《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第八篇 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

第 5 讲直线、平面垂直的判断及其性质A 级基础操练(时间： 30 分钟满分：55分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分)1．已知平面α与平面β订交，直线 m⊥α，则()．A．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B．β内不必定存在直线与m 平行，不必定存在直线与m 垂直C．β内不必定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D．β内必存在直线与m 平行，不必定存在直线与m 垂直分析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线 a 平行，则有 m 与之垂直．但却不必定在β内有与 m 平行的直线，只有当α⊥β时才存在．答案 C2．已知直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，直线 m 垂直于直线 BC 和 AC，则直线 l ，m的地点关系是A．平行B．异面C．订交(D．垂直)．分析由于直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，所以 l 垂直于平面 ABC，同理，直线m 垂直于平面 ABC，依据线面垂直的性质定理得l∥m.答案A3．已知P 为△ ABC 所在平面外的一点，则点P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂心的充足必需条件是()．A．PA＝ PB＝ PCB．PA⊥ BC， PB⊥ ACC．点 P 到△ ABC 三边所在直线的距离相等D．平面 PAB、平面 PBC、平面 PAC 与△ ABC 所在的平面所成的角相等分析条件 A 为外心的充足必需条件，条件C、D 为心里的必需条件，应选B.答案B4．设α，β为不重合的平面， m，n 为不重合的直线，则以下命题正确的选项是( )．A．若α⊥β，α∩β＝ n， m⊥ n，则 m⊥αB．若 m? α， n? β， m⊥n，则 n⊥αC．若 n⊥α， n⊥β，m⊥β，则 m⊥αD．若 m∥α，n∥β， m⊥n，则α⊥β分析与α、β两垂直订交平面的交线垂直的直线 m，可与α平行或订交，故 A 错；对 B，存在 n∥α状况，故 B 错；对 D，存在α∥β状况，故 D 错．由 n ⊥α，n⊥β，可知α∥β，又 m⊥β，所以 m⊥α，故 C 正确，选 C. 答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分)5.如图，拿一张矩形的纸对折后稍微睁开，直立在桌面上，折痕与桌面的地点关系是 ________．分析折痕与矩形在桌面内的两条订交直线垂直，所以折痕与桌面垂直．答案垂直6．(2012 ·石家庄一模 )已知直线 l ⊥平面α，直线 m? 平面β.给出以下命题：①α∥β? l⊥ m；②α⊥β? l ∥m；③ l ∥m? α⊥β；④ l⊥m? α∥β.此中正确命题的序是 ________．分析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；由于 l ⊥α，α⊥β? l ∥β或 l? β，所以 l ，m 平行、订交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判断定理可知③正确；由于l⊥α，l ⊥m? m? α或 m∥α，又 m? β，所以α，β可能平行或订交，故④错误．答案①③三、解答题 (共 25 分)7．(12 分)如图，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面， M，N 分别是 AB，PC 的中点．(1)求证： MN⊥CD；(2)若∠ PDA＝ 45°，求证： MN⊥平面 PCD.证明(1)如图，连结 AC，AN，BN，∵ PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥ AC，在 Rt△PAC 中， N 为 PC 中点，1∴AN＝2PC.∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥ BC，又 BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面 PAB，∴ BC⊥PB，进而在 Rt△ PBC 中， BN 为斜边 PC 上的中线，1∴BN＝2PC.∴AN＝BN，∴△ ABN 为等腰三角形，又 M 为底边的中点，∴ MN⊥ AB，又∵AB∥CD，∴ MN⊥CD.(2)连结 PM、MC，∵∠ PDA＝45°，PA⊥AD，∴ AP＝AD.∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD＝BC，∴ PA＝BC.又∵M 为 AB 的中点，∴ AM＝BM.而∠ PAM＝∠ CBM＝ 90°，∴ PM＝CM.又 N 为 PC 的中点，∴ MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面 PCD.8．(13 分)(2013 泉·州模拟 )如下图，在直四棱柱 ABCD －A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点 M 是棱 BB1上一点．(1)求证： B1D1∥平面 A1BD；(2)求证： MD ⊥ AC；(3)试确立点M 的地点，使得平面DMC 1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD 1，又∵ BB1＝ DD 1，∴ BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD.而 BD? 平面 A1 BD， B1D1?平面 A1BD，∴B1D1∥平面 A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面 ABCD， AC? 平面 ABCD，∴BB1⊥AC.又∵ BD⊥AC，且 BD∩BB1＝B，∴ AC⊥平面 BB1 D.而 MD? 平面 BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点 M 为棱 BB1的中点时，平面 DMC 1⊥平面 CC1D1 D.取 DC 的中点 N，D1C1的中点 N1，连结 NN1交 DC1于 O，连结 OM，如下图．∵N是 DC 的中点， BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵ DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1的交线，而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1，∴BN⊥平面 DCC1D1.又可证得 O 是 NN1的中点，∴BM∥ON 且 BM＝ON，即 BMON 是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1D1D.∵OM? 平面 DMC 1，∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.B 级能力打破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )1．如图 (a)，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点， G 是 EF 的中点，此刻沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个四周体，使 B、C、D 三点重合，重合后的点记为H，如图 (b)所示，那么，在四周体 A－ EFH 中必有()．A ．AH⊥△ EFH 所在平面C．HF ⊥△ AEF 所在平面B．AG⊥△EFHD． HG⊥△ AEF所在平面所在平面分析折成的四周体有AH⊥ EH， AH⊥ FH ，∴AH⊥面 HEF.答案 A2.如图，在斜三棱柱1 1 1 中，∠BAC＝90°，ABC－A B CBC1⊥AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在()．A．直线 AB 上B．直线 BC 上C．直线 AC 上D．△ ABC 内部分析由 BC1⊥AC，又 BA⊥ AC，则 AC⊥平面 ABC1，所以平面 ABC⊥平面ABC1，所以 C1在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上．答案 A二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 知足 ________时，平面MBD ⊥平面PCD.(只需填写一个你以为正确的条件即可)分析∵PC 在底面 ABCD 上的射影为 AC，且 AC⊥BD，∴ BD⊥ PC.∴当 DM ⊥PC(或 BM⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD，而 PC? 平面 PCD，∴平面 MBD ⊥平面 PCD.答案DM⊥PC(或 BM⊥PC)4.如图， PA⊥圆 O 所在的平面， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O上的一点， E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影，给出以下结论：①AF⊥PB；② EF⊥PB；③ AF⊥BC；④ AE⊥平面 PBC.此中正确结论的序是 ________．分析由题意知 PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥BC.又 AC⊥ BC， PA∩AC＝A，∴ BC⊥平面 PAC.∴BC⊥AF.∵ AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面 PBC，∴ AF⊥PB，AF⊥BC.又 AE⊥ PB， AE∩ AF＝ A，∴ PB⊥平面 AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分)(2013 汕·头模拟 )如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直 ) 被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中， M 是 BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，相关数据如下图．(1)若 N 是 BC 的中点，证明：AN∥平面 CME；(2)证明：平面 BDE⊥平面 BCD.(3)求三棱锥 D－BCE 的体积．(1)证明连结MN，则MN∥CD，AE∥CD，1又 MN＝AE＝2CD，∴四边形 ANME 为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN?平面 CME，EM? 平面 CME，∴AN ∥平面 CME.(2)证明∵ AC ＝ AB ， N 是 BC 的中点， AN ⊥ BC ，又平面 ABC ⊥平面 BCD ，∴AN ⊥平面 BCD.由(1)，知 AN ∥EM ，∴EM ⊥平面 BCD.又 EM? 平面 BDE ，∴平面 BDE ⊥平面 BCD.1(3)解 V D －BCE ＝ V E －BCD ＝3S △BCD ·|EM|1 2 2×4 2＝ 8＝3× 2 × 3.6． (13 分 )(2013 合·肥模拟 )如图，在多面体 ABC －A 1B 1C 1 中，AA 1⊥平面 ABC ，AA 1 綉 BB 1，AB ＝ AC21＝ AA 1 ＝ 2 BC ， B 1C 1 綉2BC.(1)求证： A 1B 1⊥平面 AA 1C ；(2)若 D 是 BC 的中点，求证： B 1D ∥平面 A 1C 1C.(3)若 BC ＝2，求几何体 ABC －A 1B 1C 1 的体积．(1)证明∵ AB ＝ AC ＝22 2 22 BC ，AB ＋AC ＝BC ，∴AB ⊥AC ，又 AA 1⊥平面 ABC ， AB? 平面 ABC ，∴AA 1⊥ AB ， AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面 AA 1C ，又∵ AA 1 綉 BB 1，∴四边形 ABB 1A 1 为平行四边形．∴A 1B 1∥AB ，∴ A 1B 1⊥平面 AA 1C.(2)证明 ∵B 1C 1 1 BC ，且 D 是 BC 的中点，綉2∴CD 綉 C 1 1，∴四边形 C 1 CDB 1 为平行四边形，B∴B 1D ∥1 ， 1平面 1 1 C 且 1 平面1 1 ，CC BD?A CC C?A C C∴B 1D ∥平面11ACC.(3)解连结 AD ，DC 1，＝V 三棱柱 1 1 1－ABD＋V四棱锥C－AA1 1V A B C C D 1152＝2×1×1×2＋3×( 2×1)×1＝ 6 .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

第 4 讲直线、平面平行的判断及其性质A 级基础操练(时间： 30 分钟满分：55分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分)1．平面α∥平面β，点 A，C∈α，B，D∈β，则直线 AC∥直线 BD 的充要条件是()．A．AB∥CD C．AB 与 CD 订交B．AD∥CBD．A，B，C，D四点共面分析充足性： A，B，C，D 四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必需性明显建立．答案D2．(2013 ·汕头质检 )若 m、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则以下命题中正确的选项是()．A．若 m、n 都平行于平面α，则 m、n 必定不是订交直线；B．若 m、n 都垂直于平面α，则 m、n 必定是平行直线；C．已知α、β相互平行， m、 n 相互平行，若 m∥α，则 n∥β；D．若 m、n 在平面α内的射影相互平行，则m、n 相互平行．分析 A 中， m、n 可为订交直线； B 正确； C 中， n 能够平行β，也能够在β内； D 中， m、 n 也可能异面．故正确的命题是 B. 答案 B3．一条直线 l 上有相异三个点A、B、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的地点关系是()．A．l ∥αB．l⊥αC．l与α订交但不垂直D．l∥α或l?α分析l∥α时，直线l 上随意点到α的距离都相等；l?α时，直线l 上全部的点到 α的距离都是 0；l ⊥α时，直线 l 上有两个点到 α距离相等；l 与 α斜交时，也只好有两个点到 α距离相等． 答案 D，α，α 是三个相互平行的平面，平面 α，α 之间的距离4．(2011 ·西江 )已知 α12312为 d 1，平面 α2，α3之间的距离为 d 2 直线l 与 α1，α2， α3分别订交于 P 1，P 2，.P 3.那么“ P 1P 2＝P 2P 3 ”是“ d 1 ＝d 2”的()．A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件分析 如下图，因为 α2∥α3，同时被第三个平面 P 1P 3N 所截，故有 P 2M ∥ P 3N.再依据平行线截线段成比率易知选C.答案C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分)5．过三棱柱 ABC － A 1B 1 C 1 的随意两条棱的中点作直线，此中与平面 ABB 1A 1 平行的直线共有 ________条．分析 过三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的随意两条棱的中点作直线， 记 AC ，BC ，A 1C 1， B 1C 1 的中点分别为 E ，F ，E 1，F 1，则直线 EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面 ABB 1A 1 平行，故切合题意的直线共 6 条．答案 66．α、β、γ是三个平面， a 、b 是两条直线，有以下三个条件：① a ∥γ， b? β；② a ∥γ，b ∥β；③ b ∥β，a? γ.假如命题“ α∩β＝a ，b? γ，且________，则 a ∥b ”为真命题，则能够在横线处填入的条件是________(把全部正确的题填上 )．分析 ①中， a ∥ γ， a? β，b? β，β∩γ＝b? a ∥b(线面平行的性质 )．③中， b ∥β，b? γ，a? γ， β∩γ＝a? a ∥b(线面平行的性质 )．答案 ①③三、解答题 (共 25 分)7．(12 分)如图，在四周体 A －BCD 中， F 、 E 、H 分别是棱 AB 、BD 、 AC 的中点， G 为 DE的中点．证明：直线 HG ∥平面 CEF.证明法一如图，连结BH，BH与CF交于K，连结EK.∵F、H 分别是 AB、 AC 的中点，∴K 是△ ABC 的重心，BK 2∴BH＝3.BE 2又据题设条件知，BG＝3，BK BE∴BH＝BG，∴ EK∥GH.∵EK? 平面 CEF， GH?平面 CEF，∴直线 HG∥平面 CEF.法二如图，取 CD 的中点 N，连结 GN、HN.∵G 为 DE 的中点，∴ GN∥ CE.∵CE? 平面 CEF，GN?平面 CEF，∴GN∥平面 CEF.连结 FH，EN∵F、E、H 分别是棱 AB、BD、AC 的中点，11∴FH 綉2BC，EN 綉2BC，∴ FH 綉 EN，∴四边形 FHNE 为平行四边形，∴ HN∥ EF.∵EF? 平面 CEF， HN?平面 CEF，∴HN∥平面 CEF.HN∩GN＝N，∴平面 GHN∥平面 CEF.∵GH? 平面 GHN，∴直线 HG∥平面 CEF.8．(13 分 )如图，已知 ABCD－A1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA1上，点 F 在 CC1上， G 在BB1上，且 AE＝FC1＝ B1G＝1，H 是 B1C1的中点．(1)求证： E，B，F， D1四点共面；(2)求证：平面 A1GH∥平面 BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴ BG＝A1E＝ 2，∴BG 綉 A1E，∴A1G 綉 BE.又同理， C1F 綉 B1G，∴四边形 C1FGB1是平行四边形，∴FG 綉 C1B1綉 D1A1，∴四边形 A1 GFD1是平行四边形．∴A1G 綉 D1F，∴ D1F 綉 EB，故 E、B、F、D1四点共面．3(2)∵ H 是 B1C1的中点，∴ B1H＝2.B1G2又 B1G＝1，∴B1H＝3.FC 2又BC＝3，且∠ FCB＝∠ GB1H＝90°，∴△ B1 HG∽△ CBF，∴∠ B1GH＝∠ CFB＝∠ FBG，∴HG∥FB.又由 (1)知 A1G∥BE，且 HG∩ A1G＝G，FB∩ BE＝ B，∴平面 A1GH∥平面 BED1F.B 级能力打破 (时间： 30 分钟 满分： 45 分)一、选择题 (每题 5分，共 10 分)， 是平面 α内的两条不一样直线； l 1，l 2 是平面 β内的两1．(2013 ·蚌埠模拟 )设 m n条订交直线，则 α∥β的一个充足而不用要条件是 ()．A ．m ∥β且 l 1∥αB ．m ∥ l 1 且 n ∥l 2C ．m ∥β且 n ∥βD ． m ∥β且 n ∥l 2分析关于选项 A ，不合题意；关于选项 B ，因为 l 1 与 l 2 是订交直线，并且由 l 1∥ m 可得 l 1∥α，同理可得 l 2∥α故可得 α∥β，充足性建立，而由 α∥β不必定能获得 l 1∥m ，它们也能够异面， 故必需性不建立， 应选 B ；关于选项 C ，因为 m ，n 不必定订交，故是必需非充足条件；关于选项为 n ∥β，同选项 C ，故不切合题意，综上选 B.D ，由n ∥ l 2 可转变答案B2．(2013 ·沈阳五校联考 )以下四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点， M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB ∥平面 MNP 的图形的序是 ()．A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④分析关于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可获得 AB ∥平面 MNP ，关于图形④： AB ∥PN ，即可获得 AB ∥平面 MNP ，图形②、③都不能够，应选 C.答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 知足条件 ________时，有 MN∥平面 B1BDD1.分析由题意，HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD 1.∵HN∩FH＝H，∴面 NHF∥面 B1BDD1.∴当 M 在线段 HF 上运动时，有 MN∥面 B1BDD 1.答案M∈线段 HF4．关于平面α与平面β，有以下条件：① α、β都垂直于平面γ；② α、β都平行于平面γ；③ α内不共线的三点到β的距离相等；④ l ，m 为两条平行直线，且 l∥α， m∥β；⑤ l ，m 是异面直线，且 l∥α， m∥α；l∥β， m∥β，则可判断平面α与平面β平行的条件是 ________(填正确结论的序 )．分析由面面平行的判断定理及性质定理知，只有②⑤能判断α∥β.答案②⑤三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分)(2013 汕·头模拟 )一个多面体的直观图及三视图如下图： (此中 M、N 分别是 AF、BC 的中点 )．(1)求证： MN∥平面 CDEF；(2)求多面体 A－ CDEF 的体积．π解由三视图可知： AB＝ BC＝ BF＝ 2， DE＝ CF＝ 2 2，∠ CBF＝2.(1)证明：取 BF 的中点 G，连结 MG 、NG，由 M、N分别为 AF、BC 的中点可得， NG∥ CF，MG∥ EF，∴平面 MNG∥平面 CDEF ，又 MN? 平面 MNG，∴MN∥平面 CDEF.(2)取 DE 的中点 H.∵AD＝AE，∴ AH⊥ DE，在直三棱柱 ADE－ BCF 中，平面 ADE⊥平面 CDEF，平面 ADE∩平面 CDEF＝DE. ∴AH⊥平面 CDEF .∴多面体A－CDEF 是以AH 为高，以矩形 CDEF 为底面的棱锥，在△ ADE 中，AH＝ 2.S 矩形CDEF＝ DE·EF＝ 4 2，∴棱锥 A－CDEF 的体积为 V＝1·矩形 CDEF ·＝1×4 2×2＝8 3SAH33.6．(13 分)如下图，四边形ABCD 为矩形， AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面ACE.(1)求证： AE⊥BE；(2)设 M 在线段 AB 上，且知足 AM＝2MB，试在线段 CE 上确立一点 N，使得 MN∥平面 DAE.(1)证明∵ AD⊥平面ABE，AD∥ BC，∴BC⊥平面 ABE，又 AE? 平面 ABE，则 AE⊥ BC.又∵ BF⊥平面 ACE，AE? 平面 ABE，∴AE⊥BF，又 BC∩ BF＝ B，∴ AE⊥平面 BCE，又 BE? 平面 BCE，∴ AE⊥ BE.(2)解在△ ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△ BEC中过G点作1 GN∥BC 交 EC 于 N 点，连结 MN，则由比率关系易得CN＝3CE.∵MG∥ AE， MG?平面 ADE，AE? 平面 ADE，∴MG∥平面 ADE.同理， GN∥平面 ADE.又∵ GN∩ MG＝G，∴平面 MGN∥平面 ADE.又 MN? 平面 MGN，∴MN∥平面 ADE.∴N 点为线段 CE 上凑近 C 点的一个三平分点 .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。