用导数研究含参函数的单调性
一、考情分析
函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,
可以说在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题,这是因为单调性是解决后续问题的关键,
单调性在研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关
重要的作用.函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用
更是高考中的难点.
二、解题秘籍
连续函数单调区间的分界点就是函数的极值点,也就是导函数的零点,即方程fx
=0的根,所以求解
含参函数的单调性问题,一般要根据fx
=0的根的情况进行分类,分类时先确定导函数是一次型还是
二次型
1.若导函数是一次型,分类步骤是：
①判断是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②若有根,求出fx
=0导的根,并判断根是否在定义域内；若根不在定义域内会出现恒成立的情况；
③若根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单调性；
2.若导函数是二次型,分类步骤是：
①先判断二次型函数是否有根,若没有根,会出现恒成立的情况；
②判断根是否在定义域内,若仅有一个根在定义域内,会出现两个单调区间,根据导函数的正负,确定单
调性；
③若两个根都在定义域内,需要根据两个根的大小进行讨论,当根的大小确定后,再讨论每个单调区间
上的单调性.
下面我们根据fx
=0的根的情况总结出10类题型及解法,帮助同学们掌握这类问题的求解方法.
类型一：fx
定义域不是R,fx
=0可化为单根型一次方程
思路：根据根是否在定义域内进行分类
例1.讨论fx=x-1-alnx的单调性
类型二：fx定义域不是R,fx
=0可化为单根型类一次方程
思路：根据方程是否有根及根是否在定义域内进行分类
例2.讨论fx=ax-1-alnx+1的单调性
例3.讨论fx=
1
4ax4
-1
3x3
+1
2ax2-x+1的单调性
函数的单调性与导数(教学设计)
教学设计：函数的单调性与导数
本节课的主要内容是函数的单调性与导数。在研究本节课之前，学生已经研究了导数、函数及函数单调性等概念，对导数的几何意义与函数单调性有了一定的感性和理性的认识。
函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。在以前的研究中，学生已经研究了如何利用函数单调性的定义和函数的图像来研究函数的单调性。而在研究了导数之后，学生可以利用导数来研究函数的单调性，这是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。学好本课时的知识对接下来要研究利用导数研究函数的极值奠定知识基础，因此，研究本节内容具有承上启下的作用。
在本节课之前，学生已经研究了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，研究了用导数求曲线的切线方程。因此，本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。
本节课的教学目标包括以下几点：
1.知识与能力：
1) 理解函数单调性与导数的关系：函数f(x)在区间(a,b)内可导，若f'(x)>0，则f(x)在区间(a,b)内单调递增；若f'(x)<0，则f(x)在区间(a,b)内单调递减。
2) 探究函数的单调性与导数的关系，利用导数与函数单调性的关系求函数的单调区间、画函数的简单图像。
2.过程与方法：
通过利用导数研究单调性问题的研究过程，引导学生养成自主研究的研究惯，体会知识的类比迁移，体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：
1) 通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。
2) 通过导数研究单调性，使学生知道用导数判断函数的单调性比用单调性的定义更容易，知道导数作为研究函数的工具的实用价值。
本节课的教学重点是利用导数判断函数的单调性，并求函数的单调区间。教学难点在于如何将导数与函数的单调性联系起来。
本节课的教学方法为启发引导式，课时安排为1课时。教学准备包括多媒体平台和课件。
函数单调性与导数的关系
函数的单调性与函数的导数有着密不可分的关系。单调性指函数f(x)在一个区间上，对傍端改变都呈现某一种状态（升序或者降序），而函数的导数则指在一个特定点上，其自变量发生变化后，函数值变化率快慢的大小。
首先，单调递增函数f(x)其一阶导数只可能是正值。反之，单调递减函数f(x)其一阶导数只可能是负值。换句话说，在变化的密度上，对于单调递增函数，其变化率是正向的，而对于单调递减函数，其变化率是负向的。
此外，当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内的值恒为正值时，那么函数f(x)在定义区间内就是单调递增函数；而当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内的值恒为负值时，那么函数f(x)在定义区间内就是单调递减函数。
因此，函数的单调性与函数的导数有着紧密的联系。函数内部变化率的大小，反映在一阶导数值上；一阶导数是正值或负值，反映在函数的单调性上。准确地说，函数的单调性与函数的导数形成了一个严密的套路，使函数的变化更加的精密明晰，有几何的结构性表述。
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们理解函数的变化趋势以及函数在不同区间的单调性。在本文中，我们将探讨导数与函数的单调性之间的关系，并介绍如何通过导数来确定函数的单调性。
一、导数的定义与意义
导数描述了函数在某一点的变化率。对于函数f(x)来说，其导数可以用以下形式表示：
f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h 〗
其中，h表示自变量x的增量。导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
二、导数与函数的单调性
导数在函数上的正负性与函数的单调性密切相关。具体而言，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的。
三、通过导数确定函数的单调性
要通过导数确定函数的单调性，我们需要进行以下几个步骤：
1. 求取函数的导数。
2. 解方程 f'(x) = 0，求得导数的零点。
3. 在导数的零点处画出数轴，将数轴分为小区间。 4. 取各个小区间上的代表点，代入原函数并求出函数值。
5. 通过函数值的正负确定函数在小区间上的单调性。
举例来说，我们考虑函数f(x) = x^2，进行上述步骤：
1. 求取导数：
f'(x) = 2x
2. 解方程 f'(x) = 0：
2x = 0
解得 x = 0。
3. 在数轴上画出导数的零点 x = 0，并将数轴分为三个小区间：(-∞，0)，(0，+∞)。
4. 取小区间上的代表点，例如取小区间 (-∞，0) 的代表点 x = -1，取小区间 (0，+∞) 的代表点 x = 1。
5. 分别代入原函数 f(x) = x^2，求出函数值：
f(-1) = (-1)^2 = 1
f(1) = (1)^2 = 1
根据函数值的正负性，我们可以得出以下结论：
在小区间 (-∞，0) 上，函数递增；
在小区间 (0，+∞) 上，函数递增。 结论：函数f(x) = x^2 在整个定义域上都是递增的。
