2020北京丰台高三一模数学试卷与答案

2024北京丰台高三一模数 学2024.03本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}220A x x x =−≤，{}10B x x =−>，则A B =（ ）A.{}0x x ≥B.{}01x x <≤C.{}1x x >D.{}12x x <≤2.已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：5321a a −=，且20a =，则d =（ ） A.1−B.0C.1D.23.已知双曲线222:1x C y a −=（0a >）的离心率为2，则a =（ ）A.2C.2D.124.522x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ）A.80−B.40−C.40D.805.已知向量a ，b 满足()3,1b =，()b a λλ=∈R ，且1a b ⋅=，则λ=（ ）A.14 B.12C.2D.46.按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以A0，A1，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为 ②将Ai （i 0,1,,9=）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为()A i 1+规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为（ ） A.6B.7C.8D.97.在平面直角坐标系xOy 中，直线1:l ax by +=上有且仅有一点P ，使1OP =，则直线l 被圆22:4C x y +=截得的弦长为（ ）A.1C.2D.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()8k k παπ=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α−是奇函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2.关于该半正多面体的四个结论：；②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；③表面积为12S =+④外接球的体积为V =. 其中所有正确结论的序号是（ ） A.①②B.①③C.②④D.③④10.已知数列{}n a 满足()()*1*2,,2121,,2nn n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=−∈⎪⎩N N 则（ ）A.当10a <时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立B.当11a >时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立C.当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，112100n a −<D.当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000n a −> 第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.12i34i+=−_________.12.在ABC △中，若5b =，4B π=，3cos 5A =，则a =_________. 13.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________. 14.已知函数()f x 具有下列性质：①当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++；②在区间()0,+∞上，()f x 单调递增；③()f x 是偶函数.则()0f =________；函数()f x 可能的一个解析式为()f x =_________.15.目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具.其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道.现有材料科技条件下，对于一个n 级火箭，在第n 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为()()()1212103ln999n nn a a a v a a a =+++， 其中()1,2,,np jj i i np j ij im m a i n m m m ==+==+−∑∑.注：p m 表示人造天体质量，j m 表示第j （1,2,,j n =）级火箭结构和燃料的总质量.给出下列三个结论： ①121n a a a <；②当1n =时，3ln10v <；③当2n =时，若12ln 2v =6.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，12CA CB CC ===，D 为AB 中点. （Ⅰ）求证：1AC ∥平面1B CD ；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1B B C D −−的余弦值. 条件①：1BC AC⊥； 条件②：1B D =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 17.（本小题14分）已知函数()21cos sin2f x x x x ωωω=−+（0ω>）.（Ⅰ）若2ω=，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，求ω的值.18.（本小题13分）某医学小组为了比较白鼠注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A ，第2组注射药物B.试验结果如下表所示.260mm 的概率；（Ⅱ）从两组皮肤疱疹面积在[)60,80区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X 的分布列和数学期望EX ；（Ⅲ）用“0k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)30,50区间内，“1k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)50,80区间内（1,2k =），写出方差1D ξ，2D ξ的大小关系.（结论不要求证明）19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的焦距为，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形的周长为16. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1S 的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .是否存在定点D ，使得12DM PQ=？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本小题15分）已知函数()()e ln 1x f x x x =++−，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l y g x =，记()()()h x f x g x =−.（Ⅰ）当00x =时，求切线l 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥； （Ⅲ）当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数.（结论不要求证明）21.（本小题15分）已知集合{}*2n M x x n =∈N ≤（n ∈N ，4n ≥），若存在数阵1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足： ①{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M =；②()1,2,,k k a b k k n −==.则称集合n M 为“好集合”，并称数阵T 为n M 的一个“好数阵”. （Ⅰ）已知数阵6712x y z T w ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是4M 的一个“好数阵”，试写出x ，y ，z ，w 的值； （Ⅱ）若集合n M 为“好集合”，证明：集合n M 的“好数阵”必有偶数个； （Ⅲ）判断()5,6n M n =是否为“好集合”.若是，求出满足条件{}12,,,n n a a a ∈的所有“好数阵”；若不是，说明理由.参考答案第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年北京丰台区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若集合，，（ ）．A. B. C. D.2.已知向量，，满足，则（ ）．A. B. C. D.3.若复数满足，则对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.圆的圆心到直线的距离为（ ）．A.B.C.D.5.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.6.“”是“”成立的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于的有（ ）．左视图主视图俯视图A.个B.个C.个D.个8.过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两个不同的点，（点在轴上方），则的值为（ ）．A.B.C.D.9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ）．A.为偶函数B.C.当时，在上有个零点D.若在上单调递减，则的最大值为10.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）．A.B. C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设数列的前项和为，，则．12.若，则函数的最小值为 ，此时 ．13.已知平面和三条不同的直线，，．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．以其中两个论断作为条件，使得成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换．如：对任意一个实数，变换：取其相反数．因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换．有下列种变换：①对，变换：求集合的补集；②对任意，变换：求的共轭复数；③对任意，变换： （，均为非零实数）．其中是“回归”变换的是 ．15.已知双曲线的渐近线是边长为的菱形的边，所在直线．若椭圆经过，两点，且点是椭圆的一个焦点，则．三、解答题（本大题共6小题，共85分）（1）（2）16.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．当时，求．求的取值范围．17.（1）（2）（3）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．求证：平面．求证：平面．在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）（2）（3）18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动．各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）．参与，，三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询从上表三个社区的志愿者中任取人，求此人来自于社区，并且参与社区消毒工作的概率．从上表三个社区的志愿者中各任取人调查情况，以表示负责现场值班值守的人数，求的分布列．已知社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询满意，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询不满意，写出方差，，的大小关系．（只需写出结论）（1）（2）（3）19.已知函数．若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值．当时，求证：．若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围．【答案】解析:集合，集合，∴．故答案选．解析:∵向量，，，∴，解得，故正确．（1）（2）20.已知椭圆离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点，．求椭圆的方程．直线、分别交轴于，两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．12（1）12（2）21.已知有穷数列，，，， ．定义数列的“伴生数列”，，，，， ，其中，，规定，．写出下列数列的“伴生数列”．，，，，．，，，，．已知数列的“伴生数列”，，，， ，，且满足．若数列中存在相邻两项为，求证：数列中的每一项均为．求数列所有项的和．C1.D2.解析:若复数满足，则，其对应的点为，位于第二象限．故选．解析:由题可知：圆心坐标为，圆心到直线的距离．故选．解析:∵，∴，又，且，∴．故选．解析:∵或，∴或，或，所以是成立的充分而不必要条件，故选．解析:B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.由三视图还原几何体如上图．，，平面，，，，故三棱锥的四个面中，面积等于的有个，故选．解析:∵抛物线，∴它的焦点坐标为，∵直线倾斜角为，∴直线的方程为：，即，设直线与抛物线的交点为、，∴，，联立方程组，消去并整理，得，解得，，∴，，∴，的值为，故选：．D 8.D 9.A10.解析:由题意存在非零实数，使得成立，即有解，即有解，设，，①若，则在上恒成立，∴在单调递增，∴，此时不成立，②若，令，，∴在上单调递减，在上单调递增，，，∴使得，故成立，故选．解析:∴数列的前项和为，，，，∴， ，．解析:若，则，，11. ;12.当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，此时．解析:由直线和平面垂直的性质定理可知，若，，则，所以由①④作为条件推出；由平行的传递性可知，若，，则，所以由③⑥作为条件可推出．故答案为①④或③⑥．解析:①由于，所以变换“求集合的补集”是“回归”变换；②由，得，的共轭复数仍是，则变换“求的共轭复数”是一种“回归”变换；③变换连续两次变换后的结果为，则变换不是一种“回归”变换；综上，故答案为：①②．解析:双曲线的渐近线方程为，xyO则，菱形中，边长为，，则，即，焦点为，，又易知，则①④ 或 ③⑥13.①②14.15.（1）（2）（1）（2）．故答案为：．解析:由余弦定理，得，所以．由可知，，即，，因为，所以，故，因此，于是．解析:因为，平面，平面，所以平面．取的中点，连接，（1）．（2）．16.（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）存在；．17.（3）在直角梯形中，易知，且，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理逆定理可知，又因为平面平面，且平面平面，所以平面．取的中点，连接，，所以，因为平面，所以平面.因为，所以．如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，易知平面的一个法向量为，假设在棱上存在一点，使得二面角的大小为，不妨设，所以，设为平面的一个法向量，（1）（2）则 即，令，，所以，从而，解得或，因为，所以，由题知二面角为锐二面角，所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为，此时．解析:记“从上表三个社区的志愿者中任取人，此人来自于社区，并且参与社区消毒工作”为事件，，所以从上表三个社区的志愿者中任取人，此人来自于社区，并且参与社区消毒工作的概率为．从上表三个社区的志愿者中各任取人，由表可知：，，三个社区负责现场值班值守的概率分别为，，，的所有可能取值为，，，，，，，，的分布列为：（1）．（2）（3）．18.（3）（1）（2）（3）．解析:因为，所以，由题知，解得．当时，，所以，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以是在区间上的最小值，所以．由（）知，，若，则当时，，在区间上单调递增，此时无极值．若，令，则，因为当时，，所以在上单调递增，因为，而，所以存在，使得，和的情况如下：极小值（1）．（2）证明见解析．（3）．19.（1）（2）因此，当时，有极小值，综上，的取值范围是．解析:由题意，解得，，所以椭圆的方程为．假设存在点使得，设，因为，所以，则，即，所以，因为直线交椭圆于，两点，则，两点关于轴对称，设，，因为，则直线的方程为，令，得，直线的方程为，令，得，因为，所以，又因为点在椭圆上，所以，所以，即，所以存在点使得成立．（1）椭圆的方程为．（2）存在，点．20.12（1）12（2）解析:，，，，．，，，，．由题意，存在，使得．若，即时，，于是，．所以，所以，即，依次类推可得，所以．若，由得，于是，所以，依次类推可得，所以．综上可知，数列中的每一项均为．首先证明不可能存在使得，若存在使得，则，又得与已知矛盾，所以不可能存在，，由此及（）得数列的前三项，，的可能情况如下：（）时，由（）可得，于是，所以所有项的和．（），，时，，此时与已知矛盾．（） ，，时，，，．于是，，12（1），，，，．，，，，．12（2）证明见解析．或（是的倍数）．21.故，，，于是，，，于是，，，且，，，依次类推且恰是的倍数满足题意，所以所有项的和，同理可得，，及，，时，当且仅当恰是的倍数时，满足题意．此时所有项的和．综上，所有项的和或（是的倍数）．。

丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n nS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区2020 届高三数学 3 月综合练习（一模）试题文第一部分（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

2（ 1）复数i1(A) 1 i (B) 1 i (C) 1 i (D) 1 i(2 ）已知命题p：x <1 ，x2 1 ，则p 为(A) x ≥ 1, x2 f 1 (B) x <1, x2f 1 (C) x <1, x2 f 1 (D)x ≥ 1, x2 f 1 （ 3）已知a b 0 ，则以下不等式中恒建立的是(A) 1 1 (B) a b (C) 2a 2b (D) a3 b3a b（ 4）已知抛物线 C 的张口向下，其焦点是双曲线y2 x2 1的一个焦点，则 C 的标准方程3为(A) y 2 8x (B) x2 8 y (C) y2 2x (D) x2 2 y（ 5）设不等式组0 x 5,D ，在 D 中任取一点 P( x, y) 知足x y 2 的0 y确立的平面地区为5概率是开始11 5(A) (B)12 6 ，(C) 21 (D) 2325 25a 值是（ 6）履行以下图的程序框图，那么输出的(A) 1(B) 1 2(C) 2 (D) 12（ 7）某三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的体积为否?是(A) (C)44 输出a(B)832结束(D) 33 322正视图侧视图11俯视图（ 8）设函数 f ( x) sin(4 x π[0,9πf ( x) a (a R ) 恰有三个零点) ( x ]) ，若函数y4 16x1， x2， x3 ( x1 x2 x3 ) ，则 x1 2x2 x3的值是π(B) 3π(C) 5π(D) π(A)2 4 4第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。

（ 9）已知会合 A { x | 2 x 0}，B { x |0 x 3} ，则A U B ．（ 10）圆心为(1,0) ，且与直线 y x 1相切的圆的方程是．（ 11）在△ABC中，a 2，c 4 ，且 3sin A 2sin B ，则 cosC ____ ．（ 12）已知点A(2,0) ， B(0,1) ，若点 P( x, y) 在线段AB上，则xy的最大值为____．（ 13）已知定义域为R 的奇函数 f ( x)，当 x 0 时， f ( x) ( x 1)2 1 ．①当 x [ 1,0] 时， f ( x) 的取值范围是____；②当函数 f (x) 的图象在直线y x 的下方时，x的取值范围是．（ 14）已知C 是平面 ABD 上一点， AB AD，CB CD 1 ．uuur uuur uuur uuur____ ；①若 AB 3AC ，则 AB CDuuur uuur uuur uuur①若 AP AB AD ，则 | AP |的最大值为____．三、解答题共 6 小题，共80 分。

2023年北京丰台区高三一模数学试卷(详解)一、单选题2.A.B.C.D.【答案】【解析】设，且，则C解：A .取，，则不成立；B .取，，则不成立；C .∵，∴，正确；D .取，∵，∴，因此不成立．故选：.3.A.B.C.2D.3【答案】已知圆与轴相切，则（ ）C1.A. B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（ ）D 【分析】根据并集运算求解.【详解】因为集合，，所以，故选:D.【解析】【分析】求出圆心和半径，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为.因为圆与轴相切，所以.故选：C4.A.B.0C.1D.2【答案】【解析】已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）A 【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，，所以.故选：A5.A.B.C.D.【答案】【解析】在平面直角坐标系中，若角以轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为（ ）B 【分析】根据三角函数的定义得到，再根据特殊角的三角函数判断即可.【详解】依题意可得，则或，所以的一个可能取值为.故选：B6.A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】【解析】在中，若，则该三角形的形状一定是（ ）A 【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状．【详解】解：在中，，，即，，，，即，则为等腰三角形．故选：A ．7.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】设无穷等差数列|的前n 项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的（ ）A 【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：因为“对任意，都有”，所以，所以“数列为递增数列”成立.故充分性满足；必要性：因为“数列为递增数列”，取数列：-1，1，3，5……符合数列为无穷等差数列|，且为递增数列，但是.故必要性不满足.故“对任意，都有”是“数列为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A\displaystyle{S_{n}=S_{n}_{-1}+a_{n}> S_{n}_{-1},n\geq 2}8.A.1B.C.2D.【答案】【解析】已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点为F ，A 是抛物线C 上的一点，点A 到x 轴的距离为．过点A 向抛物线C 的准线作垂线、垂足为B ．若四边形ABOF 为等腰梯形，则p 的值为（ ）C 【分析】过点A 向x 轴作垂线、垂足为E ．设准线交x 轴于D.利用几何法求出直角三角形的三边，利用勾股定理即可求解.【详解】如图示：过点A （不妨设为第一象限点）向x 轴作垂线、垂足为E ．设准线交x 轴于D.因为四边形ABOF 为等腰梯形，所以，.所以.又，所以，所以，所以.所以.由抛物线的定义可得：.在直角三角形中，,.由勾股定理可得：，解得：.故选：C9.A.3B.C.2D.【答案】【解析】已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t 的最小值为（ ）B 【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为存在常数，使得对任意，都有，所以函数的周期为，当时，函数在单调递减，所以当时，函数在上单调递减，因为在区间上单调递减，所以有，故选：B 【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.10.A.0B.1C.2D.3【答案】【解析】如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：①三棱锥的体积的最大值为；②的最小值为；③点到直线的距离的最小值为．其中所有正确结论的个数为（ ）C 【分析】根据锥体的体积公式判断①，将将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理求出距离最小值，即可判断②，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出点到距离，再根据函数的性质计算可得.【详解】在直三棱柱中平面，对于①：因为点在棱上，所以，又，又，，，点在棱上，所以，，所以，当且仅当在点、在点时取等号，故①正确；对于②：如图将翻折到与矩形共面时连接交于点，此时取得最小值，因为，，所以，所以，即的最小值为，故②错误；对于③：如图建立空间直角坐标系，设，，，，，所以，，则点到直线的距离，当时，当时，，，则，所以当取最大值，且时，即当在点在点时点到直线的距离的最小值为，故③正确；故选：C二、填空题11.【答案】若复数是纯虚数，则 ．【解析】【踩分点】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.【详解】，因为是纯虚数，所以，解得.故答案为：12.【答案】【解析】【踩分点】已知正方形的边长为，则 ．【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.【详解】因为正方形的边长为，所以，，，所以.故答案为：13.【答案】【解析】从，，，，这个数中任取个不同的数，记“两数之积为正数”为事件，“两数均为负数为事件．则 ．/【分析】根据古典概型的概率公式求出，，再由条件概率的概率公式计算可得.【踩分点】【详解】从，，，，这个数中任取个不同的数有种取法，其中满足两数之积为正数的有种取法，满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，所以，，所以.故答案为：三、双空题14.【答案】【解析】设函数若存在最小值，则a 的一个取值为 ；a 的最大值为 ．1（≤1的任一实数，答案不唯一）； ; 1【分析】利用导数讨论函数的单调性，分析取最值的情况，进行求解.【详解】记函数，则.令，解得：.列表得：+0-0+单增单减单增对于函数，当时，不能取得最小值，所以存在最小值，的最小值只能在时，时取得.当时，在单减，在单增，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；【踩分点】当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增.所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增，且，所以的最小值为，即存在最小值；当时，在单减，在单增，且，不能取得最小值.综上所述：当时函数存在最小值.故答案为：①1（的任一实数，答案不唯一）；②1.15.【答案】三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus （约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C 为圆心作圆交角的两边于A ，B 两点；取线段AB 的三等分点O ，D ；以B 为焦点，A ，D 为顶点作双曲线H ．双曲线H 与弧AB 的交点记为E ，连接CE ，则．①双曲线H 的离心率为 ；②若，，CE 交AB 于点P ，则．2【踩分点】【分析】①根据图形关系确定即可求解；利用面积之比，进而可求出，再根据求解.【详解】①由题可得所以，所以双曲线H 的离心率为；②，因为，且，所以,又因为，所以所以，所以,因为,解得，所以,故答案为:2;.四、解答题16.【答案】已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若函数，求在区间上的最大值和最小值．(1)(2)最大值为和最小值为0π【踩分点】【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式；（2）根据三角恒等变换化简，进而分析在区间上的最大值和最小值.【详解】（1）由图象可知：，将点代入得，∴（2）由得当时，即；当时，即；π17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC 交BD 于点O ，，．点E 是棱PA 的中点，连接OE ，OP ．(1)求证：平面PCD ；(2)若平面PAC 与平面PCD 的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP 的长．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】【解析】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明；(2)利用空间向量的坐标运算表示出平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，即可求解.【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点，因为E是棱PA的中点，所以，又因为平面PCD, 平面PCD,所以平面PCD.（2）选择条件①:因为，是的中点，所以,因为平面平面,平面平面,平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系,因为菱形的边长为2，所以,所以设所以，设为平面的一个法向量，由得所以取，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为,平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,所以，所以所以，所以，因为，所以，所以.所以线段OP的长为.选择条件②:因为.在菱形中，，因为平面平面,所以平面,因为平面，所以，因为,所以两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系,因为菱形的边长为2，所以,所以设所以，设为平面的一个法向量，由得所以取，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为,平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为,所以，所以所以，所以，因为，所以，所以.所以线段OP的长为.【踩分点】18.【答案】【解析】交通拥堵指数（TPI ）是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI 越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI 的公式为：，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI 不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的统计数据如下图：(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；(2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为，求的分布列及数学期望；(3)把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI 依次记为，将2022年同期TPI 依次记为，记，．请直接写出取得最大值时的值．(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）根据随机事件的概率公式即可求解；（2）结合题意先求出的分布列，再结合数学期望的公式求解即可；（3）结合题意先求得，进而即可求解.【详解】实际行程时间畅通行程时间（1）由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为.（2）由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI高的天数只有1月3日和1月4日这2天，所以，，，所以的分布列为：012数学期望.（3）由题意，，，，，，，，所以，所以取得最大值时，.【踩分点】19.【答案】【解析】已知椭圆的一个顶点为，焦距为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过点B ，C 分别作直线的垂线（点B ，C 在直线l 的两侧）．垂足分别为M ，N ，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t ，使得，，总成等比数列？若存在，求出t 的值．若不存在，请说明理由．(1)(2)存在，使得，，总成等比数列.【分析】(1)根据的关系求解；(2)表示，，的面积，利用韦达定理表示出即可求出常数t 的值.【详解】（1）根据已知可得，所以，所以椭圆E 的方程为.（2）由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧，设直线的方程为，，不妨设，则由得所以因为，所以，【踩分点】，要使，，总成等比数列，则应有解得，所以存在，使得，，总成等比数列.20.【答案】【解析】已知函数．(1)求函数的极值；(2)若函数有两个不相等的零点，．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：．(1)函数无极大值，有极小值.(2)（i ）.（ii ）见详解.【分析】(1)利用导数研究函数的单调性和极值.(2)（i ）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解.（ii ）利用构造对称函数以及导数进行证明.【详解】（1）因为，所以，因为，由有：，由有：，所以函数在单调递减，在单调递增，所以函数无极大值，有极小值.（2）（i ）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增，若函数有两个不相等的零点，，则，解得，所以，因为当时，，所以，【踩分点】所以在上有1个零点，当时，，又“指数爆炸”，所以，所以在上有1个零点，综上，当时，函数有两个不相等的零点，.（ii ）由（i ）有：当时，函数有两个不相等的零点，，不妨设，构造函数，则，因为，所以，因为，所以，当前仅当时取到等号，所以，所以在R 上单调递减，又，所以，即，即，又，所以，又，所以，由(1)有：函数在单调递减，所以，即，结论得证.21.【答案】已知集合，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．(1)试判断集合，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）(2)如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；(3)若的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集”(2)证明见解析(3)【解析】【分析】（1）根据所给定义判断即可.（2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可；（3）首先利用反例说明当、时不成立，再利用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，即可得解.【详解】（1）因为，对于集合，令，解得，显然，，所以是集合的“期待子集”；对于集合，令，则，因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；（2）先证明必要性：当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得，不妨设，令，，，则，即条件中的①成立；又，所以，即条件中的②成立；因为，所以为偶数，即条件中的③成立；所以集合满足条件.再证明充分性：当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数，记，，，由③得，由①得，由②得，所以，因为，，，所以，，均属于，即集合是集合的“期待子集”.（3）的最小值为，理由如下：一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由（2）知，不是的“期待子集”；当时，对于集合，从中任取三个不同的元素，若不含有，则不满足条件的③，若含有，则另外两个数必都是奇数，因为任意两个奇数之差（大数减小数）都不小于，故不满足条件中的②，所以不是的“期待子集”；所以.另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：（I）当时，对于集合的任意含有个元素的子集，记为，当、、三个数中恰有个属于时，则，因为数组、、、、都满足条件，当三个数都属于，因为数组满足条件，所以此时集合必是集合的“期待子集”，所以当时的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”.（II）假设当时结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集，分成两类，①若，至多有个属于，则中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立；②若，，则集合中恰含的个元素，此时，当中只有一个奇数时，则集合中包含中的所有偶数，此时数组，，符合条件，结论成立；当集合中至少有两个奇数时，则必有一个奇数不小于，此时数组，，符合条件，结论成立，所以时结论成立，根据（I）（II）知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以的最小值为【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.【踩分点】。

2024年3月北京市丰台区高三数学高考一模综合练习卷试卷150分．考试时长120分钟2024．03第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}10B x x =->，则A B ⋃=（）A ．{}0x x ≥B ．{}01x x ≤<C ．{}1x x >D ．{}12x x <≤2．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：5321a a -=，且20a =，则d =（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的离心率为2，则=a （）A ．2BC D ．124．在二项式252()x x-的展开式中，x 的系数为（）A ．﹣80B ．﹣40C ．40D ．805．已知向量a ，b满足)b =，()b a λλ=∈R ，且1a b ⋅=，则λ=()A ．14B ．12C ．2D ．46．按国际标准，复印纸幅面规格分为A 系列和B 系列，其中A 系列以0A ，1A ，…等来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①0A 规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为②将i A （i 0,1,,9= ）纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为()i 1A +规格纸张（如图）．某班级进行社会实践活动汇报，要用0A 规格纸张裁剪其他规格纸张．共需4A 规格纸张40张，2A 规格纸张10张，1A 规格纸张5张．为满足上述要求，至少提供0A 规格纸张的张数为（）A ．6B ．7C ．8D ．97．在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l ax by +=上有且仅有一点P ，使1OP =，则直线l 被圆22:4C x y +=截得的弦长为（）A ．1BC ．2D．8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论：②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；③表面积为12S =+；④外接球的体积为V =．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④10．已知数列{}n a 满足()()*1*2N ,2121N ,2nn n a n k k a a n k k +⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪=-∈⎪⎩，，则（）A ．当10a <时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立B ．当11a >时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M >，使得n a M >恒成立C ．当101a <<时，存在正整数0N ，当0n N >时，112100n a -<D ．当101a <<时，对于任意正整数0N ，存在0n N >，使得1121000n a ->第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．计算12i34i+=-.12．在ABC 中，若5b =，4B π=，cos A =，则=a .13．已知F 是抛物线24y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为．14．已知函数()f x 具有下列性质：①当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++；②在区间()0,∞+上，()f x 单调递增；③()f x 是偶函数．则()0f =；函数()f x 可能的一个解析式为()f x =．15．目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个n 级火箭，在第n 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为()()()1212103ln 999n nn a a a v a a a =+++ ，其中()1,2,,np jj i i np j ij im m a i n m m m ==+==+-∑∑ ．注：p m 表示人造天体质量，j m 表示第j （1,2,,j n = ）级火箭结构和燃料的总质量．给出下列三个结论：①121n a a a < ；②当1n =时，3ln10v <；③当2n =时，若12ln 2v =6．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CB CC ===，D 为AB 中点．(1)求证：1//AC 平面1B CD ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角1B B C D --的余弦值．条件①：1BC AC ⊥；条件②：1B D =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．17．已知函数()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+(0ω>)．(1)若2ω=，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ω的值．18．某医学小组为了比较白鼠注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A ，第2组注射药物B ．试验结果如下表所示．疱疹面积（单位：2mm ）[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80第1组（只）34120第2组（只）13231(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于260mm 的概率；(2)从两组皮肤疱疹面积在[)60,80区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数X 的分布列和数学期望()E X ；(3)用“0k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)30,50区间内，“1k ξ=”表示第k 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在[)50,80区间内（1,2k =），写出方差()1D ξ，()2D ξ的大小关系．（结论不要求证明）19．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0a b >>)的焦距为，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形的周长为16．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()0,1S 的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ．是否存在定点D ，使得12DM PQ =？若存在，求出D 的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知函数()()e ln 1xf x x x =++-，曲线():C y f x =在点()()00,x f x 处的切线为():l yg x =，记()()()h x f x g x =-．(1)当00x =时，求切线l 的方程；(2)在（1）的条件下，求函数()h x 的零点并证明()0xh x ≥；(3)当00x ≠时，直接写出函数()h x 的零点个数．（结论不要求证明）21．已知集合{}*N 2n M x x n =∈≤（n ∈N ，4n ≥），若存在数阵1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 满足：①{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M = ；②()1,2,,k k a b k k n -== ．则称集合n M 为“好集合”，并称数阵T 为n M 的一个“好数阵”．(1)已知数阵6712x y z T w ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是4M 的一个“好数阵”，试写出x ，y ，z ，w 的值；(2)若集合n M 为“好集合”，证明：集合n M 的“好数阵”必有偶数个；(3)判断()5,6n M n =是否为“好集合”．若是，求出满足条件{}12,,,n n a a a ∈ 的所有“好数阵”；若不是，说明理由．1．A 【分析】解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解.【详解】因为{}{}220|02A x x x x x =-≤=≤≤，{}{}101B x x x x =->=，所以{}0A B x x ⋃=≥.故选：A.2．C 【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.【详解】()5311124221a a a d a d a -=+-+=-= ，11a ∴=-，()21011d a a ∴=-=--=.故选：C.3．B 【分析】根据双曲线方程求出b 、c ，再由离心率公式计算可得.【详解】双曲线222:1x C y a-=（0a >）中1b =，所以c =则离心率ce a==22a =，所以a =.故选：B 4．A【分析】根据二项展开式的通项，可得10315(2)r r rr T C x -+=-，令3r =，即可求得x 的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式252(x x -的展开式的通项为251031552()((2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令3r =，可得3345(2)80T C x x =-=-，即展开式中x 的系数为80-，故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．D【分析】用λ表示出向量a的坐标，再根据数量积的坐标运算即可求得答案．【详解】1a b ⋅= ，0a ∴≠，又),b a b λ==，31a λλ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，0λ≠，311a b λλ∴⋅=+= ，4λ∴=．故选：D ．6．C【分析】设一张0A 规格纸张的面积为x ，从而得到一张1A 、2A 、4A 纸的面积，再求出所需要的纸的总面积，即可判断.【详解】依题意1张0A 规格纸张可以裁剪出2张1A ，或4张2A 或16张4A ，设一张0A 规格纸张的面积为x ，则一张1A 规格纸张的面积为12x ，一张2A 规格纸张的面积为14x ，一张4A 规格纸张的面积为116x ，依题意总共需要的纸张的面积为111140105716422x x x x x ⨯+⨯+⨯=+，所以至少需要提供8张0A 规格纸张，其中将3张0A 裁出5张1A 和2张2A ；将2张0A 裁出8张2A ；将剩下的3张0A 裁出31648⨯=张4A ，即共可以裁出5张1A 、10张2A 、48张4A .故选：C 7．D 【分析】利用垂径定理直接求解即可.【详解】由题意知：坐标原点O 到直线l 的距离1d =；圆C 的圆心为()0,0O ，半径2r =，l ∴被圆C 截得的弦长为=故选：D.8．A【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A 9．B 【分析】注意到棱长总是一个等腰直角三角形的斜边，即可通过直角边的长度判断①正确；可以找到一对位于正方形相对的面上的两条垂直且异面的棱，得到②错误；根据该几何体每种面（正三角形和正方形）各自的数量和面积，可以计算出该几何体的表面积，从而判断出③正确；直接证明正方形的中心到该几何体每个顶点的距离都相等，并计算出距离，即可求出外接球的体积，得到④错误.这就得到全部正确的结论是①③，从而选B.【详解】如图所示：该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边，且该等腰直角三角形的直角边长度为正方体边长的一半，故该等腰直角三角形的直角边长度为1若1122,A B A B 为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱，2222,A B A D 为该几何体位于正方体的同一个面的两条棱，则2222A B A D ⊥，11A B 平行于22A B ，1122,A B A D 异面，所以1122,A B A D 异面，1122A B A D ⊥，这意味着存在一对异面的棱所成角是直角，②错误；该几何体一共有14个面，其中6个是正方形，8个是正三角形，故每个正方形的面积都是2，每个正三角形的面积都是2，故表面积为628122S =⋅+⋅=+设正方体的中心为O ，由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点，故O 到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体边长的2这意味着以O 34π3V =，④错误.从而全部正确的结论是①③.故选：B.10．D 【分析】直接构造反例即可说明A 和B 错误；然后证明引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.最后由该引理推出C 错误，D 正确.【详解】当112a =-时，121124a a +==，23211284a a a ==<=，所以此时{}n a 不是递增数列，A 错误；当132a =时，121524a a +==，23528a a ==，34311352168a a a +==>=，所以此时{}n a 不是递减数列，B 错误；我们证明以下引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.若该引理成立，则它有两个直接的推论：①存在101a <<，使得对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥；②当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得1121000n a ->.然后由①是C 的否定，故可以说明C 错误；而②可以直接说明D 正确.最后，我们来证明引理：当101a <<时，对任意确定的正整数0N ：如果011111,21002100N a +⎛⎫∉-+ ⎝⎭，则01112100N a +-≥；如果011111,21002100N a +⎛⎫∈-+ ⎝⎭，则00122N N a a ++=或001212N N a a +++=.此时若00122N N a a ++=，则001211111111*********2420024200242002100N N a a+++⎛⎫=<=+=-+=--<-⎪⎝⎭；若001212N N a a +++=，则001211113111111111210022420024200244002100N N a a++-++⎛⎫=>=-+-=+->+ ⎪⎝⎭.无论哪种情况，都有021111,21002100N a +⎛⎫∉-+ ⎪⎝⎭，从而02112100N a +-≥.这说明01112100N a +-≥或02112100N a +-≥，所以可以选取{}001,2n N N ∈++，使得112100n a -≥.这就说明存在0n N >，使得112100n a -≥.这就证明了引理，从而可以推出C 错误，D 正确.故选：D.【点睛】最关键的地方在于引理：当101a <<时，对任意的正整数0N ，都存在0n N >，使得112100n a -≥.这一引理可以帮助我们判断出较难判断的C 和D 选项.11．12i55-+【分析】利用复数的除法公式，即可计算结果.【详解】()()()()12i 34i 12i 510i 12i 34i 34i 34i 2555+++-+===-+--+.故答案为：12i55-+12．【分析】由cos 5A =求出sin A ，根据正弦定理求解即可.【详解】cos A =sin A ∴,由正弦定理可得：sin sin a bA B=,=解得：a =故答案为：【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系，正弦定理，属于容易题.13．3【分析】根据抛物线定义可得12x x +，结合中点坐标公式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：()1,0F ；设()()1122,,,A x y B x y ，由抛物线定义知：12118AF BF x x +=+++=，126x x ∴+=，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为1232x x +=.故答案为：3.14．1-()||1f x x =-（答案不唯一）【分析】令120x x ==即可求出()0f ，再找到符合题意的函数解析式（一个），然后一一验证即可.【详解】因为当[)12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12121f x x f x f x +=++，令120x x ==可得()()()0001f f f =++，解得()01f =-，不妨令()||1f x x =-，x ∈R ，则1,0()11,0x x f x x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，满足②；又()||1||1()f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数，满足③；当[)12,0,x x ∈+∞时()12121211f x x x x x x +=+-=+-，()11111f x x x =-=-，()22211f x x x =-=-，所以()()()12121f x x f x f x +=++，满足①.故答案为：1-；()||1f x x =-（答案不唯一）【分析】只需证明每个i a 都大于1即可判断①错误；直接考虑1n =时v 的表达式即可判断②正确；2n =时，将条件12ln 2v =转化为关于12,a a6，推出③正确.【详解】首先，对1,2,,i n = ，有n j i j im m =≥∑，故0n p j i p j im m m m =≥+->∑，0np j p j im m m =+>>∑，这推出0i a >.由于()11,2,,j ij ip j p j nn i j ij ip j ip jn n m m m m a i n m m m m m ====+∑+∑=>==+∑-+∑ ，故每个i a 都大于1，从而121n a a a > ，①错误；由于当1n =时，有111110103ln 3ln 3ln109a a v a a =<=+，故②正确；由于当2n =时，()()12121003ln 99a a v a a =++，若12ln 2v =，则()()12121003ln 12ln 299a a a a =++.从而()()1212100ln4ln 2ln1699a a a a ==++，故()()12121001699a a a a =++.这意味着()()12121001699a a a a =++，即()()121225499a a a a =++，从而我们有()()121225499a a a a =++()()12124819a a a a =+++(()124819a a ≥++123244a a +=.等号成立当且仅当12a a =，故1212324254a a a a ≥+，即12023124a a -≥，即1210807a a --≥，分解因式可得)()6180+≥，再由180+>60≥6，③正确.故答案为：②③.【点睛】关键点点睛：判断第三问的关键是得到条件等式()()121225499a a a a =++，结合基本不等式即可顺利得解.16．(1)证明过程见解析(2)无论选条件①还是选条件②，二面角1B B C D --的余弦值都是3【分析】（1）连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，由中位线定理得1//AC DE ，结合线面平行的判定定理即（2）首先证明无论选条件①还是选条件②，都有1,,CA CB CC 两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，求出平面1CBB 、平面1CDB 的法向量，注意到二面角1B B C D --是锐角，结合向量夹角的坐标公式即可求解.【详解】（1）连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，因为四边形11BCC B 为平行四边形，E 为它的对角线1BC 、1B C 交点，所以点E 是1BC 的中点，因为D 是AB 中点，所以DE 是1ABC 的中位线，所以1//AC DE ，因为DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1B CD ；（2）若选条件①：1BC AC ⊥，因为1CC ⊥底面ABC ，,CA CB ⊂底面ABC ，所以11,CC CA CC CB ⊥⊥，又因为1BC AC ⊥，且11111,,AC CC C AC CC ⋂=⊂面11ACC A ，所以BC ⊥面11ACC A ，而AC ⊂面11ACC A ，所以BC AC ⊥，即1,,CA CB CC 两两互相垂直，若选条件②：1B D 因为1B B ⊥面ABC ，BD ⊂面ABC ，所以1BB BD ⊥，因为1B D 112BB CC ==，所以BD ==因为点D 是AB 中点，所以2AB BD ==，因为2CA CB ==，所以222CA CB AB +=，即CA CB ⊥，由前面分析可知11,CC CA CC CB ⊥⊥，所以1,,CA CB CC 两两互相垂直，综上，无论选条件①还是选条件②，都有1,,CA CB CC 两两互相垂直，故以点C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,1,1,0B B C D ，所以()()()10,2,0,0,2,2,1,1,0CB CB CD ===，设平面1CBB 、平面1CDB 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，从而有11100CB n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，2120CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，也就是有11120220y y z =⎧⎨+=⎩，22220220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令121x x ==，解得11220,1,1y z y z ===-=，所以可取平面1CBB 、平面1CDB 的法向量分别为()()121,0,0,1,1,1n n ==-，显然二面角1B B C D --是锐角，所以二面角1B B C D --的余弦值为121212cos ,3n n n n n n ⋅==⋅.17．(1)12；(2)1．【分析】(1)直接代入2ω=及6x π=计算即可；(2)化简f (x )解析式，根据()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可知该区间长度小于或等于f (x )的半个周期，再结合012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0ω>可得ω的值．【详解】（1）∵2ω=，∴211311cos sin 6333222422f ππππ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭．（2）()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+1cos21sin2sin 22226x x x ωπωω-⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭∵()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2263T πππ≥-=，即223T ππω=≥，∴03ω<≤．∵012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin 01266f πωππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ,Z 66k k ω-+=∈即()16k k ω=-∈Z ，所以当0k =时，1ω=.此时()f x =sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，732,62622x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故此时()f x 单调递减，符合题意.综上，1ω=.18．(1)1225(2)分布列见解析，()2E X =(3)()()12D D ξξ<【分析】（1）根据古典概型的概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得；（2）依题意X 的可能取值为1、2、3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（3）分别求出()10P ξ=，()11P ξ=，()20P ξ=，()21P ξ=，从而求出1D ξ、2D ξ，即可比较.【详解】（1）记被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于260mm 为事件C ，其中从第1组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于260mm 的概率为810，从第2组中选出的1只白鼠皮肤疱疹面积小于260mm 的概率为610，所以()8612101025P C =⨯=.（2）依题意X 的可能取值为1、2、3，且()212436C C 11C 5P X ===，()122436C C 32C 5P X ===，()032436C C 13C 5P X ===，所以X 的分布列为：X123P153515所以()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=.（3）依题意可得()17010P ξ==，()13110P ξ==，所以()173301101010E ξ=⨯+⨯=，所以()221373321001101010101000D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()24010P ξ==，()26110P ξ==，所以()246601101010E ξ=⨯+⨯=，所以()2226466240210011010101010001000D ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12D D ξξ<.19．(1)221124x y +=；(2)存在，()0,2D -.【分析】(1)根据焦距可求c ，根据已知四边形周长及a 、b 、c 的关系可求出a 、b ，从而可求椭圆标准方程；(2)由题可知，若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ．从而只需从直线l 斜率不存着时入手求出该定点D ，斜率存在时验算0DP DQ ⋅=即可．【详解】（1）由题意得22216,2.c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2212,4.a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆E 的方程为221124x y +=．（2）若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ．当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①，当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±，因此PQ 为直径的圆的方程为22(1)9x y +-=②．联立①②，得0,2,x y =⎧⎨=-⎩猜测点D 的坐标为()0,2-．设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2231690k x kx ++-=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122269,.3131k x x x x k k +=-=-++∴()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+()()121222x x y y =+++()()121233x x kx kx =+++()()21212139k x x k x x =++++()222961393131k k k k k ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭0.=综上，存在定点()0,2D -，使得12DM PQ =．20．(1)1y x =+(2)函数()h x 有唯一零点0x =，证明过程见解析(3)2【分析】（1）只需分别求出()()0,0f f '即可得解；（2）首先有()()e ln 121xh x x x =++--，()()1e 211x x x h x x +--'=+，令()()()1e 21,1xm x x x x =+-->-，我们可以通过构造导数来说明()0m x >，即()0h x '>，这表明了()h x 单调递增，注意到()00h =，由此即可进一步得证；（3）首先我们可以连续求导说明函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.其次()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.进一步有()()000h x h x '==，然后分000,10x x >-<<两种情况分类讨论即可求解.【详解】（1）当00x =时，()()001f x f ==，而()1e 11xf x x =+-+'，所以()01f '=，从而切线方程为10y x -=-，也就是1y x =+.（2）由题意()()()()()()e ln 11e ln 121x xh x f x h x x x x x x =-=++--+=++--，所以()()1e 211e 211x xx x h x x x +--=+-='++，令()()1e 21x m x x x =+--，则()()2e 2xm x x =+-'，当10x -<<时，122x <+<，0e 1x <<，所以()2e 2e 212x xx +<<⨯=，即()0m x '<，所以当10x -<<时，()m x 单调递减，()()00m x m >=，当0x >时，22x +>，e 1x >，所以()2e 2e 212x xx +>>⨯=，即()0m x '>，所以当0x >时，()m x 单调递增，()()00m x m >=，综上，()0m x ≥恒成立，也就是()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()1,∞-+上单调递增，又因为()00h =，故函数()h x 有唯一零点0x =，且当10x -<<时，()0h x <，当0x >时，()0h x >；因此当10x -<<时，()0xh x >，当0x >时，()0xh x >，故()0xh x ≥；（3）对n 个实数12,,...,n a a a ，定义()12max ,,...,n a a a 和()12min ,,...,n a a a 分别为12,,...,n a a a 中最大的一个和最小的一个.现在，()()e ln 1x f x x x =++-，故()1e 11xf x x =+-+'，令()()f x x ϕ'=，再对()x ϕ求导一次得到()()21e 1xx x ϕ=-+'.当10x -<<时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=-<-='-=++，()x ϕ单调递减；当0x >时，()()()02211e e 110101xx x ϕ=->-='-=++，()x ϕ单调递增.故函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增.由于曲线()y f x =在()()00,x f x 处的切线斜率为()0001e 11x f x x =+-+'，故该切线的方程为()()()000y f x x x f x =-+'，从而()()()()000g x f x x x f x -'=+.现在我们有()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，故()()()0h x f x f x ''-'=.首先我们有()()()()()()()000000000h x f x f x x x f x f x f x '=---=-=，()()()0000h x f x f x =-''='，故()()000h x h x '==.已证函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，下面我们分情况讨论：当00x >时：由于()()()()()()()011200000011111e 111111121111222f x f f x f x f x f x f x f x -++'⎛⎫-+=+->-=-=+> ⎪ ⎪+⎝⎭-++-++++'''''''+，故()()()0001111022h f f x f x f x '''''⎛⎫⎛⎫-+=-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，同时由()f x '在[)0,∞+上递增，知()()()0000h f f x =-''<'，而()0111110222f x -+≤-+=-'<+，故()h x '在()011,02f x ⎛⎫-+ +⎝'⎪⎪⎭上必存在一个零点，记该零点为u ，则有()0h u '=，且()01102u f x -'+<<+，从而10u -<<.由于函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，010u x -<<<，当1x u -<<时，()()()()()()000h x f x f x f u f x h u '''''-='=->=；当0u x <≤时，()()()()()()000h x f x f x f u f x h u '''''-='=-<=；当00x x <<时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =-<-''''='；当0x x >时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =->-''''='.这表明()h x 在()0,u x 上递减，在()1,u -和()0,x ∞+上各自递增.由于()h x 在()1,u -上递增，故()h x 在()1,u -上至多有一个零点，而()()()()0000h u h x f x f x >=-=.同时，当10x -<<时，有()()()()()000h x f x f x x x f x =---'()()()()()0000e ln 11xx f x x x f x f x ''=++-++-()()()()()00001ln 11x f x x f x f x <+++++-''()()()()()0000ln 111x f x x f x f x ≤++++-'+'故()()()()()()0000ln 111h x x f x x f x f x <+'++++-'，这表明当()()()()()000011min 1e ,f x x f x f x x u -+++-''⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭时，有()()()()()()0000ln 111h x x f x x f x f x <+'++++-'()()()()()()()()()0000110000ln e 11f x x f x f x f x x f x f x '++-'-+⎛⎫≤++++- ⎪⎝''⎭()()()()()()()()()000000001111f x x f x f x f x x f x f x =-+++-+''+'+-'+0=.故()h x 必有一个零点t ，且()()()()()000011min 1e ,f x x f x f x u t u ''-+++-⎛⎫-+<< ⎪⎝⎭.已证()h x 在()1,u -上至多有一个零点，这就说明()h x 在()1,u -上恰有一个零点.然后，当0,x u x x ≥≠时，由于()h x 在()0,u x 上递减，在()0,x ∞+上递增，故()()00h x h x >=.而()00h x =，这说明()h x 在[),u ∞+上恰有一个零点.根据以上的讨论，知()h x 恰有2个零点；当010x -<<时：由于()()()()()()()()()()()()00ln 2ln 2000001ln 2e1e 121ln 21f x f x f f x f x f x f x f x '+'++=+->'-=+->≥'+'''+'，故()()()()()()()000ln 2ln 20h f x f f x f x +=+-''''>'，同时由()f x '在(]1,0-上递减，知()()()0000h f f x =-''<'，而()()0ln 2ln 20f x +≥>'，故()h x '在()()()00,ln 2f x +'上必存在一个零点，记该零点为v ，则有()0h v '=，且()()00ln 2v f x <+'<，从而0v >.由于函数()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，010x v -<<<，当01x x -<<时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =->-''''='；当00x x <<时，()()()()()0000h x f x f x f x f x =-<-''''='；当0x v ≤<时，()()()()()()000h x f x f x f v f x h v '''''-='=-<=；当x v >时，()()()()()()000h x f x f x f v f x h v '''''-='=->=.这表明()h x 在()0,x v 上递减，在()01,x -和(),v ∞+上各自递增.由于()h x 在(),v ∞+上递增，故()h x 在(),v ∞+上至多有一个零点，而()()()()0000h v h x f x f x <=-=.同时，当0x >时，有：()()()()()000h x f x f x x x f x =---'()()()()()0000e ln 11xx f x x x f x f x ''=++-++-()()()()0000e 1x f x x x f x f x >-++-''()()()0000e 1x f x x x f x f x ≥-+--''故()()()()0000e 1xh x f x x x f x f x >-+-'-'，设()e t t t η=-，则当0t >时()e 10tt η='->，故()t η在()0,∞+上递增，所以当0t >时()()e 010tt t ηη-=>=>，即e t t >.所以当0x >时，有：()()()()0000e 1xh x f x x x f x f x >-+-'-'()()()0000e 212x xf x x f x f x ''=-+--()()()20000e 21e x x f x x f x f x ''≥-+--()()()220000e e 21x x f x x f x f x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝'⎭'这表明当()()()()()()0000max 2ln 1,2ln 211,x x f x f x f x v ≥-+++''时，有()()()()()000ln 12000e e 1xx f x f x x f x f x -+'-'≥=+，()()()0ln 21120e e 211xf x f x +'+≥=++'，从而()()()()220000e e 21x x h x f x x f x f x ⎛⎫>-+-- ⎪⎝''⎭()()()()()200000e 21121xf x f x x f x f x ≥++-+'--''()()2000e x x f x f x '=--()()()()0000001x f x f x x f x f x ''≥-+--10=>.故()h x 必有一个零点t '，且()()()()()()0000max 2ln 1,2ln 211,v t x f x f x f x v <<-+'+''+.已证()h x 在(),v ∞+上至多有一个零点，这就说明()h x 在(),v ∞+上恰有一个零点.然后，当0,x v x x ≤≠时，由于()h x 在()01,x -上递减，在()0,x v 上递增，故()()00h x h x >=.而()00h x =，这说明()h x 在(]1,v -上恰有一个零点.根据以上的讨论，知()h x 恰有2个零点.综上，无论哪种情况，()h x 都恰有2个零点，从而零点个数为2.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出()f x '在(]1,0-上递减，在[)0,∞+上递增，()()000h x h x '==，由此即可顺利得解.21．(1)8x =，5y =，4z =，3w =(2)证明见解析(3)5M 是“好集合”，满足{}5125,,...,a a a ∈的“好数阵”有38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦；6M 不是“好集合”，证明见解析【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值；（2）可构造恰当的映射，以证明结论；（3）第三问可通过分类讨论求解问题.【详解】（1）由“好数阵”的定义，知71x -=，2y w -=，13z -=，{}{},,,3,4,5,8x y z w =，故8x =，4z =，2y w -=，{}{},3,5y z =，进一步得到5y =，3w =.从而8x =，5y =，4z =，3w =.（2）如果1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是一个“好数阵”，则{}{}1212,,,,,,n n n a a a b b b M ⋃= ，()1,2,,k k a b k k n -== .从而{}{}121221,21,,2121,21,,21n n n n b n b n b n a n a n a M +-+-+-⋃+-+-+-= ，()()()21211,2,,k k n b n a k k n +--+-== .故1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +-+-+-⎡⎤⎢⎥+-+-+-⎣⎦也是一个“好数阵”.由于22222a b b +=+是偶数，故2221a b n ++≠，从而2221a n b ≠+-.这就说明两数阵1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 和1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +-+-+-⎡⎤⎢⎥+-+-+-⎣⎦的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵.设全体“好数阵”构成的集合为S ，并定义映射:F S S →如下：对1212n n a a a T b b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，规定()1212212121212121n n n b n b n b F T n a n a n a +-+-+-⎡⎤=⎢⎥+-+-+-⎣⎦ .因为由n M 中的元素构成的2n ⨯数阵只有不超过()22nn 种，故S 是有限集合.而()()()()()()()()1212212121212121212121212121n n n n a n n a n n a F F T n n b n n b n n b ⎡⎤+-+-+-+-+-+-=⎢⎥+-+-+-+-+-+-⎣⎦ 1212n n a a a T b b b ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ ，这就表明()()F F T T =，从而F 是满射，由S 是有限集，知F 也是单射，从而F 是一一对应.对“好数阵”1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，已证两数阵1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 和1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +-+-+-⎡⎤⎢⎥+-+-+-⎣⎦ 是不同的数阵，故()F T T ≠.同时，对两个“好数阵”1T ，2T ，如果()21T F T =，则()()()211F T F F T T ==；如果()12T F T =，则()()()122F T F F T T ==.所以()21T F T =当且仅当()12T F T =.最后，对T S ∈，由()F T T ≠，称2元集合(){},T F T 为一个“好对”.对0T S ∈，若0T 属于某个“好对”(){},T F T ，则0T T =或()0F T T =，即0T T =或()0T F T =.由于(){}()()(){}0000,,T F T F T F F T =，故无论是0T T =还是()0T F T =，都有(){}(){}00,,T F T T F T =.这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个.（3）若1212n n a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 是“好数阵”，则有()()1212123...2......n n n a a a b b b ++++=+++++++()()()()()121212......n n b b b n b b b =++++++++++()()122...12...n b b b n =+++++++，所以()()()()()1212312...12...222n n n n n n b b b n n n ++++++=+++++==，这表明()312n n +一定是偶数.若5n =，设125125a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 是“好数阵”，则()()125312...402n n b b b ++++==，从而3124520b b b b b ++++=，故()()()1234512512512...5...12...5201535a a a a a b b b b b b ++++=++++++=+++++++=+=.由于()121,2,...,5k k a b k ≥+≥=，故{}1251,,...,b b b ∈，同理{}12510,,...,a a a ∈.若{}1252,,...,a a a ∈，设2k a =，则21k k a b k k ==+≥+，故1k =，从而12a =.进一步有11b =，而()23252,...,5k k a b k ≥+≥+==，故{}23453,4,,,b b b b ∈.假设{}23455,,,a a a a ∈，设5k a '=，则35k k b a k k ''''≤=-=-，故2k '=，则25a =，23b =.由于5555b a ≤-≤，{}{}1212,,,1,2,3,5a a b b =，故54b =，59a =.此时{}{}3434,,,6,7,8,10a a b b =，从而410a =，46b =，但此时33871a b -=-=，矛盾；所以{}23455,,,b b b b ∈，故{}23453,4,5,,,b b b b ∈，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有29681017345⎡⎤⎢⎥⎣⎦，26109814753⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若{}1252,,...,b b b ∈，则{}1251,2,,...,b b b ∈，从而11b ≠.若{}1253,,...,a a a ∈，则13a =或23a =.若13a =，则12b =，{}3451,,b b b ∈，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有31079628451⎡⎤⎢⎥⎣⎦，38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若23a =，则21b =，{}3452,,b b b ∈，若{}1256,,...,a a a ∈，则16a =，或42b =且46a =，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有93761081425⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若{}1256,,...,b b b ∈，则{}13452,6,,,b b b b ∈，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦；若{}1253,,...,b b b ∈，则{}1251,2,3,,...,b b b ∈，假设{}1254,,...,b b b ∈，由于3124520b b b b b ++++=，{}12510,,...,a a a ∈，故23451201234919b b b b b =++++≤++++=，矛盾，所以{}1254,,...,a a a ∈.对{}1251,2,3,,...,b b b ∈尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有10487692531⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10746895123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上，全部的“好数阵”有29681017345⎡⎤⎢⎥⎣⎦，26109814753⎡⎤⎢⎥⎣⎦，31079628451⎡⎤⎢⎥⎣⎦，38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，93761081425⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10487692531⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10746895123⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中，满足{}1255,,...,a a a ∈的有38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上，5M 是“好集合”，满足{}1255,,...,a a a ∈的“好数阵”有38105926714⎡⎤⎢⎥⎣⎦，83510971264⎡⎤⎢⎥⎣⎦，41095738612⎡⎤⎢⎥⎣⎦，95410783162⎡⎤⎢⎥⎣⎦.若6n =，由于此时()31572n n +=不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而6M 不是“好集合”.【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏.。

丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L . 所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分（ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K . 由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下： (1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K . 所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,. 故4531,0,0n c c b b ==== 于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n n S n =-=.同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）. …………14分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2020年北京市丰台区高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=的共轭复数是（）A. B. C. 1+i D. 1-i2.已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）A. {1}B. {}C. {1，-1}D. {}3.设命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p为（）A. ∀x∈（0，+∞），ln x＞x-1B. ∃x0∈（0，+∞），ln x0≤x0-1C. ∀x∉（0，+∞），ln x＞x-1D. ∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-14.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，输出的S=15，那么判断框内的条件可以为（）A. k＜6B. k≤6C. k＞6D. k＞75.下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0的是（）A. f（x）=x-1B. f（x）=log2|x|C. f（x）=cos xD. f（x）=2x+16.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，l1，l2是与l不同的两条直线，且l1⊂α，l2⊂β，l1∥l2，那么下列命题正确的是（）A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l恰与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交7.已知F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（）A. B. 1 C. D.8.在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知平面向量=（1，-3），=（-2，m），且∥，那么m=______．10.从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为______．11.直线y=kx+1与圆（α为参数）相交于M，N两点，若|MN|=2，则k=______．12.若△ABC的面积为2，且A=，则=______．13.已知函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．①函数f（x）的最小正周期为______；②若函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，则φ的值是______．14.已知数列{a n}对任意的n∈N*，都有a n∈N*，且a n+1=，①当a1=8时，a2019=______②若存在m∈N*，当n＞m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a（a∈R），且f（）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求m的最大值．16.随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．（只需写出结论）17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，AB=AA1=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D-AA1-B的余弦值；（Ⅲ）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=（x-2）e x-ax3ax2．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≤e时，求证：x=1是函数f（x）的极小值点．19.已知抛物线C：y2=2px过点M（2，2），A，B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行．20.设n∈N*且n≥2，集合S n={（x1，x2…，x n）||x1|=1，|x i+1|=2|x i|（i=1，2…，n-1）}．（Ⅰ）写出集合S2中的所有元素；（Ⅱ）设（a1，a2，…a n），（b1，b2，..b n）∈S n，证明“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）”；（Ⅲ）设集合T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，求T n所有正数之和．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：复数===-i，∴复数的共轭复数是+i，故选：A．先利用两个复数的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复数．本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题.若B⊆A，则m2=1，即可求解满足条件的m【解答】解：∵A={-2，3，1}，B={3，m2}，若B⊆A，则m2=1∴m=1或m=-1实数m的取值集合为{1，-1}故选：C．3.答案：D解析：【分析】本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p是：￢p：∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-1．故选：D．4.答案：A解析：解：若a=1，第一次条件成立，S=1，a=-1，k=2，第二次条件成立，S=1-4=-3，a=1，k=3，第三次条件成立，S=-3+9=6，a=-1，k=4，第四次条件成立，S=6-16=-10，a=1，k=5，第五次条件不成立，S=-10+25=15，a=-1，k=6，此时k=6不满足条件．输出S=15，即k=5不成立，k=6不成立，则条件k＜6，故选：A．根据程序框图进行模拟计算，确定k终止的条件即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．5.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法．【解答】解：根据题意，若f（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）是偶函数，若；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项：对于A，f（x）=x-1，为奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=log2|x|，为偶函数，则在（0，+∞）上，f（x）=log2x，为增函数，符合题意；对于C，f（x）=cos x，为偶函数，但在区间（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=2x+1，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B．根据题意，分析可得要求函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．6.答案：A解析：解：∵l1∥l2，∴l1∥β，又l1⊂α，α∩β=l，∴l1∥l，同理l2∥l，故选：A．由线面平行的性质易得三线互相平行．此题考查了线面平行的性质，难度不大．7.答案：B解析：解：∵F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，∴m2-2=n2+1，∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，∴（不妨设m＞0，n＞0）．解得：m=2，n=1，⇒c2=m2-2=n2+1=2，∴椭圆M和双曲线N的离心率之积为．故选：B．利用m2-2=n2+1，（不妨设m＞0，n＞0）．求得m，n即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：设三角形的高为h，则三角形的面积S=4h=8，即h=4，即C点的纵坐标为4，若C（4，4）或（0，4）时，则三角形边边界上的格点个数为12个，若C（2，4），则三角形边边界上的格点个数为8个，若C（1，4）或（3，4），则三角形边边界上的格点个数为6个，则不可能的为10个，故选：C．根据条件设三角形的高为h，结合三角形的面积得到高h=4，即顶点C在直线y=4上，结合C的整点坐标，利用数形结合进行排除即可．本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点A的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．9.答案：6解析：解：∵∥，∴1×m-（-3）×（-2）=0，解得m=6．故答案为：6．根据两个向量平行的坐标表示可得．本题考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．10.答案：12解析：【分析】本题考查排列组合的实际应用，属于基础题．根据分步计数原理即可求出．【解答】解：从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，则有C21•C42=12种，故答案为：12．11.答案：解析：解：圆（α为参数）转换为直角坐标方程为：x2+（y-3）2=4，则：点（0，3）到直线的距离d==，所以：，解得：k=，故答案为：．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12.答案：4解析：解：由△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，所以=||||cos=8×=4，故答案为：4．由三角形面积公式得：△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，由平面向量的数量积运算：=||||cos=8×=4，得解．本题考查了三角形面积公式及平面向量的数量积运算，属中档题．13.答案：π -解析：解：①函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．函数f（x）的最小正周期T==；②由x∈[]，可得2x+φ∈[φ，+φ]，根据函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，可得解得：∴φ=；故答案为：π，①根据周期公式T=，可得答案；②根据x∈[]，求解内层函数的范围，结合余弦函数的图象可得φ的值．本题考查了余弦函数的性质的应用，属于基础题14.答案：2 1解析：解：①由题意，可知：a1=8，，，，a5=3×a4+1=3×1+1=4，…∴数列{a n}：8，4，2，1，4，2，1，…即数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列．∵（2019-1）÷3=672 (2)∴a2019=2．②由①可知，a n为奇数的只有奇数1，∴p=1．本题第一题主要考查数列的奇偶问题，通过枚举法可发现数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列，即可得到a2019的值；第二题主要考查对题意的理解a n为奇数的只有奇数1，从而p=1．本题第一题主要考查周期数列的判定，第二题主要针对题意的理解．本题属基础题．15.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a，=，=，且f（）=0．解得：a=1．所以：f（x）=．（Ⅱ）由于：f（x）在区间[0，m]上是单调函数，故：①当函数为单调递增时，（k∈Z），解得：（k∈Z），所以：m，②当函数为单调递减时，（k∈Z），解得：，综上所述：m的最大值为．解析：（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.答案：解：（Ⅰ）设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为，低于8500元的概率为，∴X～B（2，），P（X=0）=（）2=，P（X=1）==，P（X=2）==，P 0 1 2XE（X）=2×．（Ⅲ）．解析：（Ⅰ）求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．（Ⅱ）推导出X～B（2，），由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅲ）．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AA1．（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，解：AB=AA1=2BC=2CD=2．∴以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，-1，0），B（0，0，0），A1（，1，0），D（，-，1），=（0，2，0），=（-，1，0），=（-，，1），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，），平面AA1B的法向量=（0，0，1），设二面角D-AA1-B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D-AA1-B的余弦值为．（Ⅲ）假设在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，B1（0，2，0），C（0，0，1），设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，∴（a-，b+，c-1）=（-），解得M（，，1-λ），∴=（，，-λ），∵CM∥平面DAA1，平面DAA1的法向量=（2，0，），∴=-=0，解得，∴在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．解析：（Ⅰ）由AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，得BC⊥平面ABB1A1，由此能证明BC⊥AA1．解：（Ⅱ）以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AA1-B的余弦值．（Ⅲ）设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，求出=（，，-λ），平面DAA1的法向量=（2，0，），利用向量法能求出在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与示法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=（x-2）e x，f′（x）=（x-1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（-∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增；（Ⅱ）f′（x）=（x-1）（e x-ax），①当时，对任意的,都有e x-ax＞0恒成立，所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；②当时，设g(x)=e x-ax，依然取，则g'(x)=e x-a，令g'(x)=0，得x=ln a,所以g(x)在（0，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增，所以g(x)min=g(ln a)=a（1-ln a）,因为，所以g(x)min=a（1-ln a）≥0（当且仅当a=e时，等号成立，此时x=1）所以对任意的,都有e x-a≥0恒成立，所以当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；综合①②可知，当a≤e时，x=1是函数f（x）的极小值点．解析：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难题．（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性证明即可．19.答案：解：（Ⅰ）抛物线C：y2=2px过点M（2，2），∴4=4p，即p=1，∴抛物线C的准线方程x=-=-，证明（Ⅱ）∵M（2，2），AB∥OM，∴k AB=k OM=1，设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得y2-2y+2m=0，∴△=4-8m＞0，即m＜且m≠0，∴y1+y2=2，y1y2=2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q=（y1+y2）=1，∵直线OA的方程为y=•x=•x，①直线BM的方程为y-2=（x-2）=（x-2）=（x-2），②，由①②解得y===1，∴y p=1∴直线PQ的方程为y=1，故直线PQ与x轴平行解析：（Ⅰ）把点代入即可求出p的值，可得抛物线C的准线方程，（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理定理可得y1+y2=2，即可求出点Q的纵坐标，在再分别求出直线OA，BM的方程，求出点P的纵坐标，即可证明本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，直线方程，考查了运算求解能力，属于中档题20.答案：解：（1）依题意，|x1|=1，|x2|=2|x1=2，∴x1=±1，x2=±2，|∴集合S2中的所有元素为：（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2）共四个元素．（2）证明：①充分性，当a i=b i时，显然a i=b i成立．②必要性，依题意，，其中p i∈{-1，1}，所以a i=，其中p i∈{-1，1}，下面证明的符号与最后一项的符号相同．且不为0．当p n=1时，=+2n-1=2n-1-=2n-1-=1＞0，即当p n=1时，＞0，当p n=-1时，=-2n-1≤-2n-1=-2n-1=-1＜0，即当p n=-1时，＜0．a i=b i成立时，假设a i≠b i，且他们有k项不相同（k≥1，k∈N），则a i-b i为这k项的二倍的和或差，将这k项按绝对值从小到大排列起来，分别记作p1c1，p2c2，……，p k c k，p i∈{-1，1}，则a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k，设绝对值最大项c k=，若p k=1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≥+2m＞0，若p k=-1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≤-2m＜0，这与a i=b i矛盾，故假设错误，即当a i=b i时，有a i=b i（i=1，2，3，…n），充分性成立．综上“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）．（3）T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，故T n可以记作：T n=，p i∈{-1，1}，由（2）知，要使T n取正值，需要最后一项系数p n=1，而前n-1项的系数可以任意选取，则前n-1项的系数取-1的有=2n-1项，前n-1项的系数取1的也有=2n-1项，且它们相加为0．故T n所有正数之和为2n-1个2n相加，故T n所有正数之和为2n-1×2n=22n-1．解析：（1）根据题意，直接列出即可（2）利用以a i=不为零这个特性，结合反证法可以证明．（3）根据计数原理，T n为正时，最后一项的系数必为正数，再看前n-1项的情况，数出个数相加即可．本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）2020丰台一模 高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ，（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆 22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1；（ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =-πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此π33sin()()322C -∈-,. 于是33sin 3cos (,)22B C -∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. XP1445491990130…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx -.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分 20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-. 所以22022(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分21．（本小题共14分） 解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1. …………4分（Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L . 所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1. …………8分（ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===. 若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===， 则111k k k c c c -+===.11 又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K . 由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K . 于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n nS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =， 此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,， 于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分。

2023北京丰台高三一模数学1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 设，且，则( )A. B. C.D.3. 已知圆与y 轴相切，则( )A. B. C. 2D. 34. 已知是定义在R 上的奇函数，当时，，则( )A.B. 0C. 1D. 25. 在平面直角坐标系xOy 中，若角以x 轴非负半轴为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，则的一个可能取值为( )A. B.C.D.6. 在中，若，则该三角形的形状一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.设无穷等差数列的前n 项和为，则“对任意，都有”是“数列为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点为F ，A 是抛物线C 上的一点，点A 到x 轴的距离为过点A 向抛物线C 的准线作垂线、垂足为若四边形ABOF为等腰梯形，则p 的值为( )A. 1B. C. 2 D.9. 已知函数的定义域为R ，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则t 的最小值为( )A. 3B.C. 2D.10. 如图，在直三棱柱中，，，，，点D 在棱AC 上，点E 在棱上，给出下列三个结论：①三棱锥的体积的最大值为；②的最小值为；③点D到直线的距离的最小值为其中所有正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 若复数是纯虚数，则________.12.已知正方形ABCD的边长为2，则________.13. 从，，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数为事件则________.14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为_______；a的最大值为________.15. 三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家约前后借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则①双曲线H的离心率为________；②若，，CE交AB于点P，则________.16. 已知函数的部分图象如图所示．求的解析式；若函数，求在区间上的最大值和最小值．17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，，点E是棱PA的中点，连接OE，求证：平面PCD；若平面PAC 与平面PCD 的夹角的余弦值为，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求线段OP 的长．条件①：平面平面ABCD ；条件②：注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18. 交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI 越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI 的公式为：，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI 不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TP 1的统计数据如下图：从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求X 的分布列及数学期望；把12月29日作为第1天，将2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI 依次记为，将2022年同期TPI 依次记为，记，请直接写出取得最大值时i 的值．19. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为求椭圆E 的方程；过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线点B ，C在直线l的两侧垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．20. 已知函数求函数的极值；若函数有两个不相等的零点，求a的取值范围；证明：21. 已知集合，对于集合的非空子集若中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得，，均属于A，则称集合A是集合的“期待子集”．试判断集合，是否为集合的“期待子集”；直接写出答案，不必说明理由如果一个集合中含有三个元素x，y，z，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质对于集合的非空子集A，证明：集合A是集合的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P；若的任意含有m个元素的子集都是集合的“期待子集”，求m的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】略2.【答案】D【解析】略3.【答案】C【解析】略4.【答案】A【解析】略5.【答案】B【解析】略6.【答案】A【解析】略7.【答案】A【解析】略8.【答案】C【解析】略9.【答案】B【解析】略10.【答案】C【解析】略11.【答案】【解析】略12.【答案】4【解析】略13.【答案】【解析】略14.【答案】0；1【解析】略15.【答案】2；【解析】略16.【答案】解：如图所示，可得，所以，又因为，所以，又因为过点，，所以，所以依题意因为，所以，所以，当，即时取最大值，最大值为，当，即时，取最小值，最小值为【解析】略17.【答案】解：证明：因为底面ABCD是菱形，所以O是AC的中点，因为E是PA的中点，所以，因为平面PCD，平面PCD所以平面选择条件①因为，O是BD的中点，所以，因为平面平面ABCD，平面平面，平面PBD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，又，所以OB，OC，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，因为菱形的边长为2，，所以，，所以，，设，所以，，设为平面PCD的一个法向量，由得所以取，则，所以，因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为，因为平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值，所以，即，所以，即，因为，所以所以线段OP的长为选择条件②因为在菱形ABCD中，，因为平面PBD，平面PBD，，所以平面PBD，因为平面PBD，所以，因为，所以OB，OC，OP两两垂直.以下同条件②【解析】略18.【答案】解：年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”有2天.设事件“从2022年元旦及前后共7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为‘拥堵'”，则的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P【解析】略19.【答案】解：由已知得：，因为，所以，所以，椭圆E的方程为：由已知得：直线BC的斜率存在，且点B，C在x轴的同侧.设直线BC的方程：，点，，不妨设则，由得：，所以，，，因为，，所以，要使，，总成等比数列，则应由解得：所以，存在常数，使得，，总成等比数列.【解析】略20.【答案】解：，，当时，由得，，x，，的变化情况如下表：x-0+单调递减极小值单调递增所以的极小值为有两个零点的必要条件是，即0;当时，，，，所以在区间上有且仅有一个零点，又因为时，，所以在区间上有且仅有一个零点，所以有两个零点时，a的取值范围是，不妨设，可知，即，所以，等价于，因为，所以等价于，即2，令2，因为，所以，，所以在区间上单调递增，所以，所以【解析】略21.【答案】解：集合是集合的“期待子集”，集合不是集合的“期待子集”.先证明必要性：当集合A是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的a，b，，使，，，不妨设，则，，;则，即条件P中的①成立；又，所以，即条件P中的②成立;因为，所以是偶数，即条件P中的③成立.所以集合A满足条件再证明充分性：当集合A满足条件P时，有，y，，满足①，②③为偶数，记，，，由③得：a，b，，由①得：，得：，所以a，b，，因为，，，所以，，均属于A，即集合A是集合的“期待子集”.的最小值为理由如下：一方面，当时，对于集合，其中任意三个元素之和均为奇数，由知，M不是的“期待子集”;当时，对于集合从中任取三个不同元素，若不含有2，则不满足条件P中的③若三个元素中含有2，则另两数必都是奇数，因为任意两个奇数之差都不小于2，故不满足条件P中的②，所以M 不是的“期待子集”;所以另一方面，我们用数学归纳法证明集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”：当时，对于集合的任意含有6个元素的子集，记为B，当4，6，8三个数中恰有1个属于B时，则，因为数组3，4，5、3，5，6、5，7，8都满足条件P，所以此时集合B是集合的“期待子集”;当4，6，8三个数恰有两个属于集合B，则3，5，7中至少有两个属于集合B，因为数组3，4，5、3，5，6、3，6，7、3，7，8、5，6，7、5，7，8都满足条件P，当4，6，8三个数都属于集合B，因为数组4，6，8满足条件P，所以此时集合B集合的“期待子集”;所以集合B必是集合的“期待子集”;所以当时，的任意含有6个元素的子集都是集合的“期待子集”.假设当时，结论成立，即集合的任意含有个元素的子集都是的“期待子集”，那么时，对于集合的任意含有个元素的子集C，分成两类：①若，，至多有1个属于C，则C中至少有个元素都在集合，由归纳假设知，结论成立;②若，，则集合C中恰含的个元素，此时，当C中只有一个奇数时，则集合C中包含中的所有偶数，此时数组，，2k符合条件P，结论成立;当集合C中至少有两个奇数时，则必有一个奇数c不小于3，此时数组c，，2k符合条件P，结论成立;所以时，结论成立根据知，集合的任意含有个元素的子集，都是的“期待子集”，所以m的最小值为【解析】略。

北京市丰台区2023～2024学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案第一部分（选择题 共40分）题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案ACBADCDABD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）12i55−+（12）42 （13）3（14）1−，()||1f x x =−（答案不唯一）（15）②③注：（15）题给出的结论中有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或错选得0分，其他得3分．三、解答题共6小题，共85分。

（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）证明：连接1BC ，设11BC B C E =，连接DE ，在三角形1ABC 中，D 、E 分别为AB 、1BC 的中点，所以1AC ∥DE ． 因为1AC ⊄平面1B CD ，DE ⊂平面1B CD ，所以1AC ∥平面1B CD ．…………………4分（Ⅱ）选择条件①：1BC AC ⊥在直三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥底面ABC ，zyxEDBACA 1C 1B 1所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥， 因为1BC AC ⊥，111CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，所以BC AC ⊥．如图建立空间直角坐标系C xyz −，因为12CA CB CC ===， 所以1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2)C A B B ． 因为D 为AB 中点，所以(1,1,0)D ． 易知(1,0,0)=m 是平面1BCB 的法向量． 在平面1CDB 内，1(1,1,0),(0,2,2)CD CB ==． 设(,,)x y z =n 是平面1CDB 的法向量， 因为CD ⊥n ，1CB ⊥n ， 所以0CD ⋅=n ，10CB ⋅=n ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1,1y z =−=，所以(1,1,1)=−n ．因为cos ,⋅<>===m n m n m n ， 因为二面角1B B C D −−为锐二面角，所以二面角1B B C D −−．选择条件②：1B D =在直三棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥底面ABC ， 所以1BB AB ⊥．因为2221111,2,BB BD B D BB B D +===所以BD =因为D 为AB中点，所以AB = 所以222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥．因为1CC ⊥底面ABC ，故可如图建立空间直角坐标系C xyz −． 以下同解法1．………………14分（17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为2ω=，所以211()cos sin 633322f ππππ=−+=．………………4分（Ⅱ）21()cos sin 2f x x x x ωωω=−+1cos21222sin(2)6x x x ωωω−=−+π=+因为()f x 在区间[,]62ππ上单调递减，所以2263T πππ≥−=，即3T ω2π2π=≥， 所以03ω<≤．因为()012f π−=， 所以()sin()01266f ωπππ−=−+=，即16()k k ω=+∈Z ， 所以1ω=． ………………14分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件C =“被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于60mm 2”，则8612()101025P C ． ………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为1,2,3.2124361(1)5C C P X C ， 1224363(2)5C C P X C ， 34361(3)5C P X C ，X1311232555EX．………………11分 （Ⅲ）12DD ．………………13分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意得22216,2.c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2212,4.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆E 的方程为221124x y +=． ………………5分（Ⅱ）若存在定点D ，使得12DM PQ =，等价于以PQ 为直径的圆恒过定点D ． 当直线l 的斜率不存在时，PQ 为直径的圆的方程为224x y +=①， 当直线l 的斜率为0时，令1y =，得3x =±，因此PQ 为直径的圆的方程为()2219x y +−=②．联立①②得0,2,x y =⎧⎨=−⎩猜测点D 的坐标为()0,2−．设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,124y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2231690k x kx ++−=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则12122269,3131k x x x x k k +=−=−++． 所以()()1122,2,2DP DQ x y x y ⋅=+⋅+()()()()()()()121212122121222222331399613931310x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k =+++=+++=++++⎛⎫⎛⎫=+−+−+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=．综上，存在定点D ()0,2−，使得12DM PQ =． ………………14分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,)−+∞，当00x =时，0()(0)1f x f ==；1'()e 11x f x x =+−+，0'()'(0)1f x f ==； 故切线l 的方程为1y x =+．………………5分（Ⅱ）()()()e ln(1)(1)e ln(1)21xxh x f x g x x x x x x =−=++−−+=++−−，1(1)e 21'()e 211x xx x h x x x +−−=+−=++．解法1：令()(1)e 21x m x x x =+−−，则'()(2)e 2xm x x =+−．当(1,0)x ∈−时，2(1,2)x +∈，e (0,1)x ∈，故(2)e 212xx +<⨯=，'()0m x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()m x 单调递减，()(0)0m x m >=；当(0,)x ∈+∞时，22x +>，e 1x >，故(2)e 212xx +>⨯=，'()0m x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()m x 单调递增，()(0)0m x m >=； 综上，()0m x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 所以()h x 在(1,)−+∞上单调递增．又因为(0)0h =，故函数()h x 有唯一零点0x =．且当(1,0)x ∈−时，()0h x <；当(0,)x ∈+∞时，()0h x >； 因此当(1,0)x ∈−时，()0xh x >；当(0,)x ∈+∞时，()0xh x >； 故()0xh x ≥； 解法2：1'()e 21xh x x =+−+， 令1()e 21xg x x =+−+，则21'()e (1)x g x x =−+． 当(1,0)x ∈−时，1(0,1)x +∈，211(1)x >+，e 1x <，故'()0g x <， 因此，当(1,0)x ∈−时，()g x 单调递减，()(0)0g x g >=； 当(0,)x ∈+∞时，11x +>，211(1)x <+，e 1x>，故'()0g x >， 因此，当(0,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，()(0)0g x g >=； 综上，()0g x ≥恒成立，也就是'()0h x ≥恒成立， 以下同解法1． ………………13分 （Ⅲ）2．………………15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）解：8,5,4,3x y z w ==== ．………………4分（Ⅱ）证明：当集合n M 为“好集合”时，设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是n M 的一个“好数阵”，构造数阵：1212212121212121n n n b n b n b n a n a n a +−+−+−⎡⎤⎢⎥+−+−+−⎣⎦，记为T ．因为T 是“好数阵”，所以当1,2,,k n =时，(21),(21)k n k n n b M n a M +−∈+−∈，且{}{}121221,21,,2121,21,,21n n n n b n b n b n a n a n a M +−+−+−⋃+−+−+−=．因为(21)(21)(1,2,,)k k k k n b n a a b k k n +−−+−=−==，所以1212212121212121n n n b n b n b T n a n a n a +−+−+−⎡⎤=⎢⎥+−+−+−⎣⎦也是n M 的一个“好数阵”，一方面，因为(21)(21),(21)(21)(1,2,,)k k k k n n a a n n b b k n +−+−=+−+−==，所以T T =.另一方面，假设2221n b a +−=，因为222,a b −=所以22212n b b +−=+， 所以2212n b −=，与2n b M ∈矛盾，所以T T ≠， 故集合n M 的“好数阵”必有偶数个； ………………9分（Ⅲ）假设1212n n aa a Tb b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是集合n M 的一个“好数阵” 由题意得：2111nnni i i i i a b i ===+=∑∑∑，111nnni i i i i a b i ===−=∑∑∑，相加得：2111(12)2(1)(53)2222nnni i i i n n n n n n a i i ===+⨯+⨯+=+=+=∑∑∑， 即1(53)4ni i n n a =+=∑ 当6n =时，616339942i i a =⨯==∑，与61*i i a N =∈∑矛盾；所以6M 不是“好集合”. 当5n =时，51528354i i a =⨯==∑，若{}123455,,,,a a a a a ∈， 因为{}1234510,,,,a a a a a ∈，{}123451,,,,a a a a a ∉，所以{}12345,,,,a a a a a 只有以下两种可能：{}10,5,9,8,3和{}10,5,9,7,4（1）若{}{}12345,,,,10,5,9,8,3a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,4,6,7b b b b b =，使5k k a b −=的只有94−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有1073,862,321−=−=−=，可得138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有523,312,871−=−=−=，可得283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）若{}{}12345,,,,10,5,9,7,4a a a a a =，则{}{}12345,,,,1,2,3,6,8b b b b b =，使5k k a b −=的只有72−，使4k k a b −=的有两种可能：514,1064−=−=或情形一：514−=时，只有963,1082,431−=−=−=，可得341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 情形二：1064−=时，只有413,532,981−=−=−=，可得495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦综上，6M 不是“好集合”；5M 是“好集合”，且满足{}123455,,,,a a a a a ∈的好数阵有四个：138105926714T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，283510971264T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，341095738612T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 495410783162T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.………………15分。

北京市丰台区2020届高三一模数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若集合{}12A x x =∈-<<Z ，{}220B x x x =-=，则A B =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}0,1,2D.1,0,1,2【答案】C化简集合，再求并集即可. 【详解】{0,1},{0,2}A B =={0,1,2}A B ∴=故选：C【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.2.已知向量(),2a x =，()2,1b =-，满足//a b ，则x =（ ） A. 1 B. 1-C. 4D. 4-【答案】D由向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】向量(),2a x =，()2,1b =-，//a b ，2(2)4x ∴=⨯-=-故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题. 3.若复数z 满足1zi i=+，则z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】利用复数的四则运算化简复数z ，确定对应复平面的点，即可得出答案. 【详解】(1)1z i i i =+=-+，其对应复平面的点为(1,1)-，在第二象限 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题. 4.圆()2212x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（ ）A. 2B.C. 1D.2【答案】B由圆的方程得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式得出答案. 【详解】圆()2212x y -+=的圆心坐标为(1,0)则圆心(1,0)到直线10x y ++=的距离d ==故选：B【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 5.已知132a =，123b =，31log 2c =，则（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D.b c a >>【答案】C利用对数函数和幂函数的单调性求解即可.【详解】66121342372⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0a b ∴<<331log log 021c =<= b a c ∴>>故选：C【点睛】本题主要考查了利用对数函数和幂函数的单调性比较大小，属于中档题. 6.“ x >1”是“1x<1”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A先解分式不等式可得：11x<等价于1x >或0x <，再由“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件，即可得解. 【详解】解：因为11x<等价于10x x ->等价于1x >或0x <， 又“1x >”是“1x >或0x <”的充分而不必要条件， 即“ x >1”是“1x<1”的充分而不必要条件， 故选A.【点睛】本题考查了分式不等式的解法及充分必要条件，属基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于3的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C根据三视图得出该几何体的直观图，根据三角形的面积公式，即可得出结论. 【详解】该几何体对应直观图如下图所示12332ABCS=⨯=12332ABDS =⨯= 222(3)7AC =+=，22(3)7AD =+=12332BCDS∴=⨯=2212(7)162ACD S ∆=⨯-=33个 故选：C【点睛】本题主要考查了根据三视图求直观图的面积，属于中档题.8.过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60︒的直线与抛物线C 交于两个不同的点A ，B （点A 在x 轴上方），则AFBF的值为（ ）A.13B.43C.3 D. 3【答案】D根据几何关系以及抛物线的定义得出2AF p =，由直角三角形的边角关系得出A y ，再由直线AB 和抛物线的方程联立，结合韦达定理得出B y ，结合BFQ AFN ∆∆，对应边成比例，即可得出答案.【详解】设(,),(,)A A B B A x y B x y ，过点A 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作x 轴的垂线，垂足于点Q ，直线AB 与准线交于点D ，准线与x 轴交于点E 直线AB 的倾斜角为60︒，30MDA ︒∴∠=，即2AD AM = 由抛物线的定义知，AM AF =，则2AD AF =，即点F 为AD 中点由于//AM EF ，则22AM EF p ==，即2AF p =，则2sin603A y p =︒= 设直线AB 的方程为32p y x ⎫=-⎪⎭，即32p x y ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 并代入22y px =中，得：22230p y y p -=，即2A B y y p =-，则233B p y p -== 由于BFQ AFN ∆∆，则||33||3A B y AF BF y p===-故选：D【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，属于中档题. 9.将函数()sin f x x ω=（0>ω）的图象向左平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =，下列说法错误．．的是（ ） A. ()g x 为偶函数 B. 02g π-=⎛⎫⎪⎝⎭C. 当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点D. 若()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为9 【答案】D由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数()g x 的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A 选项；将2x π=-代入函数()g x 的解析式，即可判断B 选项；由余弦函数的性质判断C ，D.【详解】由题意得()sin 2g x x πωω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由(0)sin12g πω==，得出cos02πω=则()sin sin coscos sincos 222g x x x x x ππωπωωωωωω⎛⎫=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭对A 项，函数()g x 的定义域为R ，()cos()cos ()g x x x g x ωω-=-==，则函数()g x 为偶函数对B 项，cos cos 0222g πππωω⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对C 项，当5ω=时，()cos5g x x =，由5,2x k k Z ππ=+∈得：,105k x k Z ππ=+∈ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，x 可以取3,,10102πππ，即当5ω=时，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点对D 项，由22,k x k k Z πωππ≤+∈，解得22,,k k x k Z πππωωω⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦ 则函数()g x 在区间0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 因为()g x 在0,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以5ππω≤，解得05ω<≤即ω的最大值为5 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换求解析式，余弦函数性质的应用，在求余弦型函数的单调性时，利用整体法将余弦型函数的单调性化归为余弦函数的单调性来处理问题，属于中档题.10.已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (],1-∞-C.1,0D. [)1,0-【答案】A将方程的有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当k 0<时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <-所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =-，则5S =______. 【答案】25由等差数列的求和公式求解即可.【详解】()15555(19)2522a a S ++===故答案为：25【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题. 12.若1x >，则函数()11f x x x =+-的最小值为______，此时x =______. 【答案】 (1). 3 (2). 2将()11f x x x =+-化为1()111f x x x =-++-，再由基本不等式求解即可. 【详解】1()112(1)131f x x x x =-++-=- 当且仅当111x x -=-，即2x =时，取等号 即函数()11f x x x =+-的最小值为3，此时2x = 故答案为：3；2【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.13.已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l .给出下列六个论断：①m α⊥；②//m α；③//m l ；④n α⊥；⑤//n α；⑥//n l .以其中两个论断作为条件，使得//m n 成立.这两个论断可以是______.（填上你认为正确的一组序号） 【答案】①④（或③⑥）根据空间中直线，平面的位置关系进行判断即可.【详解】对①④，由线面垂直的性质定理可知，若m α⊥，n α⊥，则//m n ，故可填①④ 对①⑤，若m α⊥，//n α，则m n ⊥；对①⑥，若m α⊥，//n l ，则无法判断,m n 的位置关系； 对②④，若//m α，n α⊥，则m n ⊥；对②⑤，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，平行或异面； 对②⑥，若//m α，//n l ，则无法判断,m n位置关系；对③④，若//m l ，n α⊥，则无法判断,m n 的位置关系； 对③⑤，若//m l ，//n α，则无法判断,m n 的位置关系；对③⑥，由平行的传递性可知，若//n l ，//m l ，则//m n ，故可填③⑥ 故答案为：①④（或③⑥）【点睛】本题主要考查了判断空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题. 14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换.有下列3种变换：①对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ②对任意z C ∈，变换：求z 的共轭复数；③对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k ，b 均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是______. 【答案】①②由集合的运算性质，复数的性质结合题意，进行判断即可. 【详解】对①，集合A 的补集为集合RA ，集合RA 的补集为集合A ，故①为“回归”变换对②，设z a bi =+，,a b ∈R ，复数z 的共轭复数为z a bi =-，复数z 的共轭复数为()a b i a bi z --=+=，故②为“回归”变换对③，当0x =时，00k b b →⨯+=，b kb b →+，由于k ，b 均为非零实数，则kb b +不一定为0，则③不是“回归”变换 故答案为：①②【点睛】本题主要考查了集合的运算以及共轭复数的定义，属于中档题.15.已知双曲线M ：2213y x -=的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA ，OC 所在直线.若椭圆N ：22221x y a b+=（0a b >>）经过A ，C 两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a =______.由双曲线渐近线的斜率得出60AOB ∠=︒，进而得出点A 的坐标，根据题意得出椭圆N 的半焦距，再由椭圆的定义，即可得出a 的值.【详解】因为OA 为双曲线2213y x -=的渐近线，所以OA k =60AOB ∠=︒所以sin 602AD AO ︒==，1cos602OD AO ︒=⋅=，则1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭因为21OB OD ==，所以椭圆N 的半焦距1c = 设椭圆N 的左焦点为1F ，则1(1,0)F -，连接1AF 由椭圆的定义可得12AF AB a +=即22 221313101022222a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-+-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得31a+=故答案为：312+【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求a是解题的关键，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4c=，3Aπ=.（1）当2b=时，求a；（2）求sin3B C的取值范围.【答案】（1）3a=2）33sin3,22B C∈-⎛⎫⎪⎪⎝⎭（1）由余弦定理，即可得出a 的值；（2）由23B Cπ=-，结合三角恒等变换得sin3B C sin3Cπ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由C的范围确定3Cπ-的范围，最后由正弦函数的性质即可得出结论.【详解】解：（1）由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，得22224224cos123aπ=+-⨯⨯⋅=.所以3a=（2）由3A π=可知，23B C π+=，即23B C π=-. 2sin 3cos sin 3cos 3B C C C π-=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin 3cos 22C C C =+- 13sin cos 22C C =-sin 3C π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因为23B C π+=，所以20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故,333C πππ-∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 因此33sin ,322C π-∈-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是33sin 3cos ,22B C -∈-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及与三角函数性质结合的应用，属于中档题. 17.如图，在四棱锥M ABCD -中，//AB CD ，90ADC BM C ∠=∠=，M B M C =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（1）求证：//CD 平面ABM ； （2）求证：AC ⊥平面BCM ；（3）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π？若存在，求出AEAM 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在；23AE AM=（1）由线面平行判定定理证明即可；（2）由勾股定理得出2BC =，进而得AC BC ⊥，再由面面垂直的性质定理即可证明AC ⊥平面BCM ；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】证明：（1）因为AB CD ∥，AB 平面ABM ，CD ⊄平面ABM ，所以CD ∥平面ABM .（2）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中， 易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥.在Rt CNB △中，由勾股定理得2BC =. 在ACB △中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM .（3）取BC 的中点O ，连接OM ，ON . 所以ON AC ∥， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =，所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1M ，()0,1,0B ，()0,1,0C -，()2,1,0A -，()2,1,1AM =-，()0,2,0BC =-，()2,2,0BA =-.易知平面BCM 的一个法向量为()1,0,0m =.假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π. 不妨设AE AM λ=（01λ≤≤）， 所以()22,2,BE BA AE λλλ=+=--， 设(),,n x y z =为平面BCE 的一个法向量，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()20,220,y x z λλ-=⎧⎨-+=⎩ 令x λ=，22z λ=-，所以(),0,22n λλ=-.从而2cos ,2m n m nm n ⋅==⋅.解得23λ=或2λ=. 因为01λ≤≤，所以23λ=. 由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为4π， 此时23AE AM=.【点睛】本题主要考查了证明线面平行，线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题. 18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（1）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（3）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=，1B ξ=，1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=，0B ξ=，0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）【答案】（1）337（2）详见解析（3）()()()A C B D D D ξξξ>> （1）利用古典概型概率公式求解即可；（2）先求出A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率，得出X 的所有可能取值，并计算出相应的概率，即可得出分布列； （3）根据方差的意义进行判断即可.【详解】解：（1）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，()30310012015037P D ==++.所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. （2）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为310，13，13. X 的所有可能取值为0，1，2，3.()7222814010339045P X ==⨯⨯==，()3227127214041103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==， ()31232171119210331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， ()31131310339030P X ==⨯⨯==. X 的分布列为：（3）()()()A C B D D D ξξξ>>【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列，属于中档题. 19.已知函数()()ln 1f x a x x x =+-+.（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）当0a =时，求证：()0f x ≥； （3）若函数()f x 在区间1,上存在极值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =（2）证明见解析（3）,0（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数得出函数()f x 的单调性，进而得出其最小值，即可证明()0f x ≥； （3）分类讨论a 的值，利用导数得出()f x 的单调性，结合题意，即可得出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()()ln 1f x a x x x =+-+， 所以()ln a f x xx '=+.由题知()e ln e 1eaf '=+=， 解得0a =.（2）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以()ln f x x '=. 当()0,1x ∈时，0f x ，()f x 在区间0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 在区间1,上单调递增；所以()10f =是()f x 在区间0,上的最小值.所以()0f x ≥.（3）由（1）知，()ln ln a x x af x xxx +'=+=.若0a ≥，则当()1,x ∈+∞时，0f x，()f x 在区间1,上单调递增，此时无极值.若0a <，令()()g x f x '=，则()21a g x x x '=-. 因为当()1,x ∈+∞时，0g x ，所以()g x 在1,上单调递增.因为()10g a =<， 而()()eee 10aaa g a a a -=-+=->，所以存在()01,eax -∈，使得()00g x =.fx 和()f x 的情况如下：x因此，当0x x =时，()f x 有极小值()0f x . 综上，a 的取值范围是(,0)-∞.【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.20.已知椭圆C ：22221y x a b +=（0a b >>）的离心率为2，点1,0P 在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A ，B. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线PA ，PB 分别交y 轴于M ，N 两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）存在；点()Q【解析】（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，求解即可； （2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=，根据几何关系得出tan tan OQN OMQ ∠=∠，进而得到2OQ ON OM =，设出直线PA ，PB 的方程，得出,M N 的纵坐标，进而得到22201y m x =-，结合()220021y x =-，解出m 的值，求出点Q 的坐标.【详解】解：（1）由题意222211b ca abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，21b =.所以椭圆C 的方程为2212y x +=.（2）假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(),0Q m因为2OQN OQM π∠+∠=，所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQ OM=，所以2OQ ON OM =. 因为直线0y y =交椭圆C 于A ，B 两点，则A ，B 两点关于y 轴对称. 设()00,A x y ，()00,B x y -（01x ≠±）， 因为1,0P ，则直线PA 的方程为：()0011y y x x =--. 令0x =，得001M y y x -=-. 直线PB 的方程为：()0011y y x x -=-+.令0x =，得001M y y x =+. 因为2OQ ON OM =，所以22201y m x =-. 又因为点()00,A x y 在椭圆C 上，所以()220021y x =-.所以()20222121x m x-==-.即m =.所以存在点()Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中存在定点满足条件的问题，属于中档题. 21.已知有穷数列A ：12,,,,,k n a a a a （*n ∈N 且3n ≥）.定义数列A 的“伴生数列”B ：12,,,,,k n b b b b ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠⎧=⎨=⎩，，（1,2,,k n =），规定0n a a =，11n a a +=.（1）写出下列数列的“伴生数列”： ①1，2，3，4，5； ②1，1-，1，1-，1.（2）已知数列B 的“伴生数列”C ：1c ，2c ，…，k c ，…，n c ，且满足1k k b c =+（1k =，2，…，n ）.（i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.【答案】（1）①1，1，1，1，1②1，0，0，0，1（2）（i ）证明见解析（ⅱ）所有项的和0S =或23n S =（n 是3的倍数）【解析】（1）根据“伴生数列”的定义求解即可； （2）（i ）设存在{}1,2,,1k n =-，使得11k k b b +==，讨论1k =和21k n ≤≤-，结合“伴生数列”的定义证明即可；（ⅱ）利用反证法得出不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,,1k n ∈-，再对数列{}n b 的前三项1b ，2b ，3b 的值进行讨论，当1231b b b ===时，得出所有项的和0S =；当11b =，20b =，31b =时，得出220b c +=与已知矛盾；当11b =，20b =，30b =时，结合“伴生数列”的定义得出所有项的和23n S =，同理可以得出当10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31b =时，所有项的和23n S =.【详解】解：（1）①1，1，1，1，1； ②1，0，0，0，1.（2）（i ）由题意，存在{}1,2,,1k n =-，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==. 于是21n b b ==，131b b ==.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===. 依次类推可得11k k b b +==（2k =，3，…，1n -）. 所以1k b =（1k =，2，…，n ）.若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==. 于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==. 依次类推可得121b b ==. 所以1k b =（1k =，2，…，n ）. 综上可知，数列B 中的每一项均为1. （ⅱ）首先证明不可能存在{}2,,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===.若存在{}2,,1k n ∈-使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}2,,1k n ∈-.- 21 -由此及（ⅰ）得数列{}n b 的前三项1b ，2b ，3b 的可能情况如下：当1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =（1k =，2，…，n ）.于是0k c =（1k =，2，…，n ）0k c =.所以所有项的和0S =.当11b =，20b =，31b =时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.当11b =，20b =，30b =时，10c =，21c =，31c =.于是20n b b ==，241b b ≠=.故1n c =，40c =，530b b ==于是110n b b -≠=，51c =，60b =，于是14b b =，25b b =，36b b =，且21n b -=，10n b -=，0n b =.依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233nnS n =-=.同理可得10b =，21b =，30b =及10b =，20b =，31b =时，当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意. 此时所有项的和23nS =.综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.【点睛】本题主要考查了求数列的前n 项和，涉及了反证法的应用，考查学生逻辑推理和计算的能力，属于难题.。

2020年高三一模数学（文）北京丰台区试题Word 版（无解析）【一】选择题 1. 复数z=1i i-在复平面内对应的点位于 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 2.假设集合A={sin ,}y y x x R =∈,B={-2,-1,0,1,2},那么集合(R A ð)B 等于(A) {-2,-1} (B) {-2,-1,0,1,2} (C) {-2,-1,2} (D) {2,2}-3. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，那么31S a 〔 〕 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4.执行右边的程序框图所得的结果是〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕 65. 椭圆22212x y a +=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，那么该椭圆的离心率是 〔A〕2 〔B〕3 〔C 〕2 〔D 〕36.命题p:(0,),32xxx ∀∈+∞>,命题q:(,0),32x x x ∃∈-∞>,那么以下命题为真命题的是(A ) p q ∧ (B) ()p q ∧⌝ (C) ()p q ⌝∧ (D) ()()p q ⌝∧⌝7．某四面体三视图如下图，那么该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是(A) 2 (B) 4(C) 2(D) 4+8.如果函数y =f (x )图像上任意一点的坐标〔x,y 〕都满足方程 lg()lg lg x y x y +=+，那么正确的选项是 (A) y =f(x)是区间〔0，+∞〕上的减函数，且x +y 4≤ (B) y =f(x)是区间〔1，+∞〕上的增函数，且x +y 4≥ (C) y =f(x)是区间〔1，+∞〕上的减函数，且x +y 4≥ (D) y =f(x)是区间〔1，+∞〕上的减函数，且x +y 4≤ 二．填空题 9. 假设3cos ,tan 05x x =<，那么sin x = 。

丰台区2020年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）2020.03 （本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知全集U={x I x < 5}，集合，则(A) (B) (C) (D)(2）已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1, (B)x <1,(C) x <1,(D) x ≥1,(3)设不等式组表示的平面区域为.则(A）原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点P(x0,y0) ，则x0+y0≠0(4)执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是(A) n≥5 (B) n≥6(C) n≥7(D) n≥8(5）在平面直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=sin(B)=2sin(C) =cos(D ) =2cos(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)(C) 2 (D)(7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4 (B)8 (C) 12 (D) 24(8）设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1 <x2 <x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是(A)(B)(C) (D)第二部分〔非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。