2008年F题 简易多功能计数1

第十四届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛试题（提高组 Pascal语言二小时完成）●●全部试题答案均要求写在答卷纸上，写在试卷纸上一律无效●●一、单项选择题（共10题，每题1.5分，共计15分。

每题有且仅有一个正确答案）。

1．在以下各项中，（）不是操作系统软件。

A．Solaris B．Linux C．Sybase D．Windows Vista E．Symbian【答案】C。

Solaris 是Unix操作系统，Symbian(赛班)-诺基亚手机操作系统。

Sybase是关系型数据库。

2．微型计算机中，控制器的基本功能是（）。

A．控制机器的各个部件协调工作 B．实现算术运算与逻辑运算 C．存储各种控制信息D．获取外部信息E．存放程序和数据【答案】A。

3．设字符串S=“Olympic”，S的非空子串的数目是（）。

A．29 B．28 C．16 D．17 E．7 【答案】B。

长度为1的子串有7个，长度为2的子串有6个，……，长度为7的子串有1个，所有非空子串数目是：7+6+5+4+3+2+1=28。

4．完全二叉树有2*N-1的结点，则它的叶子结点数目是（）。

A．N-1 B．2*N C．N D．2N-1 E．N/2 【答案】C。

设二叉树中度为0的结点(叶子)有N0个，度为1的结点有N1个，度为2的结点有N2个，所有结点个数：N0＋N1＋N2，所有的边数：N0*0+N1*1+N2*2=N1+2N2。

由于每个结点上都有一条边，除根结点外，所以有N0+N1+N2=N1+2N2+1→N0=N2+1 …………①完全二叉树有2*N-1个结点（奇数个），而完全二叉树的上一层是一棵满二叉树，而满二叉树的结点个数是2^k-1（k是层数，是奇数个），所以此二叉树最下一层是偶数个结点，这样的二叉树没有度为1的结点，即N1=0，得到N0+N2=2*N-1 →N2=2*N-N0-1 …………②将②式代入①式，得到N0=N。

5．将数组{8，23，4，16，77，-5，53，100}中元素从大到小按顺序排序，每次可以交换任意两个元素，最少要交换（）次。

专题08 计数原理【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷理数】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r ∈N 且5r ≤），所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==，在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5，所以33x y 的系数为10515+=. 故选：C【名师点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题. 求得5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数为6264=，该重卦恰有3个阳爻的基本事件的个数为3363C C 20=，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为2064=516. 故选A ．【名师点睛】对利用排列、组合计算古典概型的问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题，再根据古典概型的概率计算公式可求解．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案） 【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有34C 4=种选法， 从6名学生中任意选3人有36C 20=种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种. 故答案为：16．【名师点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多、至少问题时多采用间接法，即利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有2名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解．【命题意图】1.考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能力．2.考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力．【命题规律】1.排列、组合问题一般以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类和分步计数原理，也可能与古典概型相结合进行考查.2.高考对二项式定理的考查主要是利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型一般为选择题、填空题.【答题模板】1.求解排列、组合问题，一般步骤如下：第一步：分清分类和分步；第二步：分清排列与组合，确定解题方向，根据问题有序和无序，确定是排列问题还是组合问题；第三步：正确应用公式运算求解.2.求解二项式问题，一般步骤如下：第一步：首先求出二项展开式的通项；第二步：根据已知求r；第三步：得出结论.【方法总结】1.解排列、组合综合应用问题的思路：解排列、组合综合应用问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手，“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决.2.排列问题与组合问题的识别方法：若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关；若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关.3.解排列、组合题的“24字方针，12个技巧”：（1）“24字方针”是解排列、组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．（2）“12个技巧”是速解排列、组合题的捷径．即：①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少(多)问题间接法；⑩选排问题先取后排法；⑪局部与整体问题排除法；⑫复杂问题转化法．4.熟记二项式定理及通项：011*()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+∈N 叫做二项式定理，1C k n k kk n T ab -+=为展开式的第1+k 项． 5.活用二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C C m n mn n -=.（2）增减性与最大值：二项式系数为C kn ，当21+<n k 时，二项式系数是递增的；当21+≥n k 时，二项式系数是递减的，当n 是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． （3）各二项式系数的和：n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2，即012C C C C 2n nn n n n +++⋅⋅⋅+=.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02131C C C C 2n n n n n -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=. 6.求展开式系数的最大项：如求()(,)na bx ab +∈R 的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项的系数分别为121,,,+⋅⋅⋅n A A A ，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧≥≥+-11k kk k A A A A 从而解出k 来，即得．7.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nb ax +、2()(,,)nax bx c a b c ++∈R 的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令1=x 即可；对形如()nby ax +的式子，求其展开式各项系数之和，只需令1==y x 即可．8.若nn x a x a x a a x f +⋅⋅⋅+++=2210)(，则)(x f 展开式中各项系数之和为)1(f ，奇数项系数之和为2)1()1(420-+=⋅⋅⋅+++f f a a a ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=⋅⋅⋅+++f f a a a .注意：某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与b a ,的取值有关，而二项式系数与b a ,的取值无关．1．【河南省洛阳市2020届高三第三次统一考试数学（理)试题】5(21)(x x++的展开式中3x 系数为 A ．180 B ．90 C ．20 D ．10【答案】A【解析】5(x展开式通项公式352153r r r r T C x -+=， 其各项次数依次为7155,,2,,1,222--, 所以3x 的系数是21x +的一次项系数2乘以5(x+展开式的2x 的系数. 由5(x展开式通项公式352153r r r r T C x -+=知3522r-= 解得2r，所以3x 系数为22523=180C ⨯. 故选A .【名师点睛】本题考查二项式定理，考查分类讨论的数学思想以及赋值法的应用.利用5(x+展开式通项公式352153rr rr TC x-+=即可得解.求解形如()()++n ma b c d 的展开式问题的思路：(1)若n m ，中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如222+++()()()(2)++m m a b c d a ab b c d ＝，然后展开分别求解．(2)观察()(++)a b c d 是否可以合并，如5752252()()[()()1+1]()111()()11x x x x x x x ---=--=+； (3)分别得到((+))+n m a b c d ，的通项公式，综合考虑．2．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（二)数学试题】已知82a x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为112，则实数a 的值为 A ．±1 B ．1 C ．2 D ．2±【答案】A【解析】由于82a x ⎫-⎪⎭展开式中的通项公式为： ()88318822rrrr r rr r a a x x T CC --+-⎛⎫⋅-= -⎪⎝⎭=，令803rr --=，求得2r ，可得它的展开式的常数项是()2282C a -，再根据展开式中的常数项是112 ，可得()2282112a C =-，求得1a =±， 故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据展开式中的常数项是112 求得a 的值．3．【2019届福建省福州市第一中学高三5月质检（模拟）数学(理）试题】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20【答案】A【解析】由二项式定理可知：5151()(2)2rrr r T C x y -+=-；要求5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数，所以令3r =，则32323234511()(2)=10(8)2024T C x y x y x y =-⨯⨯-=-；所以5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是是-20.故答案选A.【名师点睛】本题考查二项式定理的通项公式的应用，属于基础题.利用二项式展开式的通项公式，求解所求项的系数即可.4．【2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第六次月考数学(理)试题】甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为A ．56B ．12 C ．13D ．23【答案】A【解析】∵甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相，基本事件总数n 4424A ==，甲､乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数m 422422A A A =-=20，∴甲,乙两人中至少有一人站在两端的概率为： P 205246m n ===. 故选A.【名师点睛】本题考查古典概型的概率计算，涉及排列组合，属综合基础题.利用排列组合求出所有基本事件的个数，以及满足题意的事件个数，用古典概型的概率计算公式即可求得.5．【江西省红色七校2019-2020学年高三第二次联考理科数学试题】把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有 A ．18种 B ．9种 C ．6种 D ．3种【答案】A【解析】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有C 31⋅C 31⋅C 21⋅1=18种.故答案选A.【名师点睛】本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题.先确定1号盒子的选择情况，再确定2、3、4号盒子的选择情况，根据分步计数原理即可求解.6．【四川省泸县第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题】给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选C ．【名师点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．7．【2020届福建省厦门双十中学高三上学期第二次月考数学试题】安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有 A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种【答案】C【解析】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法 其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种 B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C .【名师点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.8．【2020届山西省大同市高三模拟（3月）数学（理）试题】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有A．30种B．50种C．60种D．90种【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有1121020C C⋅=若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有11 31030C C⋅=所以共有203050+=种故选B.【名师点睛】本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.先分情况甲选牛共有1121020C C⋅=，甲选马有1131030C C⋅=，得出结果.9．【2020届广东省广州市高三3月阶段训练（一模)数学（理)试题】羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A，2A，3A和3名女生1B，2B，3B中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A和1B两人组成一队参加比赛的概率为A．19B．29C．13D．49【答案】B【解析】由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人：2233C C将选中2名女生平均分为两组：112122 C C A将选中2名男生平均分为两组：112122 C C A则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C =所以所求的概率为42189= 故选B .【名师点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以mm A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果.10．【2020届神州智达高三诊断性大联考（一）理科数学质检卷】()5221x x --的展开式中2x 的系数为A ．400B ．120C ．80D ．0【答案】D【解析】∵()525521(1)(21)x x x x --=-+，二项展开式5(1)x -的通项为55(1)r r r C x --，二项展开式5(21)x +的通项式为5555C (2)(1)(21)kk x x x --+，的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，所以8k r +=，所以展开式中2x 的系数为5253444355555553(1)2(1)2(1)0C C C C C C -+-+-=.【名师点睛】本题主要考查了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题. 变形已知为()525521(1)(21)xx x x --=-+，分别写出两个二项式展开式的通项55(1)r r r C x --，55C (2)kk x -，可知()525521(1)(21)x x x x --=-+的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，即可求解.11．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学（理）试题】若(1)x +7280128(12)x a a x a x a x -=++++，则127a a a +++的值是A ．-2B ．-3C ．125D ．-131【答案】C【解析】令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．12．【黑龙江省大庆第一中学2020届高三第三次模拟数学（理)试题】已知()512345601234567121x x a x a a x a x a x a x a x a x x -⎛⎫+--=++-++++ ⎪⎝⎭，则4a = A ．21 B ．42 C ．35- D ．210-【答案】C【解析】()()751121x x x x x -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，4a 即为()71x -展开式中4x 的系数37C 35-=-， 所以435a =-， 故选C.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．把等式左端的式子化简为()()751121x x x xx-⎛⎫+--=⎪⎝⎭，即求()71x -展开式中4x 的系数.13．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学（理）试题】已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80【答案】D【解析】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +，12a ∴+=1a551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r rr T C x --+=-，令521r -=得2r;令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选D.【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题.51(1)(2)a x x x+-中，给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．【安徽省合肥市肥东县高级中学2020届高三下学期6月调研考试数学(理)试题】5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为__________.（用数字作答） 【答案】80【解析】由二项式展开式的通项公式可得()52510315512(1)2rrrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1034r -=可得2r，则4x 的系数为22325(1)2(1)10880C -⋅⋅=-⋅⋅=.故答案为：80．【名师点睛】由二项式展开式的通项公式可得510315(1)2r r r rr T C x --+=-⋅⋅⋅，据此即可确定4x 的系数.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．15．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考（三诊）数学（理）试题】251(2)(1)x x--展开式的常数项是__________． 【答案】-8【解析】因为511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为()1511n rrr r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以展开式的常数项为()()()23523555111+21=10+2=8x C C x x ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【名师点睛】本题考查的是二项式定理的相关性质，主要考查二项式的通项的相关性质，考查对二项式的通项的灵活使用，考查计算能力与推理能力，是简单题.本题首先可以找出511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项，然后根据511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的每一项的x 的系数并将511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的每一项与22x -相乘即可找出展开式中的常数项.16．【陕西省西安中学2020届高三下学期仿真考试(一)数学(理)试题】若二项式621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213=mx dx ⎰______.【答案】124【解析】因为6621231661rrrrrr r T C C x x ---+⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以由1230r -=得2464,53r m C ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭, 因此1122335533|51=1241mx dx x dx x ⎰=⎰==-.【名师点睛】先根据二项展开式求得常数项项数，即得常数项，再根据定积分得结果. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.17．【海南省海口市第一中学2020届高三9月月考数学试题（B 卷）】在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为__________． 【答案】67【解析】从7个球里取3个球，共有 3735C =种可能的情况，全是红球的情况有344C =，全是白球的情况有331C =，将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，所以概率为33374337306357C C C C --== 【名师点睛】本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题.从7个球里取3个球，共有3735C =种可能的情况，要求既有红球又有白球，可以从反面考虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合要求的，然后再由古典概型公式，得到概率.18．【重庆市云阳江口中学校2019-2020学年高三下学期第一次月考数学（理）试题】在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答) 【答案】60【解析】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C =⨯=.故答案为60．【名师点睛】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．19．【2020届陕西省西安交大附中学南校区高三上学期期中数学(理)试题】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260【解析】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.【名师点睛】按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.。

2008年微机原理考试题目一、填空题1、PC机的构成（）、（）、（）、（）2、CPU的CS是（）3、半导体存储器包括（）、（）、（）4、PC总线包括（）、（）、（）5、8259A，同时接收（）个中断，（）方式结束中断，（）优先级高，（）优先级低6、和串口相关的中断有（）、（）7、8253定时计数器，三通道分别用作（）、（）、（）二、选择题（有些题的选项没有记下来）1、8250使用16倍频的目的？2、以下哪个属于并口（）A、打印口B、COM1C、COM2D、USB3、I/O口地址的个数？4、DMA的I/O口地址A、可以自定义B、固定口地址C、无需口地址D、00H5、DMA管理所有RAM，必须加（）A、页面寄存器B、级联……C、……D、……6、8259A可管理的中断源个数?（）个7、中断服务程序中，必须要（）？8、PC内存用（）A、FLASHB、DRAMC、SRAMD、……9、80系列CPU中，代码段由（）表示？10、RS232C是（）？A、双工同步B、双工异步C、单工同步D、单工异步三、简答题1、中断向量表的作用和物理位置？2、方式控制字和状态标志字的作用？3、PC中断的类型有哪些？4、PC机的数据传送机制？四、程序分析MOV DX,378HOUT DX,ALMOV DX,379HWAIT: IN AL,DXTEST AL,80HJZ WAITMOV DX,37AHMOV AL,0DHOUT DX,ALMOV AL,0CHOUT DX,AL解释划横线的语句，并说明整个程序的作用五、编程综合题1、用C语言编程，从串行口1（3F8H）接收异端发来的数据并显示（要求4800波特率，8位数据，1位起止位，五数据位）2、笔记上的最后一题（一模一样的）。

认识、迁移、启发——2008年全国高考数学卷江西卷第11题的思考江西临川一中 王华娇2008年全国高考数学江西卷文理科第11题，是一道概率选择题.题目取材于现实生活,新颖、亮丽,让人耳目一新.题目本身不仅突出了概率题的一般解法,综合考查了分类讨论的思想,而且题目结构有简洁的背景和深刻的内涵,是一道不可多得的好题.一、求解思路的认识、感悟11．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（ ）A ． 1801 B. 2881 C . 3601 D.4801 解:先算总的基本事件个数.先分类后分步,从前往后看①第一个数字取0、1时，第二个数字可取0、1……9共10种，第三个数字可取0、1……5共6种，第四个数字可取0、1……9共10种，由分步计数原理知共有2×10×6×10=1200种.②第一个数字取2时，第二个数字可取0、1、2、3，第三个数字可取0、1……5共6种，第四个数字可取0、1……9共10种，由分步计数原理知共有1×4×6×10=240种.由分类计数原理知总的基本事件个数有1200+240=1440种而“四个数字之和为23”时只有0+9+5+9=1+9+4+9=1+8+5+9=1+9+5+8四种，故“显示的四个数字之和为23”的概率为360114404 . 解题感悟：本题考查分类、分步计数原理以及解其综合问题的能力.由于题目情境大家都熟悉，但其选材别具一格，而限制条件又错综复杂，因此准确审题是寻找解题途径的关键，在求解总的基本事件个数时，本来是用分步计数原理的，但发现取第一个数字时2与0、1是有着不同的地位的.这时题目的求解思路清晰起来了——先分类再分步，就把较为复杂的计数问题肢解为基本计数问题.这种分而治之、各个击破的思维是教学时应重点引导学生感悟的.而在求解符合条件“四个数字之和为23”的基本事件的个数时，抓住了该题的核心——位置，有两个位置只能取小数字，两个位置可以取大数字，并且发现“四个数字之和为23”时必须要出现两个大数字，这时会发现大数字只能出现“两个9”或“一个9一个8”.这样从位置入手进行突破,不重不漏,问题迎刃而解.二、解题后的迁移、联想考完之后，一些考生反映该题运算量大，知道方法，但把握不住，在算“四个数字之和为23”时漏算了个数等.我们抓住问题的特征来分析发现并不存在上述问题.该题的解题思路应该是解这种数学问题的“通法”.它的题目类型、求解过程让我们有一种似曾相识的感觉.下面是我们的一道月考题：1.若m 、n ∈{x ︱x=a 2·102+a 1·10+a 0}.其中a i ∈{1,2,3,4,5,6}.i=0,1,2且m+n=606,则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为( )A.30B.32C.60D.62该题实质也是对位置的考察,抓住数字0的特征对它进行分步讨论,可得60个.对于这种题型的认识,并不是一开始就有的,它经历了失败多于成功的反复摸索和淘汰多于保存的手工运算,是从认识求解思路开始,经过求解思路的反思和求解思路的拓展才逐步走出问题的浅层结构的,中间有很多封闭、笨拙和错误.这道高考题看似平淡，初看很简单，但入手又发现不识庐山真面目，它放在第11题的位置，能起到把关的作用，让考生欲罢不能，对中学数学加强基础训练也能提供正确的导向.这对我们以后高考的命题趋势也有一定的借鉴作用.1.试题有一定程度的创新，如问题情境的创新、设问方式的创新，或者选择一些与现代生活有关的素材，编拟设计出一些立意新、角度好、情境浓的问题，这类考查考生的知识迁移能力的试题为我们今后的高考命题提供了很好的素材范例.2.在本题的设计中分类讨论的思想规律有很好的体现,它体现了在问题探索过程中寻求一般规律的方法. 注意反映了数学发展的规律，以及人的认知规律，体现从具体到抽象再到具体，特殊到一般再到特殊的规律.3.既对基础知识和基本技能进行了考查，又把它和现实生活有机地联系起来，有利于培养学生学习数学的积极性，养成用数学的思想、建立数学模型解决实际问题的习惯.三、对我们今后教学的启发1.教师必须更新观念，提高自身素质，切实提高教学质量，让学生感受、理解知识产生和发展的过程，培养学生的科学精神和创新思维的习惯,重视培养学生收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等.2.“三基”仍是高考的基调之一，数学科的考试旨在测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法.因此我们必须对知识内容的不同层次要求，全面系统地复习，切实抓住“三基”的教与学，让学生真正理解掌握，形成知识网络结构，以求融会贯通.3.考查能力是高考的基点和永恒的主题.教学中,在学好基础知识的同时,要培养学生的数学能力,如正确灵活运用数学知识、思想方法来分析、解决问题的能力，及一般的诸如注意、观察、联想等能力.4.复习选题要更新,多研究近年来的高考试题和考纲中的题型示例,特别是这些题中所体现出来的对思维能力的要求. 对在陌生的情境下如何建立数学模型,迅速找到合理的解决方案,归纳总结出数学思想.变最后的模拟练习为找感觉、练灵活、训悟性.。

初中数学竞赛《计数方法》练习题
1.图1是由数字0，1交替构成的，图2是由图1中任选三种形式组成的
图形，并在每个小方格全部加1或减1，如此反复多次形成的．问：图2中的A格上的数字是多少？
【分析】根据图4所示的6个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数，所以图1中白格中的数字之和减去黑格的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于32，即可得出A的值．
【解答】解：如下图3所示，将8×8方格黑白交替地染色（4分）
此题允许右上图4所示的6个操作，这6个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数，所以图1中白格中的数字之和减去黑格的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于32，由（31+A）﹣32＝32，得出A＝33（8分）．
【点评】此题主要考查了染色问题，得出图1中白格中的数字之和减去黑格的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于32是解题关键．。

试卷编号：（2008 至2009_ 学年第_2_学期）课程名称：程序设计语言考试时间： 110 分钟课程代码： 8422111 试卷总分： 100 分考试形式：闭卷学生自带普通计算器: 不允许一、单项选择题（每小题2分，共计20分）1. 能正确表达逻辑关系“0<a<1或0<b<1”的c语言表达式是（）。

(A) (0<a)&&(a<1)||(0<b)&&(b<1) (B) ((0<a)||(a<1))&&((0<b)||(b<1))(C) (0<a<1)&&(0<b<1) (D)(0<a<1)||(0<b<1)2．设int a=3；（）表达式的值等于0。

(A) a (B)!a || a (C) a>=a (D)a%=a3. 一个C语言的程序是由（）。

(A)一个主程序和若干个子程序组成(B)函数组成(C)若干过程组成(D)若干子程序组成4. 数组名作为函数参数进行传递时，形参获得的是（）。

(A) 该数组第一个元素的值(B)该数组所有元素的值(C) 该数组的首地址(D)该数组所有元素的地址5. 以下选项中，与k=x++;完全等价的是（）。

(A) x=x+1;k=x; (B) k=x;x=x+1;(C) k=x+1; (D) k+=x+1;6. 以下叙述中正确的是（）。

(A)在C程序中，main函数必须位于程序的最前面(B) C语言程序的每行中只能写一条语句(C) C语言本身没有输入输出语句(D)在对一个C程序进行编译的过程中，可发现注释中的拼写错误7. 有以下定义：char s[10]=“string”,*p=s;则以下各项中，不能代表字符‘r’的是（）。

(A) s[2] (B) p[2] (C) p+2 (D) *(p+2)8.已知有共用体变量data1定义如下：union data{ int i;char ch;float f;} data1;则变量data1所占的内存存储空间可表示为（）。

信息学院本科生2007 - 2008学年第二学期 数据结构期末考试试卷(A 卷)专业： _______________ 年级：________________ 学号： ________________ 姓名： _______________ 成绩：________________1.( 1分)简单队列对数据处理的方式是 _________________ 。

A.先来先服务 B.后来先服务C.先来后服务D.以上均不对2.(2分)下面哪些问题的求解应用了栈？ __________________ 。

A. 函数调用时保存函数的参数、局部变量等。

B. 检查括号匹配。

C. 图的宽度优先搜索。

D. 基于深度优先搜索的图的拓扑排序过程。

3.(2分)通过相邻元素比较-交换进行排序的算法，如插入排序、起 泡排序等，其平均时间复杂性最好只能达到 ______________ 。

A. (n) B . (nlogn) C .(n 2)D .(n 3)4.(2分)基数排序要求每阶段的排序算法是 ____________________ 。

A.稳定的 B .不稳定的C . A 、B 皆可D .以上均不对选择题(本题共25分)5.(2分)f(n)=0(n), g(n)=0(n),下面哪些等式成立？ _________________________A.f(n)+g(n) = O(n)B. f(n)-g(n) = O(n)C. f(n)/g(n) = O(1)D. f(n) = O(g(n))6.（2 分）采用Hash 技术，下面哪些操作性能不佳？ _________________A •搜索给定关键字。

B.按关键字升序排列输出所有元素。

C.删除给定关键字的元素。

D.输出关键字升序排列位于第k位的元素。

7.（4分）7个关键字的4阶B-树有几种可能的结构？ ________________A. 8B. 9C. 10D. 118.（2 分）二叉搜索树中一个节点两棵子树均非空，删除它可转换为删除____________ 或____________ 。