绝对值不等式讲义

《绝对值的三角不等式》 讲义

一、引入

在数学的世界里，不等式是我们解决问题和理解数量关系的重要工具。而绝对值的三角不等式，则是不等式家族中一个非常重要的成员。它在代数运算、几何图形以及实际问题中都有着广泛的应用。

那么，什么是绝对值的三角不等式呢？让我们一起来揭开它神秘的面纱。

二、绝对值的定义

首先，我们来回顾一下绝对值的定义。对于一个实数 x，其绝对值 ｜x| 表示 x 到 0 的距离。当 x 大于等于 0 时，｜x| ＝ x；当 x 小于 0

时，｜x| ＝ x。

例如，｜3| ＝ 3，｜ －5| ＝ 5。

三、三角不等式的形式

绝对值的三角不等式有两种常见的形式：

形式一：｜a ＋ b| ≤ ｜a| ＋ ｜b|

形式二：｜｜a| ｜b|｜ ≤ ｜a b|

接下来，我们通过具体的例子来感受一下这两个不等式。 例 1：若 a ＝ 2，b ＝ －3，那么 ｜a ＋ b| ＝ ｜2 ＋ （－3)｜ ＝ ｜

－1| ＝ 1，｜a| ＋ ｜b| ＝ ｜2| ＋ ｜ －3| ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5，显然 1 ≤ 5，满足 ｜a ＋ b| ≤ ｜a| ＋ ｜b|。

例 2：若 a ＝ 5，b ＝ 2，那么 ｜a b| ＝ ｜5 2| ＝ 3，｜｜a| ｜b|｜

＝ ｜｜5| ｜2|｜ ＝ ｜5 2| ＝ 3，满足 ｜｜a| ｜b|｜ ≤ ｜a b|。

四、证明绝对值的三角不等式

（一）证明 ｜a ＋ b| ≤ ｜a| ＋ ｜b|

我们分四种情况来讨论：

情况一：当 a ≥ 0，b ≥ 0 时，

｜a ＋ b| ＝ a ＋ b，｜a| ＋ ｜b| ＝ a ＋ b，所以 ｜a ＋ b| ＝ ｜a|

＋ ｜b|。

情况二：当 a ≥ 0，b ＜ 0 时，

｜a ＋ b| ＝ ｜a （b)｜ ，因为 a ≥ 0， b ＞ 0，根据三角形两边之和大于第三边，所以 ｜a （b)｜ ≤ ｜a| ＋ ｜ b| ＝ ｜a| ＋ ｜b|，即 ｜a ＋

Go the distance

学案76 不等式选讲

(一)绝对值不等式

导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不

等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型

的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 自主梳理

1．含________________的不等式叫做绝对值不等式．

2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：

(1)分段讨论：

根据|f(x)|＝

 fx，fx≥0，

－fx，fx<0，去掉绝对值符号．

(2)利用等价不等式：

|f(x)|≤g(x)⇔－g(x)≤f(x)≤g(x)；

|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)．

(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉

绝对值符号．

3．形如|x－a|＋|x－b|≥c (a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c (a≠b)的绝对值不等式的解法主要有

三种：

(1)运用绝对值的几何意义；

(2)____________________；

(3)构造分段函数，结合函数图象求解．

4．(1)定理：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当____________时，

等号成立．

(2)重要绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即

|a＋b|＝|a|＋|b|⇔ab≥0；

|a－b|＝|a|＋|b|⇔ab≤0；

|a|－|b|＝|a＋b|⇔b(a＋b)≤0；

|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0；

注：|a|－|b|＝|a＋b|⇔|a|＝|a＋b|＋|b|⇔|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|⇔b(a＋b)≤0.

第五讲 绝对值不等式的解法

一.理解性概念

bcaxbc(cx0ax)a(a0)ax型不等式的解法与型不等式与与解集  aax(a0)xxa; 的解集是不等式 axa,或xxa(a0)x 不等式的解集是 )0(ccaxb)(c0bx|caxc; 的解集为 不等式 )0axbc(c)0c或axbc(x|axbc, 不等式 的解集为 三、讲解范例： 5500x5. 1例12 解不等式解不等式< | 2x-1 | . 例

不等式： 例4 解 例3 解不等式：|4x-3|>2x+1.

|x-3|-|x+1|<1.

x)()aaRxaxa(R , 解关于5. 的不等式①②例

x)R(2x31aa. 6.例解关于的不等式

1

课堂练习卷 分 满分100建议用时40分钟 一、选择题 2a6a得( ) ＜-61.已知，化简aaaa-6

D. +6 B. - -6 A. 6- C.

x( )

8-3｜≤0的解集是2.不等式｜8 D. C. {(1,-1)} R B. 

33.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( )

A. 3 B. 2

C. -2 D. -5

AxxBxxAB等于( )

| || |∩-2|＜3}，-4.设={={1|≥1}，则xxxxx≥2} 5} B. {≤０或|A. { |-1＜＜ xxxxx＜≤0或2≤|-1C. {＜|-1＜5}

绝对值与绝对值不等式

绝对值是数学中的一个重要概念，它表示一个数与零之间的距离。绝对值可以用符号“| |”来表示，其内部的数值可为正数或负数。绝对值有时会与不等式一起讨论，这就是我们所说的绝对值不等式。

一、绝对值的定义

绝对值的定义非常简单，对于任意的实数a，它的绝对值为|a|，表示数a与0之间的距离，计算公式如下：

若a ≥ 0 ，则|a| = a

若a < 0 ，则|a| = -a

例如，|5| = 5，|-3| = 3，|0| = 0。

绝对值的本质是将一个数的正负情况抹去，只关注它与零之间的距离。

二、绝对值不等式的定义

绝对值不等式是指将绝对值与不等式相结合，表示一个数与另一个数之间的关系。绝对值不等式的一般形式为：

|a - b| < c

其中a、b、c为实数，且c > 0。

这种不等式的含义是，表示a与b之间的距离小于c。

例如，|x - 2| < 3，表示x与2之间的距离小于3。 三、绝对值不等式的求解方法

要解决绝对值不等式，我们需要掌握一些基本的求解技巧。

1. 消去绝对值符号

当绝对值不等式中只含有一个绝对值符号时，我们可以通过判断绝对值内部的值的范围来消去绝对值符号。

例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以考虑两种情况：

当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，原不等式变为2x - 3 < 5，解得2x

< 8，x < 4。

当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3)，原不等式变为-(2x - 3) < 5，解得2x > -2，x > -1。

综合以上情况可得，x的取值范围为-1 < x < 4。

2. 利用绝对值的性质

绝对值有一个重要的性质：|a - b| ≤ c 等价于 -c ≤ a - b ≤ c。

例如，对于不等式|3x - 1| ≤ 2，我们可以利用这个性质进行求解：

-2 ≤ 3x - 1 ≤ 2，