课时25等腰三角形与直角三角形

等腰三角形与直角三角形在数学中，三角形是一种基本的几何形状，根据其边长和角度的关系，可以分为不同的类型。

其中，等腰三角形和直角三角形是两个常见的三角形类型，它们在几何学和实际应用中都具有重要的意义。

一、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个底角的大小相等。

等腰三角形有很多性质和特点，下面我们来介绍几个重要的性质：1. 等腰三角形的底角相等。

无论等腰三角形的顶角是多少，只要两边相等，底角就会相等。

这是等腰三角形的一个重要性质。

2. 等腰三角形的高线相等。

等腰三角形的高线是从顶角到底边上的垂直线段，对于等腰三角形来说，高线的长度相等。

3. 等腰三角形的内角和为180度。

等腰三角形的两个底角相等，所以三角形的内角和为180度，这是三角形的基本性质。

二、直角三角形直角三角形是指具有一个角是90度的三角形。

直角三角形中最常用的性质就是毕达哥拉斯定理，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

除此之外，直角三角形还有以下性质：1. 直角三角形的两个锐角之和等于90度。

直角三角形中，最大的一个角是90度，所以其余两个角的和等于90度。

2. 直角三角形的两个直角边的比值为斜边的正切值。

直角三角形中，直角边与斜边的比值可以用正切函数计算，即tan(θ) = 对边/邻边。

3. 直角三角形的面积等于两直角边的乘积的一半。

直角三角形的面积可以通过两直角边的乘积再除以2来计算。

三、等腰三角形与直角三角形的联系等腰三角形和直角三角形在几何学中有一些联系和共同点。

首先，对于一个等腰直角三角形来说，它既是等腰三角形又是直角三角形。

其次，在等腰三角形中，如果顶角等于90度，那么这个等腰三角形就成为直角三角形。

此外，在计算等腰三角形和直角三角形的面积时，也可以使用相同的公式。

对于等腰三角形，可以使用底边和高线的乘积再除以2来计算面积；对于直角三角形，可以使用两条直角边的乘积再除以2来计算面积。

综上所述，等腰三角形和直角三角形是两种常见的三角形类型，它们在数学和几何学中具有重要的作用。

小学五年级数学下册认识直角三角形与等腰三角形认识直角三角形与等腰三角形在小学五年级的数学课程中，我们将继续学习有关三角形的知识。

在数学下册中，我们将重点认识直角三角形与等腰三角形，它们是三角形中的两个重要概念。

让我们来逐一了解它们的定义、特征以及一些相关性质。

直角三角形是指一个三角形中，其中一个内角为90度的三角形。

当一个三角形的一个内角为90度时，我们可以称其为直角三角形。

在直角三角形中，有一个最长的边，我们称其为斜边，另外两条边则分别称为直角边。

直角三角形中的直角边与斜边之间有一种特殊的关系，通过勾股定理我们可以得知：直角边的平方和等于斜边的平方。

在我们的日常生活中，直角三角形的应用非常广泛。

例如，建筑工地上的支撑架以及楼梯的一部分都会使用直角三角形的形状。

理解直角三角形的特征和性质，可以帮助我们更好地应用数学知识来解决实际问题。

接下来，我们即将学习的另一个重要概念是等腰三角形。

等腰三角形是指一个三角形中，两条边的长度相等。

也就是说，等腰三角形中的两个角度也是相等的。

等腰三角形中的特殊性质使得它具有独特的形状。

我们知道，三角形的三个内角之和等于180度。

而在等腰三角形中，由于两个角度相等，所以我们可以用180度减去其中一个角度的两倍，来得出第三个角度。

等腰三角形的特征不仅可以用于理论推导，在实际生活中也有一些应用。

例如，道路上的交通标志中的箭头形状，就常常使用等腰三角形的形状。

通过学习等腰三角形的特性，我们可以更好地理解这些图形所代表的意义，进而提高交通意识。

除了直角三角形和等腰三角形的定义和特征，我们还需要掌握一些与之相关的性质。

下面，让我们来看一些与直角三角形和等腰三角形相关的重要性质。

首先，直角三角形中的两个直角边的长度相等，这是直角三角形的基本特征。

我们可以通过测量直角三角形的两个直角边的长度来判断是否为直角三角形。

其次，直角三角形中的斜边是直角边中较长的一条，而直角边是直角边中较短的一条。

小学数学知识归纳理解直角三角形和等腰三角形的计算直角三角形和等腰三角形是小学数学中常见的几何图形，它们有着独特的特点和计算方法。

在本文中，我们将对直角三角形和等腰三角形进行归纳和理解，并探讨如何进行计算。

直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（即90度）。

直角三角形的特点是：直角三角形的斜边是其他两条边的最长边，而其他两条边分别称为直角边。

直角三角形常见的计算方法有勾股定理和三角函数。

勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

具体来说，如果一个直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，那么有勾股定理的关系式：a² + b² = c²。

利用勾股定理，我们可以通过已知两个边求解第三个边的长度。

例如，假设一个直角三角形的一个直角边为3，另一个直角边为4，我们可以通过勾股定理计算斜边的长度。

根据关系式：3² + 4² = c²，计算得到c² = 9 + 16 = 25，再开平方根得到c = 5。

因此，这个直角三角形的斜边长度为5。

除了勾股定理，三角函数也可以用来计算直角三角形的边长比例和角度大小。

在直角三角形中，我们常用到的三角函数有正弦、余弦和正切。

具体来说，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）分别表示：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边其中，θ代表直角三角形的一个锐角，对边、邻边和斜边分别表示与该角相对的边、邻边和斜边的长度。

通过利用三角函数的定义，我们可以计算出直角三角形中各边的长度和角度的大小。

除了直角三角形，等腰三角形也是小学数学中常见的几何图形。

等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。

等腰三角形的特点是：等腰三角形的底边和两条等腰边的夹角相等，且顶角为顶点的角度。

对于等腰三角形的计算，我们通常需要知道的是等腰边的长度和顶角的大小。

等腰三角形可以通过以下计算方法进行求解。

第1讲等腰三角形与直角三角形-教案概述适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域北师版区域课时时长（分钟） 120知识点1.等腰三角形判定与性质2.直角三角形判定与性质1.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．教学目标2.能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性教学重点特殊三角形的灵活应用教学难点特殊三角形的灵活应用.【教学建议】本节的教学重点是使学生能熟练掌握特殊三角形的性质与判定，这一节在本册书乃至整个初中数学几何部分占据非常重要的地位，在中考中出题的频率和分值都比较高，所以教师在教学过程中要注意结合中考题型进行拓展。

学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：1. 等腰三角形及直角三角形的性质与判定。

2. 结合三角形全等的几何动点。

3.综合性解答题的思路与几何问题中的数学模型。

【知识导图】1等腰三角形与直角三角形等腰三角形判定与性质直角三角形判定与性质教学过程一、导入【教学建议】有关等腰三角形和直角三角形的考题，考查重点是几何动点以及几何类比探究的综合的题型，学生最开始接触时一定要把基础的性质与判定及常见的几何模型整理好，老师在授课过程中要注重方法的指导。

二、知识讲解知识点 1 等腰三角形判定与性质1.提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：（1）两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；（3）两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；（4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（5）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：（1）（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理2进行证明；（2）回忆全等三角形的性质。

2.等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。

小学六年级下册直角三角形与等腰三角形的面积计算直角三角形是指其中一个角为90度的三角形，而等腰三角形则是指具有两条边长度相等的三角形。

在小学六年级的数学学习中，计算这两种三角形的面积是一个重要的内容。

本文将详细介绍直角三角形和等腰三角形的面积计算方法。

一、直角三角形的面积计算直角三角形的面积计算方法有多种，其中常用的是利用直角边的长度计算。

假设直角三角形的直角边长度为a，另外两条边的长度分别为b和c，根据勾股定理有：a² = b² + c²我们可以利用这个关系式来计算直角三角形的面积。

面积 = 底边长度 ×高 / 2在直角三角形中，底边长度可以是任意一条非直角边的长度，高则是从直角顶点到底边的垂直距离。

因此，我们可以选择较短边或较长边作为底边进行计算。

下面是一个例子：例：已知一个直角三角形的两条直角边长度分别为3cm和4cm，求其面积。

解：根据勾股定理可得：a² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25所以，直角三角形的斜边长度为5cm。

接下来，我们选择其中一条直角边作为底边，并将直角边上的垂直高度记作h。

根据面积计算公式，我们有：面积 = 3cm × h / 2为了求得h的值，可以利用直角边与直角边上的垂直高度之间的关系，即直角三角形的两边长度的乘积等于底边长度与垂直高度之积。

因此，我们有：3cm × h = 3cm × 4cm解得 h = 4cm将底边长度和高代入面积计算公式，可得：面积 = 3cm × 4cm / 2 = 6cm²所以，该直角三角形的面积为6平方厘米。

二、等腰三角形的面积计算等腰三角形的面积计算方法与直角三角形有所不同。

对于等腰三角形而言，它的高是从顶点到底边的垂直距离，而底边则是两条腰之间的线段。

我们可以利用以下公式计算等腰三角形的面积：面积 = 底边长度 ×高 / 2与直角三角形的计算方法相比，等腰三角形的面积计算相对简单。

等腰三角形与直角三角形讲义1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=_55°_____2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为_30_____度3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ C ）A．30° B．150° C．30°或150° D．120°【知识梳理】1、等腰三角形及其性质（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．（2）性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．2、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC．（1）直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：或.（2）定理：直角三角形的两个锐角互余．推理过程：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°（或∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A）．说明：这一定理应用的前提是Rt△，已知一个锐角，求另一个角．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法．（3）定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．(4）定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，∴∠A＝30°．【典型例题】知识点一：等腰三角形考点一：等腰三角形的判断与证明例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．分析：这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形．解：（1）①③，①④，②③，②④．（2）选择①④来证明结论成立．已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．∴△ABC为等腰三角形．例2、如图，在△ABC中，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC．求证：AO⊥BC．证明：延长AO交BC于D．在△ABO与△ACO中，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，∴AO⊥BC．考点二：利用等腰三角形求度数例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．分析：本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解．解：设∠A=x．∵AD=DE=EB∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB．又∵∠DEA=∠EBD＋∠EDB，∴∠EBD=∠EDB=．∴BDC=∠A＋∠ABD=．∵BD=BC，AB=AC，∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=．在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，即，∴x=45°，即∠A=45°．例4、已知：AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC．求∠ABC的度数．（1）当H是AD与BE的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠4=∠3=∠5=90°，∴∠1＋∠C=∠2＋∠C=90°，∴∠2=∠1．又∵BH=AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD=AD，∴∠DBA=∠6．又∵∠6＋∠DBA=90°，∴∠DBA=45°，即∠ABC=45°．（2）当H是AD、EB延长线的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠3=∠2=90°，∠4=90°，∴∠1＋∠H=90°，∴∠CAD＋∠H=90°，∴∠1=∠CAD．又∵BH=AC，∴△DBH≌△DAC，∴DB=DA，∴∠5=∠6．又∵∠5＋∠6=90°，∴∠6=45°，∴∠ABC=180°－45°=135°．故∠ABC的度数为45°或135°．考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法．例6、如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB＋BD．（你可以用不同的方法证明吗）方法一：（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE．因为AD平分∠BAC，所以∠2=∠1．又因为AD=AD，所以△BAD≌△EAD（SAS）．所以BD=ED．所以∠3=∠B=2∠C．因为∠3=∠C＋∠4，所以2∠C=∠C＋∠4，所以∠C=∠4，所以DE=CE．所以CE=BD．所以AC=AE＋EC=AB＋DB．方法二：（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以∠E=∠1．因为∠2=∠E＋∠1=2∠E，又因为∠2=2∠C（已知），所以∠C=∠E．因为∠4=∠3，AD=AD，所以△ADC≌△ADE（AAS），所以AC=AE．因为AE=AB＋BD，所以AC=AB＋BD．例7、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．方法一：解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．方法二：接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．方法四：小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．方法五：小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．方法六：大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．例8、如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD．求证：CD⊥AC．证明：取AB的中点E，连结DE．∵AD=BD，∴DE⊥AB，∴∠3=90°．又∵AB=2AC，AB=2AE，∴AE=AC．又∵∠1=∠2，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠3=∠ACD，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC．例9、如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F．求证：DF=EF．过E作EG//AB交BC的延长线于G，则∠G=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠1=∠ECG，∴∠G=∠ECG，∴CE=GE．又∵BD=CE，∴BD=GE．又∵∠BFD=∠GFE，∴△BDF≌△GEF，∴DF=EF．知识点二：直角三角形考点一：30°所对的直角边等于斜边的一半例1（将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．点评：此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．例2.如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。

第25课时：三角形（一）【知识梳理】（一）三角形的相关概念：1．三角形按角分为 ， ， ． 2．三角形按边分为 .3．三角形中任意两边之和 第三边，两边之差 第三边4．三角形的内角和为 °，外角与内角的关系： ． 5． 叫三角形的中位线．6．中位线的性质： ． 7．三角形的中线、高线、角平分线都是 ．(线段、射线、直线) （二）等腰三角形的性质与判定： （三）直角三角形的性质与判定： 【课前预习】1 三角形的两个内角分别是40°和60°，则第三个内角等于______.2 已知△ABC 中，AB=6，AC=8，则BC 边的取值范围为__________.3 如图，AC∥BD，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若∠1=64°，则∠2=_____．4 如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC 的度数为_______．5 等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为_______；若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为_______cm ．6 如图所示，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为_______. 【解题指导】例1如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ．30 B ．40 C ．50 D ．60例2 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、CD 分別是△ABC 两个外角的平分线． （1）求证：AC=AD ；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD 是菱形．例3 已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O ，且OB=OC. （1）求证：△ABC 是等腰三角形；（2）判断点O 是否在∠BAC 的角平分线上，并说明理由。