下载文档原格式
外微分统一四大积分公式作者：王桦来源：《青年文学家》2012年第03期摘要：Newton－Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式是数学分析中联系一元函数及多元函数微分与积分关系的基本公式，本文先利用外微分的形式将一维与高维的四个基本公式统一起来，然后利用外积运算，推导了多变量积分变量代换公式中微元的代换公式。
关键词：微分、积分、外微分作者简介：王桦，女（1973.2.15-），长沙理工大学数学与计算科学学院，学历：博士，研究方向：复分析。
[中图分类号]：O186.15 [文献标识码]：A[文章编号]：1002-2139(2012)-03-0247-02微分、积分的概念古已有之，使之成为一门学问而发扬光大的是由Newton和Leibniz证明了的微积分基本定理，这一定理指出了微分与积分是一对矛盾关系，这只是对于一维的情形。
对于高维情形同样也有相应的三个部分，即微分，积分及联系微分与积分的微积分基本定理，只是微分部分中有偏微分、全微分、及与微商相当的Jacobi矩阵；积分部分有重积分、线积分、曲面积分等。
这些都是一维微积分的自然推广，于是也可列出高维中相应的定理。
而关于第三部分，在高维情况下，什么是微积分基本公式？又是什么定理刻画了高维情形下微分、积分这一对矛盾？是Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式担当了一维中Newton-Leibniz公式的角色。
本文主要运用外微分统一一维和高维的情形的基本积分公式，即统一Newton-Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式。
本文仅在在三维空间中讨论。
一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量各分量的微分，，，其外积运算用表示，如与的外积记为，它们满足以下运算法则：（1）（是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如；（5）结合律，；注：，，。
外微分尹小玲(以下仅在三维空间中讨论)一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用Ù表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx Ù，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx Ù=Ù，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx Ù+Ù=+Ù)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx Ù-=Ù；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=Ùdx dx ；（5）结合律，dz dy dx dz dy dx ÙÙ=ÙÙ)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。
dy dx dx dz dz dy ÙÙÙ,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ÙÙ在几何上可以理解为有向体积微元。
因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。
把微分的外积运算与向量的外积运算b a r r ´相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。
而||b a r r ´在几何上是以b a r r ,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =Ù||，dzdx dx dz =Ù||，dxdydy dx =Ù||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F（1）RdzQdy Pdx ++（2）dyCdx dx Bdz dz Ady Ù+Ù+Ù（3）dz dy Fdx ÙÙ（4）例p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。
国内外微课研究现状关于微课程的概念，不同领域的人有不同的理解。
在国外，对微课程的研究和实践也在不断发展。
2．e-Learning领域的微课程定义和实践在e-Learning领域，微课程被定义为“小而美”的研究资源，通常时长不超过15分钟，内容紧凑、易于理解。
微课程通常包含视频、音频、图像、文字等多种形式的研究材料，可以随时随地进行研究。
目前，许多在线教育平台都提供了微课程的研究资源。
3．基础教育领域的微课程定义和实践在基础教育领域，微课程通常被定义为“小班课”，是一种针对学生个性化研究需求的教学形式。
微课程通常由老师录制，学生可以在家中进行研究，老师也可以通过微信等社交媒体与学生进行互动。
微课程的实践在国内已经得到了广泛的推广。
4．高等教育研究领域的微课程定义和实践在高等教育研究领域，微课程通常被定义为“小型研究单元”，可以作为课程的一部分，也可以作为独立的研究资源。
微课程的实践主要集中在MOOC（大规模开放在线课程）等在线研究平台上，可以帮助学生更好地掌握知识和技能。
三、结语总的来说，微课程作为一种新兴的教学形式，具有许多优势，可以帮助学生更好地研究和掌握知识。
但是，微课程的定义和实践还需要进一步的研究和探索，以更好地适应不同领域的教学需求。
在国外，与“微课程”相关的名词有Minicourse、Microlecture、Microlesson等，但它们对“微型课程”的研究取向不完全相同。
例如，XXX于1960年首先提出微型课程（Minicourse），也可称为短期课程或课程单元；XXX于1998年实施的MicroLESSONS研究项目，涉及多门课程领域，其主要目的是培训教师可以构建微型课程。
这些微型课程的特点是课程时间短，一般为30分钟至1个小时，教学目标单纯集中，重视研究情境、资源、活动的创设，为学生提供有效的研究支架，同时也为教师提供一系列支架帮助其进行具体的教学设计。
此外，2004年7月，英国启动教师电视频道（），每个节目视频时长15分钟，频道开播后得到教师的普遍认可，资源的积累最达到35万分钟的微课视频节目；2008年秋，XXX的“一分钟教授”XXX（DavidPenrose）因首创了影响广泛的“一分钟的微视频”的“微课程”（Microlecture）而声名远播，其核心理念是要求教师把教学内容与教学目标紧密地联系起来，以产生一种“更加聚焦的研究体验”。
有限元外微积分的应用
有限元方法是一种常用于工程领域的数值计算方法，它能够通过离散化和逼近，将连续的物理问题转化为离散的代数问题，从而得到数值解。
有限元方法在微积分中有着广泛的应用，可以帮助工程师和科学家解决各种实际问题。
在结构力学中，有限元方法可以用来分析结构的应力和变形。
通过将结构划分为有限数量的单元，应力和变形可以在每个单元中进行计算。
这些单元之间通过节点进行连接，形成一个离散的网络。
然后，通过求解线性方程组，可以得到结构的应力和变形分布。
这种方法可以帮助工程师设计更安全和可靠的结构。
在热传导问题中，有限元方法可以用来计算材料内部的温度分布。
通过将材料划分为有限数量的单元，可以在每个单元中计算温度。
这些单元之间通过节点进行连接，形成一个离散的网络。
然后，通过求解线性方程组，可以得到材料内部的温度分布。
这种方法可以帮助工程师设计更高效和节能的热传导系统。
在流体力学中，有限元方法可以用来模拟流体的流动。
通过将流体域划分为有限数量的单元，可以在每个单元中计算流体的速度和压力。
这些单元之间通过节点进行连接，形成一个离散的网络。
然后，通过求解非线性方程组，可以得到流体的速度和压力分布。
这种方法可以帮助工程师设计更优化和可持续的流体系统。
有限元方法在微积分中的应用非常广泛，可以帮助解决各种实际问题。
通过将连续的物理问题转化为离散的代数问题，有限元方法能够提供准确和可靠的数值解。
无论是在结构力学、热传导还是流体力学领域，有限元方法都发挥着重要的作用，为工程师和科学家提供了强大的工具。
企业大中小微企业规模划分标准企业规模划分是指根据企业的经营规模、资产规模、雇员人数等指标将企业分为不同规模等级的分类，并根据不同规模等级制定不同的管理及政策措施。
目前，国内外关于企业规模划分的标准有多种，一般可根据企业的资产规模、雇员人数以及年营业额等指标来进行划分。
三是根据企业的经营规模、资产规模、雇员人数等指标将企业分为不同规模等级的分类，并根据不同规模等级制定不同的管理及政策措施。
目前，国内外关于企业规模划分的标准有多种，一般可根据企业的资产规模、雇员人数以及年营业额等指标来进行划分。
一、企业规模划分的主要标准1.根据资产规模的划分标准根据企业的资产规模来划分企业规模，这是一种较为常见的划分标准。
一般而言，企业可分为大、中、小、微四个规模等级。
依据资产规模标准的划分，一般可采用总资产规模的大小、净资产规模的大小或者注册资本额大小来划分企业规模。
比如，国内一般将总资产在5000万元以上的企业划分为大型企业，1000万元至5000万元的企业划分为中型企业，1000万元以下的企业划分为小型企业，而在100万元以下的企业则划分为微型企业。
2.根据雇员人数的划分标准除了资产规模外，企业的雇员人数也是一个重要的划分标准。
国内外都有以雇员人数为标准来划分企业规模的例子。
比如，美国根据企业的雇员人数将企业分为小型企业（少于500人）、中型企业（500-999人）和大型企业（1000人以上）。
而在中国，一般将雇员人数在300人以上的企业划分为大型企业，100-300人的企业划分为中型企业，而在100人以下的企业则划分为小型企业。
3.根据年营业额的划分标准另外一个常见的企业规模划分标准是根据企业的年营业额来进行划分。
有些国家将企业划分为微型、小型、中型和大型四个规模等级，其中微型企业一般营业额为100万元以下，小型企业为100万元至1000万元，中型企业为1000万元至1亿元，大型企业为1亿元以上。
以上是企业规模划分的主要标准，不同国家和地区对企业规模划分标准可能会有所不同，具体的划分标准应该根据实际情况来确定。
外微分的几何意义摘要：1.外微分的定义和起源2.外微分的几何意义3.外微分在数学和物理中的应用4.外微分与其他微分形式的比较5.外微分的发展历程和未来趋势正文：外微分是微积分中的一个重要概念，起源于19世纪初期。
它是由德国数学家格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼和法国数学家克劳德·路易·马里·希尔伯特先后提出的。
外微分在几何、拓扑、数学和物理等领域具有广泛的应用，它的几何意义及其与其他微分形式的关系值得我们深入探讨。
外微分的几何意义主要体现在对流形上的函数进行微分操作时，将函数的微分转化为流形本身的微分。
具体来说，对于一个定义在流形上的实值函数f，其外微分df表示为一个线性映射，将切空间T_xM映射到T_xM的切空间。
这个线性映射的矩阵表示就是df在点x处的雅可比矩阵。
通过外微分，我们可以研究函数在流形上的局部性质，如泰勒展开、方向导数、梯度等。
外微分在数学和物理中的应用十分广泛。
在数学领域，外微分是构建流形上的微分结构的重要工具，它使得流形上的微积分与欧氏空间中的微积分具有相似性。
在物理学中，外微分应用于量子力学、相对论、拓扑场论等领域。
例如，在杨-米尔斯理论中，电磁场方程可以通过外微分来表达。
外微分与其他微分形式（如内微分、切向微分等）的区别在于，它关注的是函数在流形上的整体性质，而其他微分形式则关注函数在局部性质。
此外，外微分还与斯托克斯定理、高斯定理等著名定理密切相关。
外微分的发展历程反映了数学家们对流形上的微积分理论的不断探索。
从黎曼和希尔伯特的早期工作，到20世纪中叶的发展，外微分已经成为现代数学和物理领域不可或缺的工具。
随着研究的深入，外微分在未来将继续发挥重要作用，如在弦论、量子引力等领域的研究。
总之，外微分作为一个重要的数学概念，在几何、拓扑、数学和物理等领域具有广泛的应用。
理解外微分的几何意义及其与其他微分形式的关系，对于我们深入研究流形上的微积分理论具有重要意义。
外微分微分几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：外微分是微分几何中一个重要的概念，它是研究曲面局部性质的有力工具。
在微分几何中，我们经常遇到曲面上的切向量、法向量、曲率等概念，而这些概念的定义和运算都与外微分密切相关。
外微分的概念最早是由意大利数学家里卡尔多·考西（Ricardo Oxxi）提出的。
外微分是将曲面上的向量场和微分形式与切空间之间的映射联系起来的一种运算。
简单来说，外微分是定义在曲面上的微分形式或者向量场在局部投影到切空间上的一个操作。
在微分几何的研究中，我们经常需要对曲面上的函数或者向量场进行求导操作。
以函数为例，我们知道在欧几里得空间中，一元函数的微分可以用函数的导数来表示。
而在曲面上，函数的导数则需要通过外微分来定义。
对于向量场而言，也可以通过外微分操作来定义向量场的微分。
在介绍外微分的具体概念之前，我们先来回顾一下曲面的切空间和法空间的概念。
在欧几里得空间中，切空间是与曲面上点处切平面对应的向量空间，切向量是切空间中的一个向量。
法空间则是与切空间正交的一个向量空间，法向量是法空间中的一个向量。
通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，从而得到在局部的微分形式。
在微分几何中，我们通常会研究曲面的局部性质，比如曲率、曲率流、平均曲率等。
而外微分可以帮助我们求解这些局部性质。
通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，再进行进一步的运算。
通过外微分，我们可以定义曲面上的导数、梯度等概念，从而推导出曲面的曲率、法曲率等性质。
除了在求解曲面的局部性质方面，外微分还有许多应用。
在计算几何学、机器学习、图像处理等领域，外微分也被广泛应用。
通过外微分，我们可以对曲面进行局部参数化、计算曲率、求解曲线间的关系等操作。
外微分在微分几何中具有重要的意义，它帮助我们理解曲面的局部性质，为曲面的研究提供了有力的工具。
外微分是微分几何中一个重要的概念，它通过将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，帮助我们定义并求解曲面的局部性质。
外微分换元法外微分换元法，在微积分中属于比较重要的拓展知识点，而且在工程领域等实际应用中也有着广泛的运用。
如果你正在学习微积分或者需要在工作中应用到这方面的知识，那么就需要掌握外微分换元法的相关知识点。
下面我们就来重新整理一下这方面的知识点，希望能对大家有所帮助。
1. 外微分的定义在微积分中，将一个函数f(x,y)进行微小的变化，可以得到以下的式子：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，df表示函数f的微小变化量，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量，而∂f/∂x和∂f/∂y则分别表示函数f对自变量x和y的偏导数。
2. 外微分的运用在实际应用中，我们常常需要将一个函数进行变量替换，例如将f(x,y)替换为 g(u,v)，此时我们需要用到外微分换元法。
假设现在有一个函数f(x,y)，我们需要将其中的自变量x和y换成新的自变量u和v，也就是f(u,v)。
此时，需要对函数f进行一些变形，来得到f对u和v的偏导数和u和v对x和y的偏导数。
具体的过程如下：- 对函数f(x,y)进行外微分运算，得到：df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy- 将dx和dy分别表示出来，得到：dx = (∂u/∂x)du + (∂v/∂x)dv，dy = (∂u/∂y)du + (∂v/∂y)dv- 将dx和dy带入到df的式子中，得到：df = (∂f/∂x)du +(∂f/∂y)dv- 将df表示成g(u,v)对u和v的偏导数的形式，得到：df =(∂g/∂u)du + (∂g/∂v)dv根据以上公式，我们可以计算出g(u,v)对u和v的偏导数，从而得到函数f(x,y)对新的自变量u和v的偏导数，以及新的自变量u和v对原自变量x和y的偏导数。
这将有利于我们求解一些复杂函数的导数和积分问题。
3. 小结外微分换元法是微积分中的重要知识点之一，适用于一些复杂函数的导数和积分求解。
通过对函数进行外微分操作，我们可以得到函数对新的自变量的偏导数，从而用于计算新自变量对原自变量的偏导数。
外微 分尹 小 玲以下仅在三维空间中讨论。
一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用∧表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ∧，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx ∧=∧，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ∧+∧=+∧)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ∧-=∧； （4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=∧dx dx ； （5）结合律，dz dy dx dz dy dx ∧∧=∧∧)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。
dy dx dx dz dz dy ∧∧∧,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ∧∧在几何上可以理解为有向体积微元。
因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。
把微分的外积运算与向量的外积运算b a ⨯相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。
而||b a ⨯在几何上是以b a,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =∧||，dzdx dx dz =∧||，dxdy dy dx =∧||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F （1）Rdz Qdy Pdx ++ （2） dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ （3） dz dy Fdx ∧∧ （4）例 p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。
证 两个一阶外微分式的外积∧++)(111dz R dy Q dx P )(222dz R dy Q dx P ++)()(22212221dz R dy Q dx P dy Q dz R dy Q dx P dx P ++∧+++∧= )(2221dz R dy Q dx P dz R ++∧+dy dx P Q Q P dx dz R P P R dz dy Q R R Q ∧-+∧-+∧-=)()()(212121212121222111R Q P R Q P dydx dx dz dz dy ∧∧∧=一阶外微分式与二阶外微分式的外积∧++)(Rdz Qdy Pdx )(dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Pdx ∧+∧+∧∧= )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Qdy ∧+∧+∧∧+ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Rdz ∧+∧+∧∧+dz dy dx RC QB PA ∧∧++=)(dz dy dx C B A R Q P ∧∧⋅=}),,{},,({ 其余显然成立。
三、多变量积分中的积分微元代换公式利用外积运算，可以推导多变量积分变量代换公式中，微元的代换公式。
（1）二重积分中极坐标变换下的面积微元在极坐标变换θcos r x =，θsin r y =下，有公式⎰⎰⎰⎰'=D Drdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),(其中，面积微元有关系式 θrdrd dxdy =自然它不是通过dy dx ,的普通乘积得到的，但它可以用dy dx ,的外积运算得到：)cos (sin )sin (cos θθθθθθd r dr d r dr dy dx +∧-=∧)c o s (s i n s i n )c o s (s i n c o s θθθθθθθθθd r dr d r d r dr dr +∧-+∧= θθθθθd r d r d dr r d dr r ∧=∧+∧=22sin cos故 θrdrd dy dx dxdy =∧=||（2）二重积分一般变量代换中的面积微元在变换 ),(v u x x =，),(v u y y =下，有公式dudv v u y x v u y v u x f dxdy y x f D D⎰⎰⎰⎰'∂∂=),(),()),(),,((),(其中，面积微元有关系式：dudv v u y x dxdy ),(),(∂∂=同样，它符合dy dx ,的外微分运算。
事实上，)()(dv v y du u y dv v x du u x dy dx ∂∂+∂∂∧∂∂+∂∂=∧ )()(dv v y du u y dv v x dv v y du u y du u x ∂∂+∂∂∧∂∂+∂∂+∂∂∧∂∂= du dv u y v x dv du v y u x ∧∂∂∂∂+∧∂∂∂∂= dv du u y v x v y u x ∧∂∂∂∂-∂∂∂∂=)(dv du v u y x ∧∂∂=),(),( 故 dudv v u y x dv du v u y x dy dx dxdy ),(),(||),(),(∂∂=∧∂∂=∧=（3）三重积分变量代换中的体积微元完全类似二重积分情形，（略）。
（4）第二型曲面积分计算公式设曲面方程为 ),(),,(),,(v u z z v u y y v u x x ===，D v u ∈),(， 则有公式⎰⎰⎰⎰∂∂±=DSdudv v u z y v u z v u y v u x P dydz z y x P |),(),(|)),(),,(),,(( ),,(⎰⎰⎰⎰∂∂±=DSdudv v u x z v u z v u y v u x Q dzdx z y x Q |),(),(|)),(),,(),,((),,(⎰⎰⎰⎰∂∂±=DSdudv v u y x v u z v u y v u x R dxdy z y x R |),(),(|)),(),,(),,((),,(其中符号±视S 的方向而定。
注意到这里dxdy dzdx dydz ,,都是有向的，而等式右边的dudv 是无向的，利用二重积分变量代换中已证得的面积微元关系，有dv du v u z y dz dy ∧∂∂=∧),(),(，dv du v u x z dx dz ∧∂∂=∧),(),(，dv du v u y x dy dx ∧∂∂=∧),(),(取绝对值后，立即得到上述公式。
（5）第一型曲面积分中的面积微元设曲面S 的方程为 ),(),,(),,(v u z z v u y y v u x x ===，D v u ∈),(，则有 dudv C B A dS 222++=其中),(),(v u z y A ∂∂=，),(),(v u x z B ∂∂=，),(),(v u y x C ∂∂=。
因为dv du v u z y dz dy ∧∂∂=∧),(),(，dv du v u x z dx dz ∧∂∂=∧),(),(，dv du v u y x dy dx ∧∂∂=∧),(),(而dxdy dzdx dydz ,,分别是S 在三坐标面上的投影，则222)()()(dxdy dzdx dydz dS ++=222)()()(dy dx dx dz dz dy ∧+∧+∧=dudv v u y x v u x z v u z y 222)),(),(()),(),(()),(),((∂∂+∂∂+∂∂=dudv C B A 222++=特别，若曲面方程为 ),(y x f z =，D y x ∈),(，则dy dx y x f dy y x f dx y x f dy dz dy x y x ∧-=+∧=∧),()),(),(( dy dx y x f dx dy y x f dx y x f dx dz y y x ∧-=∧+=∧),()),(),((故222)()()(dy dx dx dz dz dy dS ∧+∧+∧=dxdy y x f y x f y x ),(),(122++=四、各阶外微分式的外微分运算在三维空间中，对于系数是可微函数的各阶外微分式（1）~（4），定义其外微分：dz zF dy y F dx x F dF ∂∂+∂∂+∂∂=dz dR dy dQ dx dP Rdz Qdy Pdx d ∧+∧+∧=++)(dy dx dC dx dz dB dz dy dA dy Cdx dx Bdz dz Ady d ∧∧+∧∧+∧∧=∧+∧+∧)(dz dy dx dF dz dy Fdx d ∧∧∧=∧∧)(注1 对基本外微分式的外微分，规定 0)()()(===dz d dy d dx d在这个规定下，外微分算子d 的作用类似与普通微分算子，即对每一项进行运算，在每一项中又分别对每个因子进行运算，其余因子不动。
所不同的是外微分算子在运算后进行外积运算，而普通微分算子在运算后进行普通乘积。
例如)()()()(dz Rd dz dR dy Qd dy dQ dx Pd dx dP Rdz Qdy Pdx d +∧++∧++∧=++ dz dR dy dQ dx dP ∧+∧+∧=注2 零阶外微分式的外微分就是普通的微分。
性质： p )2,1,0(=p 阶外微分式的外微分是1+p 阶外微分式，三阶外微分式的外微分等于0，且它们与场论中的三度（梯度，旋度，散度）有如下联系： （1） },,{dz dy dx gradF dz zF dy y F dx x F dF ⋅=∂∂+∂∂+∂∂=（2） },,{},,{)(dy dx dx dz dz dy R Q P rot Rdz Qdy Pdx d ∧∧∧⋅=++RQ P z y x dydx dx dz dz dy ∂∂∂∂∂∂∧∧∧=（3）dz dy dx C B A div dy Cdx dx Bdz dz Ady d ∧∧=∧+∧+∧},,{)( 证 （1）显然成立。
（2） )(Rdz Qdy Pdx d ++dx dz z P dy y P dx x P ∧∂∂+∂∂+∂∂=)(dy dz z Qdy y Q dx x Q ∧∂∂+∂∂+∂∂+)( dz dz zRdy y R dx x R ∧∂∂+∂∂+∂∂+)(dy dx yP x Q dx dz x R z P dz dy z Q y R ∧∂∂-∂∂+∧∂∂-∂∂+∧∂∂-∂∂=)()()(},,{},,{dy dx dx dz dz dy R Q P rot ∧∧∧⋅=RQ P z y x dy dx dx dz dz dy∂∂∂∂∂∂∧∧∧= （3）)(dy Cdx dx Bdz dz Ady d ∧+∧+∧)dy dx dz zC dx dz dy y B dz dy dx x A ∧∧∂∂+∧∧∂∂+∧∧∂∂=dz dy dx zC y B x A ∧∧∂∂+∂∂+∂∂=)(dz dy dx C B A div ∧∧=},,{五、牛顿-莱布尼兹公式，斯托克斯公式，格林公式，高斯公式的统一描述（1） 牛顿-莱布尼兹公式ba bax F dx x f )()(=⎰其中)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数。
