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微积分学基本定理

微积分学基本定理
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )

F (b)

F (a)

F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a

b时， b a
f
(
x)dx

F
(b)

F
(a ) 仍成立.
； 快速阅读加盟 阅读加盟
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2

ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx

(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;

例1
求
2 0
(
2
cos
x

sin
x

1)dx
.
解
原式

微积分学基本定理及基本积分公式

微积分学基本定理及基本积分公式

2021/4/21
1
f ( x) 在[a,b] 上可积且 m f ( x) M ，则
性质 7（积分m中(b值 aT)hm）b f若( x)fd(xx) MC([ba, b] a，) 则 a
至少存在 [a, b]，使得
b f ( x)dx f ( )(b a) ． y a
称 f ( ) 1
已有结论：若 f ( x) C[a, b] ， 则 f ( x) 在 [a, b]上一定存在原函数．
(2) 原函数不唯一 若 f ( x) 在[a, b]上有原函数，则有一个必有无穷多个．
(3) f ( x) 的任意两个原函数 F ( x), G( x) 之间
只差一个常数，即若 F( x) f ( x), G( x) f ( x) ，
[
2,
，
1]
3
∴由积分中值定理知， c[2, 1] ， 3
使
f
(0)3
1
2f
3
( x)dx3
f
(c)(1 2) 3
f
(c)
，
积分∵中值f ( xT)hmC： [0, c]f，( x在) (0C, [ca,)b内] ，可则导至，少 且存f (在0) f(c[a) ，, b]，
∴由
Rolle
定理使知得，
b a
f
(
x)g(
x)dx
f
()
b
g(
a
x)dx
．
2021/4/21
3
性质 8 若 f ( x) 在[a, b]上可积，则 则改变 f ( x) 在[a, b]上有限个点的值后，所得
新函数 f *( x) 仍可积，且
b
f ( x)dx

微积分基本原理

微积分基本原理

b
a
f
(x)dx

F(x)
|ba

F(b)

F(a)
证 已知F( x)是 f ( x)的一个原函数，
又
( x)
x
a
f (t )dt 也是 f ( x) 的一个原函数,
x
a f (t)dt F(x) C
x [a,b]

a
f (t)dt F(a) C
a
C F(a)
第二节 微积分基本定理
（一）变限积分与原函数 （二）牛顿—莱布尼茨公式 小结
Page 1
（一）变限积分与原函数
设函数 f ( x) 在区间[a,b] 上连续，并且设x
为[a, b]上的一点，考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限x 在区间[a, b]上任意变动，则对于
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
Page 13
例11 求
1 1
dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2

ln1 ln 2 ln 2.
例 12 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
三、 1、2 5 ； 2、 ； 3、 1 ； 4、4.
8
3
4
Page 25
四、1、0；
2、1 . 10
六、 5 , 0. 33
0 , x 0

微积分学基本定理

微积分学基本定理

(2)
3
(2x
1

1 x2
)dx

(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;

例1
求
2 0
(
2
cos
x

sin
x

1)dx
.
解
原式
2sin x cos x

x2 0

3
. 2
例2
设
f
(x)

2x 5
0 1

x x
b a
f
( x)dx

F ( x) |ba
F (b)
F (a)
计算定积分的方法:
b
f ( x)dx
a
(1)定 义 法
( 2)面 积 法(曲 边 梯 形 面 积)
(3)公式法(微积分基本定理)F / ( x) f ( x)
b a
f
( x)dx

F ( x) |ba
F (b)

T2 v(t )dt
T1

s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx
a
(1)定义法:
b a
n
f ( x)dx lim n i 1
f
(

微积分基本定理 课件

微积分基本定理 课件
解析：f(t)＝∫10(1－2x＋2t)dx＝[(1＋2t)x－x2]|10＝2t. 答案：2t
[迁移探究 2] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(2tx2－ t2x)dx，则 f(t)的最大值是________．
解析：因为∫10(2tx2－t2x)dx＝23tx3－12t2x2|10＝ 23t－12t2，所以 f(t)＝23t－12t2＝－12t－232＋ 29， 所以，当 t＝23时，f(t)有最大值为29. 答案：29
解析：∫10(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2]|10＝2－2x， 即 f(x)＝2－2x.因为 x∈[1，2]， 所以 f(2)≤f(x)≤f(1)，即－2≤f(x)≤0， 所以函数 f(x)的值域是[－2，0]． 答案：[－2，0]
[迁移探究 1] 将原已知条件改为 f(t)＝∫10(1－2x＋ 2t)dx，则 f(t)＝________．
温馨提示 在找被积函数的原函数时，必须熟练掌握 导数的运算法则，否则易出错．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面 积为 S 下，则：
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①所示， 则∫baf(x)dx＝S 上．
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②所示， 则∫baf(x)dx＝－S 下．
(3)对于多项式函数的原函数，应注意 xn(n≠－1)的原 xn＋1
函数为 ，它的应用很广泛． n＋1
[变式训练] 计算下列定积分： (1)∫325x4dx； (2)∫31(1＋x＋x2)dx； (3)∫31 x＋ 1x26xdx. 解：(1)因为(x5)′＝5x4，
所以∫325x4dx＝x5|32＝35－25＝243－32＝211.

( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)

( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3)
2 0
sin2x2dx；
(4)2xx1＋1dx. 1
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
微积分基本定理的应用
[典例]
(本题满分 12 分)已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
若33f(x)dx＝40，求实 k
数 k 的值．
[解析] 由33f(x)dx＝40，得3f(x)dx＝430.
k
k
根据分段函数的解析式，分－2≤k<2 和 2≤k<3 两种情况讨论：……………2 分
0
函数，求 a，b.
[解析] ∵f(x)＝x3＋ax 为奇函数，
∴
1 1
(x3＋ax)dx＝0，
∴
1 1
(x3＋ax＋3a－b)dx
＝
1 1
(x3＋ax)dx＋
1 1
(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]
＝6a－2b.
∴6a－2b＝2a＋6，即 2a－b＝3.① 又 g(t)＝[x44＋a2x2＋(3a－b)x]0t ＝t44＋a2t2＋(3a－b)t 为偶函数， ∴3a－b＝0.② 由①②得 a＝－3，b＝－9.
(1)当－2≤k<2 时，
3f(x)dx＝2 (2x＋1)dx＋3 (1＋x2)dx
k
k
2
＝(x2＋x)2k ＋x＋x3332

最新1.6_微积分基本定理


4组
探究点（5）（板书展示）
5组
探究点（6）（板书展示）
6组
探究点（7）（板书展示）
7组
探究点（8）（板书展示）
8组
要求： ⑴板书展示要分层次、要点化，书写要认真、 规范。 ⑵非展示同学巩固基础知识、整理落实学案，做好拓展。不浪
费一分钟，小组长做好安排和检查
点评内容
点评小组
（1）（2）
8组
（3）（4）
1
x
• [分析] 先用定积分性质拆分在根据导数 与积分的关系，求定积分要先找到一个导 数等于被积函数的原函数，再根据牛顿— 莱布尼茨公式写出答案，找原函数可结合 导数公式表．
分段函数的定积分计算
3
0 2 x dx
设 f(x)2x2,xx,x 0,11,2,求
2
f (x)dx
0
• [分析] 求分段函数的定积分，可利用积 分性质将其表示为几段定积分和的形式， 若函数解析式中含有绝对值，应根据绝对 值的意义找到分界点，去掉绝对值符号， 化为分段函数后在积分。
6组
（5）
1组
（6）
3组
（7）（8）
5组
要求： ⑴先点评对错；再点评思路方法，应该注意的问题，力争 进行必要的变形拓展。 ⑵其他同学认真倾听、积极思考、记好笔记、大胆质疑。
求下列定积分
（ 2 4-2x)(4x2)dx 0
2 x2 2x 3
dx
3
(
x
1 )2dx
1
x
2
x
2 (ex 2)dx
1.6_微积分基本定理
1．了解微积分基本定理的含义；
2．利用微积分基本定理，求函数的定积 分
常用积分公式

微积分基本定理


x 1 即 A 1 A 2 0 A 1 A/ 2 A 2/ 3 2x f ( x) 1 故 3
2
ln f ( x ) x C
将 f(0)=1 代入上式得C=0
于是Leabharlann f ( x) e x例6. f ( x ) 1 x 0 f ( x )dx 求 f (x)
1
1 2d (1 x 2 ) 1 2 2 1 x 1 x2

x f a
( t )dt F ( x ) F (a )
再令 x=b 代入上式，得
2 1 x 2 |1 5 2
例5. 计算 3 x 2 x 2 dx
2 x x 2 3 x 1 解： x 2 x 2 2 x x 2 1 x 0
1
例7. f ( x ) 1 f ( t )dt 求 f(0), f(x)
x 0
注意：例6，与例7之间的区别
本次课知识点：
1.可变上限的定积分
2.微积分基本定理
求导数 求极限 求极值
3.牛顿——莱布尼茨公式
作业：P264第4 大题 2,3,4,第5大 题
6.2 微积分基本定理
一.可变上限的定积分 二.微积分基本定理 三. 牛顿——莱布尼茨公式
一.可变上限的定积分 设函数 f (x) 在区间[a,b]上连续，对任意的 x 属于 [a,b]定积分 a f ( x )dx 存在，此处 x 既表示积分上限， 又表示积分变量.为避免混淆，我们用 t 表示积分变量. 于是
x 0
例2.求 lim

x (1 0
cos t )dt
y (0) 1 0,

微积分基本公式和基本定理

ln a
(14) sh xdx ch x C
sh x ex ex 2
ch x ex ex 2
(15) ch xdx sh x C
23
例11. 求
dx . x3 x
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例12 求
sin
x 2
cos
x 2
dx
.
解: 原式=
xdx,
于是
2 e xdx
2
xdx.
2
2
0
0
例9
证明2e
1 4
2 e x2 xdx 2e2 .
0
2
第二节
第三章
微积分基本公式与基本定理
一、微积分基本公式 二、微积分基本定理 三、不定积分
3
一、微积分基本公式
在变速直线运动中, s(t) v(t) 物体在时间间隔
内经过的路程为 vT2 (t)d t s(T2 ) s(T1 ) T1
定理 2.1 ( Newton Leibniz公式)
b f (x)dx F(b) F(a) F(x) b
a
a
----微积分基本公式
4
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
解(1)
6
例2
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin
x
cos
x
x2 0

6.2微积分基本定理


变上限的积分与变下限的积分称为变限积分.
积分上限函数的性质
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的
函数 ( x ) a f ( t )dt 在 [a , b]上 具有导数， d x 且它的导数是 ( x ) f ( t )dt f ( x ) dx a
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
ห้องสมุดไป่ตู้
令 xa
a
F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
证
x
(a x b)
( x x ) a

x x x
x x
y f ( t )dt
( x )
( x x ) ( x )
a
f ( t )dt f ( t )dt
a
o a
x
x x b
x
a f ( t )dt x

x x x

2
,
f ( x ) 0, ( x 0) ( x t ) f ( t ) 0,
x
0 f ( t )dt 0,
x
0 ( x t ) f ( t )dt 0,
F ( x ) 0 ( x 0).
故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
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定积分 的最本质思想：在每个局 部小范围内“以直代曲”，“以不变代 变”和逼近的思想，这也是应用定积分 解决实际问题的思想方法.
.
新课导入
学习微积分，数学和思维水平都将 进入一个新的阶段，能切实地训练学生 的辨证思维.毫不夸张地说，不学或未学 懂微积分，思维难以达到较高的水平， 难以适应21世纪对高中学生素质的要求.
令 x= b ,即得a b fx d x= F b -F a .
.
接下来让我们练一练吧
定积分的基本公式,又称牛顿---莱布尼兹公式.常表示为
a bf(x )d x=F (x )b a=F b -F a.
.
3 dx
例1. 计算 -1 1 + x 2 .
解:
因为
arctanx'
=1 1+x2
由微积分基本定理得：
.
物体的总位移s
n
n
n
s = Δsi ≈hi = v ti-1Δt
i=1
i=1
i=1
n
= y' ti-1Δt i=1
n越大，即Δ t 越Байду номын сангаас，区间[a,b]划
n
分就越细，s和 y' ti-1 Δt 的近似程度 i =1
就越好.
.
由定积分的定义得：
s = l i m n b - a v
n n → ∞ i = 1
b
f(x)dxF(b)F(a)
成立.
a
.
证明：
因为f(x)在[a,b]内连续
x
f ( t ) d t 是f(x)的一个原函数. a
又F(x)是f(x)的原函数，
∴F(x)=
x
f ( t ) d t +C.在上式中令x=a,则
a
a
由 f(t)dt = 0 得到C=F(a) a
移项得 axf(t)dt=F(x)-Fa
知，它在任意时刻t的速度 vt=y' .设t
这个物体在时间段[a,b]内的位移为s， 你能分别用y(t),v(t)表示s吗？
.
物体的位移s 函数y=y(t)在t=b处与t=a处的函
数值之差.
s=y(b)-y(a)
还可利用定积分，有v(t)求位移，
用分点
a = t0< t1< < ti-1< ti= b
从前面的学习中可以发现，虽然被
积函数 f x =非x3常简单，但直接用定
积分的定义计算 1 x 3 d的x 值却比较
麻烦.而对于
2
1
1 x
0
d几x 乎不可能直接用
定义计算.
那么有什么好办法呢？
.
知识回顾
我们已经学习了微积分 学中两个最基本和最重要的 概念——导数和定积分，先 回顾一下.
.
导数 是刻画函数变化快慢程度的 一个一般概念，由于变量和函数在自然 界和社会中有着几乎无处不在的实际背 景，所以它是高等学校许多专业的一门 重要基础课.
[a,b]上的定积分就是物体的位移y(b)-
y(a).
s
=
b
a v
t d t
= b y ' t d t a
= y b - y a
.
微积分基本定理
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数， 并且 F ' =，f(x那) 么
abfxdx=Fb-Fa
这个结论叫做微积分基本定理 （fundamental theoren of calculus）, 又叫做牛顿—莱布尼兹公式(NewtonLeibniz Formula)
微积分的建立，无论是对数学还是 对其他科学以至于技术的发展都产生了 巨大的影响，充分显示了数学对于人的 认识发展、改造世界的能力的巨大促进 作用.
.
教学目标
知识与能力
了解微积分的概念和推导过 程以及基本思想，并能利用微积 分的定义解决实际问题.
.
过程与方法
通过实例（如变速运动物体在某 段时间内的速度与路程的关系），直 观了解微积分基本定理的含义．
利用本节学习的微积分基本定理， 我们就能轻松解决首页的问题.
.
1.4.2 微积分基本定理
学习微积分的意义
微积分是研究各种科学的工具， 在中学数学中是研究初等函数最有效 的工具.恩格斯称之为“17世纪自然 科学的三大发明之一”.
.
微积分的产生和发展被誉为“近代 技术文明产生的关键事件之一，它引入 了若干极其成功的、对以后许多数学的 发展起决定性作用的思想.”
.
情感态度与价值观
微积分是大学阶段的数学必修， 是高等数学的基础组成部分.高中阶 段的导数是其基础.
.
教学重难点
重点
直观了解微积分定理的基本含义, 能利用定理计算简单的定积分.
难点
微积分基本定理的推导过程.
.
变速直线运动
.
如图，一个作变速直线运动的物体 的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可
将区间[a,b]等分成n个小区间：
t 0 ,t 1 ,t 1 ,t 2 ,,t i- 1 ,t i,,t n - 1 ,t n ,
.
每个小区间的长度均为
b-a
当Δ
t
Δt =ti -ti-1
很小时，在 t i -1
=
, ti
n
上，v(t)的变
化很小，可以认为物体近似地以速
度作匀速运动，物体所作的位移
t i-1
= l i m n b - a y ' t
n n → ∞ i=1
= b v t d t = b y 'd t
a
a
结合s=y(b)-y(a)得：
s
=
b
a
v
t d t
= b y ' t d t a
= y b - y a
.
如果做变速直线运动的物体的运
动规律是y=y(t),那么v(t)= y ' t 在区间
.
前提条件：f(x)在[a,b]连续
（1）
b
a
f
x d x
存在；
（2）f(x)存在原函数.
x
a f ( t ) d t 是它的原函数
.
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a,b]上的定积 分等于它的任意一个原函数在区间[a,b] 上的增量，求定积分问题转化为求原函 数的问题.
注意：当a>b时，
Δsi ≈hi =vti-1Δt=y'ti-1Δt
=b-ay' n
ti-1
.
从几何意义上看，设曲线y=y(t)
上与t i - 1 对应的点为P，PD是P点处
的切线，由导数的几何意义知，切
线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δsi ≈ hi = tan∠ D P C gΔ t
= y ' t i-1 Δ t
3 dx
-1 1 + x 2
=
a rcta n x
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
.
例2.
解:
计算
3
1
因为
2x -
x2
'x1=2 d2xx,1x'
=-x12
,
由微积分基本定理得：
3
1
2x
-
1 x2
d x
=
3