数理方程课程介绍

【教改创新】　创新教学方法　提高研究生《数理方程与数值解》课程教学质量　陈军斌，常颖　（西安石油大学，陕西西安７１００６５）　摘要：根据我校研究生《数理方程与数值解》课程课时少、内容多以及该课程本身难度大等特点，特别是近几年　来我校研究生生源情况复杂，在课程教学过程中，从教学内容，讲授方法，教材建设，辅助手段等方面进行了创新，　取得了一定的效果和成绩。　关键词：数学物理方程；偏微分方程数值解；课程改革　一、课程概况　我校自１９９２年开始招收硕士研究生，２００２年以前，　《数理方程与数值解》是作为研究生学位课程《应用数　学基础》的一部分教学内容，通过几年的教学实践以及　不同领域研究生的基础差异、专业特点，从２００２年以后　将《应用数学基础》分解为《数值计算方法》、《数理方程　与数值解》、《泛函分析》、《矩阵论》和《随机过程》等５门　课时分别是５０学时的学位课程进行选修。本人自１９９７　年以来一直主讲《数理方程与数值解》课程。从所涉及　的内容及应用范围来看，《数理方程与数值解》这门课　程对研究生将来从事科学研究和实践工作都有重要的　作用。它不仅提供了具体的数学方法，也培养了抽象思　维方式和计算能力。　然而，从以往的教学经验以及研究生的反馈情况　分析，在教学过程中存在诸多突出的问题，如课程内容　多、学时数少，难度大等，给师生的教和学都带来一定　困难。为此，近年来我们着重从以下几个方面进行改　革：合理安排教学内容，改进授课方式，在有限的学时　数下，尽量保持教学内容的系统性和完整性；加强教材　及配套教辅材料的建设工作；引进现代化教学辅助手　段，改进教学效果；紧密结合工程实际情况，增加课程　的工程背景及实用性，激发学生的学习兴趣。　二、课程改革的具体做法　（一）合理安排教学内容，改进授课方式　《数理方程与数值解》这门课程包括两部分内容：　数学物理方程与偏微分方程数值解。数学物理方程主　要研究物理或工程问题中所涉及的各种偏微分方程和　积分方程。它只研究偏微分方程，内容包括方程的导　出，求解和对解的物理分析。即在一定的条件下将物理　－—＋－”—卜一＋　——卜”—卜一＋“＋”—＋ｒ一—＋－“—卜“—・卜一—＋＿＊—＋一”—・卜－　问题简化（忽略一些次要因素），应用物理学的基本规律　将它翻译成数学问题，求解之后，分析所得解的物理图　象，意义和适用范围等。它所提供的方法在经典物理，　近代物理和工程技术中都有极广泛的应用。偏微分方　程数值解主要研究如何利用有限差分方法、有限元、边　界元等数值求解方法求解数学物理方程。　对于数学物理方程部分的教改思路是：突出主线，　强化主要方法，力求学以致用。数学物理方程包括三部　分内容，即方程和定解条件的导出，定解问题的求解以　及解的物理分析。第一、三两部分课时数较少，但我们　在讲解时并没有淡化这两部分内容。实际上，正是通过　这两部分内容学生获得一些直观的物理图象，深化感性　认识，避免被求解过程的复杂计算所迷惑，所以我们总　是力求将物理分析渗透在整个教学过程中。第二部分　即定解问题的求解是数学物理方程部分的主要内容，我　们主要对这部分的侧重、编排上作一些尝试。首先，我　们讲解二阶线性偏微分方程的分类，其目的主要是向学　生阐明在实际工作中所遇到的二阶线性偏微分方程都　可以通过变换化简为定解问题中的波动方程、热传导方　程、泊松方程三种标准型。因此，求解方法的重点应该　是如何求解三种标准型方程。　在具体求解方法讲授中，（１）先讲授空间无界区域　波动方程的求解。针对齐次方程，非齐次初始条件，仔　细讲授一维无界弦的达朗贝尔公式；利用冲量原理，讲　授一维波动非齐次方程的定界问题；利用延拓或先求通　解再求特解的方法，讲授半无界弦的波动（反射波）问　题，最后讲解二维及三维无界弦的波动问题。本章主要　向学生要交代清楚行波法的要领是什么，它能解决那些　问题，如何才能从无界到半无界，如何将三维波动问题　＋”＋一＋一＋”＋”＋一＋－＋”＋一＋－—－＋一”＋－＋一—十一　＋－＋－—－十ｒ　科学课程，尤其是病案讨论课，既是一次知识的吸收、消　化、巩固课，理论联系实际的实践课，诊治方法的思维训　练课，又是一次内科实验考核课。内科学实验课我们更　加注重临床思维能力的考核，老师面对面仔细倾听、观　察每一位考生的表达情况，减少了知识性考试的片面　性，提高临床思维能力考核比例。传统的考试注重的是　理论知识的掌握，欠缺对临床思维能力的考核，我们把　理论知识和临床思维能力的考核结合在一起，这样评价　医学生掌握知识点更公正、科学。考试改革，分单元、分　阶段记成绩，以考促练、以考促学、以考促思，考核成为　学习过程要素，有力促进了学生学习主动性和积极性，　学生内科学课程的总成绩和及格率明显提高。　一

数三教材高等数学不考内容

高等数学是大学本科数学教学中的一门重要课程，它以深入研究微积分、线性代数和数理方程三个方向为主要内容。数三教材是高等数学课程中的一部分，包括了较为复杂的概念和定理。然而，虽然数三教材内容繁多，但在实际考试中，并不会考察所有的知识点。本文将介绍数三教材中不考内容，帮助同学们在备考过程中有所侧重。

1.偏微分方程

偏微分方程是数学分析的重要内容之一，它研究的是多变量函数的微分方程。在数三教材中，涉及了一些偏微分方程的基本概念和解法，但并不会考察较为复杂的问题。对于一些高阶的偏微分方程、特殊形式的方程和解法等内容，一般不会在考试中出现。

2.复变函数

复变函数是复数域上的函数，研究的是复数变量的函数理论与方法。虽然数三教材中会涉及一些复变函数的基本概念和性质，如复数函数的导数、积分等，但复变函数的详细理论和高级应用在数三考试中并不会涉及。因此，在备考过程中，可以将复变函数的重点放在基本概念和基本运算上。

3.向量分析

向量分析主要研究的是向量场的性质和运算。在数三教材中，会介绍向量的概念、向量场的梯度、散度和旋度等基本知识。然而，在考试中不太可能出现较为复杂的向量分析问题，如对曲面的曲率、格林公式的应用等。因此，在备考过程中，可以将重点放在向量的基本概念和基本运算上。

4.数值计算方法

数值计算方法是利用计算机对数学问题进行近似求解的方法。数三教材中会介绍一些基本的数值计算方法，如插值法、数值积分和数值微分等。然而，考试中的数值计算问题一般较为简单，复杂的数值计算方法和算法并不会出现。因此，在备考过程中，可以将数值计算方法的重点放在基本概念和基本算法上。

综上所述，数三教材中有一些内容在实际考试中并不会出现。在备考过程中，同学们可以将重点放在基础概念和基本运算上，同时注意理解和掌握教材中的例题和习题，加强对基本知识的理解和应用能力。希望同学们能够有针对性地备考，取得好成绩。

《数学物理方法》 （Methods of Mathematical Physics）

《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容： 复变函数（18学时），付氏变换（20学时），

数理方程（26学时）

第一篇 复变函数（38学时）

绪 论

第一章 复变函数基本知识4学时

第二章 复变函数微分4学时

第三章 复变函数积分4学时

第四章 幂级数4学时

第五章 留数定理及应用简介2学时

第六章 付里叶级数

第七章 付里叶变换

第八章 拉普拉斯变换

第二篇 数学物理方程 （26学时）

第九章 数理方程的预备知识

第十章 偏微分方程常见形式

第十一章 偏微分方程的应用

绪 论

含 义

使用数学的物理——（数学）物理

物理学中的数学——（应用）数学

Mathematical Physics

方 程

1x

222111cybxacybxa

tadtdx

)(taxdt

常微分方程

0222xdtxd

CtAxcos

偏微分方程——数学物理方程

0222222zyx

zyx,,

12xzyxUzyxmhthi,,22222222

tzyx,,,

复 数

1. 数的概念的扩充

正整数（自然数） 1，2，„

运算规则 ＋，－，×，÷，2，

－ 121

负 数 0，-1，-2，„

整 数 „，-2，-1，0，1，2，„

÷ 5.021 333.031

有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数

物理学专业

04013001 高等数学 Advanced Mathematics 【156—8—1、2】

先修课程：高中数学

内容提要：高等数学是物理学专业必修的基础课程。 内容包括函数与极限、微分学、不定积分、定积分、空间解析几何和矢量代数、多元函数微分学、重积分、曲线积分、曲面积分、矢量分析初步、级数、广义积分、含参变量积分和常微分方程等内容。

修读对象：物理学专业本科生

教 材：《高等数学（物理类）》一、二、三册 四川大学 高等教育出版社

参考书目：《高等数学》同济大学 高等教育出版社

04013002 线性代数 Linear Algebra 【42—2—1】

先修课程：高中数学

内容提要： 线性代数是物理学专业必修的基础课程。本课程是研究有限线性空间的结构和线性空间的线性变换的数学分支。内容有行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等内容。

修读对象：物理学专业本科生

教 材：《高等数学（物理类）》第三册 四川大学 高等教育出版社

参考书目：《线性代数》同济大学 高等教育出版社

04013003 数学物理方法 Methods of Mathematical Physics 【72—4—3】

先修课程：高等数学

内容提要：数学物理方法是物理学专业必修的基础课程。内容分三个部分。复变函数论包括：复数与复变函数、解析函数、哥西定理、解析函数的幂级数表示、残数及其应用、保角变换。数学物理方程包括：数学物理方程的付氏解、波动方程的达朗贝尔解、数理方程解的积分公式、定解问题的适定性、付里叶变换、拉普拉斯变换。特殊函数包括：勒让德多项式，球函数、贝塞尔函数、柱函数、厄密多项式和拉盖尔多项式等内容。