专题一：绝对值不等式证明

全国卷数学简答题系列

1 专题一：不等式选讲

一、【课前准备】

1、绝对值的意义

x 2x

1、如何去掉两个绝对值号？

例：若a>b，则b-xa-x

x-23x 122x 223x 23xxxx

2、如何解含有一个绝对值的不等式？

例：32-x

3、如何解含有两个绝对值的不等式？

7x-23x 6122x3223x 523xxxx

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二、【真题再现】

1.2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

已知函数()|21||2|fxxxa，()3gxx。

（Ⅰ）当2a时，求不等式()()fxgx的解集；

（Ⅱ）设1a，且当1[,)22ax时，()()fxgx，求a的取值范围。

2.2011年高考数学文（全国新课标）

设函数()||3fxxax，其中0a．

（I）当a=1时，求不等式()32fxx的解集．

（II）若不等式()0fx的解集为｛x|1}x，求a的值．

3.2012年高考真题——文科数学（新课标）

已知函数f(x) = |x + a| + |x－2|.

(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(Ⅱ)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.

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4.2016年高考真题——文科数学（新课标Ⅰ卷）

已知函数f(x)= |x+1|－|2x－3|.

（I）画出y= f(x)的图像；（II）求不等式|f(x)|＞1的解集．

5.2014年高考真题文科数学（新课标II）

设函数f（x）=|x+a1|+|x-a|(a>0).

（I）证明：f(x)≥2；（II）若f(3)＜5，求a的取值范围.

6.2017年高考真题——数学文（全国Ⅰ卷）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

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三、【变式训练】

1.已知函数12fxxx

（1）若不等式1fxa恒成立，求a的取值范围;（2）求不等式23fxx的解集.

2.已知函数()()fxxaaR．

（Ⅰ）若()23fxx的解集为3,1，求a的值；

（Ⅱ）若xR，不等式2()2fxxaaa恒成立，求实数a的取值范围．

3.甘肃省武威六中2013届高三第二次诊断考试数学（文）试题

设.

(1)求不等式的解集S:(2)若关于X不等式有解，求参数t的取值范围.

4.宁夏银川一中2014届高三下学期第一次模拟考试数学（文）

已知函数kxxxf23)(．

（1）若3)(xf恒成立，求k的取值范围；（2）当1k时，解不等式：xxf3)(．

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5 5.已知关于x的不等式34xxa-+-<，

（1）当2a=时解不等式； （2）如果不等式的解集为空集，求实数a的范围.

6.设函数f（x）＝｜x＋1｜－｜x－2｜．

（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若不等式f（x）≤｜a－2｜的解集为R，求实数a的取值范围．

7.已知函数2)(xaxxf

（1）当3)(3xfa时，求不等式的解集（2）若4)(xxf 的解集包含[1，2]，求a的取值范围

8.设函数()4(4)fxxxaa=-+-<.(I)若()fx的最小值为3，求a值；(Ⅱ)求不等式()3fxx的解集，

9.已知函数()|21||23|fxxx．

（1）求不等式()6fx的解集；（2）若关于x的不等式()|1|fxa的解集非空，求实数a的取值范围．

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6 10.已知512)(axxxf(a是常数，a∈R)

（Ⅰ）当a=1时求不等式0)(xf的解集．（Ⅱ）如果函数)(xfy恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

11.设函数f（x）＝｜x＋1｜－｜x－2｜．

（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若不等式f（x）≤｜a－2｜的解集为R，求实数a的取值范围．

12.已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1) 当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)； (2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．

13.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．

(1)当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

14.设函数()|1|||fxxxa。

（1）若1,a解不等式()3fx；（2）如果xR,()2fx,求a的取值范围。

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试卷答案

1.

（1）当1a时，5112xx，不等式可化为：

5)1()1(21xxx，解得：2x ；

5)1()1(211xxx，解得：x；

5)1()1(21xxx，解得：34x，

所以，解集为:,342,；...................5分

(2)不等式5)(xf对Rx恒成立，即Rx，5)(minxf.

当1a时

axaxaxaxxaxxf,2131,211,213)(，

所以，51)(minaxf，即6a；

当1a时

1,331,33)(xxxxxf，

所以，0)(minxf，不符合；

当1a时

1,2131,21,213)(xaxxaaxaxaxxf，

所以，51)(minaxf，即4a， 全国卷数学简答题系列

8 所以，4a或6a...................10分

2.

3. （Ⅰ）当1a时，()32fxx可化为

|1|2x．

由此可得 3x或1x．

故不等式()32fxx的解集为

{|3xx或1}x．

(Ⅱ) 由()0fx 得 全国卷数学简答题系列

9 30xax

此不等式化为不等式组

30xaxax 或30xaaxx

即 4xaax 或2xaaa

因为0a，所以不等式组的解集为|2axx

由题设可得2a= 1，故2a

4.

5.

解：（I）

,23,4,231,23,1,4)(xxxxxxxf

y=f(x)的图像如图所示 全国卷数学简答题系列

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（II）由f(x)的表达式及图像，当f(x)=1时，可得x=1或x=3;

当f(x)=－1时，可得31x或x=5;

故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}; f(x)＜－1的解集为{x|x＜31或x＞5}.

所以| f(x)|＞1的解集为{x| x＜31或1＜x＜3或x＞5}.

6.（I）见解析 （II）)2215251(，

（I）由0a，有21|)(1||||1|)(aaaxaxaxaxxf

所以2)(xf.

（II）

|3||13|)3(aaf，

当3a时，aaf1)3(，由5)3(f得22153a，

当30a时，aaf16)3(，由5)3(f得3251a，

综上，a的取值范围是)2215251(，。

7.