函数单调性与导数的关系
函数的单调性与函数的导数有着密不可分的关系。单调性指函数f(x)在一个区间上，对傍端改变都呈现某一种状态（升序或者降序），而函数的导数则指在一个特定点上，其自变量发生变化后，函数值变化率快慢的大小。
首先，单调递增函数f(x)其一阶导数只可能是正值。反之，单调递减函数f(x)其一阶导数只可能是负值。换句话说，在变化的密度上，对于单调递增函数，其变化率是正向的，而对于单调递减函数，其变化率是负向的。
此外，当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内的值恒为正值时，那么函数f(x)在定义区间内就是单调递增函数；而当某一函数的一阶导数f'(x)在定义区间内的值恒为负值时，那么函数f(x)在定义区间内就是单调递减函数。
因此，函数的单调性与函数的导数有着紧密的联系。函数内部变化率的大小，反映在一阶导数值上；一阶导数是正值或负值，反映在函数的单调性上。准确地说，函数的单调性与函数的导数形成了一个严密的套路，使函数的变化更加的精密明晰，有几何的结构性表述。
课题 1.3.1 利用导数判断函数的单调性 编制
张宗妍 审核 教师评价： 学生评价：
班级 小组 姓名
- 1 - 教计 学记
§1.3.1利用导数判断函数的单调性
【使用说明】
1.课前完成学案,牢记基础知识,掌握基本题型.
2.认真限时完成,书写规范;课上小组合作探究，答疑解惑.
3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏.
4.展示点评，首先点评思路方法，然后顺着思路方法分析过程，总结规律方法、易错点，要质疑拓展.
【学习目标】
1.体会为什么要学习利用导数研究函数单调性.
2.理解导数正负与其原函数单调性有什么内在关系，学会利用导数判断函数单调性的方法.
3.通过探究利用导数判断函数单调性问题的过程,体会从特殊到一般、数形结合的思想方法；体会利用导数研究函数单调性的优越性和广泛性.
4.通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体.
【预习案】
（预习教材，找出疑惑之处）
复习1：(1) 以前，我们学习了哪些方法判断函数的单调性？
(2) 写写定义法判断函数单调性的步骤.
复习2：导数的几何意义？
【探究案】
问题：判断函数xexfx)(在),0(上的单调性.
（你在利用定义法解决这道题目时，能进行到哪一步？）
观察：观察下面一些函数的图象, 探讨导函数正负与其原函数单调性的关系.
（求解每个函数的导函数，尝试画出导函数的图像，观察图像，判断每个导函数的正负与其原函数的增减的关系，由此你对“导函数的正负与其原函数的增减”做何猜想？）
结论：一般地，导函数的正负与其原函数的增减性有如下关系：
在某个区间(,)ab内，如果 ，那么函数()yfx在这个区间内单调递减；如果 ，那么函数()yfx在这个区间内单调递增。
思考：函数3yx的单调区间是什么？
(由此你有什么猜想？在某个区间内，有个别几个点的导数为零，会不会影响函数的单调性？)
导数与函数的单调性
导数与函数的单调性是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们理解函数的变化趋势以及函数在不同区间的单调性。在本文中，我们将探讨导数与函数的单调性之间的关系，并介绍如何通过导数来确定函数的单调性。
一、导数的定义与意义
导数描述了函数在某一点的变化率。对于函数f(x)来说，其导数可以用以下形式表示：
f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h 〗
其中，h表示自变量x的增量。导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
二、导数与函数的单调性
导数在函数上的正负性与函数的单调性密切相关。具体而言，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的。
三、通过导数确定函数的单调性
要通过导数确定函数的单调性，我们需要进行以下几个步骤：
1. 求取函数的导数。
2. 解方程 f'(x) = 0，求得导数的零点。
3. 在导数的零点处画出数轴，将数轴分为小区间。 4. 取各个小区间上的代表点，代入原函数并求出函数值。
5. 通过函数值的正负确定函数在小区间上的单调性。
举例来说，我们考虑函数f(x) = x^2，进行上述步骤：
1. 求取导数：
f'(x) = 2x
2. 解方程 f'(x) = 0：
2x = 0
解得 x = 0。
3. 在数轴上画出导数的零点 x = 0，并将数轴分为三个小区间：(-∞，0)，(0，+∞)。
4. 取小区间上的代表点，例如取小区间 (-∞，0) 的代表点 x = -1，取小区间 (0，+∞) 的代表点 x = 1。
5. 分别代入原函数 f(x) = x^2，求出函数值：
f(-1) = (-1)^2 = 1
f(1) = (1)^2 = 1
根据函数值的正负性，我们可以得出以下结论：
在小区间 (-∞，0) 上，函数递增；
在小区间 (0，+∞) 上，函数递增。 结论：函数f(x) = x^2 在整个定义域上都是递增的。
《函数的单调性与导数》教学设计
教学目标：
1、知识与技能目标：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
2、过程与方法目标：通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法。培养学生的观察、分析、概括的能力，增强数形结合思维意识。
3、情感态度与价值观目标：通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法。培养学生的观察、分析、概括的能力，增强数形结合思维意识。
教学重点：利用导数判断函数单调性。
教学难点：求解函数单调区间的方法。
学情分析：
１、合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；
２、自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；
３、探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。
教学方法：本节课运用“问题解决”课堂教学，采用发现式、启发式的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律。
本节课采用多媒体辅助教学，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
教学媒体：本节课将用多媒体辅助教学。
教学过程
一、复习回顾
判断函数单调性的方法（图像法，定义法）
二、提出问题
判断y=x的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）
那么如何判断多次函数的单调性呢？如果用图像法，定义法去解决发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数。
三、分析问题
问题1：函数单调性与其导数的关系：
如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数105.69.4)(2ttth的图像。
（1）从起跳到最高点及从最高点到入水这两段
时间内，随着时间的变化，运动员离水面
的高度发生什么变化？
（2） 在105.69.4)(2ttth的单调区间上，它的导函数是什么？
（3）观察导数图像，通过图像回答导数在相应区间上的正负。
