2019年北京市西城区高三年级一模数学(理)试题及答案

北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则AB =（ ）（A ）1(0,)2 （B ）(1,1)- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞ （D ）(,1)(0,)-∞-+∞ 2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b = ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55 （B ）4(,16)5 （C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ）（A ）221 （B ）463 （C ）121 （D ）263二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____ 10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ． 若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上． 若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______． 13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围． 19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值． 20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2019 — 2019学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2019.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6； 12； 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）21cos 2B B =-， 所以 2cos 2sin B B B =．………………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >， 从而 tan B =， ………………5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． ………………3分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =， ……………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 5sin sinsin()12464C πππ==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C =⋅=． ………………13分 解法二：因为 4A π=，π3B =， 根据正弦定理得 sin sin AC BC B A =， ……………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分 根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =+ ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AB BC B =⋅=． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点． 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分 设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //．设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---． 所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分 由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分 433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:………………8分3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分 （ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =． ………………11分 设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分 设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分 则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分 （Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+． ………………13分 由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分 20．（本小题满分13分）………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤， 所以1()r A ，2()r A ，，9()r A ，1()c A ，2()c A ，，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ① 另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分 （Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤． 下面考虑1()r A ，2()r A ，，()n r A ，1()c A ，2()c A ，，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n =，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====-，12()()()1k c A c A c A ====-．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=．……………13分。

北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()UA B =（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4（B ）5（C ）7（D ）9输出 开始否 结束是4．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A ）52，7-（B ）52，52-（C ）7，52-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：W Oyx现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为 （A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（A（B ）3（C ）（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．函数()sin2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图 正(主)视图俯视图 221三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若1m =-，27b =，4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB =.（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求DABCEF出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量乙1 2 07 2 2 1 0 1 2 3 6 6 a8 6 2 1 0 1 2 4 4 甲的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t （st ），都有0st p =，则称数表A 为完美数表. （Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表； （Ⅰ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C5．C 6．A 7．B 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n --10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=，20β= 14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，……………… 3分 得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 11分得sin sina B Ab ===. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE . ……………… 2分 同理//AF 平面CDE ， 又因为ABAF A =，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 3分 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 4分 （Ⅱ）连接BD ,因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD . 则DE DB ⊥. 又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E =，所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥.故,,DA DB DE 两两垂直，所以以,,DA DB DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(0,0,2)E ，(1,0,1)F ，所以(0,1,2)BE =-,(1,0,1)EF =-，(0,1,0)=n 为平面DEF 的一个法向量.设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BE ⋅=m ，0EF ⋅=m ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1,2,1)=m . ………………8分所以6cos ,||||3⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --的余弦值为63.………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，DA B C EyxzF所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩……………… 12分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， …………… 13分 解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. …………… 2分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. …………… 4分 （Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. ……………… 5分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. 8分 所以随机变量的分布列为：………… 9分X所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. …………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. ……… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. … 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. …………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B .所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 易得CB的方程为2)y x =-.则(4,M,(6,AM =,(3,AD =, 所以2AM AD =，即,,A D M 三点共线. ………… 7分 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. … 9分 由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. ……… 10分 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ………… 11分 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， ……… 12分 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=， 所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如： (3)分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示）， 则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. …………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====. …………… 9分又因为对于任意,s t （st ），都有0st p =， 所以22212n X X X ln +++=. ……………… 11分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ………… 13分。

高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx — 第一学期期末试卷高三数学（理科） 20xx.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B =（ ）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形 （含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = _____．5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-110．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++=______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示， 那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y=+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=，[π,π]α∈-，求α的值；侧(左)视图（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；甲组乙组 890 1 a822 F BCEAHD（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区20xx — 第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以 2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……………… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 2222x x =+ πsin(2)3x =+， ………………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a =，共有10种可能. (5)分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同， 所以当2,3,4,,9a =时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分（Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……………… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. ……………… 3分因为 EDBD D =，所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分 （Ⅱ）解：设ACBD O =，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BDEF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，BF =所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量(0,AC =. …………7分 设直线DH 与平面BDEF 所成角为α， 由33(,)222DH =， 得32sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⨯⋅=<>===，所以直线DH 与平面BDEF . ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()22BH =-，(2,0,0)DB =. 设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n .………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-， 则1cos ,2ED ED ED⋅<>===-n n n . (13)分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e xf x x a '=++． (2)分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： (5)分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2ex ax x -=， 显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程ex ax -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. (8)分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. (9)分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-， 所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. (11)分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以OD 42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当15k ±=OD有最小值5. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. .................. 1分 所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. (2)分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ (3)分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥， 所以 2012213q<<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î，所以 11n n a a qN -*=?，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立. 因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被kr 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a qr++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。

高三数学（理科）2019.1合题目要求的一项•1. 已知全集 U= R ，集合 A={xx+1<0}，B={xx —3c0}，那么集合（Cu A ）Pl B = （A ）{x —1Exc3} （B ）{x —1cxc3} （0 {xx£_1}（D {XXA 3}2. 已知点A （_1,1），点B （2,y ），向量a = （1,2），若AB//a ，则实数y 的值为（A ）5（ B ）6（ C ）7（ D ）8 3.已知 ABC 中，a=1,b 「2，B=45；，则角A 等于（A ） 150：（B ）90（C ）60： （D ）30；(A ) A C_BD ( B ) / BA C =90〃1(C ) CA •与平面ABD 所成的角为30 ( D )四面体 A - BCD 的体积为-113&对于函数① f (x) =4x +— 一5，② f (x) =|log 2 x — (—)x ，③ f (x) = cos(x +2) -cosx , x 2判断如下两个命题的真假：命题甲：f （x ）在区间（1,2）上是增函数;北京市西城区20192019学年度第一学期期末试卷4.在极坐标系中，过点（1,0）并且与极轴垂直的直线方程(A ) Q 二COST ( B ) 亍二 si nr (C ) COST -1 (D ) sin v -1 5.阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间 内，则输入的实数x 的取值范围是 (A ) (-：：，-2] (B ) [-2,-1] （C ） [-1,2] （ D ） [2,二）6.设等比数列"a n 匚的前n 项和为S n ,若8a 2 a 5 式子中数值不能确定的是(A )a 5(B )a 3S5 (C )也(D )S n1S 3 a nS n7.如图，四边形 BD 『2 , 对角线BD 折成四面体 A-BCD ，使平面ABD —平面BCD ，则下列结论正确的是ABCD 中，AB =AD =CD =1BD _ CD .将四边形 ABCD 沿下列命题乙： f （x）在区间（0, •：：）上恰有两个零点x1, x2，且^x2 :: 1.［来源：学科网］［来：学.科.网］能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（A）①（B）②（C）①③（D）①②第n卷（非选择题共no分）、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.29. i为虚数单位，则------ 2（计）10. 在（2+x）5的展开式中，x2的系数为______ .［x-y+1 K0,11. 若实数x, y满足条件＜x + y£2, 则2x + y的最大值为______ .x＜1,12. 如图所示，过圆C外一点P做一条直线与圆C交于A B两点，BA =2 AP , PT与圆C相切于T点.已知圆C的半径为2 ,NCAB =30",则PT = _____ .［来源：学科网ZXXK］13•双曲线C:x2-y2=1的渐近线方程为___________ ；P,Q两点，且若双曲线C的右顶点为A，过A的直线丨与双曲线C的两条渐近线交于PA =2AQ，则直线丨的斜率为14. 在平面直角坐标系中，定义d（P,Q）=咅—x2+ % —y2为两点卩（为，％）, Q（X2,y2）之间的“折线距离”.则坐标原点O与直线2x + y-2j5 = 0上一点的“折线距离”的最小值是 __________ ；圆x2十y2 =1上一点与直线2x + y —2 J5 = 0上一点的“折线距离”的最小值是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知函数f（x） = 3sin 2x-2sin2x.［来源:］（i）若点p（1,-.3）在角〉的终边上，求f（＞）的值；江（n）若x［,］，求f （x）的值域.6 3坐标原点0在以MN 为直径的圆上，且“岂仝，求k 的取值范围216. (本小题满分13分)如图，在三棱柱 ABC - ABC 中，侧面ABBA , ACC 1A 1均为正方形，/ BAC = 90 , 点D 是棱BG 的中点.(I)求证：AD 丄平面BBGC ； (n)求证：AB,//平面 A 1DC ； (川)求二面角D - AC - A 的余弦值.17. (本小题满分13分)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为 1,2,3,4,5,62个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率;3个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分布列.[来源：学科网ZXXK]18. (本小题满分13分)2 2已知椭圆 令y 2 =1 ( a b 0 )的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e .a b(n)设直线y = kx 与椭圆相交于• A , B 两点，M , N 分别为线段 AF 2, BF 2的中点.若(I)若从袋中每次随机抽取 的概率；1个球，有放回的抽取 2次，求取出的两个球编号之和为 6(n)若从袋中每次随机抽取 (川)若一次从袋中随机抽取 (I) 求椭圆的方程;B19. (本小题满分14分)1 2 已知函数f(x) ax-(2a 1)x 2In x (a R).2(I )若曲线y二f (x)在x =1和x = 3处的切线互相平行，求a的值；(n)求f (x)的单调区间；(川)设g(x) =x2 -2x，若对任意为• (0,2］，均存在x^ (0,2］，使得f(xj ：：： g(X2),求a的取值范围•［来源：学科网］20. (本小题满分14分)已知数列｛a n｝, ｛b n｝满足b n 二a. 1 - a.，其中n =1,2,3川I •(I)若a =1,b n二n，求数列｛a n｝的通项公式；(n)若bmb n^ =bn(n-2)，且b^ =1,b2 =2.(i)记C n =a6n」(n -1)，求证：数列｛C n｝为等差数列；(ii)若数列｛-a n｝中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求首项a应满n足的条件.北京市西城区2019 —2019学年度第一学期期末［来源:］高三数学参考答案及评分标准(理科) 2019.114. .5，兰2注：13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标 准给分.） 15. （本小题满分13分）解：（I ）因为.点P （1, —J3）在角0（的终边上，[来源：学科网ZXXK]所以 f(：)h 』3sin2： -2sin 2： =2、、3sin : cos ： -2sin 2：................. 4分3 1, 3 2 =2 ‘3 () 2 ()3..................... 5 分2 2 2(n) f(x)=、“3sin 2x -2sin 2x=、3sin2x cos2x-1 ................. 6分= 2sin(2 x —) -1 ,.................. 8 分65 ：：.因为［,］，所以 2x ■, .................. 10分6 366 61兀所以一三sin(2x)乞1 , ............... 11分26所以f(x)的值域是［-2,1］. .................... 13分［来源: ］16. （本小题满分13分）（I ）证明：因为侧面 ABBA , ACGA 均为正方形,所以 AA — AC,AA _ AB ,所以AA -平面ABC ，三棱柱ABC -'AB I G 是直三棱柱 因为ADu 平面ABG ，所以CG 丄AD ,9.一i10. 8011.412. 3 所以sin :二1 cos ：2又因为AB1二AC1 , D为BG中点，所以AD _ B1C1.因为CC1 PIRC1 =G,1分所以AD _平面BBGC . ............. 4分(n)证明：连结AC i，交AC于点0，连结0D ,因为ACGA为正方形，所以0为AC中点，又D为B1C1中点，所以0D为；A^C1中位线，所以AB // 0D , .................... 6分因为0D 平面A1DC , AB^平面ADC ,所以AB〃平面A i DC . .................... 8分(川)解：因为侧面ABB1A1, ACGA均为正方形，NBAC = 90",所以AB, AC, AA,两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系 A - xyz .1 1设AB/，则C(0,1,0), B(1,0,0), A(0,0,1), D( , ,1).2 2A1D =(1,1,0)1 AC =(0,1, -1), .................... 9 分2 2[来源：学。

北京市西城区2019届第一学期高三理科数学试题理科数学试题一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分）1.如图，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则复数2z =（ ）．A. 34i --B. 54i +C. 54i -D. 34i -2.当向量(2,2)a c ==-v v ，(1,0)b =v 时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（ ）．A. 5B. 4C. 3D. 23.数列{}n a 的前n 项和n S ，若121(2)n n S S n n --=-≥，且23S =，则13a a +的值为（ ）．A. 1B. 3C. 5D. 64.“0x >”是“sin 0x x +>”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 326.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>7.已知11,1,()ln ,01,x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（ ）．A. (,1)(1,)-∞-+∞UB. (1,1)-C. [0,1]D. (,1][0,1]-∞-U 8.已知点A 在曲线2:(0)P y x x =>上，⊙A 过原点O ，且与y 轴的另一个交点为M ，若线段OM ，⊙A 和曲线P 上分别存在点B 、点C 和点D ，使得四边形ABCD （点A ，B ，C ，D 顺时针排列）是正方形，则称点A 为曲线P 的“完美点”．那么下列结论中正确的是（ ）．A. 曲线P 上不存在”完美点”B. 曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1C. 曲线P 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于12且小于1 D. 曲线P 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于12 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9.若双曲线221y x m +=的一条渐近线的倾斜角为60︒，则m =__________． 10.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若4c =，sin 2sin C A =，sin 4B =，则a =__________，ABC S =V __________． 11.已知直线1:(2)20l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l P ，则实数a =__________．12.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．13.如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅u u u v u u u v的取值范围是__________．14.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P ． （1）下列函数中具有性质P 的有__________．①()2f x x =-+ ②()sin ([0,2π])f x x x =∈ ③1(),((0,))f x x x x-+∈+∞ ④()ln(1)f x x =+ （2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15.函数f(x)＝cos(πx＋φ)02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；(2)设g(x)＝f(x)＋f 13x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求函数g(x)在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 16.甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局得分情况如下：的（⊙）若从甲4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率．（⊙）如果7x y -=，从甲、乙两人4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为x ，求x 的分布列和数学期望．（⊙）在4局比赛中，若甲、乙两人平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形， AD BC P ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（⊙）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF P 平面PAB ； （⊙）求二面角B PD A --的大小；（⊙）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由． 18.已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++（a 为实常数）．（⊙）若1x =为()f x 的极值点，求实数a 的取值范围．（⊙）讨论函数()f x 在[1,]e 上的单调性． （⊙）若存在[1,e]x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围．19.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点．，Ⅰ）求椭圆的方程．，Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ △的面积．的的，Ⅲ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得经MP ，MQ 为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20.设函数21()51623f x x x =++，L 为曲线:()C y f x =在点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线． （⊙）求L 的方程．（⊙）当15x <-时，证明：除切点11,12⎛⎫- ⎪⎝⎭之外，曲线C 在直线L 的下方． （⊙）设1x ，2x ，3x ∈R ，且满足1233x x x ++=-，求123()()()f x f x f x ++的最大值．。

北京市西城区 2018 — 2019 学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2019.1第Ⅰ卷（选择题共 40 分）一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合 A = {x | x > 1} ，集合 B ={a + 2}，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(-∞, -1]（B ）(-∞,1]（C ）[-1, +∞)（D ）[1, +∞)2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ） y = x 2 +1（B ） y = e x - e - x（C ） y = lg | x |（D ） y =3. 设命题 p ：“若sin α = 1 ，则α = π”，命题 q ：“若a > b ，则 1 < 1 ”，则（）2 6 a b（A ）“ p ∧ q ”为真命题 （B ）“ p ∨ q ”为假命题 （C ）“ ⌝q ”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{a }中，“对任意的n ∈ N * ， a2 = a a ”是“数列{a }为等比数列”的（ ）nn +1n n +2n（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）（A ）16 + 2（B ）16 + 2正(主)视图侧(左)视图（C ） 20 + 2 （D ）20 + 2俯视图2 2x 2353 51 1⎨ ⎩不超过 4 千米的里程收费 12 元;超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）；当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元.⎧ y - x ≤1, 6. 设 x ，y 满足约束条件⎪x + y ≤3, ⎪ y ≥m ,若 z = x + 3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数m =（）（A ） 32 （B ） -3 2 （C ） 1 4（D ） - 1 47. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x （单位：千米）为行驶里程， y （单位：元）为所 收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1 处应填（ ）（A ）y = 2[x - 1] + 4 2 1开始输入 x（B ） y = 2[x -（C ） y = 2[x + ] + 52 1] + 42 是 x > 4否（D ） y = 2[x + 1] + 528. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上，且 DE = 2AE ， CF = 2BF . 如果对于常数λ ，在正方形 ABCD 的四条边上，有且只有 6 个不同的点 P 使得PE ⋅ P F =λ 成立，那 么λ 的取值范围是（）（A ） (0, 7)（B ） (4, 7)（C ） (0, 4)（D ） (-5,16)ABFDPC输出 y结束y=12○1MNB OC第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题5 分，共30 分．9.已知复数z 满足z(1+i) =2 -4i，那么z = .10.在∆ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c. 若A =B ，a = 3，c = 2 ，则cos C = .x2 y211.双曲线C：-16 4=1的渐近线方程为；设F1, F2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且| PF1|= 4 ，则| PF2 |= .12.如图，在∆ABC 中，∠ABC = 90 ，AB = 3 ，BC = 4 ，点O 为BC 的中点，A以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN = ；AM=.MC13.现有5 名教师要带3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种.（用数字作答）⎧64,x≤0, 14.某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：C ）满足函数关系t =⎨⎩2kx+6 ,x > 0.且该食品在4 C 的保鲜时间是16 小时.已知甲在某日上午10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C的保鲜时间是8 小时；○2 当x∈[-6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3 到了此日13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；○4 到了此日14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.其中，所有正确结论的序号是.MAF三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = cos x (sin x +3 cos x ) -3， x ∈ R .2（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α > 0 ，若函数 g (x ) = f (x + α) 为奇函数，求α 的最小值.16．（本小题满分 13 分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得0 分. 两人 4 局的得分情况如下：甲 6 6 9 9乙79xy（Ⅰ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果 x = y = 7 ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X ， 求 X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，∠BCD = 135 ，侧面 PAB ⊥ 底面 ABCD ，∠BAP = 90 , AB = AC = PA = 2 , E , F 分别为BC , AD 的中点，点 M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证： EF ⊥平面PAC ；P（Ⅱ）若 M 为 PD 的中点，求证：ME // 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求PM的值.DPDBEC318．（本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = x 2-1，函数 g (x ) = 2t ln x ，其中t ≤1 ．（Ⅰ）如果函数 f (x ) 与 g (x ) 在 x = 1处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分 14 分）已知椭圆 C : x a 2+ y 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 2，点 A (1, ) 在椭圆 C 上. 2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点 P 1 ， P 2 （两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1 ， OP 2在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.的斜率之积为定值？若存20．（本小题满分 13 分）在数字1, 2,, n (n ≥2) 的任意一个排列 A ：a , a ,中，如果对于i , j ∈ N *, i < j ，有a i > a j ，12那么就称(a i , a j ) 为一个逆序对. 记排列 A 中逆序对的个数为S ( A ) .如n =4 时，在排列 B ：3, 2, 4, 1 中，逆序对有(3, 2) ，(3,1) ，(2,1) ， (4,1) ，则S (B ) = 4 . （Ⅰ）设排列 C 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出S (C ) 的值；（Ⅱ）对于数字1，2， ，n 的一切排列 A ，求所有S ( A ) 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列 A ：a 1, a 2 ,, a n 中两个数字a i , a j (i < j ) 交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列 A '： b 1, b 2 ,, b n ，求证： S (A ) + S (A ') 为奇数.北京市西城区 2018 — 2019 学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.3 , a n21．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.9．-1- 3i11．y =±1x210．7912 12．13 - 291613．54 14．○1 ○4注：第11，12 题第一问2 分，第二问3 分.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13 分）（Ⅰ）解：f (x) = cos x(sin x +3 cos x) -32= sin x cos x +=1sin 2x +3(2cos2x -1)23cos 2x………………4 分2 2= sin(2x +π) ，............................................... 6 分3所以函数f (x) 的最小正周期T =2π=π............................................................................... 7 分2由2kπ -π≤2x +π≤2kπ+π，k ∈Z ，2 3 2得kπ -5π≤x≤kπ+π，12 12所以函数f (x) 的单调递增区间为[kπ-5π,kπ+π] ，k ∈Z ...................................... 9 分12 12（注：或者写成单调递增区间为(kπ -5π,kπ+π) ，k ∈Z . ）12 12（Ⅱ）解：由题意，得g(x) =f (x +α) = sin(2x + 2α+π) ，3因为函数g(x) 为奇函数，且x ∈R ，所以g(0) = 0 ，即sin(2α+π) = 0 ，......................................11 分3所以2α+π=kπ ，k ∈Z ，3解得α=kπ-π，k ∈Z ，验证知其符合题意.2 6又因为α> 0 ，C 3 2 所以α 的最小值为π ........................................................................................................... 13 分316．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：记 “从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局的得分恰好相等”为事件 A ，………………1 分由题意，得 P ( A ) =2 = 1 ， 4所以从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局得分恰好相等的概率为1. ……4 分3 （Ⅱ）解：由题意， X 的所有可能取值为13 ，15 ，16 ，18 ，...................... 5 分 且 P ( X = 13) = 3 ， P ( X = 15) = 1 ， P ( X = 16) = 3 ， P ( X = 18) = 1，… ........ 7 分8 8 8 8所以 X 的分布列为：X 13 15 16 18 P381 83 81 8……………… 8 分所以E ( X ) = 13⨯ 3 +15⨯ 1 +16⨯ 3 +18⨯ 1= 15 .............................................................. 10 分 8 8 8 8 （Ⅲ）解： x 的可能取值为6 ， 7 ， 8 .......................................................................................... 13 分17．（本小题满分 14 分）（Ⅰ）证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 AB = AC ， ∠BCD = 135 ，所以 AB ⊥ AC .由E , F 分别为BC , AD 的中点，得 EF //AB ，所以 EF ⊥ AC ................................................................................................................................ 1 分 因为侧面PAB ⊥底面 ABCD ，且∠BAP = 90 ，所以PA ⊥底面 ABCD ................................................................................................................... 2 分 又因为EF ⊂底面 ABCD ，所以 PA ⊥ EF ................................................................................................................................ 3 分 又因为 PA AC = A ， PA ⊂ 平面PAC ， AC ⊂ 平面PAC ，所以 EF ⊥ 平面PAC ................................................................................................................... 4 分| ME ⋅ m | = | ME ⋅ n | ⎩ （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以MF //PA ，又因为MF ⊄ 平面PAB ， PA ⊂ 平面PAB ， z所以MF // 平面PAB . ………………5 分PM同理，得 EF // 平面PAB .又因为MF EF =F ， MF ⊂ 平面MEF ， EF ⊂平面MEF ， ADF 所以平面MEF // 平面PAB ........................................ 7 分 又因为ME ⊂平面MEF ，BECxy所以ME // 平面PAB ................................................... 9 分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面 ABCD ， AB ⊥ AC ，所以 AP , AB , AC 两两垂直，故以 AB , AC , AP分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则 A (0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 2, 0), P (0, 0, 2), D (-2, 2, 0), E (1,1, 0) ，所以PB = (2, 0, -2)， PD = (-2, 2, -2) ， BC = (-2, 2, 0)，..................... 10 分设 PM = λ (λ ∈[0,1]) ，则PM = (-2λ, 2λ, -2λ) ， PD 所以M (-2λ, 2λ, 2 - 2λ) ， ME = (1+ 2λ,1- 2λ, 2λ - 2)，易得平面 ABCD 的法向量m = (0, 0,1) ............................................................................................... 11 分 设平面 PBC 的法向量为n = (x , y , z ) ，由n ⋅ BC = 0 ， n ⋅ PB = 0 ，得⎧-2x + 2 y = 0,⎨2x - 2z = 0,令x = 1, 得n = (1,1,1) .............................................................................................................................................12 分 因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等，所以| cos < ME , m >|=| cos < ME , n >| ，即| ME | ⋅ | m | | ME | ⋅ | n |， ............... 13 分 所以 | 2λ - 2 |=| 2λ | ，3解得λ =3 - 2 3 ，或λ = 3 +23 （舍） ...................................... 14 分18.（本小题满分 13 分）t （Ⅰ）解：求导，得 f '(x ) = 2x ，g '(x ) = 2t， (x > 0) ． ............................. 2 分x由题意，得切线 l 的斜率k = f '(1) = g '(1) ，即k = 2t = 2 ，解得t = 1． ......... 3 分 又切点坐标为(1, 0) ，所以切线l 的方程为2x - y - 2 = 0 ． .................. 4 分 （Ⅱ）解：设函数h (x ) = f (x ) - g (x ) = x 2 -1- 2t ln x ，x ∈(0, +∞) ． ................. 5 分 “曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 有且仅有一个公共点”等价于“函数 y = h (x ) 有且仅有一个零点”．2t 2x 2 - 2t求导，得h '(x ) = 2x - =6 分x x① 当t ≤0 时，由 x ∈(0, +∞) ，得h '(x ) > 0 ，所以h (x ) 在(0, +∞) 单调递增．又因为h (1) = 0 ，所以 y = h (x ) 有且仅有一个零点1，符合题意． .............. 8 分 ② 当t = 1时，当 x 变化时， h '(x ) 与h (x ) 的变化情况如下表所示：x(0,1)1 (1, +∞)h '(x )-+h (x )↘↗所以h (x ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增， 所以当 x = 1时， h (x ) min = h (1) = 0 ，故 y = h (x ) 有且仅有一个零点1，符合题意． ............................10 分③ 当0 < t < 1时，令h '(x ) = 0 ，解得 x = ．当 x 变化时， h '(x ) 与h (x ) 的变化情况如下表所示：x(0, t ) t ( t , +∞)h '(x ) -+h (x )↘↗所以h (x ) 在(0, t ) 上单调递减，在( t , +∞) 上单调递增，t 3 1 ⎩1所以当 x = 时， h (x ) min = h ( t ) ． .....................................11 分因为h (1) = 0 ， < 1，且h (x ) 在( t , +∞) 上单调递增，所以h ( t ) < h (1) = 0 .又因为存在 - 1 ， - 1 -1 - 1 -，e 2t ∈(0,1) h (e 2t ) = e t -1- 2t ln e 2t = e t > 0所以存在 x 0 ∈(0,1) 使得h (x 0 ) = 0 ，所以函数 y = h (x ) 存在两个零点 x 0 ，1，与题意不符.综上，曲线 y = f (x ) 与 y = g (x ) 有且仅有一个公共点时， t 的范围是{t | t ≤0 ，或t = 1} .………………13 分19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：由题意，得 c=a3， a 2 = b 2 + c 2 ， ................................2 分 2 又因为点 A (1, 3) 在椭圆C 上，2所以 1 + a 2 3 4b 2= 1， ................................................... 3 分解得a = 2 ， b = 1 ， c = ，所以椭圆 C 的方程为 x 4 + y 2 = 1 .................................................................................... 5 分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 ................................................ 6 分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) .当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y = kx + m .................................................... 7 分⎧ y = kx + m ,⎪由方程组⎨ x 2 ⎪⎩ 4y 2= 1, 得(4k 2 +1)x 2 + 8kmx + 4m 2 - 4 = 0 ， ................ 8 分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以∆ = (8km )2 - 4(4k 2 +1)(4m 2-4) = 0 ，即 m 2 = 4k 2 +1 .................................... 9 分⎧ y = kx + m , 由方程组⎨x 2 + y 2 = r 2 , 得(k 2 +1)x 2 + 2kmx + m 2 - r 2 = 0 ， ................ 10 分t + 22则∆ = (2km )2 - 4(k 2 +1)(m 2 - r 2) > 0 .设 P (x , y ) ， P (x , y ) ，则 x + x = -2km ， x ⋅ x =1 1 12 2 2 1 2 k 2+ 1 1 2m 2 - r 2k 2 + 1， .............. 11 分设直线OP 1 ， OP 2 的斜率分别为k 1 ， k 2 ，y y (kx + m )(kx + m ) k 2 x x + km (x + x ) + m 2所以k k =1 2 = 1 2 = 1 2 1 2x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2k 2⋅ = m 2 - r 2k 2+ 1+km ⋅ -2km+ m 2 k 2 + 1= m 2 - r 2 k 2m 2 - r 2k 2 + 1 2 2m 2 - r 2(4 - r 2 )k 2 +1 ， ...................... 12 分 将 m = 4k +1 代入上式，得k 1 ⋅ k 2 = 4k 2+ (1 - r 2 ). 4 - r 2 1 2要使得k 1k 2 为定值，则 4 = ，即r = 5 ，验证符合题意. 1 - r 2所以当圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 时，圆与l 的交点 P , P 满足k k 为定值- 1.1 2 1 2当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为 x = ±2 ， 此时，圆 x 2 + y 2 = 5 与l 的交点 P , P 也满足k k =- 1. 4………………13 分1 2 1 24综上，当圆的方程为 x 2 + y 2 = 5 时，圆与l 的交点 P , P 满足斜率之积k k 为定值- 1.1 2 1 24………………14 分20．（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解： S (C ) = 10 ；........................................................ 2 分（Ⅱ）解：考察排列 D d 1, d 2 ,d n 与排列 D 1：d n , d n -1,, d 2 , d 1 ，因为数对(d i , d j ) 与(d j , d i ) 中必有一个为逆序对（其中1≤i < j ≤n ），且排列D 中数对(d , d ) 共有C 2 = n (n -1) 个， ................................3 分 ijn2所以S (D ) + S (D ) =n (n -1) ........................................................................................................5 分12所以排列 D 与D 的逆序对的个数的算术平均值为 n (n -1) ................................................... 6 分14而对于数字 1，2，，n 的任意一个排列 A ： a 1, a 2 , , a n ，都可以构造排列 A 1 ：, d n -1, 1 2a , a , , a , a ，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为n(n -1) . n n-1 2 1 4所以所有S(A) 的算术平均值为n(n -1) .......................................................................................7 分4（Ⅲ）证明：○1 当j=i+1，即a i,a j相邻时，不妨设a i <a i+1 ，则排列A'为a1,a2 , ,a i-1,a i+1,a i ,a i+2 , ,a n ，此时排列A'与排列A：a1,所以S(A') =S(A) +1，a2, ,an 相比，仅多了一个逆序对(ai+1, ai) ，所以S(A) +S(A') = 2S(A) +1为奇数......................................... 10 分○2 当j≠i+1，即a i,a j不相邻时，假设a i , a j 之间有m 个数字，记排列A：a1,a2 , ,a i ,k1,k2 , ,k m ,a j , ,a n ，先将a i 向右移动一个位置，得到排列A1：a1,a2 , ,a i-1,k1,a i ,k2 , , , k m ,a j , ,a n ，由○1 ，知S(A1)与S(A)的奇偶性不同，再将a i 向右移动一个位置，得到排列A2：a1,a2 , ,a i-1,k1,k2 ,a i ,k3 , , k m ,a j , ,a n ，由○1 ，知S(A2)与S(A1)的奇偶性不同，以此类推，a i 共向右移动m 次，得到排列A m：a1,a2 , , k1,k2 , , k m ,a i ,a j , ,a n ，再将a j 向左移动一个位置，得到排列A m+1：a1,a2 , ,a i-1,k1, , k m , a j ,a i , ,a n ，以此类推，a j 共向左移动m+1 次，得到排列A2m+1：a1,即为排列A'，a2, ,aj,k1, ,km,ai, , an，由○1 ，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过2m +1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，所以排列A 与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以S(A) +S(A') 为奇数.综上，得S(A) +S(A') 为奇数............................................ 13 分。

北京市西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．A5．B 6．C 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1010．2214y x -=，2y x =± 11．4- 12．2 13．答案不唯一，如4n a n =- 14．① ③ 注：第10题第一问3分，第二问2分；第14题漏选、多选或错选均不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos(2)2sin cos 6f x x x x =-+ ππcos2cos sin 2sin sin 266x x x =++……………… 4分3sin 22x x =+π)6x =+. ……………… 6 分 所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………… 8分（Ⅱ）由（Ⅰ），知π())6f x x =+，所以ππ5π())])366g x x x =++=+. …………… 10分 由π5ππ2π22π262k x k -+++≤≤，k ∈Z ， 得2ππππ36k x k -+-+≤≤， 所以()g x 的单调增区间为2ππ[π,π]36k k -+-+，k ∈Z . ……………… 13分 (注：单调区间写成开区间不扣分)16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为T 型号手机”为1M ，记事件“乙手机为T 型号手机”为2M ， 依题意，有1122()6123P M ==+，293()695P M ==+，且事件1M ，2M 相互独立. ……………… 2分 设“抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机”为事件M ，4分 （Ⅱ）由表可知：W 型号手机销售量超过T 型号的手机店共有2个，故X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 5分且032335C C 1(0)C 10P X ⋅===，122335C C 3(1)C 5P X ⋅===，212335C C 3(2)C 10P X ⋅===.……………… 8分 故5610325311010)(=⨯+⨯+⨯=X E . ……………… 10分 （Ⅲ）.92m s =……………… 13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在图1中，由2AE =，AF =，45A ∠= ，得AE EF ⊥.所以在图2中1A E EF ⊥. ……………… 1分 因为平面1A EF ⊥平面BCDEF ，平面1A EF 平面BCDEF EF =，所以1A E ⊥平面BCDEF . ……………… 3分 又因为CD ⊂平面BCDEF ，所以1A E CD ⊥. ……………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1,,EF ED EA 两两垂直，故以1,,EF ED EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 5分 则(0,0,0)E ，(2,0,0)F ，(0,2,0)D ，(4,2,0)B ，(4,6,0)C ，1(0,0,2)A ，(2,3,1)M .所以(4,0,0)DB = ,(2,1,1)DM = .设平面MBD 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0DB ⋅= m ，0DM ⋅= m ，得40,20,x x y z =⎧⎨++=⎩令1y =，得(0,1,1)=-m . (7)易得平面BCD 的法向量(0,0,1)=n . 所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n . 由图可得二面角M BD C --为锐二面角，所以二面角M BD C --的大小为45. ……………… 9分 （Ⅲ）当N 为线段1A D 的中点（注：表述不唯一）时，平面//NEF 平面MBD . ……… 10分证明如下：由N 为线段1A D 的中点，得(0,1,1)N .所以(0,1,1)EN = ，又因为(2,0,0)EF = ，设平面NEF 的法向量为(,,)a b c =u ，由0EN ⋅= u ，0EF ⋅= u ，得0,20,b c a +=⎧⎨=⎩ 令1c =，得(0,1,1)=-u . ……………… 12分 又因为平面MBD 的法向量为(0,1,1)=-m ，所以=-m u ，即//m u ，所以平面//NEF 平面MBD . ……………… 14分解：（Ⅰ）求导，得()2ln f x x '=+， ……………… 1分 所以曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为00()2ln f x x '=+. ……… 3分 由题意，得02ln 1x +<，解得100e x -<<. ……………… 5分（Ⅱ）“1()()2f x k x -≥对(0,)x ∈+∞恒成立”等价于“当0x >时，1()()02f x k x --≥恒成立”. 令11()()()ln (1)22=--=+-+g x f x k x x x k x k ， ……………… 7分 求导，得()ln 2g x x k '=+-，由()0g x '=，得2e k x -=. ……………… 8分 随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在2(0,e )k -上单调递减，在2(e ,)k -+∞上单调递增.所以函数()g x 的最小值221(e )e 02k k g k --=-≥. ……………… 10分 令21()e 2k h k k -=-，则221(2)2e 02h -=⨯-=， 当2k =时，因为()g x 的最小值2(e )(1)0k g g -==，所以1()()2f x k x -≥对于0x >恒成立，符合题意； ……………… 11分 当2k >时，由22211()e e 022k h k --'=-<-<，得函数21()e 2k h k k -=-在(2,)+∞单调递减， 所以()(2)0h k h <=，故此时()g x 的最小值2(e )()0k g h k -=<，不符合题意.所以整数k 的最大值是2． ……………… 13分解：（Ⅰ）由题意，可知12p =，所以2p =. ……………… 1分 所以抛物线方程为24y x =，焦点为(1,0)F .不妨设00(,)A x y ，则0||15AF x =+=，解得04x =.代入抛物线方程，得04y =±，则点A 的坐标为(4,4)或(4,4)-，所以||OA = ……………… 3分故以OA 为直径的圆的方程为22(2)(2)8x y -+-=或22(2)(2)8x y -++=. …… 5分 （Ⅱ）结论：四边形OABC 不可能为等腰梯形. ……………… 6分 理由如下：假设四边形OABC 为等腰梯形，由题意，可知直线OA 的斜率k 存在且不为零，故设直线OA 的方程为y kx =，直线BC 的方程为(1)y k x =-，11(,)B x y ，22(,)C x y ， ……………… 7分 联立2,4,y kx y x =⎧⎨=⎩消去y ，得2240k x x -=， 解得0x =或24x k =， 所以点244(,)A k k ，线段OA 的中点M 的坐标为222(,)k k. ……………… 9分 联立2(1)4 y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=. 因为直线BC 过焦点(1,0)F ，斜率存在且不为0，所以0∆>恒成立，所以212224k x x k++=，121x x =. ……………… 11分 设线段BC 的中点为33(,)N x y ，则2123222x x k x k ++==，332(1)y k x k =-=，故2222(,)k N k k+. ………………12分 因为直线MN 的斜率22222022MN k k k k k k-==+-，OA 的斜率为k ，所以1MN k k ⋅≠-，故直线MN 与直线OA 不垂直.这与等腰梯形上下底中点的连线垂直于上下底矛盾， 所以四边形OABC 不可能为等腰梯形. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）100(1,1,0)X =. ……………… 3分 （Ⅱ）假设,,i i i a b c 三个数中有2个为0，或三个数均为0. ……………… 4分（1）当,,i i i a b c 三个数中有2个为0时，显然i ≥1. 不妨设0(1)i i a b i ==≥，0i c ≠，则11||0i i i a a b --=-=，11||0i i i b b c --=-=，即111i i i a b c ---==. 这与11||0i i i c c a --=-≠矛盾； ……………… 6分（2）当,,i i i a b c 三个数均为0时，显然i ≥1.则11||0i i i a a b --=-=，11||0i i i b b c --=-=，11||0i i i c c a --=-=. 所以111i i i a b c w ---===（定值）.由000,,a b c 三数互不相等，得2i ≥，且122||i i i a a b w ---=-=，122||i i i b b c w ---=-=，122||i i i c c a w ---=-=. 不妨设222i i i a b c ---≤≤，则有22i i b a w ---=，22i i c b w ---=，22i i c a w ---=， 由222222()()i i i i i i b a c b c a -------+-=-，得2w w =， 所以0w =，即1110i i i a b c ---===.以此类推，可得2220i i i a b c ---===，3330i i i a b c ---===，，1110a b c ===，0000a b c ===， 这与000,,a b c 三个数互不相等矛盾，所以对于任意的i ∈N ，,,i i i a b c 三个数中至多有一个数为0. ……………… 8分 （Ⅲ）设,,i i i a b c 三个数中最大的为i m ,记作max{,,}i i i i m a b c =.因为1||i i i a a b +=-，1||i i i b b c +=-，1||i i i c c a +=-，且,,i i i a b c ∈N ,所以1i i m m +≤,其中=0123i ，，，，, 由题意，可知i m ∈N ,其中=0123i ，，，， 所以123,,,m m m 不可能单调递减，即必存在某个*k ∈N ，使得1k k m m +=. ……………… 10分 根据1k X +的定义，可得向量(,,)k k k k X a b c =中的三个数,,k k k a b c 中必有0. 由（Ⅱ）知,,k k k a b c 中有且仅有一个为0，不妨设0k a =，（1）若k k b c ≠，由题意，不妨设0k k b c <<，则1||=k k k k a a b b +=-，1||=k k k k k b b c c b +=--，1||=k k k k c c a c +=-，1k k k m m c +== 所以2111||max{,}k k k k k k k a a b b c b m ++++=-<-<，同理21k k b m ++<，21k k c m ++<， 所以21k k m m ++<.又因为i m ∈N ，所以此种情形不可能一直出现（至多出现1k m +次）.所以一定能找到某个*j ∈N ，使得j j b c =. ……………… 12分（2）若k k b c =，由题意，得(0,,)k k k X b b =，1(,0,)k k k X b b +=，2(,,0)k k k X b b +=，3(0,,)k k k X b b +=，所以存在正整数t k =，使得3t t X X +=.综上，存在正整数t ，使得3t t X X +=. ……………… 13分。

北京市西城区2019—2019学年度第一学期期末考试数学试题（理）本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，共 150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸 上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷（选择题共40分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项. i 1 i -1-i 2 2[1,4] B . [1,5]4 C . H,4]56.已知a,b ，R .下列四个条件中，使 a b 成立的必要而不充分的条件是 （）复数C .丄丄2 22. 已知圆的直角坐标方程为y 2 -2y = 0 . 在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,5. A .= 2cos J B .『=2sin v已知向量a = ( .. 3,1), b = (0,-2).若实数A . (.3, -1)B . (-1^ ,3) 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为A . 3B . -6C .10D . -15k 与向量c 满足a • 2b = k c , C . (-、3,-1)x"已知点P （x, y ）的坐标满足条件 y 乞2,2x y - 2 _0,那么x 2取值范围是= _2sin v则c 可以是（(-1,，3)4 D . [：,5]5该圆的方程为 3. 4. y 2的A. a b-1 B . a b 1 C . |a| |b|7 •某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A . 88B .3B. 4 4C. —3&已知点A(-1, -1).若曲线G 上存在两点B,C ，使△ ABC为正三角形，则称 G 为-型曲线.给定下列三条曲线:13 .在"BC 中，三个内角A ，B 'C 的对边分别为a 'b &若，B 蔦14 .有限集合P 中元素的个数记作 card(P).已知card(M ) =10 , M , B ^ M , Ap| B,■ 2b① y --x3(0^x ^3)；1③ y (x 0). x其中，-型曲线的个数是A . 0B .1②y = .2—x 2 ( —、、2 乞XE O);( )C . 2D . 3第H 卷(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.19.函数f(x)= -------------- 的定义域是 _______ .log 2 x10 .若双曲线x 2 —ky 2 =1的一个焦点是(3,0)，则实数k= __________ 11.如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线.PA PB右——=——，贝U ——=.BC2 BC12 .已知｛a n ｝是公比为2的等比数列，若a^ a^ 6，则a 1 = 2a2III,sin 」5“i+i+i«炖观图且card(A) =2 , card(B) = 3 .若集合X满足A X M，则集合X的个数是__________________ ；若集合丫满足YGM，且AuY , BUY，则集合Y的个数是 ____________•(用数字作答)三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=J3sin2x+sin xcosx , x引n, n .2(I)求f (x)的零点；(n)求f (x)的最大值和最小值.16.(本小题满分13分)盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.(I)从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；(n)从盒中随机抽取2个零件，使用.后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A1BQ1中，AB二BC = 2AA , ■ ABC =90 , D是BC的中点.(I)求证：A,B //平面ADC1；(n)求二面角C j - AD -C的余弦值;(川)试问线段AB上是否存在点E，使AE与DC1成60角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由.18.(本小题满分13分)2 2x y已知椭圆C:二2=1 (a b 0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为a b(I)求椭圆C的方程；(n)设经过点F的直线交椭圆C于M , N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0, y。

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北京市西城区2019年高三一模试卷数 学（理科） 2019。

4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤,{|1}B x x =<，则集合()UA B =（ ）（A ）(,2]-∞(B ）(,1]-∞（C)(2,)+∞（D ）[2,)+∞2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2（B)12（C ）114（D ）114-3．在极坐标系中，过点π(2,)2且与极轴平行的直线方程是（ ) （A ）2ρ=（B)2θπ=(C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为( ) （A ）4 (B ）16 （C ）256 （D ）3log 165．下列函数中,对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A ）()sin =f x x（B ）()sin cos =f x x x（C ）()cos =f x x （D ）22()cos sin =-f x x x6． “8m <"是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ) （A ）3 （B ）4(C ）5（D ）68。

高考数学精品复习资料2019.5北京市西城区20xx —第一学期期末试卷高三数学（理科）20xx.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|02}A x x ，1{|||}B x x ≤，则集合AB（）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. 若3a ，2b ，1cos()3AB ，则c（）（A ）4（B ）15（C ）3（D ）172．已知复数z 满足2i =1iz ，那么z 的虚部为（）（A ）1（B ）i（C ）1（D ）i4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）34（B ）45（C ）56（D ）16．若曲线221axby为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（）（A ）22a b （B ）11ab （C ）0ab （D ）0ba7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x ，且当(0,1]x时，2()f x xx ，则当[2,1]x时，()f x 的最小值为（）（A ）116（B ）18（C ）14（D ）05．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧?AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（）（A ）22y x =+-（B ）112y x =+-（C ）22y x =-+（D ）12y x =+-i=1，S=0开始1(1)SSi i i=i+15i ≥输出S 结束否是8. 如图，正方体1111ABCDA BC D 的棱长为23，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BPx ，则当[1,5]x时，函数()y f x 的值域为（）（A ）[26,66]（B ）[26,18]（C ）[36,18]（D ）[36,66]第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k ，若向量OA AB ，则实数k_____．10．若等差数列{}n a 满足112a ，465a a ，则公差d______；24620a a a a ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）ABA 1B 1DC D 1C 1P侧(左)视图213．如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA，3BC ，则PB______；AC AB______．14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2xy x y xy ≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T vxy的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v .（1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是；（2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()3cos f x x ，π()sin()(0)3g x x，且()g x 的最小正周期为π. （Ⅰ）若6()2f ，[π,π]，求的值；（Ⅱ）求函数()()yf xg x 的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；APB CO .（Ⅲ）当2a 时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF=3，H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角HBDC 的大小.18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a ，其中e 是自然对数的底数，a R .（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a时，试确定函数2()()g x f x a x 的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W yx 上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐甲组乙组8 91a8 22FB CEAHD标原点.（Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2）,记[]n n b a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .（Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q .（Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N**挝.北京市西城区20xx —第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准20xx.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B5．A 6．C 7．A 8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．410．125511．2312．2413．1214．(1,1)π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x的最小正周期为π，所以2||ω，解得2ω．………………3分由6()2f，得63cos22，即2cos22，………………4分所以π22π4k，k Z.因为[π,π]，所以7πππ7π{,,,}8888. ………………6分（Ⅱ）解：函数π()()3cos2sin(2)3yf xg x x x ππ3cos2sin 2cos cos 2sin33x x x ………………8分13sin 2cos222xxπsin(2)3x，………………10分由2πππ2π2π232k k x≤≤，………………11分解得5ππππ1212k k x ≤≤．………………12分所以函数()()y f x g x 的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k kZ ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得11(889292)[9091(90)]33a ，………………2分解得1a .………………3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，………………4分依题意0,1,2,,9a ，共有10种可能. ………………5分由（Ⅰ）可知，当1a时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．…6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ．……………… 7分（Ⅲ）解：当2a时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，………………9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分因此2(0)9P X，2(1)9P X ，1(2)3P X，1(3)9P X ，1(4)9P X .……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：X 01234P2929131919………………12分所以X 的数学期望221115()1234993993E X ．……………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD .………………1分因为平面BDEF 平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以ED 平面ABCD ，………………2分又因为AC 平面ABCD ，所以ED AC . ………………3分因为ED BDD ，所以AC平面BDEF .………………4分（Ⅱ）解：设AC BD O ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以//ON ED ，又因为ED平面ABCD ，所以ON 平面ABCD ，由ACBD ，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系.………………5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD，3BF，所以(0,3,0)A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D ，(1,0,3)E ，FEzN(1,0,3)F ，(0,3,0)C ，133(,,)222H .………………6分因为AC 平面BDEF ，所以平面BDEF 的法向量(0,23,0)AC . …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为，由333(,,)222DH，得3332307222sin |cos ,|721232DH AC DH AC DH AC，所以直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值为77. ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得133(,,)222BH，(2,0,0)DB.设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z n，所以0,0,BH DBn n ………………10分即1111330,20,x y z x 令11z ，得(0,3,1)n.………………11分由ED平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED，则00(3)01(3)1cos ,232ED EDEDn n n .………………13分由图可知二面角H BD C 为锐角，所以二面角HBDC 的大小为60.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a ，xR ，所以()(1)e xf x xa ．………………2分令()0f x ，得1xa ．………………3分当x 变化时，()f x 和()f x 的变化情况如下：x(,1)a 1a (1,)a ()f x 0()f x ↘↗………………5分故()f x 的单调减区间为(,1)a ；单调增区间为(1,)a ．…………6分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点.………………7分理由如下：由2()()0g x f x a x，得方程2ex ax x ，显然0x 为此方程的一个实数解.所以0x 是函数()g x 的一个零点. ………………9分当0x 时，方程可化简为e xax .设函数()ex aF x x ，则()e1x aF x ，令()0F x ，得xa ．当x 变化时，()F x 和()F x 的变化情况如下：x(,)a a(,)a ()F x 0()F x ↘↗即()F x 的单调增区间为(,)a ；单调减区间为(,)a ．所以()F x 的最小值min()()1F x F a a .………………11分因为1a ，所以min()()10F x F a a ，所以对于任意xR ，()0F x ，因此方程e x ax 无实数解．所以当0x时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x 的焦点为1(0,)4.………………1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x ，………………2分令0x ，得1y k ，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k .………………3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以114k ，解得34k.………………5分（Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x yx 消去y ，得210xkx k ，由韦达定理，得11x k ，所以11x k .………………7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k ，211x k.………………8分对函数2y x 求导，得2y x ，所以抛物线2yx 在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y xx x x ，即2112y x x x.………………9分同理，抛物线2y x 在点C 处的切线CD 的方程为2222yx xx .………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x yx x x 解得12311(2)22x x x kk ，3121y x x k k，所以点D 的坐标为111((2),)2kk kk.………………11分因此点D 在定直线220xy 上.………………12分因为点O 到直线220x y 的距离22|2002|25521d，所以255OD ≥，当且仅当点42(,)55D 时等号成立．………………13分由3125y kk，得1265k，验证知符合题意.所以当1265k时，OD 有最小值255. ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =，得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<.………………1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==.………………2分即,6,2,4,17,3.nnnT n ≥………………3分（Ⅱ）证明：因为201421()nT n n ≤，所以113b T ==，120142(2)n nnb T T n ≤≤.………………4分因为[]n n b a =，所以1[3,4)a ，2014[2,3)(2)n a n ≤≤.………………5分由21a qa ，得1q.………………6分因为201220142[2,3)a a q ，所以20122223qa ≥，所以2012213q ，即120122()13q .………………8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为1a N*?，q N *?，所以11n n a a qN-*=?，所以[]n n n b a a ==对一切正整数n 都成立.因为12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以n n S T =.………………9分（必要性）因为对于任意的n N *?，n n S T =，当1n时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n nn a S S ，1n n n b T T ，得n n a b .所以对一切正整数n 都有nn a b .由n b Z ?，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N*?，………………10分所以公比21a qa 为正有理数.………………11分假设q N *?，令p q r=，其中,,1p r rN *?，且p 与r 的最大公约数为1.因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N ?，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r 整除.又因为111211k k kk a p a a qr，且p 与r 的最大公约数为1.所以2k a Z +?，这与n a N *?（n N *?）矛盾. 所以q N . 因此1a N *?，qN .……………13分。