2020北京密云高三一模数学

2020年北京北师大密云实验中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）“sinx=”是“x=”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：C【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解：若x=满足sinx=，但x=不成立，即充分性不成立，若x=，则sinx=成立，即必要性成立，故“sinx=”是“x=”的必要不充分条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数之间的关系是解决本题的关键．2. (理科)函数在点处的切线的斜率为A．B． C．D．1参考答案：C3. 已知向量，，则（）A．B．C．D．参考答案：D由题意，所以答案A ，B 都不正确；又，且，所以答案C不正确，应选答案D。

4. 已知函数的导函数为，e为自然对数的底数，对均有成立，且，则不等式的解集是（）A. (－∞, e) B. (e,+∞) C.(－∞,2) D. (2,+∞)参考答案：D【分析】先构造函数，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】原不等式等价于，令，则恒成立，在上是增函数，又，，原不等式为，解得，故选.【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.5. 已知函数，当时,，若在区间内，有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D6. 已知、是空间不同的平面，a、b是空间不同的直线，下列命题错误的是（）A． B．C． D．参考答案：7. 等比数列中，，令，且数列的前项和为，下列式子一定成立的是（）A．B．C．D．参考答案：D8. 设函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则等于A. 13B. 5C.D.参考答案：B做出函数的图象如图，要使方程有三个不同的实数根，结合图象可知，，所以三个不同的实数解为，所以，选B.9. 已知函数：①，②，③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题是奇函数；命题在上是增函数；命题；命题的图像关于直线对称A．命题 B．命题 C．命题 D．命题参考答案：C当时，函数不是奇函数，所以命题不能使三个函数都成立，排除A,D.①成立；②成立；③成立，所以命题能使三个函数都成立，所以选C.10. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 的展开式中，的系数为．参考答案：－480从6个括号中选择2个取，选择1个取，剩余的3个取，便可得到含的项，故所求项的系数为.12. 对于实数表示不超过的最大整数，观察下列等式：参考答案：13. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．参考答案：【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，从而可求得侧面的底边长与高，故可求．【解答】解：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径R=底面中线长设BC的中点为D，连接SO∵R=6∴AD=9，∴OD=3，SD==，BC=，∴三棱锥的侧面积=×=．故答案为：14. 《左传?僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的_____________条件(将正确的序号填入空格处)．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件参考答案：①解：由题意知“无皮”?“无毛”，所以“有毛”?“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．15. 函数的最大值为 .参考答案：16. 已知A（-2，0），B（0，2），实数k是常数，M、N是圆x2+ y2+kx=0上不同的两点，P是圆x2+y2+kx=0上的动点，如果M、N关于直线x－y－1=0对称，则△PAB面积的最大值是．参考答案：略17. 已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|= ．参考答案：5【考点】平面向量的坐标运算．【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴ =x+6=0，解得x=﹣6．∴=（﹣5，5）．∴|+|==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年密云区高一模数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x =>，{}11N x x =-≤≤，则M N I =A.[1,)-+∞B. (0,1)C. (]1,0D. [0,1]2．已知复数2i1iz =+，则||z = A.1i + B. 1i - C. 2 D. 23. 设数列{}n a 是等差数列，13576, 6.a a a a ++==则这个数列的前7项和等于 A.12 B.21 C.24 D.364. 已知平面向量(4,2)=a ，(,3)x =b ，a //b ，则实数x 的值等于 A ．6 B ．1 C ．32 D ．32-5. 已知,x y ∈R ，则“x y <”是“1xy<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(,)M a b 与圆C 的位置关系是 A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能7．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为A ．51[π,π]44k k -+-+，k ∈Z B ．51[2π,2π]44k k -+-+，k ∈ZC ．51[,]44k k -+-+，k ∈ZD ．51[2,2]44k k -+-+，k ∈ZOxy第7题图18. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为 A ．8 B ．83C ．822+D ．842+9. 已知斜率为k 的直线l 与抛物线x y C 4:2=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >，则斜率k 的取值范围是A.)(,1-∞B. (,1]-∞C.()1+∞， D. [1,)+∞10. 在正方体AC 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F 与平面D 1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是 A ．点F 的轨迹是一条线段 B ．A 1F 与BE 是异面直线 C ．A 1F 与D 1E 不可能平行D ．三棱锥F -ABD 1的体积为定值二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知52()x x-的展开式中，含3x 项的系数为_______.（用数字作答）．12．双曲线221y x -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是_______．13. 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为______，第_______天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14. 函数2()=cos f x x 的最小正周期是_________，单调递增区间是_______．15. 已知函数21,0,()(2),0.x x f x f x x -⎧-=⎨->⎩≤若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是________．第8题图第10题图三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=． （Ⅰ）已知 ，计算ABC ∆的面积；请从①7a =，②2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分． （Ⅱ）求cos cos B C +的最大值．17.（本小题满分14分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到下表：卫生习惯 状况类 垃圾处理 状况类体育锻炼 状况类心理健康 状况类 膳食合理 状况类 作息规律 状况类有效答卷份数 380 550 330 410 400 430 习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立． （Ⅰ）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备2类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“=1k ξ”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“=0k ξ”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系．18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD - 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=o ，PAD ∆ 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是线段PD 和BC 的中点. （Ⅰ）求直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D AP B --的余弦值； （Ⅲ）试判断直线MN 与平面 P AB 的位置关系，并给出证明．NABCDM第18题图19.（本小题满分14分）已知函数()е(1)xf x ax =+，a ∈R ．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))M f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）判断函数()f x 的零点个数．20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为32，且过点A (0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ的中点为M ．直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系．21.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，*N a ∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b ∈*N ．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表*M ：记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j c ，其中,=+i j i j c a b (,1,2,3,)i j =L ． 记数表*M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j d ，其中,1+=-i j i j d a b(1,,)∈∈**N N i b i j ≤≤．如：1,212=+c a b ，1,213=-d a b ． （Ⅰ）设5=a ，9=b ，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；（Ⅱ）设6a =，7b =，试求,i j c ，,i j d 的表达式（用,i j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表*M ；（Ⅲ）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）参考答案及评分标准一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCBADBDDCC二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．10- 12．02±（，）；y x =± 13．16；2114．π；π[+π,π],2k k k -∈Z 15.(,3)-∞． 备注：若小题有两问，第一问3分，第二问2分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 在ABC ∆中，0πA <<，所以π3A =． 若选择①和②方法一 将7a =，2b =代入222b c a bc +-=化简得2230c c --=．所以1c =-（舍），或3c =． 因此11333sin 232222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． 方法二 由正弦定理得sin sin a bA B=， 所以72sin 32B =，因此3sin 7B =． 在ABC ∆中，因为a b >，所以A B >． 因此B 为锐角，所以2cos 7B =．所以33sin sin()sin cos cos sin 27C A B A B A B =+=+=． 因此133sin 22ABC S ab C ∆==． 若选择①和③由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径）， 所以2c b =．将7a =，2c b =代入222b c a bc +-=解得73b =． 所以273c =． 所以11727373sin 222633ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． 若选择②和③由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径）， 所以2c b =．因为2b =，所以4c =．所以113sin 2423222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）解：因为π3A =，所以2π3B C +=．所以2πcos cos cos cos()3B C B B +=+-2π2πcos coscos sin sin 33B B B =++ 31πsin cos sin()226B B B =+=+． 因为2π03B <<，所以π5π66B <<． 所以当π3B =时，cos cos B C +有最大值1.17. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“选取的这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”为事件A.有效问卷共有 380+550+330+410+400+430=2500（份），受访者中膳食合理习惯良好的人数是4000.65260⨯=人， 所以，()P A =260=0.1042500． （Ⅱ）解：记事件A 为“该区卫生习惯良好者”，事件B 为“该区体育锻炼状况习惯良好者”， 事件C 为“该区膳食合理习惯良好者”，由题意，估计可知()=0.6()=0.8()=0.65P A P B P C ，，，设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯”． 由题意知，()()()()E ABC ABC ABC ABC =U U U所以事件E 的概率所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯的概率为0.766． （Ⅲ）解：615432>D D D D D D ξξξξξξ=>>>．18．（本小题满分15分）（Ⅰ）解：取AD 中点为O ，连接OP ，OC 和AC ．因为PAD ∆为等边三角形， 所以PO OD ⊥．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥． 在菱形ABCD 中，AD CD =，60ADC ∠=o， 所以ADC ∆为正三角形，因此OC AD ⊥．以O 为原点建立空间直角坐标系，如图所示．则(0,0,0)O ，(100)A ，，，(230)B ，，，(030)C ，，，(1,0,0)D -， (0,0,3)P ，13(,0,)22M -，(1,3,0)N ． ()()()()()P E P ABC P ABC P ABC P ABC =+++=()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++=0.60.80.35+0.60.20.65+0.40.80.65+0.60.80.65⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=0.168+0.078+0.208+0.312=0.766NABC DMxyzO所以13(,3,)22CM =--u u u u r ，(1,3,0)AB =u u u r ，(1,0,3)AP =-u u u r ． 设平面PAB 的法向量()x y z =，，m ，由00.AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r ，m m 得3030.x y x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，则(3,1,1)=-m ．设直线CM 与平面PAB 所成角为θ，则有||315sin |cos ,|.10||||25CM CM CM θ⋅=<>===⋅⨯u u u u ru u u u r u u u ur m m m 所以直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值为1510． （Ⅱ）解：因为,OC AD OC PO ⊥⊥，所以OC ⊥平面P AD ．所以(0,3,0)OC =u u u r是平面P AD 的法向量，则有35cos ,5||||53OC OC OC ⋅-<>===-⋅⋅u u u r u u u ru u u r m m m ，因为二面角B AP D --的平面角为钝角， 所以二面角B AP D --的余弦值为55-． （Ⅲ）解：结论MN //平面PAB ．因为33(,3,)22MN =-u u u u r ， 所以3333(1)()1022MN =⨯+⨯-+-⨯=u u u u r g m ． 因此MN ⊥u u u u rm ．又因为直线MN ⊄平面PAB ， 所以MN //平面PAB ．19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为()()e1xf x ax =+，x ∈R ，所以()'()e1xf x ax a x =++∈R ，．'(0)1k f a ==+，又因为(0)1f =，所以切线方程为=(+1)1y a x +.（Ⅱ）解：因为()'()e 1xf x ax a x a =++∈∈R R ，，，（1）当0a =时因为'()e 0,xf x x =>∈R ，所以()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间. （2）当0a ≠时令'()0f x =，则11x a=--． ① 当0a >时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：x 1()a -∞，-1- 11a -- 1(1,)a--+∞'f x （） — 0 + f x （）↘↗所以()f x 的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞． ②当0a <时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：x1()a-∞，-1-11a --1(1,)a--+∞'f x （） + 0 — f x （）↗↘所以()f x 的单调增区间是1()a-∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． 综上所述，当0a =时，()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，()f x的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间是1()a -∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． （Ⅲ）解：方法一因为()()e1,xf x ax x =+∈R ，所以令()0f x =，得10ax +=.（1）当0a =时，方程无解，此时函数()f x 无零点； （2）当0a ≠时，解得1x a=-， 此时函数()f x 有唯一的一个零点.综上所述，当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点. 方法二（1）当0a =时 因为()e 0xf x =>，所以函数()f x 无零点；（2）当0a >时因为10a <-1-，(0)10f =>，()f x 在区间1(1,)a--+∞单调递增， 所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+<--+=-<，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+<．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a >时，()f x 有且仅有唯一的零点． （3）当0a <时因为111(1)е()0a f a a ----=->，111(1)е0a f a a--=<， 并且()f x 在区间1(1,)a --+∞单调递减，所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+>--+=->，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+>．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a <时，()f x 有且仅有唯一的零点．综上所述：当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点.21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得2221,3,2.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）解：方法一 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ，则00x ≠，01y ≠± ，并且220014x y +=， 0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --． 所以00000000(,1)(,1)2(1)22(1)x x x y MD y y y y =---=----u u u u r ． 因为00(,)2x MO y =--u u u u r ， 所以000000()(1)2(1)2x y x MD MO y y y =⨯-++-u u u u r u u u u r g 200000(1)4(1)x y y y y =-⨯++-． 因为220014x y +=，所以220014x y =-． 所以200000(1)(1)01y MD MO y y y y =--⨯++=-u u u u r u u u u r g ． 因此MD MO ⊥u u u u r u u u u r ．所以点M 在以OD 为直径的圆上． 方法二 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ，则220014x y +=，并且0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --． 设E 为线段OD 的中点，则001(,)4(1)2x E y --． 所以2ME =2200001()()4(1)22x x y y -++-=22200020(21)1()16(1)2x y y y -++-． 设以OD 为直径的圆的半径为r ，则222020116(1)4x r OE y ==+- ． 所以22222200002200(21)11()16(1)16(1)42x x y r ME y y y --=-+-+-- 222000020()11()4(1)42x y y y y -=⨯+-+- 因为220014x y +=，所以220014x y =-． 所以22222000020()11(1)()0(1)42y y r ME y y y --=-⨯+-+=-． 因此||r ME =． 所以点M 在以OD 为直径的圆上．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，数列{}n a 的通项公式为55=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为99=-n b n ．得，,(55)(99)5914=-+-=+-i j c i j i j ，则2,650=c ，396,62020=c ． 得，,(55)[9(1)9]595=--+-=--i j d i j i j ，则2,649=-d ． （Ⅱ）证明：已知6a =，7b =，得数列{}n a 的通项公式为66=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为77=-n b n ．所以，,6(1)7(1)6713=-+-=+-i j c i j i j ，,∈∈**N N i j ． 所以，,(66)[7(1)7]676i j d i j i j =--+-=--，17,,∈∈**N N i i j ≤≤． 所以，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ．若*t M ∈，则存在,6,∈∈*N N u u v ≤，使67=-t u v ．因此，对于整数t ，考虑集合0{|6,,6}==-∈N M x x t u u u ≤，即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}-t ．下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6．又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为126,6--t u t u ，其中1212,,6∈<N u u u u ≤．则这两个元素的差为7的倍数，即21126(6)6()---=-t u t u u u ．所以120-=u u ，与12u u <矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为0006,,6-∈N t u u u ≤．则存在∈Z s ，使00067,,6t u s u u -=∈N ≤，即00067,,6,=+∈∈N Z t u s u u s ≤． 由已证可知，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ．而t M ∉，所以s 为负整数，设v s =-，则*N v ∈，且00067,,6,=-∈∈*N N t u v u u v ≤． 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ∉，则*t M ∈成立． （Ⅲ）解：下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ∉．假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈．则对于整数t ，存在,∈∈N N n m ，,6,∈∈*N N u u v ≤，使6767=-=+t u v n m 成立．整理，得6()7()u n m v -=+．又因为∈N m ，∈*N v ，所以7()06-=+>u n m v 且u n -是7的倍数． 因为,6∈N u u ≤，所以6-u n ≤，所以矛盾，即假设不成立．所以，对于整数t ，若*t M ∈，则t M ∉．又由第二问，对于整数t ，t M ∉，则*t M ∈．所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值．又因为67,,6*N,N t u v u v u =-∈∈≤， 所以*max max ()667129t M ==⨯-⨯=．。

2020-2021北京市密云县新城子中学高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．c a b << D ．c b a <<2．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<3．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)6．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( )A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．函数ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 9．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C．(D．)210．已知3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<11．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．4二、填空题13．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值为____________.14．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______.15．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 16．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________ 17．函数()()4log 5f x x =-+________.18．若函数()()()()22,0,0x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()1f g -=________．19．已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0xf x k -=的所有根的和的最大值是_______.20．已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知全集U =R ，集合{|25},{|121}M x x N x a x a =-=++剟剟. （Ⅰ）若1a =，求()R M N I ð；（Ⅱ）M N M ⋃=，求实数a 的取值范围.23．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 24．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 25．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）．（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．26．已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤. (Ⅰ)若3m =，求U C B 和A B U ； (Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小． 【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ，c a b ∴<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.3．C解析：C【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．4．A解析：A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f (x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行5．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小，即()23141a a -⨯-≤，然后列不等式可解出实数a 的取值范围． 【详解】由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数， 则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <； 且有()23141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25a ≥， 因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A. 【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致； （2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．7．C解析：C 【解析】 分析：讨论函数ln x y x=性质，即可得到正确答案.详解：函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ，ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q （）（）， ∴排除B ，当0x >时，2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故排除A,D ， 故选C ．点睛：本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用．8．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立；∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.9．D解析：D 【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数，且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解， 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f (−2)=f (2)=3，则对于函数y =()log 2a x +，由题意可得，当x =2时的函数值小于3，当x =6时的函数值大于3，即4a log <3,且8a log >3,34a <2， 故答案为34,2).点睛：方程根的问题转化为函数的交点，利用周期性，奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由对数函数的性质可知343333log 2log 34a =<=<， 由指数函数的性质0.121b =>，由三角函数的性质00000sin 789sin(236069)sin 69sin 60c ==⨯+=>，所以3c ∈， 所以a c b <<，故选B.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增， 且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->， 由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =， 故选：B.本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.二、填空题13．或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案：或解析：12或32 【解析】 【分析】 【详解】若01a <<，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递减，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又01a <<，故12a =．若1a >，∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递增，所以2max min (),()f x a f x a ==，由题意得22a a a -=，又1a >，故32a =． 答案：12或3214．【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为：【点睛】本 解析：()0,1【解析】 【分析】令()0f x =，可得1mx x =-，从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点，作出图形，可求出答案.由题意，令()10f x mx x =--=，则1mx x =-， 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点， 作出1y x =-的图象，如下图，y mx =是过点()0,0O 的直线，当直线斜率()0,1m ∈时，y mx =和1y x =-的图象有两个交点. 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查函数零点问题，考查函数图象的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇 解析：[2015,2019]【解析】 【分析】由函数()f x 是偶函数，求出a ，这样可求得集合D ，得b 的取值范围，从而可得结论． 【详解】∵函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，∴()()f x f x -=，即1122b bx a a x a a ---+-=--+-， x a x a -=+，平方后整理得0ax =，∴0a =，∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤， 由b D ∈，得20b -≤≤． ∴22015201532019a b ≤-+≤． 故答案为：[2015,2019]．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查解一元二次不等式．解题关键是由函数的奇偶性求出参数a ．16．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般解析：1(,0)4-【解析】 【分析】令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】令20x t =>,则方程化为:20t t a --=Q 方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,1212140100a x x x x a ∆=+>⎧⎪∴+=>⎨⎪⋅=->⎩,解得:104a -<<.故答案为: 1(,0)4-. 【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.17．【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题；常见的形式有：1分式函数分母不能为0；2偶次 解析：[)0,5【解析】 【分析】根据题意，列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩，解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义， 需满足50210xx ->⎧⎨-≥⎩，解得05x <≤，即函数的定义域为[)0,5， 故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数tan y x =，需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等，当同时出现时，取其交集.18．【解析】根据题意当时为奇函数则故答案为 解析：15-【解析】根据题意，当0x <时，()()(),f x g x f x =为奇函数，()()()()()()()()()211113(323)15f g f f f f f f f -=-=-=-=-=-+⨯=-，则故答案为15-.19．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时解析：5 【解析】 【分析】将2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩同时设4()()x f x g x =，可得()g x 的函数解析式，可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大，可得答案. 【详解】解：由2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩可得：2,01,1()2,12,412,23,16x x xx f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩设4()()xf xg x =，8,01,1()8,12,418,23,16x x xx g x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩由()g x 函数的性质与图像可得，当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大， 此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =， 当12x <≤时，21848x ⨯=，253x =， 当23x <≤时，318816x ⨯=，373x =，此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=， 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.20．【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得；当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为：【点解析：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质，可得值域，讨论1a >，01a <<两种情况，即可得到所求a 的范围． 【详解】函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，当01a <<时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递减，可得()22222a f x a a +<<++，()f x 的值域为[)3,+∞，可得223a +≥，解得112a ≤<； 当1a >时，2x ≤时，()53f x x =-≥，2x >时，()22xf x a a =++递增，可得()2225f x a a >++>，则()f x 的值域为[)3,+∞成立，1a >恒成立． 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法，注意运用数形结合和分类讨论的思想方法，考查推理和运算能力，属于中档题．三、解答题21．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m << 【解析】 【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值． 【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =. 函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.(2)由(1)可知()()()221log log 117x mf x x x x +=>---，[]2,6x ∈，所以()()10117x mx x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立.当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =.所以07m <<. 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．22．（Ⅰ）(){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤（Ⅱ）2a ≤ 【解析】 【分析】（Ⅰ）1a =时，化简集合B ,根据集合交集补集运算即可（Ⅱ）由M N M ⋃=可知N M ⊆，分类讨论N =∅，N ≠∅即可求解.【详解】（Ⅰ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，{|2R C N x x =<或}3x > .故 (){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤. （Ⅱ）,M N M ⋃=QN M ∴⊆当N =∅时，121a a +>+，即0a <； 当N ≠∅时，即0a ≥.N M ⊆Q ，12215a a +≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤. 综上：2a ≤. 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题.23．（1）()24xxg x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,xxa a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3xf x =，且(2)18f a +=∴⇒∵∴（2）法一：方程为令，则144t ≤≤- 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+，y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解． 法二： 方程为，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦1=1-40413{0416(4)012b b f b f b ∆>⇒<⎛⎫∴≤⇒≥⎪⎝⎭≤⇒≥- 解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错． 24．(1)78;(2)221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩,N x ∈,9天. 【解析】 【分析】（1）由题意得第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),从而求得P ；（2）由题意得221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈. 求出分段函数取得最小值时，对应的x 值，即可得答案. 【详解】(1)第6天后剩余配料为(86)200400-⨯=(千克),所以3(85)6040078200P ⨯-=+⨯=; (2)当6x ≤时,200109021090y x x x =++=+,当6x >时,23(5)2009060200(6)3167240200x y x x x x -=+++⋅⋅-=++, 所以221090,063167240,6x x y x x x +≤≤⎧=⎨++>⎩其中N x ∈.设平均每天支付的费用为()f x 元, 当06x ≤≤时,2109090()210x f x x x+==+, ()f x 在[0,6]单调递减,所以min ()(6)225f x f ==;当6x >时,2316724080()3167x x f x x x x ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭, 可知()f x 在(0,45)单调递减,在(45,)+∞单调递增, 又8459<<,(8)221f =,2(9)2203f =,所以min 2()(9)2203f x f == 综上所述,该厂9天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少. 【点睛】本题考查构建函数模型解决实际问题、函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对勾函数图象的应用. 25．（1）=**2,04,{15,420,82x x N x x x N <≤∈-+≤≤∈（2）当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米． 【解析】 【分析】 【详解】（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； 当420x <≤时，设，显然在[4,20]是减函数，由已知得200{42a b a b +=+=，解得18{52a b =-=故函数=**2,04,{15,420,82x x N x x x N <≤∈-+≤≤∈（2）依题意并由（1）可得*2*2,04,{15,420,.82x x x N x x x x N <≤∈-+≤≤∈ 当04x ≤≤时，为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=；当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==．所以，当020x <≤时，的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．26．（Ⅰ）{05},{35}U A B x x C B x x x ⋃=≤≤=或（Ⅱ）02m ≤≤ 【解析】 【分析】（Ⅰ）由3m =时，求得集合{04},{35}A x x B x x =≤≤=≤≤，再根据集合的并集、补集的运算，即可求解；（Ⅱ）由题意，求得{04},{2}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+，根据B A ⊆，列出不等式组，即可求解。

2020年高考数学一模试卷一、选择题(共10题)1．已知集合M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣l≤x≤1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，+∞）B．（0，1）C．（0，1]D．[0，1]2．已知复数z＝，则|z|＝（）A．l+i B．1﹣i C．D．23．设数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5＝6，a7＝6．则这个数列的前7项和等于（）A．12B．21C．24D．364．已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣5．已知x，y∈R，则“x＜y”是“＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．如果直线ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1相交，则点M（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上B．点M在圆C外C．点M在圆C内D．上述三种情况都有可能7．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8B．C．8+2D．8+49．已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），则斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）10．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值二、填空题11．已知的展开式中，含x3项的系数为（用数字作答）．12．双曲线y2﹣x2＝1的焦点坐标是，渐近线方程是．13．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14．函数f（x）＝cos2x的最小正周期是，单调递增区间是15．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2﹣a2＝bc．（I）已知_______，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题（I）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．（Ⅱ）求cos B+cos C的最大值．17．在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到如表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．（I）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“ξk＝1”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“ξk＝0”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点．（I）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D﹣AP﹣B的余弦值；（Ⅲ）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明．19．已知函数f（x）＝e x（ax+1），a∈R．（I）求曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M．直线AM与直线y＝﹣l交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．21．设等差数列{a n}的首项为0，公差为a，a∈N*；等差数列{b n}的首项为0，公差为b，b∈N*．由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M*：记数表M中位于第i行第j列的元素为c i，j，其中c i，j＝a i+b j（i，j＝1，2，3，…）．记数表M*中位于第i行第j列的元素为d i，j，其中d i，j＝a i﹣b j+1．（1≤i≤b，i∈N*，j∈N*）．如：c1，2＝a1+b2，d l，2＝a1﹣b3．（I）设a＝5，b＝9，请计算c2，6，c396，6，d2，6；（Ⅱ）设a＝6．b＝7，试求c i，j，d i，j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M*；（Ⅲ）设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣l≤x≤1}，则M∩N＝（）A．[﹣1，+∞）B．（0，1）C．（0，1]D．[0，1]【分析】进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|x＞0}，N＝{x|﹣l≤x≤1}，∴M∩N＝（0，1]．故选：C．2．已知复数z＝，则|z|＝（）A．l+i B．1﹣i C．D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得z，进而求得结论．解：因为复数z＝＝＝i（1﹣i）＝1+i；∴|z|＝＝；故选：C．3．设数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5＝6，a7＝6．则这个数列的前7项和等于（）A．12B．21C．24D．36【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的前7项和．解：∵数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5＝6，a7＝6．∴，解得a1＝0，d＝1，∴这个数列的前7项和为：＝21．故选：B．4．已知平面向量＝（4，2），＝（x，3），∥，则实数x的值等于（）A．6B．1C．D．﹣【分析】利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．解：向量＝（4，2），＝（x，3），若∥，可得12＝2x，解得x＝6．故选：A．5．已知x，y∈R，则“x＜y”是“＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“x＜y”与“＜1”相互推不出，与y的正负有关，即判断出关系．解：“x＜y”与“＜1”相互推不出，与y的正负有关，∴“x＜y”是“＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．如果直线ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1相交，则点M（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上B．点M在圆C外C．点M在圆C内D．上述三种情况都有可能【分析】由直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于半径，转化为点M（a，b）到圆心的距离大于半径得答案．解：∵直线ax+by＝1与圆C：x2+y2＝1相交，∴圆心（0，0）到直线ax+by＝1的距离d＝＜1，即＞1．也就是点M（a，b）到圆C的圆心的距离大于半径．即点M（a，b）与圆C的位置关系是点M在圆C外．故选：B．7．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【分析】图象上给出半个周期的长度，由此可以求出最高点、曲线和x轴交点的横坐标，即可看出增减区间．解：本题采用赋值法如图所示，此图象在x轴负半轴与x轴相交的点为﹣，x轴负半轴最高点对应的横坐标为﹣，x轴正半轴与中点为，所以我们所能看到的图象上对称的特殊点的横坐标分别为﹣，﹣，﹣，，，，增区间里面没有π，所以A、B答案错．C答案：当k＝1时，区间为（﹣，）为此函数的减区间，D答案：当k＝0时，区间为（﹣，﹣）为此函数的增区间．故选：D．8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．8B．C．8+2D．8+4【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，（该题中的三视图要转换角度来看）如图所示：所以：＝8+4，故选：D．9．已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），则斜率k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：y＝kx+b，与抛物线方程联立，由△＞0得kb＜1，利用韦达定理结合已知条件得b＝，m＝，代入上式即可求出k的取值范围．解：设直线l的方程为：y＝kx+b，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y得：k2x2+（2kb﹣4）x+b2＝0，∴△＝（2kb﹣4）2﹣4k2b2＞0，∴kb＜1，且，，y1+y2＝k（x1+x2）+2b＝，∵线段AB的中点为M（1，m）（m＞0），∴＝2，，∴b＝，m＝，∵m＞0，∴k＞0，把b＝代入kb＜1，得2﹣k2＜1，∴k2＞1，∴k＞1，故选：C．10．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A．点F的轨迹是一条线段B．A1F与BE是异面直线C．A1F与D1E不可能平行D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值【分析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，以及体积公式分别进行判断．解：对于A．设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．∴A正确．对于B．∵平面A1MN∥平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，∴B正确．对于C，由A知，平面A1MN∥平面D1AE，∴A1F与D1E不可能平行，∴C错误．对于D，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以D正确；故选：C．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．已知的展开式中，含x3项的系数为﹣10（用数字作答）．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x3的系数．解：展开式的通项公式为，令5﹣2r＝3，解得r＝1，所以展开式中含x3的系数为．故答案为：﹣10．12．双曲线y2﹣x2＝1的焦点坐标是（0，），渐近线方程是y＝±x．【分析】通过双曲线的标准方程，求解c，，即可得到所求的结果．解：双曲线y2﹣x2＝1，可得a＝1，b＝1，则c＝，所以双曲线的焦点坐标是（0，），渐近线方程为：y＝±x．故答案为：（0，）；y＝±x．13．在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为8，第22天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．【分析】由题意得出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此能求结果．解：某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为a4＝1×23＝8，＝127，解得n＝7，∴第7+15＝22天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：8，22．14．函数f（x）＝cos2x的最小正周期是π，单调递增区间是[kπ+，kπ+π]，k∈Z 【分析】化简函数的表达式，利用余弦函数的图象和性质求解即可．解：∵函数f（x）＝cos2x＝cos2x+，∴可得最小正周期T＝＝π，令2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，k∈Z，可得kπ+≤x≤kπ+π，k∈Z，可得单调递增区间是[kπ+，kπ+π]，k∈Z．故答案为：π，[kπ+，kπ+π]，k∈Z．15．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，3）．【分析】由函数f（x）的解析式画出函数的图象，再画y＝x+a的图象，求出一个交点时的a的值，然后平行移动可得有两个交点时的a的范围．解：函数f（x）的图象如图所示：方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，当过（0，3）点时两个函数有一个交点，即y＝a，时与函数f（x）有一个交点，向下平移后有两个交点，可得a＜3，故答案为：（﹣∞，3）．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2﹣a2＝bc．（I）已知_______，计算△ABC的面积；请从①a＝，②b＝2，③sin C＝2sin B这三个条件中任选两个，将问题（I）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．（Ⅱ）求cos B+cos C的最大值．【分析】（Ⅰ）选②b＝2，③sin C＝2sin B．可得c＝2b＝4，结合b2+c2＝a2+bc，求得A＝．即可．若选①a＝，②b＝2．由b2+c2＝a2+bc可得c＝3由b2+c2＝a2+bc，求得A＝．即可．若选①a＝，③sin C＝2sin B，可得c＝2b，又b2+c2＝a2+bc，可得b＝，c＝即可；（Ⅱ）cos B+cos C＝cos B+cos[π﹣（B+）]＝cos B﹣cos（B+）＝cos B﹣+＝＝sin（B+）≤1即可．解：（Ⅰ）若选②b＝2，③sin C＝2sin B．∵sin C＝2sin B，∴c＝2b＝4，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝，又∵A∈（0，π），∴A＝．∴△ABC的面积S＝．若选①a＝，②b＝2．由b2+c2＝a2+bc可得c＝3，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A ＝，又∵A∈（0，π），∴A ＝．∴△ABC的面积S ＝＝．若选①a ＝，③sin C＝2sin B∵sin C＝2sin B，∴c＝2b，又b2+c2＝a2+bc，∴b2+4b2＝7+2b2，可得b ＝，c ＝∴△ABC的面积S ＝＝．（Ⅱ）∵A ＝．∴cos B+cos C＝cos B+cos[π﹣（B +）]＝cos B﹣cos（B +）＝cos B ﹣+＝＝sin（B +）∵，∴sin（B +）≤1，故cos B+cos C的最大值为1．．17．在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到如表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．（I）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“ξk＝1”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“ξk＝0”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（k＝1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【分析】（I）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A，根据古典概型求出即可；（II）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A，B，C，设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“，则P（E）＝P（AB）+P（A C）+P（BC）+P（ABC），求出即可；（III）根据题意，写出即可．解：（I）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A，有效问卷共有380+550+330+410+400+430＝2500（份），其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400×0.65＝260人，故P（A）＝＝0.104；（II）设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A，B，C，根据题意，可知P（A）＝0.6，（B）＝0.8，P（C）＝0.65，设事件E为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“则P（E）＝P（AB）+P（A C）+P（BC）+P（ABC）＝P（A）P（B）P（）+P（A）P（）P（C）+P（）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）＝0.6×0.8×0.35+0.6×0.2×0.65+0.4×0.8×0.65+0.6×0.8×0.65＝0.168+0.078+0.208+0.312＝0.766；（III）Dξ6＝Dξ1＞Dξ5＞Dξ4＞Dξ3＞Dξ2．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点．（I）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D﹣AP﹣B的余弦值；（Ⅲ）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明．【分析】取AD中点O，连接OC，则OC⊥AD，再由已知证明OP⊥平面ABCD，以O 为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB的一个法向量．（Ⅰ）求出的坐标，由与所成角的余弦值可得直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣AP﹣B的余弦值；（Ⅲ）求出的坐标，由，结合MN⊄平面PAB，可得直线MN∥平面PAB．解：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形．取AD中点O，连接OC，则OC⊥AD，∵△PAD为等边三角形，∴OP⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），D（0，1，0），C（，0，0），B（，﹣2，0），P（0，0，），M（0，，），N（，﹣1，0）．，，设平面PAB的一个法向量为．由，取y＝，得．（Ⅰ）证明：，设直线CM与平面PAB所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，即直线CM与平面PAB所成角的正弦值为；（Ⅱ）解：设平面DAP的一个法向量为，由cos＜＞＝，得二面角D﹣AP﹣B的余弦值为﹣；（Ⅲ）解：∵，∴，又MN⊄平面PAB，∴直线MN∥平面PAB．19．已知函数f（x）＝e x（ax+1），a∈R．（I）求曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）判断函数f（x）的零点个数．【分析】（I）设曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线的斜率为k，可求得k＝f′（0）＝a+1，f（0）＝1，利用直线的点斜式方程即可求得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）＝e x（ax+a+1），分a＝0时，a＞0，a＜0三类讨论，即可求得各种情况下的f（x）的单调区间为；（Ⅲ）分a＝0与a≠0两类讨论，即可判断函数f（x）的零点个数．解：（I）∵f（x）＝e x（ax+1），∴f′（x）＝e x（ax+1）+ae x＝e x（ax+a+1），设曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线的斜率为k，则k＝f′（0）＝e x（ax+1）+ae x＝e0（a+1）＝a+1，又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程为：y﹣1＝（a+1）x，即（a+1）x ﹣y+1＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）＝e x（ax+a+1），故当a＝0时，f′（x）＝e x＞0，所以f（x）在R上单调递增；当a＞0时，x∈（﹣∞，﹣），f′（x）＜0；x∈（﹣，+∞），f′（x）＞0；∴f（x）的递减区间为（﹣∞，﹣），递增区间为（﹣，+∞）；当a＜0时，同理可得f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣），递减区间为（﹣，+∞）；综上所述，a＝0时，f（x）单调递增为（﹣∞，+∞），无递减区间；当a＞0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，﹣），递增区间为（﹣，+∞）；当a＜0时，f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣），递减区间为（﹣，+∞）；（Ⅲ）当a＝0时，f（x）＝e x＞0恒成立，所以f（x）无零点；当a≠0时，由f（x）＝e x（ax+1）＝0，得：x＝﹣，只有一个零点．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M．直线AM与直线y＝﹣l交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．【分析】（I）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可得到椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0），则M（，y0），求出直线AM的方程，进而求出点N的坐标，再利用中点坐标公式得到点D的坐标，下面结合点P在椭圆C上证出＝0，所以点M在以OD为直径的圆上．解：（I）由题意可知，，解得，∴椭圆C的标准方程为：；（Ⅱ）设点P（x0，y0），则M（，y0），∴直线AM的斜率为，∴直线AM的方程为：y＝x+1，令y＝﹣1得，x＝，∴点N的坐标为（，﹣1），∴点D的坐标为（，﹣1），∴＝（，y0）•＝，又∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，，∴＝1﹣+y0＝1﹣（1+y0）+y0＝0，∴点M在以OD为直径的圆上．21．设等差数列{a n}的首项为0，公差为a，a∈N*；等差数列{b n}的首项为0，公差为b，b∈N*．由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M*：记数表M中位于第i行第j列的元素为c i，j，其中c i，j＝a i+b j（i，j＝1，2，3，…）．记数表M*中位于第i行第j列的元素为d i，j，其中d i，j＝a i﹣b j+1．（1≤i≤b，i∈N*，j∈N*）．如：c1，2＝a1+b2，d l，2＝a1﹣b3．（I）设a＝5，b＝9，请计算c2，6，c396，6，d2，6；（Ⅱ）设a＝6．b＝7，试求c i，j，d i，j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M*；（Ⅲ）设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．【分析】（Ⅰ）将a＝5，b＝9代入，可求出a n，b n，可代入求c i，j，d i，j，可求结果．（Ⅱ）可求c i，j，d i，j，通过反证法证明，（Ⅲ）可推出t∉M，t∈M*，t的最大值，就是集合M*中元素的最大值，求出．解：（1）由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝5n﹣5；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝9n﹣9，得c i，j＝a i+b j＝（5i﹣5）+（9i﹣9）＝5i+9j﹣14，则c2，6＝50，c396，6＝2020，得d i，j＝a i﹣b j+1＝（5i﹣5）﹣[9（j+1）﹣9]＝5i﹣9j﹣5，故d2，6＝﹣49．（2）证明：已知a＝6．b＝7，由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝6n﹣6；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝7n﹣7，得c i，j＝a i+b j＝（6i﹣6）+（7i﹣7）＝6i+7j﹣13，i∈N*，j∈N*）．得d i，j＝a i﹣b j+1＝（6i﹣6）﹣[7（j+1）﹣7]＝6i﹣7j﹣6，1≤i≤7，i∈N*，j∈N*）．所以若t∈M，则存在u∈N，v∈N，使t＝6u+7v，若t∈M*，则存在u∈N，u≤6，v∈N*，使t＝6u﹣7v，因此，对于正整数t，考虑集合M0＝{x|x＝t﹣6u，u∈N，u≤6}，即{t，t﹣6，t﹣12，t﹣18，t﹣24，t﹣30，t﹣36}．下面证明：集合M0中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合M0中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合M0中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合M0中共有7个元素，所以集合M0中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为t﹣6u1，t﹣u2，其中u1，u2∈N，u1＜u2≤6．则这两个元素的差为7的倍数，即（t﹣u2）﹣（t﹣6u1）＝6（u1﹣u2），所以u1﹣u2＝0，与u1＜u2矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合M0中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为t﹣6u0，u0≤6，u0∈N，则存在s∈Z，使t﹣6u0＝7s，u0∈N，u0≤6，即t＝6u0+7s，u0∈N，s∈Z，由已证可知，若t∈M，则存在u∈N，v∈N，使t＝6u+7v，而t∉M，所以S为负整数，设V＝﹣s，则v∈N*，且t＝6u0﹣7v，u0∈N，u0≤6，v∈N*，所以，当a＝6，b＝7时，对于整数t，若t∉M，则t∈M*成立．（Ⅲ）下面用反证法证明：若对于整数t，t∈M*，则t∉M，假设命题不成立，即t∈M*，且t∈M．则对于整数t，存在n∈N，m∈N，u∈N，u≤6，v∈N*，使t＝6u﹣7v＝6n+7m成立，整理，得6（u﹣n）＝7（m+v），又因为m∈N，v∈N*，所以u﹣n＝（m+v）＞0且u﹣n是7的倍数，因为u∈一、选择题，u≤6，所以u﹣n≤6，所以矛盾，即假设不成立．所以对于整数t，若t∈M*，则t∉M，又由第二问，对于整数t∉M，则t∈M*，所以t的最大值，就是集合M*中元素的最大值，又因为t＝6u﹣7v，u∈N，v∈N*，u≤6，所以t max＝（M*）max＝6×6﹣7×1＝29．。

2020年北京市密云区高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合{|0}M x x =>，{|1}N x l x =-，则(M N = )A ．[1-，)+∞B ．(0,1)C ．(0，1]D ．[0，1]2．（4分）已知复数21iz i=+，则||(z = ) A ．l i +B ．1i -C ．2D ．23．（4分）设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =．则这个数列的前7项和等于()A ．12B ．21C ．24D ．364．（4分）已知平面向量(4,2)a =，(,3)b x =，//a b ，则实数x 的值等于( ) A ．6B ．1C ．32D ．32-5．（4分）已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（4分）如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(,)M a b 与圆C 的位置关系是()A ．点M 在圆C 上B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内D ．上述三种情况都有可能7．（4分）函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为( )A ．51[,],44k k k Z ππ-+-+∈B ．51[2,2],44k k k Z ππ-+-+∈C ．51[,],44k k k Z -+-+∈D ．51[2,2],44k k k Z -+-+∈8．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为( )A ．8B ．83C ．822+D ．842+9．（4分）已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >，则斜率k 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(-∞，1]C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞10．（4分）在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是( )A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知52()x x-的展开式中，含3x 项的系数为 （用数字作答）．12．（5分）双曲线221y x -=的焦点坐标是 ，渐近线方程是 ．13．（5分）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为 ，第 天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14．（5分）函数2()cos f x x =的最小正周期是 ，单调递增区间是15．（5分）已知函数21,0()(2),0x x f x f x x -⎧-=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（14分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=．()I 已知 _______，计算ABC ∆的面积；请从①a ②2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题()I 补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．（Ⅱ）求cos cos B C +的最大值．17．（14分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类； （5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到如表：假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．()I 从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“1k ξ=”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“0k ξ=”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者(1k =，2，3，4，5，6)．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．18．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD ∆为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是线段PD 和BC 的中点． ()I 求直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D AP B --的余弦值；（Ⅲ）试判断直线MN 与平面PAB 的位置关系，并给出证明．19．（14分）已知函数()(1)x f x e ax =+，a R ∈．()I 求曲线()y f x =在点(0M ，(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）判断函数()f x 的零点个数．20．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3，且过点(0,1)A ．()I 求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ 的中点为M ．直线AM 与直线y l =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系．21．（14分）设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，*a N ∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，*b N ∈．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表*:M记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j c ，其中,(i j i j c a b i =+，1j =，2，3，)⋯． 记数表*M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j d ，其中,1i j i j d a b +=-．(1i b ，*i N ∈，*)j N ∈．如：1,212c a b =+，,213l d a b =-．。

2020年北京市密云区高三一模数学试题一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T?（ ） A. ∅ B. 1{|}2x x <- C. 5{|}3x x > D.15{|}23x x -<< 【答案】D【解析】【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ， {}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭， 则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭ 故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.5.已知抛物线24x y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】D。

2020年北京市密云区高考数学一模试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={y|y≥0}，N={y|y=−x2+1}，即M∩N=()A. (0,1)B. [0,1]C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.若复数z=3+4i，则|z|z=()A. B. C. D.3.已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若S2017=4034，则a3+a1009+a2015=()A. 2B. 4C. 6D. 84.设向量a⃗=(1,x−1)，b⃗ =(x+1,3)，则“x=2”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知a，b∈R，则“a>|b|”是“a2>b2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.对任意实数k，直线kx−y−3k+4=0与圆C：(x−3)2+(y−4)2=16的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 与k取值有关7.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A. (kπ−14,kπ+34)，kϵZ B. (2kπ−14,2kπ+34)，kϵZC. (k−14,k+34)，kϵZ D. (2k−14,2k+34)，kϵZ8.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为()A. 2B. √3C. √5D. 2√39.直线y=kx−2交抛物线y2=8x于A、B两点，若弦AB的中点M(2,m)，则k=()A. 2或−1B. −1C. 2D. 310.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F，M分别是AD，CD的中点，则下列结论中错误的是()A. FM//A1C1B. 平面CC1FC. 三棱锥B−CEF的体积为定值D. 存在点E，使得平面BEF//平面CC1D1D二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.二项展开式(−1x+2x2)5中，含x4项的系数为______ ．12.已知双曲线的标准方程为x24−y216=1，则该双曲线的焦点坐标为，______渐近线方程为______．13.在等比数列{a n}中，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20的值是______ ．14.函数f(x)=cos(x+π2)·cos(x+π6)的最小正周期为______________．15.若方程xe−x−a+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在①acosB=bsinA，②b2+√2ac=a2+c2，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．问题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______，△ABC的面积为2，a=2，求b．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17.已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．(1)在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PH|<√2的概率；(2)从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．18.如图，四棱锥S−ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，AB=SA=1，AD=2，且P为BC的中点．(1)求直线AP与平面SPD所成角的正弦值；(2)求二面角C−SD−P的余弦值．19.已知函数f(x)=e x⋅sinx−1，(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,π]上零点个数．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=√22，且椭圆的短轴长为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为−12，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．①求AB+CD的值；②设AB的中点M，CD的中点为N，求△OMN面积的最大值．21.设{a n}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集运算，考查计算能力，属于基础题．可求出集合N={y|y≤1}，然后进行交集的运算即可．解：N={y|y≤1}，且M={y|y≥0}；∴M∩N=[0,1]．故选B．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．直接求出复数的模，利用复数的代数形式的混合运算求复数为a+bi的形式即可．解：∵复数z=3+4i∴|z|=√32+42=5，∴|z|z=53+4i=5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=3−4i5=35−45i.故选A．3.答案：C解析：本题考查等差数列的性质和求和，属于基础题．根据等差数列性质和等差数列前n项和公式可以求出答案．解：∵已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，S2017=4034，∴S2017=20172(a1+a2017)=2017a1009=4034,∴a1009=2,∴a3+a1009+a2015=3a1009=6．故选C．4.答案：A解析：解：依题意，a⃗//b⃗ ⇔3−(x−1)(x+1)=0⇔x=±2，所以“x=2”是“a⃗//b⃗ ”的充分但不必要条件；故选A利用向量共线的充要条件求出a⃗//b⃗ 的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是a⃗//b⃗ 的充分但不必要条件．本题考查向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等、考查充要条件的判断．5.答案：A解析：解：“a>|b|”⇒“a2>b2”，反之不成立，例如a=−3，b=−2．因此a>|b|”是“a2>b2”的充分不必要条件．故选：A．利用不等式的性质即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A=0，所以直解析：解：由已知圆的圆心为(3,4)，它到直线kx−y−3k+4=0的距离为√k2+1线过圆心，由此直线与圆相交；故选A．由已知得到圆的圆心为(3,4)，判断圆心到直线的距离与半径比较即可．本题考查了直线与圆的位置关系的判断；只要利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，然后与半径比较，小于半径相交；等于半径相切，大于半径相离．7.答案：D解析：本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f(x)的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f(x)的减区间．解：由函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象，可得函数的周期为2πω=2(54−14)=2，∴ω=π，f(x)=cos(πx+φ)．再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+φ=π2，k∈z，即φ=π4，f(x)=cos(πx+π4).由2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，k∈z，求得2k−14≤x≤2k+34，k∈z，故f(x)的单调递减区间为(2k−14,2k+34)，k∈z，故选D.8.答案：A解析：解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：四棱锥P−ABCD的4个侧面都是直角三角形，面积最大值是△PCD的面积，S=12⋅2⋅2=2．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用关系式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.答案：C解析：直线y=kx−2代入抛物线y2=8x，利用AB的中点的横坐标为2，结合韦达定理，求出k的值，本题考查弦长的求法，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．解：直线y=kx−2代入抛物线y2=8x，整理可得k2x2−(4k+8)x+4=0，Δ=(4k+8)2−16k2=64k+64>0，即k>−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则∵AB的中点的横坐标为2，=4得k=−1(舍去)或k=2，∴x1+x2=4k+8k2故选：C10.答案：D解析：本题考查了空间里的线线平行、线面垂直，以及空间体体积的计算，属于基础题．A，由F、M分别是AD、CD的中点，由中位线的性质可求解；B，由线面垂直的性质可判断；C，三棱锥B−CEF以面BCF为底，高是定值，则体积为定值；D，由BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E．解：A：因为F、M分别是AD、CD的中点，所以FM//AC//A1C1，故正确；B：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，F，M分别是AD，CD的中点，故DF=MC，DC=BC，且∠FDC=∠MCB，故△FDC≌△MCB，故∠FCD=∠MBC，而∠BMC+∠MBC=90°，故∠BMC+∠FCD=90°，故可得BM⊥CF，又CC1⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，则BM⊥C1C，CF∩C1C=C，且CF，CC1⊂平面CC1F，所以BM⊥平面CC1F，故正确；C：V B−CEF=V E−BCF，以面BCF为底时，底面△BCF面积为定值，且点E到平面BCF的距离为AA1，也为定值，所以体积为定值，故正确；D：BF与平面CC1D1D有交点，所以不存在点E，使得平面BEF//平面CC1D1D，故错误．故选D．11.答案：80解析：解：二项式(−1x+2x2)5的展开式中通项公式为T r+1=C5r(−1)5−r x−1(5−r)2r x2r=C5r(−1)5−r2r x3r−5．令3r−5=4，可得r=3，∴展开式中含x4的项的系数是C53(−1)223=80，故答案为：80．先求出二项式(−1x+2x2)5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12.答案：(±2√5,0)；y=±2x解析：解：双曲线x24−y216=1的a=2，b=4，c=√a2+b2=2√5，可得焦点的坐标为(±2√5,0)，渐近线方程为y=±bax，即为y=±2x．故答案为：(±2√5,0)，y=±2x．求出双曲线的a，b，c，即可得到焦点坐标；由渐近线方程为y=±bax，可得所求渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．13.答案：16解析：解：∵S4=1，S8=3，∴S8−S4=2．而等比数列依次K项和为等比数列，则a17+a18+a19+a20=(a1+a2+a3+a4)⋅25−1=16．故答案为16．根据等比数列的性质可知，从第1项开始，每四项的和都成新等比数列，由S4=1，S8−S4=2，新等比数列的公比为2，首项为1，而所求的式子(a17+a18+a19+a20)为此新数列的第5项，根据等比数列的通项公式即可求出值．此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．14.答案：解析：本题考察了三角函数的恒等变换，二倍角公式及诱导公式化简．利用公式化简得f(x)的解析式为，由此求得f(x)的最小正周期．解：f(x)=cos(x+π2)·cos(x+π6)=−sinx(√32cosx−12sinx)故函数f(x)的最小正周期为2π2=π，故答案是：π．15.答案：(1,1+1e)解析：方程xe−x−a+1=0有两个不相等的实数根可化为e x=xa−1有两个不相等的实数根，再化为函数y=e x与y=xa−1的交点个数问题，从而作函数的图象，结合导数求解．本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了切线的斜率与导数的几何意义的应用，属于中档题．解：∵方程xe−x−a+1=0有两个不相等的实数根，∴方程xe−x=a−1有两个不相等的实数根，而当a−1=0时，方程xe−x=a−1只有一个根0，故不成立；故a−1≠0；有两个不相等的实数根，故e x=xa−1的图象如下，作函数y=e x与y=xa−1设切点为A(x,e x)；；则e x=e xx故x=1；即切线的斜率k=e；1>e；a−1解得1<a<1+1；e).故答案为(1,1+1e16.答案：解：若选①：acosB=bsinA，由正弦定理得sinAcosB=sinBsinA，由sinA≠0，可得cosB=sinB，所以tanB=1，所以；acsinB=2，∵S△ABC=12a=2，sinB=√22，所以c=2√2．由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=4+8−8√2×√22=4，所以b=2．选②：b2+√2ac=a2+c2，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =√22，因为，故；∵S△ABC=12acsinB=2，a=2，sinB=√22，所以c=2√2．则b2=a2+c2−√2ac=4+8−√2×2×2√2=4，所以b=2．若选③：由sinB+cosB=√2，可得，即，，所以，则；∵S△ABC=12acsinB=2，a=2，sinB=√22，所以c=2√2．由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=4+8−8√2×√22=4，所以b=2．解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选①由正弦定理得tanB=1，解得B；选②由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac =√22，进而解得B；选③由辅助角公式可得，进而解得B；再由题意求出c=2√2，再利用余弦定理即可得到答案．17.答案：解：(1)如图所示，正方形的面积S正方形ABCD=2×2=4．设“满足|PH|<√2的正方形内部的点P的集合”为事件M，则S(M)=S△DGH+S△AEH+S扇形EGH=2×12×12+12×√2×π2×√2=1+π2．∴P(M)=1+π24=π8+14．故满足|PH|<√2的概率为π8+14．(2)从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到C82=28线段．其中长度等于1的有8条：AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；长度等于√2的由4条：EF、FG、GH、HE；长度等于2的有6条：AB、BC、CD、DA、EG、FH；长度等于√5的有8条，AF、AG、BG、BH、CE、CH、DE、DF；长度等于2√2的由2条AC、BD．∴ξ的所有可能的取值为1，√2，2，√5，2√2．则P(ξ=1)=828=27，P(ξ=√2)=428=17，P(ξ=2)=628=314，P(ξ=√5)=828=27，P(ξ=2√2)=2 28=114．随机变量ξ的分布列为Eξ=1×27+√2×17+2×314+√5×27+2√2×114=5+2√2+2√57．解析：(1)根据几何概型的概率计算公式，分别求出正方形的面积和满足|PH|<√2的正方形内部的点P的集合”的面积即可得出；(2)从A、B、C、D、E、F、G、H这八个点中，随机选取两个点，共可得到C82=28线段．这些线段的长度ξ的所有可能取值分别为1,√2,2,√5,2√2，找出相应长度的线段条数，利用古典概型的概率计算公式即可得出．本题考查了利用古典概型的概率计算公式求几何概率及其分布列和数学期望，正确求出试验的全部结果所构成的区域的面积和长度以及要求的事件的区域的面积和长度是解题的关键．18.答案：解：因为SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，所以AB,AD,AS 两两垂直，以AB,AD,AS 所在直线为坐标原点建立如图所示的坐标系，则各点坐标如下：A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),P(1,1,0)(1)AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)， 设平面SPD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,y,z)，由n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得y =1, z =2，平面SPD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)， 所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√12+12+22⋅√12+12+02=√33， 则直线AP 与平面SPD 所成角的正弦值等于cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ >为√33；(2)DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)，设平面SPD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,2)， 由n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得x =0, y =1，平面SPD 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)， 由(1)可知，平面SPD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)， 所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=√12+12+22⋅√02+12+22=√306， 由图可知，二面角C −SD −P 为锐二面角，因此二面角C −SD −P 的余弦值为√306．解析：本题考查空间角的计算，利用向量的方法减少了思维量，使问题变得容易解决；(1)以AB ，AD ，AS 所在直线为坐标原点建立坐标系，直线AP 与平面SPD 所成角通过AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与面SPD 的法向量的夹角间接求解(2)分别求出平面SCD ，平面PSD 的一个法向量，利用两法向量夹与二面角的关系求解．19.答案：解：(1)f′(x )=e x (sinx +cosx )，因为f′(0)=1，f(0)=−1，所以曲线在点(0,f(0))处的切线方程为y =x −1， (2)当x ∈[0,34π)时，sinx +cosx >0，所以f′(x)>0； 当x ∈(3π4,π]时，sinx +cosx <0，则f′(x)<0，f(x)max =f(3π4)=e3π4√22−1>0，f(0)=f(π)=−1<0， f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点．解析：本题考查利用导数知研究曲线的切线方程，考查函数的零点，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.(1)利用f′(0)=1，f(0)=−1，得出切线的方程；(2)分类讨论，确定函数的单调性，由函数的最值，即可探究函数y =f(x)的零点个数．20.答案：解：(1)∵椭圆的短轴长为2，∴b =1，又∵e =√1−b 2a2=√1−1a 2=√22，a 2=2,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)①F 2(1,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，{x 2+2y 2=2y =k(x −1)，x 2+2k 2(x 2−2x +1)=2,(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， x 1+x 2=4k 21+2k ,x 1x 2=2k 2−21+2k ， |x 1−x 2|=√16k 4(1+2k 2)2−4(2k 2−2)(1+2k 2)(1+2k 2)2=2√2√1+k 21+2k 2，|AB|=2√2(1+k 2)1+2k 2， ∵K AB K CD =−12，用−12k 替换上式中的k 得∴|CD|=√2(4k 2+1)2k 2+1， |AB|+|CD|=2√2(k 2+1)1+2k 2+√2(4k 2+1)1+2k 2=6√2k 2+3√21+2k 2=3√2．②由①知，x 1+x 2=4k 21+2k ，M 点的横坐标为2k 21+2k ，代入直线方程得y =k(2k 21+2k −1)=−k1+2k ， 即M(2k 21+2k 2,−k1+2k 2)，用−12k 替换M 点坐标k 得N(11+2k 2,k1+2k 2)，MN 的中点T 的坐标为(12,0)，SΔOMN=12×OT×|y M−y N|=14×|2k|1+2k2=12×|k|1+2k2=12×11|k|+2|k|≤122√2=√28，当且仅当|k|=√22时取等号．∴ΔOMN面积的最大值为√28．解析：本题考查椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)由b根据离心率求出a即可；(2)①设直线AB的方程为y=k(x−1),A(x1,y1),B(x2,y2)，根据弦长公式求出|AB|，再根据斜率的关系求出|CD|，整理即可；②求出M，N的坐标，代入面积公式，利用基本不等式即可求解．21.答案：解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d，因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，即(2d−2)2=d(3d−4)，解得d=2，所以a n=−10+2(n−1)=2n−12．(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n−12，所以S n=−10+2n−122×n=n2−11n=(n−112)2−1214，当n=5或者n=6时，S n取到最小值−30．解析：本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．(Ⅰ)因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，即(2d−2)2= d(3d−4)，即可求解．(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n−12，所以S n=−10+2n−122×n=n2−11n，求解即可．。