第3课数理方程

1

分离变量法

矩形区域（特征方程形式0)x()x(nXX）

类型 定界问题中的边界条件 分离变量后的边界条件 特征值 特征函数系

（1）

0),l(0),0(tutu

0)l(0)0(XX 2)(ln lxnsin n=1,2,……

（2）

0),l(0),0(tutux

0)l(0)0(XX 2)2/1(ln

lxn）21（sin n=0,1,……

（3）

0),l(0),0(tutux

0)l(0)0(XX 2)2/1(ln

lxn）21（cos n=0,1,……

（4）

0),l(0),0(tutuxx

0)l(0)0(XX 2)(ln lxncos n=0,1,……

齐次波动问题)()0,(),()0,(边界条件如表)0,0(0u2xxuxxutlxuatxxtt分离变量后产生两个常微分方程： ①0)x()x(nXX ②atbataTTatTnnnn2nsincos)t(通解0)t()(

①式结合边界条件构成特征值问题，得到特征值，特征函数系；②式解出的通解糅合到特征函数系中得到解的通式；

类型 解的形式 系数的形式

（1） 1nsin)sincos(),(ulxnlatnblatnatxnn dxlxnxllnsin)(2a0，dxlxnxanlnsin)(2b0

（2） nnnnlxnlatnblatnatx1）21（sin)sincos(),(u dxlxnxlln）21（sin)(2a0，dxlxnxanln）21（sin)(2b0

（3）

lxnlatnblatnalantxnnnn）21（cos)sincos(),(u1 dxlxnxlln）21（cos)(2a0dxlxnxanln）21（cos)(2b0

第四章 调和方程

§1.调和方程的定解问题

1.方程的几个例子

例1. 稳定的温度分布

温度分布满足),(2txfuaut

稳定热源:),,,)((321xxxxxff与t无关

边界绝热(即边界条件也与t无关)

则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t无关),即)(xuu

此时有)(1xfu, (21aff)称为Poission 方程

当01f时,0u,称为Laplace方程或调和方程.

例2.弹性膜的平衡状态:

u为膜在垂直方向的位移,外力),(21xxff,则有

fxuxu222212

例3.静电场的电势u

Maxwell方程组divDdivBtBrotEtDJrotH0

E:电场强度, H:磁场强度, D:电感应强度, B:磁感应强度

J:传导电流的面密度, :电荷的体密度

物质方程EJHBED

:导磁率, :导电率, : 介质的介电常数

divEdivD

∵静电场是有势场:ugradE

ugraddiv, 即u

若静电场是无源的,即0,则0u

例4.解析函数

)(),,(),()(iyxzyxivyxuzf

则vu,满足Cauchy-Riemann条件:yxyxuvvu,

例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止，

0,10`),,(),,(211CCuuuCzyxzyxu概率，则上的为起点，终止在：以

易知,0,0vu

2.定解问题

(1)内问题:nR,有界,,u在内满足fu

边界条件: 第一类(Dirichlet):gu|

第二类(Neumann):gnu|

第三类(Robin):)0(|)(gunu

n为的单位外法线方向.

数理方程重点总结

数学物理方法,一些典型方程和定解条件,第一讲（基础）,CaculationsofSomeTypicalEqationswithDifinitecConditions,数学物理方程与特殊函数,一.均匀弦的横振动方程,二.传输线方程(电报方程),,——一维波动方程,——高频传输线方程,,,三.电磁场方程,——三维波动方程,四.热传导方程,(场点t时刻的温度分布),——三维热传导方程,(振幅),(电流、电压),第一类边界条件：物理条件直接规定了u在边界上的值，如,第二类边界条件：物理条件并不直接规定了u在边界上的值，而是规定了u的法向微商在边界上的值，如,第三类边界条件：物理条件规定了u与un在边界上值之间的某个线性关系，如,,,,例.设长为的均匀细弦，两端固定，初始位移为0。

开始时，在处受到冲量为的作用，试写出其定解问题。

,解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。

,其一维波动方程为：,泛定方程（1）,由两端固定，知：,边界条件（2）,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,,,,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,,质量,速度,,由此可见：初始条件为,初始条件（3）,冲量：力的时间作用效应。

,动量定理：动量的改变=冲量的作用。 ,受冲击时的初位移,受冲击时的初速度,动量：质量与速度的乘积。

,最后可得定解问题,泛定方程（1）,边界条件（2）,初始条件（3）,,例,,数学物理方法,第二讲直接积分法(ofDirecitIntegration),将积分结果作为e的幂，这就是积分因子。

这里，大可不必去考虑它了。

,数学物理方法,第三讲分离变量法(ofSeparateVariable),,,例,,,最易混淆的概念！,,,,,最易出错的地方！,,,,,,,,,,,,,,,数学物理方法,第四讲行波法ofTravlingWave,,,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,其通解为：,上述偏微分方程的特征方程,积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为,,,对特征方程行因式分解，得,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,,（2）得到特征变换为,（3）通解为,试写出下列方程的通解,例求下面柯西问题的解：,解泛定方程所对应的特征方程为,特征曲线（两族积分曲线）为,作特征变换,其中是两个任意二次连续可微的函数。

第一章 一些典型方程和定解条件的推导

一维齐次波动方程：22222xuatu;(其中/2Ta)

一维非齐次波动方程：),(22222txfxuatu（其中),(txf称为自由项）

三维波动方程：)(22222222222zuyuxuauatu（对于电磁场/12a）

泊松方程（有源场）：u2（非齐次方程） 拉普拉斯方程（无源场）：02u（齐次方程）

*拉普拉斯方程和泊松方程都是用来描述稳恒场的。

一维热传导方程：222xuatu;(其中cka/2)

三维热传导方程：)(222222222zuyuxuauatu

以上方程都叫做二阶线性偏微分方程

边界条件：第一类：在边界上给出了未知函数u的数值 1|fus

第二类：在边界上给出了未知函数u的外法线方向的倒数 2|fnus

第三类：在边界上给出了未知函数u的外法线方向的倒数某种线性组合的值 3|)(funus

初始条件和边界条件一起构成定解条件，只有初始条件，没有边界条件的问题称为始值问题（柯西问题）；没有初始条件，只有边界条件的问题叫做边值问题。两种条件都有的叫做混合问题。

第二章 分离变量法（驻波法）

分离变量法核心：令)()(),(tTxXtxu，带入方程；再由定解条件确定特征值。

形式一（一维波动方程（第一类边界条件（固定端）））：

22222xuatu；0|,0|0lxxuu；)(|),(|00xuuxutt

通解：xlntlanDtlanCtxunnnsin)sincos(),(1

（其中lnxdxlnxlC0sin)(2，lnxdxlnxanC0sin)(2） 形式二（一维波动方程（第二类边界条件（自由端）））：

22222xuatu；0|,0|0lxxxuu；)(|),(|00xuuxutt