2014高考理科数学一轮复习章节过关检测(新课标,人教A版)9-8曲线与方程

课时作业(四十六)一、选择题1．(2012年长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是() A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4解析：AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为：x2＋y2＝2.答案：A2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知(0－1)2＋(b－2)2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案：A3．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为() A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：曲线C的方程可以化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a>2.答案：D4．(2012年广州二模)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是() A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C. 答案：C5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝(3－3)2＋(4－5)2＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M 的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6.答案：B6．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：设C 2(a ，b )，则C 2(a ，b )与C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称，由⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0b －1a ＋1＝－1得⎩⎨⎧a ＝2b ＝－2， 故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：B 二、填空题7．(2011年辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．解析：线段AB 的中垂线方程为2x －y －4＝0，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为|CB |＝10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.答案：(x －2)2＋y 2＝108．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝29．(2012年大同调研)直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π. 答案：π 三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)． 解：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意列出方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2(a －1)2＋(b －1)2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0解之得⎩⎨⎧a ＝4b ＝－3r 2＝25∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a (3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)法一：设圆的一般方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13， 则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0. 联立⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝(1－1)2＋(2－12)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11．(2012年东城区综合练习)如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，化简，得(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a>0)，B(0，a)，C(－4,0)，D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值．(2)设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．解：(1)直线CD方程为y＝x＋4，圆心E(a2，a2)，半径r＝22a.由题意得|a2－a2＋4|2＝22a，解得a＝4.(2)∵|CD|＝(－4)2＋42＝42，∴当△PCD面积为12时，点P到直线CD的距离为3 2.又圆心E到直线CD距离为22(定值)，要使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，需⊙E的半径2a2＝52，解得a＝10，此时，⊙E的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50.[热点预测]13．(2012年山东滨州质检)(1)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x ＋b成轴对称，则a－b的取值范围是______．(2)已知圆O的方程为x2＋y2＝4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|＋|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是________．解析：(1)圆的方程变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圆心为(－1,2)，且5－a>0，即a<5.又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.(2)满足题意的平面区域为如图中的正方形外部，故a≤1.答案：(1)(－∞，1)(2)a≤1。

质量检测(三)测试内容：三角函数、解三角形平面向量(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012年孝感第一次统考)点A(sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：由于2 013°＝5×360°＋211°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin 2 013°<0，cos 2 013°<0，从而A点在第三象限，选C.答案：C2．(2011年高考课标卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝()A．－45B．－35C.35 D.45解析：由已知tanθ＝2，则cos 2θ＝cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＝1－tan2θtan2θ＋1＝－35.答案：B3．函数y＝2sin(2x－π)cos[2(x＋π)]是()A．周期为π4的奇函数B．周期为π4的偶函数C．周期为π2的奇函数D．周期为π2的偶函数解析：y＝2sin(2x－π)cos[2(x＋π)]＝2·(－sin 2x)·cos 2x＝－22sin 4x，因此周期T＝2π4＝π2，且f(－x)＝－f(x)，函数是奇函数，选C.答案：C4．(2012年浙江)设a，b是两个非零向量．() A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析：由|a＋b|＝|a|－|b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，即a·b ＝－|a|·|b|，故a与b方向相反．又|a|≥|b|，则存在实数λ∈[－1,0)，使得b＝λa.故A，B命题不正确，C命题正确，而两向量共线，不一定有|a＋b|＝|a|－|b|，即D命题不正确，故选C.答案：C5．已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1, 3)，则|a＋b|的最大值为() A．1 B. 3C．3 D．9解析：|a＋b|＝(sin x＋1)2＋(cos x＋3)2＝5＋4sin(x＋π3)，所以|a＋b|的最大值为3. 答案：C6．(2012年洛阳统考)若sin(α－π4)cos 2α＝－24，则sin α＋cos α的值为()A．－72B．－12C.12 D.72解析：依题意，得22(sin α－cos α)cos2α－sin2α＝－22sin α＋cos α＝－24，所以sin α＋cosα＝12，选C.答案：C7．在△ABC 中，“AB →·BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由AB →·BC →＝0⇒AB →⊥BC →，故角B 为直角，即△ABC 为直角三角形；反之若三角形为直角三角形，不一定角B 为直角，故“AB →·BC →＝0”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.答案：A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A ＝( )A.22 B ．－22 C.33D ．－33解析：∵m ∥n ，∴(3b －c )cos A ＝a cos C . ∴(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， 即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 易知sin B ≠0，∴cos A ＝33. 答案：C9．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为( )A. 3 B ．2 3 C. 6D.62解析：由AB →＝DC →＝(1,1)，知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|CD →|＝ 2. 又BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3BD →|BD →|， 知平行四边形ABCD 为菱形，且C ＝120°， ∴S 四边形ABCD ＝2×2×32＝ 3.故选A. 答案：A10．(2013届江西省百所重点高中阶段诊断)已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3等于( )A.5π3B.4π3C.3π4D.3π2解析：可据题意作出函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象，观察图象可知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，x 2，x 3关于直线x ＝23π对称，故x 1＋2x 2＋x 3＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝2×π6＋2×23π＝53π.答案：A11．如图，在平面斜坐标系中，∠xOy ＝120°，平面上任意一点P 的斜坐标是这样定义的：“若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是与x ，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )”．那么，在斜坐标系中，以O 为圆心，2为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2－xy ＝2D ．x 2＋y 2－xy ＝4解析：据题意可知在斜坐标系中圆上的点P (x ，y )满足|OP →|＝|x e 1＋y e 2|＝2，即|x e 1＋y e 2|2＝x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝x 2＋y 2＋2xy cos 120°＝4，整理可得x 2＋y 2－xy ＝4，即为所求圆的方程．故选D. 答案：D12．(2012～2013学年河北省高三教学质检)函数 f (x )＝2sin(2x ＋π4)，给出下列命题：①函数 f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；②直线x ＝π8是函数 f (x )的图象的一条对称轴；③函数 f (x )的图象可以由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵当π2≤x ≤5π8时，5π4≤2x ＋π4≤3π2， ∴ f (x )在[π2，5π8]上是减函数，故①正确． ②∵f (π8)＝2sin(π4＋π4)＝2，故②正确．③y ＝2sin 2x 向左平移π4个单位得y ＝2sin 2(x ＋π4) ＝2cos 2x ≠ f (x )，故③不正确．故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝________. 解析：∵|a ＋b |＝22，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝8. 又∵|a |＝1，a ·b ＝32，∴b 2＝4，|b |＝2. 答案：214．(2011年江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析：由图象知A ＝2，T ＝4(712π－π3)＝π，∴ω＝2， 则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由2×π12＋φ＝π2，得 φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3) ∴f (0)＝2sin π3＝62. 答案：6215．(2012年山东)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．解析：如图，由题意知BP ＝OB ＝2，∵圆半径为1， ∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2， ∴DA ＝AP cos(2－π2)＝sin 2，DP ＝AP sin(2－π2)＝－cos 2. ∴OC ＝2－sin 2，PC ＝1－cos 2. ∴OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)16．(2012年衡阳六校联考)给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α，β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期为5π；④函数y ＝cos(2x 3＋7π2)是奇函数；⑤函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上)．解析：对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f (x )＝cos(2x 3＋7π2)，则f (－x )＝cos(－2x 3＋7π2)＝cos(2x 3－7π2)＝－cos(2x 3－7π2＋7π)＝－cos(2x 3＋7π2)＝－f (x )，因此④正确；对于⑤，函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin 2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年江苏)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．解：(1)证明：因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A1－3tan 2A＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A >0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.18．(2013年山东滨州联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c 已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14(1)求△ABC 的边长． (2)求cos(A －C )的值解：(1)由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×1×2×14＝4 ∵c >0，∴c ＝2(2)sin 2C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516∵0<C <π ∴sin C ＝154 由正弦定理：a sin A ＝csin C ， 即：1sin A ＝2154，解得sin A ＝158，cos 2A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝4964 在三角形ABC 中，∵a <b ∴A <B ∴A 为锐角，∴cos A ＝78cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin B ＝78×14＋158×154＝111619．(2013届山西大学附属中学高三10月月考)已知A ，B ，C 为锐角△ABC 的三个内角，向量m ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，n ＝(1＋sin A ，cos A －sin A )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)求y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2B 取最大值时角B 的大小．解：(1)∵m ⊥n ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )＋(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )＝0，∴2(1－sin 2 A )＝sin 2A －cos 2A∴2cos 2A ＝1－2cos 2A ∴cos 2A ＝14.∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ＝12 ∴A ＝π3. (2)∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴π6<B <π2 ∴y ＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2B ＝1－cos2B －12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －32cos 2B ＋1＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＋1 当y 取最大值时，2B －π3＝π2即B ＝512π.20．(2012年山东)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在[0，5π24]上的值域．解：(1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象．因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6. 故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．21．(2012年辽宁锦州5月模拟)向量a ＝(2,2)，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且a ·b ＝－2.(1)求向量b ；(2)若t ＝(1,0)，且b ⊥t ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，若△ABC 的内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|b ＋c |的取值范围．解：(1)设b ＝(x ，y )，则a ·b ＝2x ＋2y ＝－2，且|b |＝a ·b |a |cos 3π4＝1＝x 2＋y 2， ∴解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1. ∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)∵b ⊥t ，且t ＝(1,0)，∴b ＝(0，－1)． ∵A 、B 、C 依次成等差数列，∴B ＝π3. ∴b ＋c ＝(cos A,2cos 2C2－1)＝(cos A ，cos C )． ∴|b ＋c |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2C ) ＝1＋12[cos 2A ＋cos(4π3－2A )]＝1＋12(cos 2A －12cos 2A －32sin 2A )＝1＋12cos(2A ＋π3)．∵2A ＋π3∈(π3，5π3)，∴－1≤cos(2A ＋π3)<12， ∴12≤|b ＋c |2<54， ∴22≤|b ＋c |<52.22．(2012年湖北)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x≤3π5，有－π6≤53x－π6≤5π6，所以－12≤sin(53x－π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x－π6)－2≤2－2，故函数f(x)在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．。

2014届高考数学（文）一轮复习单元测试第九章解析几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、．（2013年高考重庆卷（文4））设P 是圆22(3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3x =-上的动点,则PQ 的最小值为 （ ）A ．6B ． 4C ．3D ．22 ．（2013年高考天津卷（文5））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a = （ ）A ．12-B ．1C ．2D ．123 ．（2013年高考广东卷（文7））垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是（ ）A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=4、【云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学文】椭圆221259x y +=的焦距为A ．4B ．6C ．8D ．105、【北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文】点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为A ．2 B. 3 C. 4 D.56．（ 2013年高考福建卷（文））双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．21B ．22 C ．1D ．27、【东北三校2013届高三3月第一次联考】与椭圆:C 2211612y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）A ．2213y x -= B ．2221y x -=C ．22122y x -= D ．2213y x -=8 ．（2013年高考广东卷（文））已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ ）A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 9 ．（2013年高考重庆卷（文10））设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A ．2]B ．2)C ．)+∞D ．)+∞ 10、【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】设12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，与直线y b =相切的2F 交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与2F 的切点，则椭圆的离心率为A.2B.3C.3D.411．（2013年高考课标Ⅰ卷（文8））O 为坐标原点,F 为抛物线2:C y =的焦点,P 为C 上一点,若||PF =,则POF ∆的面积为 （ ）A ．2B ．C ．D ．412、【贵州省遵义四中2013届高三第四月考文】设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3：2，则曲线C 的离心率等于（ ）（A ）2332或 （B ）223或（C ）122或（D ）1322或二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．【北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文】已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .14.（2013年高考江西卷（文14））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C 的方程是_________.15、（2013年高考湖南（文14））设F 1,F 2是双曲线C,22221a x y b-= (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF 1⊥PF 2,且∠PF 1F 2=30°,则C 的离心率为___________.16、（2013年高考辽宁卷（文15））已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点, ,P Q 为C 上的点,若PQ 的长等于虚轴长的2倍,点()5,0A 在线段PQ 上,则PQF ∆的周长为____________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) （2013年高考四川卷（文））已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=,点O 是坐标原点.直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点. (Ⅰ)求k 的取值范围;(Ⅱ)设(,)Q m n 是线段MN 上的点,且222211||||||OQ OM ON =+.请将n 表示为m 的函数.18. (本小题满分12分) （2013年高考广东卷（文））已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(1) 求抛物线C 的方程;(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.19．(本小题满分12分) 【北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文】已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．20．(本小题满分12分) 【（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .21．(本小题满分12分) （2013年高考福建卷（文））如图,在抛物线2:4E y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心OC 为半径作圆,设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N .(1)若点C 的纵坐标为2,求MN ; (2)若2AFAM AN =⋅,求圆C 的半径.22．(本小题满分12分) （上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知抛物线C :px y 22=)0(>p ,直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B .(1)当直线l 过点)0,(p M -时,证明21y y ⋅为定值;(2)当p y y -=21时,直线l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记)0,(p N ,如果直线l 过点)0,(p M -,设线段AB 的中点为P ,线段PN 的中点为Q .问是否存在一条直线和一个定点,使得点Q 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.祥细答案一、选择题 1、【答案】B【解析】本题考查圆的性质以及距离公式。

第九章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．(2012²浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1或a ＝－2，故选A.2．(2012²湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4|}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 A解析 两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.3．经过抛物线y 2＝4x 的焦点且平行于直线3x －2y ＝0的直线l 的方程是( )A ．3x －2y －3＝0B ．6x －4y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，直线3x －2y ＝0的斜率是32，∴直线l 的方程是y ＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0，故选A.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心C (a,0)(a >0)，由3a ＋45＝2得，a ＝2，故圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.5．(2012²江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2答案 B解析 由等比中项的性质得到a ，c 的一个方程，再进一步转化为关于e 的方程，解之即得所求．依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|²|F 1B |，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，∴e ＝c a ＝55. 6．(2012²浙江)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析 设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.选B.7．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→²PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5 D ．2 5答案 B解析 F 1(－10，0)，F 2(10，0)，2c ＝210，2a ＝2. ∵PF 1→²PF 2→＝0，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝40. ∴(PF 1→＋PF 2→)2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2PF 1→²PF 2→＝40.∴|PF 1→＋PF 2→|＝210.8．过抛物线y ＝14x 2准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(－1,0)答案 A解析 特殊值法，取准线上一点(0，－1)．设M (x 1，14x 21)，N (x 2，14x 22)，则过M 、N 的切线方程分别为y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)．将(0，－1)代入得x 21＝x 22＝4，∴MN 的方程为y ＝1，恒过(0,1)点．9．如图，过抛物线x 2＝4py (p >0)焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －p )2＝p 2于点A 、B 、C 、D ，则AB →²CD →的值是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 D解析 |AB →|＝|AF |－p ＝y A ，|CD →|＝|DF |－p ＝y B ，|AB →|²|CD →|＝y A y B ＝p 2.因为AB →，CD →的方向相同，所以AB →²CD →＝|AB →|²|CD →|＝y A y B ＝p 2.10．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1,1)和两动点P 、Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 D解析 设P (x 1，x 21)，Q (x 2，x 22)，∴k AP ＝x 21－1x 1＋1＝x 1－1，k PQ ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 2＋x 1.由题意得k PA ²k PQ ＝(x 1－1)(x 2＋x 1)＝－1，∴x 2＝11－x 1－x 1＝11－x 1＋(1－x 1)－1.利用函数性质知x 2∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，故选D.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上) 11．设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕点P 逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．答案 2x －y ＋8＝0 解析 ∵l 1⊥l 3，∴k 1＝tan α＝2，k 2＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. ∵l 2的纵截距为－2，∴l 2的方程为y ＝－43x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，∴P (－3,2)，l 1过P 点．∴l 1的方程为2x －y ＋8＝0.12．过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程是________．答案 (x ＋135)2＋(y －65)2＝45解析 因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆，于是解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，得交点A (－115，25)，B (－3,2)．因为AB 为直径，其中点为圆心，即为(－135，65)，r ＝12|AB |＝255， 所以圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.13．(2012²江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．答案 43解析 设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43. 14．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．答案x 24＋y 22＝1 解析 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝ 2.∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.15．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|MN →|²|MP →|＋MN →²NP →＝0，则动点P (x ，y )到点A (－3,0)的距离的最小值为________．答案 3解析 因为M (－3,0)，N (3,0)，所以MN →＝(6,0)，|MN →|＝6，MP →＝(x ＋3，y )，NP →＝(x －3，y )．由|MN →|²|MP →|＋MN →²NP →＝0，得 6x ＋32＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x .所以点A 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到A 的距离的最小值就是原点到A (－3,0)的距离，所以d ＝3.16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，所以0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤a c ＝1e .又双曲线的渐近线方程y ＝±3x ，则ba＝ 3.因此e ＝c a ＝2，故0<|PF 1|－|PF 2||PF 1|＋|PF 2|≤12.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M (－2,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点．(1)若OP →²OQ →＝－12，求直线l 的方程；(2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率． 解析 (1)依题意知直线l 的斜率存在， 因为直线l 过点M (－2,0)， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以|OP →|＝|OQ →|＝1.因为OP →²OQ →＝－12，即|OP →|²|OQ →|²cos∠POQ ＝－12.所以∠POQ ＝120°，所以点O 到直线l 的距离等于12.所以|2k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1515.所以直线l 的方程为x －15y ＋2＝0或x ＋15y ＋2＝0.(2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等，所以MP ＝PQ ，即P 为MQ 的中点，所以MQ →＝2MP →. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以MQ →＝(x 2＋2，y 2)，MP →＝(x 1＋2，y 1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2＝2x 1＋2，y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1＋1，y 2＝2y 1.①因为P ，Q 两点在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，x 22＋y 22＝1.②由①及②得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1，4x 1＋12＋4y 21＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－78，y 1＝±158.故直线l 的斜率k ＝k MP ＝±159. 18．(本题满分12分)(2012²北京文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k 21＋2k2. 又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |²d ＝|k |4＋6k 21＋2k2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1. 19．(本题满分12分)(2012²天津理)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解析 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ²k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)方法一依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2(ab)2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4.因此k 2>3，所以|k |> 3. 方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)²4a 21＋k 22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.20. (本题满分12分)如图，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左，右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6.∵点P 位于x 轴上方，∴x ＝－6舍去， 只能取x ＝32.由于y >0，于是y ＝52 3.∴点P 的坐标是(32，523)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)(－6≤m ≤6)， 则M 到直线AP 的距离是m ＋62.于是m ＋62＝6－m ，解得m ＝2.椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d 有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15. 由于－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取得最小值15.21．(本题满分12分)已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． (1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ →＝QB →，且NQ →²AB →＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解析 (1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0， 解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2. 此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3.当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23， 此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ， ∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0， 即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k 2.由AQ →＝QB →，得Q 为线段的AB 的中点， 则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t 1＋3k2.∵NQ →²AB →＝0，∴直线AB 的斜率k AB 与直线QN 的斜率k QN 乘积为－1，即k QN ²k AB ＝－1，∴t1＋3k 2＋1－3kt 1＋3k2²k ＝－1.化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ， 解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是(12，2)．22．(本题满分12分)(2012²浙江文)如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )．由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2.故k ²2m ＝1.所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )．即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0.所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1²y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2²|y 1－y 2|＝1＋4m 2²4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |²d ＝|1－2(m －m 2)|²m －m 2.由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)．设S (u )＝u (1－2u 2)，0<u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈(0，12]． 所以[S (u )]max ＝S (66)＝69.故△ABP 面积的最大值为69.1．(2012²辽宁文)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是 ( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由题知圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.2．(2012²孝感统考)若直线过点P (－3，－32)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0答案 D解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝|3k －32|k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知答案为D.3．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94 D ．4答案 C解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，可知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.4．已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC ＝32，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为A ．6πB ．8πC ．16πD ．18π答案 D解析 当A 与B 或C 重合时，此时圆的面积最大，且圆的半径r ＝BC ＝32，所以圆的面积S ＝πr 2＝π(32)2＝18π，则过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为18π.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)．若c 是a 与m 的等比中项，n 2是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于A.13 B.33 C.12 D.22答案 B解析 ∵c 2＝am,2n 2＝c 2＋m 2，又n 2＝c 2－m 2， ∴m 2＝13c 2，即m ＝33c .∴c 2＝33ac ，则e ＝c a ＝33.6．椭圆x 24＋y 23＝1离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0答案 B解析 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.7．已知圆x 2＋y 2＝1与x 轴的两个交点为A 、B ，若圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，则PA →²PB →的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0 C ．(－12，0)D ．[－1,0)答案 C解析 设P (x ，y )，∴|PO |2＝|PA ||PB |， 即x 2＋y 2＝x －12＋y 2²x ＋12＋y 2，整理得2x 2－2y 2＝1.∴PA →²PB →＝(1－x ，－y )²(－1－x ，－y )＝x 2＋y 2－1 ＝2x 2－32.∴P 为圆内动点且满足x 2－y 2＝12.∴22<|x |<32，∴1<2x 2<32. ∴－12<2x 2－32<0，选C.8．(2012²新课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8答案 C解析 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________． 答案2－1解析 令AB ＝2，则AC ＝2 2.∴椭圆中c ＝1,2a ＝2＋22⇒a ＝1＋ 2. 可得e ＝ca＝12＋1＝2－1.10．(2012²北京理)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．答案3解析 直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋163＋162＝23(y B <0，舍去)，故△OAF 的面积为12³1³23＝ 3.11．设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→²F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线l 交x 轴于点P (－1,0)，交y 轴于点M ，若MQ →＝2QP →，求直线l 的方程．解析 (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)．由于AF 2→²F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为(a 2－2，±2a)，故AF 1→所在直线方程为y ＝±(x a a 2－2＋1a)．所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)．又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)． 所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 斜率为k ， 直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )． 设Q (x 1，y 1)，∵MQ →＝2QP →， ∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－23，y 1＝k3.又Q 在椭圆C 上，得－2324＋k322＝1，解得k ＝±4.故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)， 即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点．(1)如果点A 在圆x 2＋y 2＝c 2(c 为椭圆的半焦距)上，且|F 1A |＝c ，求椭圆的离心率； (2)若函数y ＝2＋log m x (m >0且m ≠1)的图像，无论m 为何值时恒过定点(b ，a )，求F 2B →²F 2A →的取值范围．解析 (1)∵点A 在圆x 2＋y 2＝c 2上， ∴△AF 1F 2为一直角三角形． ∵|F 1A |＝c ，|F 1F 2|＝2c ， ∴|F 2A |＝|F 1F 2|2－|AF 1|2＝3c . 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴c ＋3c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)∵函数y ＝2＋log m x 的图像恒过点(1，2)，由已知条件知还恒过点(b ，a )，∴a ＝2，b ＝1，c ＝1.点F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ①若AB ⊥x 轴，则A (－1，22)，B (－1，－22)． ∴F 2A →＝(－2，22)，F 2B →＝(－2，－22)．∴F 2A →²F 2B →＝4－12＝72.②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 2＋2y 2－2＝0，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0.(*) ∵Δ＝8k 2＋8>0，∴方程(*)有两个不同的实根．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程(*)的两个根． x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－11＋2k2.∴F 2A →＝(x 1－1，y 1)，F 2B →＝(x 2－1，y 2)． ∴F 2A →²F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝(1＋k 2)2k 2－11＋2k 2＋(k 2－1)(－4k 21＋2k 2)＋1＋k 2＝7k 2－11＋2k 2＝72－921＋2k 2. ∵1＋2k 2≥1，∴0<11＋2k 2≤1,0<921＋2k 2≤92. ∴－1≤F 2A →²F 2B →＝72－921＋2k 2<72. 综上，由①②，知－1≤F 2A →²F 2B →≤72.13．(2013²衡水调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解析 (1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k23＋4k2)．在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0<0或0<y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是[－312，312]． 14．(2013²北京海淀区期末)已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32，Q 为椭圆C 的左顶点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点(－65，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．①若直线l 垂直于x 轴，求∠AQB 的大小；②若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且a 2＝b 2＋c 2.由题意可知：b ＝1，c a ＝32. 解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得Q (－2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝－65.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，x 24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－65，y ＝－45.即A (－65，45)，B (－65，－45)(不妨设点A 在x 轴上方)，则k AQ ＝45－0－65－－2＝1，k BQ ＝－45－0－65－－2＝－1.因为k AQ ²k BQ ＝－1，所以AQ ⊥BQ .所以∠AQB ＝π2，即∠AQB 的大小为π2.②当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋65)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋65，x 24＋y 2＝1，消去y 得(25＋100k 2)x 2＋240k 2x ＋144k 2－100＝0.因为点(－65，0)在椭圆C 的内部，显然Δ>0.⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－240k 225＋100k2，x 1x 2＝144k 2－10025＋100k 2.因为QA →＝(x 1＋2，y 1)，QB →＝(x 2＋2，y 2)，y 1＝k (x 1＋65)，y 2＝k (x 2＋65)，所以QA →²QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2 ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋k (x 1＋65)²k (x 2＋65)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2＋65k 2)(x 1＋x 2)＋4＋3625k 2＝(1＋k 2)144k 2－10025＋100k ＋(2＋65k 2)(－240k 225＋100k )＋4＋3625k 2＝0. 所以QA →⊥QB →.所以△QAB 为直角三角形．假设存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形，则|QA |＝|QB |. 如图，取AB 的中点M ，连接QM ，则QM ⊥AB.记点(－65，0)为N .因为x M ＝x 1＋x 22＝－120k 225＋100k 2＝－24k 25＋20k2，所以y M ＝k (x M ＋65)＝6k5＋20k 2，即M (－24k 25＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →＝(10＋16k 25＋20k 2，6k 5＋20k 2)，NM →＝(65＋20k 2，6k 5＋20k2)．所以QM →²NM →＝10＋16k 25＋20k ³65＋20k ＋6k 5＋20k ³6k 5＋20k ＝60＋132k 25＋20k ≠0.所以QM →与NM →不垂直，即QM →与AB →不垂直，矛盾．所以假设不成立，故当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得△QAB 为等腰三角形．15．设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值．解析 (1)双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为e ＝c a ＝22，圆x 2＋y 2＝4的直径为4，则2a ＝4， 得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2，c ＝2，b ＝ 2.所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)直线AB 的直线方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <2 2. ∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44.∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3²x 1＋x 22－4x 1x 2＝3²12m 2－m 2＋4＝ 3 4－m 22.又P 到AB 的距离为d ＝|m |3.则S △ABC ＝12|AB |d ＝12 34－m 22|m |3＝12m 24－m 22＝122m 28－m 2≤122²m 2＋8－m 22＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)取等号． ∴(S △ABC )max ＝ 2.16．设椭圆C ：x 2＋2y 2＝2b 2(常数b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 是直线l ：x ＝2b 上的两个动点，F 1M →²F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求b 的值； (2)求|MN |的最小值．解析 设M (2b ，y 1)，N (b ，y 2)， 则F 1M →＝(3b ，y 1)，F 2N →＝(b ，y 2)． 由F 1M →²F 2N →＝0，得y 1y 2＝－3b 2.① (1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得 3b 2＋y 21＝2 5.②b 2＋y 22＝2 5.③由①、②、③三式，消去y 1，y 2，并求得b ＝ 2. (2)易求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.方法一 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥ －2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b ，|MN |取最小值23b .方法二 |MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋9b4y 21＋6b 2≥12b 2，所以，当且仅当y 1＝－y 2＝3b 或y 2＝－y 1＝3b 时，|MN |取最小值23b .17．(2013²武汉)如图，DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM |＝2|DP |.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点T (0，t )作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 0，y ＝2y 0，所以x 0＝x ，y 0＝y2.①因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1.② 将①代入②，得点M 的轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由题意知，|t |≥1.当t ＝1时，切线l 的方程为y ＝1，点A 、B 的坐标分别为(－32，1)、(32，1)，此时|AB |＝3，当t ＝－1时，同理可得|AB |＝3；当|t |>1时，设切线l 的方程为y ＝kx ＋t ，k ∈R.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.③设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则由③得 x 1＋x 2＝－2kt 4＋k 2，x 1x 2＝t 2－44＋k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|t |k 2＋1＝1，即t 2＝k 2＋1.所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2[4k 2t24＋k 22－4t 2－44＋k 2]＝43|t |t ＋3.因为|AB |＝43|t |t 2＋3＝43|t |＋3|t |≤2，且当t ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.依题意，圆心O 到直线AB 的距离为圆x 2＋y 2＝1的半径，所以△AOB 面积S ＝12|AB |³1≤1，当且仅当t ＝±3时，△AOB 面积S 的最大值为1，相应的T 的坐标为(0，－3)或(0，3)．18．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过A (1,0)点，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上P 点的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与PA 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解析 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′| x ＝t＝2t ，所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h .代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故Δ＝16[－t 4－2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t 2. 设线段PA 的中点横坐标为x 3＝1＋t2.由已知得x 0＝x 3，即t t 2－h 21＋t 2＝1＋t2.② 显然t ≠0，h ＝－(t ＋1t＋1)．③当t >0时，t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t)≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.19．已知△ABC 中，点A 、B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方． (1)若点C 坐标为(2，1)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程；(2)过点P (m,0)作倾斜角为34π的直线l 交(1)中曲线于M 、N 两点，若点Q (1,0)恰在以线段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，c ＝2，2a ＝|AC |＋|BC |＝4，b ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程解得 3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4m3，x 1x 2＝2m 2－43若Q 恰在以MN 为直径的圆上，则y 1x 1－1²y 2x 2－1＝－1，即m 2＋1－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0,3m 2－4m －5＝0，解得m ＝2±193. 20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 关于直线y ＝x ＋1的对称点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解析 (1)⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2⇒x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，V (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m⇒3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0⇒－23<m <2 3. ∴x 3＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 3＝x 3＋m ＝m3.又⎩⎪⎨⎪⎧y 3＋y 42＝x 3＋x 42＋1，y 4－y 3x 4－x 3＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝m3－1，y 4＝1－2m3，在x 2＋y 2＝1上．∴(m3－1)2＋(1－2m 3)2＝1⇒m 29－2m 3＋4m 21－4m3＋1＝0. ∴5m 2－18m ＋9＝0⇒(5m －3)(m －3)＝0. ∴m ＝35或m ＝3经检验成立．∴m ＝35或m ＝3.21．(2012²浙江宁波市期末)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为x 1(x 1>0)，过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，交直线l ：y ＝p2于点M ，当|FD |＝2时，∠AFD ＝60°.(1)求证：△AFQ 为等腰三角形，并求抛物线C 的方程；(2)若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ，交直线l 于点N ，求△PMN 面积的最小值，并求取到最小值时的x 1的值．解析 (1)设A (x 1，y 1)，则切线AD 的方程为y ＝x 1p x －x 212p.所以D (x 12，0)，Q (0，－y 1)，|FQ |＝p 2＋y 1，|FA |＝p2＋y 1，所以|FQ |＝|FA |.所以△AFQ 为等腰三角形， 且D 为AQ 中点，所以DF ⊥AQ . ∵|DF |＝2，∠AFD ＝60°，∴∠QFD ＝60°，p2＝1，得p ＝2，抛物线方程为x 2＝4y .(2)设B (x 2，y 2)(x 2<0)， 则B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x224⇒P (x 1＋x 22，x 1x 24)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝1⇒M (x 12＋2x 1，1)．同理N (x 22＋2x 2，1)，所以面积S ＝12(x 12＋2x 1－x 22－2x 2)²(1－x 1x 24)＝x 2－x 14－x 1x 2216x 1x 2.①设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，则b >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y⇒x 2－4kx －4b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，代入①得S ＝16k 2＋16b 4＋4b 264b ＝1＋b 2k 2＋bb，使面积最小，则k ＝0，得到S ＝1＋b 2bb.②令b ＝t ， ②得S (t )＝1＋t 22t＝t 3＋2t ＋1t ，S ′(t )＝3t 2－1t 2＋1t2， ∴当t ∈(0，33)时S (t )单调递减；当t ∈(33，＋∞)时S (t )单调递增． ∴当t ＝33时，S 取最小值为1639，此时b ＝t 2＝13，k ＝0， ∴y 1＝13即x 1＝233.22.如图，已知M (m ，m 2)、N (n ，n 2)是抛物线C ：y ＝x 2上的两个不同的点，且m 2＋n 2＝1，m＋n ≠0，直线l 是线段MN 的垂直平分线，设椭圆E 的方程为x 22＋y 2a＝1(a >0，a ≠2)．(1)当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；(2)已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的中点为R ，线段QP 的中点为S ，若OR →²OS →＝0，求椭圆E 的离心率的取值范围．解析 (1)由题意知，直线MN 的斜率k MN ＝m 2－n 2m －n＝m ＋n .又l ⊥MN ，m ＋n ≠0，∴直线l 的斜率k ＝－1m ＋n. ∵m 2＋n 2＝1，由m 2＋n 2≥2mn ，得2(m 2＋n 2)≥(m ＋n )2， 即2≥(m ＋n )2(当m ＝n 时，等号成立)，∴|m ＋n |≤ 2. ∵M 、N 是不同的两点，即m ≠n ，∴0<|m ＋n |< 2. ∴|k |>22，即k <－22或k >22. (2)由题意易得，线段MN 的中点坐标为(m ＋n 2，m 2＋n 22)．∵直线l 是线段MN 的垂直平分线， ∴直线l 的方程为y －m 2＋n 22＝k (x －m ＋n2)．又∵m 2＋n 2＝1，k ＝－1m ＋n， ∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1.将直线l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理，得x 2－kx －1＝0， ①(a ＋2k 2)x 2＋4kx ＋2－2a ＝0. ②易知方程①的判别式Δ1＝k 2＋4>0， 方程②的判别式Δ2＝8a (2k 2＋a －1)．由(1)易知k 2>12，且a >0，∴2k 2＋a －1>a >0，∴Δ2>0恒成立．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x A ＋x B ＝k ，y A ＋y B ＝kx A ＋1＋kx B ＋1＝k (x A ＋x B )＋2＝k 2＋2.∴线段AB 的中点R 的坐标为(k 2，k 22＋1)．又x P ＋x Q ＝－4ka ＋2k ，y P ＋y Q ＝kx P ＋1＋kx Q ＋1 ＝k (x P ＋x Q )＋2＝2aa ＋2k 2. ∴线段QP 的中点S 的坐标为(－2k a ＋2k 2，aa ＋2k 2)． ∴OR →＝(k 2，k 22＋1)，OS →＝(－2k a ＋2k 2，a a ＋2k 2)，由OR →²OS →＝0，得－k 2＋a k 22＋1a ＋2k 2＝0，即－k 2＋a (k 22＋1)＝0.∴a ＝2k 2k 2＋2.∵k 2>12，∴a ＝2k 2k 2＋2＝21＋2k2>25，a ＝2k 2k 2＋2＝2－4k 2＋2<2.∴25<a <2.由题易知，椭圆E 的离心率e ＝2－a 2，∴a ＝2－2e 2，∴25<2－2e 2<2，∴0<e 2<45，∴0<e <255.∴椭圆E 的离心率的取值范围是(0，255)．。

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第九章解析几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、（2013年高考某某数学（理））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-= 2、（2013年高考新课标Ⅱ卷数学（理））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值X 围是（ ）A ．(0,1)B ．1(1)2-( C) 1(1]3D ．11[,)32 3、【某某省六校联盟2013届高三第一次联考理】若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=4．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=5 ．【2012某某期末质检理】直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于（ ） A.2B. 2 C.22 D. 46、（某某省某某市2013届高三4月模拟考试）设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是（ ） A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =-D ．24y x =7、（某某青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ ）．A . x y 2±=.B x y 2±=C . x y 21±=D . x y 22±= 8、【市某某区2013届高三上学期期末理】已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是A ．1422=-y xB ．1422=-y x C ．13222=-y x D ．12322=-y x9、（2013年高考某某卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ）A ．12B C ．1 D10、【某某师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，双曲线两条渐近线分别为12,l l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交12,l l 于A 、B 两点，且向量BF 与FA 同向．若||,||,||OA AB OB 成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为A ．2B C D 11、【某某省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为B. C. 2 D.12、（2013年高考某某数学（理）试题）已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．4B 1-C ．6-D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．【市丰台区2013届高三上学期期末理】12,l l 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1l 的方程是．14、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试某某卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.15、（2013年高考某某卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___. 16、（2013年普通高等学校招生统一考试某某数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试某某卷）本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为,圆心在上.(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值X 围.18. (本小题满分12分) （2013某某理）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c>到直线:20x y --=.设P 为直线上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.(Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线上移动时,求AF BF ⋅的最小值.19．(本小题满分12分) 【某某省某某一中2013届高三1月调研理】（本大题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。

单元评估检测（八）（第八章） （120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.直线xsin α-y+1=0的倾斜角的变化范围是( )(A)(0,2π) (B)(0,π)(C)［4π-,4π］ (D)［0,4π］∪［34π,π)2.(2012·湘潭模拟)点(1，cos θ)到直线xsin θ+ycos θ-1=0的距离是14(0°≤θ≤180°),那么θ=( )(A)150° (B)30°或150° (C)30° (D)30°或210°3.已知直线l 1与圆x 2+y 2+2y=0相切，且与直线l 2：3x+4y-6=0平行，则直线l 1的方程是( ) (A)3x+4y-1=0(B)3x+4y+1=0或3x+4y-9=0 (C)3x+4y+9=0(D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=04．“λ>-1”是“方程2x 2+λ-2y 1+λ=1表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件5.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB 的最小值为( )6.(2012·常德模拟)椭圆22x y m 4=1的焦距等于2，则m 的值为( )(A)5或3 (B)8 (C)5 (D)167．已知双曲线216y -m 2x 2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m=( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)48．若PQ 是圆x 2+y 2=16的弦，PQ 的中点是M （1，3），则直线PQ 的方程是( )（A ）x+3y-4=0 （B ）x+3y-10=0 （C ）3x-y+4=0 （D ）3x-y=0二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请把正确答案填在题中横线上)9．已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为________________.10．（2012·郑州模拟）已知抛物线y 2=2px(p>1)的焦点F 恰为双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F ，则双曲线的离心率为____.11.设F 1,F 2分别是椭圆22x a +22y b =1(a ＞b ＞0)的左、右焦点,若直线x=2a c上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是__________.12．（2012·广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于_____.13．若k∈R，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．14．已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，则a=____.15．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于______.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）.(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若a>-1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.17．（12分）已知动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0）倍.（1）试求点C的轨迹方程；（2）已知直线l经过点P（0，1）且与点C的轨迹相切，试求直线l 的方程.18．(12分)(探究题)已知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0),过点A （a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为56π,原点到该直线的距离为2.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数k ，使直线y=kx+2交椭圆于P 、Q 两点，以PQ 为直径的圆过点D （1，0）？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.19．(13分)(2012·株洲模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P ，Q ，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP OQ ＝0. (1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程.20.（13分）(预测题)已知椭圆E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x 2=-y 的焦点是它的一个焦点，又点）在该椭圆上.（1）求椭圆E 的方程;（2的直线l 与椭圆E 交于不同的两点B 、C ，当△ABC 的面积最大时，求直线l 的方程.21.（13分）（2012·南通模拟）已知直线l 1:y=2x+m(m<0)与抛物线C 1:y=ax 2(a>0)和圆C 2:x 2+(y+1)2=5都相切，F 是C 1的焦点. （1）求m 与a 的值；（2）设A 是C 1上的一动点，以A 为切点作抛物线C 1的切线l ，直线l 交y 轴于点B ，以FA 、FB 为邻边作平行四边形FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M 所在定直线为l 2，直线l 2与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线C 1于P 、Q 两点，求△NPQ 的面积S 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.直线xsin α-y+1=0的斜率是k=sin α. 又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k ≤1.∴当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是［0，4π］; 当-1≤k<0时，倾斜角的范围是［34π,π). 2.【解析】选B.由题意知214==|sin θ-sin 2θ|, 又0≤sin θ≤1,∴sin 2θ-sin θ+14=0, (sin θ-12)2=0,∴sin θ=12, 又0°≤θ≤180°,∴θ=30°或150°.3.【解析】选D.因为l 1与l 2平行，所以可设直线l 1的方程为：3x+4y+c=0,又因为l 1与圆x 2+y 2+2y=0相切，且圆心坐标为（0，-1），半径为1,|3041c |⨯+⨯-+=1,解得c=9或c=-1，因此l 1的方程为3x+4y+9=0或3x+4y-1=0.4．【解析】选A.因为当λ>-1时，方程22x y 21-+λ+λ=1表示双曲线；当22x y 21-+λ+λ=1表示双曲线时，λ>-1或λ<-2.所以“λ>-1”是“方程22x y 21-+λ+λ=1表示双曲线”的充分不必要条件. 5．【解析】选D.如图所示：设PA=PB=x(x>0),∠APO=α,则∠APB=2α，PO = sin αPA PB =PA PB cos2α=()22422222x x 1x x x (12sin ),x 1x 1---α==++ 令PA PB y,=则422x x y ,x 1-=+ 即x 4-(1+y)x 2-y=0, 由x 2是实数，所以 Δ=［-(1+y)］2-4×1×(-y)≥0, y 2+6y+1≥0,解得y 3y 3≤--≥-+故min (PA PB)3=-+6．【解析】选A.当m>4时，m-4=1,m=5; 当m<4时，4-m=1,m=3.7．【解析】选C.双曲线的方程可化为2y 116-22x 1m =1，所以a=14,b=1m ,取顶点（0，14），一条渐近线为mx-4y=0.∵15=1|4|-⨯,即m 2+16=25,∴m=3. 8．【解析】选B.圆心为O （0，0），故直线OM 斜率k=3010--=3，因为弦PQ 所在直线与直线OM 垂直，所以k PQ =13-,其方程为y-3=13-(x-1),整理，得x+3y-10=0.9．【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.【解析】选B.因为两条直线x-y=0与x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以所以.设圆心坐标为P(a,-a),则点P 到两条切线的距离都等于半径,,解得a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 10．【解析】选B.由题意知，p2=c,即p=2c由22222y 2px x y 1ab ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得b 2x 2-4ca 2x-a 2b 2=0 * 由题意知x=c 是方程*的一个根，则有 b 2c 2-4a 2c 2-a 2b 2=0 即c 4-6a 2c 2+a 4=0 ∴e 4-6e 2+1=0 又e>1∴e 2=3++1.11.【解题指南】根据|F 1F 2|=|PF 2|转化为点F 2到直线x=2a c的距离小于或等于|F 1F 2|来寻找a,b,c 之间的关系,从而求解. 【解析】选B.根据题目条件可知:若直线x=2a c上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2,则|F 1F 2|=|PF 2|,可转化为点F 2到直线x=2a c 的距离小于或等于|F 1F 2|，亦即2a c -c ≤2c ，解得22c a ≥13，所以e1）.12．【解析】设2a 、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b=2a,即a=2b,所以所以离心率为e=c a.答案：213．【解析】因为直线y=kx+1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02+12-2a ·0+a 2-2a-4≤0且2a+4>0,解得-1≤a ≤3. 答案：-1≤a ≤314．【解析】因为l 1：(a-2)x+3y+a=0与l 2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直 所以，a(a-2) +3(a-2)=0,解得a=2或a=-3. 答案：2或-315．【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x,-x 2)，根据点到直线的距离公式，得=2324(x )533-+,所以当x=23时，d 取得最小值43.答案：4316．【解析】（1）当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a+2=0，解得a=-2，此时直线l 的方程为-x+y=0，即x-y=0；当直线l 不经过坐标原点，即a ≠-2且a ≠-1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2aa 1++=2+a ，解得a=0，此时直线l 的方程为x+y-2=0. 所以直线l 的方程为x-y=0或x+y-2=0. （2）由直线方程可得M(2aa 1++,0),N(0,2+a), 又因为a>-1.故S △OMN =()12a2a 2a 1+⨯⨯++=21a 112a 1++⨯+［()］ =()11a 122a 1⨯++++［］≥122⨯［］=2, 当且仅当a+1=1a 1+,即a=0时等号成立.此时直线l 的方程为x+y-2=0. 17．【解题指南】（1）利用直接法列出方程，化简即可.（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】（1）设点C （x,y ），则.两边平方，得(x+1)2+y 2=2×［(x-1)2+y 2］. 整理，得（x-3）2+y 2=8.故点C 的轨迹是一个圆，其方程为（x-3）2+y 2=8.（2）由（1），得圆心为M （3，0），半径r=①若直线l 的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离d=3≠,故该直线与圆不相切；②若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y=kx+1. 由直线和圆相切，得=整理，得k 2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.18．【解析】（1）由b a=3,12a ·b=12·3得所以椭圆方程是2x 3+y 2=1.（2）将y=kx+2代入2x 3+y 2=1,得(3k 2+1)x 2+12kx+9=0(*)记P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),以PQ 为直径的圆过D （1，0），则PD ⊥QD ，即(x 1-1,y 1)·(x 2-1,y 2)=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0,又y 1=kx 1+2,y 2=kx 2+2,得 （k 2+1）x 1x 2+(2k-1)(x 1+x 2)+5=0 ……① 又x 1x 2=293k 1+,x 1+x 2=212k 3k 1-+,代入①解得k=76-，此时（*）方程Δ>0，∴存在k=76-,满足题设条件.19．【解析】(1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9,表示圆心为(-1，3)，半径为3的圆.∵点P ，Q 在圆上且关于直线x+my+4=0对称， ∴圆心(-1，3)在直线x+my+4=0上， 代入得m=-1.(2)∵直线PQ 与直线y=x+4垂直，∴可设直线PQ 的方程为y=-x+b.将直线y=-x+b 代入圆的方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0, 由Δ＝4(4-b)2-4×2×(b 2-6b+1)>0,得2b 2-<<+ 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),由根与系数的关系得x 1+x 2=-(4-b),212b 6b 1x x .2-+=∴()22121212b 6b 1y y b b x x x x 4b.2-+=-++=+ 又OP OQ ＝0，∴x 1x 2+y 1y 2=0,即b 2-6b+1+4b=0,解得b=1∈), ∴所求的直线方程为x+y-1=0.20.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为（0,)，故设椭圆方程为22y a +22x a 2- =1（a>2）.将点代入方程得22a+21a 2-=1， 整理得a 4-5a 2+4=0，得a 2=4或a 2=1（舍）,故所求椭圆方程为2y 4+2x 2=1.（2）设直线BC 的方程为x+m ， 设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),代入椭圆方程并化简得4x 2+2-4=0,由Δ=8m 2-16(m 2-4)=8(8-m 2)>0, 可得0≤m 2<8. (*)由x 1+x 2=m 2-,x 1x 2=2m 44-,故1-x 2|=2.又点A 到BC 的距离为d=m 3,故S △ABC =12|BC|··222m (162m )2+-,当且仅当2m 2=16-2m 2,即m=±2时取等号（满足*式），此时直线l 的方程为2±.【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.【变式备选】已知椭圆22x a +22y b=1(a>b>0),短轴的一个直线l ：y=kx+m 交椭圆于不同的两点A ，B ，（1）求椭圆的方程，（2）若坐标原点O 到直线lAOB 面积的最大值. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得.由a 2=b 2+c 2,得b=1.∴所求椭圆方程为2x 3+y 2=1.(2)=2,可得m 2=34(k 2+1). 将y=kx+m 代入椭圆方程， 整理得(1+3k 2)x 2+6kmx+3m 2-3=0. Δ=(6km)2-4(1+3k 2)(3m 2-3) >0 (*)∴x 1+x 2=26km13k-+,x 1·x 2=223m 313k -+. ∴|AB|2=（1+k 2）(x 2-x 1)2=(1+k 2)22222236k m 12(m 1)(3k 1)3k 1--++［］ =2222212(k 1)(3k 1m )(3k 1)++-+=22223(k 1)(9k 1)(3k 1)+++ =3+24212k 9k 6k 1++=2212123312369k 6k+≤+⨯+++=4(k ≠0) 当且仅当9k 2=21k ,即k=.经检验，k=±*）式. 当k=0时，. 综上可知|AB|max =2.∴当|AB|最大时，△AOB 的面积取最大值S max=122⨯21.【解析】（1）由已知，圆C 2:x 2+(y+1)2=5的圆心为C 2(0,-1)，半径r=.由题设圆心到直线l 1:y=2x+m 的距离d=，即解得m=-6(m=4舍去).设l 1与抛物线的切点为A 0(x 0,y 0),又y ′=2ax,得2ax 0=2⇒ x 0=1a,y 0=1a.代入直线方程得：1a=2a-6,∴a=16， 所以m=-6,a=16.（2）由（1）知抛物线C 1方程为y=16x 2,焦点F （0，32）. 设A （x 1,211x 6）,由（1）知以A 为切点的切线l 的方程为y=()211111x x x x 36-+.令x=0,得切线l 交y 轴的B 点坐标为（0，211x 6） 所以FA =（x 1,211x 6-32）,FB =(0, 211x 6-32-), ∵四边形FAMB 是以FA 、FB 为邻边的平行四边形，∴FM =FA +FB =（x 1，-3）,因为F 是定点，所以点M 在定直线y=32-上.（3）设直线MF ：y=kx+32,代入y=21x 6得21x 6-kx-32=0,设P 、Q 两点横坐标分别为x ′1,x ′2, 得x ′1+x ′2=6k,x ′1·x ′2=-9，S△NPQ=1|NF||x′1-x′2|2×3=12=∵k≠0,∴S△PQN>9，即△NPQ的面积S范围是（9，+∞）.。

广东省始兴县风度中学2014高考数学一轮复习 函数与方程及图像新人教A 版一、选择题（5×8=40分）1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）2． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （ ）A ．有一个零点B ．有两个零点C ．有一个或两个零点D ．无零点3．某商场出售一种商品，每天可卖1000件，每件可获利4元，据经验，若每件少卖0.1元，则每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益每件单价应降低( )A. 2元B. 2.5元C. 1元D. 1.5元4.设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)， 5.设函数y ＝f(x)的定义域为R ，则函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于( )。

(A)直线y ＝0对称 (B)直线x ＝0对称 (C)直线y ＝1对称 (D)直线x ＝1对称 6. 函数f(x)＝|log 2x|的图象是( )7.函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)1,1(e和)4,3( D ．),(+∞e8. 如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( )(A) －13 (B)－3 (C) 13(D)3二、填空题（ 5×6=30分）9. 若一次函数b ax x f +=)(有一个零点2，则二次函数ax bx x g -=2)(的零点是 10. 根据下表，能够判断方程)()(x g x f =有实数解的区间是 .11. 函数y ＝x 2－3|x |＋4 (x ∈R )的单调增区间为 、减区间为12. 已知)(x f 是偶函数，则)2(+x f 的图像关于__________对称；已知)2(+x f 是偶函数，则函数)(x f 的图像关于____________对称.13.某工厂制定奖励条例，对在生产中超额完成任务的工人实行奖励.奖励公式为：f (n )=k (n )(n －10),n ＞10(其中n 是该工人本月所生产零件数减去最低生产标准之差，f (n )的单位为元)，而⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤<≤=25,4002520,3002015,2001510,10010,0)(n n n n n n k ，现有甲、乙两位工人，甲所生产零件数超出最低生产标准为18件.而乙所生产零件数超出最低生产标准为21件.则乙所得奖励比甲所得奖励多 .14. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的两根21,x x 满足0)1)(1(21<--x x ，则a 的取值范围为 三、解答题（30分）（湖北理16）设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值风度中学2014高三理科晚练（5）—函数与方程及函数图像一、选择题二. 填空题9. 0和.21- 10. 10<<a 11.),23(),0,23(+∞-、)23,0(),23,(--∞ 12.x=-2、x=2 13.1700元 14. )1,2(-三．解答题解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯= 2.c ∴=ABC ∴∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）1cos ,sin 44C C =∴===sin 4sin 2a C A c ∴===,a c A C <∴<，故A 为锐角，7cos .8A ∴===7111cos()cos cos sin sin .848816A C A C A C ∴-=+=⨯+⨯=。

课时作业(四十九)一、选择题1．(2011年安徽)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：原式可化为：x 24－y 28＝1， ∴a 2＝4，∴a ＝2,2a ＝4. 答案：C2．(2011年山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1D.x 26－y 23＝1解析：圆C ：标准方程(x －3)2＋y 2＝4，圆心(3,0)，∴双曲线右焦点(3,0)，令双曲线渐近线y ＝±ba x 与圆相切，则bx －ay ＝0 ∴|3b |a 2＋b2＝2，∴4a 2＝5b 2，∴选A. 答案：A3．(2012年山东潍坊二模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于 ( )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：如图所示，|PF 2|＝|F 1F 2|＝6， 由双曲线定义可得，|PF 1|＝10. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2＝10×6×56＝50.答案：C4．(2012年东北四校高三模拟)过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若△MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为( )A.32 B ．2 C. 2D. 3解析：如图所示，△AMF 为等腰直角三角形， |AF |为|AB |的一半，|AF |＝b 2a . 而|MF |＝a ＋c ， 由题意可得，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝b 2＝c 2－a 2，即c 2－ac －2a 2＝0.两边同时除以a 2可得，e 2－e －2＝0，解之得，e ＝2. 答案：B5．(2013届山西大学附属中学高三10月月考)双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A.52B. 5C. 6D.62解析：可以设切点为(x 0，x 20＋1)，由y ′＝2x ，∴切线方程为：y －(x 20＋1)＝2x 0(x －x 0)即：y ＝2x 0x －x 20＋1，∵已知双曲线的渐近线为：y ＝±ab x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 20＝0±a b＝2x 0，∴x 0＝±1 ∴ab ＝2，∴e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4b 2＋b 24b 2＝52.答案：A6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，∴ba ＝ 3.① ∵抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6， ∴－c ＝－6.② 又c 2＝a 2＋b 2.③由①②③得a ＝3，b ＝3 3.∴a 2＝9，b 2＝27.∴双曲线方程为x 29－y 227＝1.答案：B 二、填空题7．(2011年上海)设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：m ＋9＝25，∴m ＝16. 答案：168．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为______．解析：由题意点M 的横坐标可求得为M (3，±15)，双曲线的右焦点的坐标为F 2(4,0)．由两点间的距离公式得 |F 2M |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4. 答案：49．(2012年甘肃兰州高三诊断)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋e b 的最小值为________．解析：由题意可得，k ＝b a ＝tan π3＝3， ∴b ＝3a ，则a 2＝b 23，∴e ＝1＋b 2a 2＝2. ∴a 2＋eb ＝b 23＋2b ＝b 3＋2b ≥2 b 3×2b ＝263.答案：263 三、解答题10．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．11．(2012年合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m 3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2 ＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.12．(2011年江西)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1 由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305 (2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b2y ＝x －c，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2y 3＝λy 1＋y 2又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.[热点预测]13．(1)设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线的离心率为()A.52 B.102C.152 D. 5(2)(2012年济南模拟)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2：y2＝2px(p>0)与双曲线C1有相同焦点．C1与C2在第一象限相交于点P，且|F1F2|＝|PF1|，则双曲线的离心率为________．解析：(1)由双曲线的定义||AF1|－|AF2||＝2a，由此得|AF2|＝a，|AF1|＝3a，再由三角形F1AF2为直角三角形，得a2＋(3a)2＝(2c)2，由此得c2a2＝104，故e＝ca＝102.(2)设点P(x0，y0)、F2(c,0)，过P作抛物线C2准线的垂线，垂足为A，连接PF2.由双曲线的定义及|F1F2|＝|PF1|＝2c，得|PF2|＝2c－2a，由抛物线的定义得|P A|＝x0＋c＝2c－2a，∴x0＝c－2a. 在Rt△F1AP中，|F1A|2＝(2c)2－(2c－2a)2＝8ac－4a2，即y20＝8ac－4a2，由题意知p2＝c，∴y2＝2px0＝4c(c－2a)，∴8ac－4a2＝4c(c－2a)，化简得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0(e>1)，解得e＝2＋ 3. 答案：(1)B(2)2＋ 3。

质量检测(八)测试内容：算法初步、复数、推理与证明(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数11＋2i(i 是虚数单位)的实部是 ( )A.15 B ．－25 C.25D ．－15解析：复数11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝1－2i 5＝15－25i ，∴这个复数的实部是15. 答案：A2．(2012年黑龙江哈尔滨六中一模)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．－12B ．－2 C.12 D ．2解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i 5＝2－a 5＋2a ＋15i ，a 为实数，由此复数为纯虚数，可得⎩⎪⎨⎪⎧2－a5＝0，2a ＋15≠0，解得a ＝2.答案：D3．(2012年四川成都七中一模)若复数z 满足z1＋i＝2i ，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由z1＋i＝2i ，得z ＝2i(1＋i)＝2i ＋2i 2＝－2＋2i ， ∴z 对应的点位于复平面上的第二象限． 答案：B4．(2012年北京海淀4月模拟)执行如图所示的程序框图，输出的k 值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：开始将n ＝5代进框图，5为奇数，∴代入n ＝3n ＋1，得n ＝16，此时k ＝1.此后n 为偶数，则代入n ＝n 2中，因输出时的n ＝1,1＝1624，k ＝k ＋1，∴当n ＝1时，k ＝1＋1＋1＋1＋1＝5，故选B.答案：B5．(2012年河南郑州三模)某算法的程序框图如图所示，则输出的S 的值为A.2 0112 012B.2 0124 025C.2 0134 024D.2 0134 025解析：本题主要考查程序框图及裂项相消法求和，体现了算法思想与数列求和问题的交汇．由算法流程图可知，循环体共执行了2 012次．输出结果为 S ＝11×3＋13×5＋…＋1(2×2 012－1)(2×2 012＋1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14 023－14 025＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14 025＝2 0124 025，选B. 答案：B6．(2012年浙江杭州3月模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S >2 0112 012，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是()A．n≤2 011? B．n≤2 012?C．n>2 011? D．n>2 012?解析：由题意得f′(x)＝3ax2＋x，由f′(－1)＝0得a＝13，∴f′(x)＝x2＋x，即g(x)＝1x2＋x＝1x(x＋1)＝1x－1x＋1.由程序框图可知S＝0＋g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n－1 n＋1＝1－1n＋1>2 0112 012得n>2 011.故选B.答案：B7．如果下面的程序执行后输出的结果是11 880，那么在程序UNTIL后面的条件应为()A．i<10 B．i<＝10C．i<＝9 D．i<9解析：由于12×11×10×9＝11 880，所以执行循环的条件应是i≥9，循环直到i<9时停止，因此选D.答案：D8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖的块数是() A．4n B．4n＋1C．4n＋2 D．4n－1解析：第1～3个图案中白色地面砖的块数依次是6,10,14，由此猜测白色地面砖的块数构成以6为首项，4为公差的等差数列，故第n个图案中有白色地面砖6＋4(n－1)＝4n＋2(块)．答案：C9．在数列{a n }中，若存在非零整数T ，使得a m ＋T ＝a m 对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．若数列{x n }满足x n ＋1＝|x n －x n －1|(n ≥2，n ∈N )，且x 1＝1，x 2＝a (a ≤1，a ≠0)，当数列{x n }的正周期最小时，该数列的前2 012项的和是( )A ．671B ．670C ．1 341D ．1 342解析：x 1＝1，x 2＝a ，x 3＝|a －1|＝1－a ， x 4＝|1－a －a |＝|1－2a |， 依题意知周期为3，∴|1－2a |＝1，得a ＝1，a ＝0(舍去)． ∴x 1＝1，x 2＝1，x 3＝0，从而S 2 012＝1 342. 答案：D10．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1×3×…·(2n －1)”，则n ＝k ＋1与n ＝k 时相比左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时等式的左端为：(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k ) 当n ＝k ＋1时，等式的左端为：(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )·2(2k ＋1)因此从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为2(2k ＋1)，故选B. 答案：B11．定义在R 上的函数 f (x )满足 f (－x )＝－ f (x ＋2)，当x >1时， f (x )单调递增，如果x 1＋x 2>2且(x 1－1)(x 2－1)<0，则 f (x 1)＋ f (x 2)的值 ( )A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负解析：由 f (－x )＝－ f (x ＋2)知函数y ＝ f (x )关于点(1,0)对称，因此由x >1时 f (x )单调递增可知当x <1时函数 f (x )单调递增．由(x 1－1)(x 2－1)<0知x 1－1，x 2－1异号，不妨设x 1>1， 则x 2<1.∵x 1＋x 2>2，∴x 1>2－x 2.由x 2<1知2－x 2>1，故x 1>2－x 2>1. ∴ f (x 1)> f (2－x 2)．∵ f (2－x 2)＝－ f (x 2)．∴ f (x 1)>－ f (x 2)， 即 f (x 1)＋ f (x 2)>0. 答案：B12．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (ⅰ)1]( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2解析：由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1] 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2012年山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于________． 解析：∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案：214．(2012年江苏)下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．解析：∵k 2－5k ＋4>0，∴k >4或k <1，则当k ＝5时，循环终止， ∴k ＝5. 答案：515．设直角三角形的两直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有a ＋b <c ＋h 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：①a 2＋b 2>c 2＋h 2；②a 3＋b 3<c 3＋h 3；③a 4＋b 4<c 4＋h 4；④a 5＋b 5>c 5＋h 5.其中正确结论的序号是________；进一步类比得到的一般结论是：______. 解析：可以证明②③正确，观察②a 3＋b 3<c 3＋h 3，③a 4＋b 4<c 4＋h 4可得：a n ＋b n <c n ＋h n (n ∈N *)．答案：②③ a n ＋b n <c n ＋h n (n ∈N *)16．设n ≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…其中T n ＝________.解析：由归纳推理得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≥2且n 为偶数12n －13n ，n ≥2且n 为奇数.答案：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≥2且n 为偶数12n －13n ，n ≥2且n 为奇数三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．计算：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 013. 解：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 2 2 013＝1(2)2 013[(1＋i)2 012·(1＋i)＋(1－i)2 012·(1－i)] ＝1(2)2 013[(2i)1 006·(1＋i)＋(－2i)1 006·(1－i)] ＝12[i 2·(1＋i)＋(－i)2·(1－i)]＝－ 2.18．先阅读框图，再解答有关问题：(1)当输入的n 分别为1,2,3时，a 各是多少？ (2)当输入已知量n 时，①输出a 的结果是什么？试证明之； ②输出S 的结果是什么？写出求S 的过程． 解：(1)当n ＝1时，a ＝13； 当n ＝2时，a ＝115； 当n ＝3时，a ＝135.(2)①法一：记输入n 时，①中输出结果为a n ，②中输出结果为S n ，则a 1＝13，a n ＝2n －32n ＋1a n －1(n ≥2)，所以a n a n －1＝2n －32n ＋1(n ≥2)．所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2…a 2a 1·a 1＝2n －32n ＋1·2n －52n －1·2n －72n －3…15·13＝12n ＋1·12n －1＝14n 2－1. 法二：猜想a n ＝14n 2－1.证明：(ⅰ)当n ＝1时，结论成立． (ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *), 即a k ＝14k 2－1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2(k ＋1)－32(k ＋1)＋1a k ＝2k －12k ＋3·14k 2－1＝1(2k ＋3)(2k ＋1)＝14(k ＋1)2－1，所以当n ＝k ＋1时，结论成立．故对n ∈N *，都有a n ＝14n 2－1成立．即输出a 的结果为14n 2－1. ②因为a n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 即输出S 的结果为n2n ＋1. 19．(2012年江西盟校二联)将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵： a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，该数列第1列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，其中m 为正实数．(1)求第i 行第j 列的数a ij ； (2)求这n 2个数的和．解：(1)由a 11＝2，a 13＝a 61＋1，得2m 2＝2＋5m ＋1， 解得m ＝3或m ＝－12(舍去)，a ij ＝a i 1·3j －1＝[2＋(i －1)×3]3j －1＝(3i －1)·3j －1.(2)S ＝(a 11＋a 12＋…＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn )＝a 11(1－3n )1－3＋a 21(1－3n )1－3＋…＋a n 1(1－3n )1－3＝12(3n －1)·(2＋3n －1)n 2＝14n (3n ＋1)(3n －1)．20．(2013年河北省衡水二模)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角；(3)设点E 在棱PC 上，PE →＝λPC →，若DE ∥平面P AB ，求λ的值． 解：(1)证明：过D 作DF ∥AB 交BC 于F ，则DF ＝3，FC ＝3，由DF ⊥FC 得DC ＝23，则BC 2＝DB 2＋DC 2，∴BD ⊥DC ，∵PD ⊥面ABCD ，∴BD ⊥PD ，而PD ∩CD ＝D ， ∴BD ⊥面PDC .∵PC 在面PDC 内，∴BD ⊥PC . (2)∵PD ⊥平面ABCD∴平面PDC ⊥平面ABCD .过点F 作FG ⊥CD 交CD 于G ，∵DF ∥AB ，∴AB 与面PDC 所成的角即DF 与面PDC 所成的角，即∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角．在Rt △DFC 中，∠DFC ＝90°，DF ＝3，CF ＝3，∴tan ∠FDG ＝3，∴∠FDG ＝60°.即直线AB 与平面PDC 所成角为60°.(3)连接EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面P AB . 又∵DE ∥平面P AB ，∴平面DEF ∥平面P AB ，∴EF ∥PB . 又∵AD ＝1，BC ＝4，BF ＝1， ∴PE PC ＝BF BC ＝14，∴PE→＝14PC →，即λ＝14.21．(2012年天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.① 由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a. 由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22.(2)证明：证法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.证法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2.代入③，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3. 22．给出下面的数表序列：其中表n (n ＝1,2,3，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．(1)写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)；(2)每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，…，记此数列为{b n }．求和：b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1(n ∈N *)． 解：(1)表4为1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．(2)表n 的第1行是1,3,5，…，2n －1，其平均数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)n＝n .由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列(从而它的第k 行中的数的平均数是n ·2k －1)，于是，表n 中最后一行的惟一一个数为b n ＝n ·2n －1.因此b k ＋2b k b k ＋1＝(k ＋2)2k ＋1k ·2k －1·(k ＋1)·2k＝k ＋2k (k ＋1)·2k －2＝2(k ＋1)－k k (k ＋1)·2k －2 ＝1k ·2k －3－1(k ＋1)·2k －2(k ＝1,2,3，…，n )， 故b 3b 1b 2＋b 4b 2b 3＋…＋b n ＋2b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2－2－12×2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2－1－13×20＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ×2n －3－1(n ＋1)×2n －2＝11×2－2－1(n ＋1)×2n －2＝4－1(n ＋1)×2n －2.。

曲线与方程(含轨迹问题)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·潍坊模拟)方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是( ) (A)一个圆和一条直线 (B)半个圆和一条直线 (C)一个圆和两条射线 (D)一个圆和一条线段2.设x 1、x 2∈R ，常数a ＞0，定义运算“*”：x 1*x 2=(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2,若x ≥0，则动点)的轨迹是( ) (A)圆(B)椭圆的一部分(C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分3.(2012·日照模拟)若M 、N 为两个定点且|MN|＝6，动点P 满足PM ·PN＝0，则P 点的轨迹是( )(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线4.设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( ) (A)圆(B)两条平行直线 (C)抛物线(D)双曲线5.设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) (A)4x 221－4y 225＝1 (B)4x 221＋4y225＝1(C)4x 225－4y 221＝1 (D)4x 225＋4y221＝16.已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上，动圆C 过点P 与定圆O 相切，则动圆C 的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线二、填空题(每小题6分，共18分)7.(易错题)倾斜角为π4的直线交椭圆x 24＋y 2＝1于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是 .8.已知A(－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为 .9.坐标平面上有两个定点A 、B 和动点P ，如果直线PA 、PB 的斜率之积为定值m ，则点P 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线.试将正确的序号填在横线上： .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2011·陕西高考)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度.11.(预测题)在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(x ，y －2)，b ＝(kx ，y ＋2)(k∈R)，a ⊥b ，动点M(x ，y)的轨迹为T.(1)求轨迹T 的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；(2)当k ＝12时，已知点B(0，－2)，是否存在直线l ：y ＝x ＋m ，使点B 关于直线l 的对称点落在轨迹T 上？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由. 【探究创新】(16分)如图，椭圆长轴端点为点A 、B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB＝1，|OF |＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P 、Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选C.(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0变形为：x 2＋y 2－9＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0x 2＋y 2－9≥0表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x ＋y －2＝0在圆x 2＋y 2－9＝0外面的两条射线，如图所示：2.【解析】选D.∵x 1*x 2=(x 1+x 2)2-(x 1-x 2)2,==则P(x,2ax). 设P(x 1，y 1)，即⎩⎨⎧x 1＝xy 1＝2ax，消去x 得y 21＝4ax 1(x 1≥0，y 1≥0)， 故点P 的轨迹为抛物线的一部分.3.【解析】选A.以MN 的中点为坐标原点，MN 所在直线为x 轴，建立直角坐标系.并设M(－3,0)，N(3,0)，P(x ，y)，则PM ·PN ＝(－3－x ，－y)·(3－x ，－y)＝(x 2－9)＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝9，故选A.4.【解析】选B.设P(1，t)，Q(x ，y)，由题意知|OP|＝|OQ|， ∴x 2＋y 2＝1＋t2①又OP ·OQ＝0，∴x ＋ty ＝0，∴t ＝－xy，y ≠0.②把②代入①，得(x 2＋y 2)(y 2－1)＝0，即y ＝±1. 所以动点Q 的轨迹是两条平行直线.5.【解题指南】找到动点M 满足的等量关系，用定义法求解. 【解析】选D.M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ| ＝5(5＞|AC|)， 即点M 的轨迹是椭圆，∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴点M 的轨迹方程为4x 225＋4y221＝1.6.【解析】选C.当点P 在定圆O 的圆周上时，圆C 与圆O 内切或外切，O ，P ，C 三点共线，∴轨迹为两条射线；当点P 在定圆O 内时(非圆心)，|OC|＋|PC|＝r 0为定值，轨迹为椭圆； 当P 与O 重合时，圆心轨迹为圆.【误区警示】本题易因讨论不全，或找错关系而出现错误.7.【解析】设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，代入椭圆方程，得5x 24＋2mx ＋m 2－1＝0，设AB 的中点坐标为M(x ，y)，则x ＝x 1＋x 22＝－4m 5，y ＝m5，消去m 得x ＋4y ＝0，又因为Δ＝4m 2－5(m 2－1)＞0， 所以－5＜m ＜5， 于是 －455＜x ＜455.答案：x ＋4y ＝0(－455＜x ＜455)【误区警示】本题易出现x ＋4y ＝0的错误结论，其错误原因是没有注意到动点在椭圆内. 8.【解析】如图，连接PA.依题意可知|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2，∴P 点轨迹为以A(－12，0)，F(12，0)为焦点，长半轴长为1的椭圆.其方程可设为x 21＋y2b 2＝1.又∵c ＝12，a ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝34.故P 点的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.答案：x 2＋43y 2＝19.【解析】以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设A(－a,0)，B(a,0)，P(x ，y)，则有y x ＋a ·y x －a＝m ，即mx 2－y 2＝a 2m ，当m ＜0且m ≠－1时，轨迹为椭圆；当m ＞0时，轨迹为双曲线；当m ＝－1时，轨迹为圆；当m ＝0时，轨迹为一直线；但不能是抛物线的方程.答案：①②④⑤10.【解析】(1)设点M 的坐标是(x ，y)，点P 的坐标是(x P ，y P )，因为点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|，所以x P ＝x ，且y P ＝54y ，∵P 在圆x 2＋y 2＝25上，∴x 2＋(54y)2＝25，整理得x 225＋y216＝1，即点M 的轨迹C 的方程是x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程是y ＝45(x －3)，设此直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y216＝1得：x 225＋(x －3)225＝1，化简得x 2－3x －8＝0， ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8，|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41， 所以线段AB 的长度是|AB|＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1625)(x 1－x 2)2＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415. 11.【解析】(1)∵ a ⊥b ，∴a ·b ＝(x ，y －2)·(kx ，y ＋2)＝0， 得kx 2＋y 2－2＝0，即kx 2＋y 2＝2，当k ＝0时，方程表示两条与x 轴平行的直线；当k ＝1时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆； 当k ＞0且k ≠1时，方程表示椭圆； 当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线.(2)当k ＝12时，动点M 的轨迹T 的方程为x 24＋y22＝1，设满足条件的直线l 存在，点B 关于直线l 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则由轴对称的性质可得：y 0＋2x 0＝－1，y 0－22＝x 02＋m ，解得： x 0＝－2－m ，y 0＝m ， ∵点B ′(x 0，y 0)在轨迹T 上，∴(－2－m)24＋m 22＝1，整理得3m 2＋22m －2＝0， 解得m ＝23或m ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x ＋23或y ＝x －2， 经检验y ＝x ＋23和y ＝x －2都符合题意， ∴满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝x ＋23或y ＝x － 2. 【变式备选】已知两点M 和N 分别在直线y ＝mx 和y ＝－mx(m ＞0)上运动，且|M N|＝2，动点P 满足：2OP ＝OM ＋ON(O 为坐标原点)，点P 的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C 的方程，并讨论曲线C 的类型；(2)过点(0,1)作直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若对于任意m ＞1，都有∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围.【解析】(1)由2OP ＝OM ＋ON，得P 是MN 的中点.设P(x ，y)，M(x 1，mx 1)，N(x 2，－mx 2)，依题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x mx 1－mx 2＝2y (x 1－x 2)2＋(mx 1＋mx 2)2＝22，消去x 1，x 2，整理得x 21m2＋y2m 2＝1.当m ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆； 当0＜m ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝1时，方程表示圆.(2)由m ＞1知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，直线l 与曲线C 恒有两交点，直线斜率不存在时不符合题意.可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 直线与椭圆交点A(x 3，y 3)，B(x 4，y 4).⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 21m2＋y 2m ＝1⇒(m 4＋k 2)x 2＋2kx ＋1－m 2＝0.x 3＋x 4＝－2k m 4＋k 2，x 3x 4＝1－m 2m 4＋k2.y 3y 4＝(kx 3＋1)(k x 4＋1)＝k 2(1－m 2)m 4＋k 2＋－2k2m 4＋k2＋1.要使∠AOB 为锐角，只需OA ·OB＞0，∴x 3x 4＋y 3y 4＝m 4－(k 2＋1)m 2＋1m 4＋k2＞0. 即m 4－(k 2＋1)m 2＋1＞0，可得m 2＋1m 2＞k 2＋1，对于任意m ＞1恒成立.而m 2＋1m 2＞2，∴k 2＋1≤2，－1≤k ≤1.所以k 的取值范围是[－1,1]. 【探究创新】【解题指南】对于(1)，可结合平面向量直接求解.对于(2)，探索性问题是解析几何中的一类常见题，这类问题通常是先假设存在，然后再根据已知信息进行计算或论证，并注意检查其条件之间的相容性.【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意知c ＝1，又AF ·FB＝1，即(a ＋c)·(a －c)＝a 2－c 2＝1，∴a 2＝2，∴b 2＝1， ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P 、Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， ∵M(0,1)，F(1,0)，∴k PQ ＝1，于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋mx 2＋2y 2＝2得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.∵MP ·FQ＝0＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝x 1(x 2－1)＋(x 2＋m)(x 1＋m －1)＝0.即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0，由根与系数的关系得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，Δ＝－8m 2＋24，当m ＝－43时，满足Δ>0，∴m ＝－43，而m ＝1时，直线l 经过M 点，不符合题意，∴l 的方程为y ＝x －43.。