人，在所选取的10人中随机抽取2人，求2人都是高发病率癌种患者的概率．【答案】（1），．．（2）【解析】（1）直接由平均数公式计算即可.（2）用列举法列出所有基本事件，找出符合条件的种数，利用古典概型概率公式计算概率.【详解】（1）由统计表可得，．从而可知．（2）由定义，知男性中肺癌为高发率癌种，记抽取的男性肺癌患者为，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，记抽取的女性乳腺癌患者为，女性肺癌患者为，抽取的其余7人分别为，则从10人中随机抽取2人，所有的可能事件为：，共45种结果，其中2人都是高发病率癌种患者的有：，共3种结果，故2人都是高发病率癌种患者的概率为．【点睛】本题考查数据的平均数求解以及古典概型概率公式，考查了计算能力与分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）取点，过点作轴垂线，则直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由焦距及△AF1B的周长为4．可得a，b2，即可得出椭圆方程．（2）由题意可设l：，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B纵坐标的和与积，再由已知综合运算求得x，可得结论．【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意，知，可知，由椭圆的定义知,的周长为，∴，故，∴椭圆的方程为.（2）显然过点的直线不与轴重合，可设直线的方程为，且，，联立方程，消去得，∴根据根与系数的关系，得，，联立直线与直线的方程，得，解得，将，代入，得，与无关，故直线与直线的交点恒在一条定直线上，且定直线的方程为．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题．21．已知函数．（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．（参考数据：）【答案】（1）（2）【解析】（1）求出函数的导数，利用，求解a，利用导函数的符号，进行检验．（2）将恒成立，转化为，构造函数g（x），利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，求解a的范围．【详解】（1）由题意，知函数的定义域为，且，由已知得，∴，解得．即,当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，满足在处取得极值，所以a=-1.（2）由，得，，∴，令，，则只需满足即可，又，令，，则.当时，恒成立，∴在区间上单调递减，∴，即，∴存在，使得，当时，，，函数单调递增，当时，，，函数单调递减，又∵，，∴当时，，∴．故实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数综合应用，函数的单调性以及函数的极值、最值，考查构造法的应用，考查了分析问题的能力，属于难题．22．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）已知直线的极坐标方程为（），若曲线C上至少有3个点到直线的距离为1，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据同角三角函数关系消参数得普通方程，再根据,,得极坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得圆心到直线的距离不大于1，再根据点到直线距离公式列不等式，解得结果.【详解】（1）由得，所以，即，由,,,得曲线的极坐标方程为（2）（法一）由（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，当曲线上至少有3个点到直线的距离为1时，此时圆心到直线的距离不大于1，设直线的直角坐标方程为，即，其中，∴圆心到直线的距离为，解得，即，∵，∴．（法二）由题意及（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，直线与圆相交于原点，当曲线上至少有3个点到直线的距离为1时，直线与圆相交的弦长不小于，将代入曲线的极坐标方程，得，即，又，∴，故，即的取值范围是．【点睛】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法，经常用到公式：.不要忘了参数的范围.23．选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据范围去掉绝对值，再根据一次函数性质列条件，解不等式组得结果.【详解】（1）∵，∴，即，或解得，故实数的取值范围为.（2）由，得，∵，可得，，∴，即为，化简得，∵时，恒成立，∴，解得．故实数的取值范围为.【点睛】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.。

2019届第一次全国大联考（新课标Ⅲ卷）数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求解A,再根据并集的定义进行求解即可．【详解】∵,,∴.故选A.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，根据并集的定义是解决本题的关键．2．设为虚数单位，复数，若，则复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】结合正余弦函数的值域，利用复数的几何意义即可得出．【详解】由，得，又实部，故复数在复平面内所对应的点在第二象限，故选B.【点睛】本题考查了复数的几何意义，涉及正余弦函数的值域问题，属于基础题．3．如图，在矩形中，，，点，分别在，上，且，若沿点，连线折成如图所示的多面体，使平面，则该多面体的正视图的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图及条件可证，可得AB，由此可求正视图的面积.【详解】由题意，得，，由平面，得，所以，∴所求多面体的的正视图的面积为．故选A.【点睛】本题考查了折叠体问题，考查了三视图的知识及空间线面、线线位置关系，属于基础题. 4．函数在区间上的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先判断f（x）的奇偶性，利用奇偶性及f（x）的特殊函数值排除选项，即可得出答案．【详解】∵，∴，故函数为奇函数，排除B；又且时，函数无零点，排除A、D，故选C．【点睛】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据循环确定求和，再根据等比数列求和公式得结果.【详解】由图知输出的结果．故选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6．已知向量，为单位向量，若，则向量，的夹角大小为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将向量的垂直关系用数量积表示，化简可得结果.【详解】由，得，即，所以，所以向量，的夹角大小为，故选C.【点睛】本题考查了向量数量积的运算性质，考查了向量的垂直关系的转化及夹角公式，属于基础题.7．若，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由诱导公式及二倍角公式将原式化为，再将其变形为齐次分式型，利用同角基本关系式可得，代入所求式子中即可求解.【详解】由，得，即，所以，即，解得或，故．故选B.【点睛】本题考查了三角函数中的诱导公式、二倍角公式，考查了同角基本关系式的应用，关键是熟练运用公式解决问题.8．设双曲线：的离心率为，其渐近线与圆：相切，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据双曲线C的渐近线与圆相切，利用d＝r，得到m与e的关系式，再结合椭圆中a、b、c的关系，建立方程解出即可．【详解】由题意，取双曲线的一条渐近线为，又渐近线与圆：相切，故，又，∴，解得，故选B.【点睛】本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．9．在中，角的对边分别为，若的面积为，则( )A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【解析】利用三角形的面积公式得到利用正弦定理将其边化角，结合两角和的正弦公式及同角基本关系可得结果.【详解】由题意，知的面积，得，再由正弦定理得，因为，所以，即，所以,两边同时除以,得.故选D.【点睛】本题考查了三角形面积公式及正弦定理的应用，考查了两角和的正弦公式及同角基本关系式，运用了弦化切的方法，属于中档题.10．已知函数（），若，为其图象上两相邻的对称中心，且函数的最大值为3，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由两点坐标确定周期，可得，由五点法确定，由最值确定A、B可得解析式，将x=代入求值即可.【详解】∵，为函数图象上两相邻的对称中心，∴，（其中为函数的最小正周期），则，解得，所以，，即，，又，所以.因为函数的最大值为3，所以，故，所以．故选B.【点睛】本题考查了由三角函数的性质确定解析式，涉及正弦型函数的图像特征，属于基础题. 11．已知抛物线：，若直线：被抛物线截得的弦长为17，则与抛物线相切且平行于直线的直线方程为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由于直线过抛物线的焦点，所以根据抛物线定义求弦长，解得，再根据直线与抛物线相切得判别式为零求结果.【详解】设抛物线的焦点为，则，可得直线过焦点，设直线交抛物线于点，由抛物线定义可知，联立直线与抛物线的方程，消去得，所以，则，解得，则抛物线的方程为.设与抛物线相切且平行于直线的直线方程为，联立方程，消去得，则，解得，故所求直线方程为.故选B. 【点睛】凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出．12．若函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，所得函数的图象与函数图象上存在关于原点对称的点，且的最小值为，则实数( )A．B．2 C．3 D．【答案】A【解析】先根据函数的图像变换规则及对称性求得相应的函数解析式，然后将题目转化为方程有解，分离a，构造函数，利用导数分析函数的单调性及最值，可得a的范围.【详解】∵函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，∴所得图象的对应函数解析式为即.因为曲线关于原点对称的曲线为，所以当曲线与曲线有交点时，满足题意，故方程有解，即有解，令（），可知直线与的图象有交点.又，令，可得，（舍去），故当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，故，所以的最小值为，又的最小值为，∴，解得，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数图像交点的问题，考查了函数的性质及图像变换的应用，考查了转化思想，属于中档题.二、填空题13．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______．【答案】【解析】先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域，如图中阴影部分所示，易知，故，又，设的外接圆的半径为，则由正弦定理得，即，故所求外接圆的面积为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14．已知一只蚂蚁在底面半径为，高为的圆锥侧面爬行，若蚂蚁在圆锥侧面上任意一点出现的可能性相等，且将蚂蚁看作一个点，则蚂蚁距离圆锥顶点超过的概率为______．【答案】【解析】先找到对立事件，利用圆锥侧面积公式结合几何概型的概率计算公式计算比值，再用1减去比值即可得到所求.【详解】易得圆锥的母线长为，当蚂蚁距离圆锥顶点不超过时，蚂蚁应爬行在底面半径为，母线长为的小圆锥侧面上，由几何概型可知，蚂蚁距离圆锥顶点超过的概率为，故答案为.【点睛】本题考查了几何概型问题，考查了圆锥表面积公式，关键是确定几何概型的测度，属于基础题.15．已知函数，，且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，若、均为正数，则的最小值为_____．【答案】【解析】先由导数值求得斜率，建立m、n的关系式，再构造均值不等式求解，求得最值,【详解】由题意，得，得，又，得.由已知可得，即，故，当且仅当，即时取等号，故填．【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题16．在面积为4的正方形中，是线段的中点，现将图形沿折起，使线段重合，得到一个四面体（其中点B重合于点A），则该四面体外接球的表面积为______．【答案】【解析】先确定三角形ACD外心，再根据平面，确定外接球球心在过且平行于直线上，最后解方程得球半径，根据球表面积公式得结果.【详解】作出图形如图所示，由图可知在四面体中，，，，故平面，将图形旋转得到如图所示的三棱锥，其中为等边三角形，过的中心作平面的垂线，过线段的中点作平面的垂线，易得直线与相交，记，则即为三棱锥外接球的球心.设外接球的半径为R，连接、，可得,在中，，故外接球的表面积，故答案为.【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．三、解答题17．已知数列满足，其中为数列的前项和，若，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，试比较与的大小．【答案】(1) (2)【解析】（1）先由题意求得t，得到的表达式，可求得a n；（2）由（1）得b n，结合对数的运算性质进行求和，并进行比较.【详解】（1）由，，可得，又，解得，故，即，当时，，∴，当时，符合上式，故数列的通项公式为．（2）由（1）可得，，∴，易知，所以，故．【点睛】本题考查数列中由求数列通项及数列求和的问题，考查了对数的求和及对数的运算性质的应用，属于中档题.18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，且，．（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离．【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）过点C作,连接，根据已知条件可证平面，则，可求，利用数据可得，又由已知可得，则平面，可得面面垂直.（2）利用等体积转化求解点到平面的距离．【详解】（1）过点C作,为垂足，连接，由已知得，，易得，且，，又平面，∴平面，∴，故，可知在中，，∴，∵平面，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）连接,由，可得，又，可得平面，即平面，故为三棱锥的高，∴.由（1），知，，，，故.设点到平面的距离为，则，又，，，∴，即点到平面的距离为．【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了空间线线、线面的位置关系，考查了利用等体积转化求点到面的距离，属于中档题.19．2018年3月，国家癌症中心发布了中国最新癌症数据，下表统计了我国男、女性癌症发病率前5类的数据：我国癌症发病率（单位：发病人数/10万）TOP5（1）记男、女性癌症前5类发病率的平均值分别为，计算并比较与的大小；（2）定义高于本性别前5类发病率平均值的癌种为高发病率癌种，在男、女性前5类癌种中每个癌种各取1人，在所选取的10人中随机抽取2人，求2人都是高发病率癌种患者的概率．【答案】（1），．．（2）【解析】（1）直接由平均数公式计算即可.（2）用列举法列出所有基本事件，找出符合条件的种数，利用古典概型概率公式计算概率.【详解】（1）由统计表可得，．从而可知．（2）由定义，知男性中肺癌为高发率癌种，记抽取的男性肺癌患者为，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，记抽取的女性乳腺癌患者为，女性肺癌患者为，抽取的其余7人分别为，则从10人中随机抽取2人，所有的可能事件为：，共45种结果，其中2人都是高发病率癌种患者的有：，共3种结果，故2人都是高发病率癌种患者的概率为．【点睛】本题考查数据的平均数求解以及古典概型概率公式，考查了计算能力与分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）取点，过点作轴垂线，则直线与直线的交点是否恒在一条定直线上？若是，求该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由焦距及△AF1B的周长为4．可得a，b2，即可得出椭圆方程．（2）由题意可设l：，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B纵坐标的和与积，再由已知综合运算求得x，可得结论．【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意，知，可知，由椭圆的定义知,的周长为，∴，故，∴椭圆的方程为.（2）显然过点的直线不与轴重合，可设直线的方程为，且，，联立方程，消去得，∴根据根与系数的关系，得，，联立直线与直线的方程，得，解得，将，代入，得，与无关，故直线与直线的交点恒在一条定直线上，且定直线的方程为．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于难题．21．已知函数．（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．（参考数据：）【答案】（1）（2）【解析】（1）求出函数的导数，利用，求解a，利用导函数的符号，进行检验．（2）将恒成立，转化为，构造函数g（x），利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，求解a的范围．【详解】（1）由题意，知函数的定义域为，且，由已知得，∴，解得．即,当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，满足在处取得极值，所以a=-1.（2）由，得，，∴，令，，则只需满足即可，又，令，，则.当时，恒成立，∴在区间上单调递减，∴，即，∴存在，使得，当时，，，函数单调递增，当时，，，函数单调递减，又∵，，∴当时，，∴．故实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数综合应用，函数的单调性以及函数的极值、最值，考查构造法的应用，考查了分析问题的能力，属于难题．22．选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；（2）已知直线的极坐标方程为（），若曲线C上至少有3个点到直线的距离为1，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据同角三角函数关系消参数得普通方程，再根据,,得极坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得圆心到直线的距离不大于1，再根据点到直线距离公式列不等式，解得结果.【详解】（1）由得，所以，即，由,,,得曲线的极坐标方程为（2）（法一）由（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，当曲线上至少有3个点到直线的距离为1时，此时圆心到直线的距离不大于1，设直线的直角坐标方程为，即，其中，∴圆心到直线的距离为，解得，即，∵，∴．（法二）由题意及（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，直线与圆相交于原点，当曲线上至少有3个点到直线的距离为1时，直线与圆相交的弦长不小于，将代入曲线的极坐标方程，得，即，又，∴，故，即的取值范围是．【点睛】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法，经常用到公式：.不要忘了参数的范围.23．选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据范围去掉绝对值，再根据一次函数性质列条件，解不等式组得结果.【详解】（1）∵，∴，即，或解得，故实数的取值范围为.（2）由，得，∵，可得，，∴，即为，化简得，∵时，恒成立，∴，解得．故实数的取值范围为.【点睛】形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合，集合，则 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意得到集合B的元素，再根据集合的交集的概念得到结果.【详解】集合，集合=，根据集合交集的概念得到.故答案为：B.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．2.已知复数，其中为虚数单位，则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由复数的除法运算得到复数z，再根据复数的模长公式得到模长即可.【详解】复数=根据复数模长公式得到故答案为：D.【点睛】复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．3.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。

若=1，则( )A. 16B. 15C. 8D. 7【答案】B【解析】解：∵4，2，成等差数列∴4a1+a3= 8a2，∴4a1+ a1•q2="2" a1q，即（4+q2） 2 = q∴q=2∴S4=a1(1-q4)（ 1-q ）=1×(1-24)( 1-2 )=15故选B4.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了对照表：（单位:）(单位：度)由表中数据得线性回归方程：.则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】样本平均数为，即样本中心，则线性回归方程过，则，解得，即的值为，故选C.5.下列四个结论：①命题“”的否定是“”；②若是真命题，则可能是真命题；③“且”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减.其中正确的是（）A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④【答案】A【解析】【分析】①特称命题的否定是：换量词，否结论，不变条件；根据这一准则判正误即可；②若是真命题，则p和q均为真命题，可得到结果；③a,b的范围不唯一，“且”是“”的充分不必要条件；即可得正误；④幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，>0函数增，<0函数减.【详解】①命题“”的否定是“”，特称命题的否定是：换量词，否结论，不变条件；故选项正确；②若是真命题，则p和q均为真命题，则一定是假命题；故选项不正确；③“且”则一定有“”，反之“”，a>0,b>0也可以满足，即a,b的范围不唯一，“且”是“”的充分不必要条件，故选项不正确；④当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的，幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，>0函数增，<0函数减.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了命题的判断，其中涉及到特称命题，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定式特称命题，还有幂函数的应用，幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，>0函数增，<0函数减.6.在上函数满足，且，其中，若，则a= ( )A. 0.5B. 1.5C. 2.5D. 3.5【答案】C【解析】【分析】先由题干得到函数的周期为2，进而得到=a-1,=1.5，根据，列方程，求出a值.【详解】在上函数满足，可得到函数的周期为2，故,故f(-1)=a-1,f(0.5)=1.5,所以a-1=1.5，解得a=2.5.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了分段函数的性质和应用，这类题的常见题型及解决方法有：（1）此类求值问题，一般要求的式子较多，不便逐个求解.求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律,进而去化简，从而得到问题的解决方法;（2）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解;（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制．7.已知点A(2,1)，O是坐标原点，点的坐标满足：，设，则的最大值是（）．A. -6B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】先由不等式组得到可行域，将目标函数化为，由图像得到在过点A(1,2)时z取得最大值，代入得到z=4.【详解】根据题意以及不等式组得到可行域，如图，是由CBO围成的三角形内部，，变形为，根据图像得到函数在过点C(1,2)时z取得最大值，代入得到z=4.故答案为：D.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

三湘名校教育联盟•2019届高三第一次大联考文数学一、选择题:本题共12小题,毎小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R ，集合 A=={145|2--x x x <0}，B={3<<3|x x - }，则图中阴影部分表示的集合为A. (-3,-2]B. (-2,3]C. (2,3]D.[3,7)2.若复数z 满足i i z +=+7)2(的共轭复数z 在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限3.已知向量)2,2(),2,1(-=+=b a λ,若|2||2|b a b a +=-，则λA.-3B. -1C.1D.24.函数2||ln ||)(x x x x f =的图像大致为5.已知{n a }是等比数列，数列{n b }满足*∈=N n a b n ,log 2 ，且442=+b b ，则3a 的值为A. 1B.2C.4D. 166.设Z a ∈，函数a x e x f x -+=)(，若命题p ：“0))(),1,1(≠-∈∀x f x ”是假命题，则a 的取值个数有A. 1个B. 2个C.3个D. 4个7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.488.在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线b x y +=与圆ay x x =+2有交点的概率为21，则a =A. 41B. 21C. 1D.29.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。

其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S 用算筹表示为10. 将函数)2<|)(|cos()(πϕϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2π=x 对称，则ϕ= A. 125π- B. 3π- C. 3π D. 125π11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为π4，则正方体外接球的体积为 A. π68 B. π36 C. π332 D. π66412.过抛物线x y 42=的焦点F 且倾斜角为60°的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则|MN| = A. 332 B.3 C. 334 D. 32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019学年高三第一次联考数学（文科）1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，故选C.2. 若（为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得：，故选B.3. 如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，则第三小组的频率为（）A. 0.125B. 0.25C. 0.375D. 0.5【答案】C【解析】试题分析：由直方图知前三组的频率之和为，所以第三小组的频率为，故选C．考点：频率分布直方图．4. 若向量，则（）A. -36B. 36C. 12D. -12【答案】D【解析】根据数量积定义知：，故选D.5. 已知等差数列的前3项依次为，前项和为，且，则的值为（）A. 9B. 11C. 10D. 12【答案】C【解析】由成等差数列得：，解得，所以，所以，解得，故选C.6. 如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形（单位：），且该三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积为（）A. 5B. 10C. 15D. 30【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面三角形两直角边长分别为3，5，设该三棱锥的高为H，将该三棱锥补成长方体可知，该三棱锥的外接球的直径为，该三棱锥的外接球的表面积为，解得，所以该三棱锥的体积为，故选B................7. 已知直线将圆所分成的两段圆弧的长度之比为1：2，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，劣弧所对的圆心角为120°，半径为2，圆心为，所以圆心到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离，所以，故选C.8. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 2B. -1C. 1D. 0【答案】C【解析】执行程序，当，，，，按照此规律，，当执行完后，不满足条件，跳出循环，所以输出，故选C.9. 已知等比数列的前项和为，则的值为 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，又，解得，故选C.10. 在中，（如下图），若将绕直线旋转一周，则形成的旋转体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以,所以旋转体的体积：.故选：D．11. 函数的图象可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，所以函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除；当时，，排除B，故选A.12. 已知函数，若函数在上的最小值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，，若，则，函数单调递增，所以，矛盾；若，函数在上递减，在上递增，所以，解得；若，函数是递增函数，所以，矛盾；若，函数单调递减，所以，解得，矛盾.综上，故选A.13. 已知函数，则__________．【答案】4【解析】由题意，故填.14. 已知实数满足，则的最小值是__________．【答案】0【解析】作出可行域如图阴影部分，由得，平移直线，由平移可知当直线，当直线和OA重合时，直线的截距最大，此时z取得最小值为0，即的最小值是0．15. 定长为4的线段两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为__________．【答案】【解析】设，抛物线的交点为F，抛物线的准线，所求的距离，（两边之和大于第三边且M,N,F三点共线时取等号），所以.答案为：.16. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由题意，有解，即有解，令，，当时，当时，所以，故只需. 17. 在中，角的对边分别为，且．（1）求的值；（2）若的周长为5，求的面积．【答案】（1）故；（2）．【解析】试题分析：（1）由已知及正余弦定理可求，又0＜A＜π，则可求的值．（2）由周长求边长c,根据面积公式计算可得.试题解析：1）由及正弦定理，得，又由余弦定理，得，故．（2）若的周长为5，又，所以．故的面积为．18. 经研究，城市公交车的数量太多容易造成资源浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司从某站占的40名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：）作为样本分成5组如下表：（1）估计这40名乘客中侯车时间不少于20分钟的人数；（2）若从上表侯车时间不少于10分钟的7人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人侯车时间都不少于20分钟的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据15名乘客中候车时间少于20分钟频数和为5，可估计这40名乘客中候车时间少于20分钟的人数；（2）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案．试题解析：（1）侯车时间不少于20分钟的概率为，所以估计侯车时间不少于20分钟的人数为．（2）将侯车时间在范围的4名乘客编号为；侯车时间在范围的3名乘车编号为．从7人中任选两人包含以下21个基本事件：，，其中抽到的两人侯车时间都不少于20分钟包含以下3个基本事件：，故所求概率为．19. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，是正三角形，是的中点．（1）求证：；（2）判定是否平行于平面，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）取AD中点M,连接CM、PM,推导出，从而平面，由此能证明．（2）取PA的中点F，连接BF、FE，推导出四边形BCEF为平行四边形，从而CE∥BF，由此能证明CE∥平面PAB．试题解析：（1）取的中点为，连接，由于是正三角形，所以，又易知四边形是平行四边形，所以，所以，平面平面，又，故平面，又平面，故.（2）平行于平面，理由如下：取的中点为，连接．可知，又，所以四边形为平行四边形，故.又平面平面，所以平面.20. 已知椭圆过点，椭圆的左焦点为，右焦点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，且，直线与直线分别交于两点．（1）求椭圆的方程及线段的长度的最小值；（2）是椭圆上一点，当线段的长度取得最小值时，求的面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（I）由椭圆和抛物线y2＝4x有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）根据（I）写出点A，B，设点P和直线AP，BP的方程，并且与直线y=3分联立，求出G，H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求, 当平行于的直线与椭圆下方相切时，的面积取最大值,求此时三角形面积即可.试题解析：（1）由，得，所以，又椭圆过点，所以，解得，故椭圆的方程为，设点，则由，得，即，则，由，得，所以线段的长度取得最小值.（2）由（1）可知，当的长度取得最小值时，，将点代入，得，故此时点，则直线的方程为，此时，当平行于的直线与椭圆下方相切时，的面积取最大值，设直线，则由，得，则，所以，或（舍去）．由平行线间的距离公式，得此时点到直线的距离.故，即的面积的最大值为.21. 设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求函数的最值．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调区间；（2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，注意分类讨论．试题解析：（1），令，得，①若，则恒成立，所以函数在上单调递增；②若，则由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；③若，则由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；④若，则恒成立，所以函数在上单调递减.（2）若，①当时，，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，故时，函数有最大值，无最小值；②当时，，由（1）得，函数在上单调递增，在上单调递减，故时，函数有最小值，无最大值.22. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．已知点的参数方程为（为参数），点在曲线上．（1）求在平面直角坐标系中点的轨迹方程和曲线的普通方程；（2）求的最大值．【答案】（1），曲线的普通方程为；（2）. 【解析】试题分析：（1）消参的普通方程，利用转化公式极坐标化普通方程；（2）数形结合，转化为线段上一点与圆上一点距离的最大值，注意利用垂线段最短及点与圆上点距离最大值的求法.试题解析：（1）由消去参数，得，又，∴，故点的轨迹方程是，∵，∴，∴，即，故曲线的普通方程为.（2）如图：由题意可得，点的线段上，点在圆上，∵圆的圆心到直线的距离，∴直线与圆相切，且切点为，精品易知线段上存在一点，则点与圆心的连线，与圆的交点满足取最大值.即当点坐标为时，取最大值.∵，∴的最大值为.- 11 -。