数理方程第讲

1.简述二阶线性偏微分方程的分类；判断方程0.xxyyyuu所属类型，并写出其标准形式。

解：这里11ay，120a，221a，y，其特征方程为210dyydx。

当0y时为双曲线，此时特征方程为1dydxy和1dydxy，故有俩族实特征值

3212()3xyc和3222()3xyc

作变换332222=x+(),()33yxy，可将方程化为标准形式

)1(6()uuu ()

当y=0时，即在Ox轴上，它是抛物型的；标准型为xxu=0或yyu=0

当y>0时，即在上半平面内，他是椭圆型的；特征方程有复解322()3xiyc，作变换=x，322()3y，可将方程化为标准形式

13uuu

2.简述《数学物理方程》课程中关于定解问题求解方法的基本思想及适用条件。

答：

1、对于定解问题答题根据方程可以分为：齐次方程的定解问题和非其次方程的定解问题，根据边界条件可以化为：齐次边界和非齐次边界。

2、求解的方法大体可非为由分离变量得到的固有函数法和特殊方法如D.Alembert解法，积分变换法等。

3、对于齐次方程且齐次边界可以由分离变量法得求解；对于齐次方程非边界条件可以由固有函数法进行求解；对于非其次方程且非齐次边界先将将边界条件“齐次化”，再利用固有函数法求解。

4、D.Alembert法适合于类似波动方程Cauchy问题；傅里叶变换适合于区域为(,)；拉普拉斯变换(0,)。

二．以具体问题的求解展示数理方程课程所讲述的典型求解方法，并对这些求解方法给出自己的评价。

解长为l，两端温度均为0℃、初始温度分布为()x的均匀细杆导热的定解问题

2txxuau 20,0txxuauxlt

(0,)0ut， (,)0ult

(,0)()uxx

1 春季学期考试试卷

年级 专业（本科）：影像 课程名称：数理方程（A卷）

教研室主任签字： 教学院长签字： 教务处长签字：

（考试时间：100分钟）

题号 一 二 三 四 合计

分数

阅卷人

一、填空题：（每空4分，共16分）

1．微分方程xeyx2cos的通解为（ ）。

2．微分方程0)1()1(22dyxydxyx的通解为（ ）。

3．微分方程0)()(2222xTlanxT的特征方程为（ ）。

4． 杆的热传导问题：若杆的一端 x=a处绝热，则该问题的边界条件为（ ）。

二、判断题：（每空4分，共16分）

1．级数1561nn是发散的。 （ ）

2．若0limnnu，则级数1nnu发散。 （ ）

3．若级数1nnu绝对收敛，则级数1nnu必收敛。（ ）

4．一根长为10厘米的弦，两端分别固定于0x和10x处，在距离坐标原点为5厘米的位置将弦沿着横向拉开距离3厘米，然后放手任其振动，则该问题的初始条件为：00ttu、00xu和010xu。 （ ）

2 三、级数的敛散性问题：（每题8分，共24分）

1．讨论级数123nnnn的敛散性。

2．求级数12)3(nnnx的收敛区间及收敛域。

3．将函数xxf51)(展开为x的幂级数。

3 四、求解微分方程问题：（1-4题每题8分，5题12分，共44分）

第四章 调和方程

§1.调和方程的定解问题

1.方程的几个例子

例1. 稳定的温度分布

温度分布满足),(2txfuaut

稳定热源:),,,)((321xxxxxff与t无关

边界绝热(即边界条件也与t无关)

则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t无关),即)(xuu

此时有)(1xfu, (21aff)称为Poission 方程

当01f时,0u,称为Laplace方程或调和方程.

例2.弹性膜的平衡状态:

u为膜在垂直方向的位移,外力),(21xxff,则有

fxuxu222212

例3.静电场的电势u

Maxwell方程组divDdivBtBrotEtDJrotH0

E:电场强度, H:磁场强度, D:电感应强度, B:磁感应强度

J:传导电流的面密度, :电荷的体密度

物质方程EJHBED

:导磁率, :导电率, : 介质的介电常数

divEdivD

∵静电场是有势场:ugradE

ugraddiv, 即u

若静电场是无源的,即0,则0u

例4.解析函数

)(),,(),()(iyxzyxivyxuzf

则vu,满足Cauchy-Riemann条件:yxyxuvvu,

例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止，

0,10`),,(),,(211CCuuuCzyxzyxu概率，则上的为起点，终止在：以

易知,0,0vu

2.定解问题

(1)内问题:nR,有界,,u在内满足fu

边界条件: 第一类(Dirichlet):gu|

第二类(Neumann):gnu|

第三类(Robin):)0(|)(gunu

n为的单位外法线方向.

数理方程重点总结

数学物理方法,一些典型方程和定解条件,第一讲（基础）,CaculationsofSomeTypicalEqationswithDifinitecConditions,数学物理方程与特殊函数,一.均匀弦的横振动方程,二.传输线方程(电报方程),,——一维波动方程,——高频传输线方程,,,三.电磁场方程,——三维波动方程,四.热传导方程,(场点t时刻的温度分布),——三维热传导方程,(振幅),(电流、电压),第一类边界条件：物理条件直接规定了u在边界上的值，如,第二类边界条件：物理条件并不直接规定了u在边界上的值，而是规定了u的法向微商在边界上的值，如,第三类边界条件：物理条件规定了u与un在边界上值之间的某个线性关系，如,,,,例.设长为的均匀细弦，两端固定，初始位移为0。

开始时，在处受到冲量为的作用，试写出其定解问题。

,解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。

,其一维波动方程为：,泛定方程（1）,由两端固定，知：,边界条件（2）,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,,,,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,,质量,速度,,由此可见：初始条件为,初始条件（3）,冲量：力的时间作用效应。

,动量定理：动量的改变=冲量的作用。 ,受冲击时的初位移,受冲击时的初速度,动量：质量与速度的乘积。

,最后可得定解问题,泛定方程（1）,边界条件（2）,初始条件（3）,,例,,数学物理方法,第二讲直接积分法(ofDirecitIntegration),将积分结果作为e的幂，这就是积分因子。

这里，大可不必去考虑它了。

,数学物理方法,第三讲分离变量法(ofSeparateVariable),,,例,,,最易混淆的概念！,,,,,最易出错的地方！,,,,,,,,,,,,,,,数学物理方法,第四讲行波法ofTravlingWave,,,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,其通解为：,上述偏微分方程的特征方程,积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为,,,对特征方程行因式分解，得,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,,（2）得到特征变换为,（3）通解为,试写出下列方程的通解,例求下面柯西问题的解：,解泛定方程所对应的特征方程为,特征曲线（两族积分曲线）为,作特征变换,其中是两个任意二次连续可微的函数。