高中数学第一章章末检测试卷(一)

高一数学第一章单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是实数集的符号表示？A. NB. ZC. QD. R2. 若a > 0，b < 0，且|a| > |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 无法确定3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x = 1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 以下哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.5D. 25. 集合{1, 2, 3}与{3, 2, 1}是否相等？A. 是B. 否6. 已知集合A = {x | x < 5}，B = {x | x > 3}，求A∪B。

A. {x | x < 5}B. {x | x > 3}C. RD. {x | x ≠ 4}7. 一个圆的半径为3，其面积是：A. 9πB. 18πC. 27πD. 36π8. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (-1, 0)B. (0, 3)C. (3, 0)D. (1, 0)9. 已知等差数列的首项为2，公差为3，第5项的值是：A. 14B. 17C. 20D. 2310. 以下哪个是二次方程的根？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 3二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B = _______。

12. 若f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2) = _______。

13. 函数y = √x的定义域是 _______。

14. 若a = -3，b = 2，求|a - b| = _______。

15. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 5，d = 4，求a10 = _______。

16. 圆的周长公式为 _______。

17. 直线y = 3x - 2与y轴的交点坐标是 _______。

第一章集合章末检测班级__________ 姓名__________ 考号__________ 分数__________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列表示①{0}＝∅，②{3}∈{3,4,5}，③∅{0}，④0∈{0}中，正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：③④正确．2．设全集U ＝R ，M ＝{x |x ≥1}，N ＝{x |0≤x <5}，则(∁U M )∪(∁U N )为( )A ．{x |x ≥0)B ．{x |x <1或x ≥5}C ．{x |x ≤1或x ≥5} D．{x |x <0或x ≥5}答案：B解析：借助数轴直观选择．3．已知集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,6,9}，C ＝{3,7,8}，则(A ∩B )∪C 等于( )A ．{0,1,2,6}B ．{3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8}答案：C解析：直接进行交并运算．4．若集合M ＝{a ，b ，c }中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 必然不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：D解析：由集合中元素的互异性可知．5．设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{1,2,3}，概念A *B ＝{z |z ＝xy ＋1，x ∈A ，y ∈B }，则A *B 集合中真子集的个数是( )A ．14B ．15C ．16D ．17答案：B解析：A *B ＝{1,2,3,4}，故集合中有4个元素，则真子集有24－1＝15个．6．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，B ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝8}，则A ∩B ＝( )A ．{(3,2)}B ．{3,2}C ．{(2,3)}D ．{2,3}答案：A解析：解⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝12x ＋y ＝8得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝2.7．已知集合A ＝{x ∈R |x <5－2}，B ＝{1,2,3,4}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．{1,2,3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{4}答案：D解析：借助数轴直观判断．8．设集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{x ∈R |2≤x ≤6}，那么下列结论正确的是( )A ．P ∩Q ＝PB ．P ∩Q QQ P。

(时间：120分钟；满分：160分）一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上）错误!下列说法：①｛0，1}与{1,0}就是两个不同的集合;②{(1，1）}与｛1}就是相同的集合；③0∈N但0∉N*；④方程x2－2x＋1＝0的解集就是{1},其中正确的就是________、（填序号）答案:③④错误!给出下列5个集合,①｛x|1〈x<3,x∈R}；②{x|1<x〈3,x∈Q｝;③{（x，y）｜(x＋1）2＋(y－2）2＝0};④｛（x，y)｜y＝2x－3}；⑤｛x|x≥1且x∈Z}∩｛x|x≤3且x∈Z}，其中，为有限集合的就是________、（填序号）解析:③中集合为{（－1，2）｝；⑤中集合为{x|1≤x≤3，x∈Z}＝｛1,2,3｝、而①②④中元素都为无限个、答案：③⑤错误!已知集合M＝｛x|－2〈x〈1}，N＝{x|x≤－2｝,则M∪N＝________、解析:M∪N＝｛x|－2〈x<1或x≤－2}＝｛x|x〈1｝＝（－∞,1）、答案：(－∞，1）4、设A＝｛（x,y)｜y＝－4x＋6｝，B＝｛（x,y)｜y＝5x－3}，则A∩B＝________、解析:A∩B＝错误!＝错误!＝｛（1,2）}、答案：｛(1,2）｝5、设集合U＝｛1,2,3,4,5｝，A＝｛1,2｝，B＝｛2,4},则∁U（A∪B)＝________、解析:A∪B＝{1，2，4}，∴∁U(A∪B)＝｛3,5}、答案：{3,5｝错误!若集合A＝{0,1}，A∪B＝｛0，1，2｝,则满足条件的集合B的个数就是________、解析:由A＝｛0，1｝，A∪B＝｛0,1，2},可知2∈B,但0,1可属于B也可不属于B、∴B的取值集合为｛2｝,｛0,2｝,{1，2}，{0,1,2},有4种可能、答案:47、设集合M＝｛x｜f（x)＝0}，N＝{x|g（x)＝0},则方程f(x）·g(x）＝0的解集为________、解析：f（x）·g（x）＝0⇔f（x）＝0或g（x）＝0，故所求的解集为{x|f(x）＝0或g(x)＝0}＝M∪N、答案:M∪N错误!已知全集I（I≠∅）,子集合A、B、C，且A＝∁I B,B＝∁I C,则A与C的关系就是________、解析：A＝∁I B＝∁I(∁I C)＝C、答案:A＝C错误!设M＝｛3，6,9},若m∈M,且9－m∈M,那么m的值就是________、解析：当m＝3时,9－m＝9－3＝6∈M;当m＝6时,9－m＝9－6＝3∈M；当m＝9时，9－m＝9－9＝0∉M、∴m＝3或m＝6、答案：3或6错误!已知集合U＝{1,2,3，…，100}，A＝｛被3整除的数}，B＝｛被2整除的数｝，则A∪B 中元素的个数有________、解析:集合A中共有33个元素,集合B中共有50个元素，又A∩B表示被6整除的数的集合,故A∩B有16个元素,作出Ve nn图可知A∪B中元素个数为33＋50－16＝67、答案：67错误!设集合M＝｛x｜x＝错误!＋错误!，k∈Z},N＝｛x|x＝错误!＋错误!，k∈Z｝,则集合M与N的关系就是________、解析:M＝｛x|x＝错误!＋错误!，k∈Z}＝{x|x＝错误!，k∈Z},N＝{x｜x＝错误!＋错误!,k∈Z｝＝｛x|x＝错误!，k∈Z｝,M中元素为奇数乘以错误!,N中元素为整数乘以错误!,故M N、答案:M N错误!设P，Q为两个非空数集，定义集合P＋Q＝｛x|x＝a＋b，其中a∈P，b∈Q｝,若P＝{0，2，5},Q＝{1，2,6},则P＋Q中元素的个数就是________、解析：由题意，P＋Q＝{1,2,6，3,4，7，8,11}，因此共有8个元素、答案：8错误!若集合M＝{x｜x2＋x－6＝0｝,N＝｛x|a x＋2＝0,a∈R｝,且N M,则a的取值集合为________、解析：M＝｛2，－3}、若N＝∅,则a＝0；若N＝{2｝，则a＝－1；若N＝{－3｝,则－3a＋2＝0，∴a＝错误!、∴a的取值集合为{－1,0，错误!}、答案:｛－1，0，错误!}错误!已知集合A＝{x|－3<x≤5｝，B＝｛x|a＋1≤x<4a＋1｝，若B A，则满足条件的实数a的取值集合就是________、解析：(1）当B＝∅时，则4a＋1≤a＋1，即a≤0,此时有B A;(2)当B≠∅时,由题意可知错误!解得0〈a≤1、综上，a≤1、答案：{a｜a≤1｝二、解答题(本大题共6小题,共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)错误!（本小题满分14分）已知集合A＝{1,2，3｝,若A∪B＝A,求集合B、解:∵A∪B＝A，∴B⊆A、∴B的取值集合为∅，｛1}，{2},{3｝，｛1,2｝，{1,3｝，｛2，3},｛1,2，3｝、错误!（本小题满分14分)已知集合U＝{x｜x取不大于30的质数｝,并且A∩（∁U B)＝{5,13，23｝,（∁U A）∩B＝｛11，19,29}，(∁U A）∩(∁U B）＝{3，7},求A，B、解：∵U＝｛2，3，5，7,11，13,17,19,23,29｝,由Ve nn图(图略），得A∩B＝｛2,17｝,∴A＝｛2，5,13,17,23},B＝{2,11，17，19,29}、17、（本小题满分14分)设集合A＝{2，－1，x2－x＋1},B＝｛2y，－4，x＋4｝,且A∩B＝{－1，7｝,求x,y的值、解：∵A∩B＝｛－1,7}，∴7∈A，即有x2－x＋1＝7,解得x＝－2或x＝3、当x＝－2时,x＋4＝2∈B,与2∉A∩B矛盾,应舍去;当x＝3时,x＋4＝7,这时2y＝－1,即y＝－错误!，故得x＝3，y＝－错误!、18、(本小题满分16分)已知集合A＝｛x｜x2＋p x＋q＝0},B＝{x｜q x2＋p x＋1＝0｝,同时满足①A∩B≠∅，②A∩(∁RB)＝{－2｝，pq≠0、求p，q的值、解：设x0∈A，则有x错误!＋p x0＋q＝0;两端同除以x错误!，得1＋p·错误!＋q·错误!＝0，则知错误!∈B,故集合A,B中元素互为倒数、由A∩B≠∅,一定有x0∈A,使得1x0∈B，且x0＝错误!，解得x0＝±1、又A∩（∁RB）＝｛－2}，则－2∈A,A＝｛1，－2｝或｛－1,－2｝、由此得B＝错误!或B＝错误!、根据根与系数的关系有错误!或错误!得错误!或错误!错误!（本小题满分16分）已知集合A＝｛a1，a2，a3,a4}，B＝{a错误!，a错误!,a错误!,a错误!},其中a1，a2，a3,a4为正整数，且a1<a2<a3<a4,若A∩B＝｛a1,a4},a1＋a4＝10，A∪B中所有元素之与为124,求集合A、解：由题意得a1,a4为两正整数的平方,而a1＋a4＝10，故有a1＝1，a4＝9、由9∈B,从而3∈A，由9∈A,从而81∈B、若a2＝3,则A＝｛1，3，a3，9｝，B＝{1,9,a2，3,81},从而1＋3＋a3＋9＋a错误!＋81＝124，得a3＝5或a3＝－6（舍去），此时集合A＝｛1,3，5，9｝;若a3＝3，则a2＝2,此时A＝｛1,2,3，9｝，B＝{1,4，9，81}不满足A∪B元素与为124,故不合题意、综上所述，集合A＝{1，3,5，9}、20、(本小题满分16分）设集合A＝｛x｜x2－3x＋2＝0｝,B＝{x|x2＋2(a＋1）x＋a2－5＝0}、(1)若A∩B＝{2｝，求实数a的值;（2）若A∪B＝A,求实数a的取值范围；(3）若U＝R,A∩(∁U B）＝A，求实数a的取值范围、解:(1)由题意得A＝{1，2}、若A∩B＝｛2｝，则2∈B,∴22＋2(a＋1）×2＋a2－5＝0,解得a＝－1或a＝－3、①当a＝－1时，B＝｛x｜x2－4＝0｝＝｛－2，2},符合题意;②当a＝－3时，B＝{x｜x2－4x＋4＝0}＝{2}，符合题意、综上可得a＝－1或a＝－3、（2)∵A∪B＝A,∴B⊆A、Δ＝4（a＋1)2－4(a2－5)＝8a＋24、①当Δ<0即a<－3时，B＝∅,符合题意；②当Δ＝0即a＝－3时，B＝｛2｝⊆A,符合题意;③当Δ>0即a>－3时,B⊆A，则1，2为x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0的两根，∴错误!无解、综上可得a≤－3、(3)由题意得A∩B＝∅,即1,2∉B，∴错误!解得a≠－1或－3或－1±错误!、∴a的取值范围就是｛a|a≠－1或－3或－1±错误!,a∈R｝、。

第一章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．锐角都是第一象限角 C ．第一象限角都是锐角 D ．小于90°的角都是锐角 答案：B2．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( )A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 答案：A解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45，∴sin α＝－45.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35.∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－15－75＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4 答案：B解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12C ．3 D.13答案：B解析：由y ＝2cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，即2³cos ⎝⎛⎭⎪⎫ω³2π3＝1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合．5．sin(－1740°)的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32 答案：D解析：sin(－1740°)＝sin60°＝32. 6．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3答案：B解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 7．下列函数中，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数的偶函数是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝tan x 答案：A解析：作图比较可知．8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( ) A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位C ．向左平移23个单位D ．向右平移23个单位答案：C解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23， ∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移23个单位即可．9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32C ．－32 D.12 答案：B解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. 10．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ax x <0 g x －1 x ≥0 ，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56等于( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.32 答案：C 解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，所以ωπ2＋π4≤ωx ＋π4≤ωπ＋π4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A.12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5答案：A解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2＝62＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 答案：m解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝m .14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________． 答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )．15．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域为________．答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x ≥12，如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π k ∈Z 2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 k ∈Z ，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6.答案：①②解析：4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，故①②正确，③④错误． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin α＋π ²tan α－π cos 3π－α的值．解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α²tan α－cos α＝sin αsin α²cos α＝1cos α.由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54.18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值． 解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1，又∵⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ²cos θ＝a ，∴a ＝12或a ＝－14，经检验Δ≥0都成立，∴a ＝12或a ＝－14.(2)∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴a <0， ∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0，∴sin θ－cos θ＝－62. 19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：当b ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝52a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝32，g (x )＝－4sin 32x .最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3.当b ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝52a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32，g (x )＝－4sin(－32x )＝4sin 32x .最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3.b ＝0时不符合题意．综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3.20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系是s ＝A sin(ω t ＋φ)，0<φ<π2，根据图象，求：(1)函数解析式；(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)单摆来回摆动一次需要多长时间？解：(1)由图象知，34T ＝1112－16＝34，所以T ＝1.所以ω＝2πT ＝2π.又因为当t ＝16时取得最大值，所以令2π²16＋φ＝π2＋2k π，∵φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. 所以φ＝π6.又因为当t ＝0时，s ＝3，所以3＝A sin π6，所以A ＝6，所以函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6. (2)因为A ＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm. (3)因为T ＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.21．(12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．(1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ω³0＋π6＝3sin π6＝32. (2)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π6)．(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35， ∴sin α＝±1－cos 2α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝±45.22．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； (3)将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )； (2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根．(3)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ∴g (x )＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2m 由题意得π4－2m ＝2k π，∴m ＝－k π＋π8，k ∈Z当k ＝0时，m ＝π8，此时g (x )＝2sin2x 关于原点中心对称．。

第一章章末检测(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．设集合 M ＝{1,2,4,8}，N ＝{x |x 是 2 的倍数}，则 M ∩N 等于( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 2．若集合 A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则 A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅3．若ax 2a >0)，且 f ( 2)，则 a 等于( )A ．12B ．12C.0 D ．2 4．若函数 f (x )满足 f (3x ＋2)＝9x ＋8，则 f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2 或 f (x )＝－3x －45．设全集 U ＝{1,2,3,4,5}，集合 M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则 N ∩(∁U M )等于( ) A ．{1,3} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{4,5}6. 已知函数 f (x )＝1在区间[1,2]上的最大值为 A ，最小值为 B ，则 A －B 等于( )xA.1 2B. －1 2C.1 D ．－1 7.f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x (－∞，－1]上递增，则 a 的取值范围是( ) A ．a B a ≤ 3 C ．0<D a <0＋3 (x >10)8.设 f (x )f (x ＋5)) (x ≤10)，则 f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．169．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3 为偶函数，则 f (x )在区间(2,5)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C. 有增有减 D ．增减性不确定10. 设 集 合 A ＝[01 1 ， )，B ＝[ ，1]，函数 f (x )＝＋1， x ∈A2 ，若 x 0∈A ，且 f [f (x 0)] 2 2 ∈A ，则 x 0 的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．(11 ， ](1－x )， x ∈B4 4 2 C ．(1，1) D ．[0，3]4 2 8 11. 若函数 f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数 x 都有 f (2＋x )＝f (2－x )，那么( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1) 12. 若 f (x )和 g (x )都是奇函数，且 F (x )＝f (x )＋g (x )＋2，在(0，＋∞)上有最大值 8，则在(－∞，0)上 F (x )有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－4二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 已知函数 y ＝f (x )是 R 上的增函数，且 f (m ＋3)≤f (5)，则实数 m 的取值范围是 ．14. 函数 f (x )＝－x 2＋2x ＋3 在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为 ．15. 若函数 f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a为奇函数，则实数 a ＝ .x16.如图，已知函数 f (x )的图象是两条直线的一部分，其定义域为(－1,0]∪(0,1)，则不等式 f (x )－f (－x )>－1 的解集是 ．三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17．(10 分)设集合 A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中 p 、q 为常数，x∈R ，当 A ∩B ＝{12}时，求 p 、q 的值和 A ∪B .18．(12 分)已知函数 f (x )＝x ＋2，x －6(1)点(3,14)在 f (x )的图象上吗？ (2)当 x ＝4 时，求 f (x )的值； (3)当 f (x )＝2 时，求 x 的值．19．(12 分)函数 f (x )是 R 上的偶函数，且当 x >0 时，函数的解析式为 f (x )＝2－1.x(1) 用定义证明 f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (2) 求当 x <0 时，函数的解析式．20．(12 分)函数 f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2 在区间[0,2]上有最小值 3，求 a 的值．21．(12 分)已知函数 f (x )对一切实数 x ，y ∈R 都有 f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当 x >0 时，f (x )<0，又 f (3)＝－2.(1) 试判定该函数的奇偶性；(2) 试判断该函数在 R 上的单调性；(3) 求 f (x )在[－12,12]上的最大值和最小值．22．(12 分)已知函数 y ＝x ＋ t有如下性质：如果常数xt >0，那么该函数在(0， t ]上是减函数，在[ t ，＋∞)上是增函数．(1) 已知 f (x ) 4x 2－12x －3x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数 f (x )的单调区间和值域；＝ ，2x ＋1(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a 的值．第一章章末检测答案解析1．C [因为N＝{x|x 是2 的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故M∩N＝{2,4,8}，所以C 正确．]2．C [A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|yA∩B＝{x|0≤x≤1}．]3．A [f( 2)＝2a－2＝2，∴a＝124．B [f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，∴f(t)＝3t＋2，即f(x)＝3x＋2.]5．C [∁U M＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．]6．A [f(x)＝1在[1,2]上递减，x∴f(1)＝A，f(2)＝B，∴A－B＝f(1)－f(2)＝1－1＝1.]2 27．D [由题意知a<0，－a3－a≥－1，2a－a22＋1≥－1，即a2≤3.a<0.]8．A [f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.]9．B [f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3 的图象知，f(x)在区间(2,5)上为减函数．] 10．C [∵x0∈A，∴f(x0)＝x0＋1∈B，2∴f[f(x0)]＝f(x0＋1)＝2(1－x0－1)，2 2即f[f(x0)]＝1－2x0∈A，所以0≤1－2x0<1，2即1<x0≤1，又x0∈A，4 2∴1<x0<1，故选C.]4 211．A [由f(2＋x)＝f(2－x)可知：函数f(x)的对称轴为x＝2，由二次函数f(x)开口方向，可得f(2)最小；又f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)，在x<2 时y＝f(x)为减函数．∵0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)，即f(2)<f(1)<f(4)．]＝－ ≠，， 12．D [由题意知 f (x )＋g (x )在(0，＋∞)上有最大值 6，因 f (x )和 g (x )都是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，即 f (x )＋g (x )也是奇函数，所以 f (x )＋g (x )在(－∞，0)上有最小值－6， ∴F (x )＝f (x )＋g (x )＋2 在(－∞，0)上有最小值－4.]13．m ≤2解析 由函数单调性可知，由 f (m ＋3)≤f (5)有 m ＋3≤5， 故 m ≤2. 14．－1解析 f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∵1∈[－2,3]，∴f (x )max ＝4，又∵1－(－2)>3－1，由 f (x )图象的对称性可知，f (－2)的值为 f (x )在[－2,3]上的最小值，即 f (x )min ＝f (－2)＝－5，∴－5＋4＝－1. 15．－1解析 由题意知，f (－x )＝－f (x )， x 2－(a ＋1)x ＋a x 2＋(a ＋1)x ＋a 即 ＝－ ，－xx ∴(a ＋1)x ＝0 对 x ≠0 恒成立， ∴a ＋1＝0，a ＝－1.16．(－1，－1)∪[0,1)2解析 由题中图象知，当 x ≠0 时，f (－x )＝－f (x )，所以 f (x )－[－f (x )]>－1，∴f (x )>－1，2 由题图可知，此时－1<x <－1或 0<x <1.当 x ＝0 时，2f (0)＝－1，f (0)－f (－0)＝－1＋1＝0,0>－1 满足条件．因此其解集是{x |－1<x <－12 0≤x <1}．17．解 ∵A ∩B ＝{1 2 }，∴1∈A .2∴2( 1)2＋3p (1 2 2)＋2＝0.∴p ＝－5.∴A ＝{1，2}．3 2 又∵A ∩B ＝ 1 1B .∴ 1 2 { }，∴ ∈2 21 2( ) ＋2 ＋q ＝0.∴q ＝－1.2 ∴B ＝{1，－1}．∴A ∪B ＝{－1 12 22}．18．解 (1)∵f (3) 3＋2 5 14. 3－63 ∴点(3,14)不在 f (x )的图象上．(2)当 x ＝4 时，f (4) 4＋2 ＝ ＝－3. 4－6 (3)若 f (x )＝2，则x ＋2＝2，x －6∴2x －12＝x ＋2，∴x ＝14. 19．(1)证明 设 0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝( 2 －1)－( 2－1)x 1 x 2＝ 或2(x 2－x 1) ＝ ，x 1x 2∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即 f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． (2)解 设 x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－ 2－1，x又 f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝－2－1，x 即 f (x )＝－2－1(x <0)． x20．解 ∵f (x )＝4(x －a)2－2a ＋2，2①当a≤0，即 a ≤0 时，函数 f (x )在[0,2]上是增函数．2∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋由 a 2－2a ＋2＝3，得 a ＝∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当 0<a<2，即 0<a <4 时，2 f (x )min ＝f (a)＝－2a ＋2.2由－2a ＋2＝3，得 a ＝－ 1∉(0,4)，舍去．2③当a≥2，即 a ≥4 时，函数 f (x )在[0,2]上是减函数，2f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由 a 2－10a ＋18 a ＝∵a ≥4，∴a ＝5综上所述，a ＝1 a ＝521．解 (1)令 x ＝y ＝0，得 f (0＋0)＝f (0)＝f (0)＋f (0) ＝2f (0)，∴f (0)＝0.令 y ＝－x ，得 f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(2)任取 x 1<x 2，则 x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， 即 f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在 R 上是减函数．(3)∵f (x )在[－12,12]上是减函数， ∴f (12)最小，f (－12)最大．又 f (12)＝f (6＋6)＝f (6)＋f (6)＝2f (6) ＝2[f (3)＋f (3)]＝4f (3)＝－8， ∴f (－12)＝－f (12)＝8.∴f (x )在[－12,12]上的最大值是 8，最小值是－8.22．解 (1)y ＝f (x ) 4x 2－12x －3 4＝ ＝2x ＋1＋ －8，2x ＋1设 u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3，2x ＋1≤ 则 y ＝u ＋4－8，u ∈[1,3]．u由已知性质得，当 1≤u ≤2，即 0≤x 1时， 2所以减区间为[0，1]；2f (x )单调递减；当 2≤u ≤3，即 1≤x ≤1 时，f (x )单调递增；2 所以增区间为[1，1]；2 由 f (0)＝－3， f (1)＝－4，f (1)＝－11 2 3得 f (x )的值域为[－4，－3]． (2) g (x )＝－x －2a 为减函数，故 g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]．由题意，f (x )的值域是 g (x )的值域的子集，1－2a ≤－4 2a ≥－3∴a ＝32 . ，。

章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B 等于( ) A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2} D ．∅ 答案 A解析 ∵A ＝{x |x ＋2＝0}，∴A ＝{－2}． ∵B ＝{x |x 2－4＝0}，∴B ＝{－2,2}． ∴A ∩B ＝{－2}．故选A.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A 答案 A解析 因为a ＝2＋3≤10，故a ∈A .3．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 C解析 三角形的三条边相等，则三角形为等边三角形，即充分性成立，三角形为等边三角形，则三角形的三条边相等，即必要性成立，则“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件，故选C.4．设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}，(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}，故选项B 符合． 5．已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32D ．A ∪B ＝R考点 并集、交集的综合运算题点 并集、交集的综合运算 答案 A解析 因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32， A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}． 故选A.6．全称量词命题：∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4的否定是( ) A ．∃x ∈R ，x 2＋5x ＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x ∈R ，x 2＋5x ≠4 D ．以上都不正确 答案 C解析 ∵全称量词命题的否定是存在量词命题，∴∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4的否定是：∃x ∈R ，x 2＋5x ≠4.故选C.7．设集合U ＝{－1,1,2,3}，M ＝{x |x 2－5x ＋p ＝0}，若∁U M ＝{－1,1}，则实数p 的值为( ) A ．－6 B ．－4 C ．4 D ．6 答案 D解析 由题意M ＝{2,3}，∴2×3＝p ，∴p ＝6.8．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件，故选A.9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围为( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3<m <4 C ．2<m <4 D ．2<m ≤4 答案 D解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，即2<m ≤4. 10．设m 为给定的一个实常数，命题p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋2m ≥0，则“m ≥3”是“命题p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 当命题p 为真时，则∀x ∈R ，x 2－4x ＋2m ≥0恒成立，即Δ＝16－8m ≤0，即m ≥2. 因为“m ≥3”是“m ≥2”充分不必要条件，即“m ≥3”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件， 故选A.11．给出下列四个结论：①{0}是空集；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是有限集．其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A.12．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a ≤13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a ≤13D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥13 答案 C解析 若a ＝0，则不等式等价为2x ＋3>0，对于∀x ∈R 不成立，若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a <0，解得a >13，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a >13， ∴使命题p 为假命题的a 的范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ a ≤13.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{7,2m －1}，B ＝{7，m 2}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 答案 1解析 若A ＝B ，则m 2＝2m －1，即m 2－2m ＋1＝0，即m ＝1.14．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________． 答案 {a |a >－1}解析 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.15．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4＝0}，则(∁R S )∪T ＝________. 答案 {x |x ≤－2或x ＝1}解析 ∁R S ＝{x |x ≤－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4＝0} ＝{－4,1}．所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2或x ＝1}．16．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <m ＋1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 答案 {m |m >1}解析 由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，得A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－1，m ＋1>2，即m >1. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定： (1)p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝0都成立； (2)p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5>0.解 (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p ：存在一个x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2＋x ＋1≠0成立”； (2)由于“∃x ∈R ”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p ：对任意一个x 都有x 2＋2x ＋5≤0，即“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0”．18．(12分)已知p ：－1<x <3，q ：k －2≤x ≤k ＋5，若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围．解 ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴p ⇒q ，q ⇏p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2≤－1，k ＋5≥3即－2≤k ≤1， 所以k 的取值范围为{k |－2≤k ≤1}．19．(12分)已知集合P ＝{2，x ，y }，Q ＝{2x,2，y 2}，且P ＝Q ，求x ，y 的值．解 ∵P ＝Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ，y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12.由元素的互异性可知x ≠y ， 故x ＝0，y ＝1或x ＝14，y ＝12.20．(12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R . (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 解 (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6} ＝{x |1<x ≤8}．∵∁U A ＝{x |x <2或x >8}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，作图易知，只要a 在8的左边即可， ∴a <8.∴a 的取值范围为{a |a <8}．21．(12分)已知集合P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)求集合∁R P ；(2)若P ⊆Q ，求实数m 的取值范围； (3)若P ∩Q ＝Q ，求实数m 的取值范围． 解 (1)∁R P ＝{x |x <－2或x >10}．(2)由P ⊆Q ，需⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．(3)由P ∩Q ＝Q 得，Q ⊆P ，①当1－m >1＋m ，即m <0时，Q ＝∅，符合题意；②当1－m ≤1＋m ，即m ≥0时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，得0≤m ≤3；综上得m ≤3，即实数m 的取值范围为{m |m ≤3}．22．(12分)已知非空集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 因为P 是非空集合，所以2a ＋1≥a ＋1，即a ≥0. (1)当a ＝3时，P ＝{x |4≤x ≤7}，(∁R P )＝{x |x <4或x >7}， Q ＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，即P Q ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，a ≥0，且a ＋1≥－2和2a ＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围为{a |0≤a ≤2}．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

第一章章末检测题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.集合{1，2，3}的所有真子集的个数为()A.3B.6C.7D.8答案 C解析含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1，2}，{1，3}，{2，3}，共3个；空集是任2.①{0}?{0}A.1C.3答案解析3.已知A.NC.R答案解析4.函数A.RC.[2答案解析故y≥(0＋1)2＋2＝3.5.某学生离开家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d轴表示离学校的距离，t轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是()答案 D解析t＝0时，学生在家，离学校的距离d≠0，因此排除A、C项；学生先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢，故选D.6.函数f(x)＝的定义域为()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.[1，2)D.[1，2)∪(2，＋∞)答案 D解析根据题意有解得x≥1且x≠2.7.在下面的四个选项所给的区间中，函数f(x)＝x2－1不是减函数的是()A.(－∞，－2)B.(－2，－1)C.(－1，1)D.(－∞，0)答案 C解析函数f(x)＝x2－1为二次函数，单调减区间为(－∞，0]，而(－1，1)不是(－∞，0]的子集，故选C.8.函数A.关于C.答案解析9.已知A.－C.答案解析10.函数答案解析在x＝0＜0，可排除B11.若C.{x|x<－3或x>3}D.{x|－3<x<0或0<x<3}答案 C解析由于f(x)是偶函数，∴f(3)＝f(－3)＝1，f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴当x>0时，f(x)<1即f(x)<f(3)，∴x>3，当x<0时，f(x)<1即f(x)<f(－3)，∴x<－3，故选C.12.已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为()A. B.C.2D.2答案 A解析本题考查函数的最值及求法.∵y≥0，∴y＝＋＝(－3≤x≤1)，∴当x＝－3或1时，y min＝2；当x＝－1时，y max＝2，即m＝2，M＝2，∴＝.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.设集合A＝{－1，1，3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.答案 1解析∵A∩B＝{3}，∴3∈B.∵a2＋414.答案解析15.函数答案解析∴f(－1)又f(x)∴f(3)≤16.答案解析∵f(x)在又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2).三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A＝{x|－4≤x<8}，函数y＝的定义域构成集合B，求：(1)A∩B；(2)(?R A)∪B.解析y＝的定义域为B＝{x|x≥5}，则(1)A∩B＝{x|5≤x<8}.(2)?R A＝{x|x<－4或x≥8}，∴(?R A)∪B＝{x|x<－4或x≥5}.18.(12分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像关于直线x＝1对称.(1)求实数a的值；(2)若f(x)的图像过(2，0)点，求x∈[0，3]时，f(x)的值域.解析(1)二次函数f(x)＝x2＋ax＋b的对称轴为x＝－，∴－＝1，∴a＝－2.(2)若f(x)过(2，0)点，∴f(2)＝0.∴22－2×2＋b＝0，∴b＝0，∴f(x)＝x2－2x.当x＝1时f(x)最小为f(1)＝－1，当x＝3时，f(x)最大为f(3)＝3，∴f(x)在[0，3]上的值域为[－1，3].19.(12(1)(2)解析∵x1－x2∴f(x1)∴函数(2)由20.(12(1)买1(2)法中y解析按照第当4≤当x＝34时，y1－y2＝0，y1＝y2；当x>34时，y1－y2>0，y1>y2.故当4≤x<34时，第一种办法更省钱；当x＝34时，两种办法付款数相同；当x>34时，第二种办法更省钱.21.(12分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；(2)求当x<0时，函数的解析式.解析证明(1)设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(－1)－(－1)＝，∵0<x1<x2，∴x1x2>0，x2－x1>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(2)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1.又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－－1.故f(x)22.(12(1)求(2)(3)若解析令a＝b(2)f(1)∴f(x)＋(3)∵f(4)f(9)＝∴f(36)。

章末检测（一) 空间向量与立体几何本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知四面体ABCD ，G 是CD 的中点，连接AG ，则AB ―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝( )A ．AG ―→B ．CG ―→C ．BC ―→D.12BC ―→ 解析：选A 在△BCD 中，因为点G 是CD 的中点，所以BG ―→＝12(BD ―→＋BC ―→)，从而AB―→＋12(BD ―→＋BC ―→)＝AB ―→＋BG ―→＝AG ―→. 2．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1,5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0,34,10) B ．(－3,19,7) C ．44D ．23解析：选C a ＋3b ＝(－3,2,5)＋3(1,5，－1)＝(0,17,2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3,2,5)·(0,17,2)＝0＋34＋10＝44.3．已知直线l 过定点A (2,3,1)，且n ＝(0,1,1)为直线l 的一个方向向量，则点P (4,3,2)到直线l 的距离为( )A.322B.22C.102D. 2解析：选A PA ―→＝(－2,0，－1)，|PA ―→|＝5，PA ―→·n|n |＝－22，则点P 到直线l 的距离为|PA ―→|2－⎪⎪⎪⎪PA ―→·n |n |2＝5－12＝322. 4．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析：选B 由题意知c ＝xa ＋yb ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.5．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ―→·CF ―→＝( ) A ．0 B.12 C ．－34D ．－12解析：选D 设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1， 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12，又AE ―→＝12(a ＋b )，CF ―→＝12c －b ，因此AE ―→·CF ―→＝12(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫12c －b ＝14a ·c －12a ·b ＋14b ·c －12b 2＝－12， 故选D.6．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38 C.43 D.34解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，A 1(2,0,4)，AB 1―→＝(0,2,4)，AD 1―→＝(－2,0,4)，AA 1―→＝(0,0,4)．设平面AB 1D 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1―→·n ＝0，AD 1―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋4z ＝0，－2x ＋4z ＝0，令x ＝2，得n ＝(2，－2，1)．所以A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1―→·n ||n |＝43.7．已知OA ―→＝(1,2,3)，OB ―→＝(2,1,2)，OP ―→＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA ―→·QB ―→取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：选C 设点Q (x ，y ，z )．因为点Q 在OP ―→上，所以OQ ―→∥OP ―→，可设x ＝λ，0≤λ≤1，则y ＝λ，z ＝2λ，则Q (λ，λ，2λ)，QA ―→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ―→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA ―→·QB ―→＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23.故当λ＝43时，QA ―→·QB ―→取得最小值，此时点Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83.故选C.8.如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC .则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )解析：选A 如图，以D 为原点，DA ，DC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为a ，M (x ，y,0)，则0≤x ≤a,0≤y ≤a ，P ⎝⎛⎭⎫a 2，0，3a 2，C (0，a,0)，则|MC ―→|＝x 2＋(a －y )2，|MP ―→|＝⎝⎛⎭⎫a 2－x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫3a 22.由|MP ―→|＝|MC ―→|，得x ＝2y ，所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条线段y ＝12x (0≤x ≤a )，故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．有下列四个命题，其中正确的命题有( )A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0 B ．若两个非零向量AB ―→与CD ―→满足AB ―→＋CD ―→＝0，则AB ―→∥CD ―→C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量D ．对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面解析：选BC 对于A ，已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＋DA ―→＝0，错误；对于B ，若两个非零向量AB ―→与CD ―→满足AB ―→＋CD ―→＝0，则AB ―→∥CD ―→，正确；对于C ，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，正确；对于D ，对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R)，仅当x ＋y ＋z ＝1时P ，A ，B ，C 四点共面，故错误．10.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AC 的中点．则( ) A ．〈A 1B ―→，B 1D 1―→〉＝120° B ．BD 1⊥AC C ．BD 1⊥EB 1 D ．∠BB 1E ＝45°解析：选ABC 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .设正方体的棱长为1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，0，B 1(1，1,1)，A 1(1,0,1)．BD 1―→＝(－1，－1,1)，AC ―→＝(－1,1,0)，∵BD 1―→·AC ―→＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴BD 1―→⊥AC ―→，∴BD 1⊥AC ，B 正确． EB 1―→＝⎝⎛⎭⎫12，12，1，∵BD 1―→·EB 1―→＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0，∴BD 1―→⊥EB 1―→，∴BD 1⊥EB 1，C 正确． A 1B ―→＝(0,1，－1)，B 1D 1―→＝(－1，－1,0)， cos 〈A 1B ―→，B 1D 1―→〉＝－12·2＝－12，∴〈A 1B ―→，B 1D 1―→〉＝120°，A 正确． B 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1，B 1B ―→＝(0,0，－1)， cos 〈B 1E ―→，B 1B ―→〉＝114＋14＋1＝63≠22，D 不正确，故A 、B 、C 正确． 11.如图，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 边长为1，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，则( )A ．AF ∶FD ＝2∶1B ．AF ∶FD ＝1∶1C ．若PA ＝1，则异面直线PE 与BC 所成角的余弦值为23D ．若PA ＝1，则直线PE 与平面ABCD 所成角为30°解析：选BC 建立如图所示的空间直角坐标系，PA ＝a ，则B (1,0,0)，C (1，1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)， 则BF ―→＝(－1，y,0)， PE ―→＝⎝⎛⎭⎫12，1，－a ， ∵BF ⊥PE ，∴BF ―→·PE ―→＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，0， ∴F 为AD 的中点，∴AF ∶FD ＝1∶1，B 正确，A 不正确．若PA ＝1，则P (0,0,1)，PE ―→＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1，BC ―→＝(0,1,0)，cos 〈PE ―→，BC ―→〉＝114＋1＋1＝23，故C 正确． AP ―→＝(0,0,1)， cos 〈AP ―→，PE ―→〉＝－114＋1＋1＝－23，故D 不正确．12．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若F ，G 分别是棱AB ，CC 1的中点，则( ) A ．二面角A 1-AC 1-B 的大小为90° B ．FG ―→·AC ―→＝32C ．直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于36D ．FG ⊥BC 1解析：选BC 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz .设正方体的棱长为1，则易知平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(1,1,0)．A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,1)，A 1(1,0,1)．∵F ⎝⎛⎭⎫1，12，0，G ⎝⎛⎭⎫0，1，12，∴FG ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，12，12， 设直线FG 与平面A 1ACC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，FG ―→〉|＝|n ·FG ―→||n |·|FG ―→|＝122×62＝36，故C 正确； AB ―→＝(0,1,0)，AC 1―→＝(－1,1,1)，AA 1―→＝(0,0,1)． 设平面ABC 1的法向量u ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧u ·AB ―→＝0，u ·AC 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋z ＝0.令z ＝1，则u ＝(1,0,1)．同理可得平面A 1AC 1的一个法向量v ＝(－1，－1,0)，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝－12，故A 错误；BC 1―→＝(－1,0,1)，∴FG ―→·BC 1―→＝1＋12≠0.故D 错误；∵AC ―→＝(－1,1,0)，∴FG ―→·AC ―→＝1＋12＝32，故B 正确．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．若A (－1,2,3)，B (2，－4,1)，C (x ，－1，－3)是以BC 为斜边的直角三角形的三个顶点，则x ＝________.解析：由题意得AB ―→＝(3，－6，－2)，AC ―→＝(x ＋1，－3，－6)，∴AB ―→·AC ―→＝3(x ＋1)＋18＋12＝0，解得x ＝－11.答案：－1114.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．解析：不妨设CB ＝1，则B (0,0,1)，A (2,0,0)，C 1(0,2,0)，B 1(0,2,1)． ∴BC 1―→＝(0,2，－1)，AB 1―→＝(－2,2,1)． cos 〈BC 1―→，AB 1―→〉＝BC 1―→·AB 1―→|BC 1―→|·|AB 1―→|＝0＋4－15×3＝55. 答案：5515.如图，已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．解析：如图，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D (0，a,0)．设Q (1，t,0)(0≤t ≤a )，P (0,0，z )． 则PQ ―→＝(1，t ，－z )，QD ―→＝(－1，a －t,0)． 由PQ ⊥QD ，得－1＋t (a －t )＝0， 即t 2－at ＋1＝0.由题意知方程t 2－at ＋1＝0只一解． ∴Δ＝a 2－4＝0，a ＝2，这时t ＝1∈[0，a ]． 答案：216.如图，四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，DC 上的点，且AE ＝BE ，CF ＝2DF ，设DA ―→＝a ，DB ―→＝b ，DC ―→＝c .(1)以{a ，b ，c }为基底表示FE ―→，则FE ―→＝________；(2)若∠ADB ＝∠BDC ＝∠ADC ＝60°，且|DA ―→|＝4，|DB ―→|＝3，|DC ―→|＝3，则|FE ―→|＝________.解析：(1)如图所示，连接DE .因为FE ―→＝FD ―→＋DE ―→，FD ―→＝－DF ―→＝－13DC ―→，DE ―→＝12(DA ―→＋DB ―→)，所以FE ―→＝12a ＋12b －13c .(2)|FE ―→|2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b －13c 2＝14a 2＋14b 2＋19c 2＋12a ·b －13a ·c －13b ·c ＝14×42＋14×32＋19×32＋12×4×3×12－13×4×3×12－13×3×3×12＝274.所以|FE ―→|＝332. 答案：(1)12a ＋12b －13c (2)332四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 夹角的余弦值． 解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，则a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)． 又b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0， 解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，设a ＋c 与b ＋c 夹角为θ， 因此cos θ＝5－12＋338×38＝－219.18．(本小题满分12分)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，求D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，由于AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，所以A 1(1,0,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,1)，D 1(0,0,1)，所以A 1C 1―→＝(－1,2,0)，BC 1―→＝(－1，0,1)，D 1C 1―→＝(0,2,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1C 1―→·n ＝0， BC 1―→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝2，得y ＝1，z ＝2，则n ＝(2,1,2)．设D 1C 1与平面A 1BC 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈D 1C 1―→，n 〉|＝|D 1C 1―→·n ||D 1C 1―→||n |＝22×3＝13，即D 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值为13.19．(本小题满分12分)如图所示，已知四面体OABC 各边及对角线长都是1，D ，E 分别是OA ，BC 的中点，连接DE .(1)求证：DE 是OA 和BC 的公垂线； (2)求OA 和BC 间的距离． 解：(1)证明：∵E 为BC 的中点．∴DE ―→＝12(DB ―→＋DC ―→)，DB ⊥OA ，得DB ―→·OA ―→＝0.同理可得DC ―→·OA ―→＝0.∴DE ―→·OA ―→＝12(DB ―→＋DC ―→)·OA ―→＝12DB ―→·OA ―→＋12DC ―→·OA ―→＝0，∴DE ⊥OA .同理可证DE ⊥BC .∴DE 是OA 和BC 的公垂线．(2)∵DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OB ―→＋12OC ―→－12OA ―→，∴|DE ―→|2＝⎝⎛⎭⎫12OB ―→＋12OC ―→－12OA ―→2 ＝14(OB ―→2＋OC ―→2＋OA ―→2＋2OB ―→·OC ―→－2OB ―→·OA ―→－2OC ―→·OA ―→) ＝14×(12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°) ＝12，∴|DE ―→|＝22，即OA 和BC 间的距离为22.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且PG ＝4，AG ＝13GD ，BG ⊥GC ，GB ＝GC ＝2，E 是BC 的中点．(1)求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； (2)若F 是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求PFFC 的值．解：(1)以G 点为原点，GB ，GC ，GP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,4)，故E (1,1,0)，GE ―→＝(1,1,0)，PC ―→＝(0,2，－4)．∵cos 〈GE ―→，PC ―→〉＝GE ―→·PC ―→|GE ―→||PC ―→|＝22×20＝1010，∴GE 与PC 所成角的余弦值为1010. (2)∵GD ―→＝34BC ―→＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0， ∴D ⎝⎛⎭⎫－32，32，0.设F (0，y ，z )， 则DF ―→＝(0，y ，z )－⎝⎛⎭⎫－32，32，0＝⎝⎛⎭⎫32，y －32，z . ∵DF ―→⊥GC ―→，∴DF ―→·GC ―→＝0，即⎝⎛⎭⎫32，y －32，z ·(0,2,0)＝2y －3＝0，∴y ＝32. 又点F 在PC 上，∴PF ―→＝λPC ―→，即⎝⎛⎭⎫0，32，z －4＝λ(0,2，－4)，∴z ＝1，故F ⎝⎛⎭⎫0，32，1， ∴PF ―→＝⎝⎛⎭⎫0，32，－3，FC ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， ∴PFFC ＝35252＝3.21．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点．(1)证明：AM ⊥PM ； (2)求二面角P -AM -D 的大小； (3)求点D 到平面AMP 的距离．解：(1)证明：以D 点为原点，分别以直线DA ，DC 为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)，M (2，2,0)．PM ―→＝(2，1，－3)，AM ―→＝(－2，2,0)， ∴PM ―→·AM ―→＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM ―→⊥AM ―→，∴AM ⊥PM .(2)设n ＝(x ，y ，z )为平面PAM 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM ―→＝0，n ·AM ―→＝0，即⎩⎨⎧2x ＋y －3z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)．取p ＝(0,0,1)，显然p 为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝36＝22.结合图形可知，二面角P -AM -D 为45°.(3)设点D 到平面AMP 的距离为d ，由(2)可知n ＝(2，1，3)与平面PAM 垂直，则 d ＝|DA ―→·n ||n |＝|(22，0，0)·(2，1，3)|(2)2＋12＋(3)2＝263， 即点D 到平面AMP 的距离为263. 22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值． 解：(1)证明：因为四边形AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．所以A 1B ―→＝(0,3，－4)，A 1C 1―→＝(4,0,0)，BB 1―→＝(0,0,4)，BC 1―→＝(4，－3,4)． 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1B ―→＝0，n ·A 1C 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0. 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(0,4,3)． 设平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BB 1―→＝0，m ·BC 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4c ＝0，4a －3b ＋4c ＝0. 令a ＝3，得b ＝4，c ＝0，故平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625. 由题意知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625. (3)假设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD ―→＝λBC 1―→(λ∈[0,1])，所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3,4)．解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ，所以AD ―→＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD ―→·A 1B ―→＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝925. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ， 使得AD ⊥A 1B .此时BD BC 1＝925.。