§1.6微积分基本定理

1 / 21.6 微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2. 定积分的性质：()()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足()()F x f x 的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).3. 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰.该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：2200sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出sin x 的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为'(cos )sin x x -=，所以00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππππ=-=---=-⎰，2 / 22200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰.可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.（1）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）3211(2)x dx x -⎰； （2）⎰+2021dx xx . 【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为2''211()2,()x x x x ==-，所以3332211111(2)2x dx xdx dx xx -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=. （2）)1()1(211221220202x d x dx x x ++=+-⎰⎰151221202-=+⋅=x .【点拨】把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，寻找满足()()F x f x '=的函数F(x )，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x ).。

§1.6.2微积分基本定理【学情分析】：在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算．本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积．学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分．另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质（奇偶性）的函数，这些函数也是可以作为研究的对象．【教学目标】：（1）知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系; （2）过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系； （3）情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。

【教学重点】：（1）运用基本定理求定积分（2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学难点】：（1）求函数()f x 的一个原函数()F x（2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系【教学突破点】：合理利用复合函数的求导法则来求原函数()F x 【教学过程设计】：（基础题）1. 22(sin cos )d x x x ππ-+⎰的值是（ ）(A)0 (B)4π(C)2 (D)4答案：C解释：()2222(sin cos )d cos sin 2x x x x x ππππ--+=-+=⎰2. 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是（ ） (A)2(B)3(C)52(D)4答案：B 解释：332222cos d cos d (cos )d S x x x x x x ππππ==+-⎰⎰⎰3202sin sin 123x x πππ=-=+=3. sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为 答案：4解释：220sin d sin d sin d x x x x x x ππππ=+⎰⎰⎰20cos (cos )4x x πππ=--=4.设201()512x x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，求20()f x dx ⎰。

1.6 微积分基本定理教材新知知识点微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.问题1：f(x) 和F′(x)有何关系？问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛2(2x＋1)d x的值．问题3：求F(2)－F(0)的值．问题4：⎠⎛2(2x＋1)d x与F(2)－F(0)有什么关系？1．微积分基本定理设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下．则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图①，则⎠⎛ab f(x)d x＝．(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则⎠⎛ab f(x)d x＝．(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则⎠⎛ab f(x)d x＝；若S上＝S下，则⎠⎛ab f(x)d x＝.(1)微积分基本定理沟通了定积分与导数的关系，揭示了被积函数与函数的导函数之间的互逆运算关系，为计算定积分提供了一个简单有效的方法——转化为计算函数F (x )在积分区间上的增量．(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，再计算F (b )－F (a )． (3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简被积函数，再求定积分． 常考题型题型一 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ；(2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x )d x ；(3)sin 2x2d x .名师点津由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练π⎰21.计算下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x ； (2)⎠⎛19x (1＋x )d x ；题型二 求分段函数的定积分例2 已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .名师点津分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． 跟踪训练2.计算定积分⎠⎛0－4|x ＋3|d x .题型三 利用定积分求参数例3 设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．名师点津利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限． 跟踪训练3.已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的[解析]式．课堂验收1．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 2．(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B. π4 C ．2D ．43．计算⎠⎛01x 2d x ＝________.4．已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．5．计算下列定积分．ππ⎰22－(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x .——★ 参 考 答 案 ★——问题1：[答案]F ′(x )＝f (x )． 问题2：[答案]⎠⎛02 (2x ＋1)d x ＝6.问题3：[答案]F (2)－F (0)＝6－0＝6. 问题4：[答案]⎠⎛02f (x )d x ＝F (2)－F (0)．1．连续 f (x ) F (b )－F (a ) F (b )－F (a ) 2. (1) S 上 (2)－S 下 (3)S 上－S 下 0例1 解：(1) ⎠⎛12 (x 2＋2x ＋3)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x＝x 33＋x 2＋3x＝253. (2) ⎠⎛－π0 (cos x －e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x －⎠⎛－π0e x d x＝sin x－e x＝1eπ－1. (3)sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴sin 2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ＝π4－12＝π－24. 跟踪训练1. 解：(1)因为(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x ，所以⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x dx ＝(e x ＋ln x )21＝e 2＋ln 2－e. (2)因为x (1＋x )＝x ＋x ，32212()23x x +′＝x ＋x ，所以⎠⎛19x (1＋x )d x ＝⎠⎛19(x ＋x )d x ＝9322112()23x x +＝1723.2121210－π－ππ⎰20π⎰2π20例2 解：⎠⎛0πf (x )d x ＝f (x )d x ＋f (x )d x ＝(4x －2π)d x ＋cos x d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以(4x －2π)d x ＋cos x d x ＝(2x 2－2πx )＋sin x＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.跟踪训练2.解：因为f (x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛－40|x ＋3|d x ＝⎠⎛－4－3(－x －3)d x ＋⎠⎛－30(x ＋3)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5.例3 解：因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，且⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ， 所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx ＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)． 即x 0的值为33. 跟踪训练3.解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.① ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10 ＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ π⎰20ππ⎰2π⎰2ππ⎰2π⎰2ππ⎰2π20ππ21由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.课堂验收 1．[答案]C[解析]选项A ，因为⎝⎛⎭⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12；选项B ，因为⎝⎛⎭⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ＝1；选项D ，因为⎝⎛⎭⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12. 2．[答案]C[解析](sin x ＋cos x )d x ＝sin x d x ＋cos x d x ＝(－cos x )＋sin x＝2.3．[答案]13[解析]由于⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2d x ＝13x 310＝13. 4．[答案]⎣⎡⎦⎤23，2[解析]⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝(2k ＋2)－⎝⎛⎭⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2. 5．解：(1)∵⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ， ∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21＝⎝⎛⎭⎫23×23－ln 2－⎝⎛⎭⎫23×13－ln 1 ＝143－ln 2. (2)∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，11011ππ⎰22－ππ⎰22－ππ⎰22－ππ22－ππ22－且⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x＋2， ∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x |32 ＝⎝⎛⎭⎫322＋ln 3＋6－⎝⎛⎭⎫222＋ln 2＋4 ＝92＋ln 32.。

§1.6微积分基本定理 校对人：聂格娇 审核人：刘励钧1．理解定积分的概念和定积分的性质，理解微积分基本原理;2．掌握微积分基本定理，并会求简单的定积分;3．能够运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出，满足()()F x f x '=的函数()F x .5155复习1：函数33cos y x x =的导数为复习2：若函数2()cos (3)3f x x π=+，则2()9f π'=二、新课导学※ 学习探究探究任务一：导数与定积分的联系问题1：一个作变速直线运动的物体的运动规律是()s s t =.由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度()()v t s t '=.设这个物体在时间段[,]a b 内的位移为S ，你能分别用(),()s t v t 表示S 吗？新知：如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，也叫牛顿—莱布尼兹公式为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-⎰试试：计算120x dx ⎰反思：计算定积分()ba f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 通常我们可以运用基本初等函数的求导公式的四则运算法则从反方向求出()F x .※ 典型例题例1 计算下列定积分：（1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x-⎰变式：计算0⎰小结：计算定积分()b a f x dx ⎰的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x .例2. 计算下列定积分：0sin xdx π⎰，2sin xdx ππ⎰，20sin xdx π⎰.变式：计算下列定积分，试利用定积分的几何意义做出解释.22cos dx ππ-⎰；0cos dx π⎰；322cos dx ππ-⎰小结：定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0：（1）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.※ 动手试试练1. 计算：211()x dx x-⎰练2.计算0sin xdx π-⎰三、总结提升※ 学习小结1.理解掌握牛顿—莱布尼兹公式()()()ba f x dx Fb F a =-⎰. 2.熟练掌握求原函数的方法是求定积分的关键.※ 知识拓展微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设连续函数()0f x >，则当a b <时，定积分()ba f x dx ⎰的符号（ ） A ．正 B.当0ab <<时为正，当0a b <<时为负C ．负D ．以上结论都不对2. 函数0cos xy xdx =⎰的一阶导数是（ ） A ．cos x B ．sin x - C ．cos 1x - D ．sin x3. 与定积分320|sin |x dx π⎰相等的是（ ）A ．320|sin |xdx π⎰B ．320sin xdx π⎰C ．320sin sin xdx xdx πππ-⎰⎰ D.32202sin sin xdx xdx πππ+⎰⎰4.211)dx ⎰= 5.2211dx x ⎰=1. 计算定积分：（1）220(42)(4)x x dx --⎰；（2）22123x x dx x--⎰.2. 计算定积分30sin xdx π⎰的值，并从几何上解释这个值表示什么.。