绝对值不等式专题复习

第一章 集合与简易逻辑

1.4 含绝对值的不等式的解法

一、目标：1.掌握不等式的基本性质及绝对值的意义。

2.理解含绝对值的不等式(0)xaa与(0)xaa的解集的直观意义。

3.掌握| a x + b |＜c 、| a x + b | ＞c ( c ＞0 ) 型的不等式的解法。

4.掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式

二、内容：

1、不等式的基本性质：

（1）abba （2）abacbc

（3）,0abcacbc（4）,0abcacbc

2、绝对值的意义：

（1）代数意义：(0)(0)xxxxx

（2）几何意义：x表示数轴上x的对应点P与原点O的距离|OP|

3、简单的绝对值不等式：

取a =2, 则不等式|x|＜2的解集表示数轴上到原点O的距离小于2的所有点

对应的实数x。

于是不等式的解集为22|xx。

归纳：不等式(0)xaa的解集为axax| ，

不等式(0)xaa的解集为axaxx或| 。

形如)0(ccbax不等式的解法。可利用axb替换 xc中的x得caxbc即 .axbcaxbc 同理，)0(ccbax 的解法如下：.cbaxcbax或

4.推广：()fxa，(0)a；()fxa，(0)a；()afxb， ()ab

5.含绝对值不等式

○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想；

○3应用化归思想等价转化

)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为

5.应用：

例1.（1）解不等式4＜|1－3x|≤7

（2）解不等式3122xx－

绝对值不等式（一）

绝对值不等式cbxaxcbxax

绝对值的几何意义：a的几何意义是：数轴上表示数轴上点a到原点的距离；

ba的几何意义是：数轴上表示数轴上,ab两点的距离。

ba的几何意义是：数轴上表示数轴上,ab的两点的距离。

xaxb的几何意义是：数轴上表示点x到,ab的两点的距离和，故babxax

利用图像和几何意义解cbxax或cbxax的解集。

分区间讨论：bxbaxbxaabaxbaxbxax22

cbax的解法：I.当0＞c时，不等式解集为：cbaxc II.当0＜c时，不等式解集为：空集

cbax的解法：I.当0＞c时，不等式解集为：cbaxcbax或 II.当0＜c时，不等式解集为：全体实数

例1：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a≤3即可．

若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|

解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，

又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.

例2：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.

例3：不等式|x＋1|＋|x－1|<3的实数解为________．

解：当x>1时，原不等式等价于2x<3⇒x<32，∴1－32，∴－32

例4：已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图像的上方，求m的取值范围．

《绝对值与含绝对值的不等式》专题训练

1．绝对值小于3的整数的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．有理数中绝对值等于它本身的数是（ ）

A．0 B．正数 C．负数 D．非负数

3．一个数的绝对值是正数，这个数是（ ）

A．不等于0的有理数 B．正数

C．任意有理数 D．非负数

4.设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则a-b+c=（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

5. 不等式-2x-4≥0的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B． C． D．

6. 绝对值2（x+1）＜3x的解集在数轴上表示出来正确的是（ ）

A． B． C． D．

7.-5的绝对值是

8. 绝对值是10的数有

9、解绝对值不等式|2x+1|＞3，并用区间表示

10、已知a、b互为倒数，c和d互为相反数，x绝对值是3，求x2+（c+d）2011+（ab）2012的值．

11、已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于3，求a+b+x3-cdx的值．

12.解下列不等式

（1）3813x； （2）3214x； （3）11223x； （6）11252x.

一元二次方程

1、关于x的一元二次方程x2-ax-3a=0的一个根是-2，求a的值和另一个根

2、已知x=1是一元二次方程x2+bx+5=0的一个解，求b的值及方程的另一个根．

3、当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？

4、已知关于x的一元二次方程mx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

5、已知关于x的一元二次方程kx2-4kx-5=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

6、若（m+1）x|m|+1+6x-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值。

标准实用

文案大全

绝对值不等式

绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |

基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|

y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5

所以函数的最小值是 5,没有最大值

|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5

由|y| < 5 得-5 < y < 5

即函数的最小值是-5 ,最大值是5

也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这 两点的距离之和， 显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小 值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差， 当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值 5

［变题 1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ； (2)| x2 - 2x -6|<3 x

［思路］利用丨 f(x) |

文案大全

f(x)丨 >g(x) = f(x)>g(x) 或 f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转

化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。

解：⑴ 原不等式等价于 X+1>2— x或x+1<—(2 - x)

1 1

解得或无解，所以原不等式的解集是 { x | x>^}

⑵ 原不等式等价于—3 X< X2 — 2x — 6<3 X

即

『X2-2x-6>-3x (x2 + x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或 x>2

{ => { => 二 *

[x2-2x-6^3x lx2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 6

2< X<6

所以原不等式的解集是{ X|2< X<6}

2 2 I 3x I

1 .解不等式(1 )1 x-x 2-2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 <